上海市金山区2017学年第二学期质量监控高二数学试卷

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上海市金山中学2016_2017学年高二数学下学期期中试题

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市金山中学2016-2017学年高二数学下学期期中试题一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）1、在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线a 、b 的位置关系是 ▲ 。

2、直线1:330l x y -+=与2:10l x y -+=的夹角的大小为 ▲ 。

(结果用反三角函数表示)3、已知m 为实数，i 为虚数单位，若()240m m i +->，则2222m i i +⎛⎫⎪-⎝⎭= ▲ 。

4、复数z 满足=1z i -（i 为虚数单位），则+2z i +的最大值为 ▲ 。

5、在正四棱锥P ABCD -中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为 ▲ 。

(结果用反三角函数表示)6、已知抛物线E ：24x y =，直线l ：1y x =+，则直线l 被抛物线E 截得的弦长为 ▲ 。

7、已知复数z 满足33z i =（其中i 为虚数单位），则对应点位于第三象限的z 的值为 ▲ 。

8、在水平放置的平面α上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB 的长度为 ▲ 。

9、如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的侧面积为 ▲ 。

10、过定点()2,3的直线与双曲线224x y -=的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是 ▲ 。

11、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1A B 上的动点，写出所有正确结论的代号 ▲ 。

①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值；②DC 1⊥D 1M ；③∠AMD 1的最大值为90°；④AM+MD 1的最小值为2。

12、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽3AD =丈，长4AB =丈，上棱2EF =丈，EF ∥平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为1丈，则它的体积是 ▲ （立方丈）。

17学年下学期高二期末考试数学试题(附答案)

（第9题图）金山中学2016学年第二学期高二数学期末考试2017年6月（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．()51x +的展开式中2x 项的系数为．2．已知直线l经过点()且方向向量为()2,1-，则原点O 到直线l 的距离为 .3．已知全集U R =，集合{}2230,A x xx x R =-->∈,{}22,B x m x m x R =-≤≤+∈,若(){}03,U C A B x x x R =≤≤∈，则实数m 的值为 .4．若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z y x =-的最小值为_________.5．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于的点的坐标是 .6．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 .7．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的均值估计为．（精确到1分钟）.8．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种.9．如图，三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是．10．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .11．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为 .12．在直角坐标平面xoy 中，已知两定点1(1,0)F -与2(1,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧，设集合{P l =∣点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于}1， {}22(,)1,Q x y x y x y =+≤∈R 、，记{}(,)(,),S x y x y l l P =∉∈, {}(,)(,)T x y x y QS =∈.则由T 中的所有点所组成的图形的面积是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知θ为实数，若复数)sin 211z iθθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（）A ．2B ．0C ．2-D ．2i -14．已知条件α：“直线l 在两条坐标轴上的截距相等”，条件β：“直线l 的斜率等于1-”，则α是β的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A 在x 轴上，AB 平行于y 轴，侧棱1AA 平行于z 轴．当顶点C 在y 轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；C ．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．16．如图，两个椭圆192522=+y x ，192522=+x y 内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断：①P 到()0,41-F 、()0,42F 、()4,01-E 、()20,4E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线x y =、x y -=均对称； ③曲线C 所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分)已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a =-∈R （其中i 是虚数单位），若121z z ->，求a 的取值范围．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -底面ABCD 直角梯形，CD AB //，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角；（2）求证：PB ⊥平面11BCC B .19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，线段AB 和线段CD 都是底面圆的直径，且直线AB 与直线CD 的夹角为2π，已知1OA =，2PA =．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线AC 平行于平面PBD ，并求直线AC 到平面PBD 的距离．PDCBAD 1C 1B 1A 120．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 阅读：应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值；（2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值；（3）已知正数123,,,,n a a a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设椭圆1E 的长半轴长为1a 、短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a 、短半轴长为2b ，若1122a b a b =，则我们称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆．已知椭圆22:12x E y +=，其左顶点为A 、右顶点为B ．（1）设椭圆E 与椭圆22:12x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值；（2）设椭圆()22:012x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的上顶点为D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 仅有一个公共点，当λ为何值时12k k +取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E 与椭圆()22:122x y H t t+=>是相似椭圆．椭圆H 上异于,A B 的任意一点()00,C x y ，求证：ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上．金山中学2016学年第二学期高二数学期末考试参考答案2017年6月（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．()51x +的展开式中2x 项的系数为 10 ．2．已知直线l 经过点()且方向向量为()2,1-，则原点O 到直线l 的距离为 1 .3．已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+,若(){}30≤≤=x x B A C U ，则实数m 的值为 2 .4．若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则zy x =-的最小值为____4-_____.5．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于的点的坐标是 ()4,3-或()2,1-.6．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 92. 7．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的均值估计为___34__．（精确到1分钟）.8．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 186 .9．如图，三棱锥P ABC -满足：A B A C ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是 ⎥⎦⎤⎝⎛34,0 ．10．P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 9 .11．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为45π. 12．在直角坐标平面xoy 中，已知两定点1(1,0)F -与2(1,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧，设集合{P l =∣点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于}1， {}22(,)1,Q x y x y x y =+≤∈R 、，记{}(,)(,),S x y x y l l P =∉∈, {}(,)(,)T x y x y QS =∈.则由T 中的所有点所组成的图形的面积是__233+π__.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知θ为实数，若复数)sin 211z iθθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（ C ）A ．2B ．0C ．2-D ．2i -14．已知条件α：“直线l 在两条坐标轴上的截距相等”，条件β：“直线l 的斜率等于1-”，则α是β的（ B ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A 在x 轴上，AB 平行于y 轴，侧棱1AA 平行于z 轴. 当顶点C 在y 轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（ B ）A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；C ．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．16．如图，两个椭圆192522=+y x ，192522=+x y 内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断：①P 到()0,41-F 、()0,42F 、()4,01-E 、()20,4E 四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线x y =、x y -=均对称； ③曲线C 所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（ C ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分)已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a =-∈R （其中i 是虚数单位），若121z z ->，求a 的取值范围．解：i z 211+-=，2z a i =+， ()52112⋅>+--a 即()912>+a ，解得4-<a 或2>a18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角；（2）求证：PB ⊥平面11BCC B ..解：（1）以D 原点，1,,DA DC DD 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则)1A ，()0,1,0P，)2,0B，()10,4,3C . 于是()121,3PA =-,()12,3BC =,1111cos 612PA BC PA BC θ⋅===⋅ ∴异面直线1A P 与1BC 所成的角的大小等于. （2）()0,1,2=，()0,2,2-=，()3,0,01=BB0=⋅ ，01=⋅BB PBBC PB ⊥∴，1BB PB ⊥，11B BCC PB 平面⊥∴.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，线段AB 和线段CD 都是底面圆的直径，且直线AB 与直线CD 的夹角为2π，已知1OA =，2PA =．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线AC 平行于平面PBD ，并求直线AC 到平面PDCBAD 1C 1B 1A 1yPBD 的距离．解：（1）设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则1=r ，3=h ，∴圆锥的体积π3331==Sh V ；（2）证明：由对称性得BD AC //， ∵AC 不在平面PBD ，⊂BD 平面PBD ， ∴//AC 平面PBD ，∴C 到平面PBD 的距离即直线AC 到平面PBD 的距离，设C 到平面PBD 的距离为d ，则由BCD P PBD C V V --=，得h S d S BCD PBD ⋅=⋅∆∆3131，可得141312731-⋅⋅=⋅d ，∴7212=d ， ∴直线AC 到平面PBD 的距离为7212．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 阅读：应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值；（2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值；（3）已知正数123,,,,n a a a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++. 解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而6b a c a c b a b a c b c +++++≥，当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9.（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x-⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭，而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x xx x-⋅+⋅≥=-，当且仅当12228212x x x x -⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥，所以函数1812y x x=+-的最小值为18.（3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()()()()22222221211223121211223112n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=当且仅当121n a a a n ====时取到等号，则12S ≥. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设椭圆1E 的长半轴长为1a 、短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a 、短半轴长为2b ，若1122a b a b =，则我们称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆．已知椭圆22:12x E y +=，其左顶点为A 、右顶点为B ．（1）设椭圆E 与椭圆22:12x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值；（2）设椭圆()22:012x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的上顶点为D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 仅有一个公共点，当λ为何值时12k k +取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E 与椭圆()22:122x y H t t+=>是相似椭圆．椭圆H 上异于,A B 的任意一点()00,C x y ，求证： ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上．解：（1）显然椭圆E 的方程为1222=+y x ，由椭圆E 与F 相似易得：当2>s 时，4212=⇒=s s ；当20<<s 时，1122=⇒=s s．则4=s 或1；（2）易得()0,2-A ，()1,0D ，可得21,l l 的方程分别为()21+=x k y ，12+=x k y ，依题意联立：()⎪⎩⎪⎨⎧=++=λ22122y x x k y ()02424212121221=-+++⇒λk x k x k ，又直线1l 与椭圆G 相切，则01=∆（又10<<λ），即()()02421432212141=-+-λkk k ，即λλ-=1211k ，依题意再联立：⎪⎩⎪⎨⎧=++=λ22221y x x k y ()0224212222=-+++⇒λx k x k ，又直线2l 与椭圆G 相切，则02=∆（又10<<λ），即()()022214162222=-+-λk k ，即2k =，故2121=k k ，即222121=≥+k k k k ，当且仅当21k k =时取到等号，此时21=λ，所以当21=λ时，12k k +取得最小值2．（3）证明：显然椭圆12:22=+y x E ，由122=t ，可得4=t ，即有椭圆142:22=+y x H ．由椭圆H 上的任意一点()00,y x C ，于是1422020=+yx ①设ABC ∆的垂心M 的坐标为()M M y x ,，由AB CM ⊥得0x x M =，又BC AM ⊥12200-=-⋅+⇒x y x y M M，将0x x M =代入12200-=-⋅+x y x y M M，得M y y x 0202-=②由①②得M y y 20=．又0x x M=代入（1）得1222=+M M y x ，即ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上．。

