第二章 质点组力学

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质心运 动定理
（质点组动力学第一基本定理） 质点组动力学第一基本定理）
物理意义
质心的运动，犹如这样一个质点的运动， 质心的运动，犹如这样一个质点的运动，这个质点的质 量等于整个质点组的质量，作用在此质点上的力等于作用在 量等于整个质点组的质量， 质点组上所有外力的矢量和。 质点组上所有外力的矢量和。
即
∑F
i =1
n
(e ) ix
=0
dp x =0 dt
或
p x = ∑ m i v ix = mv cx = 常量
i =1
n
25
例 一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身和炮车质量 一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m 和等于M 炮车可以自由地在铁轨上反冲。 和等于 M ， 炮车可以自由地在铁轨上反冲 。 如炮身与地面成一 角度α 炮弹相对炮身的速度为V 角度α，炮弹相对炮身的速度为V，试求炮弹离开炮身时对地面 的速度 v 及炮车反冲的速度 U 。 解： 本题沿水平方向（设为x方向）无外力作用，因为火 本题沿水平方向（设为x方向）无外力作用， 药爆炸力是内力，故沿x方向动量守恒，即 药爆炸力是内力，故沿x方向动量守恒，
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质点组不受外力或合外力为0 质点组不受外力或合外力为0 时，由动量定理可得: 由动量定理可得:
n dp (e ) = ∑ Fi = 0 dt i =1
故
而
p = mvc
因此
质点组动 量守恒律
（质心作惯性运动） 质心作惯性运动） 24
动量守恒律还适于各外力在某一轴上投影之和为零的情形。 动量守恒律还适于各外力在某一轴上投影之和为零的情形。
y V U x
27
α
v = v +v
2 x
2 y
m (2 M + m ) = V 1− cos 2 α 2 (m + M )
m tgθ = = 1 + tgα vx M vy
由于炮车反冲 而
y v U V x
v <V
α
θ
θ >α
28
z'
ɺ = d [r × m v + r ′× m v ′] J ∑i ii c c dt i ɺ ɺ = r × mv + r × mv
o
V1 V2
R
m′h/ 4 - md/ 4 1 Vh - vd s= = m′ - m 4 V -v
1 h -d 1 = = (h + d ) 4 h-d 4
z c = h - s = ( 3h − d ) / 4
2 2
o′
z
17
应用牛顿第二定律， 应用牛顿第二定律，第 i 个质点运动微分方程为
d ri mi 2 = Fi( i ) + Fi( e ) dt
12
重的平均矢量。它可以代表质点组的整体位置。 重的平均矢量。它可以代表质点组的整体位置。
可以证明，质心是存在的，而且是唯一的。 可以证明，质心是存在的，而且是唯一的。
∑ m r ′ = ∑ m (r − r )
i i
i i c
i
i
= ∑ m i ri − ∑ m i rc
i i
=0
质心的另一定义法： 质心的另一定义法 ： 质点组质量对质心的一次矩的矢量 和等于零。 和等于零。
4
1、5、7、 14、16、 14、16、18
5
前一章研究了单个质点的运 动问题， 动问题，本章进一步研究一群质点 的集合体。 的集合体。把有多个相互联系着的 质点组成的系统叫做质点组 质点组成的系统叫做质点组。 质点组。
6
质点组动力学的研究方法 如果按质点动力学的方法列写每个质点的运动微 分方程式， 分方程式，则 方程数太多 出现未知的内力 减少描述质系运动的未知量数目 不研究每个质点，而将质系作为一个整体， 不研究每个质点，而将质系作为一个整体， 研究表征质系动力学的物理量（动量、 研究表征质系动力学的物理量（动量、动能 等）的变化 采取适当措施消除未知的内力及约束反力
均为 零
(e )
= ∑ ( ri′ + rc ) × Fi
i
= ∑ ri ×（质点组动力学第二基本定理） 质点组动力学第二基本定理）
30
可简写为： 可简写为：
诸外力作用在质点 组上的元冲量矩
或
31
分量形式： 分量形式：
d (e ) (e ) ɺ ɺ ɺ dt [∑ m i ( yi z i − z i yi )] = ∑ ( yi Fiz − z i Fiy ) i i d (e ) (e ) ɺ ɺ [∑ m i ( z i x i − x i z i )] = ∑ ( z i Fix − x i Fiz ) i dt i d [ m ( x y − y x )] = ( x F ( e ) − y F ( e ) ) ∑ i i ɺ i i ɺ i ∑ i iy i ix dt i i
