27.2等可能情形下的概率计算1--修改版

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26.2等可能情形下的概率计算(一)

２6．２等可能情形下的概率计算（一）[教学目标]1．在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型．2．进一步理解等可能事件的意义，会列出一些类型的随机试验的所有等可能结果(基本事件)，会把事件分解成等可能的结果(基本事件)．3．理解等可能条件下的概率(一)即古典概型的两个基本特征，掌握等可能条件下的概率(一)即古典概型的概率计算公式．4．会用列举法(包括列表、画树状图)计算一些随机事件所含的可能结果(基本事件)数及事件发生的概率．[教学过程(第一课时)]1．情境创设课本创设的问题情境，采用了从特殊到一般的思路：提出问题一思考交流一抽象概括一等可能条件下的概率(一)(即古典概型)．教学时，可多举几个随机试验，例如，掷一枚均匀的硬币、摸球、抽签等，通过分析，再抽象概括出等可能条件下的概率(一)(即古典概型)． 2．探索活动根据课本中列举的活动进行探索交流．教学时要注意突出等可能条件下的概率(一)(即古典概型)的两个基本特征——试验结果的有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型，一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具备古典概型的两个特征．例如，一射手射击打靶，“中靶”与“脱靶”一般不是等可能的．又如，从规格直径为100mm±0.2mm 的一批合格产品中任意抽测1件，其直径可能是从99.8mm到100.2mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无穷多个．这两个试验都不是古典概型．根据教学的实际情况，可结合上面提供的素材提出问题供学生思考交流，从而进一步丰富对等可能条件下的概率(一)(即古典概型)的认识．3．例题教学课本安排了两个例题，应鼓励学生先尝试、思考，再研究讨论和计算．4．小结问题一等可能条件下的概率(一)即古典概型的两个基本特征是什么?问题二如何计算等可能条件下的概率(一)即古典概型中事件的概率?[教学过程(第二课时)]1．情境创设课本提供的情境是掷一枚硬币2次，可以继续追问“掷一枚硬币3次都是正面朝上的概率是多少?”．除课本提供的试验素材外，还可以创设更能引起学生兴趣和思考的游戏活动情境．例如，两人掷一枚均匀的骰子，一人一次．在做游戏之前，每人说一个数，如果抛掷的骰子两次朝上的点数之和恰与某人的一样，那么该人获胜．要想取得胜利，你会说哪个数?让学生切实感受到，树状图和列表格既形象又直观，可以帮助我们既不重复也不遗漏地列出所有可能的结果(基本事件)，从而计算古典概型中事件所含的可能结果(基本事件)数及事件发生的概率．2．探索活动根据课本中列举的活动进行探索交流．除课本提供的素材外，教师还可选择一些更能引起学生兴趣和思考的探索问题．例如，一辆汽车向东行驶(如图)．当汽车驶到十字路口时，它可以自由选择向左或向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，求下列事件发生的概率：(1)汽车向东行驶，(2)汽车向北行驶，(3)汽车向西或向北行驶，(4)汽车不向南行驶．又如，如图，一个树叉，一绿毛虫要去吃树叶．如果绿毛虫选择叉枝是等可能的，求下列事件发生的概率：(1)绿毛虫吃到树叶S；(2)绿毛虫吃到树叶了；(3)绿毛虫吃到树叶B．3．例题教学课本安排了两个例题，应鼓励学生先尝试、思考，再研究讨论和计算． 4．小结问题一如何用树状图列出所有可能的结果(基本事件)?举例说明；问题二如何用表格列出所有可能的结果(基本事件)?举例说明．。

