中心极限定理在过程能力评价中的应用
cpk最小样本量
cpk最小样本量CPK（Process Capability Index）是衡量过程能力的指标，它用来评估一个过程在制造产品时能够控制规格上下限的能力。
CPK的计算公式为：CPK = min （（USL - μ）/ 3σ, （μ - LSL）/ 3σ），其中USL为规格上限，LSL为规格下限，μ为过程的平均值，σ为过程的标准差。
在实际应用中，为了保证产品的质量，我们需要确定一个最小的样本量来计算CPK。
最小样本量的确定需要考虑到两个因素：一是样本容量的大小要能够准确反映整个过程的特性，二是样本容量要足够小以节省时间和成本。
下面我们来讨论一下如何确定CPK的最小样本量。
首先，确定CPK的最小样本量需要考虑到过程的稳定性。
如果过程的稳定性较差，即过程的平均值和标准差会随着时间的变化而变化，那么就需要更多的样本量来反映这种变化。
通常情况下，过程的稳定性可以通过控制图来进行评估，如果控制图显示过程处于控制状态，即没有特殊因素的干扰，那么可以考虑使用较小的样本量来计算CPK。
其次，确定CPK的最小样本量还需要考虑到过程的分布形状。
如果过程的分布是正态分布的，那么可以根据中心极限定理来确定样本量的大小，一般来说，样本量大于30时，样本的平均值近似服从正态分布。
如果过程的分布是非正态的，那么就需要更多的样本量来确保样本的代表性。
最后，确定CPK的最小样本量还需要考虑到制程的要求。
如果产品的质量要求较高，那么需要更多的样本量来确保过程的稳定性和一致性。
在确定CPK的最小样本量时，需要综合考虑过程的稳定性、分布形状和制程的要求，以确保计算的CPK值是准确的，能够反映过程的真实情况。
综上所述，确定CPK的最小样本量是一个复杂的过程，需要综合考虑过程的稳定性、分布形状和制程的要求。
只有确定了合适的样本量，才能够准确评估过程的能力，从而提高产品的质量，降低成本，满足客户的需求。
中国质量协会注册六西格玛黑带知识大纲
中国质量协会注册六西格玛黑带知识大纲I. 六西格玛管理在组织中的开展（10）A. 六西格玛管理、精益管理和持续改进理论概述1. 六西格玛管理和持续改进的发展（了解）了解六西格玛管理和持续改进的起源，六西格玛管理的概念：理解戴明、朱兰、克罗斯比等质量管理大师的质量理念；了解全面质量管理、零缺陷和六西格玛管理之间的关系。
2. 六西格玛管理的核心理念（理解）理解六西格玛管理的核心理念。
3. 精益生产的发展史和基本理念（了解）了解精益生产的起源和核心价值；了解精益的一些基本概念，如价值链、浪费、推/拉式系统、看板等。
4. 精益生产和六西格玛管理的整合（理解）理解精益生产和六西格玛管理之间的关系，以及如何将六西格玛管理和精益生产整合到持续改进的基本框架中。
5. 六西格玛管理的组织和推进（应用）了解实施六西格玛管理需要建立的基础架构和条件；了解绿带、黑带、资深黑带、倡导者、流程负责人和财务代表的职责；了解六西格玛实施的主要阶段和步骤，各阶段的特点、主要内容等。
6. 六西格玛方法论的概述（理解）了解六西格玛方法论——六西格玛改进模式 DMAIC 和六西格玛设计模式 DMADOV / IDDOV，以及六西格玛方法是如何帮助组织进行业务流程的改进和创新的。
B. 六西格玛领导力和战略1. 高层管理者的作用（理解）理解高层领导团队和六西格玛倡导者的职责，以及如何结合组织自身实际将六西格玛战略展开。
2. 六西格玛战略（理解）了解六西格玛是如何作为战略来帮助组织实现流程改进和卓越的；了解六西格玛战略如何支持组织战略；了解组织实施六西格玛管理的目标，以及实施六西格玛管理的主要阶段。
3. 组织文化变革与变革管理（应用）了解六西格玛文化，并分析当前的组织文化和六西格玛文化之间的差异；识别阻碍组织文化变革的壁垒，并运用适当的工具来消除壁垒。
II. 六西格玛和过程管理（7）A. 业务流程的系统分析（理解）从系统角度建立流程的概念；掌握过程管理的基本思想。
SPC过程能力分析
控制图是SPC的核心工具，它是一种图表示方法，用于实时监控过程中的关键变量。控制图通常包括中心线（CL ）、上控制限（UCL）和下控制限（LCL），以及点估计值和过程控制界限。当点估计值超出控制界限或点估计 值在界限附近波动时，可以判断过程存在异常。
SPC的作用
监控过程稳定性
SPC可以实时监控生产过程中的关键变量，如产 品尺寸、重量、强度等，确保它们在可接受的范 围内波动。当发现异常时，可以及时采取措施消 除异常，恢复过程的稳定性。
分析原因
对问题的根本原因进行分析和 识别，找出影响过程能力的因 素。
实施改进措施
将改进措施应用到实际生产过 程中，并对实施效果进行监测 和评估。
识别问题
通过对生产过程进行观察和检 测，发现存在的问题和缺陷。
制定改进措施
根据分析结果，制定相应的改 进措施，如采用新的工艺、调 整设备参数、培训员工等。
总结经验
集成化和云化
企业将更多地采用集成化和云化的SPC技术，实现数据的快速共享和高 效处理，提高生产和管理效率。
03
工业4.0与IoT集成
SPC技术将与工业4.0和物联网（IoT）技术紧密结合，实现生产过程的
全面数字化和智能化。
SPC应用的发展趋势
拓展应用领域
