冯敬海2016强化班线代讲义

合集下载

考研数学之高等数学加强课讲义(四)

1、在一高为4m 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置。

如果椭圆方程为2214
x y +=，问： (1)液面在y(11y -≤≤)处时，容器内液体的体积V 与y 的函数关系是什么？
(2)如果容器内储满了液体后，以每分钟0.16m 3的速率将液体从容器顶端抽出，当液面在y=0时，液面下降的速率是每分钟多少m ？
(3)如果液体的密度为1N/m 3，抽完全部液体需作多少功?
2、设函数32ln(1) 0arcsin 1()12 0sin 6x x x x x f x e x x x x x -⎧+<⎪-⎪⎪=⎨++-⎪>⎪⎪⎩
，121arctan ()1x x e x g x e =+，求0lim [()]x f g x → 3、2lim (arctan arctan ),01
n a a n a n n →∞->+ 4、设f(x)在[0,1]上连续，证明：存在()0,1ξ∈，使得
1
201()()3f x dx f ξξ=-+⎰ 5
、222max x dx -⎧⎫⎪⎨⎪⎩⎰ 6、一块1000kg 的冰块要被吊起30m 高，而这块冰以0.02kg/s 的速度溶化，假设冰块以0.1m/s 的速度被吊起，吊索的线密度为4kg/m 。

求把这块冰吊到指定高度需作的功。

(设重力加速度为10m/s 2)
7、求微分方程2x y y y xe '''++=的通解。

2016年考研数学线性代数大纲解析——三大基础章节

2016年考研数学线性代数大纲解析——三大基础章节经过暑假强化阶段学习以后，从九月开始进入复习巩固阶段，也是提高阶段的尾端，也就是说，如果考生顺利完成了提高阶段的复习，将为冲刺阶段提供足够空间，反之则可能打乱整个复习进程.这段时间，考生还是要坚持两条腿走路，即知识点总结和题型总结,也就是要把书由厚读到薄，把知识转化成自己的东西，这样才会越学越轻松。

考研数学拿高分意味着考研成功一大半，数学是整个考研科目中的重中之重，接下来我们就考研数学线代数部分的相关章节该如何备考如何复习提出几点建议，希望对正在备考的考生有一定的帮助。

线性代数这门课程是围绕线性方程组和特征值与特征向量的有关问题发展起来的，所以这两个章节是考研数学中的重中之重，而要研究明白线性方程组和特征值与特征向量的有关问题，是需要一定的工具的，此工具就是行列式、矩阵和向量。

所以跨考教育数学教研室郭静娟老师建议考生，要把线性代数这门课程复习好，首先要把这三大工具搞明白。

(1)行列式：行列式这个章节的核心考点主要分为两大块，一是行列式的计算，二是行列式的应用。

行列式计算的常考题型有两个，一是数值型行列式的计算，方法有：第一，利用行列式的相关性质化行列式为上三角或下三角来进行计算;第二，利用行列式的行展开或列展开定理来进行计算;利用特殊行列式进行计算，如范德蒙行列式、拉普拉斯公式等。

二是抽象型行列式的计算，命题的角度有：第一，利用行列式的性质命题;第二，利用矩阵的运算命题;第三，利用常见的公式命题;第四，利用单位矩阵的恒等变形命题;第五，利用方阵的特征值命题。

行列式的应用主要体现在利用克莱姆法则判断方程组解的情况以及如何求解整个方程组，在判断方程组解的情况时只要方程组满足是方形的也就是方程组的个数和未知数的个数相等时往往利用克莱姆法则来判断解的情况来的更快，更简捷。

总之，行列式这个章节整体的落脚点还是在行列式的计算上，在后面章节中求解特征值时都要用到行列式的相关计算。

线性代数教案全(同济大学第六版)

线性代数教案第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。

同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=再计算321,,DDD第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第5节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。

公共课的讲义下载地址

这是第二部分的正确顺序(你按照视频大小来看就可以了。有两个是重复的，所以顺序只到20)
01 97m
02 85.9m
03 53.8m
04 100m
05 122m
06 130m
07 93.8m
08 114m
09 92m
10 85.3m
11 108m
12 60.9m
13 109m
32——34（还有另外几个修复的视频，貌似是针对前面重复的）：
/c0tcu0k2ai
下面这是讲义都是暑期强化班的讲义
何凯文翻译强化/c09kbepb4f
徐可凤完型新题型强化/c03yevth0a
14 84.2m
15 30.9m
16 94.8
17 130m
18 70.6m
19 121m
20 101m
李永乐线性代数高清无水印，完整40讲！
/d/PORCEWFXOULF
这是讲义的地址:全部复制然后迅雷新建下载任务粘贴进去就可以了
高数第一部分
/c02m52d7sa
第二部分
/d/OUGWYIMZRUBO
第三部分后面几讲好像是空间向量(我不清楚，你看着办)
/c0f95q0848
何凯文阅读理解/c0engnfuz3
概率论与数理统计/c0q62xjon7
高等数学/c0ddid83qx
线性代数/c04u7ajy6b
蒋中挺思修与法律基础 /c0snesfhaj
任燕翔近代史纲/c018nbnb
李海洋马原/c0zda2h9tl
2013wdu考研数学强化——汤家凤的线性代数！【更新完整，34讲】

【考试点】冯敬海2016考研数学《概率论与数理统计》强化助跑

【考试点】冯敬海2016考研数学《概率论与数理统计》强化助跑江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。

试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。

1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。

2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。

3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。

包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。

这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则A BA C →→的最小值为（）A ．14- B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。

解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确用OA ，OB，OC 表示其它向量。

线性代数讲义(基础版)

1 2 3 1
2 0 2 1 a2
4 2 0 2 a3 a3 a3 − x a3 a4 a4 a4 a4 − x
a1 − x
例2 求 D=
a2 − x a2 a2
a0 1
例3 求 Dn +1 = 1
1 a1
1 a2
1 (ai ≠ 0) an
1
a1 + x a2 a3 a4 0 0 x −x 例 3 求 D4 = 0 −x x 0 0 0 −x x a1
n
6
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
7
例1．设
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
，求A
n
例2．设
⎛3 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 0⎟ ， ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
求 A
n
例3．设
α = (1 2 3)T β = αT β
，
线性代数基础班 09
合肥工业大学考研辅导中心（共创考研）
1
第四篇：线性代数
第一章行列式
考试要求 1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。 2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
一、内容提要
1．行列式的定义
n 2 个数 ai j (i, j = 1,2,
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2
练习求 Dn =
b1 a2
b2 an −1 bn −1
bn
an
1
练习
−1 −1 x −1 −1
1 x +1 1 1
x −1 −1 −1 −1
3
1 1 x +1