九年级数学下册 28.2 等可能情形下的概率计算讲解与例

等可能情形下的概率计算1．等可能性与概率 (1)等可能性抛掷一枚均匀的硬币，会出现两种结果：“出现正面”和“出现反面”，这两个结果发生的机会是均等的．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面只有1,2，…，6点六种不同的可能结果，而且六种结果出现的可能性相等．以上试验具有如下两种特点：①所有可能出现的不同结果都只有有限个；②每种结果出现的可能性相等．对于这种等可能情形下的试验，我们可以用列举法举出所有等可能的结果，从而得到随机事件的概率．(2)概率的表示一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中，使事件A 发生的结果有m (m ≤n )种，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n.在上式中，当A 是必然事件时，m ＝n ，P (A )＝1；当A 是不可能事件时，m ＝0，P (A )＝0；当A 是随机事件时0≤P (A )≤1.注意：①表示一个事件的概率，可以用百分数、分数或小数表示．②等可能情形下的事件的概率可用列举法分析所有等可能的结果n 及事件所包含的几种结果m .【例1－1】已知粉笔盒里只有2支黄色粉笔和3支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是( )．A ．15B ．25C ．35D ．23解析：粉笔盒中共有5支粉笔，任何一支粉笔被取出的可能性是相等的，而其中有2支黄色粉笔，故P (取出黄色粉笔)＝25.答案：B【例1－2】从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是( )．A ．15B ．310C ．13D ．12解析：这十个数中的每一个数被取出的可能性相等，即共有10种等可能的结果，其中3,6,9是3的倍数，故P (取出3的倍数)＝310.答案：B【例1－3】在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、正方形和圆．在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是( )．A ．16B ．13C ．12D ．23解析：6张卡片中每张被摸出的机会是均等的，共6种等可能的结果，其中线段、平行四边形、正方形和圆4种结果是中心对称图形，所以P (摸出中心对称图形)＝46＝23.答案：D【例1－4】在一个不透明的布袋中装有2个白球和n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是45，则n ＝__________.解析：袋中共有(n ＋2)个球，每一个球被摸到的机会是均等的，共(n ＋2)种结果，其中有n 种结果是黄球，故P (摸到黄球)＝n n ＋2＝45，解得n ＝8.答案：8以上几例均为一步(维)概率的求法及应用，只要能举出一次试验的所有等可能结果数和事件所包含的结果数即能获得所需要的概率．其中例1－4是概率求法的逆用．2．用列举法求概率用列举法求概率时，最关键有两点：(1)要弄清楚事件所包含的是哪个或哪些结果； (2)要弄清楚一次试验中所有机会均等的结果．一个事件的概率就是前者与后者的比．因此，为了求出一个事件发生的概率，可以用列举法举出所有等可能的结果．而列举法包括列表法和画树状(形)图法．①用列表法求概率列表法是指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法．a ．列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；b ．用列表法求概率适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率，其计算方法是：由表格可知共有n 2种可能情况，再分别计算各类情况的概率． ②用树状(形)图法求概率树状(形)图是指用树状(形)图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法．a ．树状(形)图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题；b ．在求可能事件的概率用列表法或画树状(形)图法时，应注意各种情况出现的可能性务必相同；c ．在列表或画树状(形)图求概率时，各种情况出现的可能性不能重复，也不能遗漏；d ．用树状(形)图法求概率适用于涉及两步或两步以上试验的事件发生的概率，其画树状(形)图和计算的方法如下图所示：故共有n 2种可能情况，再分别计算各类情况的概率．例如：你能用几种方法计算抛掷两枚硬币正面都朝上的概率？方法一：列表法由上表可知，出现两个正面朝上的概率是14.方法二：树状图法(如下图)由树状图知，同时出现正面朝上的只是4种机会均等的结果中的一种．因此，相应的概率是14.【例2】如图所示，有一个可以自由转动的圆形转盘，被平均分成四个扇形，四个扇形内分别标有数字1,2，-3，-4.若将转盘转动两次，每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分别记为a ，b(若指针恰好指在分界线上，则该次不计，重新转动一次，直至指针落在扇形内)．请你用列表法或树状图法求a 与b 的乘积等于2的概率．分析：先用列表法或树状图将a 与b 的乘积的所有等可能结果全部列出．解：a 与b 的乘积的所有可能出现的结果如下表所示：总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中ab ＝2的结果有2种，∴a 与b的乘积等于2的概率是18.3．利用概率估计游戏公平性的方法看一个游戏是否公平，只要看游戏的双方获胜的概率是否相等，如果不是，那么这个游戏就是不公平的，要想把它变成公平，就要修改游戏规则．一个公平的游戏，双方获胜的可能性的概率是相等的．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例3】如图所示，电路图上有四个开关A ，B ，C ，D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A ，B ，C 都可使小灯泡发光．(1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于__________；(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．分析：本题借电路图考查概率的计算，根据电学知识，可知只有当开关A ，B ，C 同时闭合或闭合开关D 时，小灯泡才能发光．解：(1)14(2)画出树状图如图所示，其中“×”表示灯泡不发光，“√”表示灯泡发光．列表如下：开关1 A B C D 开关2 B C D A C D A B D A B C 是否发光否否是否否是否否是是是是从树状图(或列表)可见，任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况只有6种，所以闭合其中两个开关能使小灯泡发光的概率为612＝12.以上例题属于二步(维)概率的求法，解决这类问题常常需要借助列表法或树状图法举出所有等可能的结果数，这样才能做到不重不漏，对于二维概率问题，当等可能的结果数较多时，一般选用列表法，当等可能的结果较少时，一般选用画树状图的方法．