高一数学上册指数函数知识点及练习题含答案
部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点总结(超全)
(名师选题)部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点总结(超全)单选题1、已知函数f (x )=log a (x −b )（a >0且a ≠1，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）A ．a >0，b <−1B ．a >0，−1<b <0C ．0<a <1，b <−1D ．0<a <1，−1<b <02、下列计算中结果正确的是（ ）A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12 C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33 3、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（ ） A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0）4、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．695、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ）A ．25天B ．30天C ．35天D ．40天6、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =1与y =x 0B ．y =x 与y =(√x)2C ．y =2log 2x 与y =log 2x 2D ．y =ln 1+x 1−x 与y =ln (1+x )−ln (1−x )7、设f(x)=log 2(1x+a +1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，则g(x)的值域为（ ）A ．(−∞,−12)∪(12,+∞)B ．(−12,12)C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−2,2)8、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限多选题9、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <010、（多选题）下列计算正确的是（ ）A ．√(−3)412=√−33B ．(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a a >0,b >0 C ．√√93=√33D ．已知x 2+x −2=2，则x +x −1=211、已知a ，b 均为正实数，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则ab =（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2填空题12、对数型函数f (x )的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案(十三)参考答案1、答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0，故选：D2、答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误； 对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误； 对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误； 故选：A3、答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点． 因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1．故选：A ．4、答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解.∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5、答案：B分析：根据给定条件求出m 及a 10的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.依题意，{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20，解得m =120,a 10=2，当ℎ=40%时，40%=120⋅a t ， 即40%=120⋅a 10⋅a t−10，解得a t−10=4=(a 10)2=a 20，于是得t −10=20，解得t =30，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.故选：B6、答案：D分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.对于A ：y =1定义域为R ，y =x 0定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确； 对于B ：y =x 定义域为R ，y =(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确； 对于C ：y =2log 2x 的定义域为{x|x >0}，y =log 2x 2定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确；对于D ：由1+x 1−x >0可得(x +1)(x −1)<0，解得：−1<x <1，所以y =ln 1+x 1−x 的定义域为{x|−1<x <1}，由{1+x >01−x >0可得−1<x <1，所以函数y =ln (1+x )−ln (1−x )的定义域为{x|−1<x <1}且y =ln (1+x )−ln (1−x )=ln 1+x 1−x ，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确， 故选：D.7、答案：A分析：先求出f(x)的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到f(x)的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出g(x)的值域．因为f(x)=log 2(1x+a +1)，所以1x+a +1=1+x+a x+a >0可得x <−a −1或x >−a ，所以f(x)的定义域为{x|x <−a −1或x >−a}，因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以−a −1=a ，解得a =−12， 所以f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(12,+∞)， 因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，所以g(x)与f(x)互为反函数，故g(x)的值域即为f(x)的定义域(−∞,−12)∪(12,+∞).故选：A .8、答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.故选：A ．9、答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0．故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.10、答案：BC解析：根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.A. √(−3)412=√3412=√33，故错误；B. (a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a23+12−16b 12+13−56=−9a ，故正确； C. √√93=916=(32)16=313=√33，故正确；D. 因为x 2+x −2=(x +x −1)2−2=2，所以(x +x −1)2=4，则x +x −1=±2，故错误； 故选：BC11、答案：AD分析：令t =log a b ，代入可求出t ，可得a 与b 的关系式，再代入a b =b a 即可求出a ，b 的值. 令t =log a b ，则t +1t =52， 所以2t 2−5t +2=0，即(2t −1)(t −2)=0，解得t =12或t =2，即log a b =12或log a b =2，所以a =b 2或a 2=b ，因为a b =b a ，代入得2b =a =b 2或b =2a =a 2，所以a =4，b =2或a =2，b =4，所以a b =2或a b =12.故选：AD.小提示：本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题.12、答案：f (x )=|log 2(x +1)|（答案不唯一，满足f (x )=|log a (x +b )|，a >1，b ≥1即可） 分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f (x )的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f (x )=|log 2(x +1)|．所以答案是：f (x )=|log 2(x +1)|（答案不唯一）。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I 1I 2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.3、设a =log 2π，b =log 6π，则（ ） A ．a −b <0<ab B ．ab <0<a −b C ．0<ab <a −b D ．0<a −b <ab 答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b−1a <1，由此可判断得选项.解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 61<b =log 6π<log 66=1，所以a >1,0<b <1，所以a −b >0，ab >0，故排除A 、B 选项； 又1b −1a =a−b ab=log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.4、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0.5、已知a=log20.6,b=log20.8,c=log21.2，则（）A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y=log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.故选：A.6、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.7、已知a=ln1，b=30.3，c=1og54，则a,b,c的大小关系是（）3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b答案：C解析：分别将a,b,c与0,1比较大小，从而得到a,b,c的大小关系.<ln1=0，b=30.3>30=1，0=log51<c=1og54<log55=1，所以可知b>c>a 因为a=ln13故选：C8、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；设D的坐标为(t,0)，由题得△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200，所以选项C正确；当x=128时，y=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ） A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1; B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题.11、已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（）A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16C．a12+a−12=±√5D．a32+a−32=2√5答案：AD分析：由a+1a =3(a>0)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．解：∵a+1a=3，∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；∵(a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=√5，因此C不正确；∵a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=3√5−√5=2√5，因此D正确．故选：AD．填空题12、已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)−1，若f(2x−1)+f(4−x2)+2>0，则实数x的取值范围为______. 答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.13、若函数f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为________．答案：[1,17]分析：根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出f(x)= 4时x的值，即可得解.解：因为f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1，当x∈(−∞,1]时，易知f(x)=2x+2在(−∞,1]上单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)=log2(x−1)在(1,+∞)上单调递增．作出f(x)的大致图象，如图所示．由图可知，f(1)=4，f(17)=log2(17−1)=4，因为f(x)在(−∞,a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1,17]．所以答案是：[1,17]14、函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点_________ 答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题15、已知函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，求整数k的值；（3）设m>0，若对于任意x∈[1m,m]，都有g(x)<−ln(m−1)，求m的取值范围.答案：（1）f(x)=lnx；（2）k的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a的值，即可求解；（2）由（1）可得y=ln(2x2−kx)，得到2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，根据题意转化为函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g(x)的最大值g(m)，得出g(x)max<−ln(m−1)，得到m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a=0，所以函数f(x)的解析式为f(x)=lnx.（2）由（1）可知y=lnx+ln(2x−k)=ln(2x2−kx)，x∈(1,2)，令ln(2x2−kx)=0，得2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数练习题及答案
指数函数练习题及答案指数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解指数函数的概念和运算规则，并提供相应的答案。
1. 求解指数方程：2^x = 16解：将16写成2的幂次形式，即16 = 2^4，所以原方程可以写成2^x = 2^4。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到x = 4。
2. 简化指数表达式：(2^3)^4解：根据指数函数的性质，指数的乘法规则，可以将指数表达式简化为2^(3*4)，即2^12。
3. 求解指数方程：3^(2x+1) = 9解：将9写成3的幂次形式，即9 = 3^2，所以原方程可以写成3^(2x+1) =3^2。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到2x+1 = 2。
解方程得到x = 1/2。
4. 求解指数方程：e^x = 10解：将10写成自然对数的底数e的幂次形式，即10 = e^ln(10)，所以原方程可以写成e^x = e^ln(10)。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到x = ln(10)。
5. 求解指数方程：10^(2x-1) = 100解：将100写成10的幂次形式，即100 = 10^2，所以原方程可以写成10^(2x-1) = 10^2。
根据指数函数的性质，当底数相同时，指数相等，所以可以得到2x-1 = 2。
解方程得到x = 3/2。
通过以上的练习题，我们可以看到指数函数在解方程中的应用。
指数函数的特点是底数不同，函数的性质也会有所不同。
在实际问题中，指数函数可以用来描述物质的衰减、增长和变化等现象，具有很强的实用性。
除了以上的练习题，我们还可以通过绘制指数函数的图像来更好地理解其特点。
以y = 2^x为例，我们可以绘制出其图像，发现随着x的增大，y的值呈指数级增长，这是因为指数函数的增长率是逐渐加大的。
总结起来，指数函数是高中数学中的重要内容，通过练习题和图像的分析，我们可以更好地理解指数函数的概念和运算规则。
指数函数习题(经典含答案及详细解析)
