2012届高三期末数列专题复习(人大) 班姓名

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人大附中2012年6月高三期末数学练习题

高二第二学期期末考试模拟试题（四）班级______姓名_____20120620一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出选项中，选出符合题目要求的一项．） 1、若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且(2)i 1i b a +-=+，则a b +的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．42、样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本的方差为（）A ．56 B ．56C ．2D ．2 3、函数()xf x x e -=-在点(0,1)-处的切线方程为 ( ）A ．1y =-B ．1y x =-C ．21y x =-D ．1y x =--4、给出下列定义域为R 的函数①(sin )(cos )y x x ''=-，②(sin )cos y x x '=+，③cos (cos )y x x '=+， ④(sin cos )y x x '=⋅，其中值域是[的函数是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5、已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( )A ．1 B ．2 C ．-1 D ． -26、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）A ．124414128C C CB ．124414128C A AC ．12441412833C C C AD ．12443141283C C C A7、设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8、已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数, ''()0,()()()(),g x f x g x f x g x ≠<()()x f x a g x =⋅(01)a <≠，(1)(1)5,(1)(1)2f f g g -+=-在有穷数列(){}()f ng n 中，任意取正整数(110)k k ≤≤，则前k 项和大于1516的概率是（） A ．15 B ．25 C ．35 D ．45二、填空题（本大题共6小题，每小题 5分，共30分．把答案填在题中横线上．） 9、已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++ . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃ Z 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 6 .10、若⎰ax 0d x =1, 则实数a .11、6.若过直角三角形ABC 的直角顶点A 任作一条直线l ，则l 与斜边BC 相交的概率为 . 12、如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为；若从乙班身高不低于170cm 的同学中随机抽取两名，则身高为173cm 的同学被抽中的概率为．甲班乙班 2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 913、设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是 14、已知()f x 是定义在R 上的可导函数. 若函数()()F x xf x =，满足'()0F x >对R x ∈恒成立，给出下面四个结论中,① (1)(1)0f f +-> ； ② ()0f x ≥对R x ∈成立； ③ ()f x 是奇函数； ④ ()f x 可能有极值点. 所有正确结论的序号是_________________三、解答题（本大题共 6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15、（本小题满分分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.16、（本小题满分分）（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE ．17、（本小题满分分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式x C 2010000+=，每日的销售额R （单位：元）与日产量x 的函数关系式321290,0120,3020400,120.x ax x x R x ìïï-++<<ï=íïï³ïî 已知每日的利润C R y -=，且当30=x 时，100-=y . （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.18、（本小题满分分）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209.假设甲、乙两人射击互不影响. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为X ，求X 的分布列和数学期望.已知函数1()ln(1),01xf x ax xx-=++≥+，其中0a>()I若()f x在x=1处取得极值，求a的值；()II求()f x的单调区间；（Ⅲ）若()f x的最小值为1，求a的取值范围设3m >，对于有穷数列{}n a (1,2,,n m =L ), 令k b 为12,,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”. 数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数1,2,,(3)m m >L 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . （Ⅰ）若m =5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{}n c ；(Ⅱ) 是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，求它们的首项的和.高二第二学期期末考试模拟试题班级______姓名___________20120620一、）9、__6___10、、_12_____12、___169；31____，13、___2－1____14、①②④ _____,三、解答题（本大题共 3小题，共30 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15、（本小题共分）已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y fx =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.（Ⅰ）0x =1; （Ⅱ）2,9,12a b c ==-=.16、（本小题满分分）（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，及数学期望ξE ．解：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A ，则222246352182()9C C C C P A C +++==. -----------------------------------------------------5分 (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2. ---------------------------------------------------------2分∵21421891(0)153C P C ξ===，1141421856(1)153C C P C ξ===，242186(2)153C P C ξ===，∴ξ的分布列为：分∴915664()0121531531539E ξ=⨯+⨯+⨯=. ---------------------------------------------13分 17、（本小题满分分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式x C 2010000+=，每日的销售额R （单位：元）与日产量x 的函数关系式321290,0120,3020400,120.x ax x x R x ìïï-++<<ï=íïï³ïî 已知每日的利润C R y -=，且当30=x 时，100-=y . （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.解：（Ⅰ）由题意可得：32127010000,0120301040020,120.x ax x x y x x ìïï-++-<<ï=íïï- ïî，……………………………………2分因为30=x 时，100-=y ，所以3211003030270301000030a -=-???.……………………………………4分所以3a =. ……………………………………5分（Ⅱ）当0120x <<时，32132701000030y x x x =-++-. ……………………………………6分21'627010y x x =-++. ……………………………………8分由21'6270010y x x =-++=可得：1290,30x x ==-（舍）. ……………………………………9分所以当(0,90)x Î时，原函数是增函数，当(90,120)x Î时，原函数是减函数. 所以当90x =时，y 取得最大值14300. ……………………………………11分当120x ³时，10400208000y x =- . ……………………………………12分所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元.……………………………………13分18. 甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209.假设甲、乙两人射击互不影响. （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为X ，求X 的分布列和数学期望.18. 解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件A ，“乙射击一次,击中目标”为事件B ，“甲射击一次,未击中目标”为事件A ，“乙射击一次,未击中目标”为事件B ，则()()52,53==A P A P ，()()p B P p B P -==1,. 依题意得()209531153=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p ，解得43=p . 故p 的值为43.（2）X 的取值分别为,4,2,0.()()()()21105410P X P AB P A P B ===⋅=⨯=，()9220P X ==， ()()()()33945420P X P AB P A P B ===⋅=⨯=，∴19927()024.10202010E X =⨯+⨯+⨯=19. 已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a >()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围19.解（Ⅰ）22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a = （Ⅱ）222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得∴()f x +∞的单调减区间为（0）. （Ⅲ）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x 在x =(0)1,f f <= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞20. 设3m >，对于有穷数列{}n a (1,2,,n m =L ), 令k b 为12,,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”. 数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数1,2,,(3)m m >L 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . （Ⅰ）若m =5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{}n c ；(Ⅱ) 是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，求它们的首项的和.解：（Ⅰ）由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列{}n c 有两个，即：（1）数列3，4，1，5，2； ---------------------------2分（2）数列3，4，2，5，1. ----------------3分注：写出一个得2分，两个写全得3分.（Ⅱ）答：存在数列{}n c ，它的创新数列为等差数列.解：设数列{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ，因为m e 为12,,,m c c c L 中的最大值. 所以m e m =.由题意知：k e 为12,,,k c c c L 中最大值，1k e +为121,,,,k k c c c c +L 中最大值，期末模拟试题第页（共11页） 11 所以1k k e e +£，且{1,2,,}k e m ÎL .若{}n e 为等差数列，设其公差为d ，则10k k d e e +=- ，且d ÎN ，------------5分当d =0时，{}n e 为常数列，又m e m =，所以数列{}n e 为,,,m m m L ，此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个符合条件的数列；当d =1时，因为m e m =，所以数列{}n e 为1,2,3,,m L ，此时数列{}n c 是1,2,3,,m L ； --------------------7分当2d ³时，因为111(1)(1)222m e e m d e m m e =+-?-?-+，又13,0m e >>，所以m e m >，这与m e m =矛盾，所以此时{}n e 不存在，即不存在{}n c 使得它的创新数列为2d ³的等差数列.综上，当数列{}n c 为：（1）首项为m 的任意符合条件的数列；（2）数列1,2,3,,m L 时，它的创新数列为等差数列. ---------------------------10分注：此问仅写出结论（1）（2）者得2分.（Ⅲ）解：设{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ，由(Ⅱ)知，m e m =，由题意，得11e c =，所以当数列{}n c 的创新阶数为2时， {}n e 必然为111,,,,,,,c c c m m m L L （其中1c m <），-----10分由排列组合知识，得创新数列为,,,,,,,()k k k m m m k m <L L 的符合条件的{}n c 的个数为 1111111111(1)!m k m k k m k k m m k k m k C A A A A m m k m k------------鬃=?---， ----------------12分所以，在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，它们的首项的和为1111(1)!(1)!m m k k m k k m m k m k--==-?- --邋. ---------------------------14分。

