1952年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

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1952全国高考数学试题及答案

1952年全国高考数学试题第一部分1.分解因式:x4-y4=.(x-y)(x+y)(x2+y2).2.若log102x=2log10x,问x=. 2.-1.±3.5.-246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸15.8.正十边形的一内角是度.144°9.祖冲之的圆周率π=.10.球的面积等于大圆面积的倍.10.4.11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.11.12π.12.正多面体有种,其名称为.5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.14.方程式tan2x=1的通解为x=.15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高=.16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.3.17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为.x+y+1=0.18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为.x2+y2-6x-8y=019.原点至3x+4y+1=0之距离=.20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为.(1,-3)第二部分注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.2,-6,ω,ω2.2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？A,B,C皆为锐角。

4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.。

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

1952年高考数学题

选择题：
1. 若直线L：ax - 2y + 5 = 0与圆C：x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0相切，则a的值为：
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
2. 设a是一个正整数，已知等差数列{an}满足a1 = 3，a2 = 7，an = (a - 1) + an-1，且a100 = 299，则a的值为：
A. 20
B. 21
C. 18
D. 19
3. 已知函数f(x) = ax^2 - bx + c 的图像与x轴只有一个交点，则下列说法正确的是：
A. a > 0，b > 0
B. a > 0，b < 0
C. a < 0，b > 0
D. a < 0，b < 0
填空题：
1. 在平面直角坐标系中，若直线L1：y = kx + 3与直线L2：y = -2x + 5平行，则实数k的值为__。

2. 若a是一个正整数，且等比数列{an}满足a1 = 2，a3 = 6，an = a^2 * an-1，求a10的值__。

3. 将一个数字的个位数和十位数颠倒，所得到的新数比原数小36，求这个两位数的个位数和十位数的和__。

应用题：
1. 某商店购进一批衣服，进货价总共12000元。

商店以每件衣服400元的价格出售，为了赚取30%的利润，商店需要卖出多少件衣服？
2. 甲、乙两条水管共同注满一个水池，如果甲管单独注满水池需要3小时，乙管单独注满水池需要5小时，当两条水管同时注满水池时，需要多少小时？
3. 小明在银行存了1万元，年利率为5%，每年结算一次，如果不取出任何钱，10年后他一共可以获得多少利息？。

1952年全国高考数学试题及其解析

1952年全国高考数学试题及其解析数学试题分两部分第一部分注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.例题:若2x-1=x+3,则x= 4 .本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.1.分解因式:x4-y4= .2.若log102x=2log10x,问x= .5.6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸.8.正十边形的一内角是度.9.祖冲之的圆周率π= .10.球的面积等于大圆面积的倍.11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.12.正多面体有种,其名称为 .14.方程式tan2x=1的通解为x= .15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= .16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为 .18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为 .19.原点至3x+4y+1=0之距离= .20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 .第二部分注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.1952年试题答案第一部分1. (x-y)(x+y)(x2+y2).2. 2.3. -1.4. ±3.5. -247. 15.8. 144°10. 4.11. 12π.12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.16. 3.17. x+y+1=0.18. x2+y2-6x-8y=020. (1,-3)第二部分1. 2,-6,ω,ω2.A,B,C皆为锐角。

