概率论课件 (15)

y
y a bx
y i a bx i i
(i 1,2, n )
误差 i 服从N (0, ),
2
x
且相互独立
三、最小二乘法
n i 1
方法：求偏导
2
令总误差为Q(a, b) [ yi (a bxi )]
n Q 2 [ yi (a bxi )]=0 a i 1 n Q 2 [ yi (a bxi )] xi =0 b i 1
( xi x )( y i y)
i 1
2 ( x x ) i i 1 n
n
=
Lxy
Lxx
ˆx a y b L xy b Lxx
所求的回归方程为 : y a b x

例1某种商品需求量与该商品价格之间的一组数据为： 价格pi: 1, 2, 2, 2.3, 2.5, 2.6, 2.8, 3, 3.3, 3.5 需求量di：5, 3.5,3, 2.7, 2.4, 2.5, 2, 1.5, 1.2, 1.2 pi di: 5,7, 6, 6.21, 6, 6.5, 5.6, 4.5, 3.96, 4.2 所求的回归方程为 : pi 2:
Pearson(1857—1936)测量了1078个父亲和他们 儿子的身高. 记:父亲的身高为x,儿子身高为y. 通过散点图分析: 这些点分布在一条直线附近, 这条直线方程为:
y 0.516 x 33.73
回归直线!!
(一)相关关系与回归分析
1.相关关系: 变量之间虽然存在密切关系,但从一个变量的 每一确定值,不能求出令一变量的确定值。 可是在大量试验中,这种不确定的联系,具有统计 规律性.即使是具有确定关系的变量,由于试验的误 差的影响,其表现形式也具有某种程度的不确定 性. 2.回归分析
ˆ X =0.69 ≈0.7
0.7 i ˆ pi e 0.7 i ! i=0,1,2,3,4
将有关计算结果列表如下:
战争次数 x
实测频数 fi
ˆi p ˆi np
0 223 0.5 216
1 142 0.35 151.2
2 48 0.12 51.8
3 4 15 4 0.03 0.005 13.0 2.16
y a bx
经验公式
散点图
或回归直线.
父母身高x
如何求出a,b?
(二)、最小二乘法
观测值xi yi (i 1,2,n)

( x1 , y1 ) ( x2 , y 2 ) ( xn , y n )

经验值xi y i a yi yi
而由样本值： 2 2 60 50 40 50 2 4 3.84 50 50 拒绝H0，即可以认为这枚硬币不均匀。
让我们回到开始的一个例子，检验每 年爆发战争次数分布是否服从泊松分布. 根据观察结果，得参数 的极大似然估计为 提出假设H0: X服从参数为 的泊松分布.
本课程的主要内容
成对数据均值的假设检验; 总体分布的假设检验; 回归分析;
三.成对数据均值的假设检验（不独立样本）
例:某饮料公司开发研制出一新产品,为比较消费者 对新老产品口感的满意程度,该公司随机抽选一组 消费者8人,每个消费者先品尝一种饮料,然后再品 尝另一种饮料,两种饮料的品尝顺序是随机的,而后 每个消费者要对两种饮料分别进行评分0~10分, 结果如下: 旧: 5 4 7 3 5 8 5 6 新: 6 6 7 4 3 9 7 6 在显著水平0.05下检验消费者对两种饮料的口感 是否存在显著差异?
总结：
1.如何选取 H0,H1； （1）H0,与H1是对立的。 （2）假设H0是正确的，并由样本值检验； （3）H1表示研究性假设，它需具备显著性； 2.找到小概率事件,选择统计量,查临界值得拒绝域 3.由样本值的计算结果得出结论。
第十一章
回归分析
回归(regression)是英国著名统计学家 Francis Golton引入的. 他在研究家族成员的相似性时发现: 虽然一般说来高个子的父代会有高个子的子代, 但若父代身材高大,则他们的子代会趋向矮一些, 而若父代身材矮小,则他们的子代会趋向高一些. 他把子代的身高向平均值靠拢的趋势称为: 向平庸的回归.
上面的数据能否证实X 具有 泊松分布的假设是正确的？
解决这类问题的工具是英国统计学家 K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进 2 的所谓 检验法.
这是一项很重要的工作，不少人 把它视为近代统计学的开端.
2
检验法是在总体X 的分布未知时， 根据来自总体的样本，检验关于总体分 布的假设的一种非参数检验方法. 这种检验通常称作拟合优度检验
即:
y
i 1 n
n
i
na b xi 0
i 1
n
a bx y
0
x y a x b x
i 1 1 i i 1 i i 1
n
n
2 i
n
x
i 1
n
i
n n 2 22 2 i 1 n x i x i n (x xnx ) 0 x i n i i 1 i 1 i 1 2 i 1 x i
2 2
如果根据所给的样本值 X1,X2, …,Xn算得 2 统计量 的实测值落入拒绝域，则拒绝原假 设，否则就认为差异不显著而接受原假设.
抛掷一枚硬币100次,“正面”出现了60次, 例：
问这枚硬币是否均匀? 解：若硬币是均匀的,则“正面”出现的概率应为1/2
记“X=1”表示“正面出现”,“X=0”表示“出现反面 1 H 0 : P( X 1 ) P( X 0 ) 2 取一个分点0.5,将数轴分为两个部分:
解： 表示新生儿体重,
2 2 2 ˆ ˆ x 3160, s 465.5
H0: ~ N 3160 , 465.5

