第8章 Z变换及其离散时间系统的Z域分析

第8章Z变换及其离散时间系统的Z域分析学习目标了解z变换与拉氏变换之间的联系掌握不同序列收敛域的特点熟练掌握基本信号的z变换及其基本性质熟练利用基本信号的z变换和基本性质求解信号的变换式熟练掌握求逆变换的部分分式展开法、长除法掌握周期信号的z变换及其逆变换的求解方法理解并掌握系统函数的概念及其4种求解方法掌握利用系统函数零极点分析系统的稳定性掌握系统函数与系统框图之间的对应关系重点定义式的透彻理解基本性质的灵活应用周期序列的z变换由系统函数零极点分析系统特性系统函数、差分方程、冲激响应及系统框图之间的内在联系难点周期序列的z变换由系统函数零极点分析系统特性H z画出系统的仿真框图和信号流图根据()8.1 Z 变换的定义8.1.1 Z 变换的基本定义1. Z 变换的定义对于给定的离散时间信号，Z 变换定义：()nn F z f n z ∞-=-∞=∑（）简记为：[]()[()]Zf n F z Z f n ←−→=2112()21012F z f z f z f f z f z ---=+-+-++++（）（）（）（）（）当0n <时，它是 z 的正幂级数；而当0n >时，它是 z 的负幂级数。

牢记这个特征，对今后的学习是很有帮助的。

对一些简单的序列，我们可以利用这个特征直接写出其变换式。

例题：()2(3)3(2)4(1)3()2(2)f n n n n n n δδδδδ=+++++++- 则该序列的Z 变换式为322()[()]()23432nn F z Z f n f n z z z z z ∞-=-∞-===++++∑由此也可以看到， Z 变换是由各个样点序列值的Z 变换之和组成，每个样点的序列值都对应一个 Z 变换。

如果()f n 是右边序列，又称为因果序列。

则：单边Z 变换：0()()nn F z f n z∞-==∑，简记为：()()Zf n F z ←−→Z 变换和拉普拉斯变换之间的关系，可以利用采样信号拉普拉斯变换说明如下： ()()()()()s n n f nT f t t nT f nT t nT δδ+∞+∞=-∞=-∞=-=-∑∑()()snTs n F s fnT e +∞-=-∞=∑ 令sTz e =，T=1,则()()ns n F z f n z+∞-=-∞=∑定义表明：Z 变换()F z 是关于复变量z 的幂级数。

2. Z 变换的收敛域能使某一序列f(n)的Z 变换∑∞-∞=-=n nzn f z F )()(级数收敛的Z 平面上Z 值的集合，称为F(z)的收敛域，简记为ROC 。

在零极点+收敛域图中，通常用阴影部分表示。

ROC 存在条件∞<=∑∞-∞=-M z n f n n |)(|，即绝对可和，可见，ROC 只与Z 的模z r =有关。

有限长序列的Z 变换收敛域在Z 平面上Z 值的集合；0z ≥无限长右边序列的Z 变换收敛在Z 平面上某半径为园的园外的集合；z a ≥ 无限长左边序列的Z 变换收敛在Z 平面上某半径为园的园内的集合；z a < 双边序列，收敛域是一个圆环。

注意收敛域不能包含极点。

8.1.2 常用信号的Z 变换及其收敛域1. 单位脉冲序列()n δ()[()]()1nn F z Z n n zδδ∞-=-∞===∑收敛域为：||0z ≥2.指数序列()f n收敛域为：||z a >收敛域的图示可以在收敛域为：||1z >3.单位阶跃序列()()f n n ε=11()11n n zF z z z z ∞--====--∑ 4.矩形脉冲序列()N R n11()1Nnn z F z zz -∞--=-==-∑ 8.2 Z 变换的基本性质下列性质的前提条件为R ROC z F n f Z=−→←),(][，111),(][R ROC z F n f Z=−→←，及222),(][R ROC z F n f Z =−→←（1）线性：2122112211),()(][][R R ROC z F a z F a n f a n f a Z=+−→←+ （2）时移特性：若()()()f n n F z ε←−→则：()()()mf n m n m z F z ε---←−→， 1()()()m Z mnn f n m z F z f n m zμ---=-←−→+-∑时移特性举例说明：1()()()m Zmn n f n m z F z f n m z μ---=-←−→+-∑，()()()m f n m n m z F z ε---←−→ 时移特性不再给予证明。

