数学建模之曲线拟合
曲线拟合,数学建模
e
1
或∞-范数
或
(x ) f (x ) e max i max ( xi ) f ( x i )
e
1
i 0
n
i
n
i 0
i
i
i
i
最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求 的2-范数
e
2
e
n 2 i i 0
2 2
1 2
2 n ( xi ) f ( x i ) i 0
x y
i 1 i
4
i
132.12985
将以上数据代入上式正规方程组,得
4a0 7.32a1 70.376 7.32a0 13.8434a1 132.12985
（2）多项式拟合
有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条
直线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项
式拟合。对于给定的一组数据 xi , yi , i 1,2,, N 寻求次数不超过m (m<<N ) 的多项式
插值:
拟合:
在节点处函数值相同.
在数据点处误差平方和最小
函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点 处函数值相同,即
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,, n) 而曲
线拟合函数 (x) 不要求严格地通过所有 ( xi , y i ) 就是说拟合函数 (x) 在xi处的偏差(亦称残差）
第5章 数值分析法建模
5.1 曲线拟合的最小二乘法
如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处
的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)
§4.常见的数学建模方法(1)---数据拟合(曲线拟合)法
实例. 找出基于下列数据的美国马萨诸塞州生产量、劳动力和投资之间变化的经
济增长模型（道格拉斯 Douglas 生产函数模型 ）
实例 3. 某研究所为了研究三种肥料氮, 磷, 钾对于土豆和生菜的作
用, 分别对每种作物进行了三组试验. 实验数据如下列表格所示, 其 中 ha 表示公顷 , t 表示吨 , kg 表示千克. 试建立反映施肥量与产量 关系的数学模型. 氮施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据
4
组数据应服 从的数学模型，如记 l - 1000 = l’ , l0 – 1000 = b, al0 = k , 则有 l’ = b + kt . 可以算得：
t 42.5,
2 ' t 8100 , l i i 1
4
(l 1000)
i 1
4
0.705,
' t l i i 34.6 i 1
§4. 常见的数学建模方法(1) --- 数据拟合（曲线拟合）法
在建立数学模型时,实际问题有时仅给出一组数据. 处理这类问题的 较简单易行的方法是通过数据拟合法求得 “最佳” 的近似函数式 --经验公式. 从几何上看就是找一条 “最佳” 的曲线, 使之和给定的 数 （ 1）决定经验公式的形式 . 根据所描绘的系统固有的特点 ,参照 据点靠得最近 , 即进行曲线拟合 . 根据一组数据来确定其经验公式 , 已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式 . 一般可 分为三步进行: 这一步是关键的一步. （2）决定经验公式中的待定参数 . 一般可用线性情况下的最小二 乘法 .它误差较小,适用于测定数据比较精确的情况.在使用最小二 乘法 时,如遇到数学模型是非线性经验公式时其中参数的待定,通
数学建模实验3-曲线拟合
%做出数据点和拟合曲线的图形
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r')
h=(y-z).^2;
disp('抛物线拟合函数的残差平方和')
Q=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]*h'
A = 0.4356 -9.3114 74.3258
A=polyfit(1./x,y,1)
%做出数据点和拟合曲线的图形
z=polyval(A,1./x);
plot(1./x,y,'k+',1./x,z,'r')
A =87.3300 18.1604
五、实验心得（质疑、建议）：
A =-8.0803 17.9488 0.5429
3.