历年高考数学真题(全国卷整理版)完整版完整版

参考公式：如果事件 A、B互斥，那么球的表面积公式P( A B) P( A) P(B)S 4R2如果事件 A、B相互独立，那么其中 R表示球的半径P(A B) P( A) P(B)球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么V3R3n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率4其中 R 表示球的半径P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k 0,1,2, n)普通高等学校招生全国统一考试一、选择题13i 1、复数i =1A 2+I B2-I C 1+2i D 1- 2i2、已知集合 A ＝{1.3.m }，B＝{1，m} ,A B ＝ A, 则 m=A0或3 B 0或3C1或3 D 1或33椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为A x2y2=1Bx2y2=1 16++12128C x2y2=1Dx2y28+12+=1 444已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C1D1中，AB=2 ，CC1= 2 2 E 为 CC1的中点，则直线 AC 1与平面 BED 的距离为A2B3C2D1（5）已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n， a5=5， S5=15，则数列的前100项和为10099(C)99101(A)(B)(D)100101101100（6）△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若a· b=0， |a|=1， |b|=2，则(A)（B）(C)(D)3（7）已知α为第二象限角，sinα＋ sinβ =3，则 cos2α = 5555--(C) 9(D)3(A)3（B）9（8）已知 F1、 F2 为双曲线 C： x2-y2=2的左、右焦点，点P 在 C 上， |PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2=1334(A) 4（B）5(C)4(D)51（9）已知 x=ln π， y=log52 ，z=e2，则(A)x ＜ y＜ z（B）z＜x＜y(C)z ＜ y＜ x(D)y ＜ z＜ x(10) 已知函数y＝ x2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则c＝（A ）-2 或 2 （B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1（11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12 种（ B）18 种（ C）24 种（ D）36 种7（12）正方形 ABCD 的边长为1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE ＝ BF ＝3。