指数函数习题一、选择题1．概念运算⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ，那么函数x x f 21)(⊗=的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 知足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，那么f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，那么k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的概念域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x －1)的概念域是B ，假设A ⊆B ，那么正数a 的取值范围( )A ．a >3B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 55．已知函数⎩⎨⎧>≤--=-77)3)(3()(6x a x x a x f x ，假设数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，那么实数a 的取值范围是( )A ．[94，3) B ．(94，3) C ．(2,3)D ．(1,3) 6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14)∪[4，＋∞) 二、填空题7．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，那么a 的值是________． 8．假设曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 的取值范围是________．9．(2020·滨州模拟)概念：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的概念域为[a ，b ]，值域为[1,2]，那么区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y ＝2342x x ---+的概念域、值域和单调区间．11．(2020·银川模拟)假设函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的概念域为[0,1]．(1)求a 的值；(2)假设函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．指数函数答案1.解析：由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a ≤b b a >b 得f (x )＝1⊗2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x x ≤0，1 x >0.答案：A2. 解析：∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2.又f (0)＝3，∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，那么3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )．若x <0，那么3x <2x <1，∴f (3x )>f (2x )．∴f (3x )≥f (2x )．答案：A3.解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，因此有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.答案：C4. 解析：由题意得：A ＝(1,2)，a x －2x >1且a >2，由A ⊆B 知a x －2x >1在(1,2)上恒成立，即a x －2x －1>0在(1,2)上恒成立，令u (x )＝a x －2x －1，那么u ′(x )＝a x ln a －2x ln2>0，因此函数u (x )在(1,2)上单调递增，那么u (x )>u (1)＝a －3，即a ≥3.答案：B5. 解析：数列{a n }知足a n ＝f (n )(n ∈N *)，那么函数f (n )为增函数，注意a 8－6>(3－a )×7－3，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a >13－a >0a 8－6>3－a ×7－3，解得2<a <3.答案：C6. 解析：f (x )<12⇔x 2－a x <12⇔x 2－12<a x ，考查函数y ＝a x 与y ＝x 2－12的图象，当a >1时，必有a －1≥12，即1<a ≤2， 当0<a <1时，必有a ≥12，即12≤a <1， 综上，12≤a <1或1<a ≤2. 答案：C7. 解析：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32.当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或32. 答案：12或328. 解析：别离作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判定参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如下图，由图象可得：若是|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，那么b 应知足的条件是b ∈[－1,1]． 答案：[－1,1]9. 解析：如图知足条件的区间[a ，b ]，当a ＝－1，b ＝0或a ＝0，b ＝1时区间长度最小，最小值为1，当a ＝－1，b ＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：110. 解：要使函数成心义，那么只需－x 2－3x ＋4≥0，即x 2＋3x －4≤0，解得－4≤x ≤1.∴函数的概念域为{x |－4≤x ≤1}．令t ＝－x 2－3x ＋4，那么t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254， ∴当－4≤x ≤1时，t max ＝254，现在x ＝－32，t min ＝0，现在x ＝－4或x ＝1. ∴0≤t ≤254.∴0≤－x 2－3x ＋4≤52. ∴函数y ＝2341()2x x --+[28，1]．由t ＝－x 2－3x ＋4＝－(x ＋32)2＋254(－4≤x ≤1)可知， 当－4≤x ≤－32时，t 是增函数， 当－32≤x ≤1时，t 是减函数． 依照复合函数的单调性知：y ＝1()2在[－4，－32]上是减函数，在[－32，1]上是增函数． ∴函数的单调增区间是[－32，1]，单调减区间是[－4，－32]． 11. 解：令a x ＝t ，∴t >0，那么y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，其对称轴为t ＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[1a，a ]，故当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．②假设0<a <1，∵x ∈[－1,1]，∴t ＝a x ∈[a ，1a ]，故当t ＝1a，即x ＝－1时， y max ＝(1a＋1)2－2＝14. ∴a ＝13或－15(舍去)． 综上可得a ＝3或13. 12. 解：法一：(1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，因此实数λ的取值范围是λ≤2.法二：(1)同法一．(2)现在g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，因此有g ′(x )＝λln2·2x －ln4·4x ＝ln2[－2·(2x )2＋λ·2x ]≤0成立．设2x ＝u ∈[1,2]，上式成立等价于－2u 2＋λu ≤0恒成立．因为u ∈[1,2]，只需λ≤2u 恒成立，因此实数λ的取值范围是λ≤2.。
高一数学上册 指数函数知识点及练习题含答案
课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
高中数学必修1 指数函数与对数函数教案(知识点+例题+练习)
学员姓名年级高一辅导科目数学课程类型1对1任课老师班组课题指数函数与对数函数课型□预习课□同步课□复习课□习题课课次11 授课日期及时段教学目标重难点重点：难点：教学及学习方法教学方法：学习方法：教学内容【基础知识网络总结与巩固】本节考点：考点回顾考点一考点二考点三【上节知识回顾】【本节知识要点】1. 指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域值域单调性函数值变化规律R(0，＋∞)减函数增函数当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>12．对数函数的图象和性质y ＝log a xa >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.求解与指数函数、对数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．【重难点例题启发与方法总结】典型例题剖析例1 求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1－2log 6x ； (2)y ＝32x －1－19.【解析】(1)由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 变式训练 函数f (x )＝4－x 2＋log 2(x －1)的定义域是( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(1，＋∞) D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧4－x 2≥0x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x >1，∴1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]， 故选A.例2 (1)已知函数f (x )＝(23)|x |－a ，则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．2．(2018·湖南衡阳期末)已知集合A ＝{x |log 12x >－1}，B ＝{x |2x >2}，则A ∪B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0,2) 答案：C解析：由A ＝{x |log 12x >－1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x >2}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，则A ∪B ＝(0，＋∞)．故选C. 3．(2018·福建福州外国语学校期中)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，且f (x )是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 答案：B解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m＝－1.又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递增，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1，故选B.方法点拨：求有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数．注意幂函数中自变量的系数为1.4．(2018·重庆第一中学一诊模拟)设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b [来源:学科网]C ．b >c >aD ．c >b >a [来源:学科网ZXXK] 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.5．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案：D解析：当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a大于1，故选D.6．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎡⎦⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎡⎦⎤116，14. 7．(2018·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：C解析：通解 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.优解 取a ＝0，f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D.8．(2018·怀化二模)已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 016]内的企盼数的个数是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：B解析：因为函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，所以f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)，所以f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，若f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数，则k ＋2＝2m ，m ∈Z ，又k ∈[1,2 016]，所以k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510,1 022}，故在区间[1,2 016]内的企盼的个数是9.二、填空题[来源:学科网]9．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝⎛⎭⎫9412＋cos 4π3＝________. 答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.10．(2018·江西自主招生)方程log 3(1＋2·3x)＝x ＋1的解为________． 答案：0解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.11．(2018·山西一模，13)已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________. 答案：－1解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．[来源:学科网] 三、解答题12．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，即()3y －m ·x2－8x ＋3y －n ＝0[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y ＋mn －16≤0由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.【课后强化巩固练习与方法总结】1．已知集合M ＝{}x |y ＝x －1，N ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则∁R (M ∩N )等于( ) A ．[1,2) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)2．已知a ＝23log 4.1，b ＝23log 2.7，c ＝⎝⎛⎭⎫123log 0.1，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b3．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，32)D ．(32，＋∞)学管签字：学管主任签字：。
高一数学指数函数试题答案及解析
高一数学指数函数试题答案及解析1.函数的单调递减区间【答案】【解析】因为，根据复合函数的单调性可知该函数的单调递减区间为.【考点】本小题主要考查复合函数的单调区间的求法.点评：考查复合函数的单调性时，要注意“同增异减”，还要注意函数的定义域.2.设a，b，c∈R，且3= 4= 6，则( )．A．=＋B．=＋C．=＋D．=＋【答案】B【解析】设3= 4= 6= k，则a = log k，b= log k，c = log k，从而= log 6 = log3＋log 4 =＋，故=＋，所以选(B)．3.设指数函数，则下列等式中不正确的是（）A．f(x+y)=f(x)·f(y)B．C．D．【答案】D【解析】根据指数幂的运算律知：A,B,C正确；。
故选D4.若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于（）A．轴对称B．轴对称C．原点对称D．以上均不对【答案】B【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以则所以是偶函数。
故选B5.三个数，，之间的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，所以，故应选．【考点】1、指数与指数函数；2、对数与对数函数；6.定义运算为：，例如：，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可得，，∵时，，综上可得，的取值范围是，故答案为.7.已知，则三者的大小关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】由函数的图象与性质可知：；由函数的图象与性质可知：；∴故选：A8.若，则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选A.9.已知函数（，且）.（1）若函数在上的最大值为2，求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.【答案】(1)或；(2).【解析】(1)分类讨论和两种情况，结合函数的单调性可得：或；(2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得，求解对数不等式可得的取值范围是.试题解析：（1）当时，在上单调递增，因此，，即；当时，在上单调递减，因此，，即.综上，或.（2）不等式即.又，则，即，所以.10.已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，故选C.11.若3<a<4，化简的结果是()A．7－2a B．2a－7C．1D．－1【答案】C【解析】∵，∴，。
高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（ ）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（ ）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（ ）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（ ）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（ ） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元 如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去 故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立 故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增 当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可 （1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立． 即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭； 当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． （1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足； 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。
2023-2024学年高一上数学必修一：指数函数(附答案解析)
2023-2024学年高中数学必修一：指数函数
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．若函数f(x)＝(m2－m－1)a x是指数函数，则实数m的值为(D)
A．2B．1C．3D．2或－1
解析：由题意可知m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
2．函数f(x)＝(3)x在区间[1,2]上的最大值是(C)
A.3
3
B.3C．3D．23
解析：因为3>1，所以指数函数f(x)＝(3)x为增函数，所以当x ＝2时，函数f(x)在区间[1,2]上取得最大值，最大值为3.