x=[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11];
y=[58 50 44 38 34 30 29 26 25 24];
A=polyfit(x,y,1)
%做出数据点和拟合曲线的图形
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r')
湖南第一师范学院数学系实验报告
姓名：
学号：
专业：
数学与应用数学
班级：
课程名称：
线性规划与数学建模
实验名称：
曲线拟合
实验类型：
基础实验
实验室名称：
实验地点：
实A302
实验时间：
2016年5月17日
指导教师：
成绩评定：
一、实验目的与要求：
1、了解曲线拟合基本原理。
生长曲线拟合
生长曲线拟合
生长曲线拟合是一种数学模型，用于描述生物体在生长过程中不同阶段的生长速率和生长趋势。
常见的生长曲线包括Logistic曲线、Gompertz曲线、Richards 曲线等。
在这些生长曲线中，Logistic曲线是最常用的生长模型之一，因为它可以很好地描述生物体在生长过程中受到资源限制时的生长速率和生长趋势。
Logistic 曲线的公式如下：
y = (1 / (1 + e^(a - b*x)))
其中，y表示生长量，x表示时间，a和b是模型参数。
生长曲线拟合的过程包括以下步骤：
1. 收集实验数据：选择具有代表性的样本，记录其在不同时间点的生长数据。
2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和重复值，确保数据的质量和可靠性。
3. 数据转换：对数据进行适当的转换，使其符合模型假设条件。
4. 模型选择：根据数据的特征和问题的需求，选择合适的生长曲线模型。
5. 模型拟合：使用数学软件或编程语言，对选定的生长曲线模型进行拟合，得到模型参数的估计值。
6. 模型评估：根据拟合结果，评估模型的拟合优度和预测能力。
7. 模型优化：如果模型的拟合效果不理想，可以调整模型参数或选择其他模型进行优化。
8. 结果解释：根据拟合结果，解释生物体在不同时间点的生长速率和生长趋势，分析影响生长的因素。
9. 结果应用：将拟合结果应用于实际生产和研究中，为决策提供科学依据。
总之，生长曲线拟合是一种数学建模方法，可以帮助我们更好地理解生物体的生长规律和趋势，为实际生产和研究提供有价值的参考信息。
数学建模论文曲线拟合
医疗保障基金额度的分配信计1051 候武强200511921106摘要：合理地分配医疗保障基金，提高基金的利用率，扩大医疗保障受益人口是政府和企业面临的难题，而前提是构造出拟合曲线，分析拟合函数的拟合程度，从而为基金的调配以及各种分配方案做方向上的指导。
现有一集团公司为旗下有两个子公司A、B。
自1980－2003年的医疗费用支出都给定。
我们利用三种不同阶数的多项式数据拟合曲线分析曲线与原始数据的拟合程度。
此模型是依据大量数据而建立的，在充分调研的基础上，我们可将此模型推广到股票分析等应用领域。
关键词：最小二乘法阶数拟合程度医疗保障基金额度的分配一．问题的重述.某集团下设两个子公司：子公司A、子公司B。
各子公司财务分别独立核算。
每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。
过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。
各子公司各年度的医疗费用支出见下表。
试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。
需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。
二．问题的分析对于该问题，我们使用的是最小二乘法对离散的数据进行分析，阶数分别取1阶，2阶，4阶。
将年分，公司A,B的保障基金的数值分别构造成矩阵。
a=[8.28 8.76 9.29 10.73 10.88 11.34 11.97 12.02 12.16 12.83 13.90 14.71 16.11 ...16.40 17.07 16.96 16.88 17.20 19.87 20.19 20.00 19.81 19.40 20.48];b=[8.81 9.31 10.41 11.61 11.39 12.53 13.58 13.70 13.32 14.32 15.84 14.67 14.99 14.56 14.55...14.80 15.41 15.76 16.76 17.68 17.33 17.03 16.95 16.66];c=1980:2003;其中a是公司A的数值矩阵，b是公司B的数值矩阵，c是年份矩阵。
名词解释 曲线的拟合
名词解释曲线的拟合曲线的拟合是指通过一组已知的离散数据点，找到与这些数据点最匹配的数学函数曲线的过程。
它在许多领域有着广泛的应用，包括数学建模、统计学、机器学习和工程等。
曲线的拟合可以帮助我们理解数据之间的关系、预测未知数据点的值，以及寻找隐含在数据背后的规律和趋势。
在进行曲线的拟合之前，我们首先需要明确所使用的数据点以及期望的拟合函数类型。
常见的拟合函数包括线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等。
其中最简单的情况就是拟合一条直线，被称为线性回归。
而如果拟合的函数是一个高次的多项式，就被称为多项式拟合。