全国统一高考数学练习卷及含答案 (1)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A60B30C135D452、若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系（）A．l ⊂αB．l ⊄αC．l ∥αD．以上都不正确3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是（）A、12-=n a n B、12+=n a n C、14-=n a n D、14+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是（）A、最多有两个交点B、有两个交点C、仅有一个交点D、没有交点6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M （）A、}2223|{<<-<<-x x x 或B、RC、}23|{-<-x x D、}22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）（A）60%（B）30%（C）10%（D）50%8.如图，在正方形ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A．22B．515C．46D．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A．0B．23C．2D．312.已知椭圆22221a y x =+（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A．2230<<a B．2230<<a 或282>aC．223<a 或282>a D．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.2.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.3.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.4.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.5、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º（Ⅰ）证明：AB⊥PC（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷及答案 (1)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、若z ⋅（：则复数z 对应的点在复平面内的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知直二面角l αβ--：直线a α⊂：直线b β⊂：且a 、b 与l 均不垂直：那么（）A ．a 与b 可以垂直：但不可以平行B ．a 与b 可以垂直：也可以平行C ．a 与b 不可以垂直：也不可以平行D ．a 与b 不可以垂直：但可以平行3、已知a 、b 均为非零向量：命题p ：a b ⋅ ＞0：命题q ：a 与b的夹角为锐角：则p 是q 成立的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如图所示.设x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为.()A 、-2B 、-1C 、0D 、25、已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++= ，则OC AB⋅的值为()A 、15-B 、15C 、65-D 、656.已知26)1()1(-+ax x 的展开式中，3x 系数为56，则实数a 的值为（）A ．6或5B ．-1或4C ．6或-1D ．4或57.对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是（）A ．（1），（2），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（2），（4）D ．（2），（3）8.函数12cos 2-=x y 的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．π219.函数)4π(cos )4π(cos 22--+=x x y 是（）A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数10.sin2·cos3·tg4的值()A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在11.直线y ＝ax ＋b 通过一、三、四象限，则圆(x ＋a)2＋(y ＋b)2＝r2(r ＞0)的圆心位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12.数列{an}是等差数列的一个充要条件是()A ．Sn ＝an ＋bB ．Sn ＝an2＋bn ＋cC ．Sn ＝an2＋bn(a ≠0)D ．Sn ＝an2＋bn二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.已知(p x x-22)6的展开式中，不含x 的项是2720,则p 的值是______.2.点P 在曲线y=x3－x+32上移动，设过点P 的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是______.3.在如图的1×6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方案有______种.4.同一个与正方体各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是①矩形；②直角梯形；③菱形；④正方形中的______（写出所有可能图形的序号）.三、大题：(满分70分)1、已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A2；（2）求矩阵A 的特征值.2、已知集合A 是由a －2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a.3.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠=四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证：平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060，求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值4.设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程.（2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．5、设1ln )()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++y x 垂直.(1)求a 的值;(2)若),1[+∞∈∀x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围.（3）求证：*21ln .().41ni i n N i =<∈-∑6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且4sin2B ＋C 2－cos2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值.参考答案：一、选择题：1-5题答案:CDADA 6-10题答案:CDBBA 11-12题答案:BD 二、填空题：1、13.32、［0,2π)∪［43π,π)3、304、①③④三、大题：1、解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.解：（1）设极点为O.在△OAB 中，A （3，4π），B，2π），由余弦定理，得=.（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin(242ππ⨯-=.2、解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.3.参考答案：解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------①---1分连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点，连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE -②-----3分由①②知，平面//AEF 平面BDGH ----4分（2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD -------5分取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ，建系{,,}OB OC ON设2AB BF t ==，,则()()()100,03,0,10B C F t ，，，，，13,,222t H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭--------6分()131,0,0,,222t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z = 110130222n OB x t n OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩,所以(10,3n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ----9分12231|cos ,|23n n t <>==+ ,所以29,3t t ==----10分所以()1,3,3CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n CF θ4.参考答案：解：（1）∵OP→·OQ →＝0，则x1x2＋y1y2＝0，-1分又P 、Q 在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得y122p ·y222p＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2222212144)(||pp y y x x ==∴-------3分又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．所以抛物线的方程为:22y x =-------------4分（2）设直线PQ 过点E(a,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=x y amy x 22消去x 得y2－2my －2a ＝0∴⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121①设直线PR 与x 轴交于点M(b,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b,并设R(x3,y3)，同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131②--7分由①、②可得32y b y a=由题意，Q 为线段RT 的中点，∴y3＝2y2，∴b=2a又由（Ⅰ）知，y1y2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4∴a ＝2．故b ＝4．∴831-=y y ∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n=0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR|取最小值245.参考答案：解：(1)2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x ax x f 由题设21)1(='f ，2142)1(=+∴a 11=+∴a ，0=∴a .(2)1ln )(+=x xx x f ,),1(+∞∈∀x ，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x≤-设1()ln ()g x x m x x =--，即0)(),,1(≤+∞∈∀x g x .22211()(1)mx x mg x m x x x -+-'=-+=---6分①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.----8分②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m∆=-当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(0,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立.----9分当102m <<时，方程20mx x m -+-=，其根1102x m -=>，1112x m +=>，当0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 单调递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，12m ≥.--------10分(3)由(2)知,当1>x 时,21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立.不妨令*21,21k x k N k +=∈-，则221121214ln212212141k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭，()()*21[ln 21ln 21]441k k k k N k +--<∈-11()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩ --12分累加可得*211ln(21).().441ni i n n N i =+<∈-∑*21).41ni i n N i =<∈-∑6.解(1)∵B ＋C ＝π－A ，即B ＋C 2＝π2－A2，由4sin2B ＋C 2－cos2A ＝72，得4cos2A 2－cos2A ＝72，即2(1＋cosA)－(2cos2A －1)＝72，整理得4cos2A －4cosA ＋1＝0，即(2cosA －1)2＝0.∴cos A ＝12，又0°<A<180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理cosA ＝b2＋c2－a22bc，即b2＋c2－a22bc ＝12，∴b2＋c2－bc ＝3，①又b ＋c ＝3，②∴b2＋c2＋2bc ＝9.③①－③整理得：bc ＝2.④＝1，＝2，＝2，＝1.。

1952年全国统一高考数学试卷

1952年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共24小题，满分0分）1．因式分解：x4﹣y4．考点：因式分解定理。

专题：计算题。

分析：两次使用平方差公式，先将x2，y2当作整体，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）在利用平方差公式即可解答：解：x4﹣y4=（x2+y2）（x+y）（x﹣y）．故答案为：（x2+y2）（x+y）（x﹣y）点评：本题考查了因式分解定理，平方差公式，属于基础题．2．若lg2x=21lgx，问x=？考点：对数的运算性质。