2016-2017学年上海市金山中学高二10月学习水平检查数学试题 Word版

2016-2017学年上海市金山中学高二10月学习水平检查数学试题10月（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（每题4分，共56分）1．已知实数02=+-C B A ，则直线0=++C By Ax 必过定点。

2．已知、j 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，j i a 2+=，j i x b +=，且a 2+与-2平行，则=x 。

3．直线5=x 与直线062=-+y x 的夹角为。

4．已知=(3,1-），=(1,3-),则向量在方向上的投影为。

5．已知定点A （0，1），点B 在直线013=--y x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为___ ___。

6．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为。

7．已知a的单位向量为0a ,23(-=)21，若a 的起点坐标为(1,-2)，模为34，则a 的终点坐标是。

8．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为。

9．经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A(3,－2），B(－1,6)等距离的直线方程是。

10．若x a y =和)0(>+=a a x y 的图像有两个交点，则a 的取值范围是。

11．设三条直线01232,01832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 围成直角三角形，则实数m 的值为。

12．若直线m 被两平行线01:1=+-y x l 与03:2=+-y x l 所截得的线段的长为22，则直线m 的倾斜角可以是：①15②30③45④060 ⑤75，其中正确答案的序号是。

（写出所有正确答案的序号） 13．如图，点C B A ,,是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点，若OB n OA m OC +=,则n m +的取AB值范围为。

14．在R t△ABC 中，已知斜边BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，则⋅的值最大时，与的夹角=θ 。

上海金山中学2017-2018学年高二下期中考试数学试题

金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷2018.4. （时间120分钟满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 已知集合{2,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则实数a =________.2. 若函数()2xf x =的反函数为1()f x -，则1(1)f -=________. 3. 函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期T =________. 4. 已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是________.5. 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是________.6. 已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.7. 若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为30︒，则这个圆锥的侧面积为______.8. 已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为________.9. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________.10. 在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若B E A BC B λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则s λμ=⋅的最大值为________.11. 已知椭圆22154x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-=+________. 12. 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是…………………………（）(A) 若12l l ⊥，23//l l ，则13l l ⊥(B) 若12//l l ，23//l l ，则1l 、2l 、3l 共面 (C) 若12l l ⊥，23l l ⊥，则13l l ⊥ (D) 若1l 、2l 、3l 共点，则1l 、2l 、3l 共面14.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++L ，则0126||||||||a a a a ++++L 的值为…（）(A) 62 (B) 64 (C) 65 (D) 6624+15.已知数列{}n a 和{}n b 对任意的*n N ∈都有n n a b >，当n →+∞时，数列{}n a 和{}n b 的极限分别是A 和B ，则………………………………………………………………………（）(A) A B >(B) A B ≥ (C) A B ≠ (D) A 和B 的大小关系不确定16.已知ABC ∆的一边BC 在平面α内，A α∉，点A 在平面α内的射影为点P ，则BAC ∠与BPC ∠的大小关系为………………………………………………………………………（）(A) BAC BPC ∠<∠(B) BAC BPC ∠>∠ (C) BAC BPC ∠≤∠(D) 以上情况都有可能三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. (本题满分14分)设复数22(4sin )2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位. 若z 是方程2220x x -+=的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值.18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3(1,)2. 过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点.(1) 求椭圆Γ的方程；(2) 当直线AB 的斜率为3时，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的值.第18题图19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且四棱锥的体积为83，M 是PD 的中点. (1) 求异面直线PB 与CM 所成角的大小；(2) 求点B 到平面PCD 的距离.第19题图20. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分. 设常数a R ∈，函数()()||f x a x x =-.(1) 若1a =，求()f x 的单调递减区间；(2) 若()f x 为奇函数，且关于x 的不等式()1mx f x +≥对所有的[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 当0a <时，若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x 、2x 、3x ，且1235x x x ++=-，求实数a 的值.21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题10分，第(3)小题4分.若存在常数(01)p p <≤，使得数列{}n a 满足1||n n n a a p +-=对一切*n N ∈恒成立，则称{}n a 为“可控数列”.(1) 若数列{}n a 的通项公式为1*()12n n a N n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，试判断数列{}n a 是否为“可控数列”？并说明理由； (2) 若{}n a 是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数p ，使lim 4n n a →∞=？若存在，求出p 的值；若不存在，请说明理由；(3) 若“可控数列”{}n a 的首项为2，1p =，求2018a 不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷参考答案一、填空题：1. 3；2. 0；3.π；4. 2-；5. 2π；6. 45︒；7. 2π；8. 6π； 9. 12； 10. 18； 11. 19； 12.22,26⎡⎤⎣⎦. 二、选择题： 13. A ；14. B ； 15. B ； 16. D. 三、简答题：17．解：方程2220x x -+=的根为1x i =±. ……………………………………………(4分) 又z 在复平面内对应的点在第一象限，1z i ∴=+. ……………………………(6分) 2212(1co 4s s 1n )i a θθ=+∴=⎧-⎨⎩, ………………………………………………………………(8分) 解得1cos 2θ=-. 又(0,)θπ∈，23πθ∴=. …………………………………………………………(11分) 从而2a =±. ……………………………………………………………………… (13分) 所以3πθ2=,2±=a . ……………………………………………………………(14分) 18．(1) 解：由222211914a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩, ………………………………………………………………(2分) 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以椭圆Γ的方程为22143x y +=. ……………………………………………(4分) (2) 解：直线AB 的方程为3(1)y x =-. …………………………………………………(5分)由223(1)143y x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ ，得03x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或85335x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以833(,)55A ，(0,3)B -，从而833(,)55P --. …………………………(8分) 因而，直线PA 的方程为33y x =，33(4,)M ∴. …………………………(10分) 直线PB 的方程为33y x +=-，(4,23)N ∴-. …………………………(12分) 1697OM ON ∴⋅=-=u u u u r u u u r . …………………………………………………………(14分)19．(1) 解：PA ⊥Q 平面ABCD ，由13V S PA =⋅，得2PA =. ………………………(1分) 连结AC 、BD 交于点O ,连结OM ,则//OM PB .故OMC ∠是异面直线PB 与CM 所成的角. ………………………………(3分)又122OM PB ==，122OC AC == 226CM CD MD +=. …………………………………………………(6分)在OMC ∆中，222cos 32OM CM OC OMC OM CM +-∠==⋅,6OMC π∴∠=. 故异面直线PB 与CM 所成角的大小为6π. …………………………………(8分)(2) 解：设点B 到平面PCD 的距离为h ，则12233C B P D D C P V S h h ∆-=⋅=.…………(10分) 又1433BCD P BCD V S PA ∆-=⋅=. …………………………………………………(12分) 由B PCD P BCD V V --=，得2h =. 即点B 到平面PCD 的距离为2. ………………………………………………(14分)20．(1) 解：当1a =时，(1),()(1)||0(1),0x x x f x x x x x x ≥-<-⎧=-=⎨⎩. 如图知，()f x 的单调递减区间为(,0]-∞和1[,2)+∞. …………………(4分)(2) 解：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，解得0a =. …………………………(5分) 当[1,2]x ∈时，2()f x x =-.从而21mx x -≥，1()max m x x ≥+. ………………………………………………(8分) 又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，故当2x =时，)521(max x x =+. 故52m ≥. ……………(10分) (3) 解：当0a <时，0(),,(0)()a x x x f x x x a x -⎧=≥-<⎨⎩.如图，()f x a =要有三个不相等的实根，则204a a -<<，解得4a <-. ………………………………………………………………(12分) 不妨设123x x x <<，当0x <时，由()x a x a -=，即20x ax a --=，得12x x a +=. ………………………(13分)当0x ≥时，由()a x x a -=，即20x ax a -+=，得234a a a x +-=. ………………(14分)由5a =-，解得a =因4a <-，得a的值为82--. …………………………………………………………(16分) 21．(1) 解：11111222n n nn n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1(0,1]2∈. 故{}n a 为“可控数列”. ……………………………………………………(4分)(2) 解：假设存在常数p 满足题意.由{}n a 是单调递减的“可控数列”，得1n n n a a p +-=-. ……………………(5分)1112212n n n n n n a a p a a p a a p ------=--=--=-L L累加，得211()n n a a p p p -=-+++L . ………………………………………(8分)当1p =时，6n a n =-，不合题意. ……………………………………………(9分)当(0,1)p ∈时，1(1)51n n p p a p --=--，lim 51n n p a p→∞=--. …………………(11分) 令541p p -=-，得12p =. 故p 的值为12. ……………………………………………………………………(14分) (3) 解：2018a 的不同取值个数是2018，最大值为2019. …………………………(18分)(各2分)。