3．若设a＝0.30.3，b＝0.32
5，c＝
6
π，则a，b，c从大到小排列
为(A)
A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c
解析：∵函数y＝0.3x为减函数，∴0<b<a<1，c＝6
π＝π
1
6>1，
∴c>a>b.
4.已知f(x)
2－2x＋1
，则f(x)的单调递增区间是(D)
A．(1，＋∞)B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1)D．(－∞，1)
解析：设t＝x2－2x＋1，则函数y
为减函数，根据复合函数
单调性之间的关系可知，要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t ＝x2－2x＋1的递减区间．由于t＝x2－2x＋1的对称轴为直线x＝1，
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高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点知识点大全(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点知识点大全单选题1、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点，则实数m不可能．．．是（）A．−1B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m的零点，转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点，数形结合即可求出参数m的取值范围；解：因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根，即f(x)=m，即函数y= f(x)与函数y=m有两个交点，由函数图象可得m≤0或m=1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2、若2x−2y<3−x−3−y，则（）A．ln(y−x+1)>0B．ln(y−x+1)<0C．ln|x−y|>0D．ln|x−y|<0答案：A分析：将不等式变为2x−3−x<2y−3−y，根据f(t)=2t−3−t的单调性知x<y，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.由2x−2y<3−x−3−y得：2x−3−x<2y−3−y，令f(t)=2t−3−t，∵y=2x为R上的增函数，y=3−x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，∴x<y，∵y−x>0，∴y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0，则A正确，B错误；∵|x−y|与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x,y的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.3、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log2(x+2)+t，f(−6)=（）A．−2B．2C．−4D．4答案：A分析：因f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，从而可求t，再由奇函数的定义即可求出f(−6)的值. 解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，又当x≥0时，f(x)=log2(x+2)+t，∴f(0)=log2(0+2)+t=0，∴t=−1，∴当x≥0时，f(x)=log2(x+2)−1，∴f(−6)=−f(6)=−[log2(6+2)−1]=−(log223−1)=−2，故选：A.4、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.5、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A ．3B ．3.6C ．4D ．4.8答案：B分析：根据题意求出k 的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e −kt 即可求得t 的值.由题可知：50=20+(100−20)e −12k ⇒(e −k )12=38⇒e −k =(38)112， 冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e −kt ⇒(e −k )t =34⇒t ⋅ln e −k =ln 34⇒t =ln34ln (38)112=12(ln 3−2ln 2)ln 3−3ln 2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.6、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（ ）A ．a+3ba 3B ．a+2b 3a C ．a+2ba 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a . 故选：B7、已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，则log z m 的值为（ ）A ．160B ．60C ．2003D ．320 答案：B分析：根据换底公式将log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，化为log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解.解：因为log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，所以log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，即log m x +log m y +log m z =112， ∴log m x =112−log m y −log m z =112−124−140=160，∴log z m =60．故选：B ．8、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ）A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13) 答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.多选题9、已知函数f(x)=log a (x +1),g(x)=log a (1−x)(a >0,a ≠1)，则（ ）A ．函数f(x)+g(x)的定义域为(−1,1)B ．函数f(x)+g(x)的图象关于y 轴对称C ．函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0D ．函数f(x)−g(x)在区间(0,1)上是减函数答案：AB解析：求出函数f(x)+g(x)和f(x)−g(x)的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．解：∵f(x)=log a (x +1)，g(x)=log a (1−x)(a >0,a ≠1)，∴f(x)+g(x)=log a (x +1)+log a (1−x)，由x +1>0且1−x >0得−1<x <1，故A 对；由f(−x)+g(−x)=log a (−x +1) +log a (1+x)=f(x)+g(x)得函数f(x)+g(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 对；∵−1<x <1，∴f(x)+g(x)=log a (1−x 2)，∵y =1−x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a <1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)+g(0)=log a (1−0)=0；当a >1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值；故 C 错；∵f(x)−g(x)=log a (x +1)−log a (1−x)，当0<a <1时，f(x)=log a (x +1)在(0,1)上单调递减，g(x)=log a (1−x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递减；当a >1时，f(x)=log a (x +1)在(0,1)上单调递增，g(x)=log a (1−x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递增；故D 错；故选：AB ．小提示：本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．10、若10a =4，10b =25，则（ ）A ．a +b =2B ．b −a =1C ．ab >8lg 22D ．b −a >lg6答案：ACD分析：利用指对数的运算性质及其关系求出a +b 、b −a 、ab ，结合对数函数的单调性判断各选项的正误. 由题设，10a+b =100，即a +b =2，A 正确；10b−a =254，即b −a =lg 254>lg 244=lg6，B 错误，D 正确；由a =2lg2,b =2lg5，则ab =4lg2lg5>4lg2lg4=8lg 22，C 正确；故选：ACD11、已知函数f (x )=lnx +ln (2−x )，则（ ）A ．f (x )在(0,1)上单调递增B ．f (x )在(1,2)上单调递增C．y=f(x)的图象关于直线x=1对称D．y=f(x)的值域为(−∞,0]答案：ACD分析：利用复合函数的单调性可判断AB选项的正误；利用函数对称性的定义可判断C选项的正误；利用对数函数的单调性可判断D选项的正误.对于函数f(x)=lnx+ln(2−x)，有{x>02−x>0，可得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)，且f(x)=ln[x(2−x)](x∈(0,2))，令t=x(2−x)=−(x−1)2+1∈(0,1]，则f(x)=lnt∈(−∞,0]，D对；函数t=x(2−x)在(0,1]上单调递增，在[1,2)上单调递减，而外层函数y=lnt为增函数，所以，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递增，A对，B错；因为f(2−x)=ln(2−x)+ln[2−(2−x)]=ln(2−x)+lnx=f(x)，即y=f(x)的图象关于直线x=1对称，C对.故选：ACD.填空题12、心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ln0.9≈−0.105，ln0.1≈−2.303）______．答案：0.021分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将A=200，L(5)=20带入即可得出结论.由题意可知200(1−e−5k)=20，所以，e−5k=0.9，所以ln e−5k=ln0.9≈−0.105，解得k≈0.021．所以答案是：0.021.13、已知定义在R上的函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，且y=f(x−1)的图象关于x=1对称，若实数a满足f(log12a)<f(−2)，则a的取值范围是___________．答案：(14,4)分析：由题可判断f(x)为偶函数，再根据单调性即可求解不等式.根据题意y=f(x−1)的图象关于x=1对称，则函数f(x)的图象关于y轴对称，即函数f(x)为偶函数，由f(log12a)<f(−2)得f(log2a)<f(2)，又由函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则f(log2a)<f(2)⇒f(|log2a|)<f(2)⇒|log2a|<2，解可得：14<a<4.所以答案是：(14,4).14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-1解答题15、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=kx a(x>0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A，B两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式分别为y=0.25x，y=√x(x>0)，（2）9千万元分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解：（1）因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y=mx(m>0)，因为当x=1时，y=0.25，所以m=0.25，所以y=0.25x，即生产A芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式为y=0.25x，对于生产B芯片的，因为函数y=kx a(x>0)图像过点(1,1),(4,2)，所以{1=k k⋅4a=2，解得{k=1a=12，所以y=x12，即生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=√x(x>0)，（2）设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元生产A芯片，则公司所获利用f(x)=0.25(40−x)+√x−2=−14(√x−2)2+9，所以当√x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元。
高一数学上册第二章__指数函数知识点及练习题(含答案)(最新整理)
D.b<c<a
解析：a=
(
3
)
1 3
(
4
)
1 4
=b,
4
33
b=
(
4
)
1 4
(
8
1
)4
(
3
)
3 4
=c.
3 27 2
∴a>b>c.
5.设 f(x)=4x-2x+1,则 f-1(0)=______1____________.
解析：令 f-1(0)=a,则 f(a)=0 即有 4a-2·2a=0.
令 t=3x-2,2≤x≤4.
∴g(t)=(t-1)2-1,t∈［1,9］.
∴所求值域为［-1,63］.
2.1 指数函数练习
1． 下 列 各 式 中 成 立 的 一 项 （）
博奥教育
A． ( n )7
1
n7m7
m
3
C． 4 x3 y 3 (x y) 4
B． 12 (3)4 3 3 D． 3 9 3 3
（4）指数函数 函数名称
指数函数
定义
函数 y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数
a 1
0 a 1
y y ax
y ax
y
图象
y1
(0, 1)
O
1 x0
y 1
(0, 1)
1
O
0x
博奥教育 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性
R
（0,+∞）
图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1．
图象,易知恒过定点(3,5). 故其反函数过定点(5,3).