16年公共课视频大全转给其他群分享给考研人

更多专业课考研资料加QQ:27610264632016年新东方全程班∙[最后三小时]2016考研最后3小时直播点题班【数学】[180分钟]：张宇链接: /s/1sjTHjdz密码:iydy∙[独家直播模考]2016年数学直播模考课（含命题人八套卷讲解）[130分钟]：张宇链接:/s/1skbhXPr密码:kncy∙[独家直播模考]2016年数学直播模考课（含三套模拟试题讲解）[150分钟]：朱祥和链接:/s/1eQZ24Ga密码:2sgf∙[3年真题精讲＋答题技巧]2015年数学真题精讲＋答题技巧[24课时]：张宇链接:/s/1boldUA7密码:kg4g∙[押题班]2016年新东方数学最后100题精讲[6课时]：朱祥和链接：/s/1qXa3SYS密码：xe1n∙[冲刺班]2016年新东方数学冲刺班概率统计[6课时]：张宇链接：/s/1sjIMrHr密码：wyma∙[冲刺班]2016年新东方数学冲刺班线性代数[5课时]：张宇链接：/s/1c0eBi96密码：teyx∙[3年真题精讲＋答题技巧]2014年数学真题精讲＋答题技巧[24课时]：张宇链接：/s/1kTjfTFT密码：m41d∙[3年真题精讲＋答题技巧]2013年数学真题精讲＋答题技巧[24课时]：张宇链接：/s/17eESm密码：0bya∙[冲刺班]2016年新东方数学冲刺班高等数学[11课时]：张宇链接：/s/1eQhTw6u密码：ylqp∙[刷题班]2016年数学经典题刷题通关高等数学[10课时]杨超链接：/s/1eQPZf7G密码：fe9o∙[刷题班]2016年数学经典题刷题通关线性代数[6课时]张宇链接：/s/1kUdwftl密码：71fp∙[刷题班]2016年数学经典题刷题通概率统计[9课时]朱杰链接：/s/1mgKoQhy密码：ky0o∙[强化班]2016年新东方数学强化班概率统计[32课时]：张宇链接：/s/1o6OPGwy密码：ic4w∙[强化班]2016年新东方数学强化班线性代数[31课时]：张宇链接: /s/1dDGs2h7密码:ecpi∙[强化班]2016年新东方数学强化班高等数学[61课时]：张宇链接: /s/1hqgsUkW密码:v92h∙[同济教材配套课程]2016年考研数学零基础高等数学【同济教材版】[60课时]：杨超链接:/s/1dDs81ix密码:489h∙[基础班]2016年新东方数学基础班线性代数[16课时]：张宇链接: /s/1eQrQ0JS密码:fyq7∙[基础班]2016年新东方数学基础班高等数学[36课时]：张宇链接:/s/1o69ljNO密码:236z∙[基础班]2016年新东方数学基础班概率统计[19课时]：张宇链接: /s/1o69RaCa密码:n5gv∙[入门班]2016年新东方数学入门班线性代数[17课时]：常海龙链接: /s/1hq8b1oo密码:ikps∙[入门班]2016年新东方数学入门班高等数学[22课时]：常海龙链接: /s/1jG5p1WU密码:ax87∙[入门班]2016年新东方数学入门班概率统计[16课时]：张宇链接: /s/1gd1XLF9密码:bwut∙[导学班]2016年新东方数学导学班复习规划[2课时]：张宇链接: /s/1qWoiqW8密码:ptk72016年文都全程班更多专业课考研资料加QQ:2761026463∙[模考班]2016年文都数学模考预测（数1）[5课时]：汤家凤链接：/s/1c1lIf5I密码：wkpn∙[模考班]2016年文都数学模考预测（数2）[6课时]：汤家凤链接：/s/1gecO5V1密码：i3hi∙[模考班]2016年文都数学模考预测（数3）[5课时]：汤家凤链接：/s/1gelBYCz密码：5mei∙2016年考研数学绝对考场8套题汤家凤链接：/s/1hqfOTsK密码：2njb∙[押题班]2016年文都数学重点题型预测班[16课时]：郭传德链接：/s/1o6kv3DK密码：fleg∙[冲刺班]2016年文都数学冲刺串讲[36课时]：汤家凤链接：/s/1sjP6Tid密码：re4x∙真题解析班链接:/s/1gdAUasj密码:82xf∙大纲解析班链接:/s/1o6pGZn8密码:ix1d∙强化班链接:/s/1jGGT7zK密码:j846∙基础班链接:/s/1i3hdJet密码:u4rx∙导学班链接:/s/1eAkZO密码:wn25更多专业课考研资料加QQ:27610264632016年海文全程班∙[冲刺班]2016年海文数学冲刺班概率统计[2课时]：张震峰链接：/s/1dDRyxR7密码：jvce∙[冲刺班]2016年海文数学冲刺班高等数学[5课时]：赵达夫链接：/s/1pKc9usV密码：52x2∙[冲刺班]2016年海文数学冲刺班线性代数[2课时]：张震峰链接：/s/1hqNU5ik密码：qozf∙[白金直播班班]2016年海文数学白金直播班线性代数[4课时]：李兰巧链接：/s/1sjvGQ8P密码：ejpc∙[白金直播班班]2016年海文数学白金直播班高等数学[8课时]：丁勇链接：/s/1o65q0ae密码：mat2∙[白金直播班班]2016年海文数学白金直播班概率统计[2课时]：李兰巧链接：/s/1qWIdAhe密码：ghjh∙百炼大纲解析---数学大纲直播【主讲：丁勇】链接：/s/1jGGnIKm 密码：xfy5∙[强化班]2016年海文数学强化班高等数学[16课时]：赵达夫链接: /s/1gdnQy2Z密码:ak2r∙[强化班]2016年海文数学强化班线性代数[8课时]：铁军链接: /s/1qWOfQmo密码:zqkh∙[强化班]2016年海文数学强化班概率统计[6课时]：铁军链接: /s/1i3ky5QP密码:kne4∙[基础班]2016年海文数学基础班高等数学（下）[12课时]：张同斌链接: /s/1i3BxgBb密码:g64v∙[基础班]2016年海文数学基础班高等数学（上）[9课时]：赵达夫链接: /s/1pJHqAan密码:puib∙[导学班]2016年海文数学高分讲座：赵达夫链接:/s/1i3F0VMd 密码:5gff∙[导学班]2016年海文数学导学班精讲[8课时]：丁勇链接: /s/1sj2ZsOd密码:38a2更多专业课考研资料加QQ:27610264632016年海天全程班∙[冲刺班]2016年海天数学冲刺班线性代数[2课时]：姜晓千链接：/s/1geoZuVp密码：b4tg∙[冲刺班]2016年海天数学冲刺班概率统计[2课时]：姜晓千链接：/s/1dEiXMJR密码：zpin∙[冲刺班]2016年海天数学冲刺班高数精讲[4课时]：杨超链接：/s/1eQDcGqI密码：cctm∙[强化提高班]2016年海天数学提高班概率统计精讲[11课时]：王冲链接：/s/1eQz53ME密码：c9nu∙[强化提高班]2016年海天数学提高班线性代数精讲[10课时]：王冲链接：/s/1gdK2hdL密码：rjka∙[提高班]2016年海天数学提高班高数精讲[25课时]：王冲链接：/s/1ntCf4l7密码：tu0h∙[强化班]2016年海天数学强化班概率统计精讲[11课时]：方浩链接: /s/1v3eSu密码:fa1g∙[强化班]2016年海天数学强化班线性代数精讲[12课时]：姜晓千链接: /s/1hVRps密码:86tj∙[强化班]2016年海天数学强化班高数精讲（上）[16课时]：方浩链接: /s/1hquALG4密码:sh47∙[强化班]2016年海天数学强化班高数精讲[25课时]：杨超链接: /s/1sjsVfFR密码:2v3j∙[提高班]2016年海天数学提高班线性代数精讲[32课时]：王冲链接: /s/1pJDTtpT密码:9scs∙[提高班]2016年海天数学提高班高数精讲[48课时]：郭丽，刘晓燕链接: /s/10MovO密码:m589∙[基础班]2016年海天数学基础班线性代数精讲[16课时]：姜晓千链接: /s/1mgL00MO密码:ymbt∙[基础班]2016年海天数学基础班高数精讲[8课时]：姜晓千链接: /s/1eQlKL8I密码:hgtv∙[基础班]2016年海天数学基础班高数精讲[8课时]（上）：杨超链接: /s/16REOY密码:ssia∙[基础班]2016年海天数学基础班高数精讲[16课时]（下）：张宇链接: /s/1gdxoffl密码:5f9f∙[基础班]2016年海天数学基础班概率统计精讲[16课时]：姜晓千链接: /s/1bnEXnrx密码:ysxc∙[导学班]2016年海天数学导学班[1课时]：杨超链接: /s/1sjA0UN7密码:abxv更多专业课考研资料加QQ:27610264632016年文登全程班∙[模考班]2016年文登数学模考预测（数1）[2课时]：潘鑫链接：/s/1kUqT4Mj密码：3fdf∙[模考班]2016年文登数学模考预测（数2）[2课时]：潘鑫链接：/s/1nu2uIox密码：pi4l∙[模考班]2016年文登数学模考预测（数3）[2课时]：潘鑫链接：/s/1hrl9VLy密码：rw5v∙[冲刺班]2016年文登数学冲刺班真题解析（数3）[7课时]：潘鑫链接：/s/1bn0X6hx密码：s9sr∙[冲刺班]2016年文登数学冲刺班真题解析（数2）[6课时]：潘鑫链接：/s/1bnG6CHp密码：9iy2∙[冲刺班]2016年文登数学冲刺班真题解析（数1）[8课时]：潘鑫链接：/s/1qWtf4ny密码：dtcp∙[强化班]2016年文登数学强化班高数精讲[52课时]：潘鑫链接：/s/1gdo7G7h密码：j109∙[强化班]2016年文登数学强化班概率统计精讲[30课时]：潘鑫链接：/s/1jGxo7fo密码：ykwo∙[基础班]2016年文登数学基础班线代精讲[32课时]：潘鑫链接: /s/1bn31RER密码:m98y∙[基础班]2016年文登数学基础班高数精讲[36课时]：潘鑫链接: /s/1qWjy95a密码:z28v∙[基础班]2016年文登数学基础班高数精讲[16课时]：樊明书链接: /s/1eQIUOwi密码:eejv∙[基础班]2016年文登数学寒假特训班[10课时]：杜骄链接: /s/1mg9pjFM密码:seq8∙[导学班]2016年文登数学导学班复习规划与经验分享[6课时]：文登名师链接: /s/1o6qUi1c密码:fmeg更多专业课考研资料加QQ:27610264632016年V客全程班∙[冲刺班]2016年V客数学冲刺班高等数学[15课时]：武忠祥链接：/s/1pJJ4KQ3密码：1wqw∙[冲刺班]2016年V客数学冲刺班线性代数[7课时]：李永乐链接：/s/1bnp0RZT密码：0z8h∙[冲刺班]2016年V客数学冲刺班概率统计[9课时]：王式安链接：/s/1o65Z3kA密码：abq8∙[强化班]2016年V客数学强化班高等数学[44课时]：武忠祥链接: /s/1qWsYetA密码:ndu5∙[强化班]2016年V客数学强化班概率统计[22课时]：王式安链接: /s/1sjBmMZz密码:8jxm∙[强化班]2016年V客数学强化班线性代数[25课时]：李永乐链接：/s/1qWqu1PU密码：jaf4∙[基础班]2016年V客数学基础班概率统计[27课时]：王式安链接: /s/1wisTS密码:quqc∙[基础班]2016年V客数学基础班线性代数[23课时]：李永乐链接: /s/1o6BYUSE密码:5afi∙[基础班]2016年V客数学基础班高等数学[41课时]：章纪民链接: /s/1kT9xk7X密码:dwjp∙[导学班]2016年V客数学线性代数导学班[2课时]：李永乐链接: /s/1c0dhwKK密码:95dp2016年启航全程班更多专业课考研资料加QQ:2761026463∙[张宇专项班][冲刺]2016年启航张宇专项班线性代数冲刺班[4课时]：张宇链接：/s/1i3Jbkw9密码：ey55∙[张宇专项班][冲刺]2016年启航张宇专项班概率统计冲刺班[2课时]：张宇链接：/s/1hqprdbQ密码：evz5∙[张宇专项班][冲刺]2016年启航张宇专项班高等数学冲刺班[4课时]：张宇链接：/s/1ntriDg1密码：kexb∙[强化班]2016年启航数学强化班高数精讲[20课时]：杨超链接: /s/1pJBqGJp密码:xdq4∙[张宇专项班][强化]2016年启航张宇专项班概率统计精讲[12课时]：张宇链接: /s/1bn9DtG7密码:cjya∙[张宇专项班][强化]2016年启航张宇专项班线性代数精讲[4课时]：张宇链接: /s/1o6KMjcI密码:t8pw∙[张宇专项班][强化]2016年启航张宇专项班高等数学精讲[20课时]：张宇链接: /s/1bnkANAf密码:bdi5∙[张宇专项班][基础]2016年启航张宇专项班概率统计精讲[7课时]：张宇链接: /s/1kTzn8gB密码:7fs3∙[张宇专项班][基础]2016年启航张宇专项班线性代数精讲[8课时]：张宇链接: /s/1jG5voQq密码:pdb7∙[张宇专项班][基础]2016年启航张宇专项班高等数学精讲[17课时]：张宇链接: /s/1i3EkOOt密码:pp4h2016年新东方全程班更多专业课考研资料加QQ:2761026463∙[最后三小时]2016考研最后3小时直播点题B班【英语】[180分钟]：王江涛，唐迟链接：/s/1SPBtG密码：ucth∙[最后三小时]2016考研最后3小时直播点题A班【英语】[180分钟]：朱伟，李旭链接：/s/1eRiqveE密码：16i3∙[独家更新]2016考研考研英语(一)写作10小时保命20分精华班：应鸣链接：/s/1hrxLk3a密码：4w6t∙[独家直播模考]2016年英语（二）【第二次】直播模考课（含模拟试题讲解）[105分钟]：唐迟链接：/s/1gej9W7D密码：wdud∙[独家直播模考]2016年英语（一）【第二次】直播模考课（含模拟试题讲解）[140分钟]：唐迟链接：/s/1mgTkKCo密码：xg50∙[独家直播模考]2016年英语（二）直播模考课（含命题人预测讲解）[110分钟]：唐迟链接: /s/1eRiVUWM密码:ffw7∙[独家直播模考]2016年英语（一）直播模考课（含命题人预测讲解）[110分钟]：朱伟链接: /s/1c1y9dCk密码:9s7e∙[押题班]2016年新东方英语临考写作押题密训[4课时]：朱伟链接: /s/1bodCogB密码:hwak∙[冲刺班]2016年新东方英语冲刺阅读理解[3课时]：唐迟链接：/s/1bnbVro7密码：xmmi∙[冲刺班]2016年新东方英语冲刺阅读理解[1课时]：李旭链接：/s/1gdnsgt9密码：wmyf∙[冲刺班]2016年新东方英语冲刺完形填空[1课时]：李玉技链接：/s/1kTIXEMN密码：2b3p∙[冲刺班]2016年新东方英语冲刺完形填空[2课时]：王晟链接：/s/1hqFGbfm密码：6gcr∙[冲刺班]2016年新东方英语冲刺新题型[1课时]：王晟链接：/s/1c09c9nM密码：prhp∙[冲刺班]2016年新东方英语冲刺写作[3课时]：王江涛链接：/s/1dDjroml密码：6sco∙[冲刺班]2016年新东方英语冲刺翻译[1课时]：唐静链接：/s/1gd57JrH 密码：9grn∙[冲刺班]2016年新东方英语冲刺新题型[2课时]：李玉技链接：/s/1dDnvcYH密码：yniq∙[冲刺班]2016年新东方英语冲刺翻译[7课时]：武峰链接：/s/1gdXyB8B 密码：9nqc∙强化班∙基础班链接:/s/1sjyx93R密码:4pes∙导学班链接:/s/1sjCAIZV密码:ps7j更多专业课考研资料加QQ:27610264632016年文都全程班∙[押题班]2016年文都语冲刺突破模考点评班[6课时]：何凯文链接：/s/1gdWdner密码：2fy6∙[押题班]2016年文都英语作文终极押题预测[4课时]：何凯文链接：/s/1o6U28um密码：7515∙[押题班]2016年文都英语作文终极押题预测[6课时]：谭建波链接：/s/1kUeHK39密码：g95h∙2016年考研英语绝对考场6套题何凯文链接：/s/1mgKYtwk密码：11bb ∙[冲刺班]2016年文都英语冲刺班阅读理解精讲[24课时]：赵敏链接：/s/1qWvh8gW密码：nekk∙[冲刺班]2016年文都英语冲刺班作文翻译完型新题型串讲[8课时]：何凯文链接:/s/1jHmlzuQ密码:wyaa∙2016年文都五天十夜何凯文国庆密训全程班链接：/s/1eRckwsq密码：0520∙【2016年百炼大纲解析---英语大纲直播【主讲：文都赵敏】】链接：/s/14tDuu密码：09gb∙【2016年百炼大纲解析---英语大纲直播【主讲：文都何凯文】】链接：/s/1mg3trCk密码：keiu∙【2016年百炼大纲解析---英语（一）大纲直播【主讲：文都谭建波】】链接：/s/1jGAOVlk密码：pbqw∙【2016年百炼大纲解析---英语（二）大纲直播【主讲：文都谭建波】】链接：/s/1o6F00Nw密码：vwzk∙[面授专题班]2016考研文都英语强化阅读理解[8课时]：何凯文链接：/s/1o6KhpJc密码：fb0g∙[面授专题班]2016考研文都英语强化翻译[4课时]：何凯文链接: /s/1hq2IwrM密码:frbc∙[面授专题班]2016考研文都英语强化写作[8课时]：何凯文链接: /s/1dDqDmlN密码:wbyi∙[何凯文专项班]2016年何凯文时文解析[31课时]何凯文链接: /s/1i3eXN7Z密码:bdum∙[何凯文专项班]2016年何凯文历年真题解析[41课时]何凯文链接: /s/1ntOkHmD密码:jsi7∙(强化班）写作翻译完型新题型讲义.pdf链接:/s/1sjA5pz3密码: ejd7∙[强化班]2016年文都英语强化班阅读理解精讲[33课时]：赵敏链接: /s/1x1WYi密码:csw1∙[强化班]2016年文都英语强化班写作精讲[21课时]：谭建波链接: /s/1qWDo3G4密码:qz36∙[强化班]2016年文都英语强化班翻译精讲[13课时]：许可风链接: /s/1qW2yLdE密码:dnyi∙[强化班]2016年文都英语强化班完型与新题型[13课时]：许可风链接: /s/1i3tMI1Z密码:81r6∙[基础班]2016年W都英语基础班词汇突破[6课时]：Liu一男链接: /s/1dDo4Jqp密码:kfj5∙[基础班]2016年W都英语基础班翻译精讲[12课时]：许可风链接: /s/1qWPwbWo密码:snzr∙[基础班]2016年W都英语基础班高分写作[5课时]：He凯文链接: /s/1kTquwSZ密码:84q8∙[基础班]2016年W都英语基础班完形填空[6课时]：许可风链接: /s/1eQH8U8i密码:m9pw∙[基础班]2016年W都英语基础班写作精讲[15课时]：谭建波链接: /s/1dDnOI1F密码:ny2w∙[基础班]2016年W都英语基础班新题型[5课时]：许可风链接: /s/1sjDiIGt密码:wmct∙[基础班]2016年W都英语基础班语法长难句[24课时]：何凯文链接: /s/1o685jXw密码:qt33∙[基础班]2016年W都英语基础班语法导学[12课时]：王泉链接: /s/1jRf2m密码:j8eb∙[基础班]2016年W都英语基础班阅读理解[15课时]：谭建波链接: /s/1gdvSiCN密码:cab9∙（独家更新）[基础班]2016年W都英语1575考研高频核心词汇[35课时]：Liu一男链接: /s/1i35r8xR密码:ndmv∙[导学班]2016年W都导学班高分讲座[1课时]：Tan建波链接: /s/1i35X2Zz密码:gve9∙[导学班]2016年W都导学班高分讲座[2课时]：Tan建波链接: /s/1sj4vri9密码:tnyn∙[导学班]2016年W都导学班权威复习规划[2课时]：He威威链接: /s/1hqw6dJA密码:eexy∙[导学班]2016年W都导学班权威复习规划[3课时]：He凯文链接: /s/1pJytHDh密码:bsu9∙[导学班]2016年W都导学班权威复习规划（西安版）[2课时]：He凯文链接: /s/1gdpg8EJ密码:8juz更多专业课考研资料加QQ:27610264632016年海文全程班∙[押题班]2016年海文英语押题班小作文[1课时]：蒋华链接：/s/1nun1pYL 密码：i4lt∙[押题班]2016年海文英语押题班大作文[1课时]：蒋华链接：/s/1dDOFfqT密码：kfx6∙[冲刺班]2016年海文英语冲刺班阅读与新题型[4课时]：付博链接：/s/1c0I61tY密码：9wx4∙[冲刺班]2016年海文英语冲刺班写作精讲[2课时]：付博链接：/s/1bnwTPJD密码：v9zh∙[冲刺班]2016年海文英语冲刺班翻译精讲[1课时]：付博链接：/s/1bnmKzJh密码：cmnt∙[冲刺班]2016年海文英语冲刺班完形填空[1课时]：付博链接：/s/1kT94LHP密码：n2yr∙[白金直播班班]2016年海文英语白金直播班阅读[4课时]：蒋鹏浩链接：/s/1mggYmeO密码：jfyq∙[白金直播班班]2016年海文英语白金直播班新题型[1课时]：韩丽琴链接：/s/1jG6KHRg密码：lttl∙[白金直播班班]2016年海文英语白金直播班写作精讲[3课时]：蒋华链接：/s/1i3pRR17密码：u6gg∙[白金直播班班]2016年海文英语白金直播班完型填空[2课时]：毛利峰链接：/s/1i372HaH密码：bb3s∙[白金直播班班]2016年海文英语白金直播班翻译[1课时]：毛利峰链接：/s/1bndSM9D密码：5ukr∙[强化班]2016年海文英语强化班翻译[4课时]：付博链接：/s/1bnudWIV 密码：14ak∙[强化班]2016年海文英语强化班完形填空[4课时]：付博链接：/s/1c08Vc9y密码：opib∙[强化班]2016年海文英语强化班写作精讲[8课时]：付博链接：/s/1o6Bs7Aq密码：bdg1∙[强化班]2016年海文英语强化班阅读新题型[11课时]：蒋华链接：/s/1dDGuBRV密码：w585∙[基础班]2016年海文英语基础班阅读理解[8课时]：付博链接: /s/1eQANt4m密码:sxhh∙[基础班]2016年海文英语基础班词汇精讲[6课时]：李伟伟链接: /s/1i38FwyD密码:9quf∙[基础班]2016年海文英语基础班长难句精讲[3课时]：周冰链接: /s/1kTrawM7密码:2dn6∙[导学班]2016年海文高分讲座（现场版）：梁伟伟链接:/s/1bndd3lH 密码:pk2k∙[导学班]2016年海文导学班全程规划[4课时]：梁伟伟链接: /s/1ntA9bSX密码:w3cu∙2016年海天全程班更多专业课考研资料加QQ:2761026463∙[强化班]2016年海天英语强化班写作精讲[8课时]：张培链接: /s/1mgowZig密码:cgjs∙[强化班][面授版]2016年海天英语强化班写作精讲[9课时]：张培链接: /s/1hqxsAeK密码:jt4d∙[强化班]2016年海天英语强化班翻译精讲[2课时]：赵南望链接: /s/1c0HIwYs密码:92iy∙[强化班]2016年海天英语强化班完形填空精讲[7课时]：赵南望链接: /s/1eQtrLmE密码:bg72∙[精品班]2016年海天英语阅读及真题解析精品班[12课时]：赵南望链接: /s/1i3rKBR3密码:6jtx∙[基础班]2016年海天英语阅读真题解析班[9课时]：王素丽链接: /s/1sjkc5tF密码:hirc∙[基础班]2016年海天英语基础班阅读精讲[8课时]：屠浩民链接: /s/1gdgtjpT密码:8smt∙[基础班]2016年海天英语基础班语法长难句[4课时]：郭崇兴链接: /s/1dDizemP密码:ypdj∙[基础班]2016年海天英语基础班语法长难句[3课时]：屠浩民链接: /s/1eQrQ0Mm密码:c9h4∙[基础班]2016年海天英语基础班写作词汇[4课时]：党敏链接: /s/1gdCNlzd密码:66by∙[基础班]2016年海天英语基础班外刊精讲[10课时]：赵南望链接: /s/1bn8R8jP密码:7riq∙[基础班]2016年海天英语基础班词汇指导[8课时]：宫东风链接: /s/1gds4vSJ密码:m2xx∙[基础班]2016年海天英语基础班词汇精讲[7课时]：屠浩民链接: /s/1qWunYws密码:hhvb∙[基础班]2016年海天英语基础班词汇[4课时]：党敏链接:/s/1eQ3vMHs 密码:8gww∙[基础班]2016年海天英语词汇精讲班[24课时]：党敏链接: /s/1dDm2PQ5密码:nwm8∙[导学班]2016年海天英语导学班[2课时]：屠浩民链接:/s/1eQhHdPC 密码:ct282016年启航全程班更多专业课考研资料加QQ:2761026463∙[冲刺班]2016年启航英语冲刺班作文翻译完型新题型串讲[8课时]：尚志链接：/s/1hqi53r2密码：0bw4∙[强化班]2016年启航英语强化班阅读精讲[10课时]：陈正康链接: /s/12QF8密码:e879∙[强化班]2016年启航英语强化班新题型精讲[3课时]：陈正康链接: /s/1bnoDULT密码:a4a6∙[强化班]2016年启航英语强化班完形填空精讲[5课时]：陈正康链接: /s/1sjFVLil密码:7z2m∙[强化班]2016年启航英语强化班翻译精讲[3课时]：陈正康链接: /s/1mgvNjeC密码:xquv∙[强化班]2016年启航英语强化班写作精讲[8课时]：刘晓艳链接: /s/1mg3UFNU密码:gp7q∙[基础班]2016年启航英语基础班写作词汇综合应用[4课时]：张培链接: /s/1gdu6MAZ密码:se87∙[基础班]2016年启航英语基础班核心词汇突破[4课时]：黄涛链接: /s/1c0k2VNq密码:ssb5∙[基础班]2016年启航英语基础班高端阅读理解[10课时]：陈正康链接: /s/1c0yGhUg密码:5njj∙[基础班]2016年启航英语基础班高端长难句[4课时]：陈正康链接: /s/1o61d7V8密码:y2x2∙[基础班]2016年启航英语基础班词汇精讲[10课时]：陈正康链接: /s/1mgsukn2密码:v37t∙[导学班]2016年启航考研英语高分规划班：黄涛链接:/s/1pJmOz5D密码:4r6y∙[导学班]2016年启航考研英语高分规划班：陈正康链接:/s/1bnjjelL 密码:36wb更多专业课考研资料加QQ:2761026463∙[冲刺班]2016年文登英语冲刺班作文精讲（小作文）[4课时]：白子墨链接：/s/1hquHENM密码：4nlm∙[冲刺班]2016年文登英语冲刺班作文精讲（大作文）[4课时]：白子墨链接：/s/1ntEQpGP密码：7bsu∙[冲刺班]2016年文登英语冲刺班阅读精讲[3课时]：肖文杰链接：/s/1hq13p6O密码：tr5p∙[冲刺班]2016年文登英语冲刺班新题型[6课时]：肖文杰链接：/s/1qW1STSo密码：wfcx∙[冲刺班]2016年文登英语冲刺班翻译与完型[1课时]：肖文杰链接：/s/1gd15u1d密码：2sul∙[强化班]2016年文登英语强化班阅读精讲[22课时]：肖文杰链接：/s/1i3hHVqH密码：565o∙[强化班]2016年文登英语强化班完形填空[8课时]：文登名师链接：/s/1nt066pV密码：8w84∙[强化班]2016年文登英语强化班写作精讲[16课时]：白子墨链接: /s/1dDfNnNj密码:xpi5∙[强化班]2016年文登英语强化班翻译精讲[8课时]：肖文杰链接: /s/1jGAfiRW密码:ddht∙[强化班]2016年文登英语强化班新题型精讲[10课时]：肖文杰链接: /s/1bj9LW密码:7z6e∙[基础班]2016年文登英语基础班阅读精讲[12课时]：肖文杰链接: /s/1pJMGre7密码:1ud9∙[基础班]2016年文登英语基础班词汇精讲[4课时]：李舒婷链接: /s/112bls密码:eq3p∙[基础班]2016年文登英语基础班词汇精讲[24课时]：肖文杰链接: /s/1dDEnjRb密码:2ana∙[基础班]2016年文登英语基础班长难句精讲[8课时]：肖文杰链接: /s/1kTiSQaF密码:ag2b∙[基础班]2016年文登英语基础班长难句[7课时]：李舒婷链接: /s/1gdiuZnX密码:k4d7∙[基础班]2016年文登英语基础班长难句[7课时]：李男链接: /s/1dDvqpTv密码:9v8e∙[基础班]2016年文登英语寒假特训班[11课时]：文登名师链接: /s/1c0nQOfA密码:k2q8∙[导学班]2016年文登导学讲座班[2课时]：白子墨，王林链接: /s/1xyrEm密码:jjin更多专业课考研资料加QQ:2761026463∙[冲刺班]2016年学府英语写作精讲班[3课时]：鲁振英链接：/s/1hrwyNw4密码：rrvo∙[冲刺班]2016年学府英语精讲新题型班[3课时]：鲁振英链接：/s/1hrcLY8c密码：vqe8∙[冲刺班]2016年学府英语翻译精讲班[1课时]：韩苏链接：/s/1skhnwnj 密码：6elf∙[冲刺班]2016年学府英语阅读理解精讲班[4课时]：万伟链接：/s/1jHonngi密码：e5yy∙[冲刺班]2016年学府英语完型精讲班[1课时]：韩苏链接：/s/1jHcHUz8密码：hc1y∙[强化班]2016年学府英语阅读理解强化班[9课时]：陈正康链接：/s/1i3M4VEt密码：9bl0∙[强化班]2016年学府英语写作强化班[8课时]：韩苏链接：/s/1jHh1Cyi 密码：qg1k∙[强化班]2016年学府英语完型与翻译强化班[8课时]：万伟链接：/s/1eRgTOyA密码：yduk∙[基础班]2016年学府英语阅读理解精讲基础班[8课时]：万伟链接：/s/1qWZNQaS密码：4p9z∙[基础班]2016年学府英语词汇精讲基础班[9课时]：陈正康链接：/s/1botRiCf密码：oe9t∙[基础班]2016年学府英语长难句精讲基础班[8课时]：赵敏链接：/s/1nu0Ytpn密码：lrut∙[导学班]2016年学府英语导学班[1课时]：陈正康链接:/s/1bnpUFJD 密码:9x1v2016年新东方全程班∙[最后三小时]2016考研最后3小时直播点题B班【政治】[180分钟]：徐涛，刘源泉链接：/s/1kTNh935密码：54bq∙[最后三小时]2016考研最后3小时直播点题A班【政治】[180分钟]：阮晔，张云天链接：/s/1skz4VxV密码：nlu5∙[押题班]2016年政治终极押题班[8课时]：石磊链接：/s/1jHggj7S密码：i11y∙[独家直播模考]2016年政治直播模考课[140分钟]：刘源泉链接: /s/1QhoKm密码:ccr8∙[独家直播模考]2016年政治直播模考课[130分钟]：阮晔徐涛链接: /s/1hrxKXak密码:bfea∙[独家更新]2016考研政治答题技巧班【分析题】)[39课时]：徐涛（官方售价280元）链接：/s/1hqHI7XU密码：asbx∙[冲刺班]2016年新东方政治冲刺班马原政治经济学[3课时]：阮晔链接：/s/1c0kag9M密码：vj4j∙[冲刺班]2016年新东方政治冲刺班近代史纲要[13课时]：刘源泉链接：/s/12u802密码：a767∙[冲刺班]2016年新东方政治冲刺班时政及当代冲刺[6课时]：石磊链接：/s/1c05Evss密码：3uhx∙[冲刺班]2016年新东方政治冲刺班毛中特[暂定课时]：石磊链接：/s/1bnbnVkF密码：970p∙[冲刺班]2016年新东方政治冲刺班思修法基[9课时]：张云天链接：/s/1hqIwWRU密码：0cam∙[冲刺班]2016年新东方政治冲刺班马克思主义原理[18课时]：阮晔链接：/s/1kTIWAtp密码：dvse∙[秋季新大纲升级班]2016年新东方政治新大纲升级班思修法基[29课张云天链接: /s/1c0obeZA密码:k1xg∙[新大纲增补课]2016年新东方政治新大纲增补课思修法基[1课时]张云天链接: /s/1dDx20CT密码:cxbg∙[新大纲增补课]2016年新东方政治新大纲增补课马原[2课时]阮晔链接: /s/1FP0y6密码:bn2c∙[新大纲增补课]2016年新东方政治新大纲增补课近代史纲要[1课时]刘源泉链接: /s/1eQ4RSxc密码:uwd3∙答题技巧班（独家更新）链接:/s/1mg8bBgW密码:iyrh∙大纲解析班链接:/s/1pJj8YMn密码:v3qr∙真题解析班链接:/s/1r1cqM密码:eax2∙强化班链接：/s/1sjCBhlr密码：m04f∙基础班链接:/s/1qWmoOu4密码:k5mw∙导学班链接:/s/1pJzOaJD密码:nt8d∙2016年文都全程班更多专业课考研资料加QQ:27610264632016年考研政治真题预测百分百蒋中挺链接：/s/1gdlW8mR密码：7sgg∙2016年考研政治冲刺考点必背蒋中挺链接：/s/1eQhoUzg密码：tyny ∙[冲刺班]2016年W都冲刺班马原[6课时]：任燕翔链接：/s/1kT4eLlt 密码：kbm2∙[冲刺班]2016年W都冲刺班毛中特[5课时]：常成链接：/s/1mgNEAHM 密码：ijvz∙[冲刺班]2016年W都冲刺班思修法基[5课时]：常成链接：/s/1eQtyGoi 密码：adsc∙[冲刺班]2016年W都冲刺班近代史纲要[4课时]：蒋中挺链接：/s/1i34NDPz密码：tkx1∙[秋季强化班]2016年文都考研政治新大纲秋季强化班马原[23课时]：徐明德链接：/s/1dDI2HH3密码：jr9p∙[秋季强化班]2016年文都考研政治新大纲秋季强化班毛中特[29课时]：蒋中挺链接：/s/1o6s2aDk密码：3761∙[冲刺班]2016年文都考研政治冲刺班形式与政策及当代串讲[6课时]：蒋中挺链接: /s/1c0BIM6c密码:dk9a∙[冲刺班]2016年文都考研政治观题答题技巧[6课时]：任燕翔链接: /s/1jG50QlK密码:r3wr∙大纲解析班链接:/s/1pJEbcOb密码:jiuj∙强化班链接:/s/1eQDDz4u密码:e898∙基础班链接:/s/1jGzYgAU密码:bgcv∙导学班链接:/s/1sj9nl3f密码:fskp2016年海天全程班更多专业课考研资料加QQ:2761026463∙[冲刺班]2016年海天政治冲刺班毛中特与史纲[4课时]：管琪链接：/s/1i4qrjCx密码：nlmd∙[冲刺班]2016年海天政治冲刺班思修法基[2课时]：张云天链接：/s/1eRkrDFs密码：uf5v∙[冲刺班]2016年海天政治冲刺班马克思主义原理[2课时]：蔡桂娟链接：/s/1c1xmWd6密码：5bqb∙[冲刺班]2016年海天政治冲刺班马克思主义原理[12课时]：马妍链接：/s/1dDqKhLf密码：0fwq∙[冲刺班]2016年海天政治冲刺班近代史纲要[8课时]：马妍链接：/s/1c0oKsm8密码：dds1∙[强化班]2016年海天政治强化班政治经济学[4课时]：张守连链接: /s/1sjBSgRN密码:nn9s∙[强化班]2016年海天政治强化班思修法基[4课时]：张云天链接: /s/1i3KVTMP密码:sfwh∙[强化班]2016年海天政治强化班毛概邓论[8课时]：管琪链接: /s/1eQCoBFO密码:yrwt∙[强化班]2016年海天政治强化班马克思主义原理[13课时]：阮晔链接: /s/1o6zg3zW密码:kf55∙[基础班]2016年海天政治基础班（近代史纲要及思修法基）[4课时]：管琦链接: /s/1bnezMf9密码:ec37∙[基础班]2016年海天政治基础班马克思主义原理[4课时]：阮晔链接: /s/1gd7xQHP密码:xugb∙[基础班]2016年海天考研政治基础班马原及政治经济学[16课时]：马妍链接: /s/1qWQcgSc密码:qpkb∙[基础班]2016年海天政治基础班（80分高分技巧方法）：张守连链接: /s/1i3EfaSH密码:bixx∙[基础班]2016年海天政治基础班（2015年政治真题解读）：阮晔链接: /s/1kTlAEb1密码:dnkh∙[导学班]2016年海天政治导学班四大致胜法宝：阮晔链接:/s/1k7dJC 密码:qk79∙[导学班]2016年海天政治导学班：阮晔链接:/s/1gdvShAN密码:9rsp 更多专业课考研资料加QQ:27610264632016年海文全程班∙[押题班]2016年海文政治押题班分析题[1课时]：王斌链接：/s/1mh0uHxY 密码：hbjo∙[押题班]2016年海文政治押题班单选[1课时]：王斌链接：/s/1hqO9jN2密码：joer∙[押题班]2016年海文政治押题班多选[1课时]：王斌链接：/s/1qX0S6aK 密码：ntmk∙[押题班]2016年海文政治押题班毛中特和近现代史[1课时]：王瑞玲链接：/s/1o6ZSoki密码：cy25∙[押题班]2016年海文政治押题班马原、思修和当代[1课时]：杜秀玲链接：/s/1sktyVAd密码：ls6b∙[冲刺班]2016年海文冲刺班时政及当代[2课时]：郭继承链接：/s/1sjpFacX密码：ftvr∙[冲刺班]2016年海文冲刺班思修法基[2课时]：郭继承链接：/s/1c0Beovu密码：16x5∙[冲刺班]2016年海文冲刺班毛中特[3课时]：郭继承链接：/s/1i34Oxgh 密码：2m3i∙[冲刺班]2016年海文冲刺班马克思主义原理[3课时]：郭继承链接：/s/1kT72kPT密码：aapi∙[冲刺班]2016年海文冲刺班近代史纲要[1课时]：郭继承链接：/s/1kTLFtvp密码：2pyl∙[白金直播班班]2016年海文政治白金直播班近代史纲要[1课时]：陈一鸣链接：/s/1dDhS6tj密码：i5tl∙[白金直播班班]2016年海文政治白金直播班马原[4课时]：王斌链接：/s/1mgCg0DM密码：7crn∙[白金直播班班]2016年海文政治白金直播班毛中特[3课时]：陈一鸣链接：/s/1pJkVVf1密码：r9s7∙[白金直播班班]2016年海文政治白金直播班思修法基[1课时]：王斌链接：/s/1qWtHyKO密码：0g3a∙百炼大纲解析---政治大纲直播【主讲：郭继承】链接：/s/1sjDskcl密码：jxxj∙[强化班]2016年海文政治强化班毛中特[7课时]：王瑞领链接: /s/1bnfktn5密码:a4j4。

