连续介质力学(固体)-36-43

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连续介质力学讲义

9．熵
熵是热力学第二定律的数学表述中引进一个态函数。熵是可加函数，系统的熵等于各部分熵的和。特性：系统的熵的变化永不小于系统由环境得到的热量与得到（或放出）此一热量时的热力学温度的比值。理性热力学把熵看成无须用其它物理量定义的“本原量”。
§1.3 连续介质力学研究的内容和方法
1．内容
连续介质力学研究连续介质（包括固体、流体、松散介质、颗粒体等）的变形和运动，也研究其破坏机理。
质量守恒定律（非相对论，牛顿力学观点）；能量守恒（热力学定律）；有限变形及连续性条件（几何方程）。 2）材料本构方程不同材料具有不同特性是材料属性，这属性称为本构属性。本构属性的描述为本构方程。在本课程中，只讨论本构方程的框架（形式）。具体本构方程只有通过实验得出，本构方程包含：①应力、应变关系；②材料常数。本课程中，研究本构方程框架所应用的基本理论为： ① 基本连续介质热力学的内变量理论； ② 基于理性化公理的本构方程原理。所得到的本构方程框架具有本构方程的指导原则。非线性方面在下面两个方面反映： ① 有限变形—称为几何非线性。 ② 本构方程非线性—称为物理（材料）非线性。若同时考虑以上两个方面的非线性因素，则称为双非线性问题。
流变体 in 流变力学
这些均是针对某一特殊物质，建立一门特殊的力学。
现在：统称为连续体，但不是将上述理论简单地加起来，而是做一般性的理论概括，在

柯西连续介质力学

柯西连续介质力学是研究连续介质中力学性质的一门学科。它是经典力学的一个重要分支，广泛应用于固体力学、流体力学和弹性力学等领域。柯西连续介质力学的基本原理是质点力学的推广，通过对物质的宏观运动进行描述，揭示了连续介质中的力学行为。

柯西连续介质力学的基本假设是将连续介质看作是由无数微小质点组成的，这些微小质点之间相互作用，从而导致介质的宏观性质。在研究过程中，我们通常将连续介质分为固体和流体两类。

在固体力学中，柯西连续介质力学描述了固体的弹性性质。根据固体的变形情况，我们可以将其分为线弹性、平面弹性和体弹性。线弹性是指固体在受力作用下只发生轴向的变形，而不发生横向的变形；平面弹性是指固体在受力作用下只在一个平面内发生变形；体弹性是指固体在受力作用下发生三维的变形。根据固体的弹性性质，我们可以推导出应力-应变关系，从而计算固体在受力作用下的应力和变形。

在流体力学中，柯西连续介质力学描述了流体的运动性质。流体可以分为牛顿流体和非牛顿流体。牛顿流体是指流体的粘度恒定，其流动遵循牛顿流体力学方程。而非牛顿流体的粘度随着流动状态的改变而变化，其流动则需要引入非牛顿流体力学方程。通过柯西连续介质力学，我们可以推导出流体的连续性方程、动量方程和能量

方程，从而描述流体的运动规律。

柯西连续介质力学的研究对象不仅包括固体和流体，还包括其他的连续介质，例如粉末、泡沫等。在研究过程中，我们需要考虑介质的宏观性质，如密度、体积、形状等，以及介质内部的微观结构和相互作用。

柯西连续介质力学的应用十分广泛。在工程领域，它被用于设计和分析各种结构和器件的力学性能，如桥梁、建筑物、飞机等。在地震学领域，它被用于研究地震波的传播和地壳的变形。在生物医学领域，它被用于模拟和分析生物组织的力学行为，如骨骼、肌肉、血管等。在石油工程领域，它被用于预测油田的产能和储层的力学性质。

连续介质力学_固体2

14
力学大师冯· 卡门的作息时间
选自《冯· 卡门传》
力学大师冯· 卡门的作息时间
His schedule was incredible. He rose at six and breakfasted at seven or eight with a guest — sometimes with as many as twelve guests. He dictated correspondence until about noon and then glanced through samples of the vast numbers of books and papers which usually came to him from scientific workers from all over the world. Lunch, preceded by a strong whisky, was usually another business session, or a time for greeting visiting dignitaries or former students. He napped at three in the afternoon and usually arose at five to prepare for the evening engagement, which started typically with several Jack Daniels and ran through a large meal followed by afterdinner drinks until midnight. It was in the evening that von Ká rmá n was in his top form as he told stories, usually in the company of the prettiest young ladies present.