4．巧借树状图，直观解两型同学们知道求一个事件发生的概率，往往需要借助树状图加以分析，在分析的过程中，我们可以发现一些计算方法和计算规律．现分别从互不影响型和互相影响型进行例析，供同学们参考．(1)互不影响型例如：随机掷一枚质地均匀的硬币三次，三次都是正面朝上的概率是多少？解：随机掷一枚质地均匀的硬币三次，所有可能出现的结果如下图所示．从树状图可以看出，总共有8种结果，每种结果出现的可能性相同，而三次都是正面朝上的只有一种，因此三次都是正面朝上的概率为18.推广：随机掷一枚质地均匀的硬币n 次，n 次都是正面朝上的概率为12n .(2)互相影响型例如：不透明的袋子中有五个球，三红二白，从中摸出一个球，记下颜色，不放回，再摸出一个球．问：摸到二红的概率是多少？摸到一红一白的概率是多少？解：此例中由于“不放回”，所以第一次摸到的球，第二次不可能再摸到．列表如下：从中可以看出，“不放回”地两次摸球共有20种等可能结果，其中属于“二红”的结果有6种，属于“一红一白”的结果有12种，因此摸到二红的概率是620＝310，摸到一红一白的概率是1220＝35.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例4－1】有背面完全相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别画有4个不同的几何图形，如图，小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．(1)用画树状图(或列表)的方法表示两次摸到的所有可能的结果，纸牌可用A ，B ，C ，D 表示．(2)求摸出两张牌是中心对称图形的概率．分析：本题是有放回地求两次摸出的图形都是中心对称图形的纸牌的概率，属于互不影响型概率问题，四种几何图形中，只有B 和C 是中心对称图形．解：(1)画树状图如图或列表如下A B C D A (A ，A ) (A ，B ) (A ，C ) (A ，D ) B (B ，A ) (B ，B ) (B ，C ) (B ，D ) C (C ，A ) (C ，B ) (C ，C ) (C ，D ) D (D ，A ) (D ，B ) (D ，C )(D ，D )(2)B )，(B ，C )，(C ，B )，(C ，C )．故所求的概率是416＝14.【例4－2】有两个不同形状的计算器(分别记为A ，B )和与之匹配的保护盖(分别记为a ，b )(如图所示)散乱地放在桌子上．(1)若从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，求恰好匹配的概率； (2)若从计算器和保护盖中随机取两个，用树状图法或列表法，求恰好匹配的概率．解：(1)从计算器中随机取一个，再从保护盖中随机取一个，有Aa ，Ab ，Ba ，Bb 四种情况，恰好匹配的有Aa ，Bb 两种情况，∴P (恰好匹配)＝24＝12.(2)用树状图法表示如图所示：所有可能的结果为AB ，Aa ，Ab ，BA ，Ba ，Bb ，aA ，aB ，ab ，bA ，bB ，ba .可见，从计算器和保护盖中随机取两个，共有12种不同的情况，其中恰好匹配的有4种，分别是Aa ，Bb ，aA ，bB ，∴P (恰好匹配)＝412＝13.5．几何模型的概率概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积．几何模型的概率实质上可以看作是将图形等分成若干份，那么事件A 发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形所占的份数除以总份数，因此，几何模型的概率也可以通过列举法求解．例如：一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在黑色地板砖上的概率是多少？解：黑砖和白砖共有12块，蚂蚁停留在任何一块砖上的概率是相等的，所以蚂蚁停留在地板砖上的结果数为12.由于黑砖有4块，蚂蚁停留在黑砖上的结果数为4.故蚂蚁停留在黑砖上的概率为412＝13，即P (蚂蚁停留在黑砖上)＝13.【例5－1】随意地抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中(每个方格除颜色外完全一样)，那么这粒豆子停在黑色方格中的概率是__________．解析：在3×4的方格中，黑色方格占4个，故P (豆子停在黑色方格中)＝412＝13.答案：13【例5－2】某火车站的显示屏，每间隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是( )．A ．16B ．15C ．14D ．13解析：显示屏上每5分钟有1分钟持续显示火车班次信息，故所求概率为15.答案：B6．利用概率做决策在生活中许多领域涉及概率知识，如果能够正确加以运用，可解决某些类型的决策问题．例如：某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球(球上分别标有数字1,2，…，100)的箱子里随机摸出一个球(摸后放回)，若球上的数字是88，则返500元购物券；若是11或77，则返300元购物券；若球上的数字能被5整除，则返5元购物券；若是其他数字不返还购物券．第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得15元购物券，估计活动期间将有5 000人参加活动，请你通过计算说明商家选择哪种方案促销合算些？解：①若通过摸球方案，则顾客获得500元购物券的概率为0.01，获得300元购物券的概率为0.02，获得5元购物券的概率为0.2，摸球一次获得购物券的平均金额为(0.01×500＋0.02×300＋0.2×5)＝12(元)．如果5 000人参加摸球，商场付出的购物券的金额是5 000×(0.01×500＋0.02×300＋0.2×5)＝60 000(元)．②若直接获得购物券，商场需付金额是5 000×15＝75 000(元)，故商场选择摸球的促销方式合算．【例6】某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客每购买100元的商品，可转动两次转盘，当转盘停止后，看指针指向的数．获奖方法是：①指针两次都指向8时，顾客可以获得100元购物券；②指针两次中有一次指向8时，顾客可以获得50元购物券；③指针两次都不指向8，且所指两数之和又大于8时，顾客可以获得所指两数之和与8的差的10倍的购物券(如6＋6－8＝4，获40元购物券)；④其余情况无奖．若顾客不愿意转转盘，可以直接获得25元购物券．(1)试用树状图或列表的方法，给出两次转动转盘指针所有可能指向的结果； (2)试求顾客可获得100元购物券的概率； (3)试求顾客无奖的概率；(4)你认为转转盘和直接获得购物券哪种方法对顾客更合算？试说明理由．解：(1)列表如下：(2)因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中两次指针指向8的情况只有一种，所以所求概率为116.(3)因为两次转动转盘指针所有可能的结果共有16种，其中无奖的情况有6种，所以所求概率为616＝3 8.(4)每转动两次转盘所获得购物券金额的平均数为100×116＋50×38＋40×116＋20×216＝30(元)＞25(元)．所以转转盘对顾客更合算．。