专题：转化思想。

分析：根据已知中lg2x=21lgx，利用对数的运算性质我们可将已知转化为lg2x=lgx21，根据对数函数的单调性，可将该方程转化为指数方程，再结合函数的定义域，可得x≠0，解指数方程即可求出x的值．解答：解：∵lg2x=21lgx，∴2x=x21，又∵x≠0，∴．点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，对数方程及指数方程的解法，其中根据运算性质及对数函数的单调性，将方程进行转化是解答本题的关键．3．若方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1，﹣1，，则c=？考点：根的存在性及根的个数判断。

专题：计算题。

分析：由已知中方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1，﹣1，，我们可以将方程表示零点式的形式，展开后根据多项式相等的方法，即可求出c值．解答：解：∵方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1，﹣1，，∴方程x3+bx2+cx+d=0可化为（x﹣1）（x+1）（x﹣）=0即x3﹣x2﹣x+=0故c=1点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中将n元方程的表达式可以表示为N个一次式相乘（即零点式）的形式是解答的关键．4．若﹣4=0，求x．考点：根的存在性及根的个数判断。

专题：计算题。

分析：本题是一个根式的方程，解这种方程一般需要先移项，再两边平方，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程的解，得到结果．解答：解：∵∴把方程两边平方得到x2=9∴x=±3．点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，考查根式方程的解法，考查一元二次方程的解法，本题是一个基础题．5．=？考点：三阶矩阵；二阶矩阵。

1952年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1.因式分解x 4 – y 4 =？解：x 4 – y 4 =(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2.若lg2x=21lgx ，问x=？解：2x=x 21，x ≠0，∴=X 3.若方程x 3+bx 2+cx+d=0的三根为1,-1,21,则c=？解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）·21+21·1=14.若x x 求,0472=-+解：两边平方，得：x 2 +7=16，∴3±=x5.解:原式=-246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？解：设两圆O 1及O 2之公共弦为AB O 1O 2交AB 于点C ，则AB垂直平分O 1O 2∴O 1C=21O 1O 2=2（寸）).(342),(3224222121寸寸==∴=-=-=AC AB C O AO AC连结AO 1，则△ACO 1为直角三角形，A ?123054321=7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？解：∵MN ∥BC ，∴41ABC AMN 22==∆∆AN AM 的面积的面积， △AMN 的面积=41△ABC 的面积=15（平方寸）8.正十边形的一个内角是多少度？解：由公式,)2(180nn -︒此处n=10于是一个内角为：︒144 9.祖冲之的圆周率π=？答：22/7，355/13310.球的面积等于大圆面积的多少倍？解：球的面积4πR 2为大圆面积πR 2的4倍11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？解：圆锥高h=4（尺），故此直圆锥的体积：V 锥 =31πR 2h=12π（立方尺） 12.正多面体有几种？其名称是什么？答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体13.已知 sin θ=31,求cos2θ=？解：cos2θ=1-2sin 2θ914.方程tg2x=1的通解x=？解：).(82为整数k k x π+π=15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？解：塔高=5×tg300=335（寸） 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？解：).(330sin 4321sin 21平方寸的面积=︒⋅⋅⋅==∆A bc ABC17.已知一直线经过（2，3），其斜率为-1，则此直线方程如何？解：即x+y –5=018.若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？解：圆的半径.54322=+=R所以，圆的方程为：(x-3)2+(y-4)2=25，也即：x 2+y 2-6x-8y=019.原点至3x+4y+1=0的距离是什么？解：.51431040322=++⋅+⋅=d 20.抛物线y 2-8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？解：原方程可变形为：(y+3)2=8(x-1), 故顶点坐标为（1，-3）第二部分：1.解方程x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0解：左式=(x 4+5x 3-6x 2）-（x 2+8x+12）=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)] =(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0 可得原方程的四根为：.231,231,2,64321ix i x x x --=+-==-= 2.△ABC 中，∠A 外角的平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP=CP 证：如图，∠CBP=∠CAP=∠PAD 又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2 =∠ACB+∠1+∠CBP =∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP ，∴BP=CP 3.设三角形的边长为a =4，b=5，c=6，其对角依次为A ，B ，C 求A B C C sin ,sin ,sin ,cos .问A ，B ，C 三角为锐角或钝角？解：应用余弦定理，可得：.812cos 222=-+=ab c b a C由此可知C 为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式a ＜b ＜c ，从而可知∠A ＜∠B ＜∠C 由于C 为锐角，故A ，B 亦为锐角.741c asinC sinA .7165sin sin ,.783)81(-1sinC cos -1sinC 22=======c C b B C 可得应用正弦定理可得由 CD A B4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点解：由于椭圆过（2，3）及（-1，4）两点，所以将此两点代入标准方程可得：.75522,35522,355,755,1161194222222==∴==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+a b b a b ab a 短轴长轴解之 .2155221220,22222==-=∴-=a b c a b c 又 ).21552,0(),21552,0(21F F -故焦点坐标为。