10 x 10x
7.已知函数 f(x)=
高一 指数与指数函数知识点+例题+练习 含答案
1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t ＝a s ＋t ，(a s )t ＝a st ，(ab )t ＝a t b t ，其中a >0，b >0，s ，t ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 (5)当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( × )(2)分数指数幂a m n可以理解为mn 个a 相乘．( × )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × ) (5)函数y ＝21＋x a (a >1)的值域是(0，＋∞)．( × )(6)函数y ＝2x－1是指数函数．( × )1．函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的图象经过定点坐标为__________． 答案 (1,1)解析 令x －1＝0得x ＝1，此时y ＝a 0＝1，所以点(1,1)与a 无关，所以函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的图象过定点(1,1)．2．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是______．(填图象序号)答案 ④解析 函数f (x )的图象恒过(－1,0)点，只有图象④适合． 3．计算：3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝________.答案 1解析3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝312×131332×316×213－lg 4－lg 25＝3－lg 100＝3－2＝1.4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 答案 [0,8)解析 ∵x ≥0，∴－x ≤0，∴3－x ≤3， ∴0<23－x ≤23＝8，∴0≤8－23－x <8， ∴函数y ＝8－23－x 的值域为[0,8)．题型一 指数幂的运算例1 化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a13-b13(a >0，b >0)；(2)(－278)－23＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.解 (1)原式＝1122323311233a b a b ab a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3111111226333＋－＋＋－－a b ＝ab －1. (2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________________________________________________________________________. (2)(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________. 答案 (1)0 (2)85解析 (1)原式＝253125641000-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎢⎥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4103152()523⨯-⨯－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝2×432×a 32b32-10a 32b32-＝85. 题型二 指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是________． ①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.(2)(2015·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 答案 (1)④ (2)[－1,1]解析 (1)由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. (2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(1)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系，下列判断正确的是________．①关于y 轴对称； ②关于x 轴对称； ③关于原点对称；④关于直线y ＝x 对称．(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________． ①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c; ④2a ＋2c <2. 答案 (1)① (2)④ 解析 (1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x＝2－x ， ∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图， ∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知 0<f (a )<1，a <0，c >0， ∴0<2a <1.∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， ∴f (c )<1，∴0<c <1.∴1<2c <2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又∵f (a )>f (c )，∴1－2a >2c －1， ∴2a ＋2c <2.题型三 指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是________． ①1.72.5>1.73; ②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3>0.93.1.(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 (1)②④ (2)a >c >b解析 (1)①中， ∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数， 2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误；②中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；③中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； ④中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，正确． (2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x为减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2535<⎝⎛⎭⎫2525 即b <c ，又a c ＝⎝⎛⎭⎫3525⎝⎛⎭⎫2525＝⎝⎛⎭⎫3225>⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴a >c ，故a >c >b .命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－3,1)解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)．命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解 因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x . (1)因为f (1)>0，所以a －1a>0，又a >0且a ≠1，所以a >1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a >0，所以f (x )在R 上为增函数，原不等式可化为f (x 2＋2x )>f (4－x )， 所以x 2＋2x >4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x >1或x <－4.所以不等式的解集为{x |x >1或x <－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x ) ＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 思维升华 指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．(1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．(2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1422－x x 的值域为__________． 答案 (1)(－∞，4] (2)(0,4]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)令t ＝x 2－2x ，则有y ＝⎝⎛⎭⎫14t，根据二次函数的图象可求得t ≥－1，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x的图象可得0<y ≤⎝⎛⎭⎫14－1，即0<y ≤4.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________． (2)函数f (x )＝2211()2－＋＋x x 的单调减区间为_________________________．思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求． 解析 (1)因为x ∈[－3,2]， 所以若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8， 故y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. (2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝2211()2－＋＋x x 的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤34，57 (2)(－∞，1]温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． [失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，f (x －2)，x ≥1，则f (log 27)的值为________．答案 74解析 由于log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，log 27－2＝log 274<1，因此f (log 27)＝f (log 27－2)＝f ⎝⎛⎭⎫log 274＝227log 4＝74. 2．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是__________．答案 a >b >c解析 a >20＝1，b ＝1，c <(12)0＝1，∴a >b >c .3．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是____________．答案 [2，＋∞)解析 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．4．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.5．计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.答案 2 解析 原式＝113133442222 2.331＋－＝⎛⎫⎛⎫⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．已知函数y ＝a x ＋b (b >0)的图象经过点P (1,3)，如图所示，则4a －1＋1b 的最小值为______． 答案 92解析 由函数y ＝a x＋b (b >0)的图象经过点P (1,3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋22b a －1·a －12b＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b 的最小值为92. 7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m >n解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 8．已知函数f (x )＝2x －12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________． 答案 0解析 当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 9．已知函数()43132－＋＝ax x f x ⎛⎫⎪⎝⎭(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2]．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.10．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x －⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝⎛⎭⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数．∴f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立， ⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋122≤0， 又⎝⎛⎭⎫t ＋122≥0，∴⎝⎛⎭⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是____________． 答案 f (－4)>f (1)解析 由题意知a >1，∴f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．12．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a |x ＋b |的图象为________．答案 ②解析 f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，取等号时x ＋1＝9x ＋1，此时x ＝2.所以a ＝2，b ＝1，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x ＋1|.g (x )的图象可以看作是y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象向左平移一个单位得到的，②符合要求．13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－23，34 解析 由题意，得x <0，所以0<⎝⎛⎭⎫32x <1，从而0<2＋3a 5－a<1，解得－23<a <34. 14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－1,2) 解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？解 (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0.设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )， ∴f (x )＝－2x 4x ＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ＝0，2x4x ＋1，x ∈(0，1).(2)设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝(1222x x -)＋(221221＋2＋2－x x x x )(41x ＋1)(42x ＋1)＝(21x －22x )(1－212＋x x )(41x ＋1)(42x ＋1)， ∵0<x 1<x 2<1，1222，x x ∴< 120221＋＝，x x >∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(0,1)上为减函数．(3)∵f (x )在(0,1)上为减函数，∴2141＋1<f (x )<2040＋1，即f (x )∈⎝⎛⎭⎫25，12. 同理，f (x )在(－1,0)上时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，－25. 又f (0)＝0，当λ∈⎝⎛⎭⎫－12，－25∪⎝⎛⎭⎫25，12， 或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1,1)上有实数解.。
