温江区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

温江区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f
（）
=，则f （﹣2）等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
2． 函数f （x ）=xsinx 的图象大致是（ ）
A
． B
．
C
． D
．
3． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则A B （ ）
A ．（0，+∞）
B ．（1，+∞）
C ．（0，1）
D ．（1，2）
4． 已知，y 满足不等式430,35250,1,x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．3
B ．13
2
C ．12
D ．15
5． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2
），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（ ）
A ．（0，＋∞）
B ．（－∞，－1
2
）
C ．（－12，＋∞）
D ．（－1
2，0）
6． 已知平面向量与的夹角为
3
π
，且32|2|=+b a ，1||=b ，则=||a （ ） A ． B ．3 C ． D ． 7． 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，
.
若
,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为
A[
]
B[]
C[]
D[
]
8． 对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断： ①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≠0；②a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 不能同时成立，
下列说法正确的是（ ）
A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①对②对
D ．①错②错
9． 将函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为（ ） （A ）
43π （ B ） 83π （C ） 4
π （D ） 8
π 10．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A ．1：2：3
B ．2：3：4
C ．3：2：4
D ．3：1：2
11．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．函数f （x ）=cos 2x ﹣cos 4x 的最大值和最小正周期分别为（ ）
A
．，πB
．
，C
．，πD
．
，
二、填空题
13．已知等差数列{a n}中，a3
=，则cos（a1+a2+a6）=．
14．已知实数x，y
满足，则目标函数z=x﹣3y的最大值为
15．若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是．
16．已知实数x，y满足
2
330
220
y
x y
x y
≤
⎧
⎪
--≤
⎨
⎪+-≥
⎩
，目标函数3
z x y a
=++的最大值为4，则a=______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
17．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1
：：2，则这个二面角的平面角是
度．
18．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期为T的周
期数列．已知数列{a n}满足：a1＞=m （m＞a ），a n+1
=，现给出以下三个命题：
①若
m=，则a5=2；
②若a3=3，则m可以取3个不同的值；
③若
m=，则数列{a n}是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是．
三、解答题
19．在数列中，，，其中，．
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）是否存在实数，使构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（Ⅲ）当时，证明：存在，使得．
20．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>
C 的左顶点T 为圆心作圆T ：
222(2)x y r ++=（0r >），设圆T 与椭圆C 交于点M 、N ．[_]
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；
（3）设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R S 、（O 为坐标 原点），求证：OR OS ⋅为定值．
【命题意图】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，几何问题构建代数方法解决等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，综合分析问题解决问题的能力，推理能力和运算能力．
21．已知p ：x ∈A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0，x ∈R}，q ：x ∈B={x|x 2﹣2mx+m 2﹣4≤0，x ∈R ，m ∈R} （1）若A ∩B=[0，3]，求实数m 的值；
（2）若p 是￢q 的充分条件，求实数m 的取值范围．
22．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，BD=8，∠BCD=135°．
（1）求∠BDA的大小
（2）求BC的长．
23．已知函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设向量，求满足
不等式的α的取值范围．
24．如图，已知椭圆C，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交
点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．
①证明：OM•ON为定值；
②证明：A、Q、N三点共线．
温江区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=…①，
∴3f（）﹣2f（x）==…②，
①×3+③×2得：
5f（x）=，
故f（x）=，
又∵函数f（x）为偶函数，
故f（﹣2）=f（2）=，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x＞0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键．
2．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除B、C，因为x∈（π，2π）时，sinx＜0，此时f（x）＜0，所以排除D，
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．
3．【答案】A
【解析】解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}=（1，+∞），集合B={y|y=2x}=（0，+∞）
则A∪B=（0，+∞）
故选：A．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
4．【答案】C
考点：线性规划问题．
【易错点睛】线性规划求解中注意的事项：（1）线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础．（2）目标函数的意义，有的可以用直线在y 轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示．（3）线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定． 5． 【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，
由f （x ）＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）得
f （－x ）＝（e x －e －x ）（12－x ＋1－1
2）
＝（e
x
－e －x ）（
－1
2x ＋1＋12
） ＝（e －x －e x ）（12x ＋1－1
2）＝f （x ），
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－1
2
，
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－1
2}，故选C.
6． 【答案】C
考点：平面向量数量积的运算．
7．【答案】B
【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

