矩阵的三角分解
三角分解 hessian矩阵 逆
三角分解 hessian矩阵逆
三角分解方法是一种常用的求解Hessian矩阵逆的方法，主要思路是
将Hessian矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的上三角矩阵的乘积，再
求解两个三角矩阵的逆矩阵，最后再将其乘起来即可得到Hessian矩阵的
逆矩阵。
具体步骤如下：
1. 对Hessian矩阵进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2.求得下三角矩阵L的逆矩阵L^-1，和上三角矩阵U的逆矩阵U^-1。
3. 计算Hessian矩阵的逆H^-1，其为L^-1与U^-1的乘积。
需要注意的是，在实际计算中，由于Hessian矩阵通常是稠密矩阵，LU分解的时间复杂度较高，因此可以采用更高效的Cholesky分解方法来
代替。
总之，三角分解方法是一种常用的Hessian矩阵逆计算方法，可以在
求解最优化问题等应用场景中发挥重要作用。
正定hermite矩阵的三角形分解
正定Hermite矩阵是一种特殊的矩阵，它满足对角线元素都是正数，而且每一行都比上一行对角线元素要大。
正定Hermite矩阵可以通过三角分解来进行分解。
这种分解方法将矩阵分解为一个下三角矩阵乘以一个上三角矩阵的形式。
具体来说，对于一个n x n的正定Hermite矩阵A，我们可以使用如下的过程来进行三角分解：
首先，我们对矩阵A进行高斯消元，将其变为一个上三角矩阵。
这个过程可以使用前向代换和后向代换的过程来实现。
然后，我们将上三角矩阵化为一个下三角矩阵，这可以使用类似于求逆矩阵的过程来实现。
最后，我们就可以得到A = L * U的形式，其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
此外，正定Hermite矩阵还可以通过分解为Cholesky分解的形式来进行分解。
Cholesky分解是一种特殊的三角分解方法，它可以将正定矩阵分解为一个下三角矩阵乘以它的转置矩阵的形式。
矩阵分解——精选推荐
矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。
矩阵论中不同形式的三角分解的优缺点
矩阵论是数学领域中的一个重要分支，它研究的是矩阵和线性方程组的理论和方法。
在矩阵论中，三角分解是一种常见的矩阵分解方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为一个或多个简单的三角形矩阵的乘积。
不同形式的三角分解有着各自的优缺点，本文将从几种不同的角度来讨论这些优缺点。
一、LU分解LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
LU分解的优点是计算简单，因为它只需要进行一次分解即可得到L和U两个矩阵，后续的线性方程求解可以直接使用LU 分解后的矩阵进行计算。
然而，LU分解的缺点是当原始矩阵A的某些主对角线元素接近于零时，LU分解可能会失效，需要采取一些特殊的技巧来解决这个问题。
二、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T。
Cholesky分解的优点是计算量较小，而且分解出的L矩阵的元素都是实数，因此在存储和计算上都有一定的优势。
然而，Cholesky分解的缺点是它只适用于对称正定矩阵，对于非对称矩阵或不正定矩阵是无法进行Cholesky分解的。
三、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。
QR分解的优点是适用范围广，对于任意矩阵都可以进行QR分解，并且分解出的Q和R矩阵都具有一些良好的性质，比如Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然而，QR分解的缺点是计算量较大，尤其是对于大型矩阵来说，QR分解的计算时间会比较长。
不同形式的三角分解都有各自的优缺点，选择合适的分解方法需要根据具体的问题来决定。
在实际应用中，可以根据矩阵的特点和计算需求来选择最合适的三角分解方法，以达到最优的计算效果。
研究和探索更加高效的矩阵分解方法也是矩阵论研究的重要方向之一。
四、SVD分解SVD分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
SVD分解的优点是适用于所有的矩阵，无论是否为方阵，而且SVD分解是唯一的，即对于每一个矩阵都存在唯一的SVD分解。
解线性方程组的矩阵三角分解法
6
PLU 分解
矩阵的 PLU 分解
PA LU
k -1
ukj akj lki uij i 1
k 1
lik aik lijujk ukk
j 1
n
j 1
aij likl jk likl jk l jjlij
k 1
k 1
10
平方根法
Ax b A 对称正定
算法 ：(解对称正定线性方程组的平方根法 )
计算 A 的 Cholesky 分解 解方程：Ly = b 和 LTx = y
y1 b1 l11 ,