考研数一线性代数讲义

(B) -(m+n) (C) n-m (D) m-n
(A) m+n
(5) 已知 α 1 , α 2 为 2 维列向量，矩阵 A= ( 2α 1 + α 2 , α 1 − α 2 ) ， B = (α 1 , α 2 ) 若行列式|A|=6，则|B|=_______ （-2）
(6) 设 A 为 n 阶正定阵，证明 A+E 的行列式大于 1 (7) 设 A 为 m 阶矩阵，B 为 n 阶矩阵，并且|A|=a，|B|=b, |C|=_____ （8）已知实矩阵 A=(aij)3×3 满足条件（1）aij=Aij,其中 Aij 是 aij 的代数余子式;（2）a11 ≠ 0 计算行列式 |A|（提示：利用伴随矩阵行列式公式和行列式按行或列展开的公式） (9) 设 A 为 n 阶非零方阵，A 是 A 的伴随矩阵，A 是 A 的转置矩阵，当 A = A 时，证明： | A |≠ 0
−1 −1
2 2
= A (2) (kA) −1 =
1 −1 −1 −1 −1 (3) ( AB) = B A ；反之， B −1 A−1 = ( AB)−1 A k
−1 −1 ( A1 A2 ... As ) −1 = As As −1 ... A1 −1 ；注意等式 AB −1 = ( BA−1)−1 的应用。
a11 a 22 a nn =
a11 a 22 * a nn =
a11 a 22 * a nn = a11 .a 22 ...a nn
3
副对角行列式 D =
a11 a 21 a n1 1 x1
n −1 x1
a12 a 22
0
a1,n −1 a 2,n −1
0
a1n
0 0

(整理)考研网校线代强化讲义1-2章

第一章行列式线性代数的特点是这些内容联系非常紧密。

不但后面的知识用到前面的知识，而且有时前面的知识也用到后面的一些结论。

因此，把它们串在一起学习，同学们会发现线性代数是1条主线，2种运算，3个工具。

即：一条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等行（列）变换；三个工具是行列式，矩阵，向量（组）。

行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。

但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。

另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。

【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。

【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：1.判定方阵是否可逆以及应用公式求逆矩阵；2.判定n个n维向量的线性相关性；3.计算矩阵的秩；4.讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；5.求方阵的特征值；6.判定二次型及实对称矩阵的正定性。

同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。

在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。

相应知识点精讲一、行列式的定义1.行列式的形式：个数排列成n行、n列，组装成一个正方形，两边画两根竖线，即形如：，称为一个n阶行列式。

其中数称为行列式的元素，横排的一行元素称为行列式的第i行，自上而下计序，共有n行。

竖排的一列元素称为行列式的第j列，自左向右计序，共有n列。

自左上角到右下角倾斜的一列元素称为行列式的主对角线，自右上角到左下角倾斜的一列元素称为行列式的次对角线或副对角线。

2.行列式的值：行列式的数学属性是一个数，称为该行列式的值。

当一个行列式的元素给定后，该行列式的值可通过特定的运算，从其元素计算得到。

线性代数讲义正式版

3：行列式——由 n2 个数组成的下列记号
a11 a12 ... a1n
D

a21
a22
...
a2 n
,称为 n 阶行列式，规定
an1 an2 ... an2
D 1 a a a j1 j2 jn
( j1 j2 jn )
1 j1 2 j2
njn
4：余子式与代数余子式——把行列式
1
郑老师线代核心讲义第五节：线性方程组的性质........................................................................................................ 29 第六节：典型例题：.................................................................................................................... 31 第五章特征值与特征向量................................................................................................................ 39 第一节：基本概念........................................................................................................................ 39 第二节:特征值与特征向量的性质............................................................................................... 40 第三节：矩阵相似........................................................................................................................ 43 第四节：相似及对角化性质........................................................................................................ 43 第五节：非实对称阵对角化步骤................................................................................................ 43 第六节：求特征值的方法............................................................................................................ 44 第七节：典型例题........................................................................................................................ 46 第六章二次型.................................................................................................................................... 56 第一节二次型及其标准型.......................................................................................................... 56 第二节：如何化二次型为标准二次型........................................................................................ 58 第三节矩阵之间的三大关系.................................................................................................... 59 第四节正定矩阵与正定二次型.................................................................................................. 63

高等代数讲义le16(2010)

3
parallotope (平行多面体) Π spanned by v1 , v2 , · · · , vn is deﬁned to be the set of all linear combinations r1 v1 + r2 v2 + · · · + rn vn , where 0 ≤ ri ≤ 1 for each i. In other words, Π = {r1 v1 + r2 v2 + · · · + rn vn | 0 ≤ r1 , r2 , · · · , rn ≤ 1} . Then the volume vol(Π) of the parallotope spanned by v1 , v2 , · · · , vn is just the absolute of det A. That is, vol(Π) = | det A|. Example 2. Suppose three vectors u = (u1 , u2 , u3 ), w = (w1 , w2 , w3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 are given so that they do not lie in the same plane. These three vectors form three edges of a parallelepiped. The volume of this parallelepiped which is the product of area of the base and altitude is equal to the scalar triple product u · (v × w).
Remark 2. The Leibniz formula can be also written as det A = |A| =

2016考研数学高数强化(冯敬海)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 37． lim(
n →∞
n n n + 2 ++ 2 )= 2 2 n +1 +1 n + 2 +1 n + n2 + 1
2
六、必须用左右极限来求的极限
例 38．当 x → 1 时，函数
1
x 2 −1 x −1 e 的极限（ x −1
2 x + ln(1 e ) 例 40．若 lim a[ x ] + = b ，求 a, b 。 1 x →0 x ln(1 + e )
f ( x) x
1 f ( ), x ≠ 0 例 47．设 f ( x) 在 (−∞, +∞) 内有定义，且 lim f ( x) = a ， g ( x) = x ，则（） x →∞ x=0 0,
（A） x = 0 必是 g ( x) 的第一类间断点。（C） x = 0 必是 g ( x) 的连续点。有关。（B） x = 0 必是 g ( x) 的第二类间断点。（D） g ( x) 在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值
（B）驻点且是极大值点；（D）不可导。
点
例 43．若 f ′′( x ) 连续，且 f ′(0) = 0,lim
x →0
f ′′( x ) = −1 ，那么 f ( x ) 在 x = 0 处是（） x
九、分段函数的连续性
例 46．设 f ( x) 为不恒等于零的奇函数，且 f ′(0) 存在，则函数 g ( x) = （A）在 x = 0 处左极限不存在。（B）有跳跃间断点 x = 0 。（C）在 x = 0 处右极限不存在。（D）有可去间断点 x = 0 。

