角的概念的推广yong_ppt课件(上课正式稿)
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角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)
探索研究 角的概念推广之后，利用转角给出60°+90°与90°-
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
《角概念的推广》课件
计算机视觉：用于图像识 别和跟踪
机器人技术：用于导航和 路径规划
机器学习：用于特征提取 和分类
Part Five
角的概念推广
角度的推广：极坐标系中的角度概念
极坐标系：以原点为中心，两个正交轴为极轴和极角轴 极角：从极轴正方向到直线与极轴的夹角 极角范围：0到360度 极角表示：用弧度或度数表示极角大小
添加标题
角的性质：对称性、周期性、可加 性等
角概念在现代科学中的应用和影响
几何学：角的概念是几何学的基础，用 于描述形状、位置和运动
计算机科学：角的概念在计算机科学中 用于描述图形、图像和动画
物理学：角的概念在物理学中用于描述 力、运动和能量
天文学：角的概念在天文学中用于描述 天体位置和运动
工程学：角的概念在工程学中用于设计、 制造和维护各种设备和系统
角概念的推广
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
目录
01 添 加 目 录 项 标 题
02 角 的 基 本 概 念
03 角 的 分 类
04 角 的 应 用
05 角 的 概 念 推 广
06 角 的 概 念 在 数 学 中 的发展历程
Part One
辐角θ，满足 θ=arctan(b/a)， 可以推广到更广 泛的数学领域。
角度的泛化：在向量空间中的角度概念
添加标题
向量空间中的角度概念：将平 面几何中的角度概念推广到向 量空间中，使得向量之间的夹 角可以定义为两个向量的余弦 值。
添加标题
向量空间中的角度计算：通过 计算两个向量的余弦值，可以 得出两个向量之间的夹角。
古埃及：最早 使用角的概念， 用于测量土地
《角的概念的推广》ppt课件
我们以前所学过的角都是大于0度，小于或等于360 度的角.
生活中很多实例不在0°～360°范围内. 像体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转
体1 080º.
本节课我们进一步研究更广泛的角.
地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？
角
这就是这节课我们所要学习的内容——角
1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点) 2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否 也可以推广?
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对 于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负 来表示.
任意角定义：
逆时针
注意角的
顺时针
旋转方向和 旋转量.
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任 负角：按顺时针方向旋转形成的角
意 角
零角：一条射线从起始位置OA 没有作任何旋转，终止位置OB与
角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
y
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限
o
x
象限角 1.角的顶点与原点重合; 2.角的始边重合于x轴的非负半轴; 则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第 几象限角.
象限角的图形表示
终边
y 终边
ⅡⅠ
x Ⅰ Ⅱ
O ⅢⅣ
始边 Ⅲ Ⅳ
终边
§2 角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作 角. 顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形叫作角.
B 终边
顶点
O
A 始边
2.角是如何度量的? 角的单位是度.规定:周角的 为1 1度的角.
生活中很多实例不在0°～360°范围内. 像体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转
体1 080º.
本节课我们进一步研究更广泛的角.
地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？
角
这就是这节课我们所要学习的内容——角
1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点) 2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否 也可以推广?
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对 于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负 来表示.
任意角定义：
逆时针
注意角的
顺时针
旋转方向和 旋转量.
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任 负角：按顺时针方向旋转形成的角
意 角
零角：一条射线从起始位置OA 没有作任何旋转，终止位置OB与
角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
y
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限
o
x
象限角 1.角的顶点与原点重合; 2.角的始边重合于x轴的非负半轴; 则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第 几象限角.
象限角的图形表示
终边
y 终边
ⅡⅠ
x Ⅰ Ⅱ
O ⅢⅣ
始边 Ⅲ Ⅳ
终边
§2 角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作 角. 顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形叫作角.
B 终边
顶点
O
A 始边
2.角是如何度量的? 角的单位是度.规定:周角的 为1 1度的角.
角的概念的推广yong(上课正式稿)精品PPT课件
1.如果 是第一象限角,那么 的取值
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果 是第一象限角,那么 是第几
2
象限角?
为更好满足学习和使用需求，课件在下载后 可以自由编辑，请根据实际情况进行调整
In order to better meet the needs of learning and using, the courseware is freely edited after downloading
并把 S中适合不等式 360720的元素
写出来：
（1） 6 0 ；（2） 21；（3）363 14．
三．终边相同角的表示方法： 所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k3 6 0 0 ,k Z
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
练习1:
( 1 ) . 把 1 4 8 5 0 化 成 k3 6 0 00 0 3 6 0 0 ,k Z
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
y
-3300 3900
300
x
o
300
=300+0x3600
3900=300+3600=300+1x3600
－3300=300－3600 =300－1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
角的顶点与坐标原点重合,角的始边
与x轴的正半轴重合，那角的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限角．
y
注B ：当角的终边
落在坐标轴上时，
它不属于任何象限.
它叫轴o线角. A
Ｏ
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果 是第一象限角,那么 是第几
2
象限角?
