第三节函数的极限

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第三节函数的极限

数列极限：
相当于
即数列的极限问题其实可以看作是正整数自变量在无限增大的运动过程中，函数的变化趋势。函数的极限定义：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做这一变化过程中函数的极限。
一、自变量 x x0 时函数的极限
如何刻画 x x0 ?
即 x0 的去心邻域，是个较小的正数。
如何刻画对应函数值的变化？要有对应函数值，就要先使函数在 x0 的去心邻域内有定义，而函数在 x0 有无定义则无要求。如何刻画对应的函数值无限接近于某个常数 A ？
1. 自变量 x x0 时函数的极限定义
设函数 f (x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 A ，对任意给定的正数（无论它有多小），总存在正数，使得当 x 满足 0 < | xx0 | < 时，对应的函数值都有 | f (x) A |< ，则称 A 为函数 f (x) 当x x0 时的极限, 记作或几何解释:
有时找到使不等式| f (x) －A | < 成立的几个正数，
再取其最小者作为证明部分需要的 . 而证明部分的
思路就是把分析过程再一步一步逆推回去。找到，
意味着满足定义条件的正数存在，这就完成了证明。
2. 左极限与右极限（单侧极限）左极限 :

右极限 : 易见，
x x0
其中 X 是个较大的数。如何刻画对应函数值 f (x)的变化？要有对应函数值，首先要使函数在| x | > X 内有定义。
如何刻画对应的函数值 f (x) 无限接近于某个常数 A ？
1.
自变量 x 时函数的极限定义

函数极限的定义

该点附近的变化趋势.
例函数
x2 1
f (x)
x 1
x 1.
0
x 1
则有 lim f x 2, x1
注2: 函数f x在点x0的极限的定义说明了如何去证明函数 f x在点 x0的极限为 A的方法：对于 0,考虑
f (x) A ,
经过不等式的变形，得到关系
f (x) A M x x0 ,
第三节函数极限的定义
一、函数在有限点处的极限
在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.
引例设函数
f (x) x2 1 x 1, x 1. x 1
尽管函数在点 x 1处没有定义，
x0 1 e1/ x
所以极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
二、函数在无穷远处的极限
定义设函数 f x 在 x M 时有定义， A为常数.
①若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在 x 时的极限，记为 lim f (x) A 或 f (x) Ax .
所以, 0 , 取，当 0 x 2 时，可使
2
f (x) A 2x 15 2 x 2 ,
故
lim(2x 1) 5.
x2
⑵因 f (x) A sin x 0 sin x
欲使 sin x , 即 sin x , 所以 0,不妨取 0 1, 此时令 arcsin , 则当 0 x 时，有
使得 f (x) A ,
那么 A称作 f x 在 x0处的右极限，记为
lim
x x0

1.3 函数的极限

→0
第三节函数的极限
第一章函数与极限
第一章函数与极限
定理1 （函数极限的唯一性）
若 lim 存在, 则这个极限唯一.
→0
自证.提示:参考数列极限唯一性的证明, 用反证法.
若函数()在自变量的某一变化过程中极限存在,
则这个极限唯一.
→ 0 ,
→ ∞,
第三节
第三节函数的极限
=

当 < −或 > 时,
函数 = ()图形
完全落在以直线
= 为中心线,
宽为2的带形区域内.
直线= A 为曲线 = () 的水平渐近线
第三节函数的极限
第一章函数与极限
3）两种特殊情形：
lim () =
→+∞
lim () =
→−∞
∀ > 0, ∃ > 0, 当 > 时, 有
数值, 那么叫做函数()当 → 0 时的极限.