yi
3
计算 LU 分解
利用矩阵乘法直接计算 LU 分解
1
u11 u12 L u1n a11 a12 L a1n
l21 M
1
O
u22 O
uM2n
a21 M
a22
O
aM2n
ln1 L ln,n1 1
unn an1 an2 L ann
定理：（Cholesky分解）若 A 对称正定，则 A 可唯 一分解为
A = LLT
其中 L 为下三角实矩阵，且对角元素都大于 0
8
计算 Cholesky 分解
Cholesky 分解的计算
直接比较等式两边的元素
l11
l11 l21 L ln1 a11 a12 L a1n
4
计算 LU 分解
矩阵三角分解法matlab
矩阵三角分解法matlab矩阵三角分解法是一种常用的线性代数算法，可以将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积。
这种分解方法在数值计算和科学计算中广泛应用，尤其是在求解线性方程组和矩阵求逆等问题中。
在Matlab中，可以使用“lu”函数实现矩阵三角分解。
该函数的语法格式为：[L,U,P] = lu(A)其中，A为待分解的矩阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，P为置换矩阵。
函数返回的三个矩阵满足以下关系：PA = LU其中，P为置换矩阵，用于消元时的行交换操作。
L和U分别为下三角矩阵和上三角矩阵，用于存储消元过程中的系数矩阵和消元后的结果矩阵。
使用矩阵三角分解法求解线性方程组的步骤如下：1. 将系数矩阵A进行三角分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2. 将方程组Ax=b转化为LUx=b，令y=Ux，则Ly=b。
3. 解下三角矩阵Ly=b，得到向量y。
4. 解上三角矩阵Ux=y，得到向量x。
在Matlab中，可以使用“\”运算符直接求解线性方程组，如：x = A\b其中，A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。
Matlab会自动使用矩阵三角分解法求解线性方程组。
除了求解线性方程组外，矩阵三角分解法还可以用于求解矩阵的行列式和逆矩阵。
例如，可以使用“det”函数求解矩阵的行列式，如：d = det(A)其中，A为待求解的矩阵，d为矩阵的行列式。
可以使用“inv”函数求解矩阵的逆矩阵，如：B = inv(A)其中，A为待求解的矩阵，B为矩阵的逆矩阵。
需要注意的是，矩阵的逆矩阵并不一定存在，如果矩阵的行列式为0，则矩阵没有逆矩阵。
总之，矩阵三角分解法是一种非常重要的线性代数算法，在Matlab 中也有很好的支持。
掌握矩阵三角分解法的原理和使用方法，可以帮助我们更好地理解和解决数值计算和科学计算中的各种问题。
三角分解法与克莱姆法则
三角分解法与克莱姆法则
三角分解法亦称因子分解法，由消元法演变而来的解线性方程组的一类方法。
设方程组的矩阵形式为Ax=b，三角分解法就是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积：A=LU，然后依次解两个三角形方程组Ly=b和Ux=y，而得到原方程组的解，例如，杜利特尔分解法、乔莱斯基分解法等就是三角分解法。
克莱姆法则。
用克莱姆法则求解方程组有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。
用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。
矩阵的三角分解
矩阵的三角分解
矩阵的三角分解是将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下
三角矩阵的乘积。
这个过程可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和逆等问题。
具体地说，设A是一个n×n的矩阵，其三角分解可以表示为： A=LU
其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
L和U可以通过高斯消元法来求得。
具体地，我们对矩阵A进行一系列初等变换，使其化为一个上三角矩阵U，然后再对原矩阵A的每一行进行相应的初等变换，使得变换后的矩阵L成为一个下三角矩阵。
例如，对于如下矩阵A：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
我们可以通过高斯消元法求出其上三角矩阵U：
1 2 3
0 -3 -6
0 0 0
再对原矩阵A的每一行进行相应的初等变换，得到下三角矩阵L： 1 0 0
4 1 0
7 2 1
因此，矩阵A的三角分解为：
A = LU =
1 2 3 1 0 0 1 2 3
4 5 6 = 4 1 0 * 0 -3 -6
7 8 9 7 2 1 0 0 0
可以看到，矩阵A成功地被分解为一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L的乘积。
3.2矩阵三角分解,平方根.