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并把 S中适合不等式 360720的元素
写出来：
（1） 6 0 ；（2） 21；（3）363 14．
三．终边相同角的表示方法： 所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k3 6 0 0 ,k Z
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
练习1:
( 1 ) . 把 1 4 8 5 0 化 成 k3 6 0 00 0 3 6 0 0 ,k Z
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
y
-3300 3900
300
x
o
300
=300+0x3600
3900=300+3600=300+1x3600
－3300=300－3600 =300－1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
角的顶点与坐标原点重合,角的始边
与x轴的正半轴重合，那角的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限角．
y
注B ：当角的终边
落在坐标轴上时，
它不属于任何象限.
它叫轴o线角. A
Ｏ
角的概念的推广PPT教学课件
C l2 此时 α＝R＝C－C2＝2.
2
C2 ∴当 α＝2 弧度时，扇形面积有最大值16.
【方法点评】 合理选择变量，把扇形面积表示出 来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不 同的方法求最值，这是解决问题的关键．
3．一个扇形的周长等于它所在圆的周长，那么这个 扇形的圆心角是多少？如果其半径等于 那么它的面积 等于多少？
【自主探究】 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t，
r＝ x2＋y2＝ (4t)2＋(－3t)2＝5|t|，
当 t>0 时，r＝5t，
y －3t 3
x 4t 4
sin α＝r＝ 5t ＝－5，cos α＝r＝5t＝5，
α 150°＋n·360°< 3 <180°＋n·360° 当 k＝3n＋2(n∈Z)时， 270°＋n·360°<α3 <300°＋n·360°.
α ∴ 3 是第一或第二或第四象限角．
扇形的弧长、面积公式的应用 已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的 弓形面积． (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时， 该扇形有最大面积？ 【思路点拨】 (1)利用弧长、面积公式求解；(2)把扇形 面积用α表示出来，或用弧长表示出来，然后求函数的最值． 【自主探究】 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
【解析】 设β＝2 010°＋k·360°(k∈Z)， 则当k＝－6时，β＝2 010°－2 160°＝－150°， 当k＝－5时，β＝2 010°－1 800°＝210°， ∴与2 010°终边相同的最小正角为210°，最大负角 为－150°. 【答案】 210° －150°
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初中角的概念:
顶点
O
B
角的边
A
把公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
2.我们初中学过那些角?它们的大小是多 少?
锐角:大于0度小于90度 钝角:大于90度小于180度 周角:等于360度 直角:等于90度 平角:等于180度
我们以前所学过的角都是大于0度小 于或等于360度的角，即 （0º , 360º ]
y
-3300 3900
300
x
o
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600 －3300=300－3600 =300－1x3600
与α终边相同的角的一般形式为
α＋K ·360°，K ∈ Z S={ β| β=α + K ·360° , K∈ Z}
300+2x3600 ,
y
B 注： 当角的终边
落在坐标轴上时， 它不属于任何象限. o 它叫轴线角 . A
Ｏ
x
口答：
说出以下角各属于第几象限：
(1). 450 (2). 300 1400 3900 -2300 -3300 3400
问：观察第(2)题各角有何特点？
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
【例1】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
150 （1） ；（2） 650 ；（3） 950 15' ．
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 S ，
360 720 并把 S 中适合不等式 的元素
写出来：
⑤.象限角为钝角的终边在的集合
用0 到360 的角表示
0 0
y
y
y
o
x
o
x
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
3、已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边 在（ ） A B y轴的非负半轴上 A x轴的非负半轴上
C x轴的非正半轴上
D y轴的非正半轴上
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k· 360º (k∈Z) } B {β|β=k· 180º (k∈Z) } C {β|β=k· 90º (k∈Z) } D {β|β=k· 180º +90º (k∈Z) }
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角 ） C
6、若α是第四象限角，则180º －α是（ A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（
363 14． （1） 60 ；（2） 21 ；（3）
三．终边相同角的表示方法：
所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k 360 , k Z
0
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
练习1:
(1).把 14850 化成k 3600 00 3600 , k Z 的形式是
3
为______________; 解：β=k· 360º +60º ，k∈Z. 所以
3
=k · 120º +20º ， k∈Z.
当k=0时，得角为20º ，
当k=1时，得角为140º ，
当k=2时，得角为260º .
例5：终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合．
Y Y
30
0
300 300
O
450
一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
一.正角、负角、零角：
把 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角； 把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角； 射线没有旋转时也把它看成角叫做零角。 如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°。
2100
-1500
二.象限角：
角的顶点与坐标原点重合,角的始边 与x轴的正半轴重合，那角的终边在第 几象限，就说这个角是第几象限角．
思考: 生活中的角是不是都在范围(00 ,3600 ]内
踺子后手翻转体180度接前直空翻540度——“程菲跳”
踺子后手翻转体180度直体前空翻转体900度——“李小鹏跳”
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 汽车在前进和倒车时，车轮转动的角度如 何表示才比较合理? 工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，转动的角 度如何表示比较合适? 角还可以看成平面内一条射线绕着端点从
0 0
A. 4 360 45
0
B. 4 360 315
0
0
0
C. 10 360 315
D. 5 360 315
0
0
(2).在直角坐标系中,判断下列各语句的真,假.
