2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考数学试卷(带解析)

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2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考数学试卷（带

解析）

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注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

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第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明

一、填空题

1．全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，则=U C A __________．

2．设复数i z a b =+（a

，b ∈R ，i 是虚数单位），若()2i i z -=，则a b +的值为__________．

3．函数y =定义域为__________．

4．棱长均为1的正四棱锥的体积为__________．

5．已知实数x ，y 满足不等式组0,,40,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩

则2z x y =-的最大值为__________．

6．若“x ∃∈R ，220x x a ++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是__________．

7．将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+

⎪⎝⎭的图象至少向右平移__________个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．

8．已知等差数列{}n c 的首项为11c =．若{}23n c +为等比数列，则2017c =__________． 9．在平面直角坐标系中，如果双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为2c (c >0)，

那么当a ,b 任意变化时，a +b c

的最大值是__________． 10．已知()tan 2αβ+=，()tan 3αβ-=，则sin 2cos 2αβ

的值为__________． 11．已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________．

12．在平面直角坐标系xoy

中，已知圆C ：22

2x y +=，直线20x by +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且OA OB OB +≥- ，则b 的取值范围为__________． 13．已知函数()3

1log 1x f x x +=-，平行四边形ABCD 四个顶点都在函数()f x 图像上，且()2,1A ，5,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则平行四边形ABCD 的面积为__________．

14．已知数列{}n x 各项为正整数，满足1, 21,n n n n

n x x x x x +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，*n ∈N ．若343x x +=，

则1x 所有可能取值的集合为__________．

二、解答题

15．在三角形中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知3b =，2c =．

（1）若2cos 3a C =

，求a 的值； （2）若cos 1cos c C b B

=+，求cos C 的值． 16．

如图，在四面体ABCD 中，AD BD =，90ABC ∠=︒，点E ，F 分别为棱AB ，AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面EFG P 平面BCD ．求证：

（1）2BC EF =；

（2）平面EFD ⊥平面

ABC ．

17．图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设2AB x =，BC y =．

（1）写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围；

（2）求当x

取何值时，凹槽的强度最大．

18．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的离心率为点A ，B 分别为椭圆C 的上顶点、右顶点，过坐标原点的直线交椭圆C 于D 、E 两点，交AB 于M 点，其中点E 在第一象限，设直线DE 的斜率为k ．

（1）当12k =时，证明直线DE 平分线段AB ； （2）已知点()0,1A ，则：

①若6ADM AEM S S ∆∆=，求k ；

②求四边形ADBE 面积的最大值．

19．已知数列{}n a 满足10a =，218

a =，且对任意m ，*n ∈N 都有()2

21211324m n m n a a a m n --+-+=+-． （1）求3a ，5a ；

（2）设2121n n n b a a +-=-（*n ∈N ）．

①求数列{}n b 的通项公式； ②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n S ，是否存在正整数p ，q ，且1p q <<，使得1S ，p S ，q S 成等比数列？若存在，求出p ，q 的值，若不存在，请说明理由．

20．已知()ln f x ax x =-（a R ∈）．

（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；

（2）函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <

①求a 的取值范围；

②实数m 满足12ln ln x x m +>，求m 的最大值．

21．[选修4-1：几何证明选讲]

如图，已知凸四边形ABCD 的顶点在一个圆周上，另一个圆的圆心O 在AB 上，且与四边形ABCD 的其余三边相切．点E 在边AB 上，且AE AD =．

求证：O ，E ，C ，D 四点共圆．