2012年高考总复习：数列

数列（2012年高考总复习）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若a 、b 、c 成等差数列，则函数f (x )＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定2．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 203．某厂2004年12份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2004年度产值的月平均增长率为( )A ．11nB 1C ． 1D 4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2+a 5＝4，a n ＝33，则n 为( ) A ．50 B ．49 C ．48 D ．475．已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n +1＝3S n (n ≥1)，则下列结论正确的是( )A ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等比数列B ．数列{a n }是等比数列C ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列D ．数列{a n }是等差数列6．数列{a n }的前n 项和S n ＝5n －3n 2(n ∈N ＊)，则有( )A ．S n >na 1>na nB ．S n <na n <na 1C ．na n >S n >na 1D ．na n <S n <na 17．等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( )A ．－1221B ．－21．5C ．－20．5D ．－208．已知关于x 的方程(x 2－2x +m )(x 2－2x +n )=0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|＝( )A ．12B ．38C ．34D ．19．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比为－12，用∏n 表示它的前n 项之积，即∏n = a 1·a 2……a n ，则∏n 中最大的是( )A ．∏11B ．∏10C ．∏9D ．∏810．已知数列{a n }满足a 0=1，a n =a 0+a 1+…+a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．21n (n +1) D ．2n －1 11．设数列{a n }是公比为a (a ≠1)，首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，对任意的n ∈N ＊，点(S n ，S n +1)在直线( )A ．y =ax －b 上B ．y =ax+b 上C ．y =bx+a 上D ．y =bx －a 上12．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

2012届高考数学专题复习课件：第3专题数列(理)《热点重点难点专题透析》

单,常利用方程思想、函数思想、整体思想来求解.高考中这类问题,一般要多想少算,多思考利用性质.
◆例1 (1)在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=5,S7=21,那么S12等于
( )
(A)55.
(B)48.
(C)35.
a a10
(D)70.
11 (2)已知{an}为等差数列,若 <-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取
得最小正值时,n等于 (
)
(A)11.
(B)20.
(C)19.
(D)21.
重点知识回顾高考命题趋势主要题型剖析回归课本与创新设计专题训练试题备选
【分析】(1)本题可以采用“基本量”法,设出等差数列的首项和公差,根据a9=5,S7=21联立方程,然后代入等差数列的前n项和公式.也可以利用等差数列的性质将S12转化为a9+a4,然后利用S7=21求出a4.显然利用等差数列的性质更简单.
an 与已知式相减,得 =(n2+3n)-(n-1)2-3(n-1)=2n+2,
∴an=4(n+1)2,n=1时,a1也适合上式.
n ∴an=4(n+1)2,∴ =4n+4,
a43;…+ = =2n2+6n.
a 2
a 3
a n(8 4n 4) 2 n 1
重点知识回顾高考命题趋势主要题型剖析回归课本与创新设计专题训练试题备选
重点知识回顾高考命题趋势主要题型剖析回归课本与创新设计专题训练试题备选
等差数列
定义
等比数列
a n是等差数列⇔an+1-an
=d(常数)
a n

北京市人大附中2012届高三数学尖子生专题训练数列新人教版

北京市人大附中2012届高三数学尖子生专题训练：数列I 卷一、选择题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于( ）A ．52B ．54C ．56D ．58 【答案】A2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 【答案】A3．设函数f (x )＝(x －1)2＋n ，(x ∈[－1,3]，n ∈N *)的最小值为a n ，最大值为b n ，则c n ＝b 2n －a n b n 是( )A ．公差不为零的等差数列B ．公比不为1的等比数列C ．常数列D ．既不是等差也不是等比数列【答案】A4．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24 【答案】B5．等差数列}{n a 的前n 项和为30,1191=++a a a S n 若，那么13S 值的是（） A ．65 B ．70 C ．130 D ．260 【答案】C6．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( )A ．1或－12 B ．1C ．－12D ．－2【答案】A7．数列{}n a 满足1211,,2a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则数列的第2010项为 ( ）A ．10012B ．201012C ．12010D ．1100【答案】C8．已知无穷等差数列｛a n ｝中，前n 项和是S n ，且S 7>S 6，S 7>S 8，，那么（）A ．数列｛a n ｝中，a 7最大B ．数列｛a n ｝中，a 3或a 4最大C ．当n ≥8时，a n <0D ．一定有S 3=S 11 【答案】C9．若n S 是等差数列{n a }的前n 项和，且2038=-S S ，则11S 的值为 ( ）A ．44B ．22C ．3200D ．88【答案】A10．已知数列﹛n a ﹜为等比数列，且2113724a a a π+=，则212tan()a a 的值为（）A B ．C ．D ．3-【答案】A11．已知数列{}n a 满足2,11+==+n n a a a a 。

人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件：5-5 数列的综合应用]

