2016石景山一模文科数学附答案

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2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016年北京市石景山区高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列函数中，既是奇函数又增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝﹣x2C．y＝﹣D．y＝x|x|3．（5分）设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0B．C．1D．﹣15．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B．C．10D．6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．7．（5分）已知抛物线y2＝4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1B．3C．6D．128．（5分）将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，则柱体A和B的表面（不含地面）数字之和分别是（）A．47，48B．47，49C．49，50D．50，49二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是，渐近线方程是．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值．11．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a＝．12．（5分）设，b＝1﹣2sin213°，，则a，b，c的大小关系是．（从小到大排列）13．（5分）已知函数若直线y＝m与函数f（x）的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是．14．（5分）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．丁得了分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n＝2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a•cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，分别求a和c的值．17．（13分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．18．（14分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．19．（14分）已知函数f（x）＝e x﹣2x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又增函数的为（）A．y＝x+1B．y＝﹣x2C．y＝﹣D．y＝x|x|【解答】解：在A中，y＝x+1是非奇非偶函数，是增函数，故A错误；在B中，y＝﹣x2是偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，故B错误；在C中，y＝﹣是奇函数，在（﹣∞，0）内是增函数，在（0，+∞）内是增函数，在x≠0时不是增函数，故C错误；在D中，y＝x|x|既是奇函数又增函数，故D正确．故选：D．3．（5分）设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若已知a1＜a2，则设数列{a n}的公比为q，因为a1＜a2，所以有a1＜a1q，解得q＞1，又a1＞0，所以数列{a n}是递增数列；反之，若数列{a n}是递增数列，则公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2，所以a1＜a2是数列{a n}是递增数列的充分必要条件．故选：C．4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0B．C．1D．﹣1【解答】解：以BC、BA所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1），当E在DA上，设E（x，1），其中0≤x≤1∵＝（x﹣1，0），＝（0，1），∴＝0，当E在AB上，设E（0，y），其中0≤y≤1∵＝（﹣1，y﹣1），＝（0，1），∴＝y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0，当E在BC上，设E（x，0），其中0≤x≤1∵＝（x﹣1，﹣1），＝（0，1），∴＝﹣1，当E在CD上，设E（1，y），其中0≤y≤1∵＝（0，y﹣1），＝（0，1），∴＝y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0，综上所述的最大值是0，故选：A．5．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8B．C．10D．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选：C．6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可得函数的周期T满足T＝﹣（﹣）＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ），又函数图象经过点（，2），∴2sin（+φ）＝2，∴+φ＝2kπ+，∴φ＝2kπ﹣，k∈Z∵|φ|＜，∴当k＝0时，φ＝﹣故选：A．7．（5分）已知抛物线y2＝4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1B．3C．6D．12【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4，令直线AB的方程为y＝kx+b，代入抛物线y2＝4x得k2x2+2（kb﹣2）x+b2＝0，故有x1+x2＝，x1x2＝，故有4＝，解得b＝，即x1x2＝，又|AB|＝|x1﹣x2|＝，＝4＝4≤4×＝6．故|AB|的最大值为6，故选：C．8．（5分）将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，则柱体A和B的表面（不含地面）数字之和分别是（）A．47，48B．47，49C．49，50D．50，49【解答】解：图A中数字之和为1+6+3+4+2+5+6+1+6+1+4+3+5＝47；图B中数字之和为3+4+5+2+1+6+5+2+3+4+2+5+6＝48，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的焦距是2，渐近线方程是y＝±x．【解答】解：双曲线＝1中，a＝，b＝1，c＝，∴焦距是2c＝2，渐近线方程是y＝±x．故答案为：2；y＝±x．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线过B（4，2）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为z＝2×4+2＝10．故答案为：10．11．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a＝2．【解答】解：当a＝14，b＝20时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b＝b﹣a 后，a＝14，b＝6，当a＝14，b＝6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a＝a﹣b后，a＝8，b＝6，当a＝8，b＝6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a＝a﹣b后，a＝2，b＝6，当a＝2，b＝6时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b＝b﹣a后，a＝2，b＝4，当a＝2，b＝4时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b＝b﹣a后，a＝2，b＝2，当a＝2，b＝2时，不满足a≠b，故输出的a值为2，故答案为：212．（5分）设，b＝1﹣2sin213°，，则a，b，c的大小关系是c＜a＜b．（从小到大排列）【解答】解：∵＝sin62°，b＝1﹣2sin213°＝cos26°＝sin64°，＝sin60°，则c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b．13．（5分）已知函数若直线y＝m与函数f（x）的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是m≥2或m＝0．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图则当x＜1时，f（x）∈（0，2），当x≥1时，f（x）≥0，则若直线y＝m与函数f（x）的图象只有一个交点，则m≥2或m＝0，故答案为：m≥2或m＝014．（5分）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．丁得了6分．【解答】解：因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是6分．故答案为：6三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n＝2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1＝1，∴2a2＝a1+（a3﹣1）＝a3，∴＝2，∴＝2n﹣1，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n＝2n﹣1+a n，∴（2n﹣1+2n﹣1）＝[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）＝+＝n2+2n﹣1．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a•cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵b sin A＝a•cos B，由正弦定理可得：sin B sin A＝sin A cos B，∵sin A≠0，∴sin B＝cos B，B∈（0，π），可知：cos B≠0，否则矛盾．∴tan B＝，∴B＝．（2）∵sin C＝2sin A，∴c＝2a，由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴9＝a2+c2﹣ac，把c＝2a代入上式化为：a2＝3，解得a＝，∴．17．（13分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．【解答】解：（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20＝6个，中度拥堵的路段有（0.25+0.2）×1×20＝9个，严重拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20＝3个．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3＝18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）记选出的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选出的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选出的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），共9种．所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．（14分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．【解答】解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以BB1D1D 是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD＝BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．19．（14分）已知函数f（x）＝e x﹣2x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）＝e x﹣2，令f′（x）＝0，得x＝ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以当x＝ln2时，f（x）有极小值，且极小值为f（ln2）＝e ln2﹣2ln2＝2﹣ln4，f（x）无极大值…（6分）（Ⅱ）证：令g（x）＝e x﹣x2，则g′（x）＝e x﹣2x由（Ⅰ）得，g'（x）＝f（x）≥f（ln2）＝2﹣ln4＞0，即g'（x）＞0所以g（x）在R上单调递增，又g（0）＝1＞0，所以当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x…12分20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）故曲线C的方程为．…（5分）（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）因为直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为x＝my﹣1或y＝0（舍）．则整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3＝0．…（7分）由△＝（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得，．则．因为＝．…（10分）设，，．则g（t）在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当m＝0时取等号，即．的最大值为．…（13分）所以S△AOB。