如何描述？
|() − | <
问题：如何用数学语言描述这个极限过程？
2 − 1
在 → 1时的趋向
观察函数 () =
−1
( − 1)( + 1)
() =
= + 1, ≠ 1
−1
第三节函数的极限
第一章函数与极限
定义
都满足不等式
() − < ,
则称常数 A 为函数 () 当 → 0 时的极限, 记作
lim () = 或 → 当 → 0 .
→0
“ − ”定义
lim () =
→0
第三节函数的极限
∀ > 0, ∃ > 0, 当 ∈Ů(0 , ) 时, 有

3 函数的极限的定义

函数极限是数学中的重要概念，描述了函数在某一点或无穷远的行为趋势。当x趋于无穷大时，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当x>X时，函数值f(x)与某一常数A的差的绝对值小于ε，则称A为f(x)当x趋于无穷大时的极限。类似地，当x趋于某一点x0时，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，函数值f(x)与常数A的差的绝对值小于ε，则称A为f(x)当x趋于x0时的极限。这两种极限情况都有相应的几何解释，即通过直线y=A+ε和y=A-ε来夹逼函数曲线，从而直观地理解极限的概念。此外，文档还通过例子和定理进一步说明了函数极限的计算方法和性质。

高数上册第一章第三节函数的极限

x
x
③ x→+∞及x→-∞情形 lim f ( x ) A 0, X 0,当x X时, 有 | f ( x ) A | .
x x
lim f ( x ) A 0, X 0,当x X时, 有 | f ( x ) A | .
【证】函数在点x=1处没有定义.但不影响考察该点极限的存在性
x 1 f ( x) A 2 x 1 任给 0, x 1 要使 f ( x ) A , 只要取 ,
2
2 x 当0 x 1 时, 就有 1 2 , x 1
x x0
② “ε δ”定义
0, 0, 使当0 x x0 时,恒有 f ( x ) A .
【注意】 a . 0 x x0 意味着 x x0
即函数极限与f ( x )在点x0是否有定义无关;
b. 与任意给定的正数有关 ( ( ) ).
【数列极限】
n 时， xn a
的一般概念。
xn f ( n) —— 整标函数
若将n 的特殊性撇开，这样可以引出函数极限
【函数的极限】
y f ( x) 有
x x x0
两大类情形
1
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sin x 当 x 时的变化趋势. 1.【引例】观察函数 x
5.【水平渐近线】
如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数 y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 .
6
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1.【引例】 ① 函数 f ( x ) x 1 在 x 1

函数的极限

恒有
则称 A 为f(x) 当 x 时的极限。记作 lim f(x) ＝A 或 f(x) A （x ）
x
y
例如
1 lim 0 x x
证明
1 y x
o
x
1 证明： lim 0. x x
证:
1 1 0 x x
即就有
故 0 , 欲使取X
1

,
因此
注:
1 y 0 为 y 的水平渐近线 . x
返回
sin x 例 1 证明 lim ＝0 . x ＋ x 证： 0 ，欲使
sin x 1 sin x 0 x x x 1 1 只要 x 2 ，故可取 X 2 ，当 x X 时 sin x 恒有 0 x sin x lim ＝0 成立# x ＋ x
发散

1 , 2 , , n ,
＋（n ）
n 1
1 , - 1 , 1 , - 1 , , - 1
,
数列极限的定义：
若数列
及常数 a 有下列关系 :
0 , 正数 N , 当 n > N 时, 总有 xn a
则称该数列
n
x x0
对上述 , 0，当 0 x x0 时，
即 x U ( x0 , ) ，恒有
o
f ( x) A
即 0 A f ( x) A
即 f ( x ) 0 成立。
类似可证 A 0 的情形，同学们不妨试一试。
返回
x 1 例 2 当 x 时， y＝ 2 1 ，问X如何取值， x 3 可使 x＞X 时恒有 y - 1＜0.01 ？