解析：an＝2an－1－1⇒an－1＝2(an－1－1)， ∴{an－1}是等比数列，则 an＝2n－1＋1. ∴a1＋a2＋…＋a10＝10＋(20＋21＋22＋…＋29) ＝10＋11－－2210＝1033. 答案：1033
第十一页，编辑于星期日：四点八分。
高三总复习
人教A 版 ·数学（理）
高三总复习
人教A 版 ·数学（理）
即时训练某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年获利增加5000元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？
第二十页，编辑于星期日：四点八分。
高三总复习
人教A 版 ·数学（理）
即时训练设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
A．n2
B．n(n＋1)
nn＋1 C. 2
D．(n＋1)(n＋2)
第八页，编辑于星期日：四点八分。
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人教A 版 ·数学（理）
解析：由 x2－x<nx，得 0<x<n＋1(n∈N*)，
因此 an＝n，Sn＝nn2＋1. 答案：C
第九页，编辑于星期日：四点八分。
高三总复习
人教A 版 ·数学（理）
(取1.0510＝1.629,1.310＝13.786,1.510＝57.665)

2012人教版高考数学(理科)题型复习：数列(解答题第二题)

2012人教版高考数学(理科)题型复习：数列(解答题第二题)102教育高考复习材料（数学理科）姓名年级数列地位数列是刻画离散现象的数学模型，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义，是高中代数的重要内容之一.在高考中承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察.一、等差数列、等比数列基本分析问题 1、等差数列定义：da a n n =-+1通项：dn a a n)1(1-+=求和：2)(1n n a a n S +=d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差）性质：若q p n m +=+，则qp n ma a a a+=+2、等比数列定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n nq a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n中项：acb=2（c b a ,,成等比）6、已知等比数列{}na 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．① 求数列{}na 的通项公式；② 设31323log log log n nb a a a =+++，求数列1{}nb 的前n 项和．7、设各项均为正数的数列{}na 的前n 项和为nS ，已知3122a a a+=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列，求数列{}na 的通项公式（用d n ,表示）。

二、基本方法运用1、数列通项公式常用方法：累加、累乘、构造辅助数列类型 )(1n f a a n n =-+型累加法类型 )(1n f a a n n =+型累乘法类型0(,1≠+=+c d ca an n ,其中aa=1) 构造辅助数列2、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n3、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求 4、设数列前n 项和为ns等差数列⇔2(,)nsan bn a b R =+∈等比数列⇔(0,0)(0)n nn s aq b a q s an a =+≠≠=≠或5、判断哪项最大最小、数列项与项之间的大小方法：（1）看1nn aa --的正负（2）比较看1n n a a -与1的大小典型例题：1、若数列{}na 前n 项和为ns 满足283ns n n=+，n N +∈，则na =2、已知数列{a n },满足a 1=1,111n na a +=+1, 则na =3、若数列{}na 前n 项和ns 满足(0,0)n nsaq b a q =+≠≠，则下列说法正确的是（）A. {}na 一定是等比数列 B. 当0b =时，{}na 是等比数列C ．{}na 可能是等比数列 D. {}na 可能是等差数列4、若数列2(4)()3nn n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k=_______________。

【新课标】备战2012年高考二轮复习研讨《数列》精品PPT教学课件

an1 rSn，其中 rR,r1,nN
求数列 an 的通项公式；
追问：若存在 k N，使得 Sk1,Sk,Sk2 成等差数列，试判断：对于任意的 mN ，且 m2 ，am1,am,am2
是否成等差数列，并证明你的结论
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归纳总结
点评：在第一问中，依据和与通项的关系来求通项，容易忽视等式成立的条件；基于等比数列对项要求“非零”，参数r的不同取值决定了数列的属性，所以要对r的取值进行讨论
an,Sn,Sn1 2(n2,nN)成等比数列，且a1 1
求数列 an 的前 n项的和 S n
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归纳总结
1
．
由
含
a
与
n
S
的
n
关
系
式
求
a
，
n
通
常
用
如
下
两
条思路：
1 利
用
an
S S
1 n
S n1
(n (n
1) 2,
n
N
消 *)
去
S n，
转
化
为
只
含
a
的
n
递
推
关
系
，
再
进
行
求
解
．
2利
在第二问中，从问题入手，寻找通项公式，将已知中和的关系转化为通项的关系，是解决该问题的关键；解决过程中考查了代数推理、分类与整合等数学思想方法，对是否具有扎实的基础知识和严谨的数学思维提出了较高的要求
（苏教版必修5第56页第6题）设 S n 是等比数列 an 的前 n
项和，S3 , S9 , S6 成等差数列，求证：a2 , a8 , a5 成等差数列

