7 切线长定理

合集下载

北师大版数学九年级下册《＊7 切线长定理》说课稿2

北师大版数学九年级下册《＊7 切线长定理》说课稿2一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册第7节的内容。

本节课主要介绍切线长定理及其应用。

切线长定理是初中数学中的一个重要定理，它揭示了圆的切线与圆内接四边形的关系。

通过学习本节课，学生能够掌握切线长定理的内容，并能运用切线长定理解决相关问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对圆的性质和四边形的性质有一定的了解。

但是，对于切线长定理的理解和应用还需要进一步引导和培养。

在学生中存在以下几个问题：1. 对切线长定理的理解不够深入，容易与切线性质混淆；2. 运用切线长定理解决实际问题时，缺乏思路和方法；3. 对于几何图形的观察和分析能力有待提高。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解切线长定理的内容，并能运用切线长定理解决相关问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：切线长定理的内容及其运用。

2.教学难点：切线长定理的证明和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的切线性质和四边形的性质，引出切线长定理的概念。

2.新课讲解：讲解切线长定理的内容，并通过几何画板展示切线长定理的证明过程。

3.案例分析：分析几个实际问题，引导学生运用切线长定理解决问题。

4.小组讨论：学生分组讨论，总结切线长定理的运用方法和技巧。

5.课堂练习：布置几道练习题，巩固学生对切线长定理的理解和应用。

6.总结：对本节课的内容进行总结，强调切线长定理的重要性和应用价值。

七. 说板书设计板书设计如下：定义：圆的切线与圆内接四边形的一组对边相等。

证明：利用圆的切线性质和四边形的性质进行证明。

24.2.2(7)---切线长定理(2条切线)

24.2.2(7)---切线长定理一．【知识要点】1.切线长定理：过圆外一点可以作圆的两条切线，切线长相等，连接这点和圆心的直线平分两切线的夹角。

二．【经典例题】1．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝70°．求：PA=；∠COD的度数为；2．如图，△ABC中，∠ACB＝90゜，AC＝6，BC＝8，O为BC上一点，以O为圆心OC为半径作圆与AB切于D．（1）求BD的长；（2）求⊙O的半径．3.如图,正方形ABCD的边长为4,以BC为直径作圆,过A点作圆的切线,交DC于E,切点为F.(1)求△ADE的面积;(2)求BF的长.4.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为____________.5.如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C. D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G.求证：DF∥AO三．【题库】【A】1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=5,AC=3,则BD的长为__________.2.如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB =3,则光盘的直径是（）A.3B. 3√3C.6D. 6√33.（绵阳2018年第23题，本题满分11分）如图，AB是圆O的直径，点D在圆O上（点D 不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于C，过点D作圆O的切线DE交BC于点E.求证：BE=CE4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,☉O与Rt△ABC的三边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,若☉O的半径r=2,则Rt△ABC的周长为_________.5．(2023绵阳期末第4题)一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是15cm，如果∠BDC＝60°，则OD＝（）A．18cm B．20cm C．25cm D．30cm6．(2021绵阳期末第7题)如图，过点P作半径为1的⊙O的切线，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，则PA＝（）A．B．2 C．D．3【B】1.如图,AD是☉O的直径,AB,DC,BC是☉O的三条切线,若OB=3,OC=4,则BC= ( )A.3B.4C.5D.62.如图所示,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B两点,C是弧AB上任意一点,过点C 作☉O的切线分别交PA,PB于点D,E.若△PDE的周长为12,则PA的长为( )A.12B.6C.8D.43.如图,PA,PB分别是☉O的切线,B是切点,AC是☉O的直径.已知∠APB=70°,则∠ACB的度数为________________.4.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.(1)若∠1=20°,求∠APB的度数;(2)当∠1为多少度时,OP=OD?并说明理由.5．如图，PA、PB分别与半径为3的⊙O相切于点A，B，直线CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E，当PO＝5时，△PCD的周长为（）A．4 B．5C．8D．10【C】1.直角三角形的两条直角边的和为8,斜边为6,则其内切圆的半径为( )A.1B.2C.3D.42.小明把半径为 1 的光盘.直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与 AB ， CD 分别相切于点 N ， M ．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着 CD 向右滚动到再次与 AB 相切时，光盘的圆心经过的距离是．【D 】1.如图，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 切⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接BE.（1）求△CDF 的面积；（2）求线段BE 的长.A B C D E F O。