【素材一】26.2 等可能情形下的概率计算

怎样解概率的计算题随着课改的不断深入，统计与概率的思想越来越得到重视，在近两年课改实验区的中考试题中，概率计算题的比重逐渐增大。

计算概率常用到以下几种方法，现分类举例说明，供同学们复习时参考。

一、计算出所求事件占全部等可能事件的百分比，求得概率例1某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”. 根据要求,该班从团员中随机选取1名团员参加,则该班团员京京被抽到的概率是( )A ．501 B ．21 C ．201 D ．52 解析因为该班共有20名团员，所以随机抽取1名团员就有20种等可能的结果,每个团员抽中的概率为201, 故团员京京被抽到的概率为201，应选C. 例2 在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数258396417，让参与者猜商品价格,被猜的价格是一个4位数,也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字,如果参与者不知道商品的价格,从这些连在一起的所有4位数中,任意猜一个,求他猜中该商品价格的概率.解析所有连在一起的4位数有: 2583,5839,8396,3964,9641,6417,共6个,商品的价格是其中的一个,由于参与者是随意猜的,因此,他一次猜中商品价格的概率是61.二、计算出所求事件中的面积占全部面积的百分比，求得概率例3 小明随机在如图所示的正三角形及其内部区域投针,则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率是____.解析设正三角形的边长为1,则正三角形的面积是43,而其内切圆的半径为21×tan300=63,面积为12π. 所以针扎到其内切圆(阴影)区域的概率是12π÷43=93π. 三、画出树状图，求得概率例 4 甲、乙两超市(大型商场)同时开业,为了吸引顾客,都举行有奖酬宾活动: 凡购物满100元,均可得到一次摸奖的机会.在一个纸盒里装有2个红球和2个白球,除颜色外其他都相同,摸奖者一次从中摸出两个球,根据球的颜色决定送礼金券(在他们超市使用时,与人民币等值)的多少(如下表).甲超市:乙超市:(1)用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况.(2)如果只考虑中奖因素,你会选择去哪个超市购物?请说明理由.解析 (1)画树状图如下：开始第1个球红白第2个球红白白红红白(2)∵摸到两红球的概率是61,摸到两白球的概率是61,摸到一红球一白球的概率是64=32, ∴在甲商场获礼金券的平均收益是:61×5+32×10+61×5=325;在乙商场获礼金券的平均收益是:61×10+32×5+61×10=320. ∴我选择在甲超市购物. 说明: 树状图表示为如下形式且按此求解第(2)问,也正确.开始红1 红2 、白1 白2红2 白1 白2 红1 白1 白2 红1红2白2 红1红2白1四、利用列表法,求得概率例5甲同学口袋中有三张卡片,分别写着数字1、1、2，乙同学口袋中也有三张卡片,分别写着数字1、2、2.两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片,若两人摸出的卡片上的数字之和为偶数, 则甲胜; 否则乙胜.求甲胜的概率.解析用列表法列举随机出现的所有情况.由表可知，和为偶数的结果有4种，∴P (甲胜)=94.例6 如果m 是从0, 1, 2, 3四个数中任取的一个数, n 是从0, 1, 2三个数中任取的一个数, 那么关于x 的一元二次方程x 2－2mx +n 2=0有实数根的概率为______. 解析 m 与n 的值列表如下:m 与n 的取值共有12种情况.关于x 的一元二次方程x 2－2mx +n 2=0有实数根的条件是=4m 2－4n 2≥0.∵m 、n 都是非负数，∴m ≥m 、n . 满足m ≥n 的有(0,0)、（1，0）、（1，1）、（2，0）、（2，1）、（2，2）、（3，0）、（3，1）、（3，2）九种情况.∴P (方程有实数根)=129=43.。

