山西省五校联考2019届高三第四次联考数学(理)试题Word版含答案

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山西省五校联考2019届高三第三次五校联考数学(理)Word版含解析

三、解答题：共6题
17．在锐角中,设角所对边分别为 , .
(1)求证: ;
(2)若 ,求的值.
【答案】(1)∵ ,∴ ；
由正弦定理得 ,即 ,∴ ；
即 .
(2)∵ ,∴ ；
由(1)得 ,解得；
∵ 为锐角,∴ ；
∴ ；
解得 .
【解析】本题考查和角公式,正余弦定理.(1)由正弦定理得 ,即 .(2)∵ ,由(1)得 ,由余弦定理得 .
21．设函数在区间上单调递增; 函数在其定义域上存在极值.
18．已知公比小于1的等比数列的前项和为 .
(1)求数列答案】(1)设等比数列的公比为；
∵ ,∴ ,则解得或 (舍去)
故；
(2) ，∴ ,
∴ ；
；
由 ,得 .
【解析】本题考查等比数列,数列求和.(1)∵ ,解得 ,故 ;(2)求得 , ,裂项得 ,相消得 ;由 ,得 .
【答案】
【解析】本题考查等比数列,数列求和.因为 ,令可得: ,而 ,所以 ; , ,两式相减得: = ;①当时, , ,满足 ;②当时, = ,所以 = ,即 = ;而对任意恒成立,即 ,整理得 ;当时, ,解得 ;当时, ,解得 ;而 ,即 ,解得 ;所以此时且 ;由①②可得 .即的取值范围是 .
19．已知函数 .
(1)将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像,若 ,求函数的值域;
(2)已知分别为中角的对边,且满足 ,求的面积.
【答案】 = = ,
(1)平移可得 ,∵ ,∴ ；
当时, ;当时, ；
∴ 的值域为 .
(2)由已知及正弦定理得: ,∴ ；
∵ ,∴ ,由得 ;

2019届高三第四次大联考数学试题(内附答案)!

全国大联考|2019届高三第四次大联考数学试题（内附答案）！
距离每年一度的高考又进了一天，学弟学妹们是不是已经做好准备了呢！
昨天有个学弟微信我说：‘我觉得我要挂在数学上了！’他是文科的学生，其他成绩都很棒，唯独数学不是很好，很拉分。

其实，我想说的是，数学没有那么难，真的！
高中数学得学习是一种积累，是一个长期的过程，高考也并不需要灯光下的熬夜苦战，也不需要题海中的无边漫游，有一适合自己的学习方法，才是最为重要的!每年的高考其实都是换汤不换药！只要摸索到其中的方法，数学拿高分还是很容易的。

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《全国大联考》山西省山大附中等晋豫名校2019届高三年级第四次调研诊断考试数学理试题Word版含解析

《全国大联考》山西省山大附中等晋豫名校2019届第四次调研诊断考试高三年级数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则（）A. B. C. D.3. 下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A. B. C. D.4. 若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（）A. B. C. D.或5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.6. 函数的图象的大致形状是（）A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.8. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：若，则，.）A. 906B. 2718C. 1359D. 34139. 把函数图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率（）A. B. C. D.11. 若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（）A. 4B. 6C. 9D. 1212. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ，则__________．14. 已知中，内角的对边分别为，若，，则的面积为__________．15. 已知三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的体积为__________．16. 已知函数，把方程的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前项和__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和，是等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18. 已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）.19. 如图所示，在直三棱柱，平面侧面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小.20. 已知分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，且满足，求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.21. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，且横坐标分别为，线段中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（1）求不等式的解集；（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.《全国大联考》山西省山大附中等晋豫名校2019届第四次调研诊断考试高三年级数学理试题参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】，，则的元素个数为2个，选B.2. 设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，.选A.3. 下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】为非奇非偶函数，排除；为偶函数，但在内单调递减，排除；为奇函数，排除．故本题答案选．4. 若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】试题分析：由题意可知与垂直或与垂直，所以或，时三角形面积是，时与交点，三角形面积为考点：线性规划点评：线性规划题目结合图形分析5. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】运行程序满足，，，满足，，，满足，，，满足，，，满足，，，不满足，输出，选A.6. 函数的图象的大致形状是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，故选B．考点：函数的奇偶性及函数的图象．7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，∴该几何体的表面积，本题选择B选项.8. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：若，则，.）A. 906B. 2718C. 1359D. 3413【答案】C【解析】由于曲线为正态分布的密度曲线，，，在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为个点，选C.9. 把函数图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把函数图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向右平移个单位，得到，函数的对称轴为，即，当时，，选 A.10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上，，，则椭圆的离心率（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，则，，，，，，，，，，则，选C.11. 若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（）A. 4B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】对，有，令，有，令，有，则，令，则，则为奇函数，又设函数，为奇函数，则，而为奇函数，由于奇函数在关于原点对称的单调区间内的最大值与最小值互为相反数，则的最大值与最小值之和为6.选B. 12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，即解，构造函数，可令：，所以，由，得：，由，得：得出解为，其中恰有两个整数，所以时成立，排除A、D.当，则，，得：函数在上递减，上递增，此时的解集至少包括，所以不合题意，故不能取，排除B，本题选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ，则__________．【答案】28【解析】令，则，设的展开式含有项，，令，，所以.14. 已知中，内角的对边分别为，若，，则的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：，则的面积为 .15. 已知三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的体积为__________．【答案】【解析】取中点,连,由勾股定理可求出,在中,,所以为直角三角形,,故,所以为三棱锥的外接球的球心,且半径为,故体积 ......................16. 已知函数，把方程的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前项和__________．【答案】【解析】当时，有，有，当时，有，有当时，有，有当时，有，有依次类推，当时，则，所以，故，所以通项公式，. 【点睛】本题考查对分段函数的处理方法，分段函数要分段处理，根据分段函数的解析式找出各段函数的零点，从而得出各个零点与项数的关系，写出数列的通项公式，根据数列是特殊的等差数列，利用等差数列求和公式，求出数列的前项的和.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和，是等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.试题解析：（1）由题意知当时，，当时，，所以．设数列的公差为，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．考点1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18. 已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）求古典概型概率，先确定两次检测基本事件个数：，再确定第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的基本事件个数，从而得所求事件概率为（2）先确定随机变量：最少两次（两次皆为次品），最多四次（前三次两次正品，一次次品），三次情况较多，可利用补集求其概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望试题解析：解:（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，（Ⅱ）的可能取值为200,300,400（或）故的分布列为考点：1.古典概型概率；2.分布列和数学期望.【方法点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 19. 如图所示，在直三棱柱，平面侧面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，由已知条件推导出平面，从而得到，由线面垂直得，由此可证明；（2）连接，由（1）可知平面，由已知条件得到即为直线与平面所成的角，即二面角的一个平面角，即可求解二面角的大小．试题解析：（1）如图，取的中点，连接,因为,所以,由平面侧面,且平面侧面得平面．又平面，所以．因为三棱柱是直三棱柱,则底面．又因为平面,所以．又，所以侧面，又侧面，故．（2）连接，由（1）可知平面,则是在平面内的射影，所以即为直线与平面所成的角，因为直线与平面所成的角的正弦值为,所以,在等腰直角中，且点是中点，所以．又,所以．过点作于点，连接,由（1）知平面,则,且,所以平面,所以,所以即二面角的一个平面角．且直角中，．又,所以．又因为二面角为锐二面角,所以．即锐二面角的大小为．考点：直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解．20. 已知分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，且满足，求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）首先得到焦点的坐标，点满足两个条件，一个是点在椭圆上，满足椭圆方程，另一个是将,转化为坐标表示，这样两个方程两个未知数，解方程组；（2）首项设过点的直线为，与方程联立，得到根与系数的关系，和，以及，根据向量的数量积可知，为锐角，即，这样代入根与系数的关系，以及，共同求出的取值范围.试题解析：（1）易知.，设，则，又.联立，解得，故.（2）显然不满足题设条件，可设的方程为，设，联立由，得.①又为锐角，又.②综①②可知的取值范围是【点睛】解析几何中的参数范围的考查是高考经常考的的问题，这类问题，要将几何关系转化为代数不等式的运算，必然会考查转化与化归的能力，将为锐角转化为 ,这样就代入根与系数的关系，转化为解不等式的问题,同时不要忽略.21. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，且横坐标分别为，线段中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知，又是的零点，代入相减化简得，对求导，.令，求得函数.不等式得证．试题解析：（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时，恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增.（2）由（1）知，，所以的两根，即为方程的两根.因为，所以，，.又因为，为的零点，所以，，两式相减得，得.而，所以.令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.【答案】(1) ;(2)2.【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（3）掌握,通过圆心距和两圆半径之和、之差的关系判断圆与圆的位置关系;（3）掌握两点间的距离公式．试题解析：解：（1）圆的普通方程为，得化为极坐标方程为（2）法一：由；：由从而法二：直线，射线由；：由从而由两点间距离公式得考点：1、极坐标方程；2、直线与圆相交求弦长．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（1）求不等式的解集；（2）设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：第一步根据解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于的不等式，得到不等式等价于的解集非空，根据“极值原理”，只需大于的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到的取值范围.试题解析：（1）原不等式可化为：即：或由得或由得或综上原不等式的解为或（2）原不等式等价于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：，；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方法.。