在实际应用中，我们根据数据的特点和需求选择合适的拟合函数类型。
曲线的拟合的关键在于确定拟合参数的取值，使得拟合函数与实际数据点尽可能地吻合。
我们使用拟合误差来衡量拟合的好坏。
拟合误差通常使用最小二乘法来计算，即将实际数据点到拟合函数曲线的距离平方求和最小化。
最小二乘法的优势在于能够将拟合误差平方化，避免正负误差相互抵消的情况产生。
在进行曲线的拟合过程中，我们可以使用一些常见的数学工具和算法。
例如，最小二乘法可以通过解线性方程组或最优化算法来求解最优拟合参数。
而在多项式拟合中，常常使用最小二乘多项式拟合，将实际数据点与多项式函数进行匹配。
此外，还有一些高级的拟合技术，如样条插值、非线性回归和神经网络等，可以在特定情况下提供更加精确和灵活的拟合结果。
曲线的拟合不仅仅是数学方法的应用，更是一门艺术。
在实际拟合过程中，我们需要不断地调整参数和拟合函数的选择，以寻找到最佳的拟合解。
拟合结果的质量取决于多个因素，包括数据的质量、调整参数的准确性，以及拟合函数的合理性等。
因此，拟合过程往往是一个经验丰富和反复试验的过程。
曲线的拟合还涉及到一些限制和问题。
例如，过度拟合是指拟合函数与实际数据点过于吻合，导致对未知数据的预测效果不佳。
解决过度拟合的方法之一是正则化，通过在拟合过程中引入惩罚项来控制模型参数的大小。
曲线拟合方法
曲线拟合方法曲线拟合方法是一种利用有限的数据点来拟合出一条最合适的曲线的数学技术。
它可以用来描述某一给定的实际场景或其他类型的复杂数据，从而获得较准确的曲线。
曲线拟合方法可以用于类似统计学、模式识别、算法实现等诸多领域。
一般来说，曲线拟合方法基于两个基本概念，即模型选择和参数估计。
模型选择是指选择能够最好描述给定数据的模型，而参数估计是指寻找出能使模型最好描述数据的参数。
这一类方法涉及的具体内容可以归纳为多元函数拟合，初等函数拟合，最小二乘法，最小均方法，最小二乘曲线拟合，加权最小二乘法，最大期望法，梯度下降法和计算流模型等，它们可以用数学公式和求解方法描述。
多元函数拟合是曲线拟合的常见方法，它是指利用多个变量来拟合出某一曲线。
即将函数拟合为具体的表达式形式，从而获得一个具体的拟合曲线。
这类方法通常采用最小二乘法来求解参数，从而获得拟合曲线。
初等函数拟合是曲线拟合中一种简单的方法，它是指使用初等函数（指一次函数、二次函数、三次函数等）来拟合给定的数据点，这些函数可以通过一定的规律参数来拟合数据点。
初等函数早在18世纪就发明了，它的正确率和准确率一直受到广泛赞扬。
最小二乘法是曲线拟合方法中最常用的算法之一，它是指在曲线拟合过程中基于最小二乘原理，对参数估计值进行优化。
注意，在使用最小二乘法时，最重要的是要保证拟合曲线的误差能够被最小化，从而能够得到尽可能最准确的结果。
最小均方法是曲线拟合方法中有效的数据模型估计方法，它是指用最小均方值来评估给定的参数，从而获得拟合曲线。
最小均方法与最小二乘法的基本思想相同，但其实现方法有所不同，例如它利用线性代数知识，从而可以计算出拟合曲线。
最小二乘曲线拟合是一种更加复杂的拟合方法，它是指用最小二乘法来拟合非线性的数据。
该方法利用最小二乘法求解参数，从而获得拟合曲线，因此曲线的拟合精度会更高。
加权最小二乘法是曲线拟合方法中有效的算法，它是指在曲线拟合过程中，对数值加权，以满足某些特定要求，并利用最小二乘法来估计参数值，从而得到更准确的拟合曲线。
数学建模曲线拟合例题
数学建模曲线拟合例题一、概述形象的说，拟合就是把平面上一系列的点，用一条光滑的曲线连接起来。
因为这条曲线有无数种可能，从而有各种拟合方法。
拟合的曲线一般可以用函数表示，根据这个函数的不同有不同的拟合名字。
1.名称：如果待定函数是线性，就叫线性拟合，否则叫作非线性拟合。
表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条插值。
2.区分：拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础方法，通俗意义上它们的区别在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
二、方法及应用我们手工求解时比较简便实用的方法是最小二乘法。
即下图所示：具体推导步骤如下：设拟合直线y=a+bx，有任意观察点（xi，yi）且误差为di=yi-(a+bxi)。
当D等于di平方的累加和取最小值时，直线拟合度最高。
而在matlab中数据拟合的原理是最小拟合也是运用了最小二乘原理，其中polyfit与polyval是最基本的拟合方法。
在实际运用中我们最常使用polyfit与polyval函数用来进行拟合求解。
polyfit函数用以拟合横、纵轴数据得到拟合多项式储存在p中，而polyval用于计算出每个横轴坐标x在拟合多项式p中对应的函数值。
三、例题【例题一】x从1到9，y为9，7，6，3，-1，2，5，7，20，运用polyfit 和polyval命令计算其多项式系数。
得结果多项式系数：P=0.1481-1.40301.85378.2698 y=0.1481x^3-1.4030x^2+1.8537x+8.2698图像如下所示：以下为预测出的部分数据。
结果说明：（1）p-最小二乘拟合多项式系数（向量）最优函数的多项式的各项系数应使得误差平方和S取得极小值。
（2）S-误差估计结构体（结构体）此可选输出结构体主要用作polyval函数的输入，以获取误差估计值。