线性代数考研讲义完整版

线性代数考研讲义完整版Newly compiled on November 23, 2020考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,…………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn 型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1na11a12… a1nb1A= a21 a22… a2n和(A|)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 am2… amnam1am2… amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2, ,a n的向量可表示成a1(a1,a2, ,an)或 a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边是n1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2, ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2, ,n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0 c=0 或A=0.转置:把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作A T(或A).有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T表示行向量,当是行向量时, T表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c 11+c22+…+css为1,2,…,s的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|).(2)用(B|)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|),则就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12… a1na 21 a22… a2n… … … . a n1 a n2 … a nn如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33 一般地,一个n 阶行列式 a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n … … … a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | . ② 某一行(列)的公因子可提出. 于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. ⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B 范德蒙行列式：形如 1 1 1 … 1 a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a 2…………a1n-i a2n-i a3n-i… ann-i的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,a n所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0 a1,a2 ,a3,…,a n两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,,Dn/D),这里D是系数行列式的值, D i是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|)(E|),就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 1 2 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | . 例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2 3.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111nni i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … … b n … 0 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式: 例13 证明a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0… … … … = 11n n nn i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当ab 时).0 0 0 … a+b b 0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开. 4.关于克莱姆法则的题例14 设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c, ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等. (2)在此情况求解. 参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10). 例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3. 例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)A= a21 a22… a2nB= b21b22… b2sC=AB=c21c22… c2s………………………a m1 am2… amn, bn1bn2… bns, cm1cm2… cms,则c ij =ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (AB )2=A 22AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ). 二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22 A 21 A 22 B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22 要求A ij 的列数B jk 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法: 形如A 1 0 ... 0 A = 0 A 2 0… … … 0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A10 ... 0 B1 0 0A= 0 A2... 0 , B= 0 B2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k 如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2… 0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵. A的列向量组为1,2,…,n,B的列向量组为1,2,…,s, AB 的列向量组为1,2,…,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:i=A i,i=1,2,…,s.即A(1,2,…,s)=(A1,A2,…,A s).② =(b1,b2,…,bn)T,则A= b11+b22+…+b nn.应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,…,b ni)T,则i=A I=b1i1+b2i2+…+b nin.即:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…,n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(,,), C=(+2-,3-+,+2),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(ij):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s 列,设 B=(1,2,…,s),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CAB=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=CB=A-1C. BA=CB=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆|A|0.证明“”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|0. (并且|A-1|=|A|-1.)“”因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21… An1A*= A12 A22… An2=(Aij)T.………A 1n A2n… Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1 =(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A= T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1 T,求a. (03三,四)④ n维向量=(1/2,0,,0,1/2)T, A=E- T, B=E+2 T,求AB. (95四)⑤ A=E- T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.例4设A为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足A1=1+2+3, A2=22+3, A3=22+33.求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A是3阶矩阵,是3维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A=(4,3) T, A2=(7,-8) T, A3=(5,-5) T,1求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则|A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)33满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A 0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆. 讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A T =1.(2)T =1 A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆 E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆 B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-EA n-2(A2-E)=A2-E A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例 10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例 12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例 13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设1,2,…,s是一个n维向量组.如果n维向量等于1,2,…,s的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s线性表示.如果n维向量组1,2,…,t中的每一个都可以可以用1,2,…,s线性表示,就说向量1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s线性表示表示方式是否唯一”就是问：向量方程x11+x22+…+xss=。

冯敬海2016基础班高数讲义

第一讲函数
一、函数的奇偶性
极限
连续
定义：设函数 f ( x) 在某对称区间 ( a, a ) 上有定义，如果对于 x ( a, a ) ，都有
f ( x) f ( x) （或 f ( x) f ( x) ）
则称 f ( x) 为偶函数（或 f ( x) 为奇函数）。
x x0
（c） lim f ( x) 等于 f ( x0 ) 。
x x0
3．初等函数在其定义域内都连续。 4．函数 f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内连续是指 f ( x ) 在 ( a, b) 内任何一点都连续；函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续，是指 f ( x ) 在 ( a, b) 内任何一点都连续，并且在 a 处右连续，在 b 处左连续。
7． lim
n
sin x x a 4． lim x a sin a
6． lim
1 1 ex
1
1
x 0
1 1 e
1 x
x 0
8． lim ( x ) x0 x e 1 10． lim (cot x )
x0
1
9． lim (
x 1
1 1 ) ln x x 1
(A)
t( f (t) f (t))dt , (B) t ( f (t ) f (t ))dt , (C) f (t
0 0
x
x
x
2
)dt , (D)
0
f
0
x
2
(t )dt ,
1
例 2．设函数 f ( x ) 为可导的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 (A) sin f ( x) , (B)

2016线代讲义不含例题答案

3.行列式的展开定理（1）n 阶行列式 Dn= |aij | 按第 i 行展开的展开式为
n
Dn = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + L + a in Ain = ∑ a ij Aij
j =1
(i = 1,2,L , n );
（2）n 阶行列式 Dn= |aij | 按第 j 列展开的展开式为
Dn = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + L + a nj Anj = ∑ a ij Aij
i =1
n
( j = 1,2,L , n);
（3）行列式某一行（列）元素与另一行（列）对应元素代数余子式的乘积之和为 0，即
a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + L + a in A jn = 0
= a n + ( −1) n +1 b n
（3）拆项法．例如
a + b 2b 0 a = b 0
a = b 0
a a + b b a a + b b
0 a b 0 0 a
0 a a + b
a + b = b + b 0 + 0
a a + b b
0 a a + b
b + b a + b 0 0 a
2
1 b b
2
1 c c
2
0 0 1 3ξ
= 0.
a3
b3
c3
第二讲一、基本内容与结论 1．矩阵的代数运算
矩阵
（1）设 A = (a ij ) m×n，B = (bij ) m×n，则 A + B = (a ij + bij ) m×n ;

2016考研数学重难点题型课程讲义(线性代数)-张震峰

2016考研数学重难点题型课程讲义（线性代数）1`线性代数1. 向量的判断与计算2.线性方程组：（1）建立方程组（2）含参数方程组（3）抽象方程组3. 相似对角化(条件)4.二次型5.行列式（抽象）6. 矩阵运算7. 矩阵的初等变换8. 矩阵的秩9. 向量的概念与性质 10. 特征值 11.过渡矩阵（一）例1. 12111,301αα⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠，34214,135αα⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，A 是3阶矩阵，满足12A αα=,23A αα=,34A αα=,求4A α.例2.设112224224A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠,求秩为2的3阶方阵B ,使得0BA =.2016考研数学重难点题型课程讲义（线性代数）2例3. 1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=−⎧⎪++−=−⎨⎪++−=⎩ 有3个无关的解,求,a b 的值及方程组的通解.例4. ()1234,,,A αααα=，234,,ααα 线性无关，1243ααα=−1234βαααα=+++ ，则AX β=的通解X = .2016考研数学重难点题型课程讲义（线性代数）3例5. 已知410013031A y −−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，y 为何值时，A 相似于对角矩阵Λ, 并求可逆矩阵P 和对角矩阵Λ，使得1P AP −=Λ.例6. 三元二次型T f X AX =,其中矩阵A 的主对角线元素之和为3，且满足0AB B +=,其中101011112B ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−−−⎝⎠，求：（1）用正交变换化二次型为标准形；（2）该二次型；（3） ()()r A E r A E ++−2016考研数学重难点题型课程讲义（线性代数）4例7. 设 3阶方阵()12341,,2A ααααα=−+,()321,,B ααα=， ()1224412,23,3C αααααα=+++，且40C =，5B =−,则A =_____.例8. A 是三阶正交矩阵，B 是三阶方阵，4B A −=，0A <，则T E AB −= .例9. 设A 为3阶可逆矩阵，把A 的第2行加到第1行得B ，再把B的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则 .(A) 1A P CP −= (B) 1A PCP −= (C) T A PCP = (D) T A P CP =2016考研数学重难点题型课程讲义（线性代数）5例10. 12003005B a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,22A AB I −=,则()23r AB BA A −+= .例11. n m m n A B I ××=,(1) A 的行向量组线性无关 ,(2)A 的列向量组线性无关 ,(3) B 的行向量组线性无关,(4) B 的列向量组线性无关, 则正确的是 (A) (1)(3) (B) (2)(4) (C) (1)(4) (D) (2)(3)例12. 3阶实对称方阵A 的特征值为2,4,6，ξ是A 的关于2λ=的特征向量，且3ξ=，求2T B A ξξ=−的特征值.2016考研数学重难点题型课程讲义（线性代数）6参考答案1. 41232αααα=−+ ()4262TA α=−−−2. ()123,,T B ααα=,其中1210α−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2201α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，31122k k ααα=+ 3. 2,3a b == 12242153100010X k k −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠4. 111110131X k ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5. 6y =，205101013P −−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，100010002⎛⎞⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠6. (1) 121λλ==−时,12100,111αα⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠10γ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⇒=⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎝, 2γ⎛⎜⎜⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎝， 35λ=时, 3α与12,αα正交⇒3111α⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，3γ⇒=，2016考研数学重难点题型课程讲义（线性代数）7P ⎛⎜⎜⎜=⎜⎜⎜⎜⎝，令X PY =，2221235f y y y =−−+ （2）122212221A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 222123121323444f x x x x x x x x x =+++++. （3）()()134r A E r A E ++−=+=. 7. 8 8. 4 9. A 10. 2 11. C 12. 16− 4 6。

201609南开大学《线性代数》复习资料.