北师大版数学九年级下册《＊7 切线长定理》教学设计2

北师大版数学九年级下册《＊7 切线长定理》教学设计2一. 教材分析《北师大版数学九年级下册》第七章“切线长定理”是中学数学中的一个重要内容，也是初中数学中的难点之一。

本节内容主要引导学生探究圆的切线与圆内一点到圆的距离之间的关系，进而推导出切线长定理。

教材通过丰富的活动与例题，使学生能够深刻理解并掌握切线长定理，为后续学习圆的性质和方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对圆的基本概念和性质有所了解。

但是，对于圆的切线长定理这一较为复杂的概念，学生可能存在理解上的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，通过引导学生观察、思考、探究，激发学生的学习兴趣，提高学生的几何思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解切线长定理的内容，能够运用切线长定理解决相关问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：切线长定理的推导与理解。

2.难点：切线长定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导探究法：通过设置问题，引导学生观察、思考、操作，自主探究切线长定理。

2.合作交流法：鼓励学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作能力。

3.案例教学法：通过分析典型例题，使学生掌握切线长定理的应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示切线长定理的相关概念、性质和例题。

2.学习材料：准备相关的学习资料，以便学生在课堂上进行自主学习。

3.几何画板：用于展示圆的切线和圆内一点到圆的距离之间的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个圆和一条切线，引导学生观察切线与圆内一点到圆的距离之间的关系，提出问题：“切线与圆内一点到圆的距离之间是否存在某种特殊的关系？”2.呈现（10分钟）呈现切线长定理的定义和推导过程，引导学生理解切线长定理的含义。

切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段

切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4. 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

9.垂径定理：（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

10.圆心角定理：（1）圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（3）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

12.圆周角定理：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

7.切线长定理

B
。
O
P A
PA = PB ∠OPA=∠OPB
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法
思考：由切线长定理还可以得出哪些结论？
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。
O
A
C
B
P
若连结两切点A、 B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB
∴PA = PB
∴PC=PC
∠OPA=∠OPB
∴ △PCA ≌ห้องสมุดไป่ตู้△PCB
∴AC=BC
例.PA、PB是⊙O的两条切线， A、B为切点，直线OP交于 ⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角
A
E
O
C D
B
P
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC （3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP △AOB （5）若PA=4、PD=2，求半径OA
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等
我们学过的切线，常有六个性质：五个
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
∴OA⊥PA，OB⊥PB
B
。
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点即∠OAP=∠OBP=90°

北师大版数学九年级下册《＊7 切线长定理》教案2

北师大版数学九年级下册《＊7 切线长定理》教案2一. 教材分析《切线长定理》是北师大版数学九年级下册的一章内容，主要介绍了切线长定理及其应用。

本章内容在初中数学中占据重要地位，为学生进一步学习高中数学和大学数学打下基础。

切线长定理是几何中的一个重要定理，它揭示了切线与圆的关系，对于解决与圆有关的问题具有重要作用。

二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了圆的基本性质、直线与圆的位置关系等知识。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用切线长定理。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解切线长定理的含义，并通过实例让学生体会切线长定理在解决实际问题中的重要性。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握切线长定理及其应用，能够灵活运用切线长定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生运用几何直观解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的重要性。

四. 教学重难点1.重点：切线长定理的理解和应用。

2.难点：如何引导学生运用切线长定理解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生动有趣的情境，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生观察、思考、猜想、验证，培养学生的创新能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的图片、案例等教学资源。

2.准备课件，进行动画展示。

3.准备练习题，进行课堂巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与圆有关的实际问题，引导学生思考如何解决这些问题。

通过观察、讨论，让学生感受到切线长定理在解决这些问题中的重要性。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解、演示，引导学生发现并总结切线长定理。