上海市2016-2017学年高二第二学期期末考试数学试卷(含解析)

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.。

【全国校级联考】上海市金山中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学试卷

试卷第1页，共7页绝密★启用前【全国校级联考】上海市金山中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学试卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断： ①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称； ③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）试卷第2页，共7页A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2、如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；C ．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．3、已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4、已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A ．2B ．0C ．-2D ．-2试卷第3页，共7页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5、棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .6、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .7、已知全集，集合,,若，则实数的值为 .8、直线上与点的距离等于的点的坐标是_______。

9、P 是双曲线的右支上一动点，M 、N 分别是圆和上的动点，则的最大值为10、在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.试卷第4页，共7页11、三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V 的取值范围是________．12、某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.13、若变量满足约束条件则的最小值为_________.14、已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.15、的展开式中项的系数为______．试卷第5页，共7页16、某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．三、解答题（题型注释）17、阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.18、如图，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一点，，，，，.试卷第6页，共7页（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.19、设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，椭圆的长半轴长为，短半轴长为，若，则称椭圆与椭圆是相似椭圆.已知椭圆，其左顶点为，右顶点为. （1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点，当为何值时，取得最小值，试求出最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆，椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上.20、如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．试卷第7页，共7页21、已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．参考答案1、C2、B3、B4、C5、6、1867、28、和9、910、11、；12、34.13、14、115、16、17、（1）9；（2）18；（3）证明见解析.18、(1);（2）证明见解析.19、（1）或; （2）见解析.20、（1）（2）21、或【解析】1、对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.2、A 、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.3、当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.4、∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.5、试题分析： .考点：几何体的表面积.6、试题分析：设取红球个，白球个，则，取法为.考点：古典概型.7、试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．8、解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和9、试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.10、过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.11、由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.12、由直方图可得．所以，该校学生上学所需时间的均值估计为：分钟，故该校新生上学所需时间的平均值为40分，故答案40.点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.13、由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14、直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.15、的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.16、设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.17、试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.18、试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,, 异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19、试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即 .又点在上，有，.则，所以的垂心在椭圆上.20、试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．21、试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或。

2017年上海市金山中学高二下学期期中数学试卷与解析答案

2016-2017学年上海市金山中学高二（下）期中数学试卷一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．（4分）在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是．2．（4分）直线l1：x﹣3y+3=0与l2：x﹣y+1=0的夹角的大小为．（结果用反三角函数表示）3．（4分）已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣4）i＞0，则（）2=．4．（4分）复数z满足|z﹣i|=1（i为虚数单位），则|z+2+i|的最大值为．5．（4分）在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为．（结果用反三角函数表示）6．（4分）已知抛物线E：x2=4y，直线l：y=x+1，则直线l被抛物线E截得的弦长为．7．（5分）在水平放置的平面α上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB的长度为．8．（5分）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，则此圆锥的侧面积为．9．（5分）过定点（2，3）的直线与双曲线x2﹣y2=4的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是．10．（5分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值②DC1⊥D1M③∠AMD1的最大值为90°④AM+MD1的最小值为2．11．（5分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是（立方丈）．二.选择题（每小题5分，共20分）12．（5分）若关于x的实系数一元二次方程的一个根为1﹣，则这个一元二次方程可以是（）A．x2﹣2x+4=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2+2x+4=013．（5分）经过一定圆外一定点，并且与该圆相切的动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．直线D．双曲线14．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．15．（5分）已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）16．（14分）在△ABC中，已知A（5，﹣2）、B（7，3），且AC边的中点M在y 轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C的坐标；（2）求以点C为圆心并且与直线AB相切的圆的方程．17．（14分）在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若△ABC为正三角形，且AB=AA 1，M为AB上的一点，，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．18．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与底面所成的角为arctan；（1）求直线PC平面PAD所成角的大小；（2）求E到平面BDP的距离．19．（16分）已知椭圆E：（a＞b＞0，c2=a2﹣b2），2c=a，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4．直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．（1）求椭圆E的方程；（2）若=3，写出k2与m2的关系式；（3）在第（2）问的条件下求m2的取值范围．20．（18分）如图，曲线Г由曲线C1：+=1（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：﹣=1（a＞b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Г的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（Ⅰ）中的曲线Г，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．2016-2017学年上海市金山中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．（4分）在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．（4分）直线l1：x﹣3y+3=0与l2：x﹣y+1=0的夹角的大小为arctan．（结果用反三角函数表示）【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得tanθ=||=，解得θ=arctan，故答案为：arctan．3．（4分）已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣4）i＞0，则（）2=﹣1．【解答】解：由m+（m2﹣4）i＞0，得，即m=2．∴（）2==．故答案为：﹣1．4．（4分）复数z满足|z﹣i|=1（i为虚数单位），则|z+2+i|的最大值为2+1．【解答】解：复数z满足|z﹣i|=1，∴z的几何意义是以A（0，1）为圆心，半径R=1的圆，|z+2+i|的几何意义是圆上的动点Z（x，y）到定点B（﹣2，﹣1）的距离，由圆的性质得BP的距离最大，此时|BP|=|AB|+R=+1=+1=2+1，故答案为：25．（4分）在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为arccos．（结果用反三角函数表示）【解答】解：连结AC、BD，交于点O，取AD中点E，连结PO，PE，OE，∵在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长都为2，∴OE⊥AD，PE⊥AD，且OE=1，PE==，∴∠PEO是侧面与底面所成的二面角的平面角，cos==，∴∠PEO=arccos．∴侧面与底面所成的二面角的大小为arccos．故答案为：arccos．6．（4分）已知抛物线E：x2=4y，直线l：y=x+1，则直线l被抛物线E截得的弦长为8．【解答】解：设直线l与抛物线E的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．由得x2﹣4x﹣4=0，x1+x2=4，y1+y2=x1+1+x2+1=6∵直线l：y=x+1过抛物线E焦点，∴|AB|=y1+y2+p=6+2=8故答案为：87．（5分）在水平放置的平面α上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB的长度为．【解答】解：在水平放置的平面α上画一个边长为2的正三角形，在水平放置的平面α上边长为2的等边△ABC中，取BC中点D，连结AD，则BD=1，AD=，在“斜二测”得到的直观图中取BC中点D，连结AD，由“斜二测”的规则得BD=1，AD=，∠ADC=45°，∴∠ADB=180°﹣45°=135°，∴由余弦定理得：AB====．∴在“斜二测”画法中线段AB的长度为．故答案为：．8．（5分）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，则此圆锥的侧面积为100．【解答】解：∵圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点，PQ与SO所成角为，∴过点p做PC⊥圆面O，交AO于C，则∠PQC是PQ与SO所成角，即∠PQC=，∵点P为母线SA的中点，∴点C为AO的中点，在直角△COQ中，根据勾股定理，得QC==5，在等腰直角△PQC中PC=QC=5，而在直角△SAO中，根据中位线原理得到SO=2PC=10，根据勾股定理得到母线SA===10，∴此圆锥的侧面积S=πrl==100π．故答案为：100π．9．（5分）过定点（2，3）的直线与双曲线x2﹣y2=4的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是[0°，45°）∪{90°}∪[135°，180°）．【解答】解：双曲线x2﹣y2=4的渐近线方程为y=x和y=﹣x，当过定点（2，3）的直线斜率不存在，即倾斜角为90°，直线与双曲线相切，与右支只有一个交点；当所求直线的斜率为1时，与双曲线的左支有一个交点，当所求直线的斜率为0时，与双曲线的左右两支各有一个交点，则当所求直线的斜率在（0，1）时，与双曲线的左右两支各有一个交点，即倾斜角范围是（0°，90°）；当所求直线的斜率为﹣1时，与双曲线的右支只有一个交点，此时倾斜角为135°；当所求直线的斜率在（﹣1，+∞）时，与双曲线的右支只有一个交点，可得倾斜角范围是（135°，180°）．综上可得倾斜角的范围是[0°，45°）∪{90°}∪[135°，180°）．故答案为：[0°，45°）∪{90°}∪[135°，180°）．10．（5分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有①②①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值②DC1⊥D1M③∠AMD1的最大值为90°④AM+MD1的最小值为2．【解答】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V=为定值，故①正确．②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．因此只有①②正确．故答案为①②．11．（5分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是5（立方丈）．【解答】解：过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD 于M，则它的体积：V=V E﹣AQPD+V EPQ﹣FMN+V F﹣NBCM=+S△EPQ×NQ+=+=5（立方丈）．故答案为：5．二.选择题（每小题5分，共20分）12．（5分）若关于x的实系数一元二次方程的一个根为1﹣，则这个一元二次方程可以是（）A．x2﹣2x+4=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2+2x+4=0【解答】解：关于x的实系数一元二次方程的一个根为1﹣，由实系数一元二次方程的虚根成对原理可得另一根为1+，设所求一元二次方程为ax2+bx+c=0，即．由根与系数的关系可得：=2，．∴所求一元二次方程可以是x2﹣2x+4=0．故选：A．13．（5分）经过一定圆外一定点，并且与该圆相切的动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．直线D．双曲线【解答】解：与该圆相切的圆的圆心到定圆圆心与定点的距离差，等于定圆半径所以，轨迹是双曲线，故选：D．14．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．15．（5分）已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【解答】解：设Q（u，v），则∵x2+y2=1，∴u2﹣2v=x2+y2=1．∴点Q的轨迹是抛物线．故选：B．三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）16．（14分）在△ABC中，已知A（5，﹣2）、B（7，3），且AC边的中点M在y 轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C的坐标；（2）求以点C为圆心并且与直线AB相切的圆的方程．【解答】解：（1）根据题意，设C的坐标为（x，y），若A（5，﹣2）、B（7，3），则AC的中点为（，），BC的中点为（，），又由AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则有=0且=0，解可得：x=﹣5，y=﹣3，则C的坐标为（﹣5，﹣3）；（2）A（5，﹣2）、B（7，3），则直线AB的方程为5x﹣2y﹣29=0，则C到直线AB的距离d==，又由圆C与直线AB相切，则r=d=，则圆C的方程为（x+5）2+（y+3）2=．17．（14分）在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若△ABC为正三角形，且AB=AA1，M为AB上的一点，，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB的中点F，连接DF，EF…（1分）在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1…（3分）在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EF∥AA1，EF⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1…（4分）因为DF∩EF=F，所以平面DEF∥平面ACC1A1…（5分）因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面ACC1A1…（6分）解：（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以平面ABC⊥平面ABB1A1，连接CF，因为△ABC为正三角形，F为AB中点，所以CF⊥AB，所以CF⊥平面ABB1A1，取BF的中点G，连接DG，EG，可得DG∥CF，故DG⊥平面ABB1A1，又因为，所以EG∥A1M，所以∠DEG即为直线DE与直线A1M所成角…（9分）设AB=4，在Rt△DEG中，，所以，故直线DE与直线A1M所成角的正切值为．…（12分）18．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与底面所成的角为arctan；（1）求直线PC平面PAD所成角的大小；（2）求E到平面BDP的距离．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，∴∠PCA是PC与底面所成的角，AC==2，∵PC与底面所成的角为arctan，∴tan∠PCA===，解得PA=2，由底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，得PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD是直线PC平面PAD所成角，tan∠CPD===，∴直线PC平面PAD所成角为arctan．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），C（2，2，0），A（0，0，0），D（0，2，0），B（2，0，0），E（2，1，0），=（0，1，0），=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，2），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），∴E到平面BDP的距离：d===．19．（16分）已知椭圆E：（a＞b＞0，c2=a2﹣b2），2c=a，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4．直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．（1）求椭圆E的方程；（2）若=3，写出k2与m2的关系式；（3）在第（2）问的条件下求m2的取值范围．【解答】解：（1）根据已知设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），焦距为2c，由已知得=，∴c=a，b2=a2﹣c2=．∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，∴4=2a=4，∴a=2，b=1．∴椭圆E的方程为+x2=1．（2）根据已知得P（0，m），设A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），由得，（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0．由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，且x1+x2=，x1x2=．由=3，得x1=﹣3x2．则有+=0，即m2k2+m2﹣k2﹣4=0．（3）当m2=1时，m2k2+m2﹣k2﹣4=0不成立，则有m2≠1，∴k2=．∵k2﹣m2+4＞0，∴﹣m2+4＞0，即＞0．∴1＜m2＜4．∴m2的取值范围为（1，4）．20．（18分）如图，曲线Г由曲线C1：+=1（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：﹣=1（a＞b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Г的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（Ⅰ）中的曲线Г，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为=1（y≤0）和=1（y＞0）．（2）证明：曲线C2的渐近线为y=±x，设直线l：y=（x﹣m），代入C1：+=1，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得﹣a＜m＜a．又由数形结合知a≤m＜a．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴x0=，y0=﹣，∴y0=﹣x0，即点M在直线y=﹣x上．（3）由（1）知，曲线C1：=1（y≤0），点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．联立化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴y3+y4=﹣，y3y4=．∴|y3﹣y4|=，△CDF1面积S=，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴S=≤，当且仅当t=，即n=时等号成立，△CDF1面积的最大值为．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