举例说明如下：则：123()()3456Zf n n z z z ε---←−→+++ 2123(2)(2)(3456)Z f n n z z z z ε------←−→+++而12123(2)12(3456)Zf n z z z z z ------←−→+++++}{()1,2,3,4,5,6f n =0n =}{(2)0,0,1,2,3,4,5,6f n -=0n =由此可得：1221(2)(2)(1)()()(1)(2)Zf n f f z z F z z F z f z f -----←−→-+-+=+-+- 1(1)()(1)Z f n z F z f --←−→=+-思考一下：什么A 情况()f n m -与()f n Z 变换相等？计算{}()3,2,1,3,2,1,3,2,1,f n =的Z 变换其周期为3N =一般的，周期信号的Z 变换可表示为：111112101()()()(2)(3)....()....()(1........)()()1nN N kN k Nf n f n f n N f n N f n N f n kN F z z z z F z F z z ---=-=+-+-+-+-+=+++++=-∑对于{}1()1,2,3f n =，3N =,121()123F z z z --=++123123()1z z F z z ---++=-思考一下：某信号的Z 变换为234135()1z z F z z---++=-， 则：对应{}()1,0,3,5,1,0,3,5,f n =，对吗？（3）Z 域尺度变换特性：[](),Z n za a f n F ROC a R ←−→=。

（4）Z 域微分特性：R ROC z n nf dz z dF Z =-−→←,][)(（5）卷积特性：212121),()(][][R R ROC z F z F n f n f Z=−→←*()f n 1n32132302142-3-4-1-1231235-6-5（6）序列求和：若()()f n F z ↔，则()nk f k =↔∑()1zF z z - 原因：()()()nk f k f n n ε==*∑（7）初值与终值定理：初值定理：若()()f n F z ↔，则(0)lim ()z f F z →∞=初值由z 变换定义很容易看出。

但，一定注意()F z 必须存在。

终值定理： 1()lim(1)()z f z F z →∞=-例题：求下列信号的单边z 变换 （1）1,2,0,1,2,3()0,21,0,1,2,3n k k f n n k k ==⎧=⎨=+=⎩答案：21()1F z z -=- （2）(1)()nkk f n k =--∑ 答案：1()()1F z F z z-=+（3）答案：1234()34567F z z z z z ----=++++ （4）0()23nk n k k y n -==*∑答案：()23z zF z z z =--，3z ≥（5）02()()3()k nk k k y n k εε==∑答案：()213z zF z z z =--，23z ≥}{()1,2,3,4,5,6,7f n =0n =8.2信号的单边Z 反变换信号的单边Z 反变换主要有三种方法 留数法幂级数展开法 部分分式展开法一 Z 反变换幂级数展开法（长除法）101()()()(1)(0)(1)()nn n n F z f n zf n z f z f z f z f n z ∞---=-∞==+-++-+++++∑，可见：每一项中nz -的系数就是()f n 。

例题：求()3zF z z =-，3z ≥，反变换()f n 解答：3()133z F z z z ==+-- 123()13927.....3zF z z z z z ---==++++-故()f n ={1,3,9,27,......}这种方法优点是比较简便、直观， 缺点是不易得到()f n 闭式解。

实际上，本题的()3()nf n n ε=例题：求23231()52z z F z z z z ++=+++，z R ≥，反变换(0)f 长除法可以比较容易的得到(0)0f =。

通过本题要求学生一定要有这样的意识！二 部分分式法进行Z 反变换1. 有理真分式，分母多项式无重根111)(-=-=∑z p r z F i ini各部分分式的系数为ip z i i z F z p r =--=)()1(12．有理真分式，分母多项式在z =u 处有m 阶重极点12139z z --+++3z -z3z -3139z --19z -12927z z ---227z -11()(1)mAz BF z pz --+=- 重根各部分分式的系数求解如下：121111()(1)(1)(1)mm m K K K F z pz pz pz ----=+++---11(1)()l z pK pz F z -==-121d (1)()1d mz pK pz F z z-=⎡⎤=-⎣⎦21321d (1)()12d mz pK pz F z z-=⎡⎤=-⎣⎦...................m-1111d (1)()(1)!d mm z pm K pz F z m z-=-⎡⎤=-⎣⎦-3．假分式（应化为真分式）注意，由于单边z 变换是从z=0开始的，故()F z 假分式分子最高次幂不会超过分母最高次幂，最多等于分母最高次幂。

例题：4,)()41)(31)(21(1111>=------z z F z z z ，求][n f解：4,)(111111418319212413121>++=++=-------------z z F z z z z C z B z A ][]483922[][n u n f n n n ⨯+⨯-⨯=例题：234(),2z zF z z +=>，求()f n解答：遇到分母可以提出z 的情况，先提出一个z(34)(34)()(1)(2)(1)(2)12z z z A B F z z z z z z z z z ⎡⎤++⎡⎤===+⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦710()12F z z z z -⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦()(1027)()n f n n ε=⋅-例题：234(),2z F z z +=>，求()f n234(1)(2)(1)(2)()3z Az Bz z z z F z ++----==+711()(1)7z A F z z -==-==- 2()(2)16z B F z z ==-=1()3()[1627](1)n f n n n δε-=+⋅--读者可以利用长除法验证()f n 前两项(0)3,(1)1f f ==的正确性。