同时，通过动画展示，使学生直观地理解切线长定理的含义。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用切线长定理解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

7 切线长定理

思考：切线
P
长和切线的
O
区别和联系？
C
新课讲解
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.
新课讲解
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
A 请你们结合图形用数学语言表达定理
O P
B
PA、PB分别切⊙O于A、B, 连结PO
当堂小练
1.如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝50°，下列结论不正确的是( C ) A．PA＝PB B．∠APO＝25° C．∠OBP＝65° D．∠AOP＝65°
当堂小练
2.如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，
CD切⊙O于点E，AD与CD相交于点D，BC与CD相交于点C，
新课讲解
练一练
1.已知⊙O的半径为3 cm，点P和圆心O的距离为6 cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.
解：如图，PA，PB为⊙O的切线．由题意可知OA＝3 cm，PO＝6 cm，OA⊥PA， ∴PA＝ OP2－OA2＝ 36－9＝3 3 (cm)．又由切线长定理知PA＝PB， ∴PB＝33 cm.
∴AB = AC2 BC2 102 242 = 26.
∵ ⊙O分别与AB，BC, AC相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE ⊥ BC, OF ⊥ AC，BD = BE，
AD = AF，CE=CF.
新课讲解
又∵ ∠ C=90°, ∴四边形OECF为正方形. ∴ CE=CF=r. ∴ BE = 24-r, AF=10-r. ∴ AB = BD + AD = BE+AF =24-r+ 10-r= 34-2r. 而AB = 26, ∴ 34 -2r = 26. ∴ r = 4, 即⊙O 的半径为4.

20-第三章7切线长定理

.
答案 2
图3-7-5
解析如图,设☉O分别与AB、AC的延长线及BC边相切于点F、D、E,连
接OD、OE,
则AF=AD,BE=BF,CE=CD,OD⊥AD,OE⊥BC,
又∵∠ACB=90°,∴四边形ODCE是正方形,
设OD=r,则CD=CE=r,
∵BC=3,∴BE=BF=3-r,∵AB=5,AC=4,∴AF=AB+BF=5+3-r,AD=AC+CD=4+r, ∴5+3-r=4+r,解得r=2,则☉O的半径是2.
7 切线长定理
栏目索引
2.如图所示,四边形ABCD是正方形,以BC边为直径在正方形内作半圆O,再
过顶点A作半圆O的切线(切点为F),交CD边于E,则sin∠DAE=
.
答案 3
5
解析设正方形ABCD的边长为4a,EC=x.由题意知,AB、CD与半圆O相切, 又AE为半圆O的切线,∴AF=AB=4a,EF=EC=x,在Rt△ADE中,DE=4a-x,AE= 4a+x,由勾股定理得AE2=AD2+DE2,∴(4a+x)2=(4a)2+(4a-x)2,解得x=a,∴AE=5 a,DE=3a,在Rt△ADE中,sin∠DAE= DE = 3a = 3.
7 切线长定理
栏目索引
3.如图3-7-6,已知射线PO与☉O交于A、B两点,PC、PD分别切☉O于点C、D,CD交PO于点E. (1)请写出两个不同类型的正确结论; (2)若CD=12,tan∠CPO= 1 ,求PO的长.
2
图3-7-6
7 切线长定理
栏目索引
解析 (1)不同类型的正确结论:①PC=PD,②∠CPO=∠DPO,③CD⊥BA

北师大版数学九年级下册7 切线长定理教案与反思

*7 切线长定理投我以桃，报之以李。

《诗经·大雅·抑》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！【知识与技能】掌握切线长定理及其应用.【过程与方法】通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“实验几何——论证几何”的探究方法【情感态度】通过应用内切圆相关知识解题，体会把复杂问题转化为简单问题后易于解决，从而树立解决问题的信心。

