14第4章 离散时间系统

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y(n ) = T [x(n )] ，
y (n − m ) = T [x(n − m )]
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例：
y (n ) = 3 x(n ) + 4 所代表的系统是移不变系统。
T [x(n − m )] = 3 ⋅ x(n − m ) + 4 y (n − m ) = 3 ⋅ x(n − m ) + 4
x ( n ) ⊗ h1 ( n ) ⊗ h2 ( n ) = x ( n ) ⊗ h1 ( n ) ⊗ h2 ( n ) = x (n) ⊗ h1 ( n ) ⊗ h2 ( n ) = h1 ( n ) ⊗ x ( n ) ⊗ h2 ( n ) = x ( n ) ⊗ h2 ( n ) ⊗ h1 ( n )
不满足均匀性与叠加性条件，它不是线性系统。
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数字信号处理
x (m ) 例：证明： y (n ) = m∑ 是线性系统。 = −∞
n
证：
y1 ( n ) = T x1 ( n ) =
∑ x (m)
1
ｎ
y2 ( n ) = T x2 ( n ) =
T a1 x1 ( n ) + a2 x2 ( n ) =
m′ = −∞ m = −∞
n−k
n−k
y (n − k ) =
∑ x(m )
m = −∞
n−k
比较上述二式，可知，y(n)满足移不变系统条件。
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2π n π + y ( n ) = x ( n ) sin 证明： 7 不是移不变系统 9 2πn π T [ x ( n − m)] = x (n − m )sin + 7 9 2π (n − m) π y (n − m) = x(n − m )sin + 9 7
1.
1
离散时间系统
1、离散时间系统概念
一个时间离散系统， 是将一种序列
x(n)
映射成（或变换成）另外一种序列的
离散时间系统 T[ ]
y(n)
运算。前一序列称为输入序列，后一序列为输出序列。以 T [
]
来表示这种运算，则一个离散时间系统就可上图所表示。即
y(n) = T [x(n)] 。
简单的离散时间系统。例如：M 点平滑滤波器
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离散时间系统
4. 线性时不变离散时间系统的时域描述 I. 单位抽样响应（单位冲激响应）与卷积和 如果一个系统是线性移不变系统， 则它的特性可用单位抽 样响应来表征。 单位抽样响应是指输入为单位冲激序列时，系统的输出。 一般用 h ( n) 表示单位冲激响应，即
h( n) = T [δ (n )]
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第四章 离散时间系统
1. 2. I. II. III. IV. V. 3. 4. I. II. III. IV. 5. I. II. III. 1、离散时间系统概念.......................................................................................... 2 离散时间系统分类（按照输入输出关系）........................................................ 3 线性系统 ............................................................................................................... 3 移不变系统 ........................................................................................................... 6 因果系统 ............................................................................................................. 10 稳定系统 ............................................................................................................. 11 无源和无损系统 ................................................................................................. 12 冲激响应和阶跃响应 ......................................................................................... 13 线性时不变离散时间系统的时域描述 ............................................................. 14 单位抽样响应（单位冲激响应）与卷积和 ...................................................... 14 线性移不变系统的性质 ..................................................................................... 16 用冲激响应表示因果系统的条件...................................................................... 17 用冲激响应表示稳定系统的条件...................................................................... 20 有限维时不变离散时间系统 ............................................................................. 31 常系数齐次线性差分方程的经典解法 .............................................................. 33 常系数非齐次线性差分方程的经典解法 .......................................................... 38 用迭代法求解差分方程──求单位抽样响应 .................................................. 41