指数函数的解析式、定义域、值域练习题含答案
指数函数的解析式、定义域、值域练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={y|y=2x,x>1}，则A∩(∁R B)=（）．A.(1,2]B.[2,3）C.(1,3)D.(0,2]2. 设集合A={x|y=2x}, B={x|x3−x<0}则∁A B=( )A.(−∞,0)∪(3,+∞)B.(−∞,0]∪[3,+∞)C. [0,3]D.[3,+∞)3. 若函数y＝(2a−1)x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（）A.a>0且a≠1B.a≥0且a≠1C.a>且a≠1D.a4. 若函数f(x)=(a2−a−1)a x是指数函数，则（）A.a=lB.a=2C.a=1或a=2D.a>0且a≠15. 函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)的图象经过点P(3,127)，则f(−2)=()A.19B.√33C.13D.96. 已知集合A={x|1+5x−3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A.[−2,3）B.[−2,3]C.(0,3)D.(0,3]7. 下列函数中，不能化为指数函数的是( )A.y=2x⋅3xB.y=2x−1C.y=32xD.y=4−x8. 已知函数f(x)＝a x(a>1)，则函数f（f(x)）的值域是（）A.(0, +∞)B.(1, +∞)C.[1, +∞)D.R)x2+2x−1的值域是（）9. 函数y=(12A.(−∞, 4)B.(0, +∞)C.(0, 4]D.[4, +∞)10. 函数f(x)=(a2−3a+3)⋅a x是指数函数，则a的值为()A.1B.3C.2D.1或311. 若关于x的方程：9x+(4+a)⋅3x+4=0有解，则实数a的取值范围为（）A.(−∞, −8)∪[0, +∞)B.(−8, −4)C.[−8, −4]D.(−∞, −8]12. 已知函数y=(a−1)x是指数函数，且当x<0时，y>1，则实数a的取值范围是________.13. 若函数y=(2a2−3a+2)a x是指数函数，则a=________.14. 若函数y＝(m−3)a x+2−n(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________，n＝________．15. 已知2a=7，则a=________；已知x+x−1=4，则x2+x−2=________．)−x2+2x+8的值域是________.16. 函数y=(12(x>0)的值域为________．17. 函数f(x)=2x1+2x+118. 函数y=(a2−3a+1)⋅a x是指数函数，则a等于________．)．19. 已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2, 19(1)求a的值；(2)比较f(2)与f(b2+2)的大小；(3)求函数f(x)=a x2−2x(x≥0)的值域．20. 若函数y=(a2−3a+3)⋅a x是指数函数，求实数a的值．21. 函数f(x)=a⋅2x+2−x(a∈R).(1)当a=0时，求函数y=f(x2−1)的值域；(2)当x<0时，函数y=f(x)−4有两个零点，求实数a的取值范围．22. 已知函数y=a x(a>0，且a≠1）在[2,4]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=xa x+√2.(1)求a的值；(2)求证：f(x)+f(1−x)为定值；(3)求f(12021)+f(22021)+⋯+f(20202021)的值．23. 已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k.(1)求m的值；(2)当x∈[1,2）时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A，B，且A∩B=B，求实数k的取值范围．24. 已知函数f(x)=(13)ax2−4x+3，(1)若a=−1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．(3)若f(x)的值域是(0, +∞)，求a的取值范围．25. 设函数f(x)=3x−2x3x+2x．(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)当x∈[−1，+∞)时，求f(x)的值域．参考答案与试题解析指数函数的解析式、定义域、值域练习题含答案一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域一元二次不等式的解法交、并、补集的混合运算【解析】利用二次不等式的解法得A={x|1<x<3}，利用指数函数的单调性得B,再利用集合的运算得解.【解答】解：由题设得A={x|1<x<3}，B={y|y=2x,x>1}={y|y>2}，∁R B={y|y≤2}，所以A∩(∁R B)=(1,2].故选A.2.【答案】C【考点】分式不等式的解法指数函数的定义、解析式、定义域和值域补集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】<0}={x|x<0或x>3}解：∵A={x|y=2x}=R, B={x|x3−x∴∁A B={x|0≤x≤3}，即∁A B=[0,3].故选C.3.【答案】C【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】根据指数函数的定义，列出不等式组求出a的取值范围．【解答】函数y＝(2a−1)x（x是自变量）是指数函数，则，解得a >且a ≠1；所以a 的取值范围是{a|a >且a ≠1}．4.【答案】B 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】根据指数函数的定义，列出不等式组求出a 的值．【解答】函数f(x)=(a 2−a −1)a x 是指数函数，所以{a 2−a −1＝1a >0a ≠1， 解得a =2．5.【答案】D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】把点的坐标代入函数解析式求出a 的值，写出函数解析式，计算f(−2)的值．【解答】因为函数f(x)=a x 的图象过点P(3,127)， 所以a 3=127，解得a =13，所以f(x)=(13)x ， 所以f(−2)=(13)−2=9． 6.【答案】C【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 1+5x−3≤0，y =2x ，解得−2≤x <3，y >0，∴ A ∩B =(0,3).故选C .7.【答案】B【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】对于A,y =2x ⋅3x =6x 是指数函数；对于B,y =2x−1=2x−1不是指数函数；对于C,y =32x =9x 是指数函数；对于D,y =4−x =(14)x 是指数函数． 【解答】解：根据指数函数的定义可得：对于A ，y =2x ⋅3x =(2⋅3)x =6x ，是指数函数；对于B ，y =2x−1=2x 2，不是指数函数；对于C ，y =32x =(32)x =9x ，是指数函数；对于D ，y =4−x =(4−1)x =(14)x，是指数函数.故选B .8.【答案】B【考点】函数的值域及其求法指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可．【解答】解：由题意令t =x 2+2x −1=(x +1)2−2≥−2∴ y =(12)t ≤(12)−2=4 ∴ 0<y ≤4故选C10.【答案】C【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】由指数函数的定义，得a 2−3a +3=1，且a >0，a ≠1，解出即可．【解答】解：由指数函数的定义，得{a 2−3a +3=1,a >0，且a ≠1,解得：a =2．故选C ．11.【答案】D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】可分离出a +4，转化为函数f(x)=−32x +43x 的值域问题，令3x =t ，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可．【解答】解：∵ a +4=−32x +43x ，令3x =t(t >0)，则−32x +43x =−(t +4t )因为(t +4t )≥4，所以−32x +43x≤−4， ∴ a +4≤−4，所以a 的范围为(−∞, −8]故选D ．二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ） 12.【答案】(1,2)【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】讨论指数函数的底数，确定指数函数的性质，从而确定参数范围.【解答】解：由题意可知：当a −1>1，即a >2时，若x <0，此时函数y =(a −1)x ∈(0,1)，不合题意，舍去；当0<a −1<1，即1<a <2时，若x <0，此时函数y =(a −1)x ∈(1,+∞)，满足题意. 综上：1<a <2.故答案为：(1,2).13.【答案】12【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】指数函数是形式定义，即y =a x ，(a >0，且a ≠1)，从而求a ．【解答】解：由题意得，{a >0,a ≠1,2a 2−3a +2=1,解得a =12，故答案为：12.14.【答案】4,2【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】依题意，建立关于m ，n 的方程组，解出即可．【解答】由函数y ＝(m −3)a x +2−n 是指数函数可得{m −3=12−n =0 ，解得{m =4n =2． 15.【答案】log 27,14【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域正整数指数幂有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】利用指数式与对数式的互化，求出a 的值，对x +x −1=4两边平方，利用完全平方公式即可求出x 2+x −2的值．【解答】由2a =7可得：a =log 27，∵ x +x −1=4，∴ (x +x −1)2=x 2+2+x −2=16， ∴ x +x −1=14，16.【答案】[1512，+∞)【考点】二次函数的性质指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：设函数g(x)=−x 2+2x +8， ∵ a =−1<0，∴ 函数开口向下，有最大值， 当x =−b 2a =−22×(−1)=1时，g(x)max =g(1)=−12+2×1+8=9， ∴ 函数g =−x 2+2x +8的值域为(−∞，9]， ∵ y =(12)x 为减函数，∴ 函数y =(12)−x2+2x+8的最小值为(12)9=1512， ∴ 函数y =(12)−x2+2x+8的值域为[1512，+∞). 故答案为：[1512，+∞).17.【答案】(13,12) 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域 函数的值域及其求法【解析】解：f(x)=12+2−x .∵ x >0，∴ −x <0,0<2−x <1，∴ 13<f (x )<12.故答案为：(13，12).【解答】解：f(x)=12+2−x .∵ x >0，∴ −x <0,0<2−x <1，∴ 13<f (x )<12.故答案为：(13，12).18.【答案】3【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】根据指数函数的定义是y =a x (a >0且a ≠1)，列出条件表达式，求出a 的值．【解答】解：根据题意，得；{a >0a ≠1a 2−3a +1=1， 解得a =3．故答案为：3．三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ）19.【答案】解：(1)f(x)=a x (a >0且a ≠1)的图象经过点(2, 19)， ∴ a 2=19，∴ a =13.(2)∵ f(x)=(13)x 在R 上单调递减，又2<b 2+2，∴ f(2)≥f(b 2+2).(3)∵ x ≥0，x 2−2x ≥−1，∴ (13)x2−2x ≤(13)−1=3, ∴ 0<f(x)≤(0, 3].【考点】指数函数单调性的应用指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】（1）代值计算即可，（2）根据指数函数的单调性即可求出，（3）根据指数函数的单调性和二次函数函数的性质即可求出．【解答】解：(1)f(x)=a x (a >0且a ≠1)的图象经过点(2, 19)， ∴ a 2=19，∴ a =13. (2)∵ f(x)=(13)x 在R 上单调递减， 又2<b 2+2，∴ f(2)≥f(b 2+2).(3)∵ x ≥0，x 2−2x ≥−1，∴ (13)x2−2x ≤(13)−1=3, ∴ 0<f(x)≤(0, 3].20.【答案】解：∵ 函数y =(a 2−3a +3)⋅a x 是指数函数，∴ a 2−3a +3=1且a >0且a ≠1，即a 2−3a +2=0，解得a =1（舍）或a =2．故a =2．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】根据指数函数的性质解方程a 2−3a +3=1即可．