连续介质力学引论

应变张量

变形

连续介质在外界因素（如外力、温度）作用下，不但能产生整体运动而且也将发生变形。

在拉格朗日物质坐标系中，P 0和Q 0两点间的距离线元平方

i i j i ij dX dX dX dX d d d ==⋅=δX X X 2)(

因为

),,,(321t x x x X X i i =

所以在某一确定时刻，有

j j

i dx x X dX ∂∂=

写成不变性形式

x H X d d ⋅=

其中j i j

i x e e x X ∂∂=∇=X H 。于是

j i ij j i j

i k k k dx dx C dx dx x X x X dX dX d =∂∂∂∂==2

)(X （2.7a ）

x C x X d d d ⋅⋅=2

)(（2.7b ）

其中

i k ij x X x X C ∂∂∂∂=

（2.7c ）

H H C T ⋅=(2.7d)

我们称它为柯西变形张量。

类似的在欧拉空间坐标系中，P 和Q 两点线元平方

j i ij dX dX G d =2)(x （2.9a ）

不变形式

X G X x d d d ⋅⋅=2)((2.9b)

其中

j k

i k ij X x X x G ∂∂∂∂=

（2.9c ）

F F

G T ⋅=(2.9d)

我们称为格林变形张量。

对于连续介质，我们用相邻两个物质点的距离线元的平方差

22)()(X x d d -来度量其变现。那么

E X X x d d dX dX E dX dX X x X x d d j i ij j

i ij j

i k ⋅⋅==-∂∂∂∂=-22)(

)()(22δ(2.10a)

连续介质力学

连续介质力学的重要性在于：能够解释和预测流体和固体的力学行为为工程设计和科学研究提供理论基础
连续介质力学的发展趋势：与计算机科学、数学、物理学等学科交叉融合不断拓展其应用领域和研究深度
假设条件过于理想化与实际物理现象存在一定差距
忽略了微观结构的影响无法解释某些复杂现象
计算方法复杂需要大量的计算资源和时间
多尺度建模：如何将微观物理现象与宏观力学行为相结合
跨学科研究：如何将连续介质力学与其他学科相结合如生物力学、材料科学等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
非线性问题：如何处理非线性问题如流体力学中的湍流问题
数值模拟：如何提高数值模拟的准确性和效率以解决复杂工程问题
非线性连续介质力学：研究非线性现象如流体力学、固体力学等
结构力学：分析结构受力、变形和稳定性
热力学：研究热传导、对流和辐射现象
添加标题
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添加标题
添加标题
流体力学：研究流体流动、压力和温度分布
材料力学：研究材料强度、刚度和韧性等性质
飞机设计：计算飞机的气动性能和结构强度火箭设计：计算火箭的气动性能和结构强度航天器设计：计算航天器的气动性能和结构强度飞行器控制：计算飞行器的动力学特性和稳定性航天器轨道计算：计算航天器的轨道和姿态控制航天器着陆：计算航天器的着陆速度和姿态控制

3.连续介质力学

xI J xI xJ
yI J yI yJ
2 A ( x 32 y 21 x12 y 32 )
在初始构形中，t = 0
X x ( ,0) X 1 1 X 2 2 X 3 3 Y y ( ,0) Y1 1 Y 2 2 Y 3 3
学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂
的非线性连续介质力学问题都是源于转动。
1 引言
非线性连续介质力学中的应力和应变，有多种方式定义。在非线性有限元程序中应用最频繁的是：应变度量：Green应变张量和变形率。应力度量：Cauchy应力、名义应力和第二Piola－ Kirchhoff应力，简称为PK2应力。
转动是正交变换的一个例子，R是正交矩阵。如图所示一个矩形单元的Lagrangian网格的刚体转动，可以看出在刚体转动中单元的边发生转动，但是边与边之间的夹角保持不变。单元的边是 X 或 Y 坐标为常数的直线，所以在变形构形中观察时，当物体转动时材料坐标也转动。
一个L网格的刚体转动，显示在参考(未变形) 构形和当前(变形)构形中观察到的材料坐标。
(2)
面积坐标
1 y 23 1 ξ 2 y 31 2A y12 3 x 23 x13 x 21 x 2 y3 x3 y 2 x 3 y 1 x1 y 3 x1 y 2 x 2 y1 x y 1

连续介质力学(固体)_补充

R Q Q P P R Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy x y z x x y
Q P Pdx Qdy dxdy 当z=0时，退化为Green公式： x y L正 D 求所围的面积： 1 dxdy xdy ydx Landau & Lifshitz弹性书中公式16.13