2

在数轴上选取6个点: 2450, 2700 2950 3200 将数轴分成7个区间(组距=250 )
3450 3700
选择统计量:

2 i 1
2.回归分析
由一个或一组非随机变量来估计或预测某个 随机变量的观测值时,所建立的数学模型及所进行 的统计分析.如果这个模型是线性的,就称为线性回 归分析解决的问题:
(一)、散点图
直观观察父母身高与子女身高的关系
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( xn , yn )
子女身高y
i 1 i
n
( x x )
i 1 i
n

n x i yi x i yi
i 1 i 1 i 1
n
n
n
2
n x x i i 1 i 1
n 2 i n
2
a y b x n xi yi n x y b i 1 n 2 2 xi n x i 1
2
( fi npi ) npi i 1
2 k
2
根据这个定理，对给定的显著性水平 ， 2 2 查 分布表可得临界值 ，使得
P ( )
2 2
得拒绝域:
( k 1) (不需估计参数)
2 2
( k r 1) (估计r 个参数)
S/ n 3.查临界值,得拒绝域: t ( n 1 ) 拒绝域: T
4.根据样本值判断.
2.选取统计量 T
Z
~ t( n 1 )
解:
H0 : 1 2 = 0， H0 : 1 2 0，
选取统计量 T
Z S/ n
~ t( n 1 )
由 P T 临界值: t0.05 7 2.365 拒绝域为: T 2.365 由样本计算: T
2

2 0.05
(2) =5.991
2
由于统计量 的实测值
=2.43<5.991，
2
未落入否定域. 故认为每年发生战争的次数X服从 参数为0.7的泊松分布.
例 随机的抽取1975年2月份的新生儿（男）50名,
测其体重如下:（单位:克） 数据见书P187。 试以显著性水平α=0.05检验新生儿体重是否服从正 态分布？
0.625 1.3025 / 8
1.357 2.365
没有显著理由拒绝H0.
§9.5 总体分布的假设检验
例如，从1500到1931年的432年间，每年 爆发战争的次数可以看作一个随机变量，椐统 计，这432年间共爆发了299次战争，具体数据 如下: 战争次数X 发生 X次战争的年数
0 1 2 3 4 223 142 48 15 4
实测频数
fi npi
理论频数
标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小. 皮尔逊引进如下统计量表示经验分布 与理论分布之间的差异: 在理论分布
( fi npi ) npi i 1
2 k
2
已知的条件下, npi是常量
统计量
的分布是什么?
2
皮尔逊证明了如下定理: 若原假设中的理论分布F(x)已经完全给 定，那么当n 时，统计量 的分布渐近(k-1)个自由度的 分布. 如果理论分布F(x)中有r个未知参数需用 相应的估计量来代替，那么当 时，统 n 计量 2 的分布渐近 (k-r-1)个自由度的 2分 布.
7
mi npi
npi
2
~ 7 1 2
2
查临界值： 代值计算：
2 0.05
4 9.49
2
得拒绝域： 9.49
2