2016石景山数学一模

石景山区2016.5一模数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销售额超过28 000 000元．将28 000 000用科学记数法表示应为A ．0.28×108B ．2.8×108C ．2.8×107D ．28×1062．如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是 A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不．属于．．中心对称图形的是A B C D 4．某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：A ．5，4B ．6，5C ．7，6D ．5，55．脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是A ．31 B ．85C ．53D ．83 6．如图，直线m ∥n ，△ABC 顶点B ，C 分别在直线n ，m 上，且∠ACB= 90°，若∠1= 40°，∠2的度数为 A ．140° B ．130°C ．120°D．110°6题 7题 8题7．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能D B C A 0–1–212312nm CBAOBAD以右图中两个不同形状的“姿势” 分别穿过这两个空洞，则该几何体为A B C D8．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC 的度数为 A ． 45° B ．90° C ．100° D ．135°9．王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．下表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里．．．．的平均耗油量大约是 A ．7升 B ．8升 C ．9升 D ．10升10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从点B 出发，沿着B-E-D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P 的运动时间为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是图1 图2A ．监测点AB ．监测点BC ．监测点CD ．监测点D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：224am an -=_______________．12．如图，方格纸中有一四边形ABCD （A ，B ，C ，D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为． 13．反比例函数6y x=的图象上有两个点()12,A y -，()21,B y ，则1y2y （用“>”，“<”或“=”连接）． 14．如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．12题 14题 15题15．某市2012~2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为_________万箱，你的预估理由是__________________________________________________． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P 与BC 相切的依据是____________________________________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：()211 3.142sin 602π-⎛⎫+--︒+ ⎪⎝⎭．18．已知m n -=111m n mn ⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值．EDCB A销售量/万箱19．求不等式组3(1)1,23 2.3x x x +>-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩的整数解．．．．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．求证：∠AED=∠DCB ．21．已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为负．整数．．，求此时方程的根．22．某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：EDCBA23．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，过点B 作AC 的平行线交∠CAB 的平分线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ．（1）求证：四边形ABDE 是菱形；（2）若BD=14，cos ∠GBH=87，求GH 的长．24．阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”．2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5140万人次，同比增长4.7%．今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次．2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%．全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次．2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%．其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次．根据以上材料解答下列问题：（2）请你选择统计表或统计图，将2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来．HGF E DCB A25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ；（2）若∠C=30°，EF =EB 的长．26．阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，求a 的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于221x x a -->，设函数2121y x x =--，2y a =，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数1y 的图象在2y 的图象上方时a 的取值范围．请结合小捷的思路回答：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，则a 的取值范围是___________．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x 的方程34a x x--=在04x <<范围内有两个解，求a 的取值范围．x27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ．（1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连接BE ．（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM 与△BEC 关于直线BE 对称；（2）若边AD 上存在一点F ，使得AF+CE=EF ，请你在图2中探究∠ABF 与∠CBE 的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE<DE ，请写出求cos ∠FED 的思路．（可以不写出．．．．．计算结果．．．．）．图1 图2 备用图EA CDBAC DB29．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=x l ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．图1 图2石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共30分，每小题3分）11．()()22a m n m n+-；12．12；13．12y y<；14．如BC∠=∠或AC AB=等；15．预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据．如：8万，预估理由是下降趋势变缓．16．角平分线上的点到角两边的距离相等；若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式11242+-⨯+…………………………4分=4．………………………………………………5分18．解：原式=11()mnm n-⋅=11mn mnm n⋅-⋅=n m-．……………………3分（或原式=n mmnmn-⋅=n m-．………………………………………3分）∵m n-=，∴原式=n m-=……………………………………………5分19．解：解不等式()311x x+>-，得2x>-．………………………………2分解不等式2323x-+≥，得32x≤．…………………………………3分∴原不等式组的解集为322x-<≤．………………………………4分∴原不等式组的整数解为-1，0，1．………………………………5分20．证明：∵Rt△ABC中，︒=∠90ACB，CD是AB边上的中线，∴12CD AB DB==．…………………1分∴B DCB∠=∠．………………………2分∵ABDE⊥于点D，∴90A AED∠+∠=︒．………………3分∵90A B∠+∠=︒，∴B AED∠=∠．………………………4分EDCA∴AED DCB ∠=∠． …………………5分21．解：（1）由题意：0∆> ， ………………………………………………1分即：()9410k -->．解得 54k >-． …………………………………………………2分（2）若k 为负整数，则1k =-， ……………………………………3分原方程为2320x x -+=，解得121,2x x ==．………………………………………………5分 22．解：设购进白色文化衫x 件，黑色文化衫y 件．…………………………1分根据题意，得200,14173040.x y x y +=⎧⎨+=⎩……………………………………………………3分解得120,80.x y =⎧⎨=⎩…………………………………………4分答：购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件． ………………………5分 23．（1）证明：∵AC //BD ，AB //ED ，∴四边形ABDE 是平行四边形． ……………………………1分 ∵AD 平分CAB ∠，∴BAD CAD ∠=∠．∵AC //BD ，∴ADB CAD ∠=∠．∴ADB BAD ∠=∠． ∴BD AB =．∴四边形ABDE 是菱形． ……………………………………2分（2）解： ∵︒=∠90ABC ，∴︒=∠+∠90ABG GBH ．∵BE AD ⊥， ∴︒=∠+∠90ABG GAB ． ∴GBH GAB ∠=∠………………………3分 ∵87cos =∠GBH ，∴87cos =∠GAB ． ∴78AB AG AH AB ==． ∵四边形ABDE 是菱形，14=BD , ∴14==BD AB ∴16=AH ，449=AG ． ……………………………………………4分∴415=-=AG AH GH ．……………………………………………5分 24．（1）733 …………………………………………………………………………1分（2）例如：统计表如下：2014～2016年春运40天全国铁路、公路25．（1）证明：连接OD ，AD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°．又∵AB=AC ，∴CD=DB ．又CO=AO ，∴OD ∥AB ． ……………………1分 ∵FD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥DF ． ∴FE ⊥AB ．……………2分（2）解：∵30C ∠=︒， ∴60AOD ∠=︒在Rt △ODF 中，90ODF ∠=︒， ∴30F ∠=︒． ∴12OA OD OF ==在Rt △AEF 中，90AEF ∠=︒， ∵EF =AE = …………………………………………3分∵OD AB ∥，OA OC AF == ∴2OD AE ==2AB OD ==…………………………………………………4分∴EB = …………………………………………………………5分26．解：2a <-； ……………………………………………………………………2分解决问题：将原方程转化为a x x =+-342·设函数3421+-=x x y ，a y =1，………………………………………3分记函数1y 在40<<x 内的图象为G ，于是原问题转化为2y a =与G 有两个交点时a 的取值范围，结合图象可知a5分27．解：（1）∵抛物线C ：142++=x mx y 经过点()65-，A ∴120256+-=m ∴1=m ……………………………………………1分 ∴142++=x x y ∴()322-+=x y∴抛物线的顶点坐标是()3,2--．………………………………………3分（2）∵直线1y x =-+与直线3y x =+相交于点()2,1-∴两直线的对称轴为直线1x =- ．……………………………………4分 ∵直线1y x =-+与直线3y x =+关于抛物线C ：142++=x mx y 的对称轴对称 ∴124-=-m∴2=m ．………………………………………………5分（3） 43≤<m ． …………………………………………………………7分 28．（1）补全图形，如图1所示．………………………………………………………1分MEACDB（2）ABF ∠与CBE ∠的数量关系：45ABF CBE ∠+∠=︒． ………………2分证明：连接BF ，EF ，延长DC 到G ，使得AF CG =，连接BG ．…3分 ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB BC =，90A BCD ABC ∠=∠=∠=︒． ∴△BAF ≌△BCG ．∴BG BF =，ABF CBG ∠=∠． ∵EF CE AF =+，∴EF GE =． …………………………………………………………4分 ∴△BEF ≌△BEG ．∴∠FBE =∠CBE ABF MBE ∠+∠=．∴45ABF CBE ∠+∠=︒． …………………………………………………5分（3）求解思路如下：a ．设正方形的边长为3a ，AF 为x ，则EF x a =+，3DF a x =-；b ．在Rt △EFD 中，由222EF DF DE =+,可得()()()22232x a a x a +=-+从而得到x 与a 的关系23x a =； c ．根据cos ∠FED 2DE aEF x a==+，可求得结果．…………………………7分 29．解：（1）4，3． ……………………………………………………………………2分（2）设点(),26D x x -+．①当0x ≤时，4,26x y l x l x =-=-+． ∵xy l l =，∴624+-=-x x ， ∴02>=x （舍去）．②当04x <<时，4,26x y l l x ==-+． ∵xy l l =，∴624+-=x ， ∴1=x 或5=x （舍去）． ∴()1,4D ．③当4x ≥时，,26x y l x l x ==-． ∵xy l l =，∴62-=x x ， ∴6=x ． ∴()6,6D -．综上满足条件的D 点的坐标为()1,4或()6,6-．……………………6分（3） 102a ≤<． ……………………………………………………………8分。

北京市石景山区2016届高三数学一模试卷(文科) 含解析

2016年北京市石景山区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3 C．D．y=x｜x|3．设｛a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列｛a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1,点E从D点出发,按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0 B． C．1 D．﹣15．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（)A．8 B．C．10 D．6．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0,|φ｜＜）的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是（)A．B．C．D．7．已知抛物线y2=4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1 B．3 C．6 D．128．将数字1，2，3,4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上,做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体,则柱体A和B 的表面(不含地面）数字之和分别是（）A．47，48 B．47，49 C．49，50 D．50,49二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．若变量x，y满足约束条件,则z=2x+y的最大值．11．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,20，则输出的a= ．12．设，b=1﹣2sin213°,，则a，b，c的大小关系是．（从小到大排列）。

石景山一模试题及答案.docx

石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试语文试卷学校__________________ 姓名______________ 准考证号一、基础？运用（共20分）1.阅读下面的文字，完成第⑴—⑸题。