2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析

2019年高三第四次模拟考试数学试题含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数的最小正周期为 .【知识点】三角函数的周期性及其求法. 【答案解析】解析：解：函数的最小正周期为. 【思路点拨】根据的周期等于，求得结果．2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为 . 【知识点】复数相等的充要条件．【答案解析】解析：解：∵复数满足（为虚数单位），∴()()211223i i i z i i i -++=+=+=--，∴，故答案为：．【思路点拨】先解出复数的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数． 3.抛物线的准线方程是．【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】解析：解：由题得，所以：所以，故准线方程为：．故答案为. 【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出即可得到其准线方程． 4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b AB A B ====若则．【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】解析：解：因为,所以，，则. 所以,故答案为.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由可确定，然后就可以确定的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S 的值为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环．此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21．故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .()()()()()()222222141817181818181820182118⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦ 7．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】解析：解：某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴A ，B 两人都不被录用的概率为， ∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率．故答案为：．【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率．8．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则 . 【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析：解：画出可行域第5题将变形为，画出直线平移至点时，纵截距最大，最大，联立方程得33k xk y，代入− +3×(−)＝8，∴．故答案为.【思路点拨】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点时，纵截距最大，最大．9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点.若, 则AB 的长为 . 【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法. 【答案解析】解析：解：∵1,,2AC AB AD BEBC CE ADAB ∴221111222AC BEAB AD ADAB ADAD AB AB ， ∴，＞0，解得＝．故答案为：．【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出． 10.已知正四面体的棱长为，则它的外接球的表面积的值为．【知识点】球内接多面体．【答案解析】解析：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：， ∴棱长为的正四面体的外接球半径为．所以外接球的表面积为，故答案为.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积． 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集是__________．【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】解析：解：当x ＞0时，与题意不符，当时，又∵是定义在上的奇函数，∴1221x x f x f x f x f x ，，，1121<222x x ，＜，不等式的解集是．故答案【思路点拨】是指定义在R 上的函12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于． 33b 解得为：．33，求13．已知实数满足，则的最大值为．【知识点】基本不等式的应用. 【答案解析】4解析：解：∵， ∴41322x y xy x y ,则解得：∴的最大值为4,故答案为：4【思路点拨】先对等式进行变形化简，然后利用进行求出的范围，即可求出所求． 14．数列满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ．【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和.【答案解析】10解析：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1 则,由累加法得：2n1nn1a a 22222解得,显然，当n=1时也适合，故．故存在实数=1，使得数列为等比数列，其通项公式为, 故121222201412n n nS ，解得，则满足的值为的最小正整数n s n 2014 10，故答案为10. 【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，进行分类考虑：①若数列为等差数列，则得由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数，（3分）②若数列为等比数列得22222224p p p （）（），解得=1则其通项公式为,再由故，解得，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示⑵若,,弦函数．【答案解析】⑴ ⑵解析：解：⑴由三角函数的定义知 ∴.又由三角函数线知,为第一象限角，，24116177tan 224173177. (2) ，∵，ABCFE D∴． ∵sinsin cos cos sin ＝＝．又∵，∴＝．【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出，然后再求；（Ⅱ）由，求出的正弦值，根据，求出．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ；（2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）a 3 解析：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分（2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S △CEF ＝DC •CF ＝×4a ×2a ＝4a 2．在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ．因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ，亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2a V PCEF ＝V P −CEF ＝PQ •S △CEF ＝•4a 2•2a ＝a 3．（注：本题亦可利用V P −CEF ＝V B −CEF ＝V E −BCF ＝V D −BCF ＝DC •BC •CF ＝a 3求得）【思路点拨】（1）证明平面PCF 内的直线PC ，垂直平面PDE 内的两条相交直线DE ，PD ，就证明了平面PCF ⊥平面PDE ；（2）说明P 到平面PCEF 的距离为PQ=2a ，求出S △CEF ＝DC •CF 的面积，然后求四面体PCEF 的体积．17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点恰B好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8. （1）求椭圆的标准方程；（2）已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程．【答案解析】（1）（2）解析：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由, 解得F （3,0）…………… 2分设椭圆的方程为, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为.…………… 6分（2）因为点在椭圆上运动,所以,…………… 8分从而圆心到直线的距离.所以直线与圆恒相交, …………… 10分又直线被圆截得的弦长为L ===分由于,所以,则,即直线被圆截得的弦长的取值范围是…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心到直线的距离.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解． 18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝，AB ＝1，BC ＝．点M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△MN ，使顶点落在边BC 上(点和B 点不重合).设∠AMN ＝．(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2) 求线段长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用．【答案解析】(1) , (2) 解析：解：解：（1）设，则．…………2分在Rt △MB 中，，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，点和B 点不重合，∴…7分 (2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM= ,∴根据正弦定理得：2sinsin3ANMA ，∴122sin sin3AN令2132sin sin2sinsin cos 322t ，459060230150＜＜，＜＜，当且仅当时，有最大值,则θ=60°时，AN 有最小值为，即线段长度的最小值为．【思路点拨】（1）设，则，在Rt △MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N 长度的最小值，即求线段AN 长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．19．设函数（），．(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围； (3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断．【答案解析】（1）（2）（3）解析：解：（1）因为，所以，令得：，此时，…………2分则点到直线的距离为，即=4分(2)解法一不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a 2）x 2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a 2＜0，令h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1，由h （0）=1＞0且h （1）=-a 2＜0（a ＞0），所以函数h （x ）=（1-a 2）x 2-2x+1的一个零点在区间（0，1），则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h （-2）＞0，h （-3）≤0，解之得．解法二不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a 2） x 2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a 2＜0，即 a ＞1， ∴（1-a 2） x 2-2x+1=[（（1-a ）x-1][（1+a ）x-1]＞0，所以，又因为 0＜＜1，所以 −3≤＜−2，解之得．（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点． …………12分设与存在 “分界线”，方程为，由，对x ∈R 恒成立，则在x ∈R 恒成立．所以成立，因此 k=．…（10分）下面证明恒成立．设，则．所以当时，G ′（x ）＞0；当 x ＞时，G ′（x ）＜0．因此 x= 时，G （x ）取得最大值0，则成立．故所求“分界线”方程为：．【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；（3）设F (x )＝f (x )−g (x )＝x 2−elnx ，利用导数知识判断单调性，求出时，F （x ）取得最小值0．设f （x ）与g （x ）存在“分界线”，方程为，由，对x ∈R 恒成立，求得k=．再利用导数证明成立，从而得到所求“分界线”方程． 20．（本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用．【答案解析】（1）（2） (3) 满足题意的正整数仅有.解析：解：（1）………………………………………………………4分（2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由，得……………………………………………………7分当时，，由，所以数列为等差数列………9分（3）因为，可得不合题意，合题意…………11分当时，若后添入的数，则一定不符合题意，从而必是数列中的一项，则（2+2+…………+2）+(…………)=即………………………………………………………………13分记则k k f k212)2(ln 2)('--=，1+2+2+…………+2=，所以当时，=1+2+2+…………+2+1>1+2,又.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分综上可知，满足题意的正整数仅有.…………………………………………16分25130 622A 截37186 9142 酂31381 7A95 窕F 21112 5278 剸433444 82A4 芤21558 5436 吶25939 6553 敓27809 6CA1 没x}30765 782D 砭q。