（3）mu-中心化值和缩放值(二元素向量)中心化值和缩放值，以一个二元素向量形式返回，以单位标准差将x中的查询点的中心置于零值处。
数学中的曲线拟合
数学中的曲线拟合曲线拟合是数学中一种重要的数值分析方法，它主要用于研究数据点的关系，并通过建立适当的数学模型来预测未知数据或者分析数据间的相互影响。
在各个领域中，曲线拟合都扮演着重要的角色，从物理、生物到工程等多个学科都离不开曲线拟合技术的应用。
本文将简要介绍曲线拟合的基本概念、方法和实际应用。
一、曲线拟合概述曲线拟合是指通过建立数学模型，将数据点拟合在一条曲线上，在统计学中也称为回归分析。
在拟合过程中，我们试图找到最佳拟合曲线，使得所有数据点到拟合曲线的距离尽可能小，从而能够更好地描述数据间的规律。
常用的曲线模型包括线性回归、多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
二、曲线拟合方法1.线性回归线性回归是曲线拟合中最简单的一种方法，它假设数据点之间存在线性关系，即可以用一条直线来拟合数据。
线性回归的核心是最小二乘法，通过最小化实际观测值与拟合值之间的平方差来确定最佳拟合直线的斜率和截距。
2.多项式拟合多项式拟合是曲线拟合中常用的一种方法，它利用多项式函数来逼近数据点。
多项式拟合的核心是最小二乘法，通过最小化实际观测值与拟合值之间的平方差来确定最佳拟合曲线的系数。
多项式拟合可以根据数据点的特点选择合适的多项式阶数，从而更好地描述数据间的关系。
3.非线性拟合若数据点之间的关系不能通过线性函数或多项式函数来表示，就需要使用非线性拟合方法。
非线性拟合通过建立非线性模型来拟合数据点，常用的非线性模型包括指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性拟合通常需要借助数值计算方法，如最小二乘法、牛顿法或Levenberg-Marquardt算法等。
三、曲线拟合应用举例曲线拟合广泛应用于各个领域，以下举例说明其实际应用：1.物理学中的运动学分析物理学中，我们常常使用曲线拟合的方法来研究运动学问题。
通过对物体在不同条件下运动的轨迹进行拟合，可以得到运动的规律和物体的运动参数，如位移、速度、加速度等。
2.生物学中的生长模型生物学研究中，曲线拟合方法可以用于分析生物体的生长过程。
曲线拟合 经验和专业知识 概述及解释说明
曲线拟合经验和专业知识概述及解释说明1. 引言1.1 概述在科学研究和工程实践中，曲线拟合是一种常见的分析方法，它用于描述和预测数据集中的趋势。
曲线拟合通过选择适当的数学模型，并使用统计技术对模型参数进行估计，从而找到最佳拟合曲线。
1.2 文章结构本文将对曲线拟合涉及的经验和专业知识进行综述与解释。
首先，在第二部分我们将介绍曲线拟合的基本概念和定义，以及常见的曲线拟合方法。
接着，在第三部分我们将探讨曲线拟合在不同领域中的应用，并提供实例分析。
然后，在第四部分我们将介绍与曲线拟合相关的算法和数值计算技术，并讨论数值稳定性与误差分析方面的考虑。
最后，在第五部分我们将总结文章主要观点和研究成果，同时展望未来发展趋势和可能的研究方向。
1.3 目的本文旨在帮助读者了解曲线拟合所需的经验和专业知识，并为他们在实际问题中正确应用此方法提供指导。
我们希望通过介绍曲线拟合的基本概念、常见方法和实例分析，读者们能够深入理解曲线拟合在不同领域中的应用，并能够正确选择适当的数学模型和参数估计方法。
此外，我们还将讨论与曲线拟合相关的算法和数值计算技术，以及数值稳定性和误差分析方面的问题，帮助读者更好地理解这些技术并掌握其应用。
以上是“1. 引言”部分内容的详细清晰撰写，请参考。
2. 曲线拟合的经验和专业知识2.1 定义和基本概念曲线拟合是一种数学方法，它通过使用已知数据点来构建一个与这些数据最匹配的函数曲线。
在进行曲线拟合时，我们通常选择一个特定的函数形式（例如多项式、指数、对数等）来代表所要拟合的关系。
基本概念包括目标函数、误差函数和参数估计。
目标函数是需要找到的逼近实际数据的理论模型。
这个函数可以是多种形式，我们根据具体问题选择适当的函数类型。
误差函数是用来度量实际数据点与拟合曲线之间的偏离程度。
参数估计则是通过最小化误差函数来确定在所选模型中使用的参数值。
2.2 常见的曲线拟合方法在进行曲线拟合时，有几种常见的方法可供选择：- 最小二乘法：这是最常用且简单直观的方法。
数学建模曲线拟合模型
数学建模曲线拟合模型在数据分析与预测中，曲线拟合是一个重要的步骤。
它可以帮助我们找到数据之间的潜在关系，并为未来的趋势和行为提供有价值的洞察。
本篇文章将深入探讨数学建模曲线拟合模型的各个方面，包括数据预处理、特征选择、模型选择、参数估计、模型评估、模型优化、模型部署、错误分析和调整等。
一、数据预处理数据预处理是任何数据分析过程的第一步，对于曲线拟合尤为重要。
这一阶段的目标是清理和准备数据，以便更好地进行后续分析。
数据预处理包括检查缺失值、异常值和重复值，以及可能的规范化或归一化步骤，以确保数据在相同的尺度上。
二、特征选择特征选择是选择与预测变量最相关和最有信息量的特征的过程。
在曲线拟合中，特征选择至关重要，因为它可以帮助我们确定哪些变量对预测结果有显著影响，并简化模型。
有多种特征选择方法，如基于统计的方法、基于模型的方法和集成方法。
三、模型选择在完成数据预处理和特征选择后，我们需要选择最适合数据的模型。