a 1 0
所以，有
(a 1) 2 2 0
a3
a 1
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北京信息科技大学
8
非奇异矩阵不一定存在LU分解。例
0 1 A 1 0 A是非奇异矩阵，假设有LU分解（杜利特尔分解）
解
0 1 1 0 b d 1 0 a 1 0 c 比较等式两端第1列，可得 b 0, ab 1
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1 2 u11 u12 u13 1 2 A 4 3 1 , L l21 1 , U u u 22 23 5 u33 6 1 l31 l32 1 (2) 2 (4) 2 (6) 3 (1) (3) (1) 1 1 -2 (2) 2 (1) -3 (5) -7 2 -3 -7
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18
4 2 2 3 2 4 9 16 A 4 8 24 63 6 16 51 100
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4 2 2 3 2 4 9 16 A 4 8 24 63 6 16 51 100
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3
三角分解是从 A 的元素直接得到 L,U 的元素， 不用中间步骤， 即不用消元，所以称直接三角分解，或直接分解。 A 的 LU 分解只要求 L 是一个下三角阵、 U 是一个上三角阵， 当 A 有 LU 分解时，这种分解不是唯一的。当 L 是一个单位下三 角阵或者 U 是一个单位上三角阵时，A 的这两种 LU 分解是唯一 的。
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矩阵的三角分解
r −1 air 可定义 cir = r −1 ，并构造 Frobenius 矩阵 arr
r −1
6
1 1 Lr = cr +1r cnr
1 1
1 1 1 → L− = r −cr +1r −cnr
(0) a12 (1) a22
a1(0) n (1) a2 n ( n −1) ann
则完成了消元的过程
而消元法能进行下去的条件是 ∆ r = ≠ 0 (r 1, 2,, n − 1) 二、 LU 分解与 LDU 分解
= A(0) = L1 A(1) = L1L2 A(2) = = L1L2 L3 Ln −1 A( n −1) A
第十讲 矩阵的三角分解
1
一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组
b1 a11ξ1 + a12ξ 2 + + a1nξ n = a ξ + a ξ + + a ξ = b2 21 1 22 2 2n n bn an1ξ1 + an 2ξ 2 + + annξ n = A = (aij ) T x = [ ξ , ξ , ξ ] n 1 2 b = [b , b b ]T 1 2 n
计算可得
→
0 1 −c 1 21 −1 L1 = c 0 1 − n1
3
(0) a11 −1 (0) (1) = = A L 1 A 0
(0) a1(0) a12 n (1) (1) a2 a22 n (1) (1) an a nn 2
矩阵的三角分解
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Cruou分解
令
a11 a12 ... a1n l11
a21
a22
...
a2n
l21
l22
1 u12 ... u1n
1 ... u2n
an1 an2 ... ann ln1 ln2 ... lnn
1
用比较等式两边方 元法 素逐 的行逐列L,求 U各解元素
由a23 l21u13 u23 得u23 a23 l21u13；
由a32 l31u12 l32u23
得l32
a32
l31u12 u22
k 3时：由a33 l31u13 l32u23 u33
得u33 a33 (l31u13 l32u23)
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Doolittle分解 若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下
三角阵，U为上三角阵，则称该分解为 Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺 序主子式均不为零时，Doolittle分解可以 实现并且唯一。
现在学习的是第10页，共54页
A的各阶顺序主子式均不为零，即
a11 ... a1k Ak ... ... ...0
ak1 ... akk
(k1,2,..n.)
l11 u12 ... u1n
l21
l22
...
u
2
n
ln1
ln2
...