山西省五校联考2019届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)Word版含解析

山西省五校联考2019届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|x2+3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣1＜x≤3}，且M=A∩B，则有（）A．﹣1∈M B．0∈M C．1∈M D．2∈M2．在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是（）3．已知等比数列{anA．B．C．2 D．x≥2；命题q：在△ABC中，若A＞，则sinA＞．则下列4．已知命题p：∀x≥4，log2命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（¬q）C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨q5．已知非零向量、满足2||=3||，|﹣2|=|+|，则与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=xln（﹣x）+x+2，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为（）A．y=2x+3 B．y=2x﹣3 C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣37．实数x，y满足，若x﹣2y≥m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，6] D．[0，6]8．如图，在△ABC中，AD⊥AB， =3，||=1，则•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．若tanα﹣=，α∈（，），则sin（2α+）的值为（）A．B． C．D．10．已知x，y为正实数，则的最小值为（）A．B．C．D．311．函数f（x）=（16x﹣16﹣x）log2|x|的图象大致为（）A．B．C D．12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上）13．已知函数f（x）=，则= ．14．设x，y∈R，向量=（x，2），=（1，y），=（2，﹣6），且⊥，∥，则|+|= ．15．已知函数y=ksin（kx+φ）（|φ|＜）与函数y=kx﹣k2+6的部分图象如图所示，则φ= ．16．已知数列{an }的首项a1=a，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn﹣1=4n2（n≥2，n∈N+），若对任意n∈N+，an＜an+1恒成立，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在锐角△ABC中，设角A，B，C所对边分别为a，b，c，bsinCcosA﹣4csinAcosB=0．（1）求证：tanB=4tanA；（2）若tan（A+B）=﹣3，c=3，b=5，求a的值．18．已知公比小于1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2（1﹣S n+1），若，求n ．19．已知函数f （x ）=cos2x+4sinx ）．（1）将函数f （2x ）的图象向右平移个单位得到函数g （x ）的图象，若，求函数g （x ）的值域；（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足b=2，f （A ）=+1， a=2bsinA ，B ∈（0，），求△ABC 的面积．20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且对任意正整数n ，满足2a n+1+S n ﹣2=0．（1）求数列{a n }的通项公式．（2）设b n =na n 2，求数列{b n }的前n 项和T n ．21．设p ：函数f （x ）=x 3e 3ax 在区间（0，2]上单调递增；q ：函数g （x ）=ax ﹣+2lnx 在其定义域上存在极值．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 22．已知函数f （x ）=x 2+2ax+alnx ，a ≤0．（1）若当a=﹣2时，求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）＞（2e+1）a ，求a 的取值范围．山西省五校联考2019届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|x2+3x﹣4＞0}，集合B={x|﹣1＜x≤3}，且M=A∩B，则有（）A．﹣1∈M B．0∈M C．1∈M D．2∈M【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，求出A，B的交集，由元素与集合的关系，即可得到结论．【解答】解：集合A={x|x2+3x﹣4＞0}={x|﹣4＜x＜1}，集合B={x|﹣1＜x≤3}，则M=A∩B={x|﹣1＜x＜1}，即有0∈M，故选：B．2．在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求sinB=，结合B的范围即可得解B 的值．【解答】解：∵a=b，A=120°，∴由正弦定理，可得：sinB=，又∵B∈（0°，60°），∴B=30°．故选：A．3．已知等比数列{a}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是（）nA．B．C．2 D．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an }的公比为q，∵a1a3a5a7a9=2，a2a4a6a8a10=64，∴q5=32，解得q=2．故选：C．4．已知命题p：∀x≥4，log2x≥2；命题q：在△ABC中，若A＞，则sinA＞．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（¬q）C．（¬p）∧（¬q）D．（¬p）∨q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p，命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：命题p：∀x≥4，log2x≥2，为真命题；在△ABC中，若A≥，则sinA≤．故命题q为假命题，故命题p∧q，（¬p）∧（¬q），（¬p）∨q为假命题，命题p∧（¬q）为真命题；故选：B5．已知非零向量、满足2||=3||，|﹣2|=|+|，则与的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积与模长公式，列出方程求出与夹角的余弦值．【解答】解：∵2||=3||，|﹣2|=|+|，∴﹣4•+4=+2•+，∴2•=，即2||×||cos＜，＞=，2×||×||cos＜，＞=；∴cos＜，＞=，即与夹角的余弦值为．故选：C．6．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=xln（﹣x）+x+2，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为（）A．y=2x+3 B．y=2x﹣3 C．y=﹣2x+3 D．y=﹣2x﹣3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用奇函数的性质，求出x＞0时，函数的解析式，求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=﹣xlnx﹣x+2，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=xlnx+x﹣2，∴f′（x）=lnx+2，x=1，f′（1）=2，f（1）=﹣1，∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2x﹣3，故选B．7．实数x，y满足，若x﹣2y≥m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，6] D．[0，6]【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，由4x﹣y≥m恒成立，即求4x﹣y的最小值，设z=4x﹣y，利用其几何意义求最小值．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：设z=x﹣2y，则y=x﹣z当经过图中的A时z最小，由得到A（2，3），所以z的最小值为2﹣2×3=﹣4；所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4]；故选：B．8．如图，在△ABC中，AD⊥AB， =3，||=1，则•的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意把转化为求解．【解答】解：∵AD⊥AB， =3，||=1，∴•===．故选：C．9．若tanα﹣=，α∈（，），则sin（2α+）的值为（）A．B． C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知求得tanα，再由万能公式求出sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦即可．【解答】解：由tanα﹣，得2tan2α﹣3tanα﹣2=0，即tanα=2或tanα=．∵α∈（，），∴tanα=2．则sin2α=，cos2α=．∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．故选：D．10．已知x，y为正实数，则的最小值为（）A．B．C．D．3【考点】基本不等式．【分析】关键基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：∵x，y为正实数，∴=+（1+）﹣1≥2﹣1=4﹣1=3，当且仅当即x=3y时“=”成立，故选：D．|x|的图象大致为（）11．函数f（x）=（16x﹣16﹣x）log2A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分析函数的奇偶性和当x→0时的极限值，利用排除法，可得函数f（x）的大致图象．|x|，【解答】解：∵函数f（x）=（16x﹣16﹣x）log2∴函数f（﹣x）=（16﹣x﹣16x）log2|﹣x|=﹣[（16x﹣16﹣x）log2|x|]，即f（﹣x）=﹣f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B，C当x→0时，，故排除D，故选：A12．设函数f（x）=﹣x，若不等式f（x）≤0在[﹣2，+∞）上有解，则实数a的最小值为（）A．B．C． D．【考点】函数恒成立问题．【分析】依题意，可得2a≥[]min（x≥﹣2），构造函数g（x）==﹣，利用导数法可求得g（x）的极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，从而可得答案．【解答】解：f（x）=﹣x≤0在[﹣2，+∞）上有解⇔2ae x≥﹣x在[﹣2，+∞）上有解⇔2a≥[]min（x≥﹣2）．令g（x）==﹣，则g′（x）=3x2+3x﹣6﹣=（x﹣1）（3x+6+），∵x∈[﹣2，+∞），∴当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，g（x）在区间[﹣2，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=1+﹣6+2﹣=﹣﹣，也是最小值，∴2a≥﹣﹣，∴a≥．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上）13．已知函数f（x）=，则= ．【考点】分段函数的应用．【分析】利用分段函数逐步求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则=f[]=f（）=sin（）=sin=．故答案为：．14．设x，y∈R，向量=（x，2），=（1，y），=（2，﹣6），且⊥，∥，则|+|= 5．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵⊥，∥，∴2x﹣12=0，2y+6=0，解得x=6，y=﹣3．则+=（7，﹣1），|+|==5．故答案为：．15．已知函数y=ksin（kx+φ）（|φ|＜）与函数y=kx﹣k2+6的部分图象如图所示，则φ=﹣．【考点】函数的图象．【分析】根据直线过点（0，|k|）和单调性计算k ，把（，0）代入y=ksin （kx+φ）即可求出φ．【解答】解：函数y=ksin （kx+φ）的最大值为|k|， ∵函数y=kx ﹣k 2+6是增函数，且经过点（0，|k|）， ∴，解得k=2，∴三角函数解析式为y=2sin （2x+φ），∵此函数经过点（，0），∴2sin （+φ）=0，即+φ=k π，解得φ=﹣+k π，k ∈Z ．∵|φ|＜，∴φ=﹣．故答案为：．16．已知数列{a n }的首项a 1=a ，其前n 项和为S n ，且满足S n +S n ﹣1=4n 2（n ≥2，n ∈N +），若对任意n ∈N +，a n ＜a n+1恒成立，则a 的取值范围是（3，5）．【考点】数列递推式．【分析】S n +S n ﹣1=4n 2（n ≥2，n ∈N +），可得S 2+S 1=16，a 1=a ，a 2=16﹣2a ，S n+1+S n =4（n+1）2，可得：a n+1+a n =8n+4，变形为：a n+1﹣4（n+1）=﹣（a n ﹣4n ），对a 分类讨论，利用等比数列的通项公式及其已知条件对任意n ∈N +，a n ＜a n+1恒成立即可得出．【解答】解：∵S n +S n ﹣1=4n 2（n ≥2，n ∈N +），∴S 2+S 1=16，a 1=a ，可得2a 1+a 2=16，∴a 2=16﹣2a ．S n+1+S n =4（n+1）2，可得：a n+1+a n =8n+4，变形为：a n+1﹣4（n+1）=﹣（a n ﹣4n ），①a ≠4时，数列{a n ﹣4n}是等比数列，a 2﹣8=8﹣2a ，公比为﹣1，n ≥2． ∴a n ﹣4n=（8﹣2a ）×（﹣1）n ﹣2， ∴a n =4n+（8﹣2a ）×（﹣1）n ﹣2，∵对任意n ∈N +，a n ＜a n+1恒成立，∴4n+（8﹣2a ）×（﹣1）n ﹣2＜4（n+1）+（8﹣2a ）×（﹣1）n ﹣1，化为：1+（4﹣a ）×（﹣1）n ﹣1＞0，n=2k （k ∈N *）时，可得：1﹣（4﹣a ）＞0，解得a ＞3． n=2k+1（k ∈N *）时，可得：1+（4﹣a ）＞0，解得a ＜5． ∴3＜a ＜5，a ≠4．由a 1＜a 2可得：a ＜16﹣2a ，解得，综上可得：3＜a ＜5，a ≠4．②a=4时，a 1=4，a 2=8，由a n+1﹣4（n+1）=﹣（a n ﹣4n ），可得：a n =4n ，a n+1=4（n+1）对任意n ∈N +，a n ＜a n+1恒成立．综上①②可得：3＜a ＜5． ∴a 的取值范围是（3，5）．故答案为：（3，5）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，bsinCcosA ﹣4csinAcosB=0．（1）求证：tanB=4tanA ；（2）若tan （A+B ）=﹣3，c=3，b=5，求a 的值．【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理和正弦函数的性质化简已知的等式，由商的关系即可证明；（2）由题意和两角和的正切公式列出方程，结合（1）和A 是锐角求出tanA 的值，由同角三角函数的基本关系求出cosA ，由余弦定理求出a 的值．【解答】证明：（1）由bsinCcosA ﹣4csinAcosB=0得， bsinCcosA=4csinAcosB ，…由正弦定理得，sinBsinCcosA=4sinCsinAcosB ，又sinC ≠0，则sinB •cosA=4sinA •cosB …所以，即tanB=4tanA ；解：（2）因为tan （A+B ）=﹣3，所以，由（1）得，，解得tanA=或tanA=，又A 为锐角，则，所以，解得…由余弦定理得，a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=，即…18．已知公比小于1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2（1﹣S n+1），若，求n ．【考点】数列的求和．【分析】（1）设出公比，利用已知条件求出公比，然后求解数列的通项公式．（2）求出数列的和，推出通项公式，化简所求表达式．利用裂项求和求解即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ， ∵7a 2=2S 3，∴5a 2=2a 1+2a 3，…则2q 2﹣5q+2=0，解得或q=2（舍去），…故…（2）∵，…∴b n =log 2（1﹣S n+1）=﹣n ﹣1，…∴，…，…由，得n=20…19．已知函数f （x ）=cos2x+4sinx ）．（1）将函数f （2x ）的图象向右平移个单位得到函数g （x ）的图象，若，求函数g （x ）的值域；（2）已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足b=2，f （A ）=+1， a=2bsinA ，B ∈（0，），求△ABC 的面积．【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；正弦定理．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f （x ）的解析式，可得f （2x ）的解析式，再根据y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律求得g （2x ）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g （x ）的值域．（2）由条件利用正弦定理，求得a 的值，可得△ABC 的面积．【解答】解：（1）∵==cos2x+2sinx+2sin 2x=cos 2x ﹣sin 2x+2sinx+2sin 2x=1+2sinx ，∴函数f （2x ）=1+2sin2x 的图象向右平移个单位得到函数g （x ）=1+2sin2（x ﹣）=1+2sin （2x ﹣）的图象，∵，∴，当时，g （x ）min =0；当时，g （x ）max =3，所求值域为[0，3]．（2）由已知及正弦定理得：，∴，∵，∴，由得．又，∴，由正弦定理得：，∴．20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且对任意正整数n ，满足2a n+1+S n ﹣2=0．（1）求数列{a n }的通项公式．（2）设b n =na n 2，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用已知条件求出数列的递推关系式，判断{a n }是以首项a 1=1，公比的等比数列，求解即可．（2）化简新数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为2a n+1+S n ﹣2=0，所以，当n ≥2时，2a n +S n ﹣1﹣2=0，…两式相减得2a n+1﹣2a n +S n ﹣1﹣2=0，即…又当n=1时，2a 2+S 1﹣2=2a 2+a 1﹣2=0，所以，…所以{a n }是以首项a 1=1，公比的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为…（2）由（1）知，，…则，①，②…②﹣①得，…=，…所以，数列{b n }的前n 项和为…21．设p ：函数f （x ）=x 3e 3ax 在区间（0，2]上单调递增；q ：函数g （x ）=ax ﹣+2lnx 在其定义域上存在极值．（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）若p为真命题，则f'（x）=3x2e3ax（1+ax）≥0对x∈（0，2]恒成立，解得实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则命题p与q一真一假，进而可得实数a 的取值范围．【解答】解：（1）因为f'（x）=3x2e3ax+3ax3e3ax=3x2e3ax（1+ax），所以f'（x）=3x2e3ax（1+ax）≥0对x∈（0，2]恒成立，…因为3x2e3ax＞0，所以1+ax≥0对x∈（0，2]恒成立，…所以，即a的取值范围为…（2）对于，…若a≥0，g'（x）＞0，g（x）在定义域内单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意；…若a＜0，则，由△=4﹣4a2＞0，解得﹣1＜a＜0．所以，若q为真命题，则﹣1＜a＜0，…因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以命题p与q一真一假，①p真q假时，，解得a≥0，②p假q真时，，解得综上所述，a的取值范围为…22．已知函数f（x）=x2+2ax+alnx，a≤0．（1）若当a=﹣2时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）＞（2e+1）a，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，判断函数的单调性，求出函数f（x）的最小值，分离参数a，从而求出a的范围．【解答】解：（1）由题意得x∈（0，+∞），当a=﹣2时，，…∴当时，f'（x ）＜0，当时，f'（x ）＞0，…∴f （x ）的单调减区间是，单调增区间是…（2）①当a=0时，f （x ）=x 2＞0，显然符合题意；②当a ＜0时，，…对于2x 2+2ax+a=0，△=4a 2﹣8a ＞0， ∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在x 0∈（0，+∞），使得，即f'（x 0）=0，…∴当0＜x ＜x 0时，f'（x ）＜0，当x ＞x 0时，f'（x ）＞0，…∴，∵，∴2x 0﹣1+2lnx ＜2e+1，即x 0+lnx 0＜e+1，由于g （x ）=x+lnx 在（0，+∞）上是增函数， ∴0＜x 0＜e …由得，设，则，∴函数在（0，e ）上单调递减，…∴…综上所述，实数a 的取值范围…。