26.2等可能情形下的概率计算(一)

我们所研究的事件大都是随机事件。所以其概率在0和1之间。
不透明的袋子中装有3个白球
和2个红球。这些球除颜色外都相
同，拌匀后从中任意出1个球。
（1）会出现哪些等可能的结果？ 1 （2）摸出白球的概率是多少？
5
4
2
3
（(43)）要使摸摸出出红的球红的球概的率概率是是多1少，？则还需再加几个红球？
你还可以怎样设计？ 2
甲袋中装有3个白球和2个红球。乙袋中装有30个白球和20个红球。这些球除颜色外都相同，把两袋中的球都拌匀，从哪个袋中任意取出一个球恰好是红球的可能性大？
书P159 1~3
1、从一副扑克牌中，任意抽一张。问：（1）抽到大王的概率是多少？（2）抽到8的概率是多少？（3）抽到红桃的概率是多少？（4）抽到红桃8的概率是多少？ 2、小明、小刚、小亮三人正在做游戏，现在要从他们三人中选出一1 人去帮助王奶奶干活，则小明被选中的概率为____3 __，小明未被选中的概率为__2 ___。 3、抛掷一枚均1匀的骰子，它落地时，朝上的点3 数为 6的概率1 为____6__。朝上的点数为奇数的概率为 _____2__ 。朝上的点数为10的概率为___0 ___，朝上的点数大于3的概率为___2___。
难点：理解概率是描述不确定现象的数学模型，计算简单等可能事件的概率。
无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备哪几个特征的试验结果才具有等可能性？
①பைடு நூலகம்试验中发生的事件都是随机事件
②在每一次试验中有且只有一个结果出现
③每个结果出现机会均等
抛掷一只均匀的骰子一次。
（1）点数朝上的试验结果是有限的还是无限的？
经历在等可能条件下探索抛掷一枚均匀的骰子和摸球的问题，感悟这个古典概型的两个基本特征。

27.2等可能情形下的概率计算(第一课时)(沪科版)

2 1 。件B包含的结果有2种。因此 P(B) = = 4
2
答：一枚出现正面、一枚出现反面的概率是想一想：
1 2
如果说，先后抛掷两枚硬币，共出现“两正”、“两反”、“一正一反”等3种结果， 1 1 1 因此上面例题中两问结果都应该是，而不是和，这种说法错在哪里？ 3 2 4 答: 基本事件是不能再分解为更简单事件的事件，事件“一正一反”还可以分解为“正、反”、“反、正”两个简单事件，上述说法错在对等可能下的概率
等可能情形下的概率计算的定义：
如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且这些结果发生的可能性相等，其中使事件A发生的结果有m种(m≤n) ，那么事件A发生的概率为 P( A) m
n
ｎ (m≤n) ｍ m P(A)= n
例1 先后抛掷两枚均匀的硬币，计算： ⑴ 两枚都出现的正面概率；
⑵ 一枚出现正面、一面出现反面的概率。
解：先后抛掷两枚硬币可能出现的结果共有:正正、正反、反正、反反且这4种结果出现的可能性都相等
⑴ 记“抛掷两枚硬币，都出现正面”为事件A，那么在上面4种结果中， P(A) = 1 事件A包含的结果有1种，因此 4
答：正面都出现的概率是
1 4
⑵ 记“抛掷两枚硬币，一枚出现正面、一枚出现反面”为事件B，那么事
解：按颜色把7个扇形分别记为：红1，红2，红3，绿1，绿2，黄1，黄2，所有可能结果的总数为7。
（1）指针指向红色（记为事件A）的结果有3个，即红1，红2，红3，因此P（A）=
3 （2）指针指向红色或黄色（记为事件B）的结果 7
有5个，即红1，红2，红3，黄1，黄2，因此P（B） = 即绿1，绿2，黄1，黄2，因此P（C）=
4 7
5 （3）指针不指向红色（记为的计算过程大致分为四步：（1）判断是否符合等可能性随机试验的条件：有限性和等可能性（2）确定ｎ；