上海市金山中学2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题

（第9题图）如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市金山中学2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．()51x +的展开式中2x 项的系数为．2．已知直线l 经过点()5,0-且方向向量为()2,1-，则原点O 到直线l 的距离为 . 3．已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22,B x m x m x R =-≤≤+∈, 若(){}03,U C A B x x x R =≤≤∈I ，则实数m 的值为 .4．若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z y x =-的最小值为_________.5．直线22()32x tt y t⎧=--⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是 . 6．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 .7．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的均值估计为．（精确到1分钟）.8．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 . 9．如图，三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是．频率/组距x0.00650.025OAA 1B 1C 1BCxyz10．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .11．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为 .12．在直角坐标平面xoy 中，已知两定点1(1,0)F -与2(1,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧，设集合{P l =∣点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于}1， {}22(,)1,Q x y x y x y =+≤∈R 、，记{}(,)(,),S x y x y l l P =∉∈,{}(,)(,)T x y x y Q S =∈I .则由T 中的所有点所组成的图形的面积是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知θ为实数，若复数()sin 212cos 1z iθθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（）A ．2B ．0C ．2-D ．2i -14．已知条件α：“直线l 在两条坐标轴上的截距相等”，条件β：“直线l 的斜率等于1-”，则α是β的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A 在x 轴上，AB 平行于y 轴，侧棱1AA 平行于z 轴．当顶点C 在y 轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；C ．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．16．如图，两个椭圆192522=+y x ，192522=+x y 内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断：①P 到()0,41-F 、()0,42F 、()4,01-E 、()20,4E 四点的距离之和为定值； ②曲线C 关于直线x y =、x y -=均对称； ③曲线C 所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分)已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a =-∈R （其中i 是虚数单位），若1212z z z ->，求a 的取值范围．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 直角梯形，CD AB //，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，2AD =，13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角；（2）求证：PB ⊥平面11BCC B .19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，线段AB 和线段CD 都是底面圆的直径，且直线AB 与直线CD 的夹角为2π，已知1OA =，2PA =．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线AC 平行于平面PBD ，并求直线AC 到平面PBD 的距离．PDCBAD 1C 1B 1A 120．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 阅读：应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值；（2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值；（3）已知正数123,,,,n a a a a L ，1231n a a a a ++++=L ，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++L .21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设椭圆1E 的长半轴长为1a 、短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a 、短半轴长为2b ，若1122a b a b =，则我们称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆．已知椭圆22:12x E y +=，其左顶点为A 、右顶点为B ．（1）设椭圆E 与椭圆22:12x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值；（2）设椭圆()22:012x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的上顶点为D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 仅有一个公共点，当λ为何值时12k k +取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E 与椭圆()22:122x y H t t+=>是相似椭圆．椭圆H 上异于,A B 的任意一点()00,C x y ，求证：ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上．金山中学2016学年第二学期高二数学期末考试参考答案2017年6月（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．()51x +的展开式中2x 项的系数为 10 ．2．已知直线l 经过点()5,0-且方向向量为()2,1-，则原点O 到直线l 的距离为 1 . 3．已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+, 若(){}30≤≤=x x B A C U I ，则实数m 的值为 2 .4．若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z y x =-的最小值为____4-_____.5．直线22()32x tt y t⎧=--⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于2的点的坐标是 ()4,3-或()2,1-.6．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 92. 7．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的均频率/组距0.00650.025O值估计为___34__．（精确到1分钟）.8．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 186 .9．如图，三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是 ⎥⎦⎤⎝⎛34,0 ．10．P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 9 .11．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为45π. 12．在直角坐标平面xoy 中，已知两定点1(1,0)F -与2(1,0)F 位于动直线:0l ax by c ++=的同侧，设集合{P l =∣点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于}1， {}22(,)1,Q x y x y x y =+≤∈R 、，记{}(,)(,),S x y x y l l P =∉∈,{}(,)(,)T x y x y Q S =∈I .则由T 中的所有点所组成的图形的面积是__233+π__.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知θ为实数，若复数)sin 2121z iθθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（ C ）A ．2B ．0C ．2-D ．2i -14．已知条件α：“直线l 在两条坐标轴上的截距相等”，条件β：“直线l 的斜率等于1-”，则α是β的（ B ）AA 1B 1C 1BCxyzA ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A 在x 轴上，AB 平行于y 轴，侧棱1AA 平行于z 轴. 当顶点C 在y 轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（ B ）A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；C ．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．16．如图，两个椭圆192522=+y x ，192522=+x y 内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断：①P 到()0,41-F 、()0,42F 、()4,01-E 、()20,4E 四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线x y =、x y -=均对称； ③曲线C 所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为（ C ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分)已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a =-∈R （其中i 是虚数单位），若1212z z z ->，求a 的取值范围．解：i z 211+-=，2z a i =+， ()52112⋅>+--a 即()912>+a ，解得4-<a 或2>a18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，2AD =，13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角；（2）求证：PB ⊥平面11BCC B ..解：（1）以D 原点，1,,DA DC DD 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则()12,0,3A ，()0,1,0P ，()2,2,0B，()10,4,3C . 于是()12,1,3PA =-u u u r,()12,2,3BC =-u u u u r, 111155cos 61215PA BC PA BC θ⋅===⋅⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r ∴异面直线1A P 与1BC 所成的角的大小等于5arccos 6.（2）()0,1,2=PB ，()0,2,2-=BC ，()3,0,01=BB0=⋅BC PB Θ，01=⋅BB PBBC PB ⊥∴，1BB PB ⊥，11B BCC PB 平面⊥∴.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，线段AB 和线段CD 都是底面圆的直径，且直线AB 与直线CD 的夹角为2π，已知1OA =，2PA =．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线AC 平行于平面PBD ，并求直线AC 到平面PBD 的距离．解：（1）设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则1=r ，3=h ，PDCBAD 1C 1B 1A 1zyxPDO CBAD 1C 1B 1A 1∴圆锥的体积π3331==Sh V ；（2）证明：由对称性得BD AC //， ∵AC 不在平面PBD ，⊂BD 平面PBD ， ∴//AC 平面PBD ，∴C 到平面PBD 的距离即直线AC 到平面PBD 的距离，设C 到平面PBD 的距离为d ，则由BCD P PBD C V V --=，得h S d S BCD PBD ⋅=⋅∆∆3131，可得141312731-⋅⋅=⋅d ，∴7212=d ， ∴直线AC 到平面PBD 的距离为7212．