(新人教)2012届高三数学第二轮复习数列综合应用问题

14 数列综合应用问题纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.●难点磁场(★★★★★)已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0.(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .●案例探究［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为 b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑=n k 1400×(45)k －1.=1600×［(45)n－1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即：1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0，令x =(54)n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜52，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.［例2］已知S n =1+3121++…+n1,(n ∈N *)设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式：f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2.解：∵S n =1+3121++…+n1.(n ∈N *)0)421321()421221(42232122121321221)()1(1213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又Λ∴f (n +1)＞f (n )∴f (n )是关于n 的增函数∴f (n ) min =f (2)=209321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式f (n )＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2恒成立只要209＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2成立即可由⎩⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2此时设［log m (m －1)］2=t 则t ＞0于是⎪⎩⎪⎨⎧>->02011209t t 解得0＜t ＜1由此得0＜［log m (m －1)］2＜1解得m ＞251+且m ≠2. ●锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系. (3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞→n (d 1+d 2+…+d n )的值是( )A.1B.2C.3D.4 二、填空题2.(★★★★★)在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________.3.(★★★★)从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升.4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.三、解答题5.(★★★★★)已知数列{a n }满足条件：a 1=1,a 2=r (r ＞0),且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,…).(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *)成立的q 的取值范围；(2)求b n 和nn S 1lim∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；(3)设r =219.2－1，q =21，求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值.6.(★★★★★)某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金nb元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞→n P n (b ).7.(★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？8.(★★★★★)已知点的序列A n (x n ，0),n ∈N ,其中x 1=0,x 2=a (a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1,a 2,a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；(3)求lim ∞→n x n .参考答案难点磁场解：(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1.∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1.(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得：(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得：⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，则①②⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+++++2111)1(2)1(2n n n n n n t q r r t q r r ②÷①得q =n n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n －1］歼灭难点训练一、1.解析：当a =n 时y =n (n +1)x 2－(2n +1)x +1 由｜x 1－x 2｜=a∆，得d n =)1(1+n n ，∴d 1+d 2+…+d n1)111(lim )(lim 1111113121211)1(132121121=+-=+++∴+-=+-++-+-=+++⋅+⋅=∞→∞→n d d d n n n n n n n n ΛΛΛ答案：A 二、2.解析：由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得：2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3.又由1，y 1,y 2,8依次成等比数列，得y 12=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4,∴P 1(2,2),P 2(3,4).∴21),2,2(OP OP ==(3,4) ∴,5||,22,14862121===+=OP OP OP110252221sin ||||21102sin ,102722514||||cos 21212121212121=⨯⨯⨯==∴=∴=⨯==∴∆OP P OP S OP P OP OP OP P P OP答案：13.解析：第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－a b )升，第二次有纯酒精a (1－ab)－b a a ba )1(-，即a (1－a b )2升，故第n 次有纯酒精a (1－ab )n 升. 答案：a (1－ab )n4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a 5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).答案：120000 三、5.解：(1)由题意得rq n －1+rq n ＞rq n +1.由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得：q 2－q －1＜0，解得251-＜q ＜251+,因q ＞0,故0＜q ＜251+; (2)∵0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a qa q a a a a ab b q a a a a a a nn n n n n n n n n n n n n n n .b 1=1+r ≠0，所以{b n }是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(1+r )q n -1. 当q =1时，S n =n (1+r ),1)1(),2()3()1( ,0)10( ,111lim ,0)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,1;11)1)(1(1lim 1lim ,1)1)(1(,10;0)1(1lim 1lim -∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-==-+-=--+=>+-=-+-=--+=<<=+=n n nn nn n n n n nn n n n n n n n q r b q q r qS q r q S qq r S q r qq r q S q q r S q r n S 有由所以时当时当.2.2011log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n qn r q n r q r q r b b n n n nnn n b b C 212log log +=记,从上式可知，当n －20.2＞0，即n ≥21(n ∈N *)时，C n 随n 的增大而减小，故1＜C n ≤C 21=1+8.0112.20211+=-=2.25 ① 当n －20.2＜0，即n ≤20(n ∈N *)时，C n 也随n 的增大而减小，故1＞C n ≥C 20=1+2.0112.20201-=-=－4 ② 综合①②两式知，对任意的自然数n 有C 20≤C n ≤C 21,故{C n }的最大项C 21=2.25，最小项C 20=－4.6.解：(1)第1位职工的奖金a 1=n b ，第2位职工的奖金a 2=n 1(1－n1)b ，第3位职工的奖金a 3=n 1(1－n 1)2b ，…，第k 位职工的奖金a k =n 1 (1－n1)k －1b ;(2)a k －a k +1=21n(1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.(3)设f k (b )表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f 1(b )=(1－n1)b ,f 2(b )=(1－n 1)2b ,…,f k (b )=(1－n 1)k b .得P n (b )=f n (b )=(1－n1)n b ,故eb b P n n =∞→)(lim .7.解：设a n 表示第n 年的废旧物资回收量，S n 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{a n }是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)(2)S 6=2.016.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+=99.2992≈99.3(万吨)∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)， ∴从1996年到2001年共节约：84104.7102.3974.562⨯⨯⨯≈3 平方公里.8.解：(1)当n ≥3时，x n =221--+n n x x ; aa x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=由此推测a n =(－21)n -1a (n ∈N ) 证法一：因为a 1=a ＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2)所以a n =(－21)n -1a .证法二：用数学归纳法证明：(ⅰ)当n =1时，a 1=x 2－x 1=a =(－21)0a ,公式成立；(ⅱ)假设当n =k 时，公式成立，即a k =(－21)k －1a 成立.那么当n =k +1时，a k +1=x k +2－x k +1=k k k k k k a x x x x x 21)(212111-=--=-++++.)21()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式a n =(－21)n -1a 成立.(3)当n ≥3时，有x n =(x n －x n －1)+(x n －1－x n －2)+…+(x 2－x 1)+x 1 =a n －1+a n －2+…+a 1,由(2)知{a n }是公比为－21的等比数列，所以32)21(1lim 1=--=∞→a x n n a .。