26.2.1等可能情形下的概率计算

26.2.1 等可能情形下的概率计算教学目标：知识与技能目标学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。

过程与方法目标经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。

渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。

情感与态度目标通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。

教学重点：习运用列表法或树形图法计算事件的概率。

教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。

教学过程一.创设情景，发现新知（1）创设情景引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A 、B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A 上的数字分别是1，6，8，转盘B 上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。

每次选择2名同学分别拨动A 、B 两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。

作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。

【设计意图】选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游AB 联欢晚会游戏转盘戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。

（2）学生分组讨论，探索交流在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。

然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。

此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A 、B 两转盘，即涉及2个因素，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。

怎样避免这个问题呢？实际上，可以将这个游戏分两步进行。

27.2等可能情形下的概率计算(1)

结果,并且它们发生的可能性都相等,事件包含其中的m种结果,那么事件发生的概率为 P(A)=m/n
0≤P(A) ≤1. 2必021/然3/10 事件的概率是1，讲解不：XX可能事件的概率是0.5
例1：
➢ 问题（1个骰子，它落地时向上的的数为 ① 2的概率是多少？ ②落地时向上的数是3的倍数的概率是多少？ ③点数为奇数的概率是多少？ ④点数大于2且小于5的数的概率是多少？
2021/3/10
讲解：XX
12
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/3/10
13
4
等可能性事件
等可能性事件的两的特征： 1.出现的结果有限多个; 2.各结果发生的可能性相等；在P(A)=m/n中,分子m 等可能性事件的概率可以用列和目举分,两母法者n有而都何表求区示得别结,。它果们的之数
归一纳般: 的,如果在一次实验中,间系能有有?大Pn怎于(种A1样)吗可可的?能数能小量的于关吗?可
1．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（）．
1 A． 4
B．3 C． 1
4
2
D．1．
2．从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人乘坐以上交通工具，从甲地经乙地到丙地的方法有（）种．
A．4 B．7 C．12 D．81．
2021/3/10
讲解：XX
解：一共有7中等可能的结果。（1）指向红色有3种结果，
P(红色)=__3_/7__ （2）指向红色或黄色一共有5种等可能的结果，P( 红或黄）=__5_/_7___ （3）不指向红色有4种等可能的结果
P( 不指红）= ___4_/7____
讲解：XX
7
解：A区有8格3个雷，

26.2 等可能情形下的概率计算(第1课时)-课件

（1）掷得点数为2或4或6(记为事件A)有3种结果， 3 1 因此P（A）； 6 2 （2）小明前五次都没掷得点数2，可他第六次掷得点数仍然可能为1，2，3，4，5，6，共6种。他第六次 1 掷得点数2(记为事件B)有1种结果，因此P(B) .
6
例1变式掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，（3）小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两人轮流掷骰子，掷得点数大于4，小明胜；掷得点数不大于4小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。
26.2 等可能情形下的概率计算（第1课时）
蚌埠六中倪坤
思考归纳
1.抛掷一枚均匀的硬币，向上的一面只有正面或反面两种不同的可能结果，即正面或反面，每面抛到的可能性相等，都是 1。
2
2.掷一个骰子,向上一面的点数有6种可能的结果 ,即1、2、3、4、5、 1 6，每一个点数出现的可能性相等，都是 6 。
(3)小明胜（记为事件A）共有2种结果，小亮胜（记为事件B）共有4种结果,
P（A） 2 1 பைடு நூலகம் 3
, P（B）

4 2 6 3
.
∵P（A）＜P（B）,∴这样的游戏规则不公平。
可以设计如下的规则：两人轮流掷骰子，掷得点数大于4，小明胜，小明得2分；掷得点数不大于4小亮胜，小亮得1分，最后按得分多少决定输赢。
己》，《隐形的翅膀》，《超越梦想》，《校园的早晨》，她随机从中抽取一
支歌，抽到“相信自己”这首歌的概率是（
1 7
）.
练习
三、用心想一想 6. 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数是6的约数；（2）点数是质数；（3）点数是合数．（4）小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜；掷得点数是合数，小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。