（共10分）古时的旅者和今日的游人都喜欢在景点题字。

古代旅者大多是寄情山水的文人墨客，他们尊重自然和历史景观的美，注重文字与自然之间的和谐关系。

无论是匾额还是石刻，都是精雕细琢，这样的文字也提升了景观自身的审美价值。

古人题字，留下的既是自己的情感，也是一种美的表达。

比如泰山沿途题字随处可见，这些文字内容丰富，形态各异，无不传达出旅人的心绪。

“①”背后是题字者渴望被重用的理想抱负，而“②”则借杜少陵的名句赞美壮丽景色，一抒心中情怀。

沿路品读这些文字，也是一种享受。

对于题字，古人有着严苛的标准，他们将胸无点墨又偏好在墙上乱刻乱画的行为，视之为“疥壁”。

“疥”即疥疮，厌恶之情不言而喻。

今天的一些游客，③，题字多是书法拙劣、内容单调的涂鸦之物。

他们不在意山水如何，以刻上“到此一游”为自得。

调查发现，在北京的景山公园、中山公园、天坛、颐和园等多个热门景区中，大片竹林成了游客刻字的“重灾区”，甚至有的竹林被刻得体无完肤，惨不忍睹。

据景区管理人员介绍，竹林一旦被刻字将永不可能再修复。

有网友总结出景点题字的三个特点：第一，能写就写，绝不放过；第二，只要一个人写，就有人跟风写；第三，下手狠，写了就难擦掉。

这种“中国式留名”引发了国人的热议和反思。

⑴对文中加点字的注音和笔顺的判断，全都正确的一项是（2分）A.琢zhu o拙zhu o“式”字的笔顺是一弋弋弋式式B. 琢zhu o拙zhu o“式”字的笔顺是丸丸式式C. 琢zhu o拙zhu o“式”字的笔顺是_ T 壬工式貞*D. 琢zhu o拙zhu o“式”字的笔顺是一才产彳式式A •①【甲】 ②【丙】B •①【乙】 ②【丙】C .①【甲】②【丁】D .①【乙】②【丁】⑶根据语意，横线③处填入语句恰当的一项是（2分）A •虽有在历史上留名的美好梦想，却不具备古代文人的审美情趣和书法功底B •既不具备古代文人的审美情趣和书法功底，又有在历史上留名的美好梦想C .既有在历史上留名的美好梦想，又不具备古代文人的审美情趣和书法功底D •虽不具备古代文人的审美情趣和书法功底，却有在历史上留名的美好梦想 ⑷文中引号所引词语都含有比喻义的一项是（2分）A •“疥壁” “到此一游”B •“到此一游”“中国式留名”C . “疥壁”“重灾区”D •“重灾区”“中国式留名”⑸下列宣传语中能明确表达“禁止乱刻乱画”的意思，且语气亲切友善的一项是（2分）A •用文明书写国人形象B •除了脚印，什么都别留下C .乱刻乱画，“臭”名远扬D •请不要给我上“彩妆”2 •班委会计划以“自主拼团”的方式组织同学们参观首都博物馆，本次参观的目的是通过深入了解北京历史传承北京文化。

2016北京市石景山区初三(一模)数学

2016北京市石景山区初三（一模）数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销售额超过28000000元．将28000000用科学记数法表示应为（）A．0.28×108 B．2.8×108C．2.8×107D．28×1062．（3分）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（3分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组数量（棵） 5 6 5 4 6 5 7则本组数据的众数与中位数分别为（）A．5，4 B．6，5 C．7，6 D．5，55．（3分）脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．120°D．110°7．（3分）在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°9．（3分）王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．如表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：加油时间油箱加油量（升）加油时的累计里程（公里）2016年3月31日30 870062016年4月3日48 87606注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里的平均耗油量大约是（）A．7升B．8升C．9升D．10升10．（3分）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：am2﹣4an2=．12．（3分）在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为．13．（3分）反比例函数y=的图象上有两个点A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1y2（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14．（3分）如图，AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB．15．（3分）某市2012～2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为万箱，你的预估理由是．16．（3分）阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与BC相切的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：|1﹣|+（π﹣3.14）0﹣2sin60°+（）﹣2．18．（5分）已知m﹣n=，求（）÷的值．19．（5分）求不等式组的整数解．20．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．求证：∠AED=∠DCB．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为负整数，求此时方程的根．22．（5分）某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：白色文化衫黑色文化衫成本（元） 6 8售价（元）20 25假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？23．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．（1）求证：四边形ABDE是菱形；（2）若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．24．（5分）阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”．2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5140万人次，同比增长4.7%．今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次．2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%．全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次．2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%．其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次．根据以上材料解答下列问题：（1）2016年春运40天全国民航客运量比2014年多万人次；（2）请你选择统计表或统计图，将2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来．25．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若∠C=30°，EF=，求EB的长．26．（5分）阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1=x2﹣2x﹣1，y2=a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．请结合小捷的思路回答：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x的方程x﹣4=在0＜a＜4范围内有两个解，求a的取值范围．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．（1）当抛物线C经过点A（﹣5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称时，求m的值；（3）若抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数的图象，求m的取值范围．28．（7分）在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．（1）请你在图1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与∠CBE的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE＜DE，请写出求cos∠FED的思路．（可以不写出计算结果）．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度l1=M；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度l y=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l x=|3﹣1|=2；在y轴上的投影长度l y=|4﹣0|=4．（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则l x，l y．（2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当l x=l y时，求点D的坐标．（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l x=l y≤1时，请直接写出a的取值范围．数学试题答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】将28000000用科学记数法表示为2.8×107．故选C2．【解答】点A，B，C，D表示的数分别是﹣2，﹣0.5，2，3，其绝对值分别为2，0.5，2，3，故选B．3．【解答】A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．4．【解答】∵5出现了3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是5；把这组数据从小到大排列为：4，5，5，5，6，6，7，最中间的数是5；故中位数为5，故选D．5．【解答】∵八张脸谱图片中，为的有3个，∴在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是：．故选D．6．【解答】∵m∥n，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°．∵∠ACB=90°，∴∠4=∠ACB﹣∠3=90°﹣40°=50°，∴∠2=180°﹣∠4=180°﹣50°=130°．故选B．7．【解答】A、三视图都为正方形，故A选项不符合题意；B、三视图分别为长方形，长方形，圆，故B选项不符合题意；C、三视图分别为三角形，三角形，圆，故C选项符合题意；D、三视图都为圆，故D选项不符合题意；故选C．8．【解答】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D=180°．∴∠D=180°﹣135°=45°．∴∠AOC=90°．故选；B．9．【解答】设这段时间内该车行驶一百公里的平均耗油量大约是x升，根据题意得：x=48，解得：x=8．故选B．10．【解答】由题意和图象，可得由监测点A监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大；由监测点B监测P时，函数值y随t的增大而增大；由监测点C监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大，然后再减小；由监测点D监测P时，函数值y随t的增大而减小；故选C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【解答】am2﹣4an2=a（m2﹣4n2）=a（m+2n）（m﹣2n），故答案为：a（m+2n）（m﹣2n）．12．【解答】读图可知，AC=4，BD=6，则该菱形的面积为4×6×=12．故答案为12．13．【解答】∵反比例函数y=的图象上有两个点A（﹣2，y1），B（1，y2），∴，，解得y1=﹣3，y2=6，∵﹣3＜﹣6，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．【解答】∵∠A=∠A，AD=AE，∴可以添加AB=AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC=∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE=∠ACD，此时满足AAS，故答案为AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD；15．【解答】∵由折线统计图可知，2012﹣2013年销售量减少41﹣26=15（万箱），2013﹣2014年销售量减少26﹣12.6=13.4（万箱），2014﹣2015年销售量减少12.6﹣8.3=4.3（万箱），2015﹣2016年销售量减少8.3﹣8.1=0.2（万箱），由以上预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为8万箱，理由：2012到2015年销售量下降明显，但2015到2016年下降趋势明显变缓；故答案为：8，2012到2015年销售量下降明显，但2015到2016年下降趋势变缓．16．【解答】证明：作PD⊥BC，∵BF平分∠ABC，∠A=90°∴PA=PD，∴PD是⊙P的半径，∴D在⊙P上，∴BC是⊙P的切线．故答案为：角平分线上的点到角两边距离相等，若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．【解答】原式=﹣1+1﹣2×+4=4．18．【解答】原式=•mn=n﹣m，∵m﹣n=，∴原式=﹣．19．【解答】解不等式①得：x＞﹣2；解不等式②得：x≤；所以不等式组的解集为﹣2＜x≤．整数解为：﹣1，0，1．20．【解答】证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，∴CD=AB=DB，∴∠B=∠DCB．∵DE⊥AB于点D，∴∠A+∠AED=90°，∵∠A+∠B=90°，∴∠B=∠AED，∴∠AED=∠DCB．21．【解答】（1）由题可得：（﹣3）2﹣4（1﹣k）＞0，解得k＞﹣；（2）若k为负整数，则k=﹣1，此时原方程为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2．22．【解答】设购进白色文化衫x件，购进黑色文化衫y件，根据题意可得：，解得：，答：购进白色文化衫120件，购进黑色文化衫80件．23．【解答】（1）证明：∵AC∥BD，AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵AC∥BD，∴∠CAD=∠ADB，∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD，∴四边形ABDE是菱形；（2）解：∵∠ABC=90°，∴∠GBH+∠ABG=90°，∵AD⊥BE，∴∠GAB+∠ABG=90°，∴∠GAB=∠GBH，∵cos∠GBH=，∴cos∠GAB=，∴==，∵四边形ABDE是菱形，BD=14，∴AB=BD=14，∴AH=16，AG=，∴GH=AH﹣AG=．24．【解答】（1）5140﹣4407=733万人，故答案为：733；（2）2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量统计表（单位：亿人次）公共交通铁路公路客运量年份2014 2.66 32.62015 2.95 24.222016 3.25 24.9525．【解答】（1）证明：连接AD、OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，又∵AB=AC，∴CD=DB，又CO=AO，∴OD∥AB，∵FD是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴FE⊥AB；（2）∵∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠F=30°，∴OA=OD=OF，∵∠AEF=90°EF=，∴AE=，∵OD∥AB，OA=OC=AF，∴OD=2AE=2，AB=2OD=4，∴EB=3．26．【解答】请结合小捷的思路回答：由函数图象可知，a＜﹣2时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立．故答案为：a＜﹣2．解决问题：将原方程转化为x2﹣4x+3=a，设y1=x2﹣4x+3，y2=a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2=a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可知，a的取值范围是：﹣1＜a＜3．27．【解答】（1）∵抛物线C：y=mx2+4x+1经过点A（﹣5，6），∴6=25m﹣20+1，解得m=1，∴抛物线的表达式为y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；（2）∵直线y=﹣x+1与直线y=x+3的交点为（﹣1，2），∴两直线的对称轴为直线x=﹣1．∵直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于抛物线C的对称轴对称，∴﹣=﹣1，解得m=2；（3）∵抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间，∴当x=﹣1时，y＞0，且△≥0，即，解得3＜m≤4．28．【解答】（1）补全图形，如图1所示，∠ABF与∠CBE的数量关系为：∠ABF+CBE=45°，证明：如图2，连接BF，EF，延长DC到G，使CG=AF，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∴△BAF≌△BCG，∴BF=BG，∠ABF=∠CBG，∵AF+CE=EF，∴EF=GE，∴△BEF≌△BEG，∴∠FBE=∠GBE=∠ABF+∠CBE，∴∠ABF+∠CBE=45°．（3）解：设正方形的边长为3a，AF=x，∵点E是CD三等分点∴EF=CG+CE=x+a，DE=2a，DF=3a﹣x，在Rt△DEF中，EF2=DF2+DE2，∴（x+a）2=（3a﹣x）2+（2a）2，∴x=a，∴EF=x+a=a+a=，∴cos∠FED===．29．【解答】（1）∵A（3，3），∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．∴△OAB在y轴上的投影长度l y=3．∵B（4，1），∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．∴△OAB在x轴上的投影长度l x=4．故答案为：4；3．（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=2x+6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4﹣x．∵l x=l y，∴2x+6=4﹣x，解得；x=﹣．∴D（﹣，）．如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=﹣2x﹣6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4﹣x．∵l x=l y，∴﹣2x﹣6=4﹣x，解得；x=﹣10．∴D（﹣10，﹣14）．综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣10，﹣14）．（3）如图3所示：设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b﹣a，DF=b2﹣a2=（b+a）（b﹣a）．∵l x=l y，∴（b+a）（b﹣a）=b﹣a，即（b+a﹣1）（b﹣a）=0．∵b≠a，∴b+a=1．又∵0≤a＜b，∴a+a＜1，∴0≤a＜．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试I卷文科数学(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。