《线性代数》复习资料（2014 年 7 月修订版）课程名称线性代数名称线性代数教材信息（自出版社清华大学出版社、北京交通大学出版社作者刘光旭苏钰晴编著建学习中心使用）版次2014年 4月第 1版此教材用于自建学习中心（此版标注教材页码请见红色字体页码）名称线性代数教材信息（奥出版社中国人民大学出版社作者赵树嫄主编鹏学习中心使用）版次2013年 1月第 4版此教材用于奥鹏学习中心（此版标注教材页码请见蓝色字体页码）一．客观题（一）选择题1.行列式k12）.2k0 的充分必要条件是（1( A)k1( B ) k3(C ) k 1 且 k 3( D ) k 1 或 k 3（选 C . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16第1章P1 1022.若 3120,则1,2必须满足（）.101( A) (C )112,2,220( B )122可为任意数( D ) 1,2 均可为任意数（选 C . 需先将行列式算出) 知识点参看第 1 章 P16第1章P11a113. 已知行列式D 1 1b1,则D ( ).111b( A ) a b 2b2( B )(a 1) b2(C ) a b2( D ) a b 2（选 B . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16第1章P1a114.行列式0100 的充分必要条件是（）.4a a(A )a2(B ) a2(C )a2( D ) a 2（选 D . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16第1章P1 a01115.1a10010 a20() .( 其中 a1 a2a n0 )100a nn n1n na i .（A） 0. (B)( a ) ( a) .( C )( D ) a .i0a i i 1ii 1i 1i0（选 B . 需先将行列式算出 ) 知识点参看第 1 章 P16第1章P1b c c a a b6. 设a, b, c两两互不相同，则行列式D a b c0 的充分a 2b 2c 2必要条件是 () .( A ) a b c 0(B )abc(b a)(c a)(c b)(C ) (a b c)(b a)(c a)(c b) 0( D )(b a)(c a)(c b)1（答案：选 A .）知识点参看第 1 章 P16第1章P17. 如果线性方程组2x ky c1 ( c , c为不等于零的常数）有唯一kx2y c212解，则k 必须满足（）.(A) k0(B) k2或 k2(C) k 2 或 k 2(D) k2且 k2（选 D ）知识点参看第 3 章 P83第 3章 P1091 3 1 8. 乘积2 1 4 0 0 1 2 ). 11 3 41 3 ( 142( A)67 8 67 8205 6( B)5620(C)1 2 3 (D )7 6 8 456 2056（选 A . 按矩阵乘法定义计算 ) 知识点参看第 2 章 P57第 2章P519. 若A ,B 都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是().( A )(AB)TB T A T .( B )(AB) 1 B 1A 1.(C ) (AB) B A . ( D ) ( AB)2 B 2A 2 .（选 D . 注意：问的是：不一定正确者 ) 知识点参看第 2 章 P53 第2章P6510. 若 β ( 0, k, k 2 ) 能由α1 (1 k, 1,1) ,α2 (1, 1 k, 1) ,α3 (1, 1, 1 k )唯一线性表示，则 k 等于（）.( A ) k0 (B) k3 (C ) k 0 且 k 3 ( D) k 任意 .（选 C . ）知识点参看第 4 章 P112 第 3章 P12711. 设向量组 B : b 1 , b 2 , ,b r 能由向量组 A : a 1 , a 2 , , a m 线性表示，则( ).( A) 当 r m 时，向量组 A 必线性相关(B) 当 r m时，向量组 A 必线性相关 (C) 当 rm 时，向量组 B 必线性相关(D) 当 rm时，向量组 B 必线性相关（选 D . 解法提示：用反证法排除其余三种可能 ) 知识点参看第 4章 P112 第 3 章 P127 12. 设 A 为 n 阶方阵，以下结论中成立的是（）．( A) 若 A 可逆，则矩阵 A 属于特征值的特征向量也是矩阵 A 1 的属于特征值1 的特征向量．(B) A 的特征向量即为方程 ( E A ) x o 的全部解．(C) 若 A 存在属于特征值的 n 个线性无关的特征向量，则A E ．(D )A 与 A T不可能有相同的特征值．（选 A ）知识点参看第 5 章 P130 第4章P16813. n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的 ().( A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C)必要而非充分条件 (D ) 既非充分也非必要条件（选B . ）知识点参看第 6 章 P150 第 4 章 P16814. 设 A , B 均为 n 阶矩阵，且 A 与 B 合同，则（）.( A) A 与B 相似(B) A B(C)A 与B 有相同的特征值 (D ) r ( A ) r ( B )（选 D ）知识点参看第 6 章 P150 第 4 章 P16815. 若 a 1ia 23a 3 5a 5 ja4 4是 5 阶行列式中带有正号的一项 , 则 i , j 的值应为（）.( A ) i 1, j 3 ( B) i 2, j 3 (C) i 1, j 2(D ) i2, j1（选 C.）知识点参看第 1 章 P16第1章P116. 设 D 是 n 阶行列式 , 则下列各式中正确的是（）.nn( A)ai jA i j0 , j 1,2,, n (B)a i jAi jD , j 1,2,, ni 1i 1nn(C )a 1 j A 1 jD( D )a i jAi j0 , i 1,2, , nj 1j 1（选. 解法提示：根据行列式展开定理知选 . 它是行列式按B B第 j 列展开的公式 . ）知识点参看第 1 章 P16 第1章P1（二）判断题 ( 对的 , 在后面的括号内打” V ” ,错的，打” X ”）17. 方程1 x2 121 x 1 0 的解为 x 1 =3, x 2 = 3, x 3 =3.（）111 x（解法提示：展开后解方程）知识点参看第 1 章 P16第1章P1a 0b 018. 行列式0 x 0 y的值等于 (adbc) (xvyu).（ V ）c 0d 00 u 0v（解法提示：直接按行列式展开）知识点参看第 1 章 P16第1章P1 00λ119.行列式λ20（ X）= λ1λ2λn .λn00（第 1 章． . 解法提示：正确答案是：(1)n ( n 1 )1 2n .）2知识点参看第 1 章 P16第1章P120.排列 32514的逆序数为 5.（V ）（第 1 章．解法提示：分别计算每个数的逆序，再相加）知识点参看第 1章 P16第1章P121.n阶范德蒙行列式的计算公式是：111x1x2x nV n( x j x i ) .（）1 i j nx n 1x n 1x n 112n（解法提示：有公式）知识点参看第 1 章 P16第1章P122.A11A .其中A是A的伴随矩阵.（）A（解法提示：有公式）知识点参看第 2 章 P51第 2章 P4923. 关于逆矩阵 , 有性质：(A B)1B1A1.（）（解法提示：有公式）知识点参看第 2 章 P63第 2章 P73 24.给定向量组 A : a1 , a2 , ,a m，如果存在数 k1 , k2 , ,k m使得k1a1k2a2k m a m o,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关.（X）（解法提示：要求k1,k2,, k m不全为零）知识点参看第4章P112第3章P12725.设 n 阶方阵A, B, C满足关系式ABC=E,其中E是n阶单位矩阵, 则必有关系式BCA = E .（V）（解法提示：由 ABC = E 知 A, B, C 均为可逆矩阵 ,且 A 与 BC互为逆矩阵 , 因而 BCA = E .）知识点参看第 2 章 P63 第 2 章P7311a 12a 13140 0 1a 31a32a33a 34aa26. 设 A a 21a 22 a 23a 24 , 则0 1 0 Aa 21a 22 a 23 a 24 .（）a31a32a33a341 0 0a11a12a13a14（解法提示：利用矩阵乘法）知识点参看第 2 章 P57 第 2 章P51二．主观题（三）填空题0 a12a13a1 n27. 若 n 为奇数，则行列式a 1 2a 23a 2 nDa 1 3 a 2 3a 3 n 的值等于a 1 na 2 na 3n（）（答案 D 0.)知识点参看第 1 章 P1第 1章 P51a bcd28. 行列式 Da abab c a b c d 等于（）.a 2ab 3a2b c4a 3b2c da 3ab 6a 3bc 10a 6b 3c d（第 1 章．答案： a 4 ）知识点参看第 1 章 P16 第 1 章 P129. 齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解=（）.（答案：（基础解系的全体线性组合）知识点参看第 4 章 P117 第 3 章 P14030. m ×n 矩阵阶 A m ×n 的秩有性质： 0 ≤ r ( A m ×n ) ≤ () .（答案： min { m, n }. ）知识点参看第 4 章第 5 章第 3 章第 4 章 31. 对任意向量 α和 β，其模的性质有三角不等式： α+ β ≤ ( ).（答案：α +32. 给定实二次型β . 有公式）知识点参看第 4 章第 3 章f ( x 1 , x 2 ,, x n ) , 它对应的实对称矩阵为A ，则我们可将它写成矩阵形式： f ( x1 ,x2 ,, x n ) = ().（第 5 章．答案：x T A x .利用二次型的矩阵表示）知识点参看第 7 章 P190第 5章 P2031231012333. 矩阵方程2012X3011的解是X () .110112201314(第2章.答案：100 3 .2121)知识点参看第 2 章P51第2章P4934. 设A, B, C均为n阶方阵，且AB B C CA E ,则A2B2C2().( 第 2 章. 答案：3E. )知识点参看第 2章P51第2章 P49（四）计算题121135. 求三次方程1x230的解 . 00x2002x解x1 x22,x3 2.36.设A x0, B u v,C3u,且A2B C O ,试7y y2x v求 x, y, u, v 的值.(第 2 章x5, y6, u 4, v 2. )知识点参看第2章P51第2章 P490 1 037.已知 A 1 0 0，求A2012.001解A 2012= ( A 4 )503 = = E . 要求复习时补上省掉的 .1 2 3 038. 给定矩阵 A0 1 2 1 ,试求矩阵 A 的秩.2 46 0解 2.39. 设 A2 5 ,求A 1.1 3解请复习时自己写出）1 2 340.设A 0 11, 求A 1.1 41解不存在逆矩阵 .1 0 041. 设 A 01 3 ,求 (A )T 1.其中 A 是 A 的伴随矩阵 .220 15242.1 1 1,矩阵X 满足A X A 1设矩阵 A1 1 12 X ,111其中 A 是A 的伴随矩阵, 求矩阵 X .43. 求未知量的值，使 A B ，其中x 2 3 2z y z 6 Ax, B18zy 2.6 y2y6z（第二章．按定义，先列出联立方程组，再解出：x 11, y 9, z3. 要求会写出过程）知识点参看第 2 章 P51第 2章 P49a1a2a300144. 已知A P10b1b2b3P m,m N，其中 P010,求矩阵c1c2c3100A .（第二章．提示：P 是交换一、三行的初等矩阵, 矩阵左乘P10相当于交换 10次一、三行的位置，仍为原矩阵 .矩阵右乘 P m相当于交换 m 次一、三列的位置.故当 m 为奇数时, A 为原矩阵交换一、a3a2a1三列后的矩阵 , 即b3b2b1；当 m 为偶数时,A为原矩阵.）知c3c2c1识点参看第 2 章 P51第 2章 P490001000100 245. 设 n 阶行列式A1,求 A 中所有元素的0000n110000n代数余子式之和 .（第二章．提示 :A中所有元素代数余子式,即A其中 A是矩阵A的伴随矩阵.而 A A A 1中的所有元素 ,( n 1 ) ( n 2 ) ( 1)20001000100211,因此A中所有元素的代数n !0000n110000n( n 1) ( n 2 )余子式之和 , 即A中的所有元素之和为( 1)2n ( n1) .)知2 n !识点参看第 2章 P51第2章P4946. 已知A22E,B A22A2E,证明B可逆,并求B的逆矩阵.（第二章．提示：由已知条件可得B A 2 2 A A 3A(A 2E)(A E),而由A22E, 可推出A可逆，且A11A2；(A E)(A2 A E )E,即A E可逆,且2(A E)1 A 2 A E；由 A 38 E10 E,得(A 2E)( A22A 4E) 10E,所以A2E可逆,且(A 2E) 11( A22A 4E).于是B可逆,且可推出B11( A2 3 A4E).）1010知识点参看第2章 P51 第 2章 P4947. 已知 A , B均为三阶矩阵 ,且满足2A1B B4E ,其中E是三120阶单位矩阵 .