向量代数与空间解析几何ppt课件
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模：||a||=| |·||a||
0
>0: 与a相同
方向：
a
a=
<0: 与a相反
=0: a=0
运算律：
(1) (a)=()a= (a) 结合律
(2) (+)a=a+a (a+b)=a+ b
(3) 1·a=a, (–1)a= – a
分配律
2a 1a
2
定理1 b//a R , 使 b= a.
a 0，设 a°与a方向相同的一个单位向量，
R1 M1
P
P1 O
Q1
P2
M2 Q
N
y
Q2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2,Q1Q2,R1R2 为 M1M2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .
z
M 1 M 2P 1P 2Q 1 Q 2R 1R 2
R2
R
令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy,
第 7章
向量代数与空间解析几何
§1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系 Oxyz
z
坐标原点 O
坐标轴 Ox , Oy , Oz
坐标平面
O
y
•
xOy , yOz , xOz x
右手系
卦限
III z
II
VII
IV
x
VIII
I
o
y
VI
V
2. 点的投影 空间一点M在直线(或轴上)的投影
M•
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
由勾股定理
z
向量代数与空间解析几何—向量代数(高等数学课件)
1.二元极限定义
设＝ ＋ ＋ , ＝ ＋ ＋ ，则
由于 × ＝ × ＝ × ＝0， × ＝， × ＝， × ＝，
× ＝－， × ＝－， × ＝－.
因此 × = − − − + − .
即 = × .
2. 向量积的运算律
1.二元极限定义
向量积满足下列运算律：
（1）结合律
× = × = × ()；
（2）分配律
+ × = × + × ．
值得注意的是：向量的向量积一般不满足交换律.一般有： × = − ×
3. 向量积的坐标表达式
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
设λ是一实数，向量与λ的乘积仍然是一个向量：
当＞0时，λ的方向与的方向相同，它的模等于 的λ倍；
当λ＜0时，λ的方向与的方向相反，它的模等于 的 倍。
当λ＝0时，λ还是零向量。
v
由此不难得到以下结论：向量与非零向量共线的充要条件是：存
（3）分配律
+ ∙=∙+∙
3. 数量积的坐标表达式
设＝ ＋ ＋ ，＝ ＋ ＋ ，则
· ＝（ ＋ ＋ ） · （ ＋ ＋ ）
= · ＋ · ＋ · ＋ · + ·
在唯一实数λ，使=λ.
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
向量与数量的乘法满足结合律、分配律：
λ（μ）＝（λμ）; （结合律）
（λ＋μ）＝λ＋μ;（分配律）
λ（＋）＝λ＋λvv.（分配律）
其中,λ,μ均为实数。
向量的线性运算
设＝ ＋ ＋ , ＝ ＋ ＋ ，则
由于 × ＝ × ＝ × ＝0， × ＝， × ＝， × ＝，
× ＝－， × ＝－， × ＝－.
因此 × = − − − + − .
即 = × .
2. 向量积的运算律
1.二元极限定义
向量积满足下列运算律：
（1）结合律
× = × = × ()；
（2）分配律
+ × = × + × ．
值得注意的是：向量的向量积一般不满足交换律.一般有： × = − ×
3. 向量积的坐标表达式
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
设λ是一实数，向量与λ的乘积仍然是一个向量：
当＞0时，λ的方向与的方向相同，它的模等于 的λ倍；
当λ＜0时，λ的方向与的方向相反，它的模等于 的 倍。
当λ＝0时，λ还是零向量。
v
由此不难得到以下结论：向量与非零向量共线的充要条件是：存
（3）分配律
+ ∙=∙+∙
3. 数量积的坐标表达式
设＝ ＋ ＋ ，＝ ＋ ＋ ，则
· ＝（ ＋ ＋ ） · （ ＋ ＋ ）
= · ＋ · ＋ · ＋ · + ·
在唯一实数λ，使=λ.