2016年高考真题文科数学(全国Ⅰ卷)含答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）设集合，，则（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7}(2)设的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（）（A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 （3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）（A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）65 （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，32cos =A ，则b=（）（A ）（B ）（C ）2 （D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的l 距离为其短轴长的41，则该椭圆的离心率为（）（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43（6）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后，所得图像对应的函数为（）（A ）y =2sin(2x +4π) （B ）y =2sin(2x +3π) （C ）y =2sin(2x –4π) （D ）y =2sin(2x –3π) )（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若a>b>0，0<c<1，则（）（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的1,0==y x n =1,则输出y x ,的值满足（）（A ）（B ）（C ）（D ）（11）平面过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，,，，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）（B ）（C ）（D ）（12）若函数在单调递增，则a 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a b ，则x =（14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+4π)=53，则tan(θ–4π)=.（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B两点，若32AB =，则圆C 的面积为（16）某企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

北京市石景山区2016—2017学年第一学期高三文科数学期末试卷附参考答案

北京市石景山区2016—2017学年第一学期高三年级期末试卷数学（文）第一部分（选择题共40 分）、选择题共 8小题，每小题 5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一6 .一个四棱锥的三视图如右图所示, 这个四棱锥的体积为（）A. 6B. 8C.12D. 24项• b5E2RGbCAP1 •已知集合 A 二{-1,1,2, 3} , B 二{x|x 》2},那么 A 「|B 等于（）A . {3}B . {2,3}C. {-1,2,3}D . {-1,1,2,3}2 .复数 i(3 4i) 二（)A . -4 3iB . 4 3iC. 3 — 4i D . 3 4iA . 3B . 5 C. 7 D . 94•下列函数中既是奇函数又在区间（0, •：：）上单调递减的是（x3A . y = eB . y = In( -x) C. y = x1D . y 二x5 .已知关于的一次函数y 二mx • n ，设m •{ -1,1,2} , n { -2, 2}，则函数y =mx • n 是增函数的概率是（）A .B .C.3 10D .3 •执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是（）2 2 27. 已知抛物线y =2px(p .0)的准线与圆(x_3) y =16相切，则p 的值为()1A .B . 1C 2D . 48.六名同学A 、B 、C 、D 、E 、F 举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局.第一天，A 、B 各参加了 3局比赛，C 、D 各参加了 4局比赛，E 参加了 2局比赛，且A 与C 没有比赛过， B 与D 也没有比赛过.那么 F 在第一天参加的比赛局数为() P^anqFDPwA . 1B . 2C. 3 D . 4第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 向量a = (J3,1), b=(J3,-1), a 与b 夹角的大小为 _____________________ .2x10. 函数f (x) = -------- (x 33)的最大值为 __________________ .x -111.已知△ ABC 中，AB=. 3 , BC=1 , sinC=,3cosC ，则△ ABC 的面积为.［八0,13. ___________________________________________________________________ 设变量x , y 满足约束条件＜x — y +1色0,则z = x + y 的最大值为 ________________________________________ .2+ y -3兰0,14. 甲、乙、丙三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖哪个厂的厂名，如果是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名.今有一批产品，发现盖过甲厂、乙厂、丙厂的厂名的产品分别为 18件、24件、30件，同时盖过甲、乙厂，乙、丙厂，丙、甲厂的产品，分别有 12 件、14 件、16 件.DXDiTa9E3d① 产品上盖有甲厂厂名没有盖乙厂厂名的产品共有件； ② 这批产品的总数最多有件.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.(本小题共13分)已知等比数列 a?的公比为q ，且q =1, 4=2, 3a 「2a 2,a 3成等差数列. (I)求数列(a n /的通项公式；x 212若双曲线- 4 2-1的渐近线方程为m则双曲线的焦点坐标是.(H)设数列(b n ?是一个首项为-6，公差为2的等差数列，求数列:a n 'b n?的前n项和.16.(本小题共13分)已知函数f(x) =2sin(n x) sinx ,3cos2x .(I)求f (x)的最小正周期；(n)求f (x)在［,］上的最大值.12 617.(本小题共13分)30新高考政策已经在上海和浙江试验实施.为了解学生科目选择的意向，从某校高一学生中随机抽取位同学，对其选课情况进行统计分析，得到频率分布表如下：RTCrpUDGiT(I)若所抽取的30位同学中，有2位同学选择了“历史、地理、生物”组合，3位同学选择了“物理、政治、历史”组合•求a、b、c的值；(n)在(I)的条件下，将选择了“历史、地理、生物”组合的2位同学记为心X2,选择了“物理、政治、历史”组合的3位同学记为y2、y3.现从这5位同学中任取2位(假定每位同学被抽中的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两位同学科目选择恰好相同的概率.5PCzVD7HxA20.(本小题共13分)18. (本小题共14分)如图 1，等腰梯形 BCDP 中，BC // PD , BA_PD 于点 A , PD =3BC ，且 AB 二BC=1. 沿AB 把A PAB 折起到A PAB 的位置(如图(I)求证：CD 丄平面PAC ; (H)求三棱锥 A 一 P BC 的体积； (川)线段PA 上是否存在点 M ，使得BM 请说明理由.19.(本小题共14分)2 2已知椭圆C :笃•占=1(a b 0)的离心率为 ' ，点(2,0)在椭圆C 上.a b 2(I)求椭圆C 的标准方程；(H)过点P(1,0)的直线(不与坐标轴垂直)与椭圆交于A 、B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为 B .直线AB 与X 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由.jLBHrnAlLg.丿1 3 2已知函数 f x x • ax • (2 a -1)x (a •二 R).3(i)若f (x)在点(0,0)处的切线方程为y = x ，求a 的值；2),使 N PAD =90* .//平面PCD .若存在，指出点 M 的位置并证明；若不存在,DA D图1(n)求f (x)的单调区间；(川)当a = 一1 时，设f (x)在x1,x2(x1：：：X2)处取到极值，记Mg’fX)).A(0, f(0)) , B(1,f (1)) , C(2, f(2)),判断直线AM、BM、CM与函数f (x)的图象各有几个交点(只需写出结论).石景山区2016—2017学年第一学期期末考试高三数学(文)参考答案•选择题共8小题，每小题5分，共40分.•填空题共6小题，每小题5分，共30 分.三.解答题共6小题，共80分.15.(本小题共13分)解：(i)因为3a1.2a2.a3成等差数列，所以4a? — 3a1 a3. ....... 2 分所以4&q =3a1• a1q2.所以q2-4q 3=0 .所以q =3或q =1(舍) 4分设事件A 表示“从这5位同学中任取2位，这两位同学科目选择恰好相同”所以a . = 2 3“亠 (6)(n) b n = -6 (n 「1)2=2n -8 . ••…8 分所以 a n b n =2n -8 2 3n - . ••…9 分所以 S n = (a i a^ .............. a n ) (bi b^ .................. b n )16.(本小题共13分)解：(I) f(x)=2cosxsinx 「/3cos2x ........................ 1 分=sin 2x “3 cos2x (2)分n=2sin(2 x 川一),3因此f (x)的最小正周期为 n .因为抽取的30位同学中，有2位同学选择了史地生组合，所以有3位同学选择了理政史组合，所以 b 二丄，从而c = 110 3所以a =2 , b 二丄,.30 ' 10 ' 3(n)从5位同学x n x 2, y 1, y 2, y 3中任取2位，所有可能的结果为:{X 1,X 2} , {X 1,yd , {^，丫?} , {*,『3} , {X 2, %},{X 2,y 2} , {x 2, y a }, {y 1,y 2} , {y 1, y a } , {y 2, y a } (8)....................................................... 分n(-6 2n -8) 2 .2(1-3n )1-3=n 2 -7n 3n -1 .13分17. 解: (n)当n n nn 2 nx —,—］时，_ *2x12 6 6 33n n2x32 n，sin(2x+n 有最大值1.10分n「2时，(本小题共13 分) (I)由频率分布表得f (x)的最大值为2 .13分1 12 a b c =1,5 6 151 * 一15，令 f'(x) =0，贝y x —1 或 x =1 -2a , 4分则 A 包含的基本事件为：{x i ,x 2}, {%,y 2}, {y i ,y 3}, {y 2,y 3}共4个,18.（本小题共14分）解：（I ）因为.PAD =90’，所以PA 丄AD .因为在等腰梯形中， AB 丄AP ，所以在四棱锥中， AB 丄AP '. 又AD 一 AB =A ，所以PA 丄面ABCD .因为CD 二面ABCD ，所以PA 丄CD . ，八...... 3分因为等腰梯形 BCDE 中，AB _ BC , PD =3BC ，且 AB =BC =1 . 所以 AC = . 2 ,CD = . 2 , AD =2 •所以 AC 2 CD 2 = AD 2 .所以AC 丄CD .因为PA ' AC = A ,所以CD 丄平面PAC .……5分1 1(U) S A ABCBC AB , ............. 7分 2 2因为PA 丄面ABCD .所以V A -P BC -V P -ABC1 S A ABC3（川）存在一点M , M 为PA 的中点，使得BM //面PCD ,10分证明：取PA 中点M , PD 中点N ，连结因为所以因为所以所以四边形 M , MN BC DMN // BM , MN , NC ,所以 BM // CN .因为 BM 二面 P C D , CN 二面 P C D .所以BM //平面P CD .... .......................................14分又基本事件的总数为 10，故所求的概率42 咻）甘513分19.(本小题共14分)解：(I)因为点(2,0)在椭圆C 上，所以a = 2 .又因为e，所以c=、.3.a 2所以 b = - a 2 _c 2 =1.2所以椭圆C 的标准方程为：xy 2 .4(n)设 A(X 1,y 1),B(X 2,y 2),B(X 2,-y 2),Q(n,0).设直线 AB : y =k(x _1)(k =0) . (6)分2 2 2 2 2 2y=k(x-1)和x 4y -4 =0，得：(1 4k )x -8k x 4k -4 = 0.又 % =k(x -1),y^k(x 2 -1),联立所以1X 2心，住十1 4k2 1 4k 2直线 AB •的方程为y 一％ =亠匹(X 一洛),X t _x 2%(X 1 - X 2) _ X 1 y 2 X2 %x 1 -y 「y 211分* y 2所以n=込a 尬=4.x<^ x 2 - 213分所以直线AB ■与x轴的交点Q是定点，坐标为Q(4,0).14分20.(本小题共13分)解：(I)由题意f (x) =x2 2ax 2a -1,因为f (x)在(0,0)点处切线方程为y = x ,所以f (0) =2a -1 =1，解得a =1,经检验a =1时满足条件. ............ 3分(叮由(I) f '(x)二x2 2ax 2a -1 = (x 1)(x 2a-1)①当a 1 时，1 _2a ：：：一1,令f '(x) .0，解得x ：：：1 _2a 或x . 一1；令f '(x) ：：：0 ,解得1 -2a ：：：x ：：：-1 .所以函数f (x)的单调增区间为(_：：,1_2a)和(-1,：：),单调减区间为(1-2a, _1). ...................... 分②当a =1时，1 — 2a - -1，此时，f'(x)_0恒成立，且仅在x = -1处f '(x) =0 ,故函数f (x)的单调增区间为(_：：,•：：). ................. 7分③当a ：：：1 时，1 _2a • -1,同理可得函数f (x)的单调增区间为(-：：，-1)和(1 -2a,：：), 单调减区间为(_1,1-2a) ..................... .............. 分(川)直线AM与f(x)的图象的交点个数是3个； ............. 1分直线BM与f (x)的图象的交点个数是3个；分直线CM与f (x)的图象的交点个数是2 个.令f'(x) =0，贝y x —1 或x=1 -2a, 4分。