2012实验中学高三数学二轮专题复习：数列

数列二轮复习建议一、高考地位与考查要求（一）数列地位数列是刻画离散现象的数学模型，数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义，是高中代数的重要内容之一.在高考中承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察.因此，在历届高考中，数列作为必考题，其难度属于中、高档难度.（二）考查动向在2009年全国十九套高考试卷中，十四套试卷出现一个小题，两套试卷各出现两个小题；十五套试卷数列出现在解答题中，其中十套试卷数列出现在压轴题，三套试卷数列出现在解答题倒数第三题，两套试卷数列出现在解答题倒数第四题.2010年全国二十套高考试卷中，十一套试卷出现一个小题，四套试卷出现两个小题；十五套试卷数列在解答题中出现，其中五套试卷数列出现在压轴题，四套试卷数列出现在倒数第二题，其余出现在解答题第一题或第二题.分析近两年数列高考题出现的频率和位次，发现数列解答题出现的题号向前移动，难度有所下降，部分省份如福建、辽宁、广东、浙江已连续两年没有出现数列解答题.但江苏这两年每年数列均出现一填空题和一解答题，解答题由易变难，这可能与江苏《考试说明》中的考查要求有关.不难发现，江苏将等差等比数列定位C级要求，即系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题，因此数列是江苏数学高考的一个重要的内容.而全国各套试卷中数列又为必考题，题型在常规中出现变化，在注重基本能力考察的同时，又注重探究创新能力的考察.如果出现在客观题中，一般考察两种常见题型：1、等差等比数列求项求和等问题，主要涉及基本量思想；2、数列的探索性问题，如周期数列、分形等.如果数列出现在解答题的前几题中，往往考察等差等比数列的求项求和，运用累加、累乘法的简单递推数列的求项求和问题，主要考察学生的运算能力.如果数列问题出现在最后一两题，则是综合性很强的问题，大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力.二、基本题型与基本策略基本题型一：运用基本量思想解决等差、等比数列的求项求和问题例1.（1）在等差数列{ a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝ .说明：这是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，根据a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，可以列出关于1a d 和的方程两个二元一次方程方程，通过加减消元或带入消元接出1a d 和的值；同时注意到个方程数列项下标特征，根据等差数列的性质1532642,2a a a a a a +=+=，得到a 5＋a 6＝34122()()a a a a +-+=210.变式：（2010全国卷Ⅰ理科数学4）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，123a a a =5，789a a a =10，则456________.a a a =说明：表面看这是一道可以用基本量思想解决的问题，但在实际操作过程中发现，使用基本量列出方程组计算量较大，要得到结果还需借助指数幂的运算性质，易出错.如果仔细观察已知条件与所求结论的关系，不难发现2417a a a =，2528a a a =，2639a a a =，运用等比数列的性质可以很快得到456a a a =选择恰当的方法有时可以大大简化我们的计算，为考试赢得宝贵的时间，而恰当方法的选择，借助于我们认真审题和知识的融会贯通.（2）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．说明：这也是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题，同时也是一道简单地将等差数列和等比数列组合在一起的问题，通过410a =和3610a a a ，，成等比数列可以直接列出两个关于基本量1a d 和的方程组：12111310(5)(2)(9)a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，此方程组是由一个二元一次与一个二元二次方程组合而成，宜采先化简再带入消元法的方法求解，第二个方程可化简为217a d d =，学生特别容易将d 直接消去，导致漏解的错误.最终结果20S =200或330.此种题型方法常规，思路明确，计算量适中，常常出现在填空题的前六题或解答题的前两题，属容易题.例2. 已知数列{a n }的通项公式a n =9-2n ，则| a 1|+| a 2|+…+| a 20|= ．说明：这是一道利用等差数列基本量求分段数列和的问题.关键是引导学生正确写出分段数列的通项公式*92(4)()29(5)n n n a n N n n -≤⎧=∈⎨-≥⎩，分段的依据是|9-2n|=0，利用分段通项公式分段求和得|a 1|+|a 2|+…+|a 20|=2*28(4)()832(5)n n n n N n n n ⎧-+≤⎪∈⎨-+≥⎪⎩.此题不仅考察学生的基本运算能力，也考察了学生分段函数、含绝对值表达式的处理方法.例3.（2010浙江理科数学卷15）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，满足56S S ⋅+15=0，则d 的取值范围是__________.说明：直接运用基本量列出关于1a d 和方程11(10)(615)150a d a d +++=，在列式时注意等差数列求和公式的选择，由于此题中涉及的两个基本量是1a d 和，所以可以选择用1a d 和表示的求和公式，从而化简得2211291010a da d +++=，结合二次函数方程有解判别式大于等于零的性质，得280,d d d ∆=-≥≥≤-即这是一道将数列基本量思想与二次方程知识有机结合的问题，不仅考查学生的计算能力，同时还考查了知识的迁移与转化能力.基本策略：等差、等比数列是两类最基本的数列，它们的通项公式、前n 项和的公式中均含有两个基本量，因此数通过基本量思想求解等差等比的通项和前n 项和是高考考查的重点也是热点.在运用基本量思想解决问题时，要注意以下两个方面：1、基本两思想在解决问题时比较程序化，认真审题选择恰当的方法是关键，有两个性质有时可以简化我们的计算（在等差数列中，若*(,,,),m n p q m n p q N +=+∈则m n p q a a a a +=+在等比数列中若*(,,,),m n p q m n p q N +=+∈则m n p q a a a a ⋅=⋅）；2、在计算过程中注意观察表达式的特征，灵活地运用计算方法．在等差数列求和的问题中，首先是确定通项，选择恰当的求和公式，在等比数列求和中要注意q =1的情况单独讨论.基本题型二：递推数列的求项求和问题例4. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n =5S n －3 (n ∈N)，求a 1+a 3+…+a 2 n －1的值．说明：在表达式中同时出现a n 和S n 时，我们通常采用的方法是运用公式11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，将表达式转化为都关于a n 或S n 的式子，然后再进行求解.因此，此题表达式可变形为115()n n n n a a S S ---=-，即15n n n a a a --=，所以{}n a 为等比数列，求和问题迎刃而解.例5.（2010新课标全国理科卷17）设数列{}n a 满足12a =，1132n n n a a -+-=⨯.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .说明：此题为解答题的第一题，是一道典型的运用递推数列性质求项求和的问题，第一问用到我们熟知的累加法求通项，即231122113232322n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+=⨯+⨯++⨯+ 1321n -=⨯-；第二问中132n n n b na n n -==⨯-，则采用分组求和的方法求和，在分组求和中的第一个分组则采用错位相减法求和，此题主要考察学生对基本方法的熟悉程度.使用累加法求通项的递推形式为)(1n f a a n n =-+，使用累乘法求通项的递推形式为)(1n f a a nn =+，使用错位相减法求和的通项公式为()(0,0,1)n n c an b q a q =+⋅≠≠. 例 6. 设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1（n ∈N ＋），则数列{}n a 的通项为_______________.说明：这个递推通项满足1n n a ca d +=+(0,1,0)c c d ≠≠≠的递推形式，通常可以采用待定系数法构造新数列，如等式两边同时加上1得到a n ＋1+1＝2（a n ＋1），新数列{a n ＋1}为首相为2，公比为2的等比数列，从而得到数列{a n ＋1}的通项公式，自然得到数列{a n }的通项.这种递推形式是较为常见的递推形式.但作为一道数列填空题，我们有时也可采用特殊值法进行简单的推导得到通项，如此题通过递推公式很快可以得到a 2＝3，a 3＝7，a 4＝31，因此，我们可以猜想a n ＝12-n，再代入验证.这种由特殊到一般的推理方法对于数列的填空题有时也很奏效.*例7.（2007全国数学Ⅰ文科19）在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．