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
向量与数量的乘法满足结合律、分配律：
λ（μ）＝（λμ）; （结合律）
（λ＋μ）＝λ＋μ;（分配律）
λ（＋）＝λ＋λvv.（分配律）
其中,λ,μ均为实数。
向量的线性运算
第八章空间解析几何与向量代数PPT课件
例1．用对称式方程及参数方程 表示直线
x y z10 2x y3z40 。
例2． 试求通过点 M01,0,4
且平行平面 3x4yz100
又与直线 x1 y3 z
3
12
相交的直线方程。
例3．已知质点M以 M0 1,1,1 为
例6．已知两球面的方程为
x2y2z21 （1）和
x2y12z121（2）
x o y 求它们的交线C在
面上
的投影方程。
例7．设一个立体由上半球面
Z 4x2 y2 和锥面
Z 3 x2y2 所围成，求它
在 x o y 面上的投影。
例8．求旋转抛物面
Zx2y20z4
在三坐标轴上的投影。
例9．求上半球
为 3, 3, 2 ，试描出它关于坐标
面 o x y ，坐标轴 o y 和坐标
o 原点 的对称点。
例7．求证以
M 1 4 ,3 ,1 M 2 7 ,1 ,2 M 3 5 ,2 ,3
三点为顶点的三角形是一个等
腰三角形。
例8．在 Z 轴上求与两点
A 4,1 ,7和 B3,5,2
等距离的点。
例9．已知两点
0z a2x2y2
与圆柱体 x2y2axa0
的公共部分在 x o y 面和 xoz 面
上的投影。
§8-5 平面及其方程 例1．已知一个平面通过点
p3,2,1 并且垂直于 p 1 与
点 p2 6,2,7 的连线，求平面方程。
例2．求过三点
M 1 2 , 1 ,4 ,M 2 1 ,3 , 2 和 M 3 0 ,2 ,3
第八章 空间解析几何与向量代数 §8-1 向量及其线性运算
例1．已知 a5 b8 a,b
x y z10 2x y3z40 。
例2． 试求通过点 M01,0,4
且平行平面 3x4yz100
又与直线 x1 y3 z
3
12
相交的直线方程。
例3．已知质点M以 M0 1,1,1 为
例6．已知两球面的方程为
x2y2z21 （1）和
x2y12z121（2）
x o y 求它们的交线C在
面上
的投影方程。
例7．设一个立体由上半球面
Z 4x2 y2 和锥面
Z 3 x2y2 所围成，求它
在 x o y 面上的投影。
例8．求旋转抛物面
Zx2y20z4
在三坐标轴上的投影。
例9．求上半球
为 3, 3, 2 ，试描出它关于坐标
面 o x y ，坐标轴 o y 和坐标
o 原点 的对称点。
例7．求证以
M 1 4 ,3 ,1 M 2 7 ,1 ,2 M 3 5 ,2 ,3
三点为顶点的三角形是一个等
腰三角形。
例8．在 Z 轴上求与两点
A 4,1 ,7和 B3,5,2
等距离的点。
例9．已知两点
0z a2x2y2
与圆柱体 x2y2axa0
的公共部分在 x o y 面和 xoz 面
上的投影。
§8-5 平面及其方程 例1．已知一个平面通过点
p3,2,1 并且垂直于 p 1 与
点 p2 6,2,7 的连线，求平面方程。
例2．求过三点
M 1 2 , 1 ,4 ,M 2 1 ,3 , 2 和 M 3 0 ,2 ,3
第八章 空间解析几何与向量代数 §8-1 向量及其线性运算
例1．已知 a5 b8 a,b
向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)
1 + 1 + 1 + 1 = 0 ,
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
第八章 空间解析几何与向量代数(同济六版)ppt课件
z
坐标轴 :
o
y
x轴
y轴
y0 z0
z0 x0
x
坐标面 : xoy面 z 0
x 0 z轴 y 0
x 0 yoz面 zox面 y 0
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2. 向量的坐标表示
i , j , k 分别表示坐标轴x, y, z上的单位向量
(1)设点 M (x, y, z), 则
第八章 空间解 析几何与向量 代数(同济六版 )
§1 向量及其线性运算
§2 数量积，向量积 §3 平面及其方程
§4 空间直线及其方程
§5 曲面及其方程
§6 空间曲线及其方程
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§1 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
第一次课
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
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【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
解: 如图 M 为四边形ABCD 对角线的交点, 则
D
A B a b ， 1 1
b
2
a
M
b1
C
2
D C a b 2 2
a
A
1
B
由已知 a a ,b b 1 2 1 2 所以
A B D C
所以ABCD为平行四边形.