2016北京市石景山区高三(一模)数学(文)

2016北京市石景山区高三（一模）数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x3C．D．y=x|x|3．（5分）设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从D点出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA，AB，BC运动到C点，在此过程中的最大值是（）A．0 B．C．1 D．﹣15．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B．C．10 D．6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．7．（5分）已知抛物线y2=4x的弦AB中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为（）A．1 B．3 C．6 D．128．（5分）将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子．分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B所示的两个柱体，则柱体A和B的表面（不含地面）数字之和分别是（）A．47，48 B．47，49 C．49，50 D．50，49二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值．11．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，20，则输出的a= ．12．（5分）设，b=1﹣2sin213°，，则a，b，c的大小关系是．（从小到大排列）13．（5分）已知函数若直线y=m与函数f（x）的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是．14．（5分）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1 题第2题第3 题第4 题第5 题第6 题第7题第8 题得分甲××√××√×√ 5乙×√××√×√× 5丙√×√√√××× 6丁√×××√×××？丁得了分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．17．（13分）交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从贵阳市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示．（1）求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段各有多少个？（2）用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽出6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（3）从（2）中抽取的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率．18．（14分）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．（1）求证：B1D1∥面A1BD；（2）求证：MD⊥AC；（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．19．（14分）已知函数f（x）=e x﹣2x．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜e x．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．2．【解答】y=x+1不是奇函数，y=﹣x3在R上是减函数，y=在定义域上不是增函数，y=x|x|=，故y=x|x|是增函数且为奇函数．故选：D．3．【解答】若已知a1＜a2，则设数列{a n}的公比为q，因为a1＜a2，所以有a1＜a1q，解得q＞1，又a1＞0，所以数列{a n}是递增数列；反之，若数列{a n}是递增数列，则公比q＞1且a1＞0，所以a1＜a1q，即a1＜a2，所以a1＜a2是数列{a n}是递增数列的充分必要条件．故选C4．【解答】以BC、BA所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1），当E在DA上，设E（x，1），其中0≤x≤1∵=（x﹣1，0），=（0，1），∴=0，当E在AB上，设E（0，y），其中0≤y≤1∵=（﹣1，y﹣1），=（0，1），∴=y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0，当E在BC上，设E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x﹣1，﹣1），=（0，1），∴=﹣1，当E在CD上，设E（1，y），其中0≤y≤1∵=（0，y﹣1），=（0，1），∴=y﹣1，（0≤y≤1），此时最大值为0，综上所述的最大值是0，故选：A．5．【解答】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值，10．故选C．6．【解答】由图象可得函数的周期T满足T=﹣（﹣）=，∴T=π，∴ω==2，∴f（x）=2sin（2x+φ），又函数图象经过点（，2），∴2sin（+φ）=2，∴+φ=2kπ+，∴φ=2kπ﹣，k∈Z∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=﹣故选：A．7．【解答】设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，令直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线y2=4x得k2x2+2（kb﹣2）x+b2=0，故有x1+x2=，x1x2=，故有4=，解得b=，即x1x2=，又|AB|=|x1﹣x2|=，=4=4≤4×=6．故|AB|的最大值为6，故选C．8．【解答】图A中数字之和为1+6+3+4+2+5+6+1+6+1+4+3+5=47；图B中数字之和为3+4+5+2+1+6+5+2+3+4+2+5+6=48，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．10．【解答】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线过B（4，2）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为z=2×4+2=10．故答案为：10．11．【解答】当a=14，b=20时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b=b﹣a后，a=14，b=6，当a=14，b=6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a=a﹣b后，a=8，b=6，当a=8，b=6时，满足a≠b，且满足a＞b，执行a=a﹣b后，a=2，b=6，当a=2，b=6时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b=b﹣a后，a=2，b=4，当a=2，b=4时，满足a≠b，但不满足a＞b，执行b=b﹣a后，a=2，b=2，当a=2，b=2时，不满足a≠b，故输出的a值为2，故答案为：212．【解答】∵=sin62°，b=1﹣2sin213°=cos26°=sin64°，=sin60°，则c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b．13．【解答】作出函数f（x）的图象如图则当x＜1时，f（x）∈（0，2），当x≥1时，f（x）≥0，则若直线y=m与函数f（x）的图象只有一个交点，则m≥2或m=0，故答案为：m≥2或m=014．【解答】因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同，所以，丁的得分也是6分．故答案为：6三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，∴=2，∴=2n﹣1，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n=2n﹣1+a n，∴（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）=+=n2+2n﹣1．16．【解答】（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．17．【解答】（1）由直方图得：这20个路段中，轻度拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20=6个，中度拥堵的路段有（0.25+0.2）×1×20=9个，严重拥堵的路段有（0.1+0.2）×1×20=3个．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为，即从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中分别抽取的个数为2，3，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）记选出的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选出的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选出的1个严重拥堵路段为C1，则从这6个路段中选出2个路段的所有可能情况如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1），共15种情况．其中至少有一个轻度拥堵路段的情况有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），共9种．所以所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．【解答】（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1=DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD．而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．（2）证明：因为BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，所以BB1⊥AC，又因为BD⊥AC，且BD∩BB1=B，所以AC⊥面BB1D，而MD⊂面BB1D，所以MD⊥AC．（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．因为N是DC中点，BD=BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，所以BN⊥面DCC1D1．又可证得，O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因为OM⊂面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．19．【解答】（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以当x=ln2时，f（x）有极小值，且极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值…（6分）（Ⅱ）证：令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x由（Ⅰ）得，g'（x）=f（x）≥f（ln2）=2﹣ln4＞0，即g'（x）＞0所以g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，所以当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x…12分20．【解答】（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）故曲线C的方程为．…（5分）（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）因为直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为 x=my﹣1或y=0（舍）．则整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．…（7分）由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得，．则．因为=．…（10分）设，，．则g（t）在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当m=0时取等号，即．所以S△AOB的最大值为．…（13分）。