函数极限的定义

第三节函数极限的定义本节要点一、函数在有限点处的极限二、函数在无穷大处的极限三、有极限函数的基本性质一、函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限的描述性定义211()x f x x 例如函数-=-x12yo21()1x f x x -=- 从图形中可以看出：尽管函数在点处没有定义，但当不等于1而无限趋近于1时，相应的函数值无限接近于2.1x =x设函数在点的某个去心邻域内有定义，如果在变量 ( ) 的过程中，对应的函数值无限接近于确定的常数，就说当时函数的极限为，并记作 .这种类型的极限称为函数在有限点处的极限.() y f x =0x A A 0lim ()→=x x f x A 0x x ≠0x x →()f x 0x x →“不论你要求f x ()与A 多么接近，只要x 与x 0充分靠近以后(但x x ≠0)，就能使f x ()与A 变得那么接近”，换句话说，就是“不论你要求f x A ()-多么小，只要x x -0足够小以后(但x x ≠0)，f x A ()-就能变得那么小”. 这最后一句话是可以用数学式子来精确刻划的.这个描述性定义是说：于是就得到函数在有限点处极限的精确定义（语言）.δε-(),f x A ε-<()f x 0x ε00x x δ<-<定义设函数在点的某个去心邻域中有定义，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，只要当满足时，都有 A δx 0lim ().x xf x A →=或 ()0 ().f x A x x →→那么常数就称作函数当时的极限，记为 A ()f x 0x x →().,||,,εδδε<-<-<>∃>∀A x f x x 有时当0000即()defx x A x f ⇔=→0lim 函数的极限定义也称函数极限的ε —δ 定义xyf (x )x A的几何解释 )(lim A x f x x =0→δ-0x δ+0x ,0>∀ε,0>∃δ时,||00δx x <-<当.)(ε<-A x f 恒有该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.函数的极限∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域, A +εA –εAxyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx δ-0x δ+0x ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时, ||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δδ-0xδ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx ε+A ε-A δεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx δε+A ε-A εε-A εεεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx εεδδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx εεδ-0x δ+0x δ-x δ+x δ函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 对应的 f (x )落在 A 的 ε 邻域内，即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<例如设函数211().1 0 1x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩x1 2yo 21()1x f x x -=-1δ-1δ+注：函数在点处的极限与函数在这一点是否有定义没有关系，它所反映的是在该点附近的变化趋势. ()f x 0x 则，()1lim 2,x f x →=()f x 可见，极限与的取值没有关系. ()10f =(1) lim x x C→0(2) lim x x x→0(4) lim cos x x x→2(3) lim(21)x x →+0(6) lim x x x →0(7) lim xx x e→12214(5) lim 21x x x →--+练习：写出下列函数在指定点处的极限。