【解答】解：∵ 函数y =(a 2−3a +3)⋅a x 是指数函数，∴ a 2−3a +3=1且a >0且a ≠1，即a 2−3a +2=0，解得a =1（舍）或a =2．故a =2．21.【答案】解：(1)a =0时f (x )=2−x ，所以f (x 2−1)=21−x 2，令t =1−x 2，t ∈(−∞,1]，此时y =2t ，t ≤1因为y =2t 在(−∞,1]上是增函数，所以0<y ≤2，所以y =f (x 2−1)的值域是(0,2]．(2)当x <0时，y =f (x )−4=a ⋅2x +12x −4=a⋅(2x )2−4⋅2x +12x 有两个零点，所以a ⋅(2x )2−4⋅2x +1=0在(−∞,0)上有两个不等的实根，即a =4⋅2x −1(2x )2=42x −(12x )2，令u =12x ∈(1,+∞)，则a =−u 2+4u 有两不等实根，因为y =−(u −2)2+4在(1,2]上是增函数，在(2,+∞)上是减函数，且当u =1时，y =3，当u =2时，y =4，所以a ∈(3,4)．【考点】指数函数的单调性与特殊点指数函数的定义、解析式、定义域和值域函数的零点与方程根的关系函数的零点【解析】无无【解答】解：(1)a =0时f (x )=2−x ，所以f (x 2−1)=21−x 2，令t =1−x 2，t ∈(−∞,1]，此时y =2t ，t ≤1因为y =2t 在(−∞,1]上是增函数，所以0<y ≤2，所以y =f (x 2−1)的值域是(0,2]．(2)当x <0时，y =f (x )−4=a ⋅2x +12x −4=a⋅(2x )2−4⋅2x +12x 有两个零点，所以a ⋅(2x )2−4⋅2x +1=0在(−∞,0)上有两个不等的实根，即a =4⋅2x −1(2x )2=42x −(12x )2， 令u =12x ∈(1,+∞)，则a =−u 2+4u 有两不等实根，因为y =−(u −2)2+4在(1,2]上是增函数，在(2,+∞)上是减函数，且当u =1时，y =3，当u =2时，y =4，所以a ∈(3,4)．22.【答案】(1)解：函数y =a x （a >0，且a ≠1）在[2,4]上的最大值与最小值之和为20， 而函数y =a x 在[2,4]上是单调函数，∴ a 2+a 4=20，解得a =2或−2（舍），∴ a =2．(2)证明：由(1)知，a =2，∴ f (x )=x2x +√2， ∴ f (x )+f (1−x )=x 2x +√21−x21−x +√2 =2x2x +√222+√2×2x=x 2x +√2+√2√2+2x =1．(3)解：由(2)知，f(x)+f(1−x)=1， ∵ 12021+20202021=1，22021+20192021=1， 10102021+10112021=1，∴ f (12021)+f (22021)+⋯+f (20202021) =[f (12021)+f (20202021)]+[f (22021)+f (20192021)]+⋯+[f (10102021)+f (10112021)]=1010． 【考点】指数函数单调性的应用指数函数的定义、解析式、定义域和值域根式与分数指数幂的互化及其化简运算指数函数的性质【解析】【解答】(1)解：函数y =a x （a >0，且a ≠1）在[2,4]上的最大值与最小值之和为20， 而函数y =a x 在[2,4]上是单调函数，∴ a 2+a 4=20，解得a =2或−2（舍），∴ a =2．(2)证明：由(1)知，a =2，∴ f (x )=x2x +√2，∴ f (x )+f (1−x )=x2x +√21−x 21−x +√2 =2x2x +√222+√2×2x =x 2x +√2+√2√2+2x=1． (3)解：由(2)知，f(x)+f(1−x)=1，∵ 12021+20202021=1，22021+20192021=1， 10102021+10112021=1， ∴ f (12021)+f (22021)+⋯+f (20202021)=[f (12021)+f (20202021)]+[f (22021)+f (20192021)]+⋯+[f (10102021)+f (10112021)]=1010． 23.【答案】解：(1)由题可得：{(m −1)2=1，m 2−4m +2>0，解得m =0.(2)由(1)得f (x )=x 2对称轴为x =0，又x ∈[1,2)，∴ f(x)值域A =[1,4).∵ g (x )=2x −k 在x ∈[1,2)单调递增，∴ g(x)值域B =[2−k,4−k).∵ A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴ {2−k ≥1，4−k ≤4，解得：0≤k ≤1.【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域指数函数的定义、解析式、定义域和值域集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：(1)由题可得：{(m −1)2=1，m 2−4m +2>0，解得m =0.(2)由(1)得f (x )=x 2对称轴为x =0，又x ∈[1,2)，∴ f(x)值域A =[1,4).∵ g (x )=2x −k 在x ∈[1,2)单调递增，∴ g(x)值域B =[2−k,4−k).∵ A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴ {2−k ≥1，4−k ≤4，解得：0≤k ≤1.24.【答案】解：(1)当a =−1时，f(x)=(13)−x 2−4x+3，令g(x)=−x 2−4x +3，由于g(x)在(−∞, −2)上单调递增，在(−2, +∞)上单调递减，而y =(13)t 在R 上单调递减，所以f(x)在(−∞, −2)上单调递减，在(−2, +∞)上 单调递增，即函数f(x)的递增区间是(−2, +∞)，递减区间是(−∞, −2)．)ℎ(x)，由于f(x)有最大值3，(2)令ℎ(x)=ax2−4x+3，y=(13所以ℎ(x)应有最小值−1，=−1，因此12a−164a解得a=1．即当f(x)有最大值3时，a的值等于1．(3)由指数函数的性质知，)ℎ(x)的值域为(0, +∞)．要使y=(13应使ℎ(x)=ax2−4x+3的值域为R，若a≠0，则ℎ(x)为二次函数，其值域不可能为R．因此只能有a=0．故a的取值范围是a=0．【考点】复合函数的单调性对数函数、指数函数与幂函数的衰减差异指数函数综合题函数的最值及其几何意义指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】)−x2−4x+3，令g(x)=−x2−4x+3，结合指数函数的单（1）当a=−1时，f(x)=(13调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f(x)的单调区间；（2）令ℎ(x)=ax2−4x+3，y=ℎ（x），由于f(x)有最大值3，所以ℎ(x)应有最小值−1，进而可得a的值．（3）由指数函数的性质知，要使y=ℎ（x）的值域为(0, +∞)．应使ℎ(x)=ax2−4x+ 3的值域为R，进而可得a的取值范围．【解答】)−x2−4x+3，解：(1)当a=−1时，f(x)=(13令g(x)=−x2−4x+3，由于g(x)在(−∞, −2)上单调递增，在(−2, +∞)上单调递减，)t在R上单调递减，而y=(13所以f(x)在(−∞, −2)上单调递减，在(−2, +∞)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(−2, +∞)，递减区间是(−∞, −2)．)ℎ(x)，由于f(x)有最大值3，(2)令ℎ(x)=ax2−4x+3，y=(13所以ℎ(x)应有最小值−1，=−1，因此12a−164a解得a =1．即当f(x)有最大值3时，a 的值等于1．(3)由指数函数的性质知，要使y =(13)ℎ(x) 的值域为(0, +∞)．应使ℎ(x)=ax 2−4x +3的值域为R ，若a ≠0，则ℎ(x)为二次函数，其值域不可能为R ． 因此只能有a =0．故a 的取值范围是a =0．25.【答案】解：(1)f(x)为奇函数，理由：f(−x)=3−x −2−x 3−x +2−x=13x −12x 13x +12x=2x −3x3x ⋅2x 3x +2x3x ⋅2x=2x −3x3x +2x ，则有−f(−x)=3x −2x3x +2x =f(x)，∴ f(x)为奇函数.(2)f(x)=3x −2x 3x +2x =3x ⋅(2−x )−13x (2−x )+1=(32)x −1(32)x +1=1−2(32)x +1， 令g(x)=(32)x ，当x ∈[−1，0]时，g(x)∈[23，1]，∴ f(x)∈[−15，0],当x ∈(0，+∞)时，g(x)∈(1，+∞)，∴ f(x)∈(0，1),∴ 综上所述，当x ∈[−1，+∞)时，f(x)的值域为[−15，1). 【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域奇偶性与单调性的综合奇函数函数的值域及其求法【解析】(1)根据函数奇偶性的定义判断f(x)的奇偶性.(2)根据函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．【解答】解：(1)f(x)为奇函数，理由：f(−x)=3−x −2−x 3−x +2−x =13x −12x 13x +12x =2x −3x3x ⋅2x 3x +2x3x ⋅2x=2x −3x 3x +2x ，则有−f(−x)=3x −2x 3x +2x =f(x)，∴ f(x)为奇函数.(2)f(x)=3x −2x 3x +2x =3x ⋅(2−x )−13x (2−x )+1=(32)x −1(32)x +1=1−2(32)x +1， 令g(x)=(32)x ，当x ∈[−1，0]时，g(x)∈[23，1]，∴ f(x)∈[−15，0],当x ∈(0，+∞)时，g(x)∈(1，+∞)，∴ f(x)∈(0，1),∴ 综上所述，当x ∈[−1，+∞)时，f(x)的值域为[−15，1).。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解， 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．4、函数y =2x −2−x （ ）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数， 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（ ） A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a．故选：B ．8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ，则（ ） A ．任意a ∈R ，函数f (x )的值域为R B ．任意a ∈R ，函数f (x )都有零点C ．任意a ∈R ，存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D ．当a ∈(−∞,−4]时，任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案：BD分析：画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)对于选项A，由图像可知，当a<x1时，f(x)的值域不为R，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数f(x)都有零点，故B正确对于选项C，当x>0时g(−|x|)=g(−x)，g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D，若x1<a，x2<a，因为y=−(x+1)2为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a，x2>a因为y=e x−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1，x2不在同一区间时，因为a∈(−∞,−4]，所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方，所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选：BD10、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案.如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .故选：AB11、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.0.2依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，×0.5万册，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元，0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，0.2故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是：2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34， 所以答案是：a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R；②值域为(−∞,1)；③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案：f(x)=1−12x（答案不唯一）分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R；12x>0，f(x)=1−12x<1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是：f(x)=1−12x（答案不唯一）.解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全)(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结(超全)单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、在同一平面直角坐标系中，一次函数y =x +a 与对数函数y =log a x （a >0且a ≠1）的图象关系可能是（ ）A ．B ．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．3、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0⋅ln Mm计算火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（）（附：lge≈0.434,lg2≈0.301）A．5790m/s B．6219m/s C．6442m/s D．6689m/s答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果.v=v0ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s.故选：C．4、已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b答案：A分析：由题意可得a、b、c∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由b=log85，得8b=5，结合55<84可得出b<45，由c=log138，得13c=8，结合134<85，可得出c>45，综合可得出a、b、c的大小关系.