石景山区高三一模数学文有答案

北京市石景山区 2010 年高三统一测试数学试题（文科）考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。

2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21i +等于（）A ．2i -B ．2iC ．1i -D ．1i + 2．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（）A ．,2x R x ∀∈≤B ．,2x R x ∀∈≤C ．2,-≤∈∀x R xD ．2,-<∈∀x R x3．已知平面向量)2,1(=a ，m b a m b 则且,//),,2(-=的值为（）A ．1B ．-1C ．4D ．-44．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为（）A ．80B ．60C ．40D ．205．经过点P （2，-3）作圆25)1(22=++y x 的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB所在直线方程为（）A ．05=--y xB ．05=+-y xC ．05=++y xD ．05=-+y x6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（） A ．求数列}1{n 的前10项和)(*N n ∈B ．求数列}21{n 的前10项和)(*N n ∈C ．求数列}1{n 的前11项和)(*N n ∈D ．求数列}21{n的前11项和)(*N n ∈7．已知函数)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示，那么函数)(x f 的图象最有可能的是（）8．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数c b a ,,是公差为正数的等差数列，且满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f 。

若实数d 是方程0)(=x f 的一个解，那么下列四个判断：①a d <;②;b d <③;c d >④c d >中有可能成立的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2016年北京石景山区初三一模数学试卷答案

∴四边形ABDE是菱形．
（2）若BD = 14，cos ∠GBH
jia
答案解析
GH =
15 4
∵∠ABC ∴∠GBH
= 90
os h
=
7 8
∘
，
∘
i.i
，求GH 的长．
+ ∠ABG = 90
∵AD⊥BE， ∴∠GAB + ∠ABG = 90∘ ． ∴∠GAB = ∠GBH ． ∵cos ∠GBH
于点F ，连接BE，交AD于点G．
目录
选择题（本题共30分，每小题3分）填空题（本题共18分，每小题3分）解答题（本题共72分，第17-26题，每小…
（1）求证：四边形ABDE是菱形．
∴四边形ABDE是平行四边形． ∵AD平分∠C AB， ∴∠C AD = ∠BAD ． ∵AC //BD， ∴∠C AD = ∠ADB ． ∴∠BAD = ∠ADB ． ∴AB = BD ．
hi
D
.iz hi
的概率= ．
8 3
由概率公式知，随机抽取一张为
6. 如图，直线m//n，△ABC 的顶点B，C 分别在直线n，m上，且∠AC B = 90∘，若∠1 = 40∘，则∠2的度数为（）．
A.
140
∘
B.
130
∘
C.
120
∘
D.
110
∘
答案解析
B ∵m//n， ∴∠3 = ∠1 = 40∘ ， ∵∠AC B = 90∘ ， ∴∠4 = ∠AC B − ∠3 = 50∘ ， ∴∠2 = 180∘ − ∠4 = 130∘ ．
7. 在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（）．

2016石景山区高三(上)期末数学(文科)

2016石景山区高三（上）期末数学（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={2，5}，集合B={1，2}，集合C={1，2，5，7}，则（A∪B）∩C为（）A．{1，2，5}B．{2，5}C．{2，5，7}D．{1，2，5，7}2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．0 B．2 C．3 D．43．（5分）若函数y=f（x）的定义域为M={x|﹣2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）A． B． C．D．4．（5分）“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图的程序框图表示算法的运行结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．16．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y+1）2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．（x+1）2+y2=17．（5分）已知f（x）=x﹣1，若|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，1]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）8．（5分）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数i（1﹣i）的实部为．10．（5分）已知向量=（﹣3，4），=（1，m），若•（﹣）=0，则m=．11．（5分）某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a=；样本中净重在[98，104）的产品的个数是．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则sinB=．13．（5分）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为．14．（5分）股票交易的开盘价是这样确定的：每天开盘前，由投资者填报某种股票的意向买价或意向卖价以及相应的意向股数，然后由计算机根据这些数据确定适当的价格，使得在该价位上能够成交的股数最多．（注：当卖方意向价不高于开盘价，同时买方意向价不低于开盘价，能够成交）根据以下数据，这种股票的开盘价为元，能够成交的股数为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）记，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．17．（13分）编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：（Ⅱ）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50分的概率．18．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC=BC=2，AA1=4，，M，N 分别是棱CC1，AB中点．（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB1；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣AMN的体积．19．（13分）已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣x2，g（x）=﹣mx，m是实数．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极大值，求m的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数h（x）=f（x）﹣g（x）有三个零点，求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】∵A={2，5}，B={1，2}；∴A∪B={1，2，5}；∵C={1，2，5，7}，∴（A∪B）∩C={1，2，5}，故选：A．2．【解答】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故选：D．3．【解答】对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．4．【解答】当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选B．5．【解答】模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=1，i=2不满足条件i＞3，满足条件i是偶数，S=﹣1，i=3不满足条件i＞3，不满足条件i是偶数，S=2，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出S的值为2．故选：B．6．【解答】圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆的圆心坐标（0，1），圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1．故选：C，7．【解答】如图，要使|f（x）|≥ax﹣1在x∈R上恒成立，则过定点（0，﹣1）的直线y=ax﹣1的斜率a∈[﹣1，1]．故选：C．8．【解答】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】复数i（1﹣i）=1﹣i，复数的实部为：1．故答案为：1．10．【解答】由题可知：•（﹣）=（﹣3，4）•[（﹣3，4）﹣（1，m）] =（﹣3，4）•（﹣4，4﹣m）=12+16﹣4m=0，即m=7，故答案为：7．11．【解答】由样本的频率分布直方图知：a=[1﹣2×（0.05+0.075+0.1+0.15）]=0.125．∵样本中产品净重小于100克的产品的频率是2×（0.05+0.1）=0.3，样本中产品净重小于100克的个数是48，∴样本的容量是n==160，∵样本中净重在[98，104）的产品的频率是2×（0.10+0.15+0.125）=0.75，∴样本中净重在[98，104）的产品的个数是160×0.75=120．故答案为：120．12．【解答】∵a=15，b=10，A=60°，∴sinB===．故答案为：．13．【解答】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案为：414．【解答】依题意，当开盘价为2.1元时，买家意向股数为600+300+300+100=1300，卖家意向股数为200，此时能够成交的股数为200；当开盘价为2.2元时，买家意向股数为300+300+100=700，卖家意向股数为200+400=600，此时能够成交的股数为600；当开盘价为2.3元时，买家意向股数为300+100=400，卖家意向股数为200+400+500=1100，此时能够成交的股数为400；当开盘价为2.4元时，买家意向股数为100，卖家意向股数为200+400+500+100=1200，此时能够成交的股数为100；故答案为：2.2，600．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（I）设公差为d，由题意可得，即d2﹣d=0，解得d=1或d=0（舍去）所以a n=1+（n﹣1）=n．（II）∵，故数列{b n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴数列{b n}的前n项和．16．【解答】==．（Ⅰ）f（x）的最小正周期为．令，解得，所以函数f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）因为，所以，所以，于是，所以0≤f（x）≤1．当且仅当x=0时，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0．当且仅当，即时最大值．17．【解答】（I）由已知中编号为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录表易得：得分在区间[10，20）上的共4人，在区间[20，30）上的共6人，在区间[30，40]上的共6人，故答案为4，6，6（II）（i）得分在区间[20，30）上的共6人，编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，计为（X，Y），则所有可能的抽取结果有：（A3，A4），（A3，A5），（A3，A10），（A3，A11），（A3，A13），（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A4，A13），（A5，A10），（A5，A11），（A5，A13），（A10，A11），（A10，A13），（A11，A13）共15种．（ii）从得分在区间[20，30）内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大于50分的基本事件有：（A4，A5），（A4，A10），（A4，A11），（A5，A10），（A10，A11）共5种故这2人得分之和大于50分的概率P==18．【解答】（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC又因为CN⊂平面ABC，所以AA1⊥CN．因为AC=BC=2，N是AB中点，所以CN⊥AB．因为AA1∩AB=A，所以CN⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连接MG，NG，因为N，G分别是棱AB，AB1中点，所以NG∥BB1，．又因为CM∥BB1，，所以CM∥NG，CM=NG．所以四边形CNGM是平行四边形．所以CN∥MG．因为CN⊄平面AMB1，GM⊂平面AMB1，所以CN∥平面AMB1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM⊥平面AB1N．所以．故答案为：．19．【解答】（I）由条件椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（II）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得k2＜，x1+x2=，由又点A，B的中点横坐标为．可得解得k2=，即有k=±．y=（x﹣4）．直线l的方程：y=（x﹣4）．20．【解答】（Ⅰ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，由f（x）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1﹣（m+1）=0，∴m=0，检验m=0时，f（x）=x3﹣x2，f′（x）=x（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故x=1是极大值点，不符合题意；（Ⅱ）f′（x）=x2﹣（m+1）x，∵f（x）在区间（2，+∞）为增函数，∴f′x）=x（x﹣m﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，∴x﹣m﹣1≥0恒成立，即m≤x﹣1恒成立，由x＞2，得m≤1，∴m的范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣x2+mx﹣，∴h′（x ）=（x ﹣1）（x ﹣m ）=0，解得：x=m ，x=1，m=1时，h′（x ）=（x ﹣1）2≥0，h （x ）在R 上是增函数，不合题意，m ＜1时，令h′x ）＞0，解得：x ＜m ，x ＞1，令h′（x ）＜0，解得：m ＜x ＜1， ∴h （x ）在（﹣∞，m ），（1，+∞）递增，在（m ，1）递减，∴h （x ）极大值=h （m ）=﹣m 3+m 2﹣，h （x ）极小值=h （1）=，要使f （x ）﹣g （x ）有3个零点，需，解得：m ＜1﹣，∴m 的范围是（﹣∞，1﹣）．word 下载地址。