有许多不同的曲线拟合模型可供选择，包括多项式回归、指数模型、对数模型等。
在选择模型时，我们应考虑模型的预测能力、解释性以及复杂性。
为了选择最佳模型，可以使用诸如交叉验证和网格搜索等技术。
四、参数估计在选择了一个合适的模型后，我们需要估计其参数。
参数估计的目标是最小化模型的预测误差。
有多种参数估计方法，包括最大似然估计和最小二乘法。
在实践中，最小二乘法是最常用的方法之一，因为它可以提供最佳线性无偏估计。
五、模型评估在参数估计完成后，我们需要评估模型的性能。
这可以通过使用诸如均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）和决定系数（R²）等指标来完成。
我们还可以使用诸如交叉验证等技术来评估模型的泛化能力。
此外，可视化工具（如残差图）也可以帮助我们更好地理解模型的性能。
六、模型优化如果模型的性能不理想，我们需要对其进行优化。
这可以通过多种方法实现，包括增加或减少特征、更改模型类型或调整模型参数等。
曲线拟合法
曲线拟合法
曲线拟合法是一种用于求解函数的统计学方法。
它可以利用已经收集到的数据，通过最小二乘法（Least Square Method）来求解该数据集所对应的函数，从而实现对数据和函数之间的拟合。
曲线拟合法主要用来估计定量数据的表达式，从而研究特定定性数据，如温度、压力等的变化规律。
该方法可以让我们更好地理解数据的特征，从而做出更好的决策。
曲线拟合法是一种基于样本数据的有效工具，它可以帮助我们更加准确地估计函数的形式。
它不仅能够对历史数据进行准确预测，而且可以用来探索定量数据变化的相关规律，从而更好地控制和平衡变量之间的关系。
曲线拟合法需要将被研究的函数表示为一个曲线，并使用最小二乘法来拟合该曲线。
在这个过程中，需要先把函数分解为一系列的函数部分，然后利用系数来表示它们之间的关系，最后再将这些系数拟合到原始函数上。
此外，曲线拟合法还可以用来估计和推断未知的数据。
它可以使用已知的数据来拟合函数，然后利用拟合函数来预测未知点的值。
这样，便可以获得更加准确的数据估计。
因此，曲线拟合法是一种有效的统计学方法，它可以帮助我们准确预测数据，并且能够发现和探索定量数据变化的规律。
曲线拟合在数学建模中的应用
曲线拟合在数学建模中的应用曲线拟合是数学建模中广泛应用的一种方法。
它是将一组数据点与一个函数进行比较，以确定两者之间的差异最小化的过程。
通过这种方法，可以得到一个公式来拟合数据，并预测未知数据点的值。
以下是曲线拟合在数学建模中的应用。
一、数据分析曲线拟合在数据分析中应用广泛。
当有大量数据要分析时，拟合数据可以使分析过程更简单和更准确。
例如，当研究人员想要分析消费模式时，他们可以使用曲线拟合来绘制数据点的图形，并查看其中的趋势。
通过拟合数据，他们可以预测未来趋势，做出合适的决策。
二、模式预测曲线拟合也可以应用于模式预测。
通过对历史数据进行曲线拟合，可以预测未来的走势。
例如，当股票市场行情不稳定时，投资者可以使用曲线拟合来预测市场的走势。
他们可以通过拟合过去几年的数据来预测未来的股票价格，并购买或出售相应的股票。
三、信号处理曲线拟合还可以应用于信号处理领域。
当需要处理包含各种噪声的信号时，进行曲线拟合可以消除噪声，提高信号的质量。
例如，在声波信号处理中，曲线拟合可以消除噪声，使得信号更加清晰、准确。
四、工程应用曲线拟合在工程应用中也有广泛的应用。
例如，在机械工程中，预测轴承寿命需要对轴承运行过程中的振动数据进行分析和处理。
这时可以使用曲线拟合，对振动信号进行处理，以预测轴承的寿命。
曲线拟合是数学建模中的重要工具。
它可以用于数据分析、模式预测、信号处理以及工程应用等多个领域，帮助人们处理和分析大量数据，以提高决策的准确性和效率。
数学建模matlab拟合
1）编写M-文件 curvefun2.m
cdata和tdata是已知参数，故应 将cdata tdata的值写在
function f=curvefun2(x) curvefun2.m中
tdata=100:100:1000;
cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,
已已已已已 10
25
已已已已已 20
15
已已已已已已已
linest
10
5
0
0
2
4
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18
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nearest
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25
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已已已已已 20
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5
0
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4
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10
12
14
16
18
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曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
