高等数学第三章 第7节 曲率
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高等数学(同济第六版)课件 第三章 7曲率解析
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当 x b 时，k最大。 2a
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y=f (x)在点
y
M(x,y)处的曲率为k (k 0)
D 1 y f (x)
在点M 处的曲线的法线上，
k
在凹的一侧上取一点D，使 DM 1 .
N
可用一个与转角成正比与弧长成反比的量 来描述曲线的弯曲程度。
定义：设曲线C是光滑的，M0为基点，M, N为曲线
C上的点， MN的弧长为 s， y
C
M与N点切线的夹角为 ，
N.
K s
M0
M
称为曲线段MN的平均曲率； o
x
K lim s0 s
称为曲线C在点M处的曲率。
K | d | ds
2.曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导，
(5) e xdx dex .
(6) a xdx 1 da x lna
(7)
1 1 x
2
dx
d
arctan
x
1
(8)
dx d arcsin x 1 x2
(9) cos xdx d sin x.
(10) sin xdx d cos x (11) sec2 xdx d tan x. (12) csc2 xdx d cot x.
第七节 曲率
一、弧微分
设 f (x)在(a,b)内有连续导数，在曲线y=f (x)上
取基点A(x0, y0), 点M(x, y)为曲线上任一点; 记弧 AM 的长度为 d ，规定： y
曲线正向与 x 增大的方向一致。
M
A
3-7 曲率(高等数学)
§3.7 曲率教学内容：一．弧微分1.光滑曲线：设函数)(x f y =在区间(,)a b 内具有连续导数，则曲线)(x f y =在(,)a b 内的每点处有能连续转动的切线，称曲线)(x f y =为光滑曲线.2. 弧微分：函数()s x 关于x的微分d s x =，或者d s =.二．曲率1.定义：0lim →∆s s ∆∆α称为曲线在点M 处的曲率，即K =0lim →∆s s ∆∆α=d d sα.2. 计算公式：设曲线的方程为)(x y y =,且()y x 具有二阶导数，322d d (1')y K s y α''===+.三．曲率半径与曲率圆1. 曲率圆与曲率半径的定义：设曲线)(x f y =在点(,)M x y 处的曲率0K ≠（即0y ''≠），在点M 处作曲线的法线，法线指向曲线凹的一侧.在此侧的法线上取一点D ，使1MD Kρ==，以D 为圆心，ρ为半径作圆，称这个圆为曲线在点M 处的曲率圆，它的半径1Kρ=称为曲率半径，圆心D 称为曲率中心.图3.212.曲率圆与曲线在点M 处有相同的切线与曲率，且在点M 的邻近有相同的弯曲方向，从而曲率圆与曲线所对应的函数在点M 有相同的函数值、一阶导数值和二阶导数值.3.在工程设计中，一般可用曲率圆在点M 附近的一段弧来近似代替曲线弧.四．例题讲解例1.求直线b ax y +=的曲率.例2.求半径为R 的圆的曲率.例3.求曲线122--=x x y 在极小值点处的曲率.例4.在车床加工中，用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件，该段弧的中点为椭圆长轴的顶点，其方程为222214050x y +=（单位：mm ）,应选用多大直径的铣刀，可得较好的近似效果.。
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)3_7 曲率-PPT课件
M 00M M M 的方向与曲线的正向一致时， s 0;当二者方向相反 M0 M s( x), 且为 x 的单 时， s 0 ，故弧 s 为 x 的函数 s M 0M 调增函数. s( x) 的微分称为弧微分.下面求函数 s( x) 的导数 和微分. 在曲线 y f ( x) 上点 M ( x, y) 的邻近取一点 M ( x x, y y) ( x (a, b), x x (a, b)),则函数 s( x) 的 增量为 s : s M M00M M M M00M M MM M M (图 3-12)
y A M’ R M x 图3-14
1 O s R 1 lim 从而 s 0 s R 这就是说，圆上各点处的曲率都等于半径的倒数，即处 处弯曲程度相同.半径愈小，曲率愈大，弯Biblioteka 愈甚.1M2 M1
2
M3
M1
N1
M2 N2
图3-13 （b） （a） M1 M 22 较弧 M 从图 3-13(a)看出，弧 M M 22M M33 平直.在弧 M M11M M2 2 1M 上，当动点沿曲线由点 M 1 移动到点 M 2 时，切线转过角1 ；
M2 M 33 上， 在弧 M 当动点由点 M 2 移动点 M 3 时， 切线转过角 2 ， 2M 显然 2 1 .但仅仅由切线转过的角度的大小还不足以充分
M M时 s 0， 当 ， 将 平 均 曲 率 取 极 限 （ 若 极 K 限 存 在 ） ， 称 该 极 限 值 为 曲 线 C在 点 M处 的 曲 率 ， 记 作 K lim K lim . M M s 0 s 由 导 数 定 义 得 d K (2 ) d s
例1 求直线上各点的曲率 .