石景山区—第一次模拟考试试卷.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝( )A ．[]01， B ．()01， C ．(]01，D ．[)01， 2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．1y x =+ B ．3y x =- C ．1y x =D ．y x x =4．下图给出的是计算111124610+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A ．5i > B ．5i < C ．6i > D ．6i <5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ) A ．8 B ．62 C ．10 D ．82 6．在数列{}n a 中，“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数()sin()(00)2f x A x A =+>><，，πωϕωϕ的部分图象如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的函数图象的解析式为( ) A ．sin 2y x = B ．2sin(2)3y x π=+C ．sin(2)6y x π=-D ．cos 2y x = 8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半 (即2n)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n 的所有不同值的个数为( )A ．4B ．6C ．32D ．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线2212x y -=的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量x y ，满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最大值等于_____． 11．如图，AB 是半圆O 的直径，30BAC ︒∠=，BC 为半圆的切线，且43BC =，则点O 到AC 的距离OD ＝________．12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s =+⎧⎨=-⎩，(s 为参数)，曲线C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____．13．已知函数2log 0()30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，，，，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1 题第2题第3 题第4 题第5 题第6 题第7题第8 题得分甲××√××√×√ 5 乙×√××√×√× 5 丙√×√√√××× 6 丁√×××√×××？丁得了_______________分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）设△ABC的内角A B C，，，且sin3cos，，的对边分别为a b c=．b A a B（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若3sin2sinb C A，，求a c，的值．==16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数35 25 a10 b已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：a，b的值；（Ⅰ）求（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X 表示销售一部苹果6S 手机的利润，求X 的分布列及数学期望．17．（本小题共14分）如图，三棱柱111A B C A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．18．（本小题共13分）已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <；（Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数k 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为2，离心率为22，直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1(0)2-，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共13分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（Ⅰ）①前n 项和为2n nS =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．答案及试题解析1【知识点】集合的运算【试题解析】因为故答案为：D【答案】D2【知识点】复数综合运算【试题解析】因为所以，对应的点位于第二象限故答案为：B【答案】B3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数故答案为：D【答案】D4【知识点】算法和程序框图【试题解析】因为判断框内填入的条件是输出的值故答案为：A【答案】A5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,故答案为：C【答案】C6【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件故答案为：B【答案】B7【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为由图像可知,过点，又得，，图象向右平移个单位后故答案为：C【答案】C8【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值故答案为：B【答案】B9【知识点】双曲线【试题解析】因为焦距渐近线方程是故答案为：，【答案】，10【知识点】线性规划【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10故答案为：10【答案】1011【知识点】几何选讲【试题解析】因为故答案为：3【答案】312【知识点】参数和普通方程互化【试题解析】因为，联立得得，得故答案为：【答案】13【知识点】零点与方程函数图象【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。