①.第一象限的角的一定是锐角; ②.终边相同的角一定相等; ③.相等的角终边一定相同; ④.小于900的角一定是锐角;
X
O
X
思 考:
1.如果 是第一象限角,那么 的取值
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果 是第一象限角,那么 象限角?
2
是第几
300+3x3600 ,
…,
300－2x3600
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形 式为300＋ K ·360° ，K ∈ Z
三．终边相同角的表示方法：
所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k 360 , k Z
0
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
A. β=α+90o
）D
B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z
D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
8、若90º <β<α<135º ，则α－β的范围是 (0º ,45º ) ，α+β的范围是___________; (180º ,270º ) __________
9、若β的终边与60º 角的终边相同，那么在 [0º ,360º ]范围内，终边与角 的终边相同的角
顶点
O
B
角的边
A
把公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
2.我们初中学过那些角?它们的大小是多 少?
锐角:大于0度小于90度 钝角:大于90度小于180度 周角:等于360度 直角:等于90度 平角:等于180度
我们以前所学过的角都是大于0度小 于或等于360度的角，即 （0º , 360º ]
y
-3300 3900
300
x
o
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600 －3300=300－3600 =300－1x3600
与α终边相同的角的一般形式为
α＋K ·360°，K ∈ Z S={ β| β=α + K ·360° , K∈ Z}
300+2x3600 ,
y
B 注： 当角的终边
落在坐标轴上时， 它不属于任何象限. o 它叫轴线角 . A
Ｏ
x
口答：
说出以下角各属于第几象限：
(1). 450 (2). 300 1400 3900 -2300 -3300 3400
问：观察第(2)题各角有何特点？
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
【例1】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
150 （1） ；（2） 650 ；（3） 950 15' ．
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 S ，
360 720 并把 S 中适合不等式 的元素
写出来：
⑤.象限角为钝角的终边在的集合
用0 到360 的角表示
0 0
y
y
y
o
x
o
x
o
x
y
y
y
o
x
o
x
o
x
3、已知α,β角的终边相同，那么α －β的终边 在（ ） A B y轴的非负半轴上 A x轴的非负半轴上
C x轴的非正半轴上
D y轴的非正半轴上
4、终边与坐标轴重合的角的集合是（ C ） A {β|β=k· 360º (k∈Z) } B {β|β=k· 180º (k∈Z) } C {β|β=k· 90º (k∈Z) } D {β|β=k· 180º +90º (k∈Z) }
5 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角 ） C
6、若α是第四象限角，则180º －α是（ A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
7、在直角坐标系中，若α与β终边互相垂直，
那么α与β之间的关系是（
363 14． （1） 60 ；（2） 21 ；（3）
三．终边相同角的表示方法：
所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k 360 , k Z
0
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
练习1:
(1).把 14850 化成k 3600 00 3600 , k Z 的形式是
3
为______________; 解：β=k· 360º +60º ，k∈Z. 所以
3
=k · 120º +20º ， k∈Z.
当k=0时，得角为20º ，
当k=1时，得角为140º ，
当k=2时，得角为260º .
例5：终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合．
Y Y
30
0
300 300
O
450
一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
一.正角、负角、零角：
把 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角； 把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角； 射线没有旋转时也把它看成角叫做零角。 如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°。
2100
-1500
二.象限角：
角的顶点与坐标原点重合,角的始边 与x轴的正半轴重合，那角的终边在第 几象限，就说这个角是第几象限角．
思考: 生活中的角是不是都在范围(00 ,3600 ]内
踺子后手翻转体180度接前直空翻540度——“程菲跳”
踺子后手翻转体180度直体前空翻转体900度——“李小鹏跳”
经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？ 汽车在前进和倒车时，车轮转动的角度如 何表示才比较合理? 工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，转动的角 度如何表示比较合适? 角还可以看成平面内一条射线绕着端点从
0 0
A. 4 360 45
0
B. 4 360 315
0
0
0
C. 10 360 315
D. 5 360 315
0
0
(2).在直角坐标系中,判断下列各语句的真,假.
①.第一象限的角的一定是锐角; ②.终边相同的角一定相等; ③.相等的角终边一定相同; ④.小于900的角一定是锐角;
X
O
X
思 考:
1.如果 是第一象限角,那么 的取值
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果 是第一象限角,那么 象限角?
2
是第几
300+3x3600 ,
…,
300－2x3600
300－3x3600
…,
与300终边相同的角的一般形 式为300＋ K ·360° ，K ∈ Z
三．终边相同角的表示方法：
所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k 360 , k Z
0
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
A. β=α+90o
）D
B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z
D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
8、若90º <β<α<135º ，则α－β的范围是 (0º ,45º ) ，α+β的范围是___________; (180º ,270º ) __________
9、若β的终边与60º 角的终边相同，那么在 [0º ,360º ]范围内，终边与角 的终边相同的角