y A M’ R M x 图3-14
1 O s R 1 lim 从而 s 0 s R 这就是说，圆上各点处的曲率都等于半径的倒数，即处 处弯曲程度相同.半径愈小，曲率愈大，弯Biblioteka 愈甚.1M2 M1
2
M3
M1
N1
M2 N2
图3-13 （b） （a） M1 M 22 较弧 M 从图 3-13(a)看出，弧 M M 22M M33 平直.在弧 M M11M M2 2 1M 上，当动点沿曲线由点 M 1 移动到点 M 2 时，切线转过角1 ；
M2 M 33 上， 在弧 M 当动点由点 M 2 移动点 M 3 时， 切线转过角 2 ， 2M 显然 2 1 .但仅仅由切线转过的角度的大小还不足以充分
M M时 s 0， 当 ， 将 平 均 曲 率 取 极 限 （ 若 极 K 限 存 在 ） ， 称 该 极 限 值 为 曲 线 C在 点 M处 的 曲 率 ， 记 作 K lim K lim . M M s 0 s 由 导 数 定 义 得 d K (2 ) d s
例1 求直线上各点的曲率 .
高等数学(上)课件：3_7曲率
b
这说明椭圆在点( a, 0) 处曲率 a
ax
最大.
b
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 有上述可知
椭圆在
处曲率最大 ,
y
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题.
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
x asin t ;
x acost
x 表示对参
y bcost ;
y bsin t
数 t 的导数
显然
K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
ol
x
y 1 x3 6Rl
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
曲率圆和曲率半径
设曲线y f ( x)在点 y
M ( x, y)处的曲率为K (K
y f (x)
0).在点 M 处的曲线的
D
法 线 上, 在 凹 的 一 侧 取 一
高等数学（上） 3.7节 曲率
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
高等数学课件--D3_7曲率
第七节 平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
2012-10-12 同济高等数学课件
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第三章
M
M
M
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结束
一、 弧微分
设
s x
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
2
处的曲率.
y
l 2R
0
2 Rl 1 y x Rl
R B
K y
1 Rl
O
x
l
y 1 6 Rl x
3
x
显然
2012-10-12
K
x 0
0;
K
x l
1 R
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同济高等数学课件
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例3. 求椭圆 解: x a sin t ;
y b cos t ;
, y
1 x
3 2
解: y
(1 y )
2
3 2
,
则
(1
2
R
) 4
3
O
2 1 (x 2
1
x
y
显然 R
1 x
3 2
) 2
2
x x 1
2 为最小值 .