SPC技术的应用领域将进一步扩大，例如在医疗、教育、服务业等 领域的应用，为企业提供更全面的质量管理解决方案。
过程能力的计算
Cpk的计算
Cpk = (USL - LSL) / 6σ，其中USL为上规 格限，LSL为下规格限，σ为标准差。
Ppk的计算
Ppk = (USL - LSL) / 3σ，其中USL为上规 格限，LSL为下规格限，σ为标准差。
CP(工序能力指数)和CPK介绍
CP和CPK介绍CP(或Cpk)是英文Process Capability index缩写，汉语译作工序能力指数，也有译作工艺能力指数、过程能力指数。
工序能力指数，是指工序在一定时间里，处于控制状态(稳定状态)下的实际加工能力。
它是工序固有的能力，或者说它是工序保证质量的能力。
或者说他可以体现工序的质量水平。
这里所指的工序，是指操作者、机器、原材料、工艺方法和生产环境等五个基本质量因素综合作用的过程，也就是产品质量的生产过程。
产品质量就是工序中的各个质量因素所起作用的综合表现。
对于任何生产过程，产品质量总是分散地存在着。
若工序能力越高，则产品质量特性值的分散就会越小；若工序能力越低，则产品质量特性值的分散就会越大。
那么，应当用一个什么样的量，来描述生产过程所造成的总分散呢?通常，都用6σ(即μ＋3σ)来表示工序能力：工序能力＝6σ若用符号P来表示工序能力，则：P＝6σ（式中σ是处于稳定状态下的工序的标准偏差）工序能力是表示生产过程客观存在着分散的一个参数。
但是这个参数能否满足产品的技术要求，仅从它本身还难以看出。
因此，还需要另一个参数来反映工序能力满足产品技术要求(公差、规格等质量标准)的程度。
这个参数就叫做工序能力指数。
它是技术要求和工序能力的比值，即工序能力指数=技术要求／工序能力当分布中心与公差中心重合时，工序能力指数记为Cp。
当分布中心与公差中心有偏离时，工序能力指数记为Cpk。
运用工序能力指数，可以帮助我们掌握生产过程的质量水平。
工序能力指数的判断工序的质量水平按Cp值可划分为五个等级。
按其等级的高低，在管理上可以作出相应的判断和处置(见表1)。
该表中的分级、判断和处置对于Cpk也同样适用。
表1 工序能力指数的分级判断和处置参考表工序能力指数和工序能力分析当影响工序质量的各种系统性因素已经消除，而各种随机因素也受到有效的管理和控制时，工序质量处于受控状态。
这时，工序质量和特性值的概率分布反映了工序的实际加工能力。
六西格玛分析之中心极限定理
六西格玛分析之中心极限定理1. 引言六西格玛分析是一种通过统计分析来改进和控制过程的方法。
中心极限定理是统计学中重要的概念，它说明了当独立随机变量的样本容量足够大时，它们的平均数的分布趋近于正态分布。
本文将介绍六西格玛分析以及中心极限定理的原理和应用。
2. 六西格玛分析六西格玛分析是一种用于改进和控制过程的方法，它基于统计学原理，旨在减少过程的变异性，提高过程的稳定性和质量。
其核心思想是通过数据收集、分析和改进来降低产品或过程的缺陷率。
2.1 数据收集在六西格玛分析中，数据的收集是其中的第一步。
通过收集足够的数据样本，可以获得对过程变异性的深入了解。
数据可以通过直接测量或抽样来获取。
2.2 数据分析数据分析是六西格玛分析的核心环节。
在这一步骤中，统计学的方法被用来分析数据并识别出潜在的问题。
常用的数据分析方法包括直方图、散点图、控制图等。
2.3 改进过程在数据分析的基础上，可以确定改进过程的策略和措施。
通过采取适当的措施来降低过程中的变异性，可以提高产品或服务的质量。
2.4 控制过程改进过程只能是一次性的，而控制过程是一个持续不断的过程。
通过建立控制图和监控指标，可以实时跟踪过程的表现，并及时采取措施来保持过程的稳定性。
3. 中心极限定理的原理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了当独立随机变量的样本容量足够大时，它们的平均数的分布趋近于正态分布。
中心极限定理的原理可以用下面的数学公式来表示：$$Z_n = \\frac{\\sum_{i=1}^{n}X_i - n\\mu}{\\sqrt{n}\\sigma}$$ 其中，Z n是标准化的样本平均数，n是样本容量，X i是独立同分布的随机变量，$\\mu$是随机变量的平均值，$\\sigma$是随机变量的标准差。
中心极限定理的意义在于，当样本容量足够大时，无论原始数据的分布是什么样的，样本平均数的分布都会趋近于正态分布。
这使得我们可以使用正态分布的性质来进行统计推断和假设检验。
中心极限定理的内涵和应用.doc
中心极限定理的内涵和应用在概率论与数理统计中， 中心极限定理是非常重要的一节内容， 而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。
中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理 。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件 。
故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习， 详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。