说明：这也是一道典型的运用递推数列性质求项求和的问题，递推公式往往形式多样，而通过适当地变形转会为等差等比数列是常用的一个手段，直接转化难度较大，而第一问中的12n n n a b -=给了我们一些暗示，是否122n n n a a +=+两边同时除以2n 就可以构造成一个新的等差数列呢？通过猜想、探索很快验证了我们的想法是正确的.通常我们遇到的运用构造新数列方法求递推数列的通项还有其它形式，如 110(0)n n n n a ma a a m ++++=≠（可采用两边同除以n n a a ⋅+1构造为等差数列），1n n a ca d +=+(0,1,0)c c d ≠≠≠（可使用待定系数法变形为)(1λλ+=++n n a c a 的形式，构造为等比数列），1n n n a c a d b -=⋅+⋅(0,1,0,)c cd b c ≠≠≠≠（两边同除以n b 后再使用待定系数法构造为等比数列）．在第二问中，则出现了使用错位相减法求和的常见模型.基本策略：一般数列的求项求和问题大多以递推通项为背景，通过常见的公式、累加、累乘、构造等方法对递推公式进行变形，最终转化为我们熟知的等差、等比数列的定义式进行求解，有时候在构造过程中我们会用到多种构造方法，但最值的目的还是将未知的数列转化为我们已知的数列进行求解.对于理科的学生可以通过列举前几项，猜想通项公式，运用数学归纳法证明的方式求解通项.求递推数列通项是数学中化归思想的重要体现，对学生的能力要求较高，是历年高考中的热点与难点.复习时建议不同层次的学校根据学生特点进行复习，几种基本的递推模型人人掌握，对于变形巧妙，难度较大的问题，讲解时可预设台阶或视学生情况选讲.基本题型三：数列与不等式、函数与方程等知识的综合问题例8. 数列{}n a 是等比数列，1a ＝8，设n n a b 2log =（n N +∈），如果数列{}n b 的前7项和7S 是它的前n 项和组成的数列{}n S 的最大值，且7S ≠8S ，求{}n a 的公比q 的取值范围．说明：这是一道较为简单的数列与函数、不等式结合的问题，解题步骤如下：因为{n a }为等比数列，设公比为q ,由18a =则18n n a q -=⋅， 122log (8)(1)log 3n n b q n q -=⋅=-+∴{n b }为首项是3，公差为2log q 的等差数列；由7s 最大，且87s s ≠ ∴876s s s >≤ ∴667678s s b s b b ≤+>++∴70b ≤且80b < ∴{2236log 037log 0q q +≥+< ∴213log 27q -≤<- ∴317222q --≤<即2q ≤<从解题的过程可以看出此题运用到对数运算性质、简单对数不等式的解法，数列在题中作为问题的载体，仅用到基本的等差等比通项知识.例9.已知数列{a n }满足，a n +1＋a n ＝4n －3(n ∈N*)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)若对任意n ∈N*，都有a n 2＋a n ＋12a n ＋a n ＋1≥4成立，求a 1的取值范围．说明：这是南京市2011届高三学情分析考试中的压轴题，题目涵盖了数列中的常见思想方法，如第一问运用基本量思想，第二问题分奇偶化归为等差数列求和，第三问是与不等式、函数相结合的恒成立问题.较为全面地考察了学生分析解决问题的能力.在第二问中，分奇偶讨论通项是求和的前提，而为什么要分奇偶讨论通项是学生理解的一个难点，由已知a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N*)，得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N*)，两式相减，得a n ＋2－a n ＝4，这个表达式是数列的隔项递推公式，也就说明此数列隔一项具备等差数列的形式，那数列中隔项项的下标特点即是奇偶分类，因此，想到分奇偶讨论通项就理所当然.而有些学生可能避开分奇偶讨论通项而直接求和也是很好的，因为已知a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N*)，这个表达式传递给我们连续两项的和组成一个新的数列，而这个数列是我们熟知的等差数列这一信息，求和非常方便，但在计算的过程中很容易发现求和时项数还是要分奇偶讨论.当n 为奇数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n＝n －12×(1＋4n －11)2＋2n ＝2n 2－3n ＋52．（在组合过程中将1a 单独提出可能更为简单，不需要求解通项）当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n 2．第三问是不等式的恒成立问题，由第二问的提示，处理第三问的前提是找到数列的通项，即a n ＝⎩⎨⎧2n －2＋a 1，n 为奇数，2n －3－a 1，n 为偶数．①当n 为奇数时，a n 2＋a n ＋12a n ＋a n ＋1≥4即为2a 12－2a 1＋5≥－8n 2＋28n －12，令f (n )＝－8n 2＋28n －12＝－8(n －74)2＋252，当n ＝1时，f (n )max ＝8，所以2a 12－2a 1＋5≥8，解得a 1≥1＋72或a 1≤1－72.②当n 为偶数时，a n ＝2n －a 1－3，a n ＋1＝2n ＋a 1，a n 2＋a n ＋12a n ＋a n ＋1≥4即为2a 12＋6a 1＋9≥－8n 2＋28n －12，令f (n )＝－8n 2＋28n －12＝－8(n －74)2＋252，当n ＝2时，f (n )max ＝12，所以2a 12＋6a 1＋9≥12，解得a 1≥12或a 1≤－3．综上，a 1的取值范围是a 1≥1＋72或a 1≤－3．*例10．（2008陕西卷理科数学22）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，；（Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+．说明：这是一道高考压轴题，虽然难度大，但第一问还是常规递推数列求通项问题，寻找正确的数列通项公式是解决此类问题的前提，1321n n n a a a +=+这个表达式可以两边直接取倒数，变形为3213111+⋅=+n n a a 的形式，而这种形式正是我们前面提及的1n n a ca d +=+(0,1,0c c d ≠≠≠形式，可使用待定系数法变形为)(1λλ+=++n n a c a 的形式，构造为等比数列)11(31111-=-+n n a a 的形式，从而求得233+=n n n a .此种构造法属二次变形构造，第一次先变形为我们熟知的可以使用构造法解决通项的数列递推形式，第二次则变形为我们熟知的等差等比数列模型求解通项，属于难度较大的递推数列求通项问题.后两问是数列与函数、不等式的证明融合一体的综合问题.从第二问的提法中我们可以感知这是个函数与数列结合的恒成立问题，对于不等式的右边进行变形，分离变量求最值是我们通常的手段，但在变形过程中我们发现无法将n 与x分离，而不等式右边含有n 的表达式与n a 又有着密切的关系，自然想到如下变形方式：,由于,0>n a 则原命题成立.在此问中，既然涉及到函数求最值的问题，我们也可以直接将不等式右边看做关于x 的一个函数，对其进行求导求最值.第三问是数列求和与不等式证明相结合的问题，通常处理方法有以下两种：（1）能直接求和的先直接求和，将所求和的表达式与要证明的式子进行做差或对比证明；（2）将求和的数列通项进行有效放缩，使之变为能够求和的通项进行求和. 本题显然不适用（1），因为n a的通项不宜直接求和，因此放缩通项使我们的首选，而放缩的形式非常丰富，如n n n n n a 3212321233->+-=+=，很好的一个放缩形式，求和也十分方便，但是整理后得nn n a a a 31121+->+++ ，这比我们所要求的结果略小，说明放过了.此时我们有两个思路，一是对放缩的式子进行微调，使之符合我们的要求，如果行不通我们可以再次审题，发现第二问的结论为我们放缩提供了条件，即.2222)1(1)1(1)1()31(1)1(1x x nx x n x x nx x n n+-+++>+--+++=若关于x 的方程1)1(1)1(1222+=+-+++n n x x nx x n 有解，01>=n x ，则符合对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥这种放缩形式，此时2121n n a a a n +++>+结论成立. 在解决数列中的不等式问题时，有时直接使用不等式的知识求解，有时则需用到裂项法、放缩法进行数列求和，有时还会运用函数的单调性、函数的最值等知识进行判断求解，教师在讲解此类问题是尽量避免技巧性过强的放缩类问题，可根据学生情况对原题进行改编，降低难度.基本策略：数列与函数、不等式都是高中数学重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法在数列与函数、不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现．以其知识交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率高、难度大．学生遇到此类问题一般具有为难情绪，因此，建议复习时从入口低的问题入手，让学生找到解决此类问题的基本途径，建议能力稍弱的学生遇到此类问题不必强求.基本题型四：数列的探索型、开放型问题例11.（2010上海理科10）在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2ij a i j n =⋅⋅⋅。