第三节函数极限

第三节函数极限教学目的：1、掌握函数极限的定义，函数的左右极限的概念。

2、理解函数的极限与其左右极限的关系。

3、知道极限的唯一性，局部有界性，保号性的性质定理。

教学重点:1、函数极限的定义，函数的左右极限的概念。

2、极限的唯一性，局部有界性，保号性的性质定理教学难点:1、函数极限的定义，函数的左右极限的概念。

教学过程一、变量趋于有限值时函数的极限1、变量趋于有限值的含义自变量x 趋于有限值0x ，即x 无限接近0x ，记为x →0x 。

注意这里不限制x 大于或小于0x ，但x 不得等于0x .若x 仅从右侧趋于0x ，即x >0x ，且趋向于0x ，记为00x x →+ 0 +→⇔0x x若x 仅从左侧趋于0x ，即x <0x ，且趋向于0x ，记为00x x →- 0 ⇔-→0x x .即x →0x 00x x x x +-⎧→⎪⎨→⎪⎩ 2、0x x →时函数极限的定义例1 函数1214)(2--==x x x f y 的定义域是),21()21,(+∞-∞ ，在定义域内，12)(+=x x f ，它的图像是除去点)2,21(的一条直线（如图）．从图像上看，尽管)(x f 在点21=x 处无定义，但当x 无限接近21时，)(x f 无限接近于2，我们称21→x 时， )(x f 以2为极限．由此我们得到，一般地如果当x 无限接近0x （x 可以不等于0x ）时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称)(x f 当0x x →时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0或 )()(0x x A x f →→．在例1中，21→x 时2)(→x f 是指 |21|-x 充分小时2)(-x f 可任意小．由于2)(-x f =|21|2212-=-+x x ，所以，要2)(-x f 任意小，即对任给的小正数ε，有2ε<-|21|x ，于是要1||22x ε-<，这表明|21|-x 也是充分小．反过来说，如果2|21|ε<-x ，则ε<-2)(x f 成立．于是取2εδ=，用以下语言描述“21→x 时，)(x f 以2为极限”. 0>∀ε，0>∃δ（取2εδ=），当δ<-<|21|0x 时，有ε<-|2)(|x f 成立．通过以上分析，可得0x x →时函数极限的εδ-定义．定义设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，当δ<-<||00x x 时，不等式ε<-|)(|A x f 成立，则称当0x x →时，函数)(x f 以常数A 为极限，记作 A x f x x =→)(lim 0或 )()(0x x A x f →→．注意：定义中0||0>-x x 表示0x x ≠，所以0x x →时)(x f 有没有极限与)(x f 在点0x 处有没有定义无关．定义可简单表叙为：0)(lim 0>∀⇔=→εA x f x x ，0>∃δ，当δ<-<||00x x 时，有ε<-|)(|A x f 成立．3、0x x -lim )(x f =a 的几何解释：∀ε>0，∃δ >0，使得对于位于点0x 的δ去心邻域内的任何x ，函数曲线()y f x =的图形位于这两条直线y A ε=-与y A ε=+ 之间。

第三节函数极限存在的条件

n →∞
∃δ > 0(< δ ′),使得对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ ),有 f ( x′) − f (x′′) < ε . 由于xn → x0 (n → ∞ ),
对上述的δ > 0,∃N > 0 ,使得当n , m > N时有xn , xm ∈ U 0 ( x0 ,δ ),从而有
附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！附注：柯西准则解题价值不高，但理论意义重大！！
从而有 f ( x n ) − A < ε,
故 lim f ( x n ) = A.
n→ ∞
10
[充分性] 对任何数列{xn } ⊂ U 0 (x0 ,δ ′)且 lim xn = x0 ,有 lim f (xn ) = A
下面利用反证法推出：lim f ( x ) = A .
x → x0
n →∞
x ∈ U 0 (x0 ,δ )有 f ( x ) − A < ε .于是对∀x′, x′′ ∈ U 0 ( x0 ,δ )有 2
x → x0
f ( x′) − f ( x′′) ≤ f ( x′) − A + f ( x′′) − A < ε + ε = ε . 2 2
2
充分性:
设数列{xn } ⊂ U 0 ( x0 ,δ )且 lim xn = x0 .按假设，对 ∀ε > 0 ,
注2. 若能找到 f ( x )当x → x0时的子列{ f ( xn )}发散，则 lim f ( x )不存在.
x → x0
注3. 若能找到 f ( x )当x → x0时的两个子列{ f (xn )}、f ( yn )}二者均收敛， {
但极限值不相等，则 lim f ( x )不存在 .

高数函数的极限

条件矛盾, 所以假设不真, 故 A ≥ 0 . 思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) > 0, 是否必有 A > 0? 不能! 不能如
20
定理3’ 若定理使当分析: 分析
A , 则在对应的邻域若取 ε = 2 A 3A A > 0: < f (x) < 2 2
则存在时, 有
(P37 )
xn ≠ x0 , f (xn ) 有定义
有 lim f (xn ) = A.
n→ ∞
且
(xn →∞)
说明: 说明此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列
n→∞
xn ≠ x0 ,
使 lim f (xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n→∞
′ 的不同数列 { xn}及 { xn}, 使
n→∞
第三节函数的极限
第一章
一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限
1
函数极限的定义从函数的观点看，数列是下标变量 n 的函数 xn = f (n) 它有极限 A, 也可以这样叙述：若在自变量 n →∞ 时，相应的函数 f (n) → A 则称当 n →∞ 时，函数这种定义数列极限的思维方法也适合 xn = f (n)有极限。于一般的函数 f (x)，由于 f (x) 的自变量x 变化方式的不同，f (x) 的极限定义就有不同的形式，需分类定义。设有函数 y = f (x) ,自变量的变化过程可以有六种形式:
0.001 若取 ε = 0.001 δ = = 0.0002 5
x→ 2
13
2. 左极限与右极限例： f ( x) = 3x +1 列表看趋势