.石景山高三数学(文科)模拟试题参考答案

2010年石景山区高三统一测试数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：一题两空的第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）解：（Ⅰ）∵ 在ABC ∆中，C B A -=+π，∴ sin()sin()sin A B CC π+=-=.又∵ 43cos =C ,∴ 20π<<C ,∴47cos 1sin 2=-=C C .∴ 47)sin(=+B A . ……………3分（Ⅱ）由正弦定理得CcA a sin sin =, ∴ 1sin sin a CA c===. ………………8分（Ⅲ）由余弦定理得 C ab b a c cos 2222-+=，∴ 22231214b b =+-⨯⨯⨯，即 02322=--b b . 解得2=b 或12b =-（舍）. ………………11分 ∴ 33cos 1242CB CA CB CA C ⋅=⨯⨯=⨯⨯=. ………………13分 16．（本题满分13分）解：（Ⅰ）从这6家企业中选出2家的选法有),(B A ， ),(C A ，),(D A ，),(E A ，),(F A ，),(C B ，),(D B ，),(E B ，),(F B ，),(D C ， ),(E C ，),(F C ，),(E D ，),(F D ，),(F E ，共有15种. ………………4分其中企业E 中标的选法有),(E A ,),(E B ,),(E C ,),(E D ,),(F E ,共5种， ………………7分则企业E 中标的概率为31155=. ………………8分（Ⅱ）解法一：在中标的企业中，至少有一家来自河南省选法有),(D A ，),(E A ，),(F A ，),(D B ，),(E B ，),(F B ，),(D C ，),(E C ，),(F C ，),(E D ，),(F D ，),(F E ，共12种. ………………12分则“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为541512=. …………13分解法二：在中标的企业中，没有来自河南省选法有：),(B A ，),(C A ，(,)B C ，共3种. ……………11分∴ “在中标的企业中，没有来自河南省”概率为51153=. ………………12分 ∴ “在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为54511=-. ……13分17．（本题满分14分）（Ⅰ）证明：∵三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，∴1BB ⊥平面ABC . ……………1分又∵CF ⊂平面ABC ， ……………2分 ∴CF 1BB ⊥. ……………3分（Ⅱ）解：∵三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，∴1BB ⊥平面ABC . 又∵AC ⊂平面ABC ，∴AC 1BB ⊥ . ∵90=∠ACB ， ∴AC BC ⊥. ∵1BB BC B =，∴AC ⊥平面1ECBB . ………………6分 ∴1113A ECBB ECBB V S AC -=⋅. ………………7分 ∵E 是棱1CC 的中点，∴1122EC AA ==. ∴1111()(24)2622ECBB S EC BB BC =+⋅=⨯+⨯=. ………………8分∴111162433A ECBB ECBB V S AC -=⋅=⨯⨯=. ………………9分（Ⅲ）解：CF ∥平面1AEB .证明如下：取1AB 的中点G ，联结EG ，FG .∵F 、G 分别是棱AB 、1AB 中点，∴ FG ∥1BB ，12FG =1BB . 又∵EC ∥1BB ，112EC BB =，∴ FG ∥EC ，FG EC =.∴ 四边形FGEC 是平行四边形. ………………11分 ∴ CF ∥EG . …………12分又∵CF ⊄平面1AEB ，EG ⊂平面1AEB ， ……13分 ∴ CF ∥平面1AEB . ………………14分 18．（本题满分13分）（Ⅰ）解：1 3a =，122n n a a n -=+- *(2)n n ≥∈N ，且，∴ 622212=-+=a a ， ………….. 2分1323223=-+=a a . ………….. 4分（Ⅱ）证明：11111(22)2222(1)11n n n n n n a n a n n a n a n a n a n -----++-++-===+-+-+-，∴ 数列{}n a n +是首项为114a +=，公比为2的等比数列 . ………….. 7分11 422n n n a n -+∴+=⋅=，即12n n a n +=-，∴ {}n a 的通项公式为12n n a n +=- *()n ∈N . ………….. 9分（Ⅲ）解：{}n a 的通项公式为12n n a n +=- *()n ∈N ，∴ )321()2222(1432n S n n ++++-+++=+ ……….…….. 11分2822)1(21)21(2222++-=+⨯---⨯=+n n n n n n *()n ∈N . ….…….. 13分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为(0)c c >，依题意⎪⎩⎪⎨⎧==,3,36a a c 解得2=c .由222c b a +=，得1b =. ……2分∴所求椭圆方程为221.3x y += ……3分（Ⅱ）1,m =1y kx ∴=+.设 1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足方程221,3 1.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得22(13)60k x kx ++=，则()()22641300k k ∆=-+⨯>，解得0k ≠. ……5分故121226,013kx x x x k -+=⋅=+. ……6分0OA OB ⋅=，2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y x x kx kx k x x k x x ∴+=++⋅+=++++ …7分2222613(1)0101331k k k k k k --=+⨯+⋅+==++3k ∴=±.……8分（Ⅲ）2=可得223(1)4m k =+． ……9分将y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(13)6330k x kmx m +++-=.()()()2226413330()km k m ∆=-+->*2121222633,.1313km m x x x x k k --∴+=⋅=++ ……10分2222222212223612(1)(1)()(1)[](31)31k m m AB k x x k k k -∴=+-=+-++22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ ……11分 242221212123334(0)196123696k k k k k k=+=+≤+=≠++⨯+++. …12分当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．经检验，k =满足()*式．当0=k 时，3=AB . ……13分综上可知max 2AB =.∴当AB 最大时，AOB ∆的面积取最大值2323221=⨯⨯=S .……14分20．（本题满分13分）解：（Ⅰ）∵ 2()323f x ax bx '=+-，…………………………………………………1分根据题意，得⎩⎨⎧='-=,0)1(,2)1(f f 即 ⎩⎨⎧=-+-=-+,0323,23b a b a 解得 1,0.a b =⎧⎨=⎩ ………………2分∴ x x x f 3)(3-=． ………………………………………………………………3分（Ⅱ）令33)(2-='x x f ，即0332=-x ，解得 1±=x ．∵ 2)1(=-f ，2)1(-=f ，∴ 当[]2,2-∈x 时，2)(max =x f ，2)(min -=x f ．………………………………5分则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值21,x x ，都有4)()()()(min max 21=-≤-x f x f x f x f ，所以4≥c ．所以c 的最小值为4．………………………………………………………………7分（Ⅲ）∵ 点),2(m M )2(≠m 不在曲线)(x f y =上，∴ 设切点为),(00y x ．则03003x x y -=．∵ 33)(200-='x x f ，∴ 切线的斜率为3320-x ．……………………………8分则 23330032---=-x mx x x ，……………………………………………………9分即 06622030=++-m x x ．因为过点),2(m M )2(≠m ，可作曲线)(x f y =的三条切线，所以方程06622030=++-m x x 有三个不同的实数解． …………10分即函数m x x x g ++-=662)(23有三个不同的零点．则2()612g x x x '=-．令()0g x '=，解得 0=x 或2=x ．∴(0)0,(2)0,gg>⎧⎨<⎩即60,20,mm+>⎧⎨-+<⎩解得26<<-m．………………………13分注：若有其它解法，请酌情给分．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(新课标III卷)试题及答案解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（新课标III 卷）试题及答案解析注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð= （A ）{48}，（B ）{026}，，（C ）{02610}，，，（D ）{0246810}，，，，，（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i55 （D ）43i55-（3）已知向量BA →=（12，32），BC →=（32，12），则∠ABC =（A ）30°（B ）45°（C ）60°（D ）120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A ）各月的平均最低气温都在0℃以上（B ）七月的平均温差比一月的平均温差大（C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I,N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A ）815（B ）18（C ）115（D ）130（6）若tan θ=31-，则cos2θ= （A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）45（7）已知4213332,3,25a b c ===，则(A)b<a<c(B) a<b<c(C) b<c<a(D) c<a<b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6(9）在ABC 中，B=1,,sin 43BC BC A π=边上的高等于则 (A)310 (B)1010 (C)55 (D)31010（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81（11）在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π（B ）9π2（C ）6π（D ）32π3（12）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22—24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为______.（14）函数y =sin x –3cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到.（15）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD|= __________. （16）已知f (x )为偶函数，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程是_________________________. 【分值】 5分三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，211(21)20n n n n a a a a ++---=（I ）求a 2，a 3；（II ）求{a n }的通项公式。

2016石景山初三一模数学试题资料

石景山区2016年初三统一练习暨毕业考试数学试卷学校姓名准考证号下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销售额超过28 000 000元．将28 000 000用科学记数法表示应为A．0.28×108 B．2.8×108 C．2.8×107 D．28×1062．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是A．点AB．点BC．点C D．点D3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不．属于．．中心对称图形的是A B C D4．某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：则本组数据的众数与中位数分别为A．5，4 B．6，5C．7，6D．5，5DB CA–1–21235．脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是A．31B．85C．53D．836．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB= 90°，若∠1= 40°，则∠2的度数为A．140°B．130°C．120°D．110°7．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为A B C D8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为A．45°B．90°C．100°D．135°9．王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．下表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里．．．．的平均耗油量大约是A．7升B．8升C．9升D．10升12nmCA10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从点B 出发，沿着B -E -D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P 的运动时间为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是图1 图2A ．监测点AB ．监测点BC ．监测点CD ．监测点D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：224am an -=_______________．12．如图，方格纸中有一四边形ABCD （A ，B ，C ，D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为． 13．反比例函数6y x=的图象上有两个点()12,A y -，()21,B y ，则1y 2y （用“>”，“<”或“=”连接）．14．如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．第14题图第15题图15．某市2012~2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为_________万箱，你的预估理由是__________________________________________________．E DCBA销售量/万箱16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P 与BC 相切的依据是____________________________________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：()211 3.142sin 602π-⎛⎫+--︒+ ⎪⎝⎭．18．已知m n -=求111m n mn ⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值． 19．求不等式组3(1)1,23 2.3x x x +>-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩的整数解．．．． 20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E ．求证：∠AED =∠DCB ．21．已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为负．整数．．，求此时方程的根．EDCBA22．某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？ 23．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作AC的平行线交∠CAB 的平分线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ．（1）求证：四边形ABDE 是菱形；（2）若BD =14，cos ∠GBH =87，求GH 的长． 24．阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”．2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5140万人次，同比增长4.7%．今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次．2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%．全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次．2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%．其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次．根据以上材料解答下列问题：（2）请你选择统计表或统计图，将2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来．H GFEDC BA25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ；（2）若∠C =30°，EF =EB 的长． 26．阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，求a 的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于221x x a -->，设函数2121y x x =--，2y a =，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数1y 的图象在2y 的图象上方时a 的取值范围．请结合小捷的思路回答：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，则a 的取值范围是___________．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x 的方程34a x x--=在04x <<范围内有两个解，求a 的取值范围．xEA CD B 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ．（1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，E 为边CD（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM 与△BEC 关于直线BE 对称；（2）若边AD 上存在一点F，使得AF+CE=EF ，请你在图2中探究∠ABF 与∠CBE 的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE<DE ，请写出求cos ∠FED 的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1 图2 备用图AC DB29．在平面直角坐标系xOy 中，图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如右图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=x l ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W为△OAB ，则=x l ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ≤≤的图象，其中0a b ≤<．当该图形满足1≤=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．。

2016石景山一模数学精选

石景山一模9．王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．下表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里．．．．的平均耗油量大约是 A ．7升B ．8升C ．9升D ．10升10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E 为矩形ABCD 边AD 的中点，在矩形ABCD 的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P 从点B 出发，沿着B -E -D 的路线匀速行进，到达点D ．设运动员P 的运动时间为t ，到监测点的距离为y ．现有y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是图1A ．监测点A C ．监测点D 16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P 与BC 相切的依据是____________________________________．22．某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY 手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？23．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作AC 的平行线交∠CAB 的平分线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ．（1）求证：四边形ABDE 是菱形；（2）若BD =14，cos ∠GBH =87，求GH 的长．25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ；（2）若∠C =30°，EF =EB 的长．26．阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，求a 的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于221x x a -->，设函数2121y x x =--，2y a =，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数1y 的图象在2y 的图象上方时a 的取值范围．请结合小捷的思路回答：对于任意实数x ，关于x 的不等式2210x x a --->恒成立，则a 的取值范围是___________．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x 的方程34a x x--=在04x <<范围内有两个解，求a 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ．（1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，HGF E DCB AxE A C D B 求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，E 为边CD（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM （2）若边AD 上存在一点F，使得∠CBE 的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE<DE ，请写出求cos ∠FED 的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1 图2 备用图AC DB。