山西2019年高三第四次四校联考-数学(理)

山西2019年高三第四次四校联考-数学（理）2018届高三第四次四校联考数学〔理〕试题〔总分值150分，考试时间120分〕【一】选择题(5×12＝60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号) 1、集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，那么=N MA 、),1[+∞-B 、]2,1[-C 、),2[+∞D 、φ2、以下说法错误的选项是．．．．．． A 、“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件 C 、假设命题2:,10p x R x x ∃∈-+=，那么2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠ D 、假设命题“p ⌝”与命题“p 或q ”基本上真命题，那么命题q 一定是真命题3、函数)20)(2sin(πϕϕ<<+=x y 图象的一条对称轴在〔π6，π3〕内，那么满足此条件的一个ϕ值为 A 、12πB 、6πC 、3πD 、65π4、一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图基本上半径为1的圆，且那个几何体是球体的一部分，那么那个几何体的表面积为 A 、3πB 、4πC 、6πD 、8π5、假设实数x ，y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数24z x y =+的最大值为 A 、10B 、12C 、13D 、146、运行下图所示框图的相应程序,假设输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,那么输出M 的值是A 、0B 、1C 、2D 、－17、数列{n a }满足)(log log 1133++∈=+N n a a n n ，且2469a a a ++=，那么15793log ()a a a ++的值是A 、15B 、15-C 、5D 、5-8、一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为34π的球体与棱柱的所有面均相切，那么那个三棱柱的表面积是 A 、36B 、312C 、318D 、3249、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 且a=1，B=45°，ABC S ∆=2，那么b 等于 A 、5B 、25C 、41D 、2510、函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ，假设曲线C 存在与直线x y 21=垂直的切线，那么实数m 的取值范围是A 、2≤mB 、2>mC 、21-≤m D 、21->m 11、假设定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =那么方程()x x f 3log =的零点个数是A 、2个B 、3个C 、4个D 、多于4个12、A B P 、、是双曲线22221x y a b -=上的不同三点，且A B 、连线通过坐标原点，假设直线PA PB 、的斜率乘积23PA PB k k ⋅=，那么该双曲线的离心率e =A、B、CD、【二】填空题:(本大题共4小题,每题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13、假设函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象过点〔2，－1〕，且函数)(x f y =的图像与函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像关于直线xy =对称，那么)(x f =、14、i 为虚数单位，那么复数i i 43105-+的虚部是、15、某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，假如甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有、 16、函数M,最小值为m,那么mM=、【三】解答题(本大题6小题,共70分,解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17、〔本小题总分值12分〕点A 〔4，0〕、B 〔0，4〕、C 〔ααsin 3,cos 3〕〔1〕假设),0(πα∈=，求α的大小；〔2〕⊥，求αααtan 12sin sin 22++的值、18、〔本小题总分值12分〕为了解甲、乙两厂的产品质量，采纳分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取12件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量〔单位：毫克〕.下表是乙厂的5件产品的测量数〔1〔2〕当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75，该产品为优等品，①用上述样本数据可能乙厂生产的优等品的数量；②从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其期望、 19、〔本小题总分值12分〕如图，长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM ∆沿AM 折起，使得平面⊥ADM 平面ABCM . 〔1〕求证：BM AD ⊥；〔2〕假设点E 是线段DB 的中点，求二面角D AM E --的余弦值.20、〔本小题总分值12分〕21,F F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且21MF MF ⋅的最大值为1，最小值为-2.〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点),(056-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为椭圆的左顶点。

2019届山西省高三第四次四校联考理综试卷

2011届四校第四次联考理综综合能力测试试题本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，共300分，考试时间150分钟第I 卷（选择题，共126分）相对原子质量： H:1 C:12 O: 16 Na ： 23 S:32 Cl : 35.5一、选择题：（本题共13小题，每小题 6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1•下列有关生物学实验的叙述，正确的是A. 将某细菌与水绵一起制成临时装片，用极细的光束照射，若发现细菌没有趋向水绵的照光部位，说明细菌已死亡B. 观察细胞减数分裂”实验可选用盛花期的豌豆花药为实验材料C 通过加热和加入酶都可以降低过氧化氢分解所需要的活化能，从而加快过氧化氢的分解D.低温诱导植物细胞染色体数目的变化”实验的基本步骤是：培养不定根一低温诱导一卡诺氏液固定一解离一漂洗一染色一制片一观察2•下图是细胞的两种增殖方式染色体行为示意图，相关叙述不正确的是A. 甲种方式姐妹染色单体分开，使子细胞都含有 P1、P2、M1、M2B. 乙种方式P1和M1、P2和M2分离，子细胞具有不同组合的染色体 C 利用甲种方式繁殖后代，有利于生物遗传性状的稳定和物种的进化 D.繁殖过程中存在乙种方式的生物，有利于种群适应环境和发展进化3•将体重和健康状况相同的若干大鼠均分为甲、乙、丙三组。