lnn
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3.2.3 对称正定矩阵的Cholesky分解
在应用数学中，线性方程组大多数的系数 矩阵为对称正定这一性质，因此利用对称 正定矩阵的三角分解式求解对称正定方程 组的一种有效方法，且分解过程无需选主 元，有良好的数值稳定性。
矩阵的三角分解
§4矩阵的三角分解矩阵的三角分解定理：设n nA R ×∈,如果A 的前n-1个顺序主子式det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明：1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U(1)(2)()1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=−1L A U −=，A LU=2112100101n n m L m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，(1)(1)(1)11121(2)(1)222()0nn n nn a a a a a U a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠=设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
因A 非奇异，所以1U 可逆，从而112121L L U U −−=112121112121(,)L L E U U L L U U −−−−⇒==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ⇒==（2）A 奇异因det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，det()0n A =()0,1,2,,1i ii a i n ⇒≠=− ，()0n nn a = 设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
对它们进行矩阵分块，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)111222(1)(1)1122001010n n n n n n n n L U a L U a m a m a −−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中(1)(1)12,n n L L −−为n-1阶单位下三角矩阵，(1)(1)12,n n U U −−为可逆的n-1阶上三角矩阵(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111122222n n n n n n n n n n n n n n n n L U L a L U L a m U m a a m U m a a −−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⇒=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L U L U −−−−=(1)(1)(1)(1)2121,n n n n L L U U −−−−⇒==由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L a L a −−−−=(1)(1)21n n a a −−⇒= 由(1)(1)(1)(1)1122n n n n m U m U −−−−=(1)(1)21n n m m −−⇒=由(1)(1)(1)(1)222111n n n n m a a m a a −−−−+=+21a a ⇒= 故2121,L L U U == 证毕。
矩阵的三角分解
三角分解: A=LU
=
AX=F LU X = F L Y=F
=
=
15
2 1/ 2 2 1 1 1 3 2 3 2 2 4 2 2 4 2 3 5 3 5 2 1/ 2 2 1/ 2 1 5 / 2 4 / 5 1 5 / 2 4 / 5 2 12 / 5 5 / 6 2 4 2 3 5/ 2 3 5 2 1 1 / 2 1 5 / 2 1 4/5 U L 2 12 / 5 1 5 / 6 3 5 / 2 1
8
1 3 / 2 L 1 2
0 1
0 4 2 2 4 0 3 6 0 3 U 0 0 5 0 0 1 0 2 19 / 5 1 0 9 0 0 0 0
直接分解的运算特点： ①旧元素减去左边行与顶上列向量的点积 ②计算行不用除法 ③计算列要除主对角元
a1 a 2 a a n c1 c2 c cn
b1 b2 b bn f1 f2 f fn