函数的极限

②当 f ( x0 0)及f ( x0 0) 都存在，但不相等，或者至少一个不存在时 f ( x0 0)及f ( x0 0)
例８设函数
x 1 F ( X ) 0 x 1
x0 x0 x0
证明：当X—>0时， F（Ｘ）的极限不存在
证明由图１－24可知，
x 2 当x 3左极限为由图（1-21）函数 f ( x) 3
右极限为即
x f (3 0) lim f ( x) lim ( 2) 3 x 3 0 x 3 0 3
x f (3 0) lim f ( x ) lim ( 2) 3 x 3 0 x 3 0 3
定义：如果当x绝对值无限增大即 x
时，对应的函数
值 f ( x) 无限趋近于一个确定的常数Ａ，则称函数 f ( x) 当.x 时以A为极限，记作：
lim f ( x) A
x
或
f ( x) A( x )
1 0 lim 2 x 的

当 0 x x0 时有
证对任意给定的 0 存在
f ( x) A x x0
所以
x x0
lim x x0
2. 函数 f ( x) 当χ→ x 时极限为 A的极限的几何解释 0 由二直线y
A 与y A 为边界所构成的宽为的带形
x x0
lim f ( x) A
或
f ( x) A( x x0 )
由此可知
x lim( 2) 3 x 3 3
x2 1 lim 2 x 1 x 1
返
三，再讨论函数的极限
1. 定义：设函数 f ( x ) 在X的某一邻域内有定义（在 x0 可以没有定义），若对任一时，有

第十三章第三节函数的极限与连续性(理)

处连续， ∴b＝2时，函数f(x)在＝处连续
定义域内均为连续函数，定义域内均为连续函数，，＋∞)内连续 ∴当a＝1，b＝2时，f(x)在(－∞，＋内连续．＝，＝时在－，＋内连续．
3．已知函数f(x)＝．已知函数＝
试求：试求：
(2008·湖北高考已知 ∈N*，a，b∈R，湖北高考)已知湖北高考已知m∈ ， ∈ ，若 A．－．－m ．－ C．－．－1 ．－＝b，则a·b＝，＝ B．m ． D．1 ． ( )
把(1＋x)m应用二项式定理展开，再根据极限＋应用二项式定理展开，存在的条件确定a，的值的值. 存在的条件确定，b的值
)
A．充分不必要条件． B．必要不充分条件． C．充要条件． D．既不充分也不必要条件．解析：由函数极限的定义知．解析：由函数极限的定义知．答案：答案： C
4.
＝________.
解析：解析：
答案：答案：
5．已知函数f(x)＝．已知函数＝ a＝______. ＝
在点x＝处连续处连续，在点＝0处连续，则
所以
不存在．不存在．
1．求下列函数的极限：．求下列函数的极限： (1) (2) (3)
解：(1)
(2)原式＝原式＝原式
(3)原式＝原式＝原式
求出函数的极限是学习极限部分内容最基本的要求，求出函数的极限是学习极限部分内容最基本的要求，而根据函数的极限求参数则是求极限问题的延伸，而根据函数的极限求参数则是求极限问题的延伸，是对知识的灵活运用的一种体现．求解此类问题，识的灵活运用的一种体现．求解此类问题，首先要根据函数极限的定义及相关的运算法则求出极限，数极限的定义及相关的运算法则求出极限，再根据参数满足的条件列出一个关于参数的方程，解方程可求参数，足的条件列出一个关于参数的方程，解方程可求参数，这实际上是用待定系数法解决问题．实际上是用待定系数法解决问题．