( 2 , 3 , )
c a 2 ( 2 )( 1 3 )( 1 ) 0
6 2 0 取λ =1，则μ =3
c (, 58 , 2 )
特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标面上的点 A , B , C
第八章 空间解析几何与向量代数 ppt课件
【例4】P11例8 uuur
方法2 :设 OA ( x, y, z)
则由
cos
3
uuxur |OA|
x
6
1 2
3
z
A
O
4 y
x3
cos
4
uuyur y 6 |OA|
2 3 2
2
uuur | OA | x2 y2 z2 6 z 3
A(3, 3 2, 3)
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18
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(3)
ar
r 0
则
若 0，则 ar 若ar 0，则
分配律.
r r0 ； 0.
见P4
.
(4)定理1.1：设
r a
r 0
,则
r a
/
r /b
1
r R, 使得b
ar
.
(5)与
r a
同向的单位向量为：er
ar o
ar r
.
|a|
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6
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【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
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2
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§1 向量及其线性运算
第一次课
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
ppt课件
3
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一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
r rr
gi j k
r
ri 1 0 0
j0 1 0
r
k0 0 1
r
r
空间解析几何与向量代数.ppt
故 y1 x2 y2 , 故得
f ( x2 y2 , z) 0.
(4)
反之，若空间点(x, y, z)满足(4)，也可推知(x, y, z) 在旋转面上，即(4)为所求.
其它情形：平面曲线 f (y, z)绕 y 轴所成旋转面之 方程.
f ( y, x2 z 2 ) 0.
2. 圆柱面
两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所
形成的曲面称为圆柱面.
如图
设直线 l 绕 z 轴旋转.柱面 上任意点M(x, y, z). 过 M 作垂直于z轴平面交 z 轴于 M1(x1, y1, z1). 则(x1, y1, z1)=(0, 0, z).
z
M1 M
y
0
x l
则 ||M1M|| = 定长=R.
x
y
0
z=z(t).
例2. 若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速
度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中, v都是常数). 则点M构成
的图形为螺旋线. 试建立其方程.
解: 设时间 t 为参数. 初始时刻 (t=0)，动 点在A(a, 0, 0)处，经 时刻 t , 动点运动到
或 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2.
(2)
反之, 任取(x, y, z)满足(2). 则M(x, y, z)到M0的距离 为R. 故(x, y, z)在球面上. 因此(2)即为所求球面的 方程.
特例: x0=y0=z0=0. 则(2)变为
x2+y2+z2=R2.
z
l
0
y
x
同前例，任取圆锥面上一点 M(x, y, z)
向量代数与空间解析几何课件
空间曲线
空间中的曲线可以由三个 参数方程表示，例如球面 和抛物面。
曲面
曲面可以由两个或三个参 数方程表示，例如球面和 圆柱面。
空间解析几何中的常见问题与解决方法
求解点到直线的距离
使用点到直线距离公式，将点坐标和直线方程代入公式计 算。
求解两直线交点
将两直线的方程联立求解，得到交点的坐标。
判断两线是否平行或垂直
向量的数量积
01
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模长和夹角的余弦值的乘积，记作a·b
。
02
向量数量积的性质
数量积满足交换律、结合律、数乘律和分配律。
03
向量数量积的应用
在物理学中，向量数量积常用于描述力的做功、动量等物理量；在解析
几何中，向量数量积可用于计算向量的长度和向量的投影等。
向量的向量积
02
空间几何基础
空间直角坐标系
空间直角坐标系的定义
坐标轴上的单位向量
空间直角坐标系是三维空间中的一个 固定坐标系，由三个互相垂直的坐标 轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。
与x轴、y轴和z轴正方向同向的单位向 量分别记为i、j、k，它们的模都为1， 且满足i×j=k，j×k=i，k×i=j。