2012年高考数学最后冲刺数列

数列1.已知正项数列}{n a 的前n 项和为.21,1=a S n 当*2N n n ∈≥且时，点),(1n n S S -在直线212+=x y 上，数列}{n b 满足).(21log *N n a b n n ∈=（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）设数列}{n na b 的前n 项和为n T 。

求n T 。

2322232110211---+-++-++=∴n n n n n T ③122222*********---+-++-++=n n n nn T ④ 10分由③-④得：1212222212221212111221------=-------=n n n n n nn T ，.22221nn n n n T --⋅==∴ 12分2.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.【解析】（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥， *N n ∈成立 …2分即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………3分3.(2012年合肥一中模拟)若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L ( )（A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15 【答案】A【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+==+=，故a a a 1210++=3⨯5=15L .故选A.4. （2012年南昌一中模拟)设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（）A.18B.20C.22D.24 【答案】B【解析】20,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S .5．(2012年4月沈阳-大连第二次联考模拟考试)设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5S 的值是( )A ．25B ．5C ． 25-D ．5-【答案】A7. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试)已知{a n }为等差数列，其公差为-2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{an}的前n 项和，n ∈N*，则S 10的值为（） (A). -110 (B). -90(C). 90 (D). 110【答案】D9. (北京市西城区2012年1月高三期末考试)已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111n a a a +++=______．【答案】1121)34n -，（【解析】131111122212116,46,2,22,(),211(1)1111144(1).13414n n n n n n nn a a a a a a a a a a a --=∴-=∴=∴==∴=-∴+++==--10. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查）已知等差数列}{n a 中,51a =,322a a =+,则11S = .12．(浙江省镇海中学2012届高三测试卷)设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且na 和n S 满足：24(1)(1,2,3,)n n S a n =+=，则S n＝．【答案】2n【解析】由题意知：2122n n a S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1n =时，易得11a =． 2211112222n n n n n a aa S S --⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22111112222422n n n n n n n n a a a a a a a a ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：221124n n n n a a a a --+-=12n n a a -⇒-=，所以21n a n =-，所以2n S n =．13．（东北四校2012届高三第一次高考模拟考试）（本小题满分12分）已知{}n a 为等比数列，141,27.n a a S ==为等差数列{}n b 的前n 项和，153,35.b S ==（1）求{}{}n n a b 和的通项公式；（2）设1122n n n T a b a b a b =+++，求.n T14、已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .【解析】（Ⅰ）因为{}n a 是首项为119a =，公差为2d =-的等差数列，所以192(1)212n a n n =--=-， n S 2(1)19(2)202n n n n n -=+-=-+（Ⅱ）由题意得13n n n b a --=所以13n n n b a -=+ 则01101112333333n n n n nT a a a S --=++++++=++++2213312020132n n n n n n --=-+=-+-15、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S .解析设数列{}n a 的公差为d ，依题设有21321232(1)12a a a a a a ⎧+=⎨++=⎩即22211121224a a d d a a a d ⎧+-+=⎨+=⎩解得11,4a d ==或18,4a d ==-故1(31)2n S n n =-或2(5)n S n n =-16、设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。

2012年高考第二轮复习专题训练—数列(人教版)

数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：⑴明确问题属于哪类应用问题；⑵弄清题目中的主要已知事项；⑶明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指1、数列与集合2、数列的项与通项数列的通项是通项公式的简称，它是表示数列中的各项的通式，是函数解析式；而数列的项是指整个数列中的某一或某几项，是组成数列的各个元素，是函数值3、数列与函数函数是非空数集到非空数集的映射，其定义域可以是实数集R或R的有限子集；而数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或正整数集的有限子集。

函数的图象可以是平滑的连续的曲线也可以是间断的点；而数列的图象是一系列不连续的点。

4、等差数列与等比数列（d为常数）（q为非零常数）；，则，则5．解本单元题型的常用数学思想①函数思想：数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合思想.②方程思想：等差、等比数列中，、、、()、“知三求二”，体现了方程(组)思想、消元思想、整体思想．③分类讨论思想：求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．数列综合练习一、选择题1．数列则是该数列的（）A．第6项B．第7项 C．第10项 D．第11项2．方程的两根的等比中项是（）A． B． C．D．3．已知为各项都大于零的等比数列，公比，则（）A．B．C．D．和的大小关系不能由已知条件确定4．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（）A．12 B． C．16 D．185．若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成（）A．等差数列B．等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．以上答案都不是6．在等差数列{a n}中，，则（）A．4 B．C．8 D．7．两等差数列{a n}、{b n}的前n项和的比，则的值是（）A．B． C． D．8．{a n}是等差数列，，则使的最小的n值是（）A．5 B． C．7 D．89．{a n}是实数构成的等比数列，是其前n项和，则数列{} 中（）A．任一项均不为0 B．必有一项为0C．至多有一项为0 D．或无一项为0，或无穷多项为010．某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是（）A．公差为0的等差数列B．公比为1的等比数列C．常数数列D．以上都不对二、填空题11．已知等差数列{a n}的公差，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是________．12．（2011 北京）在等比数列{a n}中，a1＝，a4＝－4，则公比q＝___；___．13．已知数列{a n}中，对任意正整数n都成立，且，则____________．14．在等差数列{a n}中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n}中，若，则有等式____________成立．三、解答题15．已知数列{2n-1a n }的前n项和．⑴求数列{a n}的通项公式；⑵设，求数列的前n项和．16．已知数列{a n}是等差数列，且．⑴求数列{a n}的通项公式；⑵令，求数列{b n}前n项和的公式．17．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请您根据提供的信息说明：⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；⑶哪一年的规模最大？请说明理由．18．已知数列{a n}为等差数列，公差，{a n}的部分项组成的数列恰为等比数列，其中，求．参考答案一、选择题：1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.B 7.B 8.B 9.D 10.B二、填空题11. ； 12. －2 ； 13. 1 ； 14.三、解答题15． (1) ； (2)16． (1) ； (2)17．(1) 第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2) 到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3) 第2年的规模最大。