同济高等数学课件
利用 a 2 b 2 2 ab
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2012-10-12
作业
2012-10-12
1 ( y)
2
同济高等数学课件
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曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
2012-10-12 同济高等数学课件
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第三章
M
M
M
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结束
一、 弧微分
设
s x
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
2
处的曲率.
y
l 2R
0
2 Rl 1 y x Rl
R B
K y
1 Rl
O
x
l
y 1 6 Rl x
3
x
显然
2012-10-12
K
x 0
0;
K
x l
1 R
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同济高等数学课件
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例3. 求椭圆 解: x a sin t ;
y b cos t ;
, y
1 x
3 2
解: y
(1 y )
2
3 2
,
则
(1
2
R
) 4
3
O
2 1 (x 2
1
x
y
显然 R
1 x
3 2
) 2
2
x x 1
2 为最小值 .
同济高等数学课件
利用 a 2 b 2 2 ab
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2012-10-12
作业
2012-10-12
1 ( y)
2
同济高等数学课件
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高数--曲率
主讲人： 苏本堂
例5 设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用
砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径
y0.8x y0.8
y|x00 y|x00.8 把它们代入曲率公式 得
K
| y| (1 y2)3
2
08
抛物线顶点处的曲率半径为
r=K-11.25 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径 不得超过2.50单位长
1 y2
由此得弧微分公式:
ds 1 y2 dx 或者
ds (dx)2 (dy)2
山东农业大学
高等数学
二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义
主讲人： 苏本堂
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
D1
D2
M2 DS2 M3
DS1
M1
DS1
M
M
N
DS2 N
D
弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？
提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 Ds , 对应切线
转角为 D , 定义
弧段 Ds上的平均曲率
K D
Ds
点 M 处的曲率
K lim D d
Ds0 Ds
ds
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
注:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲
率互为倒数.
即R
1 ,k
1
.
高等数学 第七节 曲率完美版PPT资料
高等数学 第七节 曲 率
ds dx
lim
x 0
s lim x2 y2 x0
x2 y2 x
,
其中 lim s 1 , x0 x2 y2
lx i0m x 2 x y 2 lx i0m 1 x y2
1
dy dx
2
1y2 ,
ds dy
dx
ds1y2, dx
ds2 dx2 d y2
时, F发生跳变而震动 , 只有k当 连续,时 火车运行才能 .
因此 , f(x)应当满:足 1. f(0)0, 2. f(0)0, 与 BO 方向一致
3. f(0)0, 即 k 0与 BO 段曲率相同 4. f(2)2. 火车过 A点
如 f ( x 果 ) a 3 x 3 a 2 选 x 2 a 1 x a 0 根据前述,确 四定 f个 (x)的 条四 件个 ,得 :系数
按 . 曲率越大 , 弯曲越厉害 . 直线曲率 k 0 .
例 1 .y a 2 x 2 . ( a x a )
半径为 a 的上半圆方程 .
y x , a2 x2
y
a2 a2 x2
3
,
a2
曲率k
y 1y2
3 2
a2 x2 3
1
a
x2 2x
2
3
2
1 a
.
结论:
半径为 a 的圆之圆弧曲率处处为
*曲率中(心 曲率圆的)圆x心 弧微分 .
弧 d 1 微 s y 2 d d x 分 2 d x 2 y x 2 y 2 d t .
曲率k
y
1y2
3 2
.
圆的曲率
1 R
,
R圆半径.
曲率半 k 1径 1yy2
ds dx
lim
x 0
s lim x2 y2 x0
x2 y2 x
,
其中 lim s 1 , x0 x2 y2
lx i0m x 2 x y 2 lx i0m 1 x y2
1
dy dx
2
1y2 ,
ds dy
dx
ds1y2, dx
ds2 dx2 d y2
时, F发生跳变而震动 , 只有k当 连续,时 火车运行才能 .
因此 , f(x)应当满:足 1. f(0)0, 2. f(0)0, 与 BO 方向一致
3. f(0)0, 即 k 0与 BO 段曲率相同 4. f(2)2. 火车过 A点
如 f ( x 果 ) a 3 x 3 a 2 选 x 2 a 1 x a 0 根据前述,确 四定 f个 (x)的 条四 件个 ,得 :系数
按 . 曲率越大 , 弯曲越厉害 . 直线曲率 k 0 .