n=length(b); d=b(1);f(1)=f(1)/d; for i=2:n c(i-1)=c(i-1)/d; d=b(i)-a(i)*c(i-1); f(i)=(f(i)-a(i)*f(i-1))/d; end for i=n-1:-1:1 f(i)=f(i)-c(i)*f(i+1); end
16
Crout分解
三对角矩阵的三角分解 A = L U
b1 c1 a b 2 2 A a n bn
直接三角分解法
• 直接三角分解法简介 • 直接三角分解法的算法原理 • 直接三角分解法的实现过程 • 直接三角分解法的应用案例 • 直接三角分解法的优化与改进
01
直接三角分解法简介
定义与特点
定义
高效
直接三角分解法是一种线性代数中的方法 ，用于将一个矩阵分解为一个下三角矩阵 和一个上三角矩阵的乘积。
计算分解矩阵
根据所选方法计算出左奇 异矩阵、右奇异矩阵和奇 异值矩阵。
提取关键信息
从分解矩阵中提取关键信 息，如主成分或特征向量， 用于后续分析。
结果
可视化结果
将分解结果以图表、图像等形式呈现，便于直观 理解。
量化分析
对分解结果进行量化分析，如计算各主成分的贡 献率或方差解释率。
决策建议
根据分析结果提供决策建议，指导后续工作。
图像修复
通过直接三角分解法，可以将图像中的损坏或缺失部分进行修复或替 换，从而得到完整的图像。
05
直接三角分解法的优化与改进
算法优化
减少计算量
通过选择合适的算法和数据结构，减少不必要的计算和重复计算， 提高算法的效率。
并行化处理
将算法中的计算任务分解为多个子任务，并利用多核处理器或多 线程技术并行处理，加快计算速度。
利用三角分解法，可以方便地计算矩阵的逆和行列式，对于解决一些数学问题具有重要意义。
在机器学习中的应用
矩阵分解
在推荐系统和协同过滤等机器学习算法中，矩阵分解是一种常见的方法。通过直接三角分 解法，可以将矩阵分解成低秩矩阵和稀疏矩阵，从而更好地表示用户和物品之间的关系。
降维处理
在处理高维数据时，直接三角分解法可以用于降维处理，将高维数据投影到低维空间，保 留主要特征，降低计算复杂度。
矩阵三角分解法matlab
矩阵三角分解法 MATLAB简介矩阵三角分解法（Triangular Decomposition）是一种将矩阵分解为三角矩阵的方法。
在 MATLAB 中，可以使用几种不同的函数来进行矩阵的三角分解，如LU 分解、Cholesky 分解和QR 分解。
这些分解方法在数值分析、线性代数以及机器学习等领域中得到广泛应用。
本文将重点介绍 MATLAB 中的 LU 分解和 Cholesky 分解，以及如何使用这些方法来解决实际问题。
LU 分解LU 分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的方法。
在MATLAB 中，可以使用lu()函数来进行 LU 分解。
下面是一个例子：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];[L, U, P] = lu(A);在上面的例子中，矩阵 A 被分解为下三角矩阵 L、上三角矩阵 U 和一个排列矩阵P。
可以使用这些矩阵来求解线性方程组，例如：b = [6; 15; 24];x = U \ (L \ (P * b));上面的代码使用了 LU 分解得到的矩阵 L、U 和 P 来求解线性方程组 Ax=b。
Cholesky 分解Cholesky 分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和其转置的矩阵L’ 的方法。
在 MATLAB 中，可以使用chol()函数来进行 Cholesky 分解。
下面是一个例子：A = [4 12 -16; 12 37 -43; -16 -43 98];L = chol(A);在上面的例子中，矩阵 A 被分解为下三角矩阵 L，满足 A = LL’。
可以使用这个分解来求解线性方程组，例如：b = [4; -1; 16];x = L' \ (L \ b);上面的代码使用了 Cholesky 分解得到的矩阵 L 来求解线性方程组 Ax=b。
应用领域矩阵三角分解法在数值计算和科学工程中具有重要的应用。
以下是一些常见的应用领域：线性方程组求解矩阵三角分解法可以用于求解线性方程组，特别是当矩阵是稀疏矩阵或者具有特殊结构时，比如三对角矩阵或带状矩阵。
高斯变换与矩阵三角分解
通过一系列行变换，将矩阵变为阶梯 形矩阵，再通过一系列列变换，将阶 梯形矩阵变为上三角矩阵。
高斯变换的性质
唯一性
给定一个矩阵，其高斯变换是唯一的。
可逆性
高斯变换具有可逆性，即可以通过一系列行变换和列变换，将上三角矩阵变回 原矩阵。
高斯变换的应用
线性方程组的求解
通过高斯变换，可以将一个线性方程组化为易于求解的形式 。
目的和意义
