一次同余方程的几种解法

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

2009年第3期 牡丹江教育学院学报 No 13,2009(总第115期)　J OU RNAL OF MUDANJ IAN G COLL EGE OF EDUCA TION Serial No 1115

[收稿日期]2008-12-22

[作者简介]原新生(1967-),男,河南林州人,安阳师范学院副教授,主要从事初等数论、高等数学的教学与研究.。

一次同余方程的几种解法

原　新　生

(安阳师范学院,河南安阳455002)

[摘　要]　介绍一次同余方程的几种解法,并比较它们的优劣,探讨不同情况下所应采用的不同方法,对解

一次同余方程具有一定的指导作用。

[关键词]　一次同余方程;解法;完全剩余系

[中图分类号]O151 [文献标识码]A [文章编号]1009-2323(2009)03-0115-01 定义1:设a ,b 为整数,m 是一个正整数且a ≠0(mod

m ),则称ax ≡b (mod m )为模m 的一次同余方程。

定义2:若x 0是使ax ≡b (mod m )成立的一个整数,则x ≡x 0(mod m )称为一次同余方程ax ≡b (mod m )的一个解。

定理:一次同余方程ax ≡b (mod m ),a ≠0(mod m )有解的充要条件(a ,m )|b,且有解时解数为(a ,m ).

一次同余方程的理论各初等数论教材都作了详细的论述(见[1]、[2]、[3]),但对它的具体解法介绍的较少。笔者在初等数论教学实践中,针对该方程总结了几种解法,并通过各种解法优劣的比较,探讨了在不同情况下所应采用的不同方法,这对学生学习初等数论,特别是解一次同余方程具有一定的指导作用。

方法一:验根法

由定义2可以看出,求一次同余方程ax ≡b (mod m )有几个解,有哪些解,只需取模m 的一个完全剩余系(如0,1,2,…,m -1)中的每一个数,将其代入同余方程中逐一验证,即可求出其全部解。

例:解同余方程6x ≡2(mod8)

解:取模8的最小非负完全剩余系0,1,2,…,7,分别代入同余方程6x ≡2(mod8)中知x =3,x =7满足同余方

程,故原同余方程的解为x ≡

3(mod8),x ≡7(mod8).分析:验根法需对模m 完全剩余系中的数逐一验证,因而当模m 比较小时适用于此法。

方法二:公式法

定理:若(a ,m )=1,则一次同余式ax ≡b (mod m )的解为:x ≡ba φ(m )-1(mod m ).

证明从略,详见文献[1]、[2]。例:解同余方程4x ≡10(mod15).

解:因为(4,15)=1,由上述定理可知,该同余方程的解为:x ≡10×4φ(15)-1≡10×47≡10(mod15).

分析:用上述公式求解一次同余方程可以直接代公式,这往往比较简单,但需要条件(a ,m )=1.若(a ,m )≠1,则需经适当的转换后才可使用。

例:解同余方程12x ≡30(mod45).

解:(12,45)=3|30故原同余方程有3个解。12x ≡30(mod45)化简得4x ≡10(mod15).

因为(4,15)=1,由公式法得4x ≡10(mod15)解为x ≡10(mod15)(注意不能说原同余方程解为x ≡10(mod15)),所以满足4x ≡10(mod15)即满足12x ≡30

(mod45)的所有整数为x =10+15t (t =0,1,2).

故原同余方程解为x ≡

10,25,40(mod45).方法三:利用二元一次不定方程

满足ax ≡b (mod m )的x 和满足二元一次不定方程ax -my =b 的x 相同,因而解ax ≡b (mod m )可利用二元一次不定方程ax -my =b 来求。

例:解同余方程12x ≡30(mod45).

解:先解不定方程12x -45y =30,即4x -15y =10.用观察法或辗转相除法可得其一组解为x 0=40,y 0=10.所以不定方程12x -45y =30的所有解为

x =40+15t

y =10+4t

t =0,1,2,….

满足12x ≡30(mod45)的所有整数为x =40+15t (t

=0,1,2,…

).故原同余方程的解为:x ≡10,25,40(mod45).

分析:用方法三没有m 较小及(a ,m )=1的限制,对所有的一次同余方程都适用,但有时求二元一次不定方程的一组特解较麻烦。

方法四:利用辗转相除法降模例:解同余方程12x ≡30(mod45).解:12x ≡30Ζ(mod45)Ζ45y ≡-30(mod12)Ζ3y ≡6(mod12)Ζ12z ≡-6(mod 3)Ζ0・z ≡

0(mod3).这表明最后一个同余方程有3个解z ≡0,1,2(mod3).逐次反向推导得关于у对模12有3个解:

y ≡6+12z -3

≡-2-4z (mod12) (z =0,1,2).

关于x 对模45有3个解:

x ≡30+45y 12≡30-90-180z 12

≡-5-15z (mod45)

(z =0,1,2).

即原同余方程解为:

x ≡-5,10,25(mod45).

分析:这种方法适用于所有一次同余方程,且如果方程无解,则在某一步可直接看出,不用求a 与m 的最大公约数。但要注意利用同余式性质化简同余方程时,若改变同余方程的模,则要注意方程的解数。

[参　考　文　献]

[1]闵嗣鹤,严士健.初等数论[M ].北京:高等教育出版社,1982.

[2]潘承洞,潘承彪.简明数论[M ].北京:北京大学出版社,1998.[3]单　墫.初等数论[M ].南京:南京大学出版社,2000.

[责任编辑:丛爱玲]

・

511・