【教学重点】切线长定理及应用.【教学难点】切线长定理及应用.一、情景导入，初步认知1.已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2.直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？【教学说明】由旧知识引入新知识，过渡自然，符合学生的认知规律.二、思考探究，获取新知探究：如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A 重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？说明图中的PA和PB有什么关系？证明：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA丄AP，OB丄BP.又OA=OB，OP=OP，Rt△BOP∴Rt△AOP∴PA=PB因此，我们得到切线长定理.【归纳结论】经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.【教学说明】发展学生探究知识的意识和“实验几何——论证几何”探究方法.三、运用新知，深化理解1.见教材P95例题.2.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长.解：∵AD，AE切于⊙O于D，E∴AD=AE=20∵AD，BF切于⊙O于D，F∴BD=BF，同理：CF=CE∴C△ABC=AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=403.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC=12，∠P=60°，求弦AB的长。

解：连接BC.∵PA，PB切⊙0于A，B，∴PA=PB.∴∠P=60°，∴△ABP是正三角形.∵∠PAB=60°，∴PA是⊙O切线，∴CA⊥AP，∴∠CAP90°∴∠CAB=30°∵直径AC，∴∠ABC=90°，∴cos30°=AB AC，∴34.如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，AD=4cm.（1）求⊙O的直径BE的长；（2）计算△ABC的面积.解：（1）连接OD，∴OD丄AC••ODA是直角三角形.设半径为r，∴AO=r+2，∴(r+2)2-r2=16，解之得，r=3，∴BE=6(cm).(2)∵∠ABC=90°∴OB丄BC，∴BC是⊙O的切线.∵CD切⊙O于D，∴CB=CD，令CB=x，∴AC=x+4，BC=x，AB=8.∵x2+82=(x+4)2，∴x=6，•S△ABC=1×8×6=24(cm2).2【教学说明】通过习题巩固课堂教学成果，思考题使学生保持继续探究的欲望加对知识的深入思考。

初中数学(北师大版)九年级-7___切线长定理_教学设计_教案(课件免费下载)