DBiblioteka Baidu
2 c
上次授课的几个补充内容
二、弹性波中的“Helmholtz decomposition”
In physics and mathematics, in the area of vector calculus, Helmholtz's theorem,
also known as the fundamental theorem of vector calculus, states that any
上次授课的几个补充内容
三、Vector triple product
a b c b a c c a b
dt t t t t t t t t dl
sufficiently smooth, rapidly decaying vector field in three dimensions can be resolved into the sum of an irrotational (curl-free) vector field and a solenoidal

2019精品清华大学计算固体力学第三次课件连续介质力学文档

dx dx F dX F dX
FdXT FdX dXTFTFdX dX FT F dX
dX FT F dX dX I dX dX 2E dX 0
dX
dX FT F I 2E dX 0
E 1 FT F I 2
Eij
1 2
FikT Fkj ij
f
D ij
Dt
ij
t
vk
ij
xk
t
v
t
v grad
v
grad
v
vx, x vx, y
vy,x
vy
,
y
2
Jacobian
Fij
i X j
xi X j
F
X
x X
0 T
Fij
dx F dX dxi Fij dX j
x1 x1 x x
F
X1 x2
X 2 x2
3
GreenE
E 1 FT F I 2
Eij
1 2
FikT Fkj ij
FikT Fkj
Fk i Fk j
xk X i
xk X j
Fki
xk X i
uk X i
X k X i
uk X j
X k X j
u x X
uk X i
ki
uk X j

连续介质力学(固体)_4-6

连续介质力学（固体）

Continuum Mechanics

Mechanics of Continua Mechanics of Continuous media

赵溥

赵亚溥

中国科学院力学研究所

非线性力学国家重点实验室

2010年秋季

微梁在液滴的作用下上翘

液气界面张力的横向效应

Ei i 规则就是视乘积的重复哑指标(d i di )为求和指标的约定在广开心一刻(笑话+科学漫画)

求和Einstein 规则，就是视乘积的重复哑指标(dummy indices)为求和指标的约定，在广义相对论里面到处都是，据说是一个印刷工人发现的，印Einstein 的相对论，发现每个罗嗦就去掉了“劳动人们就是智慧”重复的指标前面都有个Σ，罗嗦，就去掉了。“劳动人们就是智慧”.

思考题：

应用之一

第四讲：Deformation gradient and Green strain tensor‐‐Kinematics

超弹性中应用

第四讲：例题和习题(Taylor展开的第一和第二项)

参考文献：

Sunyk R, Steinmann P. On higher gradients in continuum-atomistic modelling. Int. J. Solid Struct., 40 (24): 6877-6896 (2003).

Guo X, Wang JB, Zhang HW. Mechanical properties of single-walled carbon nanotubes based on higher order Cauchy-Born rule. Int. J. Solid Struct., 43 (5): 1276-1290(2006).

连续介质力学

1简介2基本假设3研究对象4古典连续介质力学5近代连续介质力学6主要分支学科

简介

研究连续介质宏观力学性状的分支学科。宏观力学性状是指在三维欧氏空间和均匀流逝时间下受牛顿力学支配的物质性状。连续介质力学对物质的结构不作任何假设。它与物质结构理论并不矛盾，而是相辅相成的。物质结构理论研究特殊结构的物质性状，而连续介质力学则研究具有不同结构的许多物质的共同性状。连续介质力学的主要目的在于建立各种物质的力学模型和把各种物质的本构关系用数学形式确定下来，并在给定的初始条件和边界条件下求出问题的解答。

它通常包括下述基本内容：①变形几何学，研究连续介质变形的几何性质，确定变形所引起物体各部分空间位置和方向的变化以及各邻近点相互距离的变化，这里包括诸如运动，构形、变形梯度、应变张量、变形的基本定理、极分解定理等重要概念。②运动学，主要研究连续介质力学中各种量的时间率，这里包括诸如速度梯度，变形速率和旋转速率，里夫林－埃里克森张量等重要概念。③基本方程，根据适用于所有物质的守恒定律建立的方程，例如，热力连续介质力学中包括连续性方程、运动方程、能量方程、熵不等式等。④本构关系。⑤特殊理论，例如弹性理论、粘性流体理论、塑性理论、粘弹性理论、热弹性固体理论、热粘性流体理论等。⑥问题的求解。根据发展过程和研究内容，客观上连续介质力学已分为古典连续介质力学和近代连续介质力学。