(线 ， 面 ， 体 )
xc =
∫∫∫ xρdV
V
∫∫∫ ρdV
V
yc =
∫∫∫ yρdV
V
∫∫∫ ρdV
V
zc =
∫∫∫ zρdV
V
∫∫∫ ρdV
V
15
例 一凹底的圆锥体，由高为h 底面为R 一凹底的圆锥体，由高为h、底面为R的匀质正圆锥体自底 面挖去高为d d<h）的共轴圆锥而成。 面挖去高为d（d<h ）的共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心 位置。 位置。 解： 具有线性关系的量都满足叠加原理。 具有线性关系的量都满足叠加原理。 的正圆锥体的体积为： 底面半径为 r、高为 h 的正圆锥体的体积为：
对此式左边可进一步改写为
n
2
n
d 2 ri d n dri d n dp ∑ mi dt 2 = dt ∑ mi dt = dt ∑ mi v i = dt i =1 i =1 i =1
n
p = ∑ mi vi
i =1
n
质点组的动量
19
故：
质点组 动量定理
或
诸外力作用在质点 组上的元冲量
其中
p=
∑m v
10
3、孤立系（闭合系） 、孤立系（闭合系）
在力学中，如果一个质点组不受任何外力作用， 在力学中 ， 如果一个质点组不受任何外力作用 ， 则叫 做孤立系或闭合系。
11
简化问题的处理） 1、引入质心的目的 （简化问题的处理） 、 2、质心位置矢量的定义： 、质心位置矢量的定义：
质心的位矢
rc 是质点组中各质点的位置 ri 以其质量 mi 为权
1
真正的爱, 真正的爱,应该超越 生命的长度、心灵的宽 度、灵魂的深度。
2
3
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8
质点组 动量定理与动量守恒律 动量矩定理与动量矩守恒律 动能定理与机械能守恒律 两体问题 质心坐标系与实验室坐标系 变质量物体的运动 维里定理
所有外力对质心的力矩
（与质点的动量矩定理比较，只多一“′”；对质心的动量矩守恒问题） 与质点的动量矩定理比较，只多一“ 对质心的动量矩守恒问题）
例（P.123） ）
35
上帝从不埋怨人们的愚 昧,人们却埋怨上帝的不公平。
32
当外力对固定点O的合力矩为零时， 当外力对固定点 的合力矩为零时，有 的合力矩为零时
dJ =M =0 dt
如：M ≠ 0, M = 0, x
J=
恒矢量
守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。 守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。
Jx = c
注意
内力矩不改变质点组的动量矩，但可改变个别质点的动量矩。 内力矩不改变质点组的动量矩，但可改变个别质点的动量矩。
c c c c
ri
z x'
O
'
mi •
rc
•
C (O' )
y'
ri
y
ɺ ɺ + ∑ ri′× m i v i′ + ∑ ri′× m i v i′
i i
x
为零
ɺ = m ɺɺ = F ( e ) + F ( i ) ∵ mi v i i ri i i
ɺ ' = m ɺɺ′ = F ( e ) + F ( i ) − m ɺɺ （C为非惯性系） ∴ mi v 为非惯性系） 为非惯性系 i ri i i i rc
33
z'
作固定坐标系和动坐标系， 作固定坐标系和动坐标系，
ri
z x'
O
'
mi •
a = a0 + a '
F = m a = m a0 + m a '
将质心作为动坐标系（非惯性系） 将质心作为动坐标系（非惯性系） 原点，有 原点，
2 '
rc
•
C (O' )
y'
ri
y
x
d ri (e ) (i) mi = F i + F i + ( − m i ɺɺ ) rc 2 dt
dpz d n n (e ) = ∑ m i v iz = ∑ Fiz dt dt i =1 i =1
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质点组动量=质心动量
）
d ɺ p = ∑ m i v i = ∑ m i ri = ( ∑ m i ri ) dt i i i
d ɺ = ( m rc ) = m rc dt
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质心位矢的分量形式为： 质心位矢的分量形式为：
xc =
∑m
i =1 n i −1
n