试证明矩阵 A2E可逆.若已给B120 ,求出002矩阵 A.020A110.)002121148. 已知方程组11k x 2 无解，试求k的值 .5k8 34（第 3 章按定义，列出联立方程组 . 然后解方程组 . 可求出k0.要求会写出计算过程）. 知识点参看第 3 章 P83第3章P109 11049. 设α 2 ,β2, γ 2 , 若T Tαβ xβγ x3β,试求此方1k1程组的通解 .（解由于112kT2 1 2k24 2 k,αβ112k1021T2021042,βγk02k k故所给的线性方程组可改写为14k13282k2x 6 .12k 22k3k对其增广矩阵作初等行变换，使之化为阶梯形矩阵14k 1 314k13A28 2 k 2 6(r ) 0 2k 2k 1 3 k 3B.1 2 k 2 2 k 3k000014k 13当 k 1 时 ,此时 A可化为矩阵 B10213,易知0000r (A) r ( B1 ) 2 3 . 故线性方程组有无穷多解：x1k 13 x x2c113,其中 c为任意常数.x3221101423当 k 1 时 ,此时 A可化为矩阵 B20000,易知0000r (A)r ( B2 )1 3.故线性方程组有无穷多解：x1423 x x2c11c2 00,其中 c1 , c2为两个任意常数 .）x3010x y z1,50. 已知方程组2x(a3) y3z3,有无穷多解 , 试求a, b的取2x( a1) y b z a1值及方程组的解 .（第3章答案：当a0, b1, 方程组的通解为(0, 1, 0 ) T k( 0, 1, 1)T .当a1, b 2,则方程组的通解为(0, 0, 1) T k( 1, 1, 0 )T . 要说明理由）知识点参看第2章P51第2章 P4951. 设A,B都是n阶矩阵,且 A 2 A B E,求矩阵( AB BA 2A)的秩.（第 4 章答案：r( AB BA2A )=r(2 A) =r( A ) = n. ）知识点参看第 6 章 P150第 4章 P16852.已知向量组β10,β2a b与向量组1 2 ,31β110139有相同的秩，且β3可由α1,α2,α31236α 2 , α0 , α317线性表出，求 a , b的值.（第 4 章b5, a 15 .）知识点参看第4章P107第4章P16853.已知α是齐次线性方程组 A x = 0 的基础解系,其中12113aA =1, 求a的值.a1260（第 4章答案：因为 A是43矩阵,基础解系中仅有一个解向量α, 故3 r (A)1, 即 r (A ) 2. 而12112113a011, 可见a0. ）知识点参看第4章a1100a260004aP107第4章P1681 2 354. 已知矩阵 A = 0 4 a 中 a0 , 且齐次线性方程组A x = 0 有非1 a 9零解 . A *是 A 的伴随矩阵 , 试求齐次方程组 A * x = 0 的通解 .（第4章答案：因齐次方程 A x = 0 有非零解 , 故1 2 3A 0 4 a24 2 aa 2 0.于是a 6 或 a4.因 a 0, 故取1 a 9a4.因 r ( A ) = 2, 所以 r ( A * ) = 1. 于是齐次方程组 A * x = 0有 nr (A *)=3 12. 又因 A * A = A E = 0 ,所以矩阵 A 的列向量是齐次方程组A * x = 0 的解. 故 A *x =0 的通解为k 1 (1, 0, 1) T + k 2 (1, 2, 2) T .）知识点参看第 4 章 P107 第 4章 P16855.设A 是3 4矩阵, 秩 r ( A ) = 1, 若 α1(1,2,0,2)T ,α2( 1, 1, a, 5 )T , α3 ( 3, a, 3, 5 )T , α4( 1, 1, 1, a) T 线性相关 , 且可以表示齐次线性方程组 A x = 0 的任一解 , 求 A x = 0 的基础解系 . （第 4章答案：因设 A 是 34矩阵, 秩 r ( A ) = 1, 所以 A x = 0 的基础解系有nr ( A ) = 3 个解向量. 由此知向量组α1 , α2 , α3 , α4 的秩为 3, 且其最大线性无关组就是A x = 0 的基础解系 . 对矩阵1 12 11 12 1 2 1 a 1施行初等变换得 03 a4 1 , 0 a 3 1 0a 3 1 a 02 55a0 (a3) (a 4) 0当且仅当 a3, 4或 1 时，向量组 α ,α , α , α的秩为 3, 从而1234推出 α , α , α123是 A x = 0 的基础解系 .）知识点参看第 4 章 P107第 4 章 P16856. 已知向量组（I ） α1 (1, 3, 0, 5 ) T, α2 ( 1, 2, 1, 4 ) T, α3 向量组（ II ） β (1, 3, 6, 1)T , β ( a, 0, b, 2) T 等价， 1 2（第 4 章答案 a 1 , b 3.解法提示：由于 α1(1,1, 2, 53)T 与求 a , b 的值 .2 α α, 只需2 3考察 α αβ , β的互相线性表出问题 . 作初等变换：1,2与 121 1 1 a 1 1 1 a [ α1 α2β1 , β2 ]3 2 3 0 0 1 63a16 b 0 16b5 4 1 216 2 5a1 1 1 a0 1 63a.方程组 x 1α1 x 2α2 β2有解0 0 0 b 3a 00 2 2ab 3 a 0a 1, b3.即（II ）可由( I )线性表出的充分必22 a要条件是 a1 , b3.11 1 1 反之，当 a1 , b 3. 时1 ,2123 0 3 2, [ β β α α ]6 3 0 112 5 41 1 1 10 3 6 5 方程组1 1 221与1 12 22均有解 ,. x x x0 0 0ββαxββα0 0 0 0 0说明 (I )可由 (II )线性表出 , 所以 (I )与(II )等价时 , a 1 , b 3. )知识点参看第 4 章 P107 第 4章 P168（五）证明题57. 若已知a 1 0 0Aa 2,其中 a i0 ( i 1, 2,, n ) .0 0a n求证其逆矩阵100a11100.A a2001 a nn （证因为A a i 0,所以 A 1存在.又i1100a100a110a2000a2 E ,00a n001 a n100a1a1001000a20a2 E .00100a na n所以58.证明线性方程组100a11A 100. ）a2001a nx12x2x31,2x1x22x32, 无解3x1x23x3 4.1 2 11（证方程组的增广矩阵为A2 1 2 2 ,对A施行适当3 1 34的初等行变换，将其化成阶梯形矩阵，即A r2r1( 2)121112110500r2(1)0100 r3r1( 3)0501505011211r3r250100,0001会求出 A 与A的秩，从而知r ( A )r ( A ) .故方程组无解.）59.试证明向量 b = ( 3, 5, 6 )可以用向量a1(1, 0, 1) ,a2( 1, 1,1), a3( 0, 1, 1),线性表示，并写出表示式.（证按定义，设存在数x1 , x2 , x3 , 使得b x1a1x2 a2x3a3成立 . 为此，应解如下线性方程组x1 x23x2x35x1x2x3 6.x111容易求得此方程组的唯一解为x214x39 ,故有 b 11a114 a29a3 . ）60. 证明f ( x1, x2, x3) 3x12 6 x1x3x22 4 x2 x38 x32是正定二次型 .(证因二次型f ( x1, x2, x3) 的矩阵为303A01 2 .328会写出 A 的各顺序主子式，并验证皆大于零.故由赫尔维茨定理知 f ( x1 , x2 , x3 ) 是一个正定二次型. )61.设 A = [ a i j]是n阶矩阵,如果a i j> ∑ a i j, i = 1, 2, , n ,j≠i证明矩阵 A 的列向量 αj = [ a 1 j , a 2 j , , a n j ]T ( j = 1, 2, , n ) 线性无关 .(第 4章答案：可用反证法 . 若存在不全为零的数 k 1, k 2 , , k n , 使得k α+ k2 α ++ k n α0 , 然后，设k i = max{k 1 , k 2 ,, k n},1 12n =显然 k i > 0.由 k ≠ 0, 知α可以由其余n 1个 αiij 线性表出，且αk 1α1k i1αi 1k i 1 αi1k nαn. 那么 , 其第 i个分量就ik ik ik ik i满足关系式： a i ik 1a i 1k i 1 a i i 1 ki 1a i i 1k na i n .从而有k ik ik ik iai ik j ai jk j ai ja i j . 这与已知条件矛盾 , 所以jik ijik ij iα1, α2 , , αn 线性无关 . )62. 设 A 是 n 阶矩阵 , α α , , αA x = 0 的基础解1 ,2 t是齐次方程组系, 若存在 βi, 使 A β=α, i = 1, 2, , t ,证明向量组i iα , α,, α,β1, β2, , βt12t线性无关 .(第 4章答：若存在不全为零的数 k 1 ,k 2 , , k t , l 1 , l 2 , , l t , 使得k α+ k 2 α + + k α+ l β+ + l β =0 , （ 1）1 12tt1 1ttα = 0 , A β α , i = 1, 2, , t 代入 , 得用A 左乘上式, 并把Aii = il α+ l2α ++ l tα0 ,（ 2）112t =因 α1 , α2 , , αt 是齐次方程组 A x =0 的基础解系 , 它们线性无关, 故对（ 2）必有 l 1 = 0, l 2 = 0, l t = 0.（1）式 , 有k α+ k 2 α + + k α = 0, 即向量α , α, , α , β1, β2, , βt112tt12t线性无关 . )63. 设 A 是 m ×n 矩阵 ,对矩阵 A 做初等行变换得到矩阵B , 证明矩阵 A 的列向量与矩阵 B 相应的列向量有相同的线性相关性 .(第 4章证法提示：因经初等行变换由 A 可得到 B ,故存在初等矩阵 P 1, P 2 , , P k 使 P kP 2P 1A B . 把矩阵 A , B 写成列向量形式：A = [ α1 α2αn], B = [ β1 β2βn ] , P =k 21 则有PP PP [ α1 α2αn ] = [ β1 β2 βn ] , 于是 P αi = βi (i = 1,2, , n ). A 的x列向量 α , α ,, α线性相关[ αj, αj , , αjx 2 0有非零解]j 1j 2j k 12kx kxxP[ α , α ,, α x 2 0有非零解[ β ββ ]x 2]j 1j 2 j kj 1j 2j kx kx k有非零解B 的列向量 β ββ线性相关 .）j 1 j 2 j k64. 已知 A 是 n 阶矩阵 , 且矩阵 A 中各行元素对应成比例 .α , α, , α 是 A x = 0 的基础解系 , 而 β 不是 A x = 0 的解. 证 1 2 t明任何一个 n 维向量都可由 α , α, , α β 线性表出 . 1 2 t ,(第 4 章答案提示：因为矩阵 A 中各行元素对应成比例 , 故r ( A ) = 1, 因此 t = n1.因为 α α , , α 1 是 A x = 0 的基础解 1 ,2 n 系,故 α , α, , α 1线性无关 . 若1 2 nk α + k α + + k α 1 s ,1 12 2 用A 左乘 n 1 n , n 0 得 ,并把 αi =(i = 1, 2,1.）代入上式, As A β= 0. 由于 A β≠ 0, 故 s = 0, 于是k α+ k α + + k n 1αn 1 0.1122从而 k 1 = 0, k 2 = 0, ,k n 1 0, s 0, 即有 α, α, , α , 1 2 n 1线性无关，故知任一 n 维向量 γ必可由 α , α , , α, β线性表12t出. k 1 = 0, k 2 = 0, , k n 1 0, s 0, )65. 已知向量组 α , α, , α 线性无关 , 若12tβ= k α + k2 α + + k t α，1 12t其中至少有 k ≠ 0 , 证明用 β 替换 α 后所得向量组iiα , α, , α ， β, α , α12i - 1i + 1 ,t线性无关 .(第 4章答案提示：如果α+ α + + h i 1 α + h βh i1α + h t αh 1 1h 2 2i - 1i + 1t = 0.将已知条件 β=k α + k α ++ k α 代入 , 并整理有1 12 2tt( h 1 + h k 1 )α1 + (h 2 + h k 2 )α2 + + ( h i1h k i 1 )α+h k i αii - 1( h i 1 h k i 1 ) αi + 1 + ( h t h k t ) α = 0.t由于已知向量组 α , α, , α线性无关 , 故必有1 2 t( h 1 + h k 1 ) = 0 , (h 2 + h k 2 ) = 0, , ( h i 1 h k i 1 )0 ，h k i= 0， ( h i1h k i 1 ) 0,,( h t h k t ) 0.由于 k i≠ 0 ,h k i0 知 h0 ,进而必有h1= 0 , h2 = 0, , h t0.α ,α,, α，β,α, ,αt线性无关.)所以向量组12i - 1i + 1。