函数的极限

第三节函数的极限一、知识归纳 1、知识精讲：1）当x →∞时函数f(x)的极限:当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞→)(lim ,(或x→+∞时,f(x)→a)当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞→)(lim ,(或x→-∞时,f(x)→a)注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题=+∞→)(lim x f x a x f x =-∞→)(lim ⇔a x f x =∞→)(lim2）当x →x 0时函数f(x)的极限:当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0,(或x →x 0时,f(x)→a)注：a x f x x =→)(lim 0与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。

3）函数f(x)的左、右极限:如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。

就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-→)(lim。

如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。

就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+→)(lim 0。

注：=-→)(limx f x x a x f x x =+→)(lim 0⇔a x f x x =→)(lim 0。

并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。

注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠-→)(lim 0x f x x )(lim 0x f x x +→；②0x x →时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。

1-4_函数的极限(讲稿)

sin x 明 = 0. 例1 证 lim x→∞ x
1 sin x sin x < 1 证 ∵ < = ε, −0 = x X x x
1 ∀ε > 0, 取 X = , 则 x > X时有当恒 ε
sin x − 0 < ε, x
sin x 故lim = 0. x→∞ x
X与意定正 ε有任给的数关
x→x0 −0 − ( x→x0 )
右极限
, ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使 x0 < x < x0 + δ时当有恒 f ( x) − A < ε.
作记 lim f ( x) = A 或 f ( x0 + 0) = A.
x→x0 +0 + ( x→x0 )
{x 0 < x − x0 < δ} ={x −δ < x − x0 < 0}∪{x 0 < x − x0 < δ}
3
1 1 ⇒| x |> 3 ⇒ 只要 | x | > 2ε 2ε
1 故取X = 3 , 则 | x |> X 时, 2ε
3
1+ x 1 − < ε 成立， 3 2 2x
3
1+ x 1 即lim = . 3 x→∞ 2x 2
2、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 过程中,对应问题:函数y = f (x)在x → x0 的过程中对应数值A. 函值f (x)无趋于定限近确值
பைடு நூலகம்
理定 : lim f ( x) = A ⇔ x→ ∞
→ ∞
x→+∞

高三数学函数的极限

第三节函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函
数 y f ( x ) 的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数 y f ( x ) 的极限是a，
记作 limf (x) a x
也就是说：当 lim f ( x ) = lim f ( x ) =a时，才
lim f (x) C .
x x0
注意：
（1）lim f (x) x x0
中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即
x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关
（x0可以不属于f(x)的定义域）
（2）lim f (x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
大底圣贤发愤之所为作也。”所有这些，都是典型的事例。再综观当代文坛，哪个成功的作家没有被逼过？他被报社、出版社的人逼，也被他自己逼。读者逼主编；主编逼作家；作家逼自己，逼得想睡也不能睡，不想写也得写。问题是，多少惊人的作品就这样诞生了。从某种
意义上说，逼学生的老师，何尝没有逼自己？“教学相长”不也是“教学相逼”吗？常言道：“用进废退。”当外部有压力逼你“用”的时候，你的学识、才干等将会有很大的长进。因此，你应该虔诚地感谢外力对你的“逼”。作文题三十八阅读下面的材料，根据要求作文。
人生，而以怎样的态度，持怎样的价值观，就是一个不可回避的问题。对于两种心态、行为、价值观，拟题者并未厚此薄彼，学生亦无需定势思维，完全可以从自己的生活体验出发，以自己的人生判断为尺度，真诚地表达自己要说的话，风行水上，自然成文，就是好文章。作文题三十
四阅读下面的材料，根据要求作文。我们周围很多古代遗址都得到了保护和修缮，电视上几个戏曲节目备受欢迎，书市上古代文化类的图书也在悄悄升温，在重大的节日里很多人都穿起了唐装……传统的历史文化气氛笼罩着我们的生活。就连2008年将在举行的奥运盛会，也提出