基本假设

连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设”：即认为真实的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质组成，物质的宏观性质依然受牛顿力学的支配。这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体微观结构研究属于凝聚态物理学的范畴），而用一组偏微分方程来表达宏观物理量（如质量，数度，压力等）。这些方程包括描述介质性质的方程（constitutive equations）和基本的物理定律，如质量守恒定律，动量守恒定律等。

第二章连续介质力学导论2015

第一章连续介质力学导论
连续介质力学（Continuum mechanics）：
基本假设是“连续介质假设”：即认为真实流体或固体所占有的
空间可以近似地看作连续地无空隙地充满着“质点”。质点所具有的宏观物理量（如质量、速度、压力、温度等）满足一切应该遵循
的物理定律，例如质量守恒定律、牛顿运动定律、能量守恒定律、
热力学定律以及扩散、粘性及热传导等输运性质。主要目的：在于建立各种物质的力学模型和把各种物质的本构
关系用数学形式确定下来，并在给定的初始条件和边界条件下求出
问题的解答。连续介质力学对物质的结构不作任何假设。它与物质结构理论并不矛盾，而是相辅相成的。物质结构理论研究特殊结构的物质性状，而连续介质力学则研究具有不同结构的许多物质的共同性状。
金属
混凝土
木材
石灰岩
花Байду номын сангаас岩
Granular material
屈服强度：相应于残余应变（永久变形）为0.2%时的应力f0.2
土的三轴压缩曲线
本构方程(Constitutive Equations)
“本构”是指构成物体的物质本身的性质，区别于物体所受的外力作用。本构方程是描述物质的一定性质的方程。
变形的物理机制
弹性变形：颗粒排列方式未发生明显变化，材料结构未发生明显的变化。永久变形（塑性）: 土颗粒排列方式发生变化，土的结构发生明显的变化。

黄筑平,连续介质力学-概述说明以及解释

1.引言

1.1 概述

连续介质力学是力学中的一个重要分支，研究的是连续体（连续介质）的宏观运动和相互作用。连续介质力学最初是为了研究流体和固体力学问题而发展起来的，后来逐渐扩展到其他领域，包括声学、热力学、电动力学等。

连续介质力学的基本概念是将物质视为连续不可分割的整体，在空间上是连续分布的。通过将物质的宏观性质表示为连续介质场，如速度场、应力场、温度场等，来描述物质的宏观行为。连续介质力学通过建立方程和边界条件，来描述物质的运动和相互作用。

连续介质力学的研究对象可以是流体、固体或其它物质形态。在流体力学方面，连续介质力学可以研究流体的运动、压力、速度、密度等性质，包括液体和气体的流体力学。在固体力学方面，连续介质力学可以研究固体的弹性、塑性、断裂、变形等性质，包括固体的力学性质和变形行为。

连续介质力学在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。在工程领域，可以通过连续介质力学来设计和优化结构、预测材料破坏、分析流体力学问题等。在地球科学中，连续介质力学可以用于研究地震波传播、岩石变

形等问题。在生物医学领域，连续介质力学可以用于研究细胞变形、血液流动等生物力学问题。

总之，连续介质力学作为一门独立的力学分支，具有重要的理论价值和广泛的应用前景。通过深入研究连续介质力学的基本概念和原理，我们可以更好地理解物质的宏观行为和相互作用，为解决实际问题提供理论支持和科学指导。随着科学技术的不断进步和发展，连续介质力学的应用领域还将不断扩展，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。

连续介质力学

a amn
Amn
am1n
1 a
Anm
则有:
a amn
aanm1
而:
J
xi X A
FiA
所以:
J FiA
JFAi1
J
X A xi
现在把J看作其9个元素FiA
xi X A
的函数，对时间求物质导数
J
J FiA
dFiA dt
J FiA
t
xi X A
J FiA
vi X A
而:
J FiA
JFAi1
J
X A xi
TAB
X A xi
ij
X B x j
ij
X A xi
X B x j
可证如果Cauchy应力（或Kirchhoff应力张量)为对称张量,
则第二类P-K应力也是对称张量。
有:
P FT
T F 1 P
F T FT
T F1 τ FT
PiB
xi X A
TAB
ij
xi X A
TAB
x j X B
对物质坐标求散度
5. 能量平衡律在即时构型中任意v域内的总能量P由动能K与内能E组成，即
PKE
E edV
V
根据热力学第一定律，总能量P的物质导数，即对时间的变化率等于作用于v域的外力功率与每单位时间从v域外部所加的热：

连续介质力学(固体)-36-43

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连续介质力学

第二章 连续介质力学导论2015

黄筑平,连续介质力学-概述说明以及解释

连续介质力学

第二章连续介质力学导论2015