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 阅读：已知(),0,a b ∈+∞，1a b +=，求12y a b=+的最小值. 解法如下：()121223322b a y a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b =，即21,22a b =-=-时取到等号，则12y a b=+的最小值为322+.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值；（2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值；（3）已知正数123,,,,n a a a a L ，1231n a a a a ++++=L ，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++L .解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而6b a c a c b a b a c b c +++++≥，当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9.（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x-⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭，而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122282168212x x x x-⋅+⋅≥=-，当且仅当12228212x xx x-⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥，所以函数1812y x x=+-的最小值为18. （3）()()()2221212231122312n n n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭L L ()()()()()22222221211223121211223112n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦L L ()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=L L L当且仅当121n a a a n ====L 时取到等号，则12S ≥. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设椭圆1E 的长半轴长为1a 、短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a 、短半轴长为2b ，若1122a b a b =，则我们称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆．已知椭圆22:12x E y +=，其左顶点为A 、右顶点为B ．（1）设椭圆E 与椭圆22:12x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值；（2）设椭圆()22:012x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的上顶点为D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 仅有一个公共点，当λ为何值时12k k +取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E 与椭圆()22:122x y H t t+=>是相似椭圆．椭圆H 上异于,A B 的任意一点()00,C x y ，求证：ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上．解：（1）显然椭圆E 的方程为1222=+y x ，由椭圆E 与F 相似易得：当2>s 时，4212=⇒=s s ；当20<<s 时，1122=⇒=s s．则4=s 或1；（2）易得()0,2-A ，()1,0D ，可得21,l l 的方程分别为()21+=x k y ，12+=x k y ，依题意联立：()⎪⎩⎪⎨⎧=++=λ22122y x x k y ()02424212121221=-+++⇒λk x k x k ，又直线1l 与椭圆G 相切，则01=∆（又10<<λ），即()()024*******2141=-+-λkk k ，即λλ-=1211k ，依题意再联立：⎪⎩⎪⎨⎧=++=λ22221y x x k y ()0224212222=-+++⇒λx k x k ，又直线2l 与椭圆G 相切，则02=∆（又10<<λ），即()()022214162222=-+-λk k ，即2112k λλ-=2121=k k ，即222121=≥+k k k k ，当且仅当21k k =时取到等号，此时21=λ，所以当21=λ时，12k k +取得最小值2．（3）证明：显然椭圆12:22=+y x E ，由122=t ，可得4=t ，即有椭圆142:22=+y x H ．由椭圆H 上的任意一点()00,y x C ，于是142220=+y x ① 设ABC ∆的垂心M 的坐标为()M M y x ,，由AB CM ⊥得0x x M =，又BC AM ⊥12200-=-⋅+⇒x y x y M M，将0x x M =代入12200-=-⋅+x y x y M M，得M y y x 0202-=②由①②得M y y 20=．又0x x M =代入（1）得1222=+M M y x ，即ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上．。

上海市金山中学2017-2018学年高二下学期段考数学试题

金山中学2017-2018学年高二年级数学学科学习水平检查一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）1. 正方体中，异面直线与所成的角的大小为_________．【答案】【解析】异面直线与所成的角为异面直线与所成的角,即为2. 过两两相交的三条直线中的每两条直线作一个平面，这样可作平面的个数是________．【答案】1或3【解析】若三条直线交于一点，则可作3个平面；若三条直线交于三点，则可作1个平面；3. 在复数集中分解因式：___________________．【答案】【解析】4. 直线，，则直线与的夹角为______________．【答案】【解析】中，而平行y轴，所以直线与的夹角为5. 双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______________．【答案】【解析】双曲线的顶点到其渐近线的距离为6. 若直线经过椭圆的右焦点，则实数__．【答案】【解析】椭圆的右焦点为，所以7. 已知复数，，则的取值范围为___________．【答案】【解析】8. 已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的_________________条件．【答案】充分不必要【解析】若四点不共面，则直线和异面，所以直线和不相交，若直线和不相交，则直线和可平行，即四点可共面，因此甲是乙成立的充分不必要条件．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9. 四边形为正方形，且平面，，则点到直线的距离为____________．【答案】【解析】因为平面，即点到直线的距离为10. 圆关于直线对称的圆的方程为___________．【答案】点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法...............②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．11. 如图，二面角的大小是60°，线段AB, ，，与所成的角为30°.则与平面所成的角的大小是_____.【答案】【解析】试题分析：点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D，连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角的平面角为60°，又由已知∠ABD＝30°，连结CB，则∠ABC为与平面所成的角设AD＝2，则AC＝，CD＝1w_w w. .c o*m，AB＝＝4，∴sin∠ABC＝，故填w_w w. .c o*m考点：本题考查了线面角的求法点评：12. 如图，已知半圆的直径，为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线的距离、满足条件，则|AM|+|AN|的值为_________.【答案】20【解析】以AT中点为坐标原点，AT所在直线为x轴建立直角坐标系，则M,N在以A 为焦点的抛物线上，方程为，半圆方程为，联立方程组得解得，因此点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．二.选择题（每小题5分，共20分）13. 下面是关于复数的四个命题：①；②；③的共轭复数为；④的虚部为．其中正确的命题（）A. ②③B. ①②C. ②④D. ③④【答案】C【解析】，的虚部为．所以选②④，选C.14. 设点,直线、平面，则下列命题中正确的是 ( )A. 若，在外，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】若，在外，则或；若，，则可以在平面内若，，则或在外；若，，则，选D.15. 点是正方体的两棱与的中点，是正方形的中心，则与平面的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 平面D. 以上都可以【答案】A【解析】平面=平面，因为平面，所以平面，选A.16. 在长方体中，，若棱上存在一点，使得⊥，则棱的长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】连接AP，则因为平面, ⊥，所以，选D.点睛：存在性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.三.解答题（12分＋14分＋16分＋16分＋18分，共76分）17. 已知复数满足，（1）求复数；（2）若复数是实系数一元二次方程的一个根，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据复数模的定义以及复数相等条件得方程组，解方程组可得复数（2）根据实系数一元二次方程虚数根特点可得为方程两根，利用韦达定理可求b,c，即得的值试题解析：解：设，18. 如图所示，在长方体中，，，，为棱上一点，（1）若，求异面直线和所成角的正切值；（2）若，求证平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）线线角找平行，因为，所以（或其补角）是异面直线和所成角，解三角形可得（2）先根据勾股数得，再结合面可得，最后根据线面垂直判定定理可得平面.试题解析：解:（1），所以（或其补角）是异面直线和所成角长方体中面，，，，得（2）由题意，，，，，即又由面可得故平面.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19. 如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点,且，(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被轨迹C所截线段的长度.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且，利用相关点法即可求轨迹；（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度试题解析：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（x p,y p）由已知x p=x,∵P在圆上，∴，即C的方程为（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为将直线方程代入C的方程，得即∴∴线段AB的长度为考点：1．轨迹方程；2．直线与圆相交的性质20. 如图，已知椭圆的上、下顶点分别为A,B，点P在椭圆上，且异于点A,B，直线AP,BP与直线分别交于点M,N，（1）设直线AP,BP的斜率分别为，求证：为定值；（2）求线段MN的长的最小值；（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）（3）恒过定点或【解析】试题分析：（Ⅰ）随点运动而变化，故设点表示，进而化简整体消去变量；（Ⅱ）点的位置由直线，生成，所以可用两直线方程解出交点坐标，求出，它必是的函数，利用基本不等式求出最小值；（Ⅲ）利用的坐标求出圆的方程，方程必含有参数，消去一个后，利用等式恒成立方法求出圆所过定点坐标. 试题解析：（Ⅰ），令，则由题设可知，∴直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以，（），从而有.（Ⅱ）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为，由，由，直线与直线的交点，直线与直线的交点.又，等号当且仅当即时取到，故线段长的最小值是.（Ⅲ）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，故有，又，所以以为直径的圆的方程为，令解得，以为直径的圆是否经过定点和.考点：直线的交点，圆的方程，圆过定点问题，基本不等式的应用.21. 已知空间四边形，分别在上，(1)若，异面直线与所成的角的大小为，求和所成的角的大小；(2)当四边形是平面四边形时，试判断与三条直线的位置关系，并选择其中一种位置关系说明理由；(3)已知当，异面直线所成角为，当四边形是平行四边形时，试判断点在什么位置时，四边形的面积最大，试求出最大面积并说明理由。