1. lsqcurvefit
已知数据点： xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），
ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）
lsqcurvefit用以求含参量x（向量）的向量值函数 F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F（x，xdatan））T 中的参变量x(向量),使得
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拟合与插值的关系
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这 就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
numpy 曲线拟合
numpy 曲线拟合摘要：1.简介2.numpy 库介绍3.曲线拟合方法4.示例5.结论正文：umpy 是一种用于数值计算的Python 库，它提供了许多高效的数学函数和数据结构。
在数据分析中，曲线拟合是一项常见的任务，用于根据一组数据点描绘出一条曲线，以便更好地了解数据之间的关系。
numpy 库提供了多种曲线拟合方法，可以满足不同场景的需求。
首先，我们需要导入numpy 库，并准备要拟合的数据。
以下是一个简单的示例：```pythonimport numpy as np# 生成示例数据x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])y = np.array([1, 3, 2, 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10])```1.简介曲线拟合是数学建模中的一个重要环节，它可以帮助我们了解数据之间的内在关系。
在实际应用中，拟合的曲线类型有很多种，比如线性、二次、指数等。
numpy 库提供了多种拟合方法，如polyfit、legendre、chebyshev 等。
2.numpy 库介绍umpy 库中提供了许多用于曲线拟合的函数。
以下是一些常用的拟合方法：- polyfit：用于多项式拟合。
可以拟合一维数据的多项式，支持线性、二次、三次等。
- legendre：用于Legendre 多项式拟合。
可以拟合一维数据，支持线性、二次、三次等。
- chebyshev：用于Chebyshev 多项式拟合。
可以拟合一维数据，支持线性、二次、三次等。
- spline：用于spline 插值拟合。
可以拟合一维和二维数据，支持线性、二次等。
3.曲线拟合方法下面我们通过一个简单的示例来展示如何使用numpy 进行曲线拟合。
```python# 使用polyfit 进行多项式拟合p = np.polyfit(x, y, 2) # 拟合二次多项式poly_func = np.poly1d(p) # 生成多项式函数# 使用legendre 进行Legendre 多项式拟合legendre_p = np.polynomial.legendre.legfit(x, y, 2) # 拟合二次Legendre 多项式legendre_func = np.polynomial.legendre.Legendre(legendre_p[0], legendre_p[1]) # 生成Legendre 多项式函数# 使用chebyshev 进行Chebyshev 多项式拟合chebyshev_p = np.polynomial.chebyshev.chebfit(x, y, 2) # 拟合二次Chebyshev 多项式chebyshev_func =np.polynomial.chebyshev.Chebyshev(chebyshev_p[0], chebyshev_p[1]) # 生成Chebyshev 多项式函数```4.示例通过上述方法，我们可以得到不同类型的拟合曲线。
曲线拟合及变量关系建模探讨
曲线拟合及变量关系建模探讨曲线拟合是一种常见的数学方法，用于寻找一条曲线来拟合给定的离散数据点。
通过使用拟合曲线来描述数据之间的联系，我们能够更好地理解数据的变化趋势，并预测未来的值。
在本文中，我们将探讨曲线拟合的原理和方法，并尝试建立变量之间的数学模型。
首先，让我们简要介绍曲线拟合的原理。
曲线拟合的目标是找到一条曲线，使得该曲线与给定的数据点之间的误差最小化。
常见的曲线拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合和非线性拟合等。
最小二乘法是一种常见的线性拟合方法，通过最小化数据与拟合曲线之间的残差平方和来确定最佳拟合曲线。
多项式拟合则使用多项式函数来拟合数据，可以通过增加多项式的次数来增加模型的复杂度。
非线性拟合适用于无法通过直线或多项式来拟合的数据，可以使用曲线或其他非线性函数来逼近数据。
接下来，我们将讨论变量之间的关系建模。
在建立数学模型时，我们希望能够找到变量之间的数学关系，以便进行预测和分析。
变量关系建模的方法包括线性回归、逻辑回归和神经网络等。
线性回归用于建立线性关系模型，适用于连续的数值变量。
逻辑回归则适用于建立离散的分类模型，能够预测事件发生的概率。
