2019高考数学(理)一本策略复习：专题五 解析几何：专题五 第一讲 直线与圆

一、选择题

1．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b

2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4

时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.

答案：C

2．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长

之比为( )

A ．1∶2

B ．1∶3

C ．1∶4

D ．1∶5

解析：(x －1)2＋y 2＝1

的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝

1

1＋3＝1

2，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π

3

，故两弧长之比为1∶2，故选A.

答案：A

3．(2018·临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a ＞0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )

A.

2 B.

3 C ．2 2

D ．2

3

解析：由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为

3，即

6

9＋a 2

＝

3，得a ＝

3.

答案：B

4．(2018·济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )

A ．－6±2 5

B ．6±2 5

C ．2

5±6

D ．6±4

5

解析：因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，

又圆心C 在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x

x ＋y ＝4

，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半

径r ＝2－2

2＋2－42＝2.又直线

x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |

5

＝2，

解得t ＝6±2

5.

答案：B

5．(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2

＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )

A.510 B ．－

510 C.9

10 D ．－9

10

解析：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝

|2×0－0＋1|22＋－1

2

＝

1

5

，所以弦长|AB |＝222－

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫152＝2195

.

在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×

19

52×2×2＝－9

10.

答案：D

6．(2018·合肥第一次教学质量检测)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝2

3，则直线l 的方程为( )

A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0

B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0

C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0

D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0

解析：当直线l 的斜率不存在时，计算出弦长为2

3，符合题意；

当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到

该直线的距离为1，从而有|k ＋2|

k 2＋1

＝1，解得k ＝－3

4 ，综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.

答案：B

7．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y

2

＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线

PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )

A ．(12，14

)

B ．(14，12)

C ．(34

，0)

D ．(0，3

4

)

解析：因为点P 是直线x 4＋y

2

＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．

因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．

因为圆心C 的坐标是(2－m ，m 2)，且半径的平方r 2＝

4－2m

2＋m 2

4

，所以圆C 的

方程为(x －2＋m )2＋(y －m 2

)2＝

4－2m

2＋m 2

4

，①

又x 2＋y 2＝1，②

所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－

4x ＋1)＝0，所以由⎩

⎪⎨⎪⎧

－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝14

，y ＝12，

所以直线AB 过定点(14，1

2

)．故选B.

答案：B

8．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段

PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

解析：圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心为C (3,4)，半径为2，

则可设直线l 的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2y ＋2＝0，

kx －y －k ＝0，

得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1

k

(x －3)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y －4＝－1

k x －3，

kx －y －k ＝0，

得M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1，