上海市金山中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

金山中学2017-2018学年度第二学期高二年级数学学科期末考试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知247353---=x x x P C ，则=x 。

2．若正方体的体对角线长是4，则正方体的体积是。

3．经过抛物线x y 42=的焦点，且以)1,1(=为方向向量的直线的方程是。

4. 在二项式81(xx -的展开式中，含5x 的项的系数是。

（用数字作答） 5．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，则双曲线的标准方程为。

6．设21,F F 分别是双曲线1922=-y x 的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且021=⋅PF，则=+ 。

7．若五个人排成一排，则甲乙两人之间仅有一人的概率是。

（结果用数值表示）8．已知)1,1(-P ，)2,2(Q ，若直线:l 1-=mx y 与射线PQ (P 为端点)有交点，则实数m 的取值范围是。

9．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm，则该圆锥的体积为 3cm 。

10．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是。

11．在一个水平放置的底面半径为3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R cm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R cm ，则R =___ ____cm 。

12．如右图，ABC ∆中，1,30,9000==∠=∠BC A C内挖去半圆，圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于点N ，则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为。

13.已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)p 作两条互相垂直的直线12, l l ，1l 与抛物线交于, P Q 两点，2l 与抛物线交于, M N 两点，设1l 的斜率为k ．若某同学已正确求得弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为B32p pk k +，则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为。

2017届上海金山中考数学二模(带参考答案)

金山区2016年第二学期初三年级质量检测数学试卷2017.4一、单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各数中是有理数的是（）A. πB.2C.327D. 0.1010010001…2. 把不等式组12x x ≥-⎧⎨<⎩的解集表示在数轴上，表示正确的是（）3. 下列说法中，正确的是（） A. 一组数据2,1,0,1,1,2--的中位数是0B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件D. 分别写有三个数字1,2,4--的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为134. 如图，//AB DF ，AC BC ⊥于C ，CB 的延长线与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，那么CEF ∠等于（） A. 110° B. 100° C. 80° D. 70°5. 如图，已知////AB CD EF ，:3:2AD DF =，6BC =，那么CE 的长等于（） A. 2B. 4C.245D.3656. 如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A B C D →→→的路径匀速前进到点D 为止. 在这个过程中，△APD 的面积S 随时间t 的变化关系用图像表示正确的是（）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：23b b ⋅=_____________. 8. 方程11x -=的解为_____________.9. 在实数范围内因式分解：23x -=_____________. 10. 已知反比例函数1k y x-=的图象经过一、三象限，那么实数k 的取值范围是_____________. 11. 将抛物线22(1)1y x =-+向右平移3个单位，那么平移后得到的抛物线的解析式是_____________. 12. 已知函数1()f x x x=+，那么(21)f -=_____________. 13. 已知关于x 的方程220x kx k -+=有两个相等的实数根，那么实数k =_____________.14. 某物流仓储公司用A 、B 两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克物品，A 型机器人搬运1000千克物品所用时间与B 型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A 型机器人每小时搬运物品x 千克，列出关于x 的方程为_____________. 15. 化简：2=_____________.16. 如图，在平行四边形ABCD 中，//EF BC ，13AE BE =，那么:AEFACDSS等于_____________.17. 在△ABC 中，已知4BC =cm ，以边AC 的中点P 为圆心1cm 为半径画⊙P ，以边AB 的中点Q 为圆心x cm 为半径画⊙Q ，如果⊙P 与⊙Q 相切，那么x =_____________cm18. 如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE ∠=︒. 将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB . 设,BE a DC b ==，那么AB =_____________.（用含a 、b 的式子表示AB ）三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）计算：101|33tan 45|(2017)2-⎛⎫--+︒+ ⎪⎝⎭解方程组：222540x y x y +=⎧⎨-=⎩21. （本题满分10分）已知直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点.（1）求ABO ∠的正切值；（2）如果点A 向左平移12个单位到点C ，直线l 过点C 且与直线132y x =-+平行，求直线l 的解析式.22. （本题满分10分）小明在海湾社林公园放风筝. 如图所示，小明在A 处，风筝飞到C 处，此时线长BC 为40米，若小明双手牵住绳子的底端B 距离地面1.5米，从B 处测得C 处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE . （计算结果精确到0.1米，3 1.732≈）如图，在△ABC 中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC 平行的直线PQ ，交AB 于点Q ，点D 在BC 上，联结AD 交PQ 于点E ，且CP QECD BD=，点G 在BC 延长线上，ACG ∠的平分线CF 交直线PQ 于点F .（1）求证：PC PE =；（2）当P 是边AC 的中点时，求证：四边形AECF 是矩形.24. （本题满分12分）已知△OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 在第一象限，点B 在x 轴正半轴上，6OA OB ==，30AOB ∠=︒.（1）求点A 、B 的坐标；（2）开口向上的抛物线经过原点O 和点B ，设其顶点为E ，当△OBE 为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设点(,2)P m (0)m >，且半径为2的⊙P 与直线OA 交于M 、N 两点，当23MN =，，求m 的值.25. （本题满分14分）如图，△ABC 的边AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，已知6AC =cm ，8BC =cm ，点P 、Q 分别在边AB 、BC 上，且点P 不与点A 、B 重合，(0)BQ k AP k =⋅>，联接PC 、PQ . （1）求⊙O 的半径长；（2）当2k =时，设AP x =，△CPQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△CPQ ∽△ABC ，且ACB CPQ ∠=∠，求k 的值.参考答案1. C2. B3. D4. A5. B6. C7. 5b8. 2x =9. (x x +-10. 1k >11. 22(4)1y x =-+12. 2x = 13. 0k =或1k = 14.100080020x x =-15.16.11617. 1或318.19.20. 2112513,2103x x y y ⎧⎧=-⎪⎪=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩21. （1）tan 2ABO ∠= （2）1:32l y x =--22. 36.1米23. （1）CP AE EPCD AD CD==∴CP EP =（2）AC 与EF 互相平分，且AC EF = ∴四边形AECF 是矩形24. （1）(6,0),B A （2）(3,3)E - ∴2123y x x =- （3）2m =或225. （1）5 （2）234224(04)55y x x x =-+<< （3）7。

上海市金山区金山中学2017-2018学年高二年级下学期期末考数学试卷

2017-2018学年上海市金山区金山中学高二年级下学期期末考数学试卷（时间120分钟满分150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1小题至第6小题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接写结果，否则一律得零分. 1、复数()13z i i =-（i 为虚数单位）的虚部是【答案】12、关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k = 【答案】133、球的表面积为16π，则该球的体积为【答案】323π 4、6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（结果用数值表示）。

【答案】605、已知球的半径为1，A B 、是球面上两点，线段AB ，则A B 、两点的球面距离为【答案】23π 6、一个圆锥的侧面是等于其底面面积的两倍，则这个圆锥的母线与底面所成角的大小是【答案】607、在正方体12条棱中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（结果用最简分数表示）【答案】4118、从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种树是（结果用数值表示）。

【答案】5909、()12nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = 【答案】510、若正三棱锥底面边长为1，侧棱与底面所成的角为45，则其体积为【答案】11211、已知复数z a bi =+（a b R ∈、，i 为虚数单位），12z z C ∈、，定义运算：()D z z a b ==+和()1212,D z z z z =-，给出下列命题：（1）对任意z C ∈，都有()0D z >；（2）若z 是复数z 的共轭复数，则()()D z D z =恒成立；（3）若()()12D z D z =，则12z z =；（4）对任意()()()123131223,,,z z z C D z z D z z D z z ∈≤+、、，恒成立，其中真命题的序号是（写出所有的正确序号）。