例 1 .y a 2 x 2 . ( a x a )
半径为 a 的上半圆方程 .
y x , a2 x2
y
a2 a2 x2
3
,
a2
曲率k
y 1y2
3 2
a2 x2 3
1
a
x2 2x
2
3
2
1 a
.
结论:
半径为 a 的圆之圆弧曲率处处为
*曲率中(心 曲率圆的)圆x心 弧微分 .
弧 d 1 微 s y 2 d d x 分 2 d x 2 y x 2 y 2 d t .
曲率k
y
1y2
3 2
.
圆的曲率
1 R
,
R圆半径.
曲率半 k 1径 1yy2
高等数学方明亮37曲率-文档资料
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三、曲率圆与曲率半径
（ Curvature Circle and Radius ）
定义 设曲线 y f ( x) 在点 M 处的曲率 K K 0 ， y 在曲线上点 M 处的法线上取一点 D （ D 在曲线凹的一侧）使 y f (x) D 1 1 K DM ， K M 以 D 为圆心，以 为半径作圆， o
二、曲率及其计算公式 (Curvature and Formula)
1 曲率的定义
------描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S
N
1
M
S1
S 2 N
1）弧段弯曲程度越大转角越大，
2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。
2019/3/13 5
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K
2019/3/13
2 2 ( t ) (t) 3 2
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.
8
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例 1 求抛物线 y ax2 bx c 上任意一点处的曲率， 并问那一点的曲率最大？
解： 易知， y 2ax b ， y 2a ， 由曲率计算公式知，
K y (1 y 2 )
3 2
2a 1 2ax b 2
3 2
b 因为当 x 时，K 有最大值 2a ， 2a b 而x 所对应的点为抛物线的顶点， 2a
因此，抛物线在顶点处的曲率最大．
2019/3/13 9
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x a (t sin t ), π 例 2 求摆线 在 t 处的曲率. 2 y a (1 cos t )
三、曲率圆与曲率半径
（ Curvature Circle and Radius ）
定义 设曲线 y f ( x) 在点 M 处的曲率 K K 0 ， y 在曲线上点 M 处的法线上取一点 D （ D 在曲线凹的一侧）使 y f (x) D 1 1 K DM ， K M 以 D 为圆心，以 为半径作圆， o
二、曲率及其计算公式 (Curvature and Formula)
1 曲率的定义
------描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S
N
1
M
S1
S 2 N
1）弧段弯曲程度越大转角越大，
2）转角相同弧段越短弯曲程度越大。
2019/3/13 5
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K
2019/3/13
2 2 ( t ) (t) 3 2
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.
8
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例 1 求抛物线 y ax2 bx c 上任意一点处的曲率， 并问那一点的曲率最大？
解： 易知， y 2ax b ， y 2a ， 由曲率计算公式知，
K y (1 y 2 )
3 2
2a 1 2ax b 2
3 2
b 因为当 x 时，K 有最大值 2a ， 2a b 而x 所对应的点为抛物线的顶点， 2a
因此，抛物线在顶点处的曲率最大．
2019/3/13 9
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x a (t sin t ), π 例 2 求摆线 在 t 处的曲率. 2 y a (1 cos t )
高等数学方明亮37曲率
M MN N2(x)2x(2y)2
2
M MN N
1(xy)22
s x
M MN N21( xy)22
2019/11/23
3
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s x
MN MN
2
1(yx)22
y
N
AM
当 x 0 时， N M ，
O
NlimM
MN MN
2
1
lim y y x0 x
x0
x xxx
故 ds 1 y2 dx
由于 s s(x) 是单调增函数，故弧 s 的导数为 ds 1 y2 dx
三、曲率圆与曲率半径
（ Curvature Circle and Radius ）
定义 设曲线 y f (x) 在点 M 处的曲率 K K 0 ，
在曲线上点 M 处的法线上取一点 y
D （ D 在曲线凹的一侧）使
DM 1 ，
K
以 D 为圆心，以 为半径作圆， o
D
2000
Q 7 0 ( 千 克 力 ) 5 7 1 .4 ( 千 克 力 )641.5(千 克 力 ).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
模仿练习： 课本 习题3－7 第8题
2019/11/23
18
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在
t
π 2
处的曲率.