2012届高考数学解答题题考前集训数列2

2012届高考数学解答题题考前集训：数列21. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(3)n n a +（n ∈N *），S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得任意的n 均有S n ＞36t 总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．2. （2012年廊坊一模）设向量a =（2,x ），b =（12,-+x n x ）（n N +∈），函数=y a ·b 在[0，1]上的最小值与最大值的和为n a ，又数列{n b }满足：1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb . (1)求证：1+=n a n ；(2)求n b 的表达式；(3)n n n b a c ⋅-=，试问数列{n c }中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立？证明你的结论.3. 已知数列}{n a ，其中),2(3,1111N n n a a a n n n ∈≥⋅==--, 数列}{n b 的前n 项的和)()9(log 3*∈=N n a S n n n . (1)求数列}{n a 的通项公式;(2) 求数列}{n b 的通项公式;(3)求数列|}{|n b 的前n 项和n T .参考答案1. (1)由题意得（a 1＋d ）（a 1＋13d ）=（a 1＋4d ）2， ……………………… 2 分整理得2a 1d ＝d 2．∵a 1＝1，解得（d ＝0舍），d ＝2． ………………………………………… 4 分 ∴a n ＝2n －1（n ∈N *）． …………………………………………………… 6 分(2)b n ＝1(3)n n a +＝)1(21+n n ＝21（n 1－11+n ）， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝21［（1－21）＋（21－31）＋…＋（n 1－11+n ）］＝21（1－11+n ）＝)1(2+n n ． …………………………………… 10 分假设存在整数t 满足S n ＞36t 总成立. 又S n +1－S n ＝)2(21++n n －)1(2+n n ＝)1)(2(21++n n ＞0， ∴数列{S n }是单调递增的． ……………………………………………… 12 分 ∴S 1＝41为S n 的最小值，故36t ＜41，即t ＜9．又∵t ∈N *，∴适合条件的t 的最大值为8． ………………………………………… 14 分2. （1）证明：=y a ·b =2)4(2-++x n x ，因为对称轴24+-=n x ,所以在[0，1]上为增函数，∴1)3()2(+=++-=n n a n（2）解：由1109)109()109(2)1(21121++++=+++-+--- n n n n b b b n nb 得1109)109()109()2()1(32121++++=++-+---- n n n b b n b n 两式相减得n n n n S b b b b ==++++--1121)109( ，当1=n 时，111==S b当n ≥2时，21)109(109---=-=n n n n S S b 即⎪⎩⎪⎨⎧≥=-=-21)109(10112n n b n n （3）解：由（1）与（2）得=⋅-=n n n b a c ⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--21)109(10122n n n n 设存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立，当2,1=n 时，121201023c c c c >⇒>=- 当n ≥2时，1008)109(21n c c n n n -⋅=--+，所以当8<n 时，n n c c >+1，当8=n 时，n n c c =+1，当8>n 时，n n c c <+1所以存在正整数9=k ，使得对于任意的正整数n ，都有n c ≤k c 成立.3. （1）)1(log log 133-+=-n a a n n , 累加得2)1()1(321log log 133-=-++++=-n n n a a n ,∴ 2)1(log 3-=n n a n , 则2)1(3-=n n n a .(或者用累乘得 a n =1121n 1n 1n n a a a a a a a ---=2n n 23-.) .....4分; （2）∵ 2)1(3-=n n n a , ∴ )(25)9(log 23N n n n a S n nn ∈-==; 而211-==S b , 当2≥n 时, 31-=-=-n S S b n n n , 1=n 时也适合, 所以数列}{n b 的通项公式为 )(3N n n b n ∈-=. ......9分;(3) 当03≤-=n b n , 即3≤n 时, 252n n S T n n -=-=, 当03>-=n b n ，即n >3时，21252)()(||||||233212121+-=-=++-+++=+++=n n S S b b b b b b b b b T n n n n ,综上所述 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈>+-∈≤-=).N n ,3n (212n 5n ),N n ,3n (2n n 5T 22n 且且 . .高╚考≦试。

江西省定南中学2012届高三数学期末考试复习题试题(1) 文新人教A版

211俯视图左视图正视图定南中学2012届高三文科期末考试复习数学试题一一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果11abi i=++（,,a b R i ∈表示虚数单位），那么a b += A ．0 B ． 3- C ．3 D ．12. 已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|则P M 等于（）A ．{}Z x x x ∈≤<,30|B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01| 3. 已知等差数列{}n a 前17项和1751S =，则5791113a a a a a -+-+= A. 3 B. 6 C. 17 D. 51 4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（） A 、2 B 、4 C 、8 D 、165．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（）A ．14-B ．4C ．2D ．12-6．如图所示为一几何体的三视图，那么这个几何体的体积为 A ．823π+ B ．2 C ．423π+ D ．425π+ 7．已知,11,11≤≤-≤≤-b a 则关于x 的方程022=++b ax x 有实根的概率是（）A ．41 B ．21 C ．81D ．1018. 定义在区间[]0,a 上的函数()f x 的图像如下图所示，记以(0,(0))A f ，(,())B a f a ， (,())C x f x 为顶点的三角形的面积为()S x ，则函数()S x 的导函数()S x '的图像大致是9．已知点),(y x P 在由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x 确定的平面区域内，O 为坐标原点，点A（-1,2），则AOP OP ∠⋅cos ||的最大值是（）A ．55-B ．553 C ．０ D ．510. 已知函数x x f x3log )51()(-=，若0x 是函数)(x f 的零点，且010x x <<，则)(1x f 的值为A ．恒为负值 B. 等于0 C. 恒为正值 D. 不大于0 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11. 已知442cos sin 3αα-=，(0,)2πα∈，则cos(2)3πα+= .12. 已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是13．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为03=+y x ，则此双曲线的离心率为14.如果关于x 的不等式a x x <---|4||3|的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 15．设函数()2+=x xx f ，()0>x 观察 ()()21+==x x x f x f ()()43)(12+==x xx f f x f()()()8723+==x xx f f x f()()()161534+==x xx f f x f ……根据以上事实，由归纳推理可得：当()()()==≥∈-x f f x f n N n n n 12,时，且三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a = ，)2sin ,1(x b = ，函数f(x)=a ·b .（1）求函数f(x)的单调递增区间.第8题图（2）在△A BC 中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边，1=a 且3)(=A f ，求△A BC 面积S 的最大值.17（本小题满分12分）某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了其中50棵树苗的高度(单位：厘米），并把这些高度列成了如下的频数分布表：分组 [40 , 50) [50，60)[60，70) [70，80) [80，90) [90 , 100] 频数231415124(1) 在这批树苗中任取一棵，其高度不低于80厘米的概率是多少?(2)这批树苗的平均高度大约是多少？（计算时用各组的中间值代替各组数据的平均值）； (3)为了进一步获得研究资料，若从[40，50)组中移出一棵树苗，从[90，100]组中移出两棵树苗进行试验研究，则[40 ,50)组中的树苗A 和[90，100]组中的树苗C 同时被移出的概率是多少？ 18.（本小题满分12分）如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，⊥AD 平面DEFG ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ，且1==EF AC ,2====DG DE AD AB ．（1）求证：平面⊥BEF 平面DEFG ；（2）求证：BF ∥平面ACGD ；（3）求三棱锥A BCF -的体积．19．(本小题满分12分)等差数列}{n a 的前n 项的和为n S ，且.60,4565==S S （1）求}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足)(*1N n a b b n n n ∉=-+，且,31=b 设数列}1{nb 的前n 项和为n T .求证：43<n T .20．（本题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率2e =，短轴长为2（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，经过点(0且斜率k 的直线l 与椭圆交于不同的两点P 、Q ，是否存在常数k ，使得向量AB OP OQ +与共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由。