09-10复变函数测试题

模拟测试题

一、选择

1、由3Re 2,4

arg 0≤≤<

C ）闭区域

D ）非开集,亦非闭区域

2、若21z z e e =，则（ ）

A ）πik z z 221-=（为任意整数）

B ）、πk z z 221+=（为任意整数）

C ）、πik z z +=21 （ 为任意整数）

D ）、21z z =

3、=⎰=dz z

e z z 1||3（ ） A ）i 3π B ）i 32π C ） D ）

4、级数∑∞=122n ni n e 为（ ）

A ）通项不趋于0

B ）通项趋于0，但发散

C ）绝对收敛

D ）条件收敛

5、设i y y x xy x z f )3(3)(2223-+-=，则)(z f （ ）

（A ）仅在直线0=y 或3

2=y 上可导 （B ）仅在直线3

2=y 上可导 （C ）仅在实轴上可导

（D ）处处解析

6、0=z 是函数z 1sin 1

的（ ）

（A ）可去奇点 （B ）极点

（C ）本性奇点 （D ）非孤立奇点

7、级数∑∞=++-111)

1(n n n n z 的收敛半径和和函数为（ ）

（A ）1),1ln(=+R z （B ）1),1ln(=+R z z

（C ）1),1ln(=-R z （D ）1),1ln(=-R z z

二、填空

1、设21,z z 为复平面上的两个定点，则以12,z z 为端

点的直线段上任一点

2、级数∑∞

=+0)1(n n n z i 的收敛圆为

3、=∞-),1

(Re 2z e s z 4、若i i y i x +=+-++135)3(1，则 。

5、若=+=-)1(,)1(i f z i

z f 则 6、级数∑∞=-1)1)((n n z n

i ch 的收敛圆为 。 7、=-⎰=2||4

1z dz z z 。

三、判断

1、2121Lnz Lnz z Lnz += 。（ ）

2、若),(),,(y x v y x u 可导（指偏导数存在），那么iv u z f +=)(也可导。（ ）

3、如果iv u z f +=)(是一解析函数,那么u 是v 的共轭调和函数（ ）

4、每一个在处解析的函数一定可以在的邻域展成泰勒级数。（ ）

5、如果级数0n n c ∞=∑收敛，而级数0||n n c ∞

=∑发散。那么级

数0n n n c z ∞

=∑的收敛半径为１。（ ）

6、对任何复数22||,z z z =。 （ ）

7、1

Lnz n

= （ ） 8、∞=z 是函数z z sin cos -的可去奇点。 （ ）

四、计算题

1、求56)1()31(i i -+的值 。

2、证明)(3),(33y x xy y x y x u -+-=为调和函数，并求其共轭调和函数),(y x v ，使它们构造成一解析函数iv u z f +=)(，且有0)0(=f 。

3、函数)()(2322y lx x i y nx my z f +++=解析。问常数,,,l n m 取何值时,()f z 在复平面处处解析,并求其导数。

4、求幂级数∑∞

=-1)1(n n z n n 的收敛圆及和函数。

5、函数2)1(1

)(-=z z z f 在圆环域

1）1||0<

内处处解析，试把)(z f 在这些区域内展开成洛朗级数。

6、利用留数计算积分⎰∞++=0

4

21dx x x I 。 五、证明

1、证明复平面上圆的方程可写作

0=+++C z z z z αα（其中为复数，为实数）

。 2、证明若)(z f w =

在有界闭集上连续，则必有界。

3、一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。

4、设函数)(z f 在复平面上解析，且0)(>>c z f ，

试证)(z f 必为常数。（应用刘维尔定理于

)(1z f ） 5、设函数)(z f 在R z ≤上解析，如果存在0>a ，使得当R z =时a f a z f <>)0(,)(试证)(z f 在R z <内至少有一个零点。