解： 因为 dy sin t ， d2y
1
.
dx 1 cost dx2 a(1cost)2
所以由曲率计算公式知，
y
高等数学课件--D37曲率
y
y 1 y2
y
同济高等数学课件
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思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同.
2. 求双曲线
的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?
解:
y
1 x2
,
y
2 x3
,
则
y
1
R
(1 y2 )32
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,
曲线 ,C 称满为足曲方线程G组的渐伸线 .
曲率中心(x公式)可2 看( y成渐 )2 R2 屈线的参数 方y 程(参yx 数为x).
(M (x, y)在曲率圆上 )
(DM MT )
点击图中任意点动画开始或暂停
M (x, y)
O
x
(M (x, y)在曲率圆上 ) (DM MT )
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由此可得曲率中心公式
y
D(, )
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
Байду номын сангаас
CR
T
M (x, y)
O
x
(注意 y 与 y异号 )
当点 M (x , y) 沿曲线
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
2019/11/24
同济高等数学课件
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曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
y 1 y2
y
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思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同.
2. 求双曲线
的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?
解:
y
1 x2
,
y
2 x3
,
则
y
1
R
(1 y2 )32
移动时, 相应的曲率中心
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,
曲线 ,C 称满为足曲方线程G组的渐伸线 .
曲率中心(x公式)可2 看( y成渐 )2 R2 屈线的参数 方y 程(参yx 数为x).
(M (x, y)在曲率圆上 )
(DM MT )
点击图中任意点动画开始或暂停
M (x, y)
O
x
(M (x, y)在曲率圆上 ) (DM MT )
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由此可得曲率中心公式
y
D(, )
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
Байду номын сангаас
CR
T
M (x, y)
O
x
(注意 y 与 y异号 )
当点 M (x , y) 沿曲线
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
2019/11/24
同济高等数学课件
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曲率K 的计算公式
设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
第七节 曲率3-7
lim
1
1，
ds s0 s
s0 r r
圆上各点处的曲率等于半径的倒数.
圆的半径越小曲率越大.
第三章第七节
7
2、曲率的计算公式
(1) 设y f ( x)二阶可导, tan y, 有 arctan y,
d
y 1 y2
dx,又 ds
1 y2dx. K
y 3.
(1 y2 )2
(2)
设
x y
(t), (t),
二阶可导,
dy dx
(t (t
) )
,
曲率计算公式
d2y dx 2
d dx
(t ) (t )
(t ) (t )
/
(t
)
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
(t) (t) (t) (t)
K
3.
[2(t) 2(t)]2
曲率计算公式
第三章第七节
8
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大?