高等数学：第三节函数的极限

21/41
例5 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证函数在点x=1处没有定义.
f (x) A x2 1 2 x 1 ,
x1 任给 0, 要使 f ( x) A , 只要取 ,
则当0 x 1 时,就有
x2 1 2 ,
x1
x2 1
lim
2.
x1 x 1
类比数列极限的定义，可用如下的数学语言刻画 “自变量无限增大”、 “函数无限接近于A”: x X 表示x 的过程;
f ( x) A 表示 f ( x) A 可任意小.
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定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
24/41
例6
证明 lim
x2
1 .
x2 x2 4 4
条件放大法
证因为x 2，故不妨假设 x 2 1,即1 x 3,
x2 1 1 x2 1 x2 x2
x2 4 4 4 x 2 4 1 2 12
第三节函数的极限
一、自变量趋向无穷时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、小结、思考题、作业
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数列极限：un f (n), n N un a : n 时，f (n) a 函数极限：y f ( x) y A :自变量x的某个变化过程中时，
相应函数值f ( x)无限接近于A 自变量无限变化方式的差异：
6/41
20. x 情形 : lim f ( x) A x
定义 2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总
存在着正数 X ,使得当 x X 时,有
f (x) A ,
那么常数 A就叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作

函数极限的定义

数学表述：只要x充分接近x0，(0< x − x0 <δ ) f ( x) − A < ε (ε是一个任意给定的正数).
定义 2 设函数 f(x)在 x0 的某去心邻域内有定义，如
果存在常数 A，对于任意给定的正数ε,总存在正数δ
使得满足0 < x − x0 < δ的一切 x,对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) − A < ε,那末常数 A就叫
函数 f ( x)当 x → x0时的极限,记作
lim f ( x) =
x→ x0
注：(1)
ε反映
A f(
x
或 f ( x) → A(当x )与A的接近程度，
→ x0 )
δ反映在
x无限
接近 x0的过程中， x与x0接近到什么程度就能
使f ( x)与A的距离小于 ε，δ依赖于 ε .
(2)由定义可知极限 lim f ( x) = A存在与否与 x→ x0
x≥0
y
lim f ( x) = lim x = 0
x → 0+
x → 0+
f(x)=-x
f(x)=x
lim f ( x) = lim (− x) = 0
x → 0−
x → 0−
0
x
所以 lim | x |= 0. x→0
x −1 例3. 设 f ( x) = 0 x + 1
x<0 x=0 x>0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x → ∞ 时的变化趋势. x
说明

高三数学函数的极限

1 x lim ( A. x 3 ) 0
( D )
x lim 10 0 B. x
1 x C. lim ( ) 0 x 2
D. lim 2 x 0
x
例1（优化Ｐ206）例１求下列各极限
4 1 (1) lim( 2 ) x2 x 4 x2 (2) lim( ( x a)( x b) x)
0
x x 0
3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 f ( x) a 。的右极限，记作 xlim x
0
4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 lim f ( x) C .
x x0
注意：（1）lim f ( x ) 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即 x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近
f(x) lim x
=a时，才
函数在一点处的极限与左、右极限 1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0 时，函数f(x)的极限是a，记作 lim f ( x) a 或当x→x0时 x x f(x)→a。 2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作 lim f ( x) a。
第三节函数的极限
高三备课组
函数极限的定义：
一般地，当自变量x的绝对值无限增大时，如果函数
y f(x)
的值都无限趋近于一个常数a，就说
当x趋向于无穷大时，函数记作
y f(x)
的极限是a，

第三节 函数的极限