【数学】上海市金山区2017届高考二模试卷(解析版)

上海市金山区2017届高考数学二模试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={x|x＞﹣1，x∈R}，集合B={x|x＜2，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）已知复数z满足（2﹣3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=．3．（4分）函数f（x）=的最小正周期是．4．（4分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．5．（4分）若圆柱的侧面展开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm3（结果精确到0.1cm3）6．（4分）已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是．7．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．8．（5分）已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=．9．（5分）设f（x）=1+x+（1+x）2+…+（1+x）n（x≠0，n∈N*）的展开式中x项的系数为T n，则=．10．（5分）生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p=．11．（5分）已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为．12．（5分）对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞1且b＞3”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（5分）如图，P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①②③④B．①③C．①④D．②④15．（5分）如图，AB为圆O的直径且AB=4，C为圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣116．（5分）设x1，x2，…，x10为1，2，…，10的一个排列，则满足对任意正整数m，n，且1≤m＜n≤10，都有x m+m≤x n+n成立的不同排列的个数为（）A．512 B．256 C．255 D．64三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

金山区2017学年第二学期质量监控

金山区2017学年第二学期质量监控高三物理试卷考生注意：1. 本卷满分100分，考试时间为60分钟；2．第19、20题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。

只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。

一、选择题（共40分，1~8每小题3分，9~12每小题4分。

每小题只有一个正确选项。

） 1．能说明光的粒子性的实验是（）（A ）干涉现象（B ）衍射现象（C ）光电效应（D ）色散现象2．下列射线来自于原子核外的是（）（A ）α射线（B ）β射线（C ）γ射线（D ）阴极射线3．在α粒子散射实验中，使α粒子发生大角度偏转的力是（）（A ）磁场力（B ）电场力（C ）万有引力（D ）弹力4．一定质量的物体在做匀速圆周运动过程中，所受到的合外力（）（A ）大小为零（B ）保持恒定（C ）大小变化（D ）方向变化5．在白光照射下，能在竖直放置的肥皂膜上看到（）（A ）彩色的水平条纹（B ）彩色的竖直条纹（C ）黑白的水平条纹（D ）黑白的竖直条纹6．如图，通有恒定电流的直导线右侧有一矩形线圈abcd ，导线与线圈共面。

如果线圈运动时产生方向为abcda 的感应电流，线圈可能的运动是（）（A ）向上平移（B ）向下平移（C ）向左平移（D ）向右平移7．在静电场中，将一正电荷从a 点移到b 点，电场力做了负功，则（）（A ）b 点的电场强度一定比a 点大（B ）电场线方向一定从b 指向a （C ）b 点的电势一定比a 点高（D ）该电荷的电势能一定减小 8．分子间同时存在引力和斥力，当分子间距增大时，分子间（）（A ）引力减小，斥力减小（B ）引力增加，斥力增加（C ）引力增加，斥力减小（D ）引力减小，斥力增加cI9．设某高中学生在平直公路上迎风以一般的速度行走，所受阻力约为人所受重力的0.02倍，则克服阻力的功率最接近于（）（A）10-1W （B）10W （C）102W （D）103W10．一列简谐波沿x轴正方向传播，t＝0时的波形如图所示，质点B恰好在波谷，且经过0.1s第一次回到平衡位置，质点A在B的左侧。

上海市金山中学高二数学10月学习水平检查试题

上海市金山中学2016-2017学年高二数学10月学习水平检查试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（每题4分，共56分）1．已知实数02=+-C B A ，则直线0=++C By Ax 必过定点。

2．已知、分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，2+=，x +=，且2+与-2平行，则=x 。

3．直线5=x 与直线062=-+y x 的夹角为。

4．已知=(3,1-），=(1,3-),则向量在方向上的投影为。

5．已知定点A （0，1），点B 在直线013=--y x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为___ ___。

6．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为。

7．已知a的单位向量为0a ,23(-=)21，若a 的起点坐标为(1,-2)，模为34，则a的终点坐标是。

8．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为。

9．经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A(3,－2），B(－1,6)等距离的直线方程是。

10．若x a y =和)0(>+=a a x y 的图像有两个交点，则a 的取值范围是。

11．设三条直线01232,01832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 围成直角三角形，则实数m 的值为。

12．若直线m 被两平行线01:1=+-y x l 与03:2=+-y x l 所截得的线段的长为22，则直线m 的倾斜角可以是：①15 ②30 ③45 ④060 ⑤75，其中正确答案的序号是。

（写出所有正确答案的序号） 13．如图，点C B A ,,是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点，若n m +=,则n m +的取值范围为。

AB14．在R t△ABC 中，已知斜边BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，则⋅的值最大时，与的夹角=θ 。

2017-2018年上海市金山区高二下期末数学试卷及答案

2017-2018年金山区高二下期末数学试卷一. 填空题1. 复数(13)z i i =-（i 为虚数单位）的虚部是2. 关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =3. 球的表面积为16π，则该球的体积为4. 261(2)x x-的展开式中的常数项是（结果用数值表示）5. 已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为6. 一个圆锥的侧面积等于其底面面积的两倍，则这个圆锥的母线与底面所成角的大小是7. 在正方体的12条棱中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（结果用最简分数表示）8. 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（结果用数值表示）9. (12)n x +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n =10. 若正三棱锥底面边长为1，侧棱与底面所成的角为45°，则其体积为11. 已知复数z a bi =+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位），1z 、2z ∈C ，定义运算：()||||||||D z z a b ==+和1212(,)||||D z z z z =-，给出下列命题：（1）对任意z ∈C ，都有()0D z >；（2）若z 是复数z 的共轭复数，则()()D z D z =恒成立；（3）若12()()D z D z =，则12z z =；（4）对任意1z 、2z 、3z ∈C ，131223(,)(,)(,)D z z D z z D z z ≤+恒成立.其中真命题的序号是（写出所有的正确序号）12. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ︒∠=，6AC =，12BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是二. 选择题13. 设a 、b ∈R ，i 为虚数单位，则“0ab =”是“复数a bi +为纯虚数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 给出下列四个命题：（1）异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；（2）若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则//l α；（3）若直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直，则m α⊥；（4）两条异面直线中的一条垂直于平面α，则另一条必定不垂直于平面α. 其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个15. 从装有1n +个不同小球的口袋中取出m 个小球（0m n <≤，m 、n ∈*N ），共有1m n C + 种取法，在这1mn C +种取法中，可以视作分成两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有01m n C C ⋅种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有111m n C C -⋅种取法，显然011111m m m n n n C C C C C -+⋅+⋅=，即有等式：11m m m n n n C C C -++=成立，试根据上述想法，下面式子 1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅（其中1k m n ≤<≤，k 、m 、n ∈*N ）等于（）A. m n k C +B. 1m n k C ++C. 1m n k C ++D. k n m C +16. 201881除以100的余数是（）A. 21B. 41C. 61D. 81三. 解答题17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米.（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）.18. 设z 是关于x 的方程20x mx n ++=（m 、n ∈R ）的虚根，i 为虚数单位.（1）当z i =时，求m 、n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数34i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.19. 在如图所示的空间直角坐标系中，(0,0,2)P ，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，D 在y 轴上，四边形ABCD是正方形，点E 、F 、G 分别为线段P A 、PD 和CD 的中点.（1）求异面直线EG 与BD 所成角的大小；（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离恰为45？若存在，求出线段CQ 的长；若不存在，请说明理由.20. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求棱1AA 的长；（2）画出几何体111ABCD AC D -的三视图；（3）求二面角111B AC D --的大小.（结果用反三角函数值表示）21. 已知三棱锥P -ABC 中，90APB BPC CPA ︒∠=∠=∠=，PA a =，PB b =，PC c =，设ABC S S=，1PBC S S =，2PAC S S =，3PAB S S =，PO ⊥底面ABC 于O ，PO h =，设 1OBC S S '=，2OAC S S '=，3OABS S '=. （1）已知16S =，12S '=，求S ，并写出1S 、1S '、S 满足的一个等式关系（不必证明）；（2）已知15S =，26S =，9S =，求3S 的值；并写出1S 、2S 、3S 、S 满足的一个等式关系并给予证明；（3）将21h用a 、b 、c 表示.参考答案1、12、133、323π 4、60 5、23π 6、3π 7、411 8、590 9、5 10、 11211、②④ 12、13-16、BCAB17、（1） 2.1V ≈；（2）220元18、（1）0,1m n ==；（2）[]4,619、（1）（2）23CQ =20、（1）3；（2）略；（3）arctan2π-21、（1）18S =，211'S SS =；（2）3S =2222123S S S S ++=；（3）22221111h a b c=++。