解 y 2ax b, y 2a,
第七节 曲率
教学内容 1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
本节考研要求 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率
和曲率半径。
第三章第七节
1
一、弧微分
设f
(
x)
C
1 (a,b)
,
ds (dx)2 (dy)2
1 y2dx,
高等数学D3_7曲率PPT文档22页
高等数学D3_7曲率
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪Hale Waihona Puke 28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
22
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪Hale Waihona Puke 28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
22
曲 率
高等数学
曲率
本节将研究表示曲线弯曲程度的量——曲率．曲率在研究物体运 动及机械运动时，有很重要的应用价值．例如，火车铁轨由直道转 入圆弧形弯道之前，需要在直道线路的末端处接上一段适当的曲线 铁轨，以使火车转弯时能平稳行驶．
1.1 弧微分
如图所示，设 f (x) 在 (a ，b) 内有连续导数．
1.1 弧微分
解 如图所示，弧 AB 长度为 s ， | s | R | | ，于是
| s | R ， | |
所以
k lim | | 1 ．
s0 | s | R
利用曲率的定义计算曲线的曲率是比较困难的，下面研究曲率的计算公式．
1.2 曲率的概念及计算公式
例 2 求半径为 R 的圆的曲率．
设 y f (x) 二阶可导，前面已求出 ds 1 ydx ，下面求 d ． 由 y f (x) 导 数 的 几 何 意 义 知 tan y ， 将 tan y 两 边 对 x 求 导 ， 得
以 R 为半径的圆称为曲线在点 M 处的曲率圆．曲率圆的圆心 O 称为曲线在点 M 处的 曲率中心，曲率圆的半径 R 称为曲线在点 M 处的曲率半径．这样有
3
பைடு நூலகம்
R 1 1 ( y)2 2 ．
k
| y |
1.3 曲率圆与曲率半径
例 4 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x2 （见图），现在 要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
长度 |s| 的比值称为弧段 MN 的平均弯曲程度，也称弧段 MN 的平均曲率，记作 k ，
即 k | | ．
当
| s | s 0
时（即
N
M
时），上述平均曲率的极限称为曲线
C
曲率
本节将研究表示曲线弯曲程度的量——曲率．曲率在研究物体运 动及机械运动时，有很重要的应用价值．例如，火车铁轨由直道转 入圆弧形弯道之前，需要在直道线路的末端处接上一段适当的曲线 铁轨，以使火车转弯时能平稳行驶．
1.1 弧微分
如图所示，设 f (x) 在 (a ，b) 内有连续导数．
1.1 弧微分
解 如图所示，弧 AB 长度为 s ， | s | R | | ，于是
| s | R ， | |
所以
k lim | | 1 ．
s0 | s | R
利用曲率的定义计算曲线的曲率是比较困难的，下面研究曲率的计算公式．
1.2 曲率的概念及计算公式
例 2 求半径为 R 的圆的曲率．
设 y f (x) 二阶可导，前面已求出 ds 1 ydx ，下面求 d ． 由 y f (x) 导 数 的 几 何 意 义 知 tan y ， 将 tan y 两 边 对 x 求 导 ， 得
以 R 为半径的圆称为曲线在点 M 处的曲率圆．曲率圆的圆心 O 称为曲线在点 M 处的 曲率中心，曲率圆的半径 R 称为曲线在点 M 处的曲率半径．这样有
3
பைடு நூலகம்
R 1 1 ( y)2 2 ．
k
| y |
1.3 曲率圆与曲率半径
例 4 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x2 （见图），现在 要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
长度 |s| 的比值称为弧段 MN 的平均弯曲程度，也称弧段 MN 的平均曲率，记作 k ，
即 k | | ．
当
| s | s 0
时（即
N
M
时），上述平均曲率的极限称为曲线
C
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k | y | [1 ( y ) ] 6
3 2 2
6 (4 sin2 t 9 cos2 t )
3 2
(4 5 cos2 t )
3 2
3 2
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
3 t , 2 2
此时 k 最大，
18
练习题
一、填空题： 1 、曲率处处为零的曲线为________ ；曲率处处相等 的曲线为__________. 2 、抛 物 线 y x 2 4 x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为 ________；曲率半径为_________. 3 、曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 (0,0) 处 的 曲 率 为 ___________. 二、求曲线 y ln(sec x ) 在点 ( x , y ) 处的曲率及曲率半 径. x a cos3 t t t 0 处的曲率 . 三、求曲线 在 3 y a sin t y2 x 四、证明曲线 y a cosh 在任何一点处曲率半径为 . a a
s
ds
存在的条件下, K
ds
.
6
注意(1)直线的曲率处处为零。
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的 倒数,且半径越小曲率越大.
如图所示 , 有
s R 1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
抛物线在顶点处的曲率 最大.
11
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心,
x
曲率半径.
12
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
3 2
9
(0,0)及点 (1, a)处的曲率 . 例1 求y ax (a 0)在点
3
解 : y 3ax2 , y 6ax,
k y (1 y )
3 2 2
6a x (1 9a x )
2 3 4 2
在点 (0,0)处 K 0
3 2 2
.