通过高斯变换和矩阵三角分解，可以解决许多实际问题，如信号处理、图像处理 、控制系统等领域中的问题。
高斯变换和矩阵三角分解在科学研究和工程实践中具有广泛的应用前景，对于推 动相关领域的发展具有重要意义。
02
高斯变换
高斯变换的定义
定义
高斯变换是指将一个矩阵通过一系列 行变换和列变换，化为上三角矩阵的 过程。
高斯变换与矩阵三角分解
• 引言 • 高斯变换 • 矩阵三角分解 • 高斯变换与矩阵三角分解的联系 • 实例分析 • 结论
01
引言
背景介绍
高斯变换是数学和工程领域中常用的 一种变换方法，它能够将一个复杂的 数学问题简化为更易于处理的形式。
矩阵三角分解是一种重要的线性代数 工具，它能够将一个复杂的矩阵分解 为一个简单的三角矩阵和若干个单位 矩阵的乘积，从而简化矩阵运算。
06
结论
研究成果总结
01
高斯变换在矩阵三角分解中具有高效性和稳定性，能够快速求解大规 模矩阵问题。
02
矩阵三角分解在高斯变换中的应用，为解决线性方程组、特征值问题 等提供了有效途径。
03
高斯变换与矩阵三角分解的结合，能够提高算法的收敛速度和精度， 减少计算复杂度。
04
高斯变换在矩阵三角分解中的实现，具有广泛的应用前景，可应用于 科学计算、工程技术和金融等领域。
杜立特尔三角分解法
杜立特尔三角分解法杜立特尔三角分解法- 全面评估、深度探讨与个人观点解读1. 引言杜立特尔三角分解法是线性代数中一种重要的数值方法，用于解决线性方程组。
它的广泛应用于科学计算、工程学和金融建模等领域中，具有高精度、快速稳定的特点。
本文将对杜立特尔三角分解法进行全面评估、深度探讨，并分享个人对该方法的理解与观点。
2. 杜立特尔三角分解法的基本原理杜立特尔三角分解法是一种将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵之乘积的方法。
它的基本原理是通过高斯消元法将线性方程组转化为上三角矩阵的形式，再通过前向、后向代替求解出线性方程组的解。
3. 杜立特尔三角分解法的步骤3.1 高斯消元法在杜立特尔三角分解法中，首先需要使用高斯消元法将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。
高斯消元法通过消元和回代的操作，将方程组变换为上三角矩阵形式，即将主元以下的元素全部消为0。
3.2 前向代替在杜立特尔三角分解法的前向代替步骤中，从上到下，逐行将下三角矩阵的元素表示为主线元素与其他元素的线性组合，以求得下三角矩阵L。
3.3 后向代替在杜立特尔三角分解法的后向代替步骤中，从下到上，逐行将上三角矩阵的元素表示为主线元素与其他元素的线性组合，以求得上三角矩阵U。
3.4 解线性方程组通过前向代替和后向代替的步骤，我们可以求解出上三角矩阵和下三角矩阵。
我们可以通过反向代替的方式，将线性方程组表示为矩阵形式进行求解，即解出线性方程组的解向量。
4. 杜立特尔三角分解法的优势与应用杜立特尔三角分解法相较于其他解线性方程组的方法，具有以下优势： - 高精度：杜立特尔三角分解法在求解线性方程组时能够提供高精度的解。
- 快速稳定：该方法的时间复杂度较低，求解效率高，且对数值误差具有较高的容忍度。
4.1 科学计算应用杜立特尔三角分解法在科学计算领域中应用广泛，特别是在数值模拟和计算物理学等领域。
它可以在矩阵形式下求解微分方程、计算特征值和特征向量等。
4.2 工程学应用在工程学中，杜立特尔三角分解法常用于求解稀疏矩阵的线性方程组。
doolittle三角分解法的相关原理及概念
doolittle三角分解法的相关原理及概念doolittle三角分解法是一种数值计算方法，它将一个长方形矩阵分解为三角形矩阵，以求解线性方程组。
在数学和工程学中，三角分解法在求解线性方程组，特别是多元线性回归方程时占有重要地位。
doolittle三角分解法是在20世纪50年代提出来的，是由美国著名数学家James Doolittle发展而来的，它也可以称为LU分解法。
Doolittle三角分解法可以将一个多元连续的矩阵的分解分解成一系列的三角形矩阵,其中下三角矩阵的元素都为1,上三角矩阵元素都为0.矩阵的上三角部分，可以将连续的多元方程组分解为单元方程组，从而使得计算量大大减少，从而提高效率，使得计算结果更加快速可靠。
doolittle三角分解法有以下几个主要特点：首先，其分解方式采用的是自上而下分解，得到的结果是三角矩阵，这样可以大大减少求解方程组的计算量，使求解过程变得更加有效简单。
其次，它可以解决系数矩阵和常数项满秩的线性方程组，并保证解的可靠性。
第三，它有较好的数学性质，它的结果可以保证收敛，因此拥有较快的计算速度，不容易出现收敛问题。
最后，它具有较强的稳定性，即使系数矩阵和常数项中有一定的误差，也可以保证求解出来的解的准确性。
doolittle三角分解法的基本步骤如下：首先，根据系数矩阵的特点，分解出上三角和下三角的两个矩阵。