1952高考数学试题答案

1952高考数学试题答案一、选择题1. 问题：若a、b、c为等差数列，且a+b+c=6，b-c=2，求a的值。

答案：由等差数列的性质可知，b=a+d，c=a+2d，其中d为公差。

根据题意可得：a + (a+d) + (a+2d) = 6(a+d) - (a+2d) = 2解这个方程组，得到：a = 1, d = 1所以a的值为1。

2. 问题：已知圆的半径为r，圆心角为α，弧长为l，求l与α的关系式。

答案：弧长l与圆心角α的关系式为：l = rα3. 问题：若f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求f(2)的值。

答案：将x=2代入f(x)得到：f(2) = 3*(2)^2 - 2*2 + 1 = 12 - 4 + 1 = 94. 问题：已知一个等比数列的前三项分别为a, ar, ar^2，求这个数列的通项公式。

答案：等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)5. 问题：若一个函数y=f(x)在x=0处连续，且f(0)=1，求当x趋近于0时，f(x)/x的极限值。

答案：根据题意，当x趋近于0时，有：lim (x->0) f(x)/x = lim (x->0) [f(x) - f(0)]/x由于f(0)=1，且f(x)在x=0处连续，所以：lim (x->0) [f(x) - f(0)]/x = 0因此，极限值为0。