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m =−∞
离散时间系统
II. 线性移不变系统的性质 1、 交换律（级联）
y ( n) = x ( n) ⊗ h( n) = h ( n) ⊗ x ( n) ，
如果把系统的输入与单位冲激响应互相调换，系统的输出不 变。这一特性是由于卷积和结果与卷积序列的顺序无关。 2、 结合律 卷积和运算服从结合律,即
∑ y[n]
n = −∞
∞
2
≤
∑ x[n]
n = −∞
∞
2
<∞
此时，系统是无源系统。如果上式中的等号成立，我们说该系 统是无损系统。
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3. 冲激响应和阶跃响应 单位抽样响应是指输入为单位抽样序列 δ [n] 时，系统的输出。 简称为冲激响应。通常以 h(n)表示。 单位阶跃响应是指输入为单位阶跃序列 u[n] 时，系统的输出。 简称为阶跃响应。 线性时不变系统的时域特性可以由冲激响应或阶跃响应完全 描述。
ｎ
∑ x (m)
2 m =−∞
m =−∞ ｎ
∑ a x ( m ) + a x ( m )
1 1 2 2 ｎ m =−∞
= a1
∑ x (m) + a ∑ x (m)
1 2 2 m =−∞ m =−∞
ｎ
= a1 y1 ( n ) + a2 y2 ( n )
满足均匀性和叠加性，是线性系统。
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T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = 3[a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] + 4 ;
a1 y1 (n ) + a 2 y 2 (n ) = 3a1 x1 (n ) + 4a1 + 3a 2 x 2 (n ) + 4a 2
a1 y1 (n ) + a 2 y 2 (n ) ≠ T [a1 x1 (n ) + a 2 x 2 (n )] ,
y[n] < By ，
1 y ( n) = M
M −1 k =0
∑ x(n − k )
M −1
因为： 1 M −1 1 y ( n) = x(n − k ) ≤ ∑ M k =0 M
∑
k =0
1 x(n − k ) ≤ ( M ⋅ Bx ) = Bx M
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离散时间系统
V. 无源和无损系统 如果输入是能量有限序列 x[n]， 输出序列的能量不超过输入的 能量，即
比较上述二式，可知 y ( n − m) ≠ T [ x(n − m )] ， y(n)不满足移不变系统条件。
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离散时间系统
III. 因果系统 因果系统是指输出不会发生在输入之前的系统。也就是 说，某时刻的输出只与此时刻及此时刻以前的输入有关的系 统。如果现在的输出取决于以后的输入，则不符合因果关系， 是非因果系统。 例如:
y1 (n ) + y 2 (n ) = T [x1 (n ) + x 2 (n )]；
a1 y1 (n) + a2 y 2 (n) = T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n )]
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离散时间系统
例： y (n ) = 3x(n ) + 4 所代表的系统不是线性系统。 证： y1 (n) = T [x1 (n )] = 3x1 (n) + 4 , y 2 (n ) = T [x 2 (n )] = 3 x 2 (n ) + 4 ,
1 y ( n) = M
2
M −1 k =0
∑ x(n − k )
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2. 离散时间系统分类（按照输入输出关系） I. 线性系统 如果一个系统满足均匀性和叠加性，则此系统称为线性系 统。如果一个离散时间系统满足线性系统的要求，则此系统 称为离散时间线性系统。 所谓均匀性： 如果 y(n ) = T [x(n )] ，则 a ⋅ y (n ) = T [a ⋅ x(n )] ； 所谓叠加性： 如果 y1 (n ) = T [x1 (n )] ， y 2 (n ) = T [x 2 (n )] ， 则
单位冲激响应代表了系统的所有特性。 只要知道了单位冲 激响应，就可以得到线性移不变系统对任意输入序列的响应。
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设线性时不变离散系统的输入为 x(n ) ,输出为 y (n ) ，系统的 单位冲激响应为 h( n) ，则 ∞ y (n) = T x ( n ) = T ∑ x ( m ) ⋅ δ ( n − m ) m=−∞
ｙ( n ) = ∑ x(m)
m =5
n
判断该系统的因果性。 n<5 时，非因果系统； n>=5 时，因果系统；
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IV. 稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出的系统。 如果 x[n] < Bx ， 那么，对于所有的 n 值，有 Bx，By 均为常量。 例如：M 点平滑滤波器就是一个稳定系统
可见， y (n − m ) = T [x(n − m )] 故
y(n ) = 3x(n ) + 4 是移不变系统。
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离散时间系统
证明：
y (n) =
n
m =−∞
∑ x ( m ) 是移不变系统
m − k = m′
n
T [ x(n − k )] =
∑ x(m − k )
m = −∞
∑ x(m′) = ∑ x(m)
=
∑ x (m) ⋅T δ ( n − m )
m =−∞ ∞
∞
=
∑ x (m) ⋅ h(n − m)
= x (n) ⊗ h(n) 这是一个重要的表达式， 即线性时不变离散系统的输出等 于输入序列与系统单位冲激响应的卷积和。这里用符号 ⊗ 表示 “卷积和” ，或称“线性卷积和” 、 “离散卷积和” 。这与圆周卷 积和是不同的。
离散时间系统
II. 移不变系统 若系统的响应与激励施加于系统的时刻无关，则此系统称为 时不变（或移不变）系统。即如果输入为 x ( n ) ,输出为 y (n ) ， 则输入为 x ( n − m ) 时，输出为 y ( n − m ) 。即与原信号相比，输 入信号移动多少位，输出也移动相同的位数，幅值与形状保持 不变。用数学式表达： 如果 则