其次，根据解的唯一性，求解上三角矩阵的变量，即求出上三角矩阵的解。
然后，将下三角矩阵的解和上三角矩阵的解求和，得到最终的解。
最后，依据矩阵的特点，进行矩阵的逆运算，求出线性方程组的最终解。
在数学和工程学中，doolittle三角分解法在求解线性方程组，特别是多元线性回归方程时占有重要地位，它具有较快的计算速度，较好的数学性质，较强的稳定性，是一种极具实用性的方法。
doolittle三角分解法的主要应用有：一是在数值分析中应用，如在求解多项式拟合问题、热力学问题、积分计算等问题中，通过doolittle三角分解法，可以更快速准确地求解问题;二是在线性规划问题中应用，通过doolittle三角分解法可以求解线性规划问题，使该问题变得更具可行性。
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例题
解： 1、分解LU A，令 5 6 1 0 2 4 13 19 l 21 1 6 3 6 l31 l32 k 1 0 u11 u12 0 u22 1 u13 u23 u33
0 0 0 1
(1 a11) 0 0 ... 0
2 ai(2 ) li 2 ( 2 ) a22
(i 3,4,...,n)
左乘A( 2 )，即有 : L2 A( 2 )
(1 a12) (2 a22 ) 0
... 0
(1 a13) ... a1(1) n ( 2) ( 2) a23 ... a2 n ( 3) (3 ( a33) ... a33) A n ... ... ... ( (3 an3) ... ann) 3
u11 2，u12 5，u13 6；
4 6 l21 2，l31 3。 u11 2
例题
k 2时：u22 a22 l21u12 13 2 5 3， u23 a23 l21u13 19 2 (6) 7 l32 (a32 l31u12 ) / u22 4 k 3时：u33 a33 l31u13 l32u23 4 1 2 5 6 所以A 2 1 3 7 LU 3 4 1 4
t 1 k 1
Doolittle分解
计算lk 1k ,...,lnk 由于i k，于是由 u1k ukk k 1 aik [li1...,lik 1 ,1,0...0] lit utk lik ukk 0 t 1 0 得 lik (aik lit utk ) / ukk （i k 1,...n）
则 (1)行 (-l ) (i)行
i1
i 2，...,n，其矩阵形式为 3，
( ( ... ... a1(1) a111) a121) n (1) ... ... a 2 n a (222) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 ( ... ... a (nn ) an2) 2
因为 1 l 1 L11 21 ... ln1 ... ... 1 1 1 L1 l32 2 ... ln 2
1
所以
A ( Ln 1 Ln 2 ...L2 L1 ) 1U L11 L1...L1 2 L1 1U 2 n n
u11 u12 ... u1n l u22 ... u2 n 21 ln1 ln 2 ... unn
Doolittle分解
再由Ly b及Ux yi bi lij y j
j 1 i 1
y得
i 1,2,...,n
xi ( yi
3.2.2 Doolittle分解
此分解在于如何算出 , U的各元素，以n 3为例 L a11 a12 a13 1 u11 u12 u13 a l u22 u23 21 a22 a23 21 1 a31 a32 a33 l31 l32 1 u23 k 1时：a1 j u1 j u1 j a1 j ( j 1,2,3) 由 a21 u11l21 由 a31 u11l31 a21 得 l21 ； u11 a31 得 l31 u11
Doolittle分解
令 a11 a12 ... a1n 1 u11 u12 ... u1n a a22 ... a2 n l21 1 u22 ... u2 n 21 unn an1 an 2 ... ann ln1 ln 2 ... 1 用比较等式两边元素的 方法逐行逐列求解 ,U各元素 L
k 2时：a22 l21u12 u22 由 a23 l21u13 u23 由 a32 l31u12 l32u23
得 u22 a22 l21u12； a32 l31u12 得 l32 u22
得 u23 a23 l21u13；
k 3时：由a33 l31u13 l32u23 u33 得 u33 a33 (l31u13 l32u23 )
Doolittle分解
若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下
三角阵，U为上三角阵，则称该分解为
Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺
