高等数学第三章 第7节 曲率

3 2 2
.
8
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
dy ( t ) , dx ( t )
k
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
.
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 ;
7
2.曲率的计算公式
d K . ds
设y f ( x )二阶可导, tan y, y d dx, 有 arctan y, 2 1 y
ds 1 y2 dx .
k
y (1 y )
抛物线在顶点处的曲率 最大.
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
x0
x
x x
x
y 2 2 1 y dx , MN ( x ) ( y ) 1 ( ) x x
MN s ds ,
2 1 y dx , MT (dx) (dy)
2
2
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx .
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例3
证明曲线 : x 2 2 xy 8 y 2 2 x 14 y 3 0必为直线 .
证 明: 隐 函 数 求 导 2 x 2 y 2 xy 16 yy 2 14 y 0
将y代入得 9( x 2 2 xy 8 y 2 2 x 14 y 3) y 0 2 (8 y x 7)
曲线弯曲程度的描述——曲率;
曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
15
习题3 7 P 175
1,3,4,7
总习题三 P 180
4,5,6,8,10(1,2,4),11(2), 13,15,17,19
16
思考题
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪 些点处曲率最大？
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思考题解答
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
3 2
9
(0,0)及点 (1, a)处的曲率 . 例1 求y ax (a 0)在点
3
解 : y 3ax2 , y 6ax,
k y (1 y )
3 2 2

6a x (1 9a x )
2 3 4 2
在点 (0,0)处 K 0
第七节 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
四、小结
1
问 题: 如何定量描述曲线的弯 曲程度 ?
2
一、弧微分
设函数f ( x )在区间(a , b ) 内具有连续导数.
y
N
A
M
基点 : A( x0 , y0 ),
M ( x , y )为任意一点 ,
o
x0
T R
x
x x
x
; 规定：(1) 曲线的正向与x增大的方向一致
( 2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号, 相反时, s取负号.
3
y
N
单调增函数
s s( x ).
如图，
o
设N ( x x , y y ),
A
M
T R
MN MN MT NT 当x 0时,
2 2
5
y
设曲线C是光滑的，
C
M . S

M 0 是基点. MM s , M M 切线转角为 .
定义
o
M0
S MLeabharlann Baidu.
)
x
弧段MM 的平均曲率为K . s
在 lim
曲线C在点M处的曲率 K lim s 0 s d d
s 0
k | y | [1 ( y ) ] 6
3 2 2

6 (4 sin2 t 9 cos2 t )
3 2
(4 5 cos2 t )
3 2
3 2
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
3 t , 2 2
此时 k 最大，
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练习题
一、填空题： 1 、曲率处处为零的曲线为________ ；曲率处处相等 的曲线为__________. 2 、抛 物 线 y x 2 4 x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为 ________；曲率半径为_________. 3 、曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 (0,0) 处 的 曲 率 为 ___________. 二、求曲线 y ln(sec x ) 在点 ( x , y ) 处的曲率及曲率半 径. x a cos3 t t t 0 处的曲率 . 三、求曲线 在 3 y a sin t y2 x 四、证明曲线 y a cosh 在任何一点处曲率半径为 . a a
D 曲率中心,
x
曲率半径.
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注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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五、曲线弧 y sin x ( 0 x ) 上哪一点处的曲率半 径最小？求出该点处的曲率半径 . 六、曲线上曲率最大的点称为此曲线的顶点，试求指 数曲线 y e x 的顶点，并求在该点处的曲率半径 .
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练习题答案
1 一、1、直线. 圆； 2 、2, ； 2 二、 k cos x , sec x .
在 点(1, a )处 K
6a (1 9a )
3 2 2
10
例2 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大? 解 y 2ax b,
k 2a [1 ( 2ax b ) ]
3 2 2
y 2a ,
.
b 显然, 当x 时, k最大 . 2a 2 b b 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
s

ds
存在的条件下, K
ds
.
6
注意(1)直线的曲率处处为零。
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的 倒数,且半径越小曲率越大.
如图所示 , 有
s R 1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
3、0.
2 三、 k . 3a sin 2t 0 五、( ,1) 处曲率半径有最小值 1. 2 1 1 3 3. 六. ( ln 2, ), 2 2 2
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x y 1 y 8y x 7 (8 y x 7)(1 y) ( x y 1 （ ) 8 y 1） y (8 y x 7)2
k
y (1 y )
3 2 2
0
所以曲线必为直线 .
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四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学. 基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
弧微分公式
2 故 ds 1 y dx . s s( x )为单调增函数,
4
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N

（１）当弧长相同时， 转角越大曲线弯曲程 度越大。
（２）转角相同 时弧段越短弯曲 程度越大