∴当x＞0时，。

∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：。

故实数a的取值范围是。

8．【答案】A
【解析】解：由：“a，b，c是不全相等的正数”得：
①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，
故①正确；
但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a≠b，b≠c，c≠a能同时成立，
故②错．
故选A．
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．
9． 【答案】B
【解析】将函数()()sin 20y x ϕϕ=+>的图象沿x 轴向左平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数sin 2sin 284[()]()y x x ππϕϕ=++=++的图象，可得42ππϕ+=，求得ϕ的最小值为 4
π
，故选B ．
10．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，则圆柱、圆锥的底面半径也为R ，高为2R ，
则球的体积V 球=
圆柱的体积V 圆柱=2πR 3
圆锥的体积V 圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR 3
：： =3：1：2
故选D
【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
11．【答案】 A
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，
∴母线长为
，
圆锥的表面积S=S
底面+S 侧面=×π×12
+×2×2+×π×
=2+
．
故选A ．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
12．【答案】B
【解析】解：y=cos 2x ﹣cos 4x=cos 2x （1﹣cos 2x ）=cos 2x •sin 2x=sin 2
2x=
，
故它的周期为=，最大值为=．
故选：B ．
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，且a3=，
∴a1+a2+a6=3a1+6d=3（a1+2d）=3a3=3×=，
∴cos（a1+a2+a6）=cos=．
故答案是：．
14．【答案】5
【解析】解：由z=x﹣3y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，
由，解得，即C（2，﹣1）．
代入目标函数z=x﹣3y，
得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，
故答案为：5．
15．【答案】{a|或}．
【解析】解：∵二次函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为x=a﹣，
f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，
∴a ﹣≥2，或a ﹣≤1，∴a ≥，或 a ≤，
故答案为：{a|a ≥，或 a ≤}．
【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．
16．【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线
l 经过点5(,2)3M 时，3z a x y -=+取得最大值，∴max 5
()3273
z a -=⨯+=，所以max 74z a =+=，故
3a =-．
17．【答案】 75 度．
【解析】解：点P 可能在二面角α﹣l ﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P 在二面角α﹣l ﹣β的内部
时，如图，A 、C 、B 、P 四点共面，∠ACB 为二面角的平面角，
由题设条件，点P 到α，β和棱l 的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．
故答案为：75． 【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关
键．
18．【答案】①②．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，
所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；
对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．
若，则．
若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．
所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．
故②正确；
若a
=m=＞1，则a2=，所a3=＞1，a4=
1
故在a1=时，数列{a
}是周期为3的周期数列，③错；
n
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】数列综合应用
【试题解析】（Ⅰ），，．
（Ⅱ）成等差数列，，
即，
，即．
，．
将，代入上式，解得．
经检验，此时的公差不为0．
存在，使构成公差不为0的等差数列．
（Ⅲ）,
又 ， 令．
由 ，
，
……
，
将上述不等式相加，得 ，即
． 取正整数，就有
20．【答案】
【解析】（1）依题意，得2a =，2
c e a =
=， 1,322=-==∴c a b c ；
故椭圆C 的方程为2
214
x y += ． （3分）
（3）设),(00y x P 由题意知：01x x ≠，01y y ≠±.
直线MP 的方程为),(01
01
00x x x x y y y y ---=-
令0=y 得101001y y y x y x x R --=
,同理：1
01
001y y y x y x x S ++=，
∴2
1
2
02
1
2
02
02
1y y y x y x x x S R --=
⋅. （10分）
又点P M ,在椭圆上，故
)1(4),1(42
12
12
020y x y x -=-=，
∴4)(4)1(4)1(42
1
2
02
1202
1
2
02
1
202021=--=
----=
y y y y y y y y y y x x S R ，
4R S R S OR OS x x x x ∴⋅=⋅==，
即OR OS ⋅为定值４.
（13分）
21．【答案】
【解析】解：由已知得：A={x|﹣1≤x ≤3}， B={x|m ﹣2≤x ≤m+2}． （1）∵A ∩B=[0，3]
∴
∴，
∴m=2；
（2）∵p 是¬q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ， 而C R B={x|x ＜m ﹣2，或x ＞m+2} ∴m ﹣2＞3，或m+2＜﹣1， ∴m ＞5，或m ＜﹣3．
22．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）在△ABC 中，AD=5，AB=7，BD=8
，由余弦定理得…
=
…
∴∠BDA=60°… （2）∵AD ⊥CD ，
∴∠BDC=30°…
在△ABC中，由正弦定理得，…
∴．…
23．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调函数
∴x=≤1
∴m≤2
∴实数m的取值范围为（﹣∞，2]；
（2）由（1）知，函数f（x）=x2﹣mx在[1，+∞）上是单调增函数
∵，
∵
∴2﹣cos2α＞cos2α+3
∴cos2α＜
∴
∴α的取值范围为．
【点评】本题考查函数的单调性，考查求解不等式，解题的关键是利用单调性确定参数的范围，将抽象不等式转化为具体不等式．
24．【答案】
【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（2）证明：设P（x0，y0），则，
①直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，
直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），
联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4kx=0，
∴x Q=，y Q=，
∴k AN ===1﹣，k AQ ==1﹣，
要证A 、Q 、N 三点共线，只需证k AN =k AQ ，即3x N +4=2k+2，
将k=
代入，即证：x M •x N =
，
由①的证明过程可知：|x M |•|x N |=，
而x M 与x N 同号，∴x M •x N =，
即A 、Q 、N 三点共线．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。