二、填空题1. 问题：若一个圆的面积为π，则该圆的半径r为______。

答案：半径r为1。

因为圆的面积公式为A=πr^2，所以当A=π时，r^2=1，解得r=1。

2. 问题：已知一个等差数列的前三项之和为9，第二项与第三项之和为8，求该数列的第一项a1。

答案：设该等差数列的公差为d，则第一项为a1，第二项为a1+d，第三项为a1+2d。

根据题意可得：a1 + (a1+d) + (a1+2d) = 9(a1+d) + (a1+2d) = 8解这个方程组，得到：a1 = 2所以第一项a1为2。

19522005年普通高等学校招生全国统一考试

1952年试题力学、物性及声学(共40分)(1)[3分] 某物体的速度在10分钟内从36千米/小时增到57.6千米/小时.它的平均加速度是( )厘米/秒2.(2)[4分] 由手中铅直向上抛出一球.抛出2秒钟后,球回到手里.如果空气的阻力可以忽略不计,那么抛出去时,球的速度是( )米/秒,球上升的高度是( )米.(3)[3分] 一重200克的物体,放在和水平面成30°角的斜面上.如果这物体和斜面之间没有摩擦力,那么沿斜面的方向要加( )克的力,才能使这物体静止在斜面上.(4)[3分] 载重汽车和公共汽车的轮胎比小汽车的轮胎宽得多,轮子也不止四个.这是为了减少它们对地面的( ).(5)[2分] 木块因为受了浮力才能浮在水面,那么沉下水里的石头是没有受到水的浮力.这个结论是错的还是对的?( ).(6)[3分] 砖墙如果建立在潮湿的地方,潮湿会沿着砖墙上升.这是由于( ).(7)[4分] 北京的重力加速度是980厘米/秒2,赤道的重力加速度是978厘米/秒2.某物体的质量是100克.在北京,50克的力作用在这物体上,将产生加速度( )厘米/秒2,而在赤道上,50克的力作用在这物体上,将产生加速度( )厘米/秒2.(8)[3分] 火车重500公吨,在笔直的、水平的铁轨上,等速前进.如果车轮与铁轨之间的摩擦系数是0.002,那么火车做等速运动时,机车的牵引力是( )千克.(空气的阻力可以不计). (9)[4分] 某人体重60千克,用绳经定滑轮提起重40千克的物体.那么此人对地面的总压力是( )千克.(10)[4分] 劳卫制锻炼中,爬绳及格的标准是5米.一个体重60千克的人要达到这个标准,每爬一次需做功( )焦耳.(重力加速度是980厘米/秒2.(11)[5分] 某物体的质量是20克,受( )达因的力的作用,由静止开始运动,能在10秒钟末,得到1焦耳的动能.(12)[2分] 声音是由于物体( )而产生的.热学及光学(共30分)(1)[2分] 水的温度由4℃开始上升,它的体积要( ).温度由4℃开始下降,它的体积要( ).(2)[3分] 液体的沸腾温度,在外部压力减小时( ),在外部压力增大时( ).因此,在高山上水的沸腾温度比地面上的( ).(3)[3分] 白金的线膨胀系数是0.000009.一块白金的温度由0℃升高到。

普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理数答案解析(正式版)(解析版).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={}1,2,3,B={}2,3，则A 、A=B B 、A ⋂B=∅C 、A ØBD 、B ØA 【答案】D考点：集合的关系..2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =A 、-1B 、0C 、1D 、6 【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B. 考点：等差数列的性质.3．重庆市2013年各月的平均气温（oC ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A、19B、20C、21.5D、23【答案】B.【解析】试题分析：从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B..考点：茎叶图，中位数.4．“x>1”是“12log（x+2）<0”的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件【答案】B考点：充分必要条件.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、13π+B、23π+C、123π+D、223π+【答案】A 【解析】试题分析：这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A. 考点：组合体的体积.6．若非零向量a ，b 满足|a|=223|b|，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 A 、4π B 、2πC 、34πD 、π【答案】A 【解析】试题分析：由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以222223()cos 2033θ⨯--=，2cos 2θ=，4πθ=，选A. 考点：向量的夹角.7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K 的值为8，则判断框图可填入的条件是 A 、s ≤34 B 、s ≤56 C 、s ≤1112 D 、s ≤1524【答案】C考点：程序框图.8．已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=A 、2B 、42C 、6D 、210 【答案】C 【解析】试题分析：圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，2222(42)(11)46AB AC r =-=--+---=.选C.考点：直线与圆的位置关系.9．若tan α=2tan5π，则3cos()10sin()5παπα-=-A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C考点：两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.10．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A 、（-1,0）⋃（0,1）B 、（-∞，-1）⋃（1，+∞）C 、（-2，0）⋃（0，2）D 、（-∞，-2）⋃（2，+∞）【答案】A 【解析】试题分析：由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由B D A C⊥得221b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以4222()b c x a a b a c a c a -=<++=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A. 考点：双曲线的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．设复数a+bi （a ，b ∈R ）的模为3，则（a+bi ）（a-bi ）=________. 【答案】3 【解析】试题分析：由3a bi +=得223a b +=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.考点：复数的运算.12．5312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52考点：二项式定理13．在ABC 中，B=120o，AB=2，A 的角平分线AD=3,则AC=_______.【答案】6 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，即23sin sin120ADB =∠︒，解得2sin 2ADB ∠=， 45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒， 2cos306AC AB =︒=.考点：解三角形（正弦定理，余弦定理）考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.【答案】2考点：相交弦定理，切割线定理.15．已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π 【解析】试题分析：直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化. 16．若函数f （x ）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______. 【答案】4a =或6a =-考点：绝对值的性质，分段函数.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。