空间点的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意一点P的 位置可以用三个实数x、y、z来表示， 这三个实数称为点P的坐标。
向量的线性组合
向量线性组合的定义
如果向量a和b满足a=λb（λ为实数），则称向量a是向量b的线性 组合。
向量线性组合的性质
线性组合满足交换律、结合律和数乘律。
向量线性组合的应用
在物理学、工程学等领域中，向量线性组合常用于描述力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
向量代数与空间解析几何11982-PPT精选文档77页
（2）写出起点为 A(1, 2, 1) ，终点为 B(3, 3, 0) 的向量的坐
标表达式。
解
（1）
OA i 2jk
。
（2） A ( 3 B 1 ) i ( 3 2 ) j ( 0 1 ) k 2 i j k 。
例2 已知两点 M1(1,0,2)、M2(1,1,0)，求这两点间的距离 d 。 解 由两点间的距离公式，得
（2） a a 1 i a 2 ja 3 k ；
（3） a b ( a 1 b 1 ) i ( a 2 b 2 ) j ( a 3 b 3 ) k ；
（4）a b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3；
M 1 M 2 ( x 2 i y 2 j z 2 k ) ( x 1 i y 1 j z 1 k )
( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k ， 这就是说 ：M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k 。 3．向量 a a 1 i a 2 j a 3k 的模
(a )()a （结合律）；
( )a a a （对数的加法的分配律）；
(a b )a b （对向量的加法的分配律）。
有了数乘向量，便容易表示出向量的单位向量：
把与向量 a同向且模为1的向量称为
a
的单位向量，记为
a0
，
显然有 a 0 a 或 a a a0 。
显然 a a a a c( o a ,a s ) a 2 c0 o s a 2 ， 且可
向量代数与空间解析几何课件
第4章 向量代数与空间解析几何4.1 空间直角坐标系4.1.1 坐标系在空间中任意取定点O ，从O 引出三条相互垂直的数轴，它们都以点O 为坐标原点，且一般具有相同的长度单位。
这三条数轴分别称为x 轴（横轴），y 轴（纵轴），z 轴（竖轴），统称为坐标轴，点O 称为坐标原点。
我们常用的是右手系，即用右手握着z 轴，当右手四指从x 轴正向转向y 轴正向时大拇指的指向就是z 轴的正向。
图4.1在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。
这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点M 与一组有序数),,(z y x 之间的一一对应关系。
有序数组),,(z y x 称为点M 的坐标；z y x ,,分别称为x 坐标，y 坐标，z 坐标图 4.2O这八个卦限中坐标的对应符号为：记忆起来也不难：前四个卦限的x 坐标和y 坐标和平面直角坐标系中四个象限的符号一样，z 坐标都是正的；后四个卦限的x 坐标和y 坐标和也平面直角坐标系中四个象限的符号一样，z 坐标都是负的。
4.1.2 空间两点间的关系设空间两点1111(,,)M x y z ，2222(,,)M x y z ，求它们之间的距离12d M M =。
过A 、B 两点各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，形成如图8-4所示的长方体。
2212221222212222212121()()()d M M M B BM M A AB BM x x y y z z ==+=++=-+-+-所以d =特别地，点(,,)M x y z 与原点O 的距离为 d OM ==4.2 向量代数4.2.1 向量的概念在现实世界中，我们常见到两类量：一类是数量，如温度、长度、质量等，这类量只有大小，没有方向也称为标量；还有一类量既有大小也有方向如力、速度、加速度等，这类量称为向量或矢量。
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M •
• M1
M • • M2 空间一点M在平面上的投影
3.点的直角坐标
z R
M
P x
O M (x, y, z)
有序数组(x, y, z)称为点M的坐标，记为M(x, y, z) x, y, z 分别称为点 M 的横、纵、立坐标.
y Q
討論题
原点O的坐标
坐标轴上的点的坐标
z
坐标面上的点的坐标
各卦限中的点的坐标 的符号
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
由勾股定理
z R2
R1
R M1
P
P1 O
Q1
P2
x
M2 Q
N
y
Q2
|M 1M 2||M 1N|2|N2 M |2 |M 1P|2|PN |2|N2 M |2 |x 2 x 1|2 |y 2 y 1|2 |z2 z 1|2 (x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2 (z2 z 1 )2
R1 M1
P
P1 O
Q1
P2
M2 Q
N
y
Q2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2,Q1Q 为2,R1R在2Ox,Oy,OMz轴1上M的2分向量 .