甲组通过手术切除胸腺，乙组损毁下丘脑，丙组不作处理。

在人工控制的条件下饲喂一段时间后，将它们同时移入寒冷的环境中, 接种某病毒（抗原）使之感染。

下列有关叙述正确的是A. 甲组鼠有获得性免疫缺陷，不能产生特异性免疫反应，非特异性免疫也非常弱B. 乙组鼠最先死亡是因为损毁下丘脑使机体免疫力下降不能抵抗病毒的感染C. 一段时间后，三组鼠的血糖浓度降低，体内脂肪分解并转化成糖元的速度加快A 、B 、C 、D 、E 、F 为六个物种，据图分析，正确的叙述A. A 物种进化为B 、C 两个物种的外部因素主要然选择，突变是内因D.丙组鼠分泌的淋巴因子能增强效应 T 细胞对靶细胞的杀伤作用 4•如图所示为某群岛上物种演化的模型,B. B物种迁到乙岛时与C物种之间只存在地理隔存在生殖隔离是自离，不C. D物种与C物种之间最可能是捕食关系D. E、F两物种之间是经过长期地理隔离而形成生殖隔离5. 右图为动物体内一神经肌肉接点的结构示意图，下列结构的一些说法中，正确的是①图中a为神经元细胞的树突②e内为组织液，当其中的Na+含量过低时容易导致肌正常收缩③b中的物质释放到e需要消耗能量并依赖于c的流动④d处的膜面积增大，有利于膜上的载体蛋白对递质的A. ①③B.②③C.②④D. ③④6. 下列有关稳态与环境的叙述，正确的有①样方法和标志重捕法分别是调查群落中植物和动物丰富度的常用方法②生长素类似物是人工合成的化学物质，不属于植物生长调节剂③短期记忆可能与新突触的建立有关④建立自然保护区能够提高K值，是保护大熊猫的有效措施⑤“建立血糖调节的模型”实验中，模拟活动本身就是在构建动态的物理模型之后，再根据活动中的体会构建概念模型⑥长跑后肌肉酸痛是因为运动过程中骨骼肌细胞只进行无氧呼吸，积累了大量酸性物质所致A.④B.④⑤C.①③④D.②③⑤⑥7 .下列措施有利于节能减排、改善环境质量的有① 在大亚湾核电站已安全运行多年的基础上，广东将继续发展核电，以减少火力发电带来的二氧化硫和二氧化碳排放问题②积极推行限塑令”加快研发利用二氧化碳合成的聚碳酸酯类可降解塑料③加速建设地铁、轻轨等轨道交通，促进珠三角城市一体化发展，减少汽车尾气排放④日本核泄漏产生的污染物之一放射性碘131 ( 13153l)原子和碘127 ( 12753I )原子属于同素异形体⑤使用生物酶降解生活废水中的有机物，使用填埋法处理未经分类的生活垃圾A.①②③B.①②④⑤C.①②④⑤D.③④⑤有关该肉不能性吸收8.某课外实验小组设计的下列实验合理的是9 .下列关于有机物的说法正确的是A. 乙烯和苯都能使溴水褪色，褪色的原理相同B. 淀粉、蛋白质完全水解的产物互为同分异构体C. 石油裂解和油脂皂化都有高分子生成小分子的过程D.乙醇、乙酸、乙酸乙酯都能发生取代反应，且乙酸乙酯中的少量乙酸可用饱和N&CQ 溶液除去10. 某有机物的结构简式：观附奇⑵阿。

2019届山西省五地市高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)