神经网络是一种较为复杂的模型，能够学习和逼近非线性关系。
通过选择合适的模型和算法，我们能够更准确地进行变量关系建模和预测。
在实际的应用中，曲线拟合和变量关系建模都得到了广泛的应用。
在自然科学领域，曲线拟合常被用于描述和预测物理过程、经济变量等。
例如，通过拟合数据点到指数函数，我们可以推断放射性物质的衰减规律。
在社会科学领域，变量关系建模常用于分析和预测社会经济现象。
例如，通过建立经济增长率与人口增长率的数学模型，我们能够预测未来的经济发展趋势。
除了应用领域，曲线拟合和变量关系建模还具有一些局限性。
首先，数据的选择和采样过程会对模型的拟合效果产生影响。
不准确的数据采样会导致拟合结果的不准确性。
其次，模型的选择和参数估计也会影响拟合结果的准确性。
不合适的模型选择或参数估计会导致模型过于简单或过于复杂，从而影响拟合结果的可靠性。
数学建模之曲线拟合
14 0.687 0.691
17 0.64 0.638
27 0.493 0.488
31 0.44 0.439
c=1.003819exp(-0.02669t)
c,t 关系图 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 t 30 40 系列1 系列2
c
c, t¹ Ø Ï µ Í ¼ 1
© ¨mol/L£ c£
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 t£ ¨min£ ©
3
µ Á Ï Ð 1
30
40
Ⅱ、选 y
1 型试探，将曲线变直，这时 ax b
y=1/cA x=t 算得 1/cA 为：
T 1/cA 2 1.005 5 1.018 8 1.28 1/cA~ t 数表 11 14 1.335 1.445 17 1.568 27 2.028 31 2.273 35 2.507
1
在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表， 试作出其经验方程。 浓度随时间的变化关系 2 5 8 11 14 17 27 31 时间 t(min) 浓度 cA 0.948 0.879 0.813 0.749 0.687 0.640 0.493 0.440 (mol/L)
35 0.391
Ⅰ、首先将实验数据 t~cA 作图，图像表明，这是一条曲线，不是 y=a+bx 型直线，因此，对照样板曲线重新选型。
lnc， lnt 关系图 0 -0.2 0 1 2 3 4
lnc
-0.4 -0.6 -0.8 -1 lnt 系列1
作 lnc ~lnt 的图，发现原来的曲线不但没变直，反而更加弯曲了。说明这 个类型的经验公式更不适合了。
Ⅳ、又重新选型，选用 y=aebx 型，再试探 y=lncA x=t
数学建模曲线拟合
曲线拟合摘要根究已有数据研究y关于x的关系，对于不同的要求得到不同的结果。
问题一中目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小，利用MATLAB中tlsqcurvefi函数在最小二乘法原理下拟合出所求直线。
问题二目标为使绝对偏差总和为最小，使用MATLAB中的fminsearch函数，在题目约束条件内求的最优答案，以此方法同样求得问题三中最大偏差为最小时的直线。
问题四拟合的曲线为二阶多项式，方法同前三问类似。
问题五为求得最佳的曲线，将之前的一次曲线换成多次曲线进行拟合得到新的结果。
经试验发现高阶多项式的阶数越高拟和效果最好。
)关键词：函数拟合最小二乘法线性规划|<￥一、问题的重述已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下：（1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。
目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
（2）求拟合以上数据的直线a bx y +=，目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。
（3）求拟合以上数据的直线，目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的最大偏差为最小。
（4）求拟合以上数据的曲线a bx cx y ++=2，实现（1）（2）（3）三种目标。
}（5）试一试其它的曲线，可否找出最好的？二、问题的分析对于问题一，利用MATLAB 中的最小二乘法对数据进行拟合得到直线，目标为使各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
对于问题二、三、四均利用MATLAB 中的fminsearch 函数，在题目要求的约束条件下找到最佳答案。
对于问题五，改变多项式最高次次数，拟合后计算残差，和二次多项式比较，再增加次数后拟合，和原多项式比较残差，进而找到最好的曲线。
~三、基本假设1.表中数据真实可信，每个点都具有意义。
四、模型的建立与求解1.问题一 ：对给定数据点(){}),,1,0(,m i Y X i i =，在取定的函数类Φ 中，求()Φ∈x p ，使误差的平方和2E 最小，()[]22∑-=i i Y X p E 。
不均匀分布数学建模拟合曲线
不均匀分布数学建模拟合曲线
不均匀分布数学建模是指利用数学模型来描述和分析不均匀分布数据的特征和规律。