M 1 M 2P 1P 2Q 1 Q 2R 1R 2
令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy, Oz 坐标轴正向的基本单 位向量.
a
B
A
a b
a –a
2. 向量的加法
c=a+b
b a
平行四边形法则
b a
三角形法则
a1+a2+…+an 运算规律： (1) a+b=b+a (交换律) (2) (a+b)+c=a+(b+c) (结合律) (3) a+0=a (4) a+(–a)=0
3. 向量减法 a–b= a+(–b)
b
a –b
z 14 ， 从而所求M点 (0,0,为 14)
9
9
坐标系. Oy轴与Oy轴垂直，单位等长； Ox轴与Oy轴
交角120(或135)，单位长为Oy轴上的单位长的 倍
(或 倍) ；
2
1
2
2
直线. 空间中本来相互平行的直线在图中依然要保持 平行；
作图： 作点 P(2,1,3), Q(1,2,-1), R(-2,-1,-1)
a1 M1
M2
a2
M3
u1
u2
u u3
5. 向量的分解和向量的坐标
例1. 设P1与P2为u轴上的两点，坐标分别为u1和u2；又 e为与u轴正向一致的单位向量，则
P1P2 (u2u1)e
事实上, 若u1<u2, 有
||P1P2 ||u2 u1，且 P1与Pe2 同向，故
若u1>u2, 有
P1P2 (u2u1)e ||P1P2 ||u1u2，且 P1与Pe2 反向，故
4. 数与向量的乘法
模：||a||=| |·||a||
0
>0: 与a相同
方向：
a
a=
<0: 与a相反
=0: a=0
运算律： (1) (a)=()a= (a) 结合律 (2) (+)a=a+a (a+b)=a+ b (3) 1·a=a, (–1)a= – a
分配律
2a
1a 2
定理1 b//a R , 使 b= a.
a 0，设 a°与a方向相同的一个单位向量， 由 ||a|| >0，故 ||a||·a° 也与 a 方向相同，且
|| ||a||·a° || = ||a||·||a° ||= ||a||
于是
a ||a||a。
而同时有
a。 1 a || a ||
称 a° 为 a 的单位向量. (常被用来表示向量 a 的方向.)
第 7章 向量代数与空间解析几何
§1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系 Oxyz
z
坐标原点 O
坐标轴 Ox , Oy , Oz
坐标平面 xOy , yOz , xOz
y O
•
x
右手系
卦限
z III
IV VII
x
VIII
I
o
V
II
y
VI
2. 点的投影 空间一点M在直线(或轴上)的投影
|A| M ( 0 4 ) 2 ( 0 1 ) 2 ( z 7 ) 2 6 1 6 z 4 z 2
|B | M ( 0 3 ) 2 ( 0 5 ) 2 ( z 2 ) 2 3 4 8 z z 2
由|AM|=|BM|，得
6 1 6 z 4 z 2 3 4 8 z z 2
化简求得
§2 向量的概念及其表示
1. 向量 向量：既有大小又有方向的量
模：向量的大小，记|| a ||, 单位向量：模等于1的向量
|| AB ||
零向量：模等于0的向量(方向任意) ，记0.
所有向量的共性：大小、方向，因此定义 向量相等：①模相等, ②方向相同，记 a=b
负向量：与a的模相等而方向相反的向量， 记 –a.
P 1 P 2 (u 1 u 2)e (u 2 u 1 )e
若u1=u2, 有 故也有
|| P1P2 || 0，故 P1P2 0； 又 (u2u0 1)e P1P2 (u2u1)e
设aM1M2
M 1M 2M 1NM 1RM 1PM 1QM 1R
但 M1PP1P2
z
R2
R
M1QQ1Q2 M1RR1R2 M1M2
5. 向量在轴上的投影 向量间的夹角
=〈a, b〉= 〈b, a〉 限定 0〈a, b〉
向量在轴 u 上的投影
a b
M2
a
M1
设aM1M2
O
u1
u2
u
PjruM1M2u2u1
(1) Pju rM 1M 2||M 1M 2||cos= ||a|| cos〈a, u〉
(2) P j u ( a 1 r a 2 a n ) P j u a 1 r P j u a 2 r P j u a n r
M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2),
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
特别地，点O (0, 0, 0) 与 M (x, y, z)之间的距离
dOM x2y2z2
例1. 在Oz轴上求与A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点. 解： 设所求的点为M(0,0,z).
o
y
x
4. 两点间距离 数轴上两点 M1=x1, M2=x2, 有
d=| M1 M2|=| x2 – x1| 平面上两点 M1 (x1, y1), M2 (x2, y2), 有
(x2 x1)2
d |M 1 M 2|(x 2 x 1 )2 (y 2 y 1 )2
设空间中两点M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), 是否应有