2019届山西省五地市高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题 1．若复数z 满足221zi =+（）1﹣i ，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】直接计算复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．【详解】由题意可知，212zi i=-， (1)1z i i i ∴=-=+，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，∴复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选：A ．【点睛】本题考查了复数的代数形式的运算及其几何意义，是基础题．2．已知集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣3≤0}，N ＝{x ||x |（x ﹣2）＞0}，全集U ＝R ，则下列关于集合M ，N 叙述正确的是（） A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝NC ．（∁U M ）∩N ＝∅D ．N ⊆（∁U M ）【答案】D【解析】可以求出集合M ，N ，然后进行交集、并集和补集的运算，从而判断出每个选项的正误．【详解】Q 3{|1},{|2}2M x xN x x =-=>剟，U =R ， {|1U C M x x ∴=<-或3}2x >∴3,|12M N M N x x x ⎧⎫=∅=-≤≤>⎨⎬⎩⎭I U 或2，(){|2}U M N x x N =>=I ð，()U N M ⊆ð．故选：D ．【点睛】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的混合运算，子集、空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．3．双曲线2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的一个顶点到一条浙近线的距离等于243a c，则双曲线的离心率为（） A ．54BC ．53D【答案】C【解析】先求解双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式，可求离心率. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为by x a=±，不妨设一个顶点为(,0)a ，243c a =，22222169b a b a c =+，因为222b c a =-，代入解得53e =. 故答案为：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据题意构建,,a b c 的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知等差数列{a n }，a 1＝2，若a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列，则S 10＝（） A ．852B ．132C ．﹣70或852D ．﹣16或132【答案】A【解析】先a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列求出等差数列的公差，结合求和公式可得. 【详解】设等差数列的公差为d ，因为a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列，所以()()231628a a a +=+，()()2242510d d +=+，解得12d =或2d =-，当2d =-时，320a +=与等比数列不符，舍去；当12d =时，10109185102222S ⨯=⨯+⨯=；故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合，等差数列的求和的关键是确定基本量，侧重考查数学运算的核心素养.5．已知实数,x y 满足约束条件121x y x y y a +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数3z x y =-的最大值为2，则a的值为（） A ．-1 B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由约束条件作出可行域如图所示，其中(1,)A a a --，1(,)2a B a +，(0,1)C -，目标函数3z x y =-可化为3y x z =-，当直线过点B 时z 最大，所以3(1)22a a +-=，解得1a =，故选:C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A【解析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系．【详解】解：因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1，∴c ＜a ＜b ．故选A ．【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．1433B ．1333C ．43D ．33【答案】C【解析】先通过三视图还原几何体，再利用棱锥的体积公式求解. 【详解】根据三视图可知，该几何体可由一个大正四棱锥挖去一个小正四棱锥而得，如图所示，2233332⎛⎫-=⎪⎝⎭几何体的体积为22132133314333⨯-⨯= 故选C. 【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的体积，一般步骤是根据三视图还原出原几何体的形状，得出几何体中各量的大小，再求几何体的体积. 注意三视图中正视图与侧视图能够反映几何体的高.8．函数f （x ）101101x x -=+（）lgx 2的图象大致为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】结合所给函数的性质及特殊值可求. 【详解】因为()22()101110()()lg ()lg 101110x x x xf x f x x x --+==----=-+，所以()f x 为奇函数，排除选项C ；当10x =时，(10)2f ≈，排除选项D ；当0.1x =时，(0.1)0f ≈，排除选项A. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数性质结合特殊值是常用求解方法，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养. 9．已知角α4π+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），则sin 2α等于（） A ．19B ．79-C ．23-D ．13【答案】B【解析】先根据三角函数的定义求解sin()4πα+，然后利用倍角公式可得.【详解】因为角4πα+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），所以1sin()43πα+=，即2sin cos αα+=，212sin cos 9αα+=，所以7sin 29α=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，熟记倍角公式和基本关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-【答案】D【解析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案．【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-．故选：D ．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题．11．已知抛物线()2:80C y ax a =>的焦点F 与双曲线()22:102x y D a a a-=>+的焦点重合，过点F 的直线与抛物线C 交于点,A B ，则2AF BF +的最小值为（） A．3+B．6+C ．7D ．10【答案】B【解析】由双曲线方程求出焦点坐标，设AB 的方程为：2x my =+，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合基本不等式求||2||AF BF +的最小值．【详解】由题意得，2a =1a =，则(2,0)F ，设AB 的方程为：2x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，得28160y my --=．设211(,)8y A y ，22(8y B ，2)y ，则1216y y =-． 222212122||2||22(2)6888y y y y AF BF +∴+=+++=+66+=+…当且仅当22122y y =，即12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质、考查直线与抛物线位置关系的应用、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．12．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 是线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列命题：①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ③点M 的运动轨迹是一个圆； ④存在某个位置，使得MB ⊥面A 1DE . 正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】利用翻折过程中的不变关系进行逐个验证. 【详解】取CD 的中点F ，连接,MF BF ，则1//,//MF A D BF DE ，所以平面//BMF 平面1A DE ，所以//MB 平面1A DE ，故④不正确；不妨设2AB a =，因为11=A D A E ，所以14A DE MFB π∠=∠=，11=22aMF A D =是定值，=2BF DE a =也是定值，由余弦定理可知MB 也是定值，故①正确，③不正确，因为M 在以B 为球心的球面上；由题意可得=2DE CE a =，2CD a =，所以222CD DE CE =+，即DE CE ⊥;若②成立，可得DE ⊥平面1A EC ，此时1DE A E ⊥，矛盾，故②不成立；故选：A.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，翻折问题的处理要明确，翻折过程中哪些量发生变化是关键，侧重考查直观想象的核心素养.二、填空题13．已知向量a =r （x ，2），b =r （﹣2，1），若a r 与2a b -r r 共线，则b a=r r _____. 【答案】12. 【解析】根据平面向量共线定理列方程求出x 的值，再计算||||b a r r 的值．【详解】向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，则2(22,3)a b x -=+rr ，又a r与2a b -rr共线，所以32(22)0x x -+=，4x =-，所以2a b =r r ，即12b a =r r ，所以||1||2b a =rr ．故答案为：12．【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．14．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项和为S n ，且S 2＝6，S 4＝30，数列{b n }满足b n ＝log 2a n 2﹣1，则数列{11n n b b +}前n 项和T n ＝_____.【答案】21nn +. 【解析】先根据S 2＝6，S 4＝30，求出n a ，然后可求n b ，利用裂项求和可得n T . 【详解】因为S 2＝6，S 4＝30，所以234422124a a S S q S a a +-===+，因为0q >，所以2q =；由2121(1)6S a a a q =+=+=得12a =，所以2nn a =；22log 121n n b a n =-=-，()()111111()212122121n n b b n n n n +==--+-+，所以11111111(1)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++L . 故答案为：21nn +. 【点睛】本题主要考查数列的求和，求和问题一般是根据通项公式的特点选择合适的求和方法，侧重考查数学运算的核心素养.15．一个五位自然数12345a a a a a 数称为“跳跃数”，如果同时有12233445a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＜＜＞或12233445a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＜＞＜（例如13284，40329都是“跳跃数”，而12345，54371，94333都不是“跳跃数”），则由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，4不相邻的“跳跃数”共有_____个. 【答案】14【解析】根据1，4不相邻及“跳跃数”的特点分类进行求解. 【详解】若为“M ”型：①第二位和第四位是4、5时，4、5的排法有2种，则1只有1种排法，2、3安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数； ②第二位和第四位是3、5时，3、5的排法有2种，则4只有1种排法，1、2安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数；若为“W ”型：③第二位和第四位是1、2时，1、2的排法有2种，则4只有1种排法，3、5安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数；④第二位和第四位是1、3时，1、3的排法有2种，此时只有2个跳跃数；则一共有4+4+4+2＝14个跳跃数；故答案为：14. 【点睛】本题主要考查排列问题，限制条件较多的排列问题一般是先分类再分步处理，注意要优先考虑特殊元素和特殊位置，侧重考查逻辑推理的核心素养.三、解答题16．已知函数()xae f x x =，[]1,2x ∈，且[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x <--恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】24e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】先由()()12121f x f x x x <--恒成立，得到()()1122120---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦<-f x x f x x x x 恒成立，令()()g x f x x =-，得到()()12120g x g x x x -<-在[]1,2x ∈上恒成立，所以函数()()g x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，对函数求导，得到()2110--≤x ae x x在[]1,2x ∈上恒成立，推出()21≤-x x a x e 在(]1,2x ∈上恒成立，令()2()1=-x x h x x e，用导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果. 【详解】因为[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x <--恒成立，即()()121210--<-f x f x x x 恒成立，即()()1122120---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦<-f x x f x x x x 恒成立，令()()g x f x x =-，则()()12120g x g x x x -<-在[]1,2x ∈上恒成立，即函数()()g x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，又()221()()111--''=-=-=-x x xae x axe ae g x f x x x，因此()2110--≤x ae x x在[]1,2x ∈上恒成立，当1x =时，不等式可化为10-≤显然成立；当(]1,2x ∈时，不等式()2110--≤x ae x x 可化为()21≤-x x a x e ，令()2()1=-x x h x x e，则()()()()23322222222(1)22()0111--+---+-'===<---x xxxxx x x x x e x e x x xh x x ex ex e在区间(]1,2x ∈上恒成立，所以函数()2()1=-x x h x x e 在区间(]1,2x ∈上单调递减，因此min 24()(2)==h x h e ，所以24≤a e ，即实数a 的取值范围是24e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，. 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.17．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，cos cos 0c A C +=，3tan(20192)4A π+=. （1）求tan C 的值；（2）若C 为钝角且c =△ABC 的周长的取值范围. 【答案】（1）（2）（2【解析】（1）先根据条件求解tan A ，然后结合正弦定理可得tan C ；（2）求解角C ，结合正弦定理表示出三角形的周长，结合角的范围可得周长的取值范围. 【详解】（1）因为3tan(20192)4A π+=，所以22tan 3tan 21tan 4A A A ==-.A ∈（0，π）.解得1tan 3A =或tan 3A =-. 因为cos 33cos 0c A a C +=，所以sin cos 33sin cos 0C A A C +=，所以tan 33tan 3C A =-=-或93.（2）若C 为钝角，所以tan 3C =-，C ∈（0，π）. 所以23C π=. 又3c =，所以A +B 3π=，322sin sin sin 3a b A B π===. 所以2sin ,2sin a A b B ==.△ABC 的周长＝2sin 2sin 3A B ++2sin 2sin()33A A π=+-+2sin()33A π=++A ∈（0，3π），A 3π+∈（3π，23π），所以3sin()(,1]3A π+∈. 所以△ABC 的周长的范围为(23,23]+. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理求解三角形，三角形中的范围问题一般是转换为角的表达式，然后根据角的范围求解，侧重考查数学运算的核心素养.18．如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，FB ∥AE 且FB ＝2EA ．（1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ；（2）求二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）155-【解析】（1）先证明AB ⊥平面BCF ，然后可得平面EFD ⊥平面ABFE ；（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，然后利用向量的夹角公式可求. 【详解】（1）由题可得，因为ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形，所以BC ∥AD ，BC ＝AD ，FB ＝BC 且∠FBC ＝60°，又因为EA ∥FB ，2EA ＝FB ，所以∠EAD ＝60°，在三角形EAD 中，根据余弦定理可得：ED ⊥AE.因为平面ABCD ⊥平面FBC ，AB ⊥BC ，平面ABCD ∩平面FBC ＝BC ，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ，因为BC ∥AD, E A ∥FB ，FB ∩BC ＝B ，且FB 、BC ⊆平面FCB ，EA 、AD ⊆平面EAD ，所以平面EAD ∥平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ，又因为ED ⊆平面EAD ，所以AB ⊥ED ，综上：ED ⊥AE ，ED ⊥AB ，EA ∩AB ＝A 且EA 、AB ⊆平面ABFE ，所以DE ⊥平面ABFE ，又DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE.（2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ，因为BO ＝OC 且三角形FBC 为正三角形，所以FO ⊥BC ，因为AG ＝GD ，BO ＝OC ，所以OG ∥AB ，由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ，故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝4，则(()0023200F C -，，，，，，()(240143D E ---，，，，，设平面DEF 的法向量为()111n x y z =r ，，，平面DCF 的法向量为()222m x y z =u r，，，则00DF n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v⇒1111124030x y x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩⇒(11n =r，，，则00DF m DC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u uv r⇒222224040x y y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩⇒)1m =-ur ，，所以cos 5n m n m n m ⋅===r u rr u r r u r ，又二面角E ﹣FD ﹣C 是钝二面角，所以二面角E ﹣FD ﹣C的余弦值为. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明及二面角的求解，空间向量是求解二面角的最有效工具，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养.19．2022年北京冬季奥运会即第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4至2月20日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学学生中抽取了120人进行调查，经统计男生与女生的人数之比为11：13，男生中有30人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人表示对冰壶运动没有兴趣.（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰壶有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望和方差.附：参考公式22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（）（）（）（）（），其中n ＝a +b +c +d.临界值表：【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”（2）详见解析【解析】（1）先根据比例关系求解男女同学的人数，完成表格，求解观测值得出结论；（2）根据二项分布的特点求解分布列和期望、方差.【详解】（1）因为男生与女生的人数之比为11：13，且总人数为120，所以男生共有55人，女生共有65人；表格如下：根据表格求出K22120301525509606.713 6.63555654080143⨯-⨯==≈⨯⨯⨯（）＞，故有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”.（2）由列表可知，对冰壶有兴趣的学生频率为8021203=，将其视为概率，由题意X～B（5，2），E（X）＝np210533=⨯=，D（x）＝npq21105339=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查独立性检验和随机变量的分布列、期望和方差，利用特殊分布的公式能简化求解过程，侧重考查数据处理的核心素养.20．已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率e 2=，且点P ，1）在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，点M （s ，t ）（t ＞0）是椭圆C 上的动点，直线AM 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，EF ⊥DF ，EA 与椭圆C 交于点G ，若△AMG 的面积为，求直线AM 的方程.【答案】（1）22142x y +=（2）x ﹣2＝0【解析】（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，可以求解方程；（2）设出直线方程，联立方程组，结合三角形的面积为可得直线斜率，从而可得方程. 【详解】（1）由题意得e 2c a ==，22211a b +=，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程：22142x y +=.（2）由（1）得左焦点F （0），A （2，0），设直线AM ：y ＝k （x ﹣2），由题意得D （0，﹣2k ），∴k DF==，∵EF ⊥DF ，∴k EF=∴直线EF 的方程：x = 令x ＝0，则y 1k=，所以点E （0，1k ），所以k EA 1122kk==--，所以直线EA ：x ＝﹣2ky +2，联立与椭圆的方程整理得：∴y 22842412k kk k ==++，x 222412k k-=+，所以点G （222412k k -+，2412k k +）；联立直线AM 与椭圆的方程整理得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣4＝0，解得：x 1＝2，x 2224212k k-=+，∴y 22412k k =-+，所以点M （224212k k -+，2412k k -+），所以点M ，G 关于原点对称，即直线MG 过原点，∴S △AMG 12OA =⋅⋅2|y M |22881221212k k k k =⋅⋅=++，由题意得：2812k k=+，解得：k =，由点M （s ，t ）（t ＞0）得，k 2=-AM 为：y 2=-（x ﹣2），即直线AM ：x +﹣2＝0.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，明确三角形面积的转换方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 21．已知2()e ,()e ax x f x x g x ==.（1）若()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a ≥；（2）(0,1).【解析】（1）利用等价转化，求解2ln x xy x+=的最大值即可；（2）把()()f x g x =的解的情况等价转化为2ln x xa x+=有两解，结合图象变化趋势可求. 【详解】（1）因为2()e ,()e ax x f x x g x ==.若x ≤0时，f （x ）≤0，g （x ）＞0，f （x ）≤g （x ）恒成立；若x ＞0，f （x ）≤g （x ）恒成立等价为2e e x ax x ≤，即2ln x x x a +≤，即有max 2ln ()x xa x+≥，设2ln ()x x h x x +=， 312ln ()x xh x x--'=，令2()12ln ,()10u x x x u x x'=--=--<，可得()u x 在x ＞0递减，当x ＞1时，()(1)0u x u <=，即()0h x '<，()h x 在x ＞1递减；当0＜x ＜1时，()(1)0u x u >=，即()0h x '>，()h x 在0＜x ＜1递增，则()h x 在x ＝1处取得极大值，且为最大值1，max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥.（2）若x ≤0时，()0,()0f x g x ≤>，()()f x g x =无解；当x ＞0时，()()f x g x =恒成立等价为2e e x x a x =，即2ln x x x a +=，即有2ln x xa x +=有两解，设2ln ()x xh x x +=，由（1）可知()h x 在x ＝1处取得极大值，且为最大值1，max ()(1)1h x h ==，且x →+∞，()0h x →，当,()x h x →-∞→-∞，可得0＜a ＜1时，关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的解，故a 的范围是(0,1). 【点睛】本题主要考查恒成立问题及利用导数研究函数的性质，恒成立问题一般转化为最值问题，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.22．在平面直角坐标系xOy 中.直线1的参数方程为112x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ. （1）若曲线C 关于直线l 对称，求a 的值；（2）若A 、B 为曲线C 上两点.且∠AOB 3π=，求|OA |+|OB |的最大值.【答案】（1）a ＝0（2）【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及极径的应用求出结果．【详解】（1）直线1的参数方程为112x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.转换为直角坐标方程为x 10--=.曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，整理得ρ2＝2ρcosθ，转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝2x ，转换为（x ﹣1）2+y 2＝1.由于曲线关于直线l 对称，所以圆心（1，0）在直线l 上，故a ＝0.（2）由点A 、B 在圆ρ＝2cosθ上，且∠AOB 3π=，所以设∠AOx ＝α，02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，3BOx π∠α=-，则：|OA |+|OB |＝2cos 233cosππααα+-=+≤（）（），当且仅当6πα=时，等号成立.故OA |+|OB |的最大值为【点睛】本题主要考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +2|. （1）若a ＝1.解不等式f （x ）≤x 2﹣1；（2）若a ＞0，b ＞0，c ＞0.且f （x ）的最小值为4﹣b ﹣c .求证：112a b c+≥+. 【答案】（1）{x |x ≤﹣2或x≥1（2）证明见解析【解析】（1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可；（2）求出()f x 的最小值，得到2a b c ++=，利用柯西不等式证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|+|x +2|212321211x x x x x --≤-⎧⎪=-⎨⎪+≥⎩，，＜＜，，当x ≤﹣2时，﹣2x ﹣1≤x 2﹣1，得x 2+2x ≥0，所以x ≤﹣2；当﹣2＜x ＜1时，3≤x 2﹣1，得x 2≥4，无解当x≥1时，由2x+1≤x2﹣1，得x2﹣2x﹣2≥0，得x≥1综上，不等式的解集为{x|x≤﹣2或x≥1；（2）证明：因为f（x）＝|x﹣a|+|x+2|≥|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|＝a+2＝4﹣b﹣c，得a+b+c＝2，所以11a b c+=+21111(1122a b ca b c+++≥+=+)[(）]（）2，当且仅当a+b＝c＝1时成立，故原命题得证.【点睛】考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．第 21 页共 21 页。