27.2等可能下的概率计算

2015年5月9日9时45分
把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率
如果事件发生的各种可能结果的可能性相同，结果总数为n 事件A发生的可能的结果总数为m 那么事件A发生的概率为
P（A）=
m n
用列举法求概率的条件是什么?
(1)所有可能出现的不同结果都只有有限个(n) (2)各种不同结果出现的可能性 m 相等.
27.2等可能下的概率计算
回顾必然事件:(一定会发生）
不可能事件（一定不会发生）随机事件(不确定事件)（可能发生，也可能不发生）
可能性（概率）
0 不可能发生
2015年5月9日9时45分
½(50%) 可能发生
1(100%) 必然发生
概率事件发生的可能性,也称为事件发生的概率. 必然事件发生的概率为1(或100%), 记作P(必然事件)=1; 不可能事件发生的概率为0, 记作P(不可能事件)=0; 随机事件(不确定事件)发生的概率介于0~1之间,即0<P(不确定事件)<1. 如果A为随机事件(不确定事件), 那么0<P(A)<1.
(3)使摸到红球和黄球的概率各为 1/6 ,摸到白球的概
率为 2/3 .
贝贝是个小马虎，居然穿了两只不同颜色的袜子出来玩，原来他昨晚睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床太心急没看清随便穿了两只就出发了，问在这样的状态下贝贝正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？
解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则
游乐城为了方便大家的游玩，特地为游客们安排3 辆车,宝宝与贝贝都可以从这3辆车中任选一辆搭乘.问宝宝与贝贝同车的概率有多大?
你能用树状图表示本题中事件发生的不同结果吗? 用列表法也试试吧!

27.2等可能下的概率计算(2)

提示：在字母A、B、C、D、E、H、I中A、
E、I是元音。B、C、D、H是辅音。
解：依题意，画树形图如下：
甲乙
C
A D E C
B D E
H I H I H I H I H I H I 丁
所以可能出现的结果共12个：
A A A A A A BB BBB B C C D D E E C C DD E E H I H I H I HI H IH I
红1,白红2 ,白
白,红1
红1 ,红1 红2,红1
白,红2
红1,红2 红2 ,红2
白,红3
红1,红3 红2 ,红3
红3 ,白
红3 ,红1
红3 ,红2
红3,红3
例 4 同时抛掷两枚均匀的骰子，骰子各面上的点数分别是1、2.。。。6 ，试分别计算如下各随机事件的概率。 1）抛出的点数之和等于8； 2)抛出的点数之和等于12.
（2）全是辅音字母的结果共有2个：
BCH、BDH。所概率的条件是: (1)实验的结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等. 2.用列举法求概率的的公式是:
m P A n
由于每种结果出现的可能性相等，其中两枚一正一反向上的结果有两种，所以P（一正一反）= 2
4

1 2
上面的解题过程我们用“树状图”列出所有可能出现的结果，图中从左到右每条路径表示一种结果，每个结果发生的概率相等。
计算等可能情形下的概率关键是确定所有可能性相同的结果的总数n和求出其中使事件A发生的结果的总数m。“树状图” 能帮助我们有序的思考，不重复、不遗漏地得出n和m。
（5、5）（5、6）（5、3）（5、4）
（6、2）（6、3）（6、4）（6、5）（6、6）

27.2等可能情形下的概率计算(3)

分析（1）作出树状图：
解：甲乙结果用“树状图”表示游戏的石头（石头，石头）所有结果如左图：共有9种结果，且出现石头剪刀（石头，剪刀）的可能性相等，因此，一次游戏时：布（石头，布）（1）甲获胜的结果有3 石头（剪刀，石头）种，故甲获胜的概率是剪刀剪刀（剪刀，剪刀） 3 1 布（剪刀，布）石头（布，石头）布同理，乙获胜的概率也是 1 3
2、根据不同的情况选择恰当的方法表示某个事件发生的所有可能结果。
P（A)=
总结经验: 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表的办法
1 9 36 4
P( B)
27 36

3 4
试一试：小明有红、白、黄、黑四件衬衫，又有米色、蓝色两条长裤．如果他最喜欢的搭配是白色衬衫配蓝色长裤，那么黑暗中他随机地拿出一套衣裤正是他最喜欢的搭配，这样的巧合发生的概率是多少？如果他最不喜欢红衬衫配蓝色长裤或者黑衬衫配蓝色长裤，那么，黑暗中他随机地拿出一套衣裤正是他最不喜欢的搭配的概率又是多少？
2、边阅读边填空，再解答问题： (1)从0～9的数字中任取一个可得到一个一位数有9个(不含0)。 (2)从0～9的数字中任取两个(可重复取)组成两位数,我们先确定十位数,有9种可能(不含0);再确定个位数,有10种可能(含0),所以可组成两位数 9×10=90(个)。 (3)从0～9的数字中任取三个(可重复取)组成三 9 位数,我们先确定百位数,有_____ 种可能(不含0), 10 再确定十位数,有_____ 种可能(含0);后确定个位 10 数,有______ 种可能(含0),所以可组成三位数 900 9×10×10 _________=____( 个 )。