上海市金山中学高二数学下学期阶段检测试题沪教版

上海市金山中学2012-2013学年高二数学下学期阶段检测试题沪教版考试时间 120分钟满分150分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．双曲线1422=-y x 的渐近线方程为． 2．计算=-+ii11 （i 为虚数单位）． 3．过点)2,1(-且与直线012:=++y x l 垂直的直线方程为． 4．若圆柱的底面半径为2，高为1，则圆柱的全面积是．5．设直角三角形的两直角边3=AB ，4=AC ，则它绕AB 旋转一周得到的旋转体的体积为．6．已知球O 的半径为4，B A 、是球面上两点，︒=∠45AOB ，则B A 、两点的球面距离为 .7．过点)1,1(的抛物线的标准方程是．8．若一个球的体积为π34，则它的表面积等于． 9．在空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是CB DC AD AB 、、、的中点，当对角线AC BD 、满足时，四边形EFGH 的形状是菱形．10．若双曲线122=-y x 与圆)0()1(222>=+-a a y x 恰有三个不同的公共点，则=a ．11．在下列命题中，所有正确命题的序号是．①三点确定一个平面；②两个不同的平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；③过高的中点且平行于底面的平面截一棱锥，把棱锥分成上下两部分的体积之比为7:1；④平行圆锥轴的截面是一个等腰三角形．12．如图1，设线段EF 的长度为1，端点F E 、在边长为2的正方形ABCD 的四边上滑动．当F E 、沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 围成的面积为S ，则=S ．A DB F E图1DCE13．如图2，设边长为1的正方形纸片，以A 为圆心，)10(≤<=a a AE 为半径画圆弧EF ，裁剪的扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，余下的部分裁剪出它的底面．当圆锥的侧面积最大时，圆锥底面的半径=r ．14．如图3，设椭圆171622=+y x 的左右焦点分别为21F F 、，过焦点1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，设B A 、两点的坐标分别为),(),(2211y x B y x A 、，则||21y y -值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设R b a ∈、，i 是虚数单位，则“0=ab ”是“复数bi a +为纯虚数的”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．若直线m y x =+与圆m y x =+22相切，则m 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．0或2 17．在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，错误的是（）A ．直线B A 1和直线AC 所成角的大小为︒60 B ．直线//AC 平面11C DAC ．二面角C AB B --1的大小是2arctanD ．直线11B A 到平面11D ABC 的距离为a18．如图4，设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是底面ABCD 上的动点，Q 是线段DC 上的动点，且四面体PQ B A 11的体积为81，则P 的轨迹为（）1D1C1B1AABCD QP图4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）在直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点)0,1(F 的距离与到定直线1:-=x l 的距离相等，记P 的轨迹为Γ．又直线AB 的一个方向向量)2,1(=d 且过点)0,1(，AB 与Γ交于B A 、两点，求||AB 的长．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．设1z 是方程02562=+-x x 的一个根．（1）求1z ；（2）设i a z +=2（其中i 为虚数单位，R a ∈），若2z 的共轭复数2z 满足5125||231=⋅z z ，求22z ．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设正四棱锥ABCD P -的侧面积为58，若4=AB ．（1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的大小．CPA BD22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分．定义：设Q P 、分别为曲线1C 和2C 上的点，把Q P 、两点距离的最小值称为曲线1C 到2C 的距离．（1）求曲线2:x y C =到直线042:=--y x l 的距离；（2）若曲线1)(:22=+-y a x C 到直线1:-=x y l 的距离为3，求实数a 的值；（3）求圆1:22=+y x O 到曲线)2(232>--=x x x y 的距离．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分，第3小题满分4分．如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，B A 、是长轴的左、右端点，动点M 满足AB MB ⊥，联结AM ，交椭圆于点P ．（1）当2=a ，2=b 时，设)2,2(M ，求OM ⋅的值；（2）若OM ⋅为常数，探究b a 、满足的条件？并说明理由；（3）直接写出OM ⋅为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件．高二数学参考答案一、填空题1．x y 2±= 2．i 3．042=--y x 4．π12 5．π16 6．π 7．x y =2或y x =28．π4 9． AC BD = 10．211．③ 12．44π-13．23225- 14．38二、选择题 15-18． B C D A 三、解答题19．（本题满分12分）在直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点)0,1(F 的距离与到定直线1:-=x l 的距离相等，记P 的轨迹为Γ．又直线AB 的一个方向向量)2,1(=d 且过点)0,1(，若直线AB 与Γ交于B A 、两点，求||AB 的长．解由抛物线的定义知，动点P 的轨迹Γ是抛物线，方程x y 42=． …3分直线AB 的方程为211yx =-，即22-=x y ． …6分设),(11y x A 、),(22y x B ，22-=x y 代入x y 42=，整理，得0132=+-x x ． …8分所以52||21=++=x x AB ． …12分 20．（本题满分14分）设1z 是方程02562=+-x x 的一个根．（1）求1z ；（2）设i a z +=2（其中i 为虚数单位，R a ∈），若2z 的共轭复数2z 满足5125||231=⋅z z ，求22z ．解（1）因为6425462-=⨯-=∆，所以i z 431-=或i z 431+=． ……4分（2）由625|)()43(|3=-⋅±i a i ，得512511252=+a ，2±=a ． ……10分当2-=a 时，i i z 43)2(222-=+-=； ……12分当2=a 时，i i z 43)2(222+=+=． ……14分21．（本题满分14分）设正四棱锥ABCD P -的侧面积为58，若4=AB ．（1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求直线PB 与平面PAC 所成角的大小．解（1）联结BD 交AC 于O ，取BC 的中点E ，联结PO ，PE ，OE ，则58244=⨯PE，5=PE ， 122=-=OE PE PO ． ……4分所以四棱锥ABCD P -的体积31631=⋅=ABCD S PO V ． ……6分（2）在正四棱锥ABCD P -中，⎭⎬⎫⊥⊥⇒⊥AC BO PO BO ABCD PO 平面 ⊥⇒BO 平面PAC ，所以BPO ∠就是直线PB与平面PAC 所成的角． ……11分在POB Rt ∆中，22tan ==∠POOBBPO ，所以直线PB 与平面PAC 所成角的大小为22arctan ． ……14分 22．（本题满分16分）定义：设Q P 、分别为曲线1C 和2C 上的点，把Q P 、两点距离的最小值称为曲线1C 到2C 的距离．（1）求曲线2:x y C =到直线042:=--y x l 的距离；（2）已知曲线1)(:22=+-y a x C 到直线1:-=x y l 的距离为3，求实数a 的值；（3）求圆1:22=+y x O 到曲线)2(232>--=x x x y 的距离．解（1）设曲线2:x y C =的点),(2x x P ，则53)1(5|42|22+-=--=x x x d ，所以曲线2:x y C =到直线042:=--y x l 的距离为553． ……5分（2）由题意，得42|1|=-a ，241±=a ． ……10分COABD PE（3）因为)2(212232>-+=--=x x x x y ，所以曲线)2(232>--=x x x y 是中心在)2,2(的双曲线的一支． ……13分如图，由图形的对称性知，当P 、Q 是直线x y =和圆、双曲线的交点时，||PQ 有最小值．此时，解方程组得)3,3(Q ，于是23||=OQ ，所以圆1:22=+y x O 到曲线)2(232>--=x x x y 的距离为123-． ……16分另解令2-=x t ，),(y x Q12318444112222-≥-++++=-+=t t tt y x d ，当且仅当3=x 时等号成立．（相应给分）23．（本题满分18分）如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，B A 、是长轴的左、右端点，动点M 满足AB MB ⊥，联结AM ，交椭圆于点P ．（1）当2=a ，2=b 时，设)2,2(M ，求OM ⋅的值；（2）若OM ⋅为常数，探究b a 、满足的条件？并说明理由；（3）直接写出OM ⋅为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件．解（1）直线)2(21:+=x y AM ，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=124),2(2122y x x y ，得)34,32(P ．所以4)2,2()34,32(=⋅=⋅． …5分（2）设),(00y x P ，)0)(,(≠t t a M ，因为M P A 、、三点共线，于是a ta x y 200=+，即ax ay t +=002． ……7分又1220220=+b y a x ，即200220))((ax a x a b y +-=． ……9分所以ax ay ax ty ax OM OP ++=+=⋅020002022202022)(2x ab a b a x a b ax -+=-+=．所以当0222=-b a 时，OM OP ⋅为常数22b ． ……14分另解设)0)(,(≠t t a M ，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1),(22222b y a x a x a t y 得)44,44(2222222t b t b t b at ab P ++-．要使22222224)4(4t b t a b b a OM +-+=⋅为定值，有144422222a b bb a -=，即0222=-b a ．（相应给分）（3）若考生给出“设1F 为椭圆的焦点，C 为短轴的顶点，当1COF ∆为等腰三角形时，OM ⋅为常数22b 或2a ．” ……16分若考生给出“当OM PB ⊥时，OM ⋅为常数22b 或2a ．” ……18分（注：本小题分层评分）金山中学 2013.4。