2019届山西省太原市第五中学高三下学期阶段性检测(4月)数学(理)试题解析

绝密★启用前2019届山西省太原市第五中学高三下学期阶段性检测（4月）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{|250}x xA x =-<，集合(){}2lg 2B x y x x ==--，则集合A B =U （）A ．(,1)(2,)-∞-+∞UB ．(2,)+∞C ．(2,)+∞ D ．(,1)(0,)-∞-+∞U答案：D求解出指数不等式250x x -<的解集作为A ，对数型函数()2lg 2y x x =--的定义域作为集合B ，由此求解出A B U 的结果. 解析：因为25x x <，所以215x⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()0,x ∈+∞，所以()0,A =+∞，又因为220x x -->，所以()(),12,x ∈-∞-+∞U ，所以()(),12,B =-∞-⋃+∞，所以()(),10,A B =-∞-+∞U U . 故选：C. 点评：本题考查利用指数函数单调性解不等式、对数型函数的定义域、集合的交集运算，难度较易.对数型函数求解定义域注意利用对数式的真数大于零去求解. 2．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．24,p pD ．34,p p答案：C 因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.3．下列函数中，与函数||3x y =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（） A ．1||y x =- B ．33x x y -=-C ．0.5log y x =D ．sin ||y x =答案：C先分析||3x y =-的奇偶性以及在(),0-∞上的单调性，由此根据选项再逐项判断即可.解析：因为()||3x y f x ==-的定义域为R 关于原点对称，且()()33xxf x f x --=-=-=，所以()f x 是偶函数，当()0,x ∈+∞时，()3xf x =-为减函数；A ．因为()1||y f x x ==-的定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，且()()11f x f x x x-=-=-=-，所以()f x 是偶函数，当()0,x ∈+∞时，()1f x x=-为增函数，不符合； B ．因为()33xxy f x -==-的定义域为R 关于原点对称，且()()()3333x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，不符合；C ．因为()0.5log y f x x ==的定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，且()()0.50.5log log f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数，当()0,x ∈+∞时，()0.5log f x x =为减函数，符合； D ．因为()sin ||y f x x ==的定义域为R 关于原点对称，且()()sin sin f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数，且()0,x ∈+∞是，()sin f x x =，此时()f x 不是单调减函数，不符合. 故选：C. 点评：本题考查根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，难度一般.注意分析函数的奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称. 4．设11452797,,log 979a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．b a c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<答案：B由题意可得1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，157()9b -=，所以构造函数7f x)9x⎛⎫= ⎪⎝⎭（，由于f(x)是R 上的单调递减函数，11045-<-<,所以a>b>1,227log log 109c =<=,0c <,所以选B.5．在等比数列{}n a 中，“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A根据“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”与“81a =-”的互相推出情况，判断出是何种条件. 解析：因为4124123,1a a a a +=-=，所以4120,0a a <<，所以等比数列中4840a a q =<，所以81a ==-；又因为在常数列1n a =-中，81a =-，但是412,a a 不是所给方程的两根．所以在等比数列{}n a 中，“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的充分不必要条件. 故选：A. 点评：本题考查数列与充分、必要条件的综合应用，难度一般.在等比数列{}n a 中，若()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.6．若(12)n x x -的展开式中3x 的系数为80，其中n 为正整数，则(12)nx x-的展开式中各项系数的绝对值之和为（） A ．32 B ．81C ．243D ．256答案：C由题意得44(2)805n C n -=∴=，()12nx x-的展开式中各项系数的绝对值之和为5(12)2431+=，选C.7．若tan()74πα+=，则2cos 2sin 2αα+=（）A ．6425 B ．4825C ．1D ．1625答案：A先计算出tan α的值，然后构造齐次式，将分子分母同除以2cos α即可计算出结果. 解析：因为tan()74πα+=，所以tan 171tan A A +=-，所以3tan 4α=，又222222314cos 4sin cos 14tan 644cos 2sin 2sin cos tan 125314ααααααααα+⨯+++====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以264cos 2sin 225αα+=. 故选：A. 点评：本题考查两角和的正切公式与同角三角函数的基本关系的综合应用，难度一般.已知tan α，求解22sin cos m n αα+的值，可变形为求解222222sin cos tan sin cos tan 1m n m n αααααα++=++的结果；求解sin cos sin cos n n n na b c d αααα++的值，可变形为求解tan tan n n a b c dαα++的结果.8．已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝222x x -B ．f (x )＝2cos xx C ．f (x )＝－2cos xxD ．f (x )＝cos xx答案：D由函数的图象可知函数是奇函数，排除2cosxf x x =（）， x π=时，2222022x f x x ππ--==（）＜， 210cos f x πππ==（）＞，不满足题意；10cos f x πππ==-（）＜，因为cosx f x x =（）是奇函数2x π=±，时，20xsinx cosx f x f x x--='=（），（）所以函数的解析式可能是D ．22122x xf x x x -==-（），函数是奇函数，零点为：2x =± ，当0202x f x x ∈（，），（）＞，＞时，0f x （）＜，当x →+∞ 时，y →-∞ ，所以排除A ，故选D ．9．若x ，y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-答案：D试题分析：作出不等式组20{200x y kx y y +-≥-+≥≥，所表示的平面区域，如下图：由图可知：由于直线20kx y -+=过定点(0,2)，只需它还过点(4,0)即可，4020k ∴-+=，解得：12k =-．故选D ．【考点】线性规划．10．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．33B ．23C ．22D ．1答案：C试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：02000223222263OM y k y p y pp y p ==≤=++，当且仅当22002,2y p y p ==时取等号，故选C ．【考点】1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．11．已知点、、分别是正方体的棱、、的中点，点、、、分别在线段、、、上，则以、、、为顶点的三棱锥的俯视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：C 试题分析：当重合、重合、重合、重合时，三棱锥的俯视图为;当是所在线段的中点时，三棱锥的俯视图为;当是所在线段的非端点位置，而重合时，三棱锥的俯视图为,故选【考点】1.三视图；2.几何体的特征. 12．关于函数2()ln f x x x=+,下列说法正确的是（）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(4)C ．(2)(3)D ．(3)(4)答案：B依次判断各个选项：（1）利用导数与极值的关系可知2x =是()f x 的极小值点，则（1）错误；（2）利用导数研究()y f x x =-的单调性，结合零点存在定理判断可知（2）正确；（3）采用分离变量的方式，通过求解()22ln x xg x x+=的单调性和极限，可判断出0k ≤，则（3）错误；（4）构造函数()()()22x f x f x μ=--+，通过导数可求得()0x μ<，从而可确定22x x =-时，12x x >+，从而证得结论，知（4）正确.解析：（1）()22212x f x x x x-'=-+= 当()0,2x ∈时，()0f x '<，此时()f x 单调递减当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增可知2x =是()f x 的极小值点，可知（1）错误（2）()2221x x y f x x-+-''=-= 220x x -+-<Q 0y '∴<，即()y f x x =-在()0,∞+上单调递减又()112110f -=-=>；()22ln 10f e e e e e e=+-=+-< 则()01,x e ∃∈，使得()000y f x x =-=由函数单调性可知()y f x x =-有且只有1个零点，可知（2）正确（3）若()f x kx >在()0,x ∈+∞上恒成立，则()22ln 2ln x f x x x x k x x x ++<==令()22ln x x g x x +=，则()3ln 4x x x g x x --'= 令()ln 4h x x x x =--，则()1ln 1ln h x x x '=--=-()0,1x ∴∈时，()0h x '>；()1,x ∈+∞时，()0h x '< ()()11ln1430h x h ∴≤=--=-< ()0g x ∴'<即()g x 在()0,∞+上单调递减又0x →时，()0g x → 0k ∴≤∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，可知（3）错误（4）由（1）可知，()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增令()()()24222ln 42x xx f x f x x xμ+=--+=+--，()0,2x ∈ 则()()()()()()()()22222222222444222241648242444x x xx x x x x x x x x xx x μ--⋅-++---'=+⋅=+=-+-----()0x μ'∴<，即()x μ在()0,2上单调递减 ()()00x μμ∴<=即()()22f x f x -<+12x x >Q ，令22x x =-，由()()12f x f x =，即()()120f x f x -=12x x ∴>+124x x ∴+>，可知（4）正确综上所述，说法正确的为：（2）（4）本题正确选项：B 点评：本题考查导数在函数中的应用问题，涉及到求解函数单调性和极值、判断函数零点个数、恒成立问题的求解和零点偏移的问题.关键是能够根据求解内容的不同，构造出不同的函数，通过函数的最值、单调性来进行综合判断.本题对于学生导数运算能力和分析能力要求较高，属于难题.二、填空题13．已知非零向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r r ，向量,a b r r 的夹角为120o，且||2||b a =r r ，则向量a r 与c r的夹角为．答案：90︒ 试题分析：由a b c ++=r r r r 可得2()||||cos120a c b a a c a b a a c a b +=-⇒⋅+=-⋅⇒+⋅=-⋅︒r r r r r r r r r r r r r221||||2||()||02a a c a a a a c ⇒+⋅=-⨯⨯-=⇒⋅=r r r r r r r r ，因为,a c r r 为非零向量，所以a c ⊥r r ，即,90a c <>=︒r r.【考点】1.平面向量的数量积；2.两向量垂直的条件.14．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆(()2211x y +-=相切，则此双曲线的离心率为___．答案：2求出双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程：b y x a =±，利用渐近线与圆(()2211x y +-=相切列方程即可求解。