27.2等可能情形下的概率计算(2)

反正反
总共有8种结果，每种结果出现的可能性相同，而三次正面朝上的结果有1种，因此三次正面朝上的概率为1/8。
试一试：２、一个家庭有三个孩子，若一个孩子是男孩还是女孩的可能性相同．(1)求这个家庭的3个孩子都是男孩的概率；(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率；(3)求这个家庭至少有一个男孩的概率．

1 3
甲乙两个袋中各装有两个球：一个红球和一个黑球，小彬和小强想利用它们做游戏，规则如下：从两个袋中各取一个球，如果都是黑球，则小彬获胜；否则小强获胜。这个游戏公平吗？
１、将一个均匀的硬币上抛三次，结 1/8 果为三个正面的概率＿＿
解：
第一次：第二次：正第三次：正
开始
正
反正正反反反正反
练习
一、精心选一选 1.有一道四选一的单项选择题，某同学用排除法排除了一个错误选项，再靠猜测从其余的选项中选择获得结果，则这个同学答对的概率是（ B ) A.二分之一 B.三分之一 C.四分之一 D.3 2.从标有1，2，3…，20的20张卡片中任意抽取一张，以下事件可能性最大的是( ) A A.卡片上的数字是2 的倍数. B.卡片上的数字是3的倍数. C.卡片上的数字是4 的倍数. D.卡片上的数字是5的倍数.
27.2等可能情形下
的概率计算(２)事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率 m 运用公式 P（A）= n
求简单事件发生的概率，在确定各种可能结果发生的可能性相同的基础上，关键是求什么？关键是求事件所有可能的结果总数n 和其中事件Ａ发生的可能的结果m(m ≤n）
甲乙两个袋中各装有两个球：一个红球和一个黑球，小彬和小强想利用它们做游戏，规则如下：从两个袋中各取一个球，如果都是黑球，则小彬获胜；否则小强获胜。这个游戏公平吗？

27.2 等可能情况下概率的计算(1)

开始
A1
A2
B1
B2
A2 B1 B2 A1 B1 B2 A1 A1 B2 A1 A2 B1
所以穿相同一双袜子的概率为 4 1
12 3
用列举法求概率
1. 两道单项选择题都含有A、B、C、D四个选
项，若某学生不知道正确答案就瞎猜，则这两道
题恰好全部被猜对的概率是（ D ）
A
1 4
B
1 2

C
1 8
D
用列举法求概率
在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？
123456 1第第二一张张(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
解：由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.
1、什么时候用“列表法”方便？
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较
多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用
列表法。
第
1 第二一次次
2
3
4
5
6
2、如果把上一个例题中的“同时掷两个骰子”
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 改为“把一个骰子掷两
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 次”，所有可能出现的结
开始
获演唱奖的
男
女
女
获演奏奖的男1 男2 女1 女2 男1 男2 女1女2 男1 男2 女1 女2 共有12中结果，且每种结果出现的可能性相等，其中2名都是女
生的结果有4种，所以事件A发生的概率为P(A)= 4 1 12 3

26.2等可能情形下的概率计算1

课堂小结
1.三种事件发生的概率及表示？
①必然事件发生的概率为1 记作 P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0
③若A为不确定事件
记作 P（不可能事件）=0；
则
0＜P（A）＜1
2.等可能性事件的两个特征：
（1）出现的结果有限多个; （2）各结果发生的可能性相等；
树状图列表法
如何求等可能性事件的概率-------
4
2
例2:掷两枚硬币,怎样求下列事件的概率？ (1)两枚硬币全部正面朝上; (2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上.
正
开始反
正反正
( 正 , 正) ( 正 , 反) ( 反 , 正)
反
(反,反)
总共有4种结果:(正,正),(正,反),(反,正)(反，反)
(1)P(两枚硬币全部正面朝上)=1/4，（2）P(两枚硬币全部反面朝上)=1/4，（3）P(一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上)=2/4
0≤P(A) ≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
归纳：求随机事件A的概率的方法：
一般的，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，
事件A包含其中的m种结果，那么事件A发
生的概率P(A)=
m n
这节课我们将学习根据树状图理性和列表法分析预测概率
练习：
有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4。现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则： 1
－ p （摸到1号卡片）= 5 ; － p （摸到2号卡片）= 5 ;
2
－ p （摸到奇数号卡片）= 5 ; 3 － P（摸到偶数号卡片） = 5 .