8
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
dy ( t ) , dx ( t )
k
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
.
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
x0
x
x x
x
y 2 2 1 y dx , MN ( x ) ( y ) 1 ( ) x x
MN s ds ,
2 1 y dx , MT (dx) (dy)
2
2
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx .
13
例3
证明曲线 : x 2 2 xy 8 y 2 2 x 14 y 3 0必为直线 .
证 明: 隐 函 数 求 导 2 x 2 y 2 xy 16 yy 2 14 y 0
将y代入得 9( x 2 2 xy 8 y 2 2 x 14 y 3) y 0 2 (8 y x 7)
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 ;
7
2.曲率的计算公式
d K . ds
设y f ( x )二阶可导, tan y, y d dx, 有 arctan y, 2 1 y
ds 1 y2 dx .
k
y (1 y )
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
15
习题3 7 P 175
1,3,4,7
总习题三 P 180
4,5,6,8,10(1,2,4),11(2), 13,15,17,19
16
思考题
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪 些点处曲率最大？
17
思考题解答
在 点(1, a )处 K
6a (1 9a )
3 2 2
10
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大? 解 y 2ax b,
k 2a [1 ( 2ax b ) ]
3 2 2
y 2a ,
.
b 显然, 当x 时, k最大 . 2a 2 b b 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
5
y
设曲线C是光滑的，
C
M . S
M 0 是基点. MM s , M M 切线转角为 .
定义
o
M0
S M .
)
x
弧段MM 的平均曲率为K . s
在 lim
曲线C在点M处的曲率 K lim s 0 s d d
s 0
19Leabharlann 五、曲线弧 y sin x ( 0 x ) 上哪一点处的曲率半 径最小？求出该点处的曲率半径 . 六、曲线上曲率最大的点称为此曲线的顶点，试求指 数曲线 y e x 的顶点，并求在该点处的曲率半径 .
20
练习题答案
1 一、1、直线. 圆； 2 、2, ； 2 二、 k cos x , sec x .
x y 1 y 8y x 7 (8 y x 7)(1 y) ( x y 1 （ ) 8 y 1） y (8 y x 7)2
k
y (1 y )
3 2 2
0
所以曲线必为直线 .
14
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
第七节 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
四、小结
1
问 题: 如何定量描述曲线的弯 曲程度 ?
2
一、弧微分
设函数f ( x )在区间(a , b ) 内具有连续导数.
y
N
A
M
基点 : A( x0 , y0 ),
M ( x , y )为任意一点 ,
o
x0
T R
x
x x
x
弧微分公式
2 故 ds 1 y dx . s s( x )为单调增函数,
4
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N
（１）当弧长相同时， 转角越大曲线弯曲程 度越大。
（２）转角相同 时弧段越短弯曲 程度越大
; 规定：(1) 曲线的正向与x增大的方向一致
( 2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号, 相反时, s取负号.
3
y
N
单调增函数
s s( x ).
如图，
o
设N ( x x , y y ),
A
M
T R
MN MN MT NT 当x 0时,
2 2
3、0.
2 三、 k . 3a sin 2t 0 五、( ,1) 处曲率半径有最小值 1. 2 1 1 3 3. 六. ( ln 2, ), 2 2 2
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3 2 2
6 (4 sin2 t 9 cos2 t )
3 2
(4 5 cos2 t )
3 2
3 2
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
3 t , 2 2
此时 k 最大，
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练习题
一、填空题： 1 、曲率处处为零的曲线为________ ；曲率处处相等 的曲线为__________. 2 、抛 物 线 y x 2 4 x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为 ________；曲率半径为_________. 3 、曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 (0,0) 处 的 曲 率 为 ___________. 二、求曲线 y ln(sec x ) 在点 ( x , y ) 处的曲率及曲率半 径. x a cos3 t t t 0 处的曲率 . 三、求曲线 在 3 y a sin t y2 x 四、证明曲线 y a cosh 在任何一点处曲率半径为 . a a
s
ds
存在的条件下, K
ds
.