序主子式均不为零时，Doolittle分解可以 实现并且唯一。
A的各阶顺序主子式均不为零，即
a11 ... a1k Ak ... ... ... 0 ak1 ... akk (k 1,2,...n)
Doolittle分解
k 1时 : 由a1 j 1 u1 j 再由ai1 u11li1 k 2时： 由a2 j l21u1 j 1 u2 j 再由ai 2 li1u12 li 2u22 得u2 j a2 j l2i u1 j ( j 2,3,...,n)； ai 2 li1u12 得li 2 (i 3,4,...,n)。 u22 得 u1 j a1 j ( j 1,2,...n)； ai1 得 li1 (i 2,3,...,n)。 u11
Doolittle分解
第k步时：计算u kk , u kk 1 ,...u kn jk u1 j u 2j k 1 akj [lk 1lk 2 ...lkk 110...0] u jj lktutj u kj 0 t 1 0 有 u kj akj lkt utj （j k , k 1,...n）
1 l 21 1 U LU l31 l32 1 ... ... ... ln1 ln 2 ... lnn 1 1 其中L为单位下三角阵， 为上三角阵 U
由此解线性方程组 x b就等价于解两 A 个三角方程： Ly b L(Ux) b Ux y 因此，关键问题在于能 否对矩阵A直接进 行LU分解。
Doolittle分解
(1)输入：aij (i, j 1,2,...,n), bi (i 1,2,...,n) (2)分解A LU 1)ai1 li1 ai1 / a11 (i 2,3,...,n)； 2)对k 2,3,...n做 akj ukj akj lktutj ( j k , k 1,...n)；
以此类推可得
(1 a11) 0 Ln 1 Ln 2 ...L2 L1 A 0 ... 0 (1 a12) (2 a22 ) (1 a13) (2 a23 ) (3 a33)
0 ... 0
... 0
... a1(1) n ( ... a22 ) n ( ... a33) U n ... ... (n ... ann ) 1
t 1 k 1
aik lik (aik lit utk ) / ukk (i k 1,...,n)；
t 1
k 1
(3)解Ly b和Ux y 1) 2) y1 b1 ; yi bi lij y j (i 2,...,n)；
j 1 i 1
xn yn / anm ; xi ( yi
例题
2、解方程组 （ ）解Ly b 1 1 y1 10 2 1 y 19 2 3 4 1 y3 30 得y1 10, y2 19 20 1, y3 34 30 4 即 y (10,1,4)T
矩阵的三角分解
主讲 孟纯军
3.2 矩阵的三角分解法
我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相 当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。 因此我们这个观点来考察Gauss消元法用 矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程 组的另一种直接法：矩阵的三角分解。
3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式
ai(11) (1 （1 （1 （ 第1步等价于: a11) 0时，将a21）, a31）,...,an1） 1 消零, 令li1 (1) a11
例题
(2) 解Ux y
2 5 6 x1 10 3 7 x 1 2 4 x3 4 解得：x3 1, x2 2, x1 3 所以方程组的解为 (3,2,1)T 。 x
... ... a1(1) n ( 2) ... ... a 2 n ... ... ... ... ... ... ... ... a (nn2)
L1
A(1)
A( 2 )
(2 同理第2步等价于：若a22 ) 0时，用矩阵
0 0 ... 1 0 1 0 ... L2 0 l32 1 ... ... ... ... 0 ln 2 0 ...
j i 1
u
n
ij
x j ) / uii (i n 1,...,2,1)；
(4)输出：方程组的解 i (i 1,2,...,n). x
Crout分解
若矩阵A有分解：A=LU，其中L为下三角
阵，U为单位上三角阵，则称该分解为
j i 1
u
n
ij
x j ) / uii
i n, n 1,...1
可获解x ( x1 , x2 ,..., xn )T 。
例题
例1.试用Doolittle分解求解方程组 . 5 6 x1 10 2 4 13 19 x 19 2 6 3 6 x 3 30