一种常见的曲线模型用于拟合不均匀分布数据是非线性回归模型。
非线性回归模型可以通过最小二乘法来进行参数估计和模型拟合。
具体步骤如下：
1. 根据不均匀分布数据的特点选择合适的非线性函数模型，比如指数函数、对数函数、幂函数、多项式函数等。
2. 根据选择的非线性函数模型设定待估计的模型参数。
3. 根据最小二乘法原理，构建估计函数和目标函数。
4. 对目标函数进行最小化求解，得到模型参数的估计值。
5. 使用估计的模型参数对曲线进行拟合，得到拟合曲线。
6. 利用拟合曲线对不均匀分布数据进行预测和分析。
需要注意的是，选择合适的非线性模型需要根据具体问题进行判断和调整。
在模型拟合时，还要考虑模型的拟合效果和参数的稳定性，避免过拟合和欠拟合问题。
实际应用中，不均匀分布数据的数学建模还可以采用其他方法和技术，比如核密度估计、样条函数拟合、混合模型等。
根据
具体问题的特点选择合适的建模方法和技术，进行数学建模和模型拟合。
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1/c， t 关系图 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 10 20 t 30 40
1/c
系列1
Ⅲ、再选用 y=axb 型作试探，将此曲线变直 y=lncA x=lnt 算得：
Lnt lncA 0.693 -0.053 1.61 -1.09 2.08 -2.07 lncA ~lnt 的数表 2.84 2.64 -0.289 -0.375 2.83 -0.446 3.296 -0.707 3.434 -0.821 3.555 -0.939
第4章 曲线拟合
• 在化工实验数据处理中，我们经常会遇到 这样的问题，即已知两个变量之间存在着函数 关系，但是，不能从理论上推出公式的形式， 要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之 间的函数关系。 • 二元溶液的溶解热与浓度的函数关系 • 反应物的浓度与反应时间的函数关系 • 做散点图，选经验方程，曲线变直，相关 系数对比，求出常数
相关系数 c， t r2 r 0.98803
1/c,t
lnc,lnt
lnc,t 0.9997
0.9849 0.85446
0.994 0.99242 0.92437 0.99985
t c c计算
2 0.948 0.952
5 0.879 0.878
8 0.813 0.811
11 0.749 0.748
lnc， lnt 关系图 0 -0.2 0 1 2 3 4
lnc
-0.4 -0.6 -0.8 -1 lnt 系列1
作 lnc ~lnt 的图，发现原来的曲线不但没变直，反而更加弯曲了。说明这 个类型的经验公式更不适合了。
Ⅳ、又重新选型，选用 y=aebx 型，再试探 y=lncA x=t
lnc， t 关系图 0 -0.2 0 10 20 30 40
14 0.687 0.691
17 0.64 0.638
27 0.493 0.488
31 0.44 0.439
c=1.003819exp(-0.02669t)
c,t 关系图 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 t 30 40 系列1 系列2
c
lnc
-0.4 -0.6 -0.8 -1 t 系列1
作 t ~lncA 的图， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从 cA=aebt 型经验方程。 对照一级反应动力学的积分式： c=cA0e-kt 说明我们所作的结果，事实上证明了这个液相反应是一级反应， a 相当于反应物 A 的初始浓度 cA0。 b 相当于反应速率常数 k。
确定方程式的常数，相关系数对比
t lnc
2 -0.0534 b
5 -0.129 a
8 -0.207 exp(a)
11
14
17
27
31 -0.821
35 -0.939
-0.289 -0.3754 -0.4463 -0.7072 lnc=a+bt
-0.0267 0.00381 1.00382 c=exp(a+bt)=exp(0.003812-0.02668t)=1.003819exp(-0.02669t)
c, t¹ Ø Ï µ Í ¼ 1
© ¨mol/L£ c£
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 t£ ¨min£ ©
3
µ Á Ï Ð 1
30
40
Ⅱ、选 y
1 型试探，将曲线变直，这时 ax b
y=1/cA x=t 算得 1/cA 为：
T 1/cA 2 1.005 5 1.018 8 1.28 1/cA~ t 数表 11 14 1.335 1.445 17 1.568 27 2.028 31 2.273 35 2.507
1
在某液相反应中，不同时间下测的某组成的浓度见下表， 试作出其经验方程。 浓度随时间的变化关系 2 5 8 11 14 17 27 31 时间 t(min) 浓度 cA 0.948 0.879 0.813 0.749 0.687 0.640 0.493 0.440 (mol/L)
35 0.391
Ⅰ、首先将实验数据 t~cA 作图，图像表明，这是一条曲线，不是 y=a+bx 型直线，因此，对照样板曲线重新选型。