6
注意(1)直线的曲率处处为零。
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的 倒数,且半径越小曲率越大.
如图所示 , 有
s R 1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
抛物线在顶点处的曲率 最大.
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D 曲率中心,
x
曲率半径.
12
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
3 2
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(0,0)及点 (1, a)处的曲率 . 例1 求y ax (a 0)在点
3
解 : y 3ax2 , y 6ax,
k y (1 y )
3 2 2
6a x (1 9a x )
2 3 4 2
在点 (0,0)处 K 0
3 2 2
.
8
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
dy ( t ) , dx ( t )
k
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
.
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
x0
x
x x
x
y 2 2 1 y dx , MN ( x ) ( y ) 1 ( ) x x
MN s ds ,
2 1 y dx , MT (dx) (dy)
2
2
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx .
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例3
证明曲线 : x 2 2 xy 8 y 2 2 x 14 y 3 0必为直线 .
证 明: 隐 函 数 求 导 2 x 2 y 2 xy 16 yy 2 14 y 0
将y代入得 9( x 2 2 xy 8 y 2 2 x 14 y 3) y 0 2 (8 y x 7)
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 ;
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2.曲率的计算公式
d K . ds
设y f ( x )二阶可导, tan y, y d dx, 有 arctan y, 2 1 y
ds 1 y2 dx .
k
y (1 y )
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
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习题3 7 P 175
1,3,4,7
总习题三 P 180
4,5,6,8,10(1,2,4),11(2), 13,15,17,19
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思考题
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪 些点处曲率最大？
17
思考题解答
在 点(1, a )处 K
6a (1 9a )
3 2 2
10
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大? 解 y 2ax b,
k 2a [1 ( 2ax b ) ]
3 2 2
y 2a ,
.
b 显然, 当x 时, k最大 . 2a 2 b b 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
5
y
设曲线C是光滑的，
C
M . S
M 0 是基点. MM s , M M 切线转角为 .
定义
o
M0
S M .
)
x
弧段MM 的平均曲率为K . s
在 lim
曲线C在点M处的曲率 K lim s 0 s d d
s 0
19Leabharlann 五、曲线弧 y sin x ( 0 x ) 上哪一点处的曲率半 径最小？求出该点处的曲率半径 . 六、曲线上曲率最大的点称为此曲线的顶点，试求指 数曲线 y e x 的顶点，并求在该点处的曲率半径 .
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练习题答案
1 一、1、直线. 圆； 2 、2, ； 2 二、 k cos x , sec x .
x y 1 y 8y x 7 (8 y x 7)(1 y) ( x y 1 （ ) 8 y 1） y (8 y x 7)2
k
y (1 y )
3 2 2
0
所以曲线必为直线 .
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四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
第七节 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
四、小结
1
问 题: 如何定量描述曲线的弯 曲程度 ?
2
一、弧微分
设函数f ( x )在区间(a , b ) 内具有连续导数.
y
N
A
M
基点 : A( x0 , y0 ),
M ( x , y )为任意一点 ,
o
x0
T R
x
x x
x
弧微分公式
2 故 ds 1 y dx . s s( x )为单调增函数,
4
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N
（１）当弧长相同时， 转角越大曲线弯曲程 度越大。
（２）转角相同 时弧段越短弯曲 程度越大
; 规定：(1) 曲线的正向与x增大的方向一致
( 2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号, 相反时, s取负号.
3
y
N
单调增函数
s s( x ).
如图，
o
设N ( x x , y y ),
A
M
T R
MN MN MT NT 当x 0时,
2 2
3、0.
2 三、 k . 3a sin 2t 0 五、( ,1) 处曲率半径有最小值 1. 2 1 1 3 3. 六. ( ln 2, ), 2 2 2
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