教学准备1. 教学目标1、理解切线的判定定理，并学会运用。

2、知道判定切线常用的方法有两种，初步掌握方法的选择。

2. 教学重点/难点教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法。

教学难点：切线判定定理中所阐述的圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视一．3. 教学用具课件4. 标签7 切线长定理教学过程第一环节创设情景，引入新课活动内容：问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?这里让学生们小组讨论,那么,该如何测量这个锅盖的半径呢?学生们众说纷纭,可能会利用90°的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答, 哪一种方法更好呢?教师引导学生发现A、B分别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB,OA,则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB.如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？活动目的：《课标》指出：“对数学的认识，应处处着眼于数学与人的发展和现实生活之间的密切联系”根据这一理念和九年级学生的年龄特点、心理发展规律，联系生活中喜闻乐见的话题，创设有一定挑战性的问题情景，目的在于激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力较快地集中到本课的学习中.教师通过对话交往，引导学生把对概念的感性认识上升到理性认识，然后在图形中进行识别，从而认识概念的本质特征，理解概念的外延.第二环节合作学习，探究新知（一）、切线长定义1、板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句.（线段的长叫做切线长）（2）定义中的“线段”具有什么特征？①在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA）（2）已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA或线段PB）（3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？（4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学.（二）、切线长定理：1、探索问题1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？探索步骤：（1）根据条件画出图形；（2）度量线段PA和PB的长度；（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类.（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由.活动目的：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合.首先出示探索步骤的前三个，等学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径.之后，再让学生探索更多的结论，并由（6）得出定理.定理的剖析以对话形式进行.在整个过程中，教师相应地进行板书.此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性.然后，通过动态演示强化切线长定理这一核心知识.可以看出设置探究性的问题，可以树立学生已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知转化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题的思考方法.本环节教师通过学生探究、学生讲解、学生总结、归纳总结得出本节课的核心知识“切线长定理”，又通过动态演示强化核心知识.最后通过习题、生活中的实例让学生应用核心知识，树立学生的应用意识.这样多种形式、多种角度强化核心知识，更易学生接受.3、剖析定理：（1）指出定理的题设和结论；（2）用符号语言表示定理：∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于点A、B）∴PA=PB，∠APO=∠BPO.(3)切线和切线长区别.切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离.活动目的：此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，4.拓展：（1）图3是轴对称图形吗？如图4，连结图3中的两个切点AB交OP于点C，OP所在的直线交⊙O于点D、E，又能得出什么结论？并把它们分类.（2）如图5，已知⊙O 的两条切线互相平行，A、B 两点为切点，如果连接两切点AB，则AB是⊙O 的直径吗？数学来源于生活，又应用于生活，请同学们再思考下，它们在我们的日常生活中各有什么应用？答：⑴图3是轴对称图形，连接AB，结论①△PAB 是一个等腰三角形，并且存在等腰三角形的三线合一定理.②AB⊥OP ，出现了圆的垂径定理.⑵AB是⊙O 的直径.我们的日常生活中,球放在墙角，V 形架中放入一个圆球等.如图7 可以应用于解决日常生活中测量球体的直径.（4）如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.（5）老师有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能最大？答：只要作出这个三角形的内切圆便是这个三角形中取出的用料.活动目的：此环节让学生指出切线长定理的题设和结论，并让学生熟练掌握定理的三种几何语言（符号语言、文字语言、图形语言）的表示.学生在总结出切线长定理的同时，又通过观察图形发现了圆心和这一点的连线为圆的对称轴，利用对称性还可得到更多的边等、角等、弧等的结论.接着让学生观察三角形的内切圆从而发现其中也存在切线长定理.问题的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学.最后，通过在三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究，帮助学生从实际中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题，提高他们数学的应用意识和解决问题的能力.（三）圆的外切四边形的性质.请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线，再互相交流与讨论你的发现与结论并加以验证.结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.活动目的：学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结的出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论.这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林”.第三环节应用新知，体验成功活动内容：(一)例题学习1.例题：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径.变式一：由于切线长定理的运用是本节的难点，为了化解难点，在例题完成后，将例题加以变式训练，将 Rt△ABC变为一般△ABC.即：课本96页知识技能第2题已知：如图5，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA,AB 分别相切于点 D，E，F，且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.变式二：在变式一完成后，将变式一再加以变式训练，将切线AC平移到圆的另一侧，即知识技能第1题例1、如图，P是⊙O外一点，PA与PB分别⊙O切于A、B两点，DE也是⊙O的切线，切点为C，PA=PB=5cm，求△PDE的周长.让学生分析问题后，提出问题：1、从图中可得出哪些结论？请说明理由.2、求△PDE的周长时，应如何利用已知条件？提出引导问题的目的让学生对所学的知识加以归纳，形成知识系统，问题2是解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成此题，并让学生进行题后小结.活动目的：本环节利用由简入深的变式，充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力，达到触类旁通！（二）巩固练习1.填空：如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO=（2）若PO=10，AO=6，则PB= ；（3）若PA=4，AO=3，则PO= ；PD= ；2.已知,如图10，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm.求半径OA的长.现在让我们回到锅盖的半径问题上，如何解决这个问题呢？3.为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？（引导学生连结OA、OB、OP，利用切线长定理解答）活动目的：本环节加深了学生对知识的理解，让学生体验数学的严谨性，意在培养学生自主学习的习惯、自主探索、引导学生爱读书敢质疑、能自主建构切线长，并利用切线长定理解答问题，对本节知识进行巩固练习.第四环节梳理小结，盘点收获活动内容：1、你的学习心得、体会是什么？2、你有哪些好的经验可推广？3、你还存在哪些困难、疑问？提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．让学生自由提问，同时也可利用这个机会，辅导有困难的学生，从而使每个学生都能达标.课堂小结学了这节课，你有什么收获？课后习题完成课后练习题。

北师大版九年级数学下册第三章《 3-7 切线长定理》优课件(共20张PPT)

如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？
若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这个圆半径的近似值。
三角形的外接圆：三角形的内切圆：
学科网
A
A
O
B
C
B
I C
D
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
学科网
A
O
·
P
B
① PA=PB
连结OA、OB、
② PO平分∠APB ∵PA、PB与⊙O相切，点
A、B是切点
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A O
·
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵OA=OB，OP=OP
1 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP 2 P ∴PA=PB
∠1 =∠2
B
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，
B
┐ E
C
【例题】
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于
点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，