由题意可知a、b、c∈(0,1)，ab =log53log85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a<b；由b=log85，得8b=5，由55<84，得85b<84，∴5b<4，可得b<45；由c=log138，得13c=8，由134<85，得134<135c，∴5c>4，可得c>45.综上所述，a<b<c.故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.5、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）A．−1B．1C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.6、已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a答案：B分析：运用中间量0比较a , c，运用中间量1比较b , ca=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,a<c<b．故选B．小提示：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．7、已知函数f (x )={2,x >m x 2+4x +2,x ≤m ，若方程f (x )−x =0恰有三个根，那么实数m 的取值范围是（ ） A ．[−1,2)B ．[−1,2]C ．[2,+∞)D ．(−∞,−1] 答案：A分析：由题意得，函数y =f (x )与函数y =x 有三个不同的交点，结合图象可得出结果. 解：由题意可得，直线y =x 与函数f (x )=2(x >m )至多有一个交点， 而直线y =x 与函数f (x )=x 2+4x +2(x ≤m )至多两个交点， 函数y =f (x )与函数y =x 有三个不同的交点，则只需要满足直线y =x 与函数f (x )=2(x >m )有一个交点 直线y =x 与函数f (x )=x 2+4x +2(x ≤m )有两个交点即可，如图所示，y =x 与函数f (x )=x 2+4x +2的图象交点为A (−2,−2)，B (−1,−1)， 故有m ≥−1.而当m ≥2时，直线y =x 和射线y =2(x >m )无交点， 故实数m 的取值范围是[−1,2). 故选：A.8、定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−2)=−2，则不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4的解集为（ ）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解.因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f(lg1x)>4，可化为2f(lgx)>4=2f(2)，即f(lgx)>f(2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，所以lgx>2，解得x>100.故选：D.多选题9、已知函数f(x)=log2(mx2+2x+m−1)，m∈R，则下列说法正确的是（）A．若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是(1+√52,+∞)B．若函数f(x)的值域为[−1,+∞)，则实数m=12C．若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，则实数m的取值范围是[0,+∞)D．若m=0，则不等式f(x)<1的解集为{x|x<32}答案：AC分析：函数f(x)的定义域为R等价于mx2+2x+m−1>0恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数m 的取值范围；若函数f(x)的值域为[−1,+∞)等价于y=mx2+2x+m−1的最小值为12，由此可列出方程，即可求出实数m 的值；若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数等价于函数y=mx2+2x+m−1在区间[2,+∞)上为增函数且mx2+ 2x+m−1>0恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数m的取值范围；若m=0，f(x)=log2(2x−1)，即可解出不等式f(x)<1；即可选出答案.对于A，因为f(x)的定义域为R，所以mx2+2x+m−1>0恒成立，则{m>0Δ=4−4m(m−1)<0，解得m>1+√52，故A 正确；对于B ，因为f(x)的值域为[−1,+∞)，所以y =mx 2+2x +m −1的最小值为12，所以{m >0m(−1m)2+2(−1m)+m −1=12，解得m =2，故B 错误；对于C ，因为函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数， 所以当m =0时，f(x)=log 2(2x −1)，符合题意；当m ≠0时，{m >0−1m ≤24m +4+m −1>0，解得m >0；所以m ≥0，故C 正确； 对于D ，当m =0时，f(x)=log 2(2x −1)，由f(x)<1，可得0<2x −1<2，解得12<x <32，故D 错误. 故选：AC.10、已知函数f (x )={kx +1,x ≤0log 2x,x >0，下列是关于函数y =f [f (x )]+1的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点 答案：CD解析：令y ＝0得f [f (x )]=−1，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．令y =f [f (x )]+1=0，得f [f (x )]=−1，设f （x ）＝t ，则方程f [f (x )]=−1等价为f （t ）＝﹣1， ①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．小提示：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．11、下列说法正确的是（）在定义域上是减函数A．函数f(x)=1xB．函数f(x)=2x−x2有且只有两个零点C．函数y=2|x|的最小值是1D．在同一坐标系中函数y=2x与y=2−x的图象关于y轴对称答案：CD分析：利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可.在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于A，f(x)=1x对于B，函数f(x)=2x−x2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.故选CD小提示：本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题. 填空题12、已知函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0，若f (a 2−2a )≤f (a −1)，则实数a 的取值范围是_________．答案：[3−√52,+∞)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0在(−∞,0]单调递增，在(0,+∞)为常数函数，且f (0)=2若f (a 2−2a )≤f (a −1)则a 2−2a ≤a −1≤0或a 2−2a ≤0≤a −1或{a 2−2a ≥0a −1≥0则{a 2−3a +1≤0a ≤1 或{a 2−2a ≤00≤a −1 或{a 2−2a ≥0a −1≥0解得：3−√52≤a ≤1或1≤a ≤2或a ≥2，综上所述：a ∈[3−√52,+∞)所以答案是：[3−√52,+∞)13、设x >0，y >0，若e x 、e y 的几何平均值为e （e 是自然对数的底数），则x 2、y 2的算术平均值的最小值为__________. 答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x +y =2，再利用基本不等式可求得结果. 由已知条件可得e x ⋅e y =e x+y =e 2，所以，x +y =2， 因为x >0，y >0，由基本不等式可得x 2+y 2≥2xy ， 即2(x 2+y2)≥x 2+y 2+2xy =(x +y)2=4，所以，x 2+y 22≥1，当且仅当x =y =1时，等号成立. 因此，x 2、y 2的算术平均值的最小值为1. 所以答案是：1.14、计算：2√3×√126×√323=___________．答案：6分析：根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，准确运算，即可求解. 根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，可得2√3×√126×√323=2⋅312⋅(22⋅3)16⋅(32)13=21+13−13⋅312+16+13=2×3=6．所以答案是：6 解答题15、已知a ∈R ，函数f (x )=log 2(12x+a).(1)若关于x 的方程f (x )+2x =0的解集中恰有两个元素，求a 的取值范围；(2)设a >0，若对任意t ∈[−1, 0]，函数f (x )在区间[t, t +1]上的最大值与最小值的和不大于log 26，求a 的取值范围.答案：(1)(−14,0) (2)(0,1]分析：（1）化简方程f (x )+2x =0，分离常数a ，利用换元法，结合二次函数的性质求得a 的取值范围. （2）利用函数的单调性求得f (x )在区间[t, t +1]上的最大值与最小值，根据最大值与最小值的和不大于log 26列不等式，利用换元法，结合二次函数的性质来求得a 的取值范围. （1）f (x )+2x =0，log 2(12x +a)+2x =0， log 2(12x +a)+log 222x=log 21，(12x+a)⋅22x =1，a =1−2x 22x =122x−12x，令t =12x ∈(0,+∞)，则a =t 2−t =(t −12)2−14，02−0=0,t 2−t =0⇒t =0或t =1，(t −12)2−14≥−14（t =12时，等号成立）要使y =a 与y =(t −12)2−14在区间(0,+∞)有两个交点，结合二次函数的性质可知a∈(−14,0). （2）因为函数y=12x+a在R上递减，所以函数f(x)=log2(12x+a)在定义域内递减.所以f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为f(t)=log2(12t+a)，最小值为f(t+1)=log2(12t+1+a)，f(t)+f(t+1)=log2(12t+a)+log2(12t+1+a)=log2[(12t+a)(12t+1+a)]≤log26，所以(12t +a)(12t+1+a)≤6对t∈[−1,0]恒成立，令ℎ=12t+1(12≤ℎ≤1)，(2ℎ+a)(ℎ+a)=2ℎ2+3aℎ+a2≤6对ℎ∈[12,1]恒成立，y=2ℎ2+3aℎ+a2在[12,1]上递增，所以y max=2+3a+a2≤6,a2+3a−4=(a+4)(a−1)≤0，解得−4≤a≤1，由于a>0，所以0<a≤1，所以a的取值范围是(0,1].。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数高频考点知识梳理(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数高频考点知识梳理单选题1、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e )D ．(0,√e ) 答案：B分析：f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解.f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)， 函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，即x 2+e −x −12=x 2+ln(x +a)，整理的：e −x −12=ln(x +a)，y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，如图：临界值在x =0处取到（虚取），此时a =√e ， 故当a <√e 时y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，故选：B.2、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．y =1与y =x 0B ．y =x 与y =(√x)2C ．y =2log 2x 与y =log 2x 2D ．y =ln 1+x 1−x 与y =ln (1+x )−ln (1−x )答案：D分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.对于A ：y =1定义域为R ，y =x 0定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确； 对于B ：y =x 定义域为R ，y =(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确； 对于C ：y =2log 2x 的定义域为{x|x >0}，y =log 2x 2定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确；对于D ：由1+x 1−x >0可得(x +1)(x −1)<0，解得：−1<x <1，所以y =ln 1+x 1−x 的定义域为{x|−1<x <1}，由{1+x >01−x >0可得−1<x <1，所以函数y =ln (1+x )−ln (1−x )的定义域为{x|−1<x <1}且y =ln (1+x )−ln (1−x )=ln1+x 1−x ，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确，故选：D.3、已知对数式log (a+1)24−a （a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可.由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}.故选：C.4、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1．当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意；当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意；故选：C.5、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg2≈0.3，结果取整数）（ ）A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天答案：B分析：根据题设条件先求出m 、a ，从而得到ℎ=120⋅2110t ，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20⇒{a 10=2,m =120，故a =2110，故ℎ=120⋅2110t ， 令ℎ=12，∴2t 10=10,∴t 10lg2=1，故t =100.3≈33，故选：B.6、已知函数f(x)=a x−2+1(a >0,a ≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=n −m x 不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C解析：利用指数函数的性质求出m ，n ，得出g(x)的解析式，从而得出结论．