山西省太原市第五中学2019届高三数学下学期阶段性检测(4月)试题文(含解析)

山西省太原市第五中学2019届高三数学下学期阶段性检测（4月）试题文（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项)1.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即，故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2.下面关于复数的四个命题：的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为的虚部为-1其中的真命题是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，则：，命题为假命题；，其在复平面内对应的点的坐标为命题为真命题；的虚部为，命题为假命题；，命题为真命题；综上可得：真命题是.本题选择C选项.3.阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（）A. 计算数列的前10项和B. 计算数列的前9项和C. 计算数列的前10项和D. 计算数列的前9项和【答案】B【解析】框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=1；判断i＞9不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判断i＞9不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判断i＞9不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判断i＞9不成立，执行S=1+2+22+…+28，i=9+1=10；判断i＞9成立，输出S=1+2+22+ (28)算法结束．故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4.若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治，历史，物理，化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：两人选课的方案有种，满足他们选择的两门功课都不相同的事件有种，由古典概型公式可得：他们选择的两门功课都不相同的概率为 .本题选择A选项.5.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】∵点在幂函数的图象上，∴,解得,∴,且在上单调递增, 又,∴,故选A. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面侧棱长为1的直三棱柱的外接球，再由正弦定理易得底面三角形的外接圆半径，球心到底面的距离，故球半径，故球的表面积，故选D.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.7.若变量，满足约束条件，且最小值为7，则的值为（）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类讨论可得最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求得a值．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组求得A（2，1），B（4，5），C（1，2），化目标函数z＝ax+3y为y．当a＞0时，由图可知，当直线y过A或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3＝7，解得a＝2；若过C，则a+6＝7，解得a＝1不合题意．当a＜0时，由图可知，当直线y过A或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值．若过A，则2a+3＝7，解得a＝2，不合题意；若过B，则4a+15＝7，解得a＝﹣2，不合题意．∴a的值为2．故选：B．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与分类讨论的数学思想方法，是中档题．8.已知函数，则A. 在（0，2）单调递增B. 在（0，2）单调递减C. 的图像关于直线x=1对称D. 的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D 错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．9.函数图象的大致形状是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，故选B．考点：函数的奇偶性及函数的图象．10.若双曲线上存在一点P满足以为边长正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由条件，，又P为双曲线上一点，从而，∴，∴，又∵，∴．考点：双曲线的离心率．11.已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线：平行D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和的值，写出f（x）的解析式，求出f′（x），写出g（x）＝f（x）+f′（x）的解析式，再判断题目中的选项是否正确．【详解】根据函数f（x）＝A sin（ωx+）的图象知，A＝2，，∴T＝2π，ω1；根据五点法画图知，当x时，ωx+，∴，∴f（x）＝2sin（x）；∴f′（x）＝2cos（x），∴g（x）＝f（x）+f′（x）＝2sin（x）+2cos（x）＝2sin（x）＝2sin（x）；令x kπ，k∈Z，解得x kπ，k∈Z，∴函数g（x）的对称轴方程为x kπ，k∈Z，A正确；当x2kπ，k∈Z时，函数g（x）取得最大值2，B正确；g′（x）＝2cos（x），假设函数g（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得在P点处的切线与直线l：y＝3x﹣1平行，则k＝g′（x0）＝2cos（x0）＝3，解得cos（x0）1，显然不成立，所以假设错误，即C错误；方程g（x）＝2，则2sin（x）＝2，∴sin（x），∴x2kπ或x2kπ，k∈Z；∴方程的两个不同的解分别为x1，x2时，|x1﹣x2|的最小值为，D正确．故选：C．【点睛】本题考查了由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定解析式，考查了正弦型函数的性质问题，也考查了导数的几何意义的应用以及命题真假的判断问题，属于难题．12.已知函数，若函数在上无零点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．【详解】解：因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2恒成立．令l（x）＝2，x∈（0，），则l′（x），再令m（x）＝2lnx2，x∈（0，），则m′（x）0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）＝2﹣2ln2＞0，从而l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）＝2﹣4ln2，故要使a＞2恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.已知，是互相垂直的单位向量，若与夹角为30o，则的值为________．【答案】【解析】【分析】由已知可得∴，，再由与夹角为30o列式求得实数λ的值．【详解】解：∵，是互相垂直的单位向量，∴，．又与夹角为30o，（）•（），||，||．∴cos30，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量夹角得求法，是中档题．14.埃及数学家发现了一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他形如 (n＝5，7，9，…)的分数都可写成若干个单分数(分子为1的分数)和的形式，例如.我们可以这样理解：假定有2个面包，要平均分给5人，如果每人得，不够分，每人得，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．故我们可以得出形如 (n＝5，7，9，11，…)的分数的分解：，，，…，按此规律＝________．【答案】【解析】试题分析：假设有个面包，要分给个人每人分不够，每人分则余，再将分成份，每人得这样每人分得，故答案为.考点：归纳推理的应用. 15.若圆锥的内切球和外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．【答案】【解析】试题分析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．考点：圆锥的体积.16.各项均为正数的数列和满足：，，成等差数列，，，成等比数列，且，，则数列的通项公式为__________．【答案】【解析】由题设可得，代入，即，则是首项为的等差数列。

山西省太原市第五中学2019届高三数学下学期4月阶段性检测试题文201904290227

B. 0
C.1, 0
D.1, 0,1
2.下面关于复数 z 2 的四个命题： 1 i
p1 : z 2
p2 : z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点的坐标为 1, 1
p3 : z 的虚部为-1
其中的真命题是（
p4 : z2 2i
）
A. p2 , p3
B. p1, p2
极坐标方程为：
sin

4

2 t （其中 t 为常数）. 2
（1）若曲线 N 与曲线 M 有两个不同的公共点，求 t 的取值范围；（2）当 t 2 时，求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离.
23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲
设函数 f (x) 2x a 2a .
【解析】求解二次不等式可得：
由 Venn 图可知图中阴影部分为：
D.
，则
，
．本题选择 D 选项．
2．下面关于复数
的四个命题：
，命题为假命题；，其在复平面内对应的点的坐标为的虚部为，命题为假命题；
命题为真命题；
，命题为真命题；
综上可得：真命题是
.本题选择 C 选项.
3.阅读如图所示的程序框图，若输入的
20.（12 分）已知抛物线 y 2 4x ，直线 l : y 1 x b 与抛物线交于 A ， B 两点． 2
（1）若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的方程；（2）若直线 l 与 y 轴负半轴相交，求 AOB ( O 为坐标原点)面积的最大值．
21.（12 分）已知函数 f (x) x 2 (ln x ln a)(a 0) .
D.