∵f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点(2,2)，∴m=n=2，∴g(x)=2−2x，∴g(x)为减函数，且过点(0,1)，∴g(x)的函数图象不经过第三象限．故选：C．7、计算：2lg√5−lg4−12=（）A．10B．1C．2D．lg5答案：B分析：应用对数的运算性质求值即可.2lg√5−lg4−12=lg(√5)2+lg√4=lg5+lg2=lg10=1.故选：B8、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+a与对数函数y=log a x（a>0且a≠1）的图象关系可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．A．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距a>1，矛盾，B．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距0<a<1，矛盾，C．由对数图象知0<a<1，此时直线的纵截距0<a<1，保持一致，D．由对数图象知a>1，此时直线的纵截距a<0，矛盾，故选：C．多选题9、已知函数f(x)={e x−1,x≥m−(x+2)2,x<m(m∈R)，则（）A．对任意的m∈R，函数f(x)都有零点.B．当m≤−3时，对∀x1≠x2，都有(x1−x2)(f(x1)−f(x2))<0成立.C．当m=0时，方程f[f(x)]=0有4个不同的实数根.D．当m=0时，方程f(x)+f(−x)=0有2个不同的实数根.答案：AC分析：讨论m的取值范围即可判断函数零点个数，可判断A；当m≤−3时，由指数函数与二次函数的单调性可判断B；当m=0时，令t=f(x)，由f(t)=0得t=0或t=−2，结合图象可判断C；当m=0时，方程f(x)+f(−x)=0，则f(x)=−f(−x)，结合图象可判断D．当e x−1=0时，x=0；当−(x+2)2=0时，x=−2；所以当m>0时，函数f(x)只有1个零点，当−2<m≤0时，函数f(x)只有2个零点，m≤−2时，函数f(x)只有1个零点，故A正确；当m≤−3时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数f(x)为单调递增函数，故B错；当m=0时，令t=f(x)，由f(t)=0得t=0或t=−2，作出函数f(x)的图象如图所示，当t=f(x)=−2时，方程f[f(x)]=0有两个解；t=f(x)=0方程f[f(x)]=0有两个解；所以方程f[f(x)]=0有4个不同的实数根，故C正确；当m=0时，方程f(x)+f(−x)=0，则f(x)=−f(−x)，如图所示，有1个不同的交点，则故D错误．故选：AC10、(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（）A．浮萍每月的增长率为1B．第5个月时，浮萍面积就会超过30m2C．浮萍每月增加的面积都相等D．若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3答案：ABD解析：由图象过(1，2)点，可得函数关系式y=2t.再由2t+1−2t2t =2t(2−1)2t=1，可判断A；当t=5时，计算函数值可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得t1，t2，t3，可判断D.图象过(1，2)点，∴2=a1，即a=2，∴y=2t.∵2t+1−2t2t =2t(2−1)2t=1，∴每月的增长率为1，A正确.当t=5时，y=25=32>30，∴B正确.∵第二个月比第一个月增加y2-y1=22-2=2(m2)，第三个月比第二个月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y1，∴C不正确.∵2=2t1，3=2t2，6=2t3，∴t1=log22，t2=log23，t3=log26，∴t1+t2=log22+log23=log26=t3，D正确.故选：ABD.小提示：本题考查指数函数模型的实际应用，理解生活中的数据在数学的函数模型中的体现，属于中档题. 11、下列命题正确的是（）A．若a>0，且a≠1，则∀x>0，y>0，log a(x+y)=log a x+log a yB．若a>0，且a≠1，则∃x>0，y>0，log a x⋅log a y=log a(xy)C．∀a>0，b>0，ln(ab)=lna+lnbD．∀a>1，b>0，a log a b=b答案：BCD分析：根据对数的运算法则即可判断.解：对于选项AC，由对数的运算性质知∀x>0，y>0有log a(xy)=log a x+log a y，而log a(x+y)≠log a x+ log a y，选项A错误，C正确；对于选项B，当x=y=1时，log a x⋅log a y=log a(xy)成立，选项B正确；对于选项D，由对数的概念可知选项D正确．故选:BCD．填空题12、已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=−e ax.若f(ln2)=8，则a=__________.答案：-3分析：当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax代入条件即可得解.因为f(x)是奇函数，且当x>0时−x<0，f(x)=−f(−x)=e−ax．又因为ln2∈(0,1)，f(ln2)=8，所以e−aln2=8，两边取以e为底的对数得−aln2=3ln2，所以−a=3，即a=−3．小提示：本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．13、函数y=log a(kx−5)+b（a>0且a≠1）恒过定点(2,2)，则k+b=______．答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解.由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)，可得{2k −5=1b =2，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5. 所以答案是：5.14、计算：1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= ________. 答案：−6分析：结合指数幂的运算性质，计算即可.由题意，1634−8×(6449)−12−8×(87)−1= (24)34−8×[(87)2]−12−8×78= 23−8×(87)−1−7=8−8×78−7=8−7−7=−6.所以答案是：−6.解答题15、设函数f (x )=log 3(9x )⋅log 3(3x )，且19≤x ≤9．（1）求f （3）的值；（2）若令t =log 3x ，求实数t 的取值范围；（3）将y =f (x )表示成以t(t =log 3x)为自变量的函数，并由此求函数y =f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值．答案：（1）6；（2）[−2，2]；（3）f(x)min =−14，此时x =−√39；f(x)max =12，此时x =9．分析：（1）根据题目函数的解析式，代入x =3计算函数值；（2）因为t =log 3x ，根据对数函数的单调性求出实数t 的取值范围；（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x 的值.（1）f （3）=log 327⋅log 39=3×2=6；（2）t =log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴−2≤log 3x ≤2，∴−2≤t ≤2，所以t 的取值范围为[−2，2]；（3）由f (x )=(log 3x +2)(log 3x +1)=(log 3x)2+2log 3x +2=t 2+3t +2，令g (t )=t 2+3t +2=(t +32)2−14，t ∈[−2，2]， ①当t =−32时，g(t)min =−14，即log 3x =−32，解得x =√39， 所以f(x)min =−14，此时x =−√39； ②当t =2时，g(t)max =g （2）=12，即log 3x =2⇒x =9，∴f(x)max =12，此时x =9．小提示：求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．。
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课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的nn 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是( C )A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性; C 、D 指数相同,底小值小.故选C.2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是( D )解析：当0<a<1时,y=a x 为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x fC.f(nx)=［f(x)］nD.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *)解析：易知A 、B 、C 都正确.对于D,f ［(xy)n ］=a (xy)n ,而［f(x)］n ·［f(y)］n =(a x )n ·(a y )n =a nx+ny ,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是( B )A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b, b=434141)23()278()34(-=>=c. ∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________.解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a -2·2a =0.2a ·(2a -2)=0,而2a >0, ∴2a =2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x 的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5). 故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数. 证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x x x x x ,设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数,∴21221010x x -<0.而1210x +1>0,2210x +1>0,故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为( A )A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1). ∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x(a>0,a ≠1)的图象( C )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________.解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2. (2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2]. 若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅.故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值.解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43. 这时x=1. 当t=8时,y 有最大值57. 这时x=-3.13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根.解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0. ①令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0,解得y 1=4,y 2=21. ∴(21)x-1=4⇒x=-1, (21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0. ②令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2,4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是( D )A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为( B )A.［-1,+∞)B.［-1,63)C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2.∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1.令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］.∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项 （ ）A ．7177)(m n mn=B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（C ．)()]([)(Q n x f nx f n ∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nn n4．函数21)2()5(--+-=x x y（ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （ ）A ．251+ B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是（ ）7．函数||2)(x x f -=的值域是（ ）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （ ）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .三、解答题： 13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．参考答案一、DCDDD AAD D A二、11．(0,1)； 12．(2，－2)；三、13． 解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14． 解：rr r rr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r ； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r .15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。