一、独立同分布下的中心极限定理及其应用在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在 独立同分布条件下的中心极限定理 ，即如下的定理 1：定理 l （林德伯格 - 勒维中心极限定理） 设 X n } 是独立同分布的随机变量序列，且 E( X i ),Var ( X i) 20 存在，若记nX inY ni 1n则对任意实数 y ，有y1t2lim P Y ny( y)2dt.（1）en2π证明：为证明 (1)式，只须证 { Y n } 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。
由定理可知：只须证 {Y } 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。
为此, 设nX n 的特征函数为(t ) ，则 Y n 的特征函数为tnY n(t)()n又因为 E(X n)=0，Var( X n )= 2,所以有 0 ，(0)2。
于是，=0特征函数 (t) 有展开式(t )(0)(0)(0) t 2 o(t 2 ) 1 1 2t2o(t 2 )22 从而有t 2t2n t 2e limY n (t) lim 1o()2nn2n nt 2而 e 2 正是 N(0,1) 分布的特征函数，定理得证。
个中心极限定理是由林德格和勒分独立的在1920 年得的，定理告我，于独立同分布的随机量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是分布，可以是正分布，也可以是非正分布，只要其共同分布的方差存在，且不零，就可以使用定理的。
理解中心极限定理及其应用
理解中心极限定理及其应用中心极限定理是统计学中一项重要的概念，它描述了当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
这个定理在实际应用中具有广泛的意义，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
首先，让我们来了解一下中心极限定理的基本原理。
假设我们有一个总体，其中包含了许多独立同分布的随机变量。
我们从这个总体中抽取出一定数量的样本，并计算这些样本的均值。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，这些样本均值的分布将近似于正态分布。
这个定理的应用非常广泛。
例如，在市场调研中，我们经常需要对一定数量的样本进行调查，并通过分析这些样本的均值来推断总体的特征。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，我们可以使用正态分布来描述样本均值的分布情况，从而更准确地进行推断。
此外，在质量控制中，中心极限定理也扮演着重要的角色。
假设我们要检验某个生产过程的平均值是否符合要求。
通过抽取一定数量的样本，并计算这些样本的均值，我们可以利用中心极限定理来推断总体平均值的分布情况。
如果样本均值的分布接近于正态分布，并且符合要求，我们可以认为生产过程的平均值是可接受的。
中心极限定理还可以应用于假设检验。
假设我们想要判断某个总体的均值是否等于某个特定值。
通过抽取一定数量的样本，并计算这些样本的均值，我们可以利用中心极限定理来推断总体均值的分布情况。
如果样本均值的分布接近于正态分布，并且与特定值之间存在显著差异，我们可以得出结论，总体均值不等于特定值。
除了上述应用外，中心极限定理还可以帮助我们进行抽样调查的样本容量确定。
在进行抽样调查时，我们需要确定样本的大小，以保证推断结果的准确性。
中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
因此，我们可以根据所需的推断精度和置信水平，利用中心极限定理来确定样本容量的大小。
总之，中心极限定理是统计学中一项重要的概念，它描述了当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近于正态分布。
中国质量协会6西格玛黑带考试大纲
6 黑带注册考试大纲I. 在全企业的展开（7）A. 组织的价值观1.六西格玛价值观理解六西格玛的组织价值和它的理念、目标和定义。
（理解）2.业务系统和过程理解和区别业务系统和过程之间的相互关系。
（理解）3.过程输入、输出和反馈描述过程的输入、输出和反馈对整个系统的影响。
（理解）B. 领导能力1.领导理解在六西格玛推进过程中领导的角色（例如资源、组织架构）。
（理解）2.六西格玛角色和责任理解黑带、黑带大师、绿带、倡导者、执行领导者和过程所有者等角色。
（理解）C. 组织的目标理解关键驱动因素；理解关键度量指标/平衡记分卡。
（理解）1.把项目与组织目标相联系描述项目选择过程，包括知道何时使用六西格玛改进方法（DMAIC），而不是使用其他的解决问题的工具，并且确保项目与组织目标相联系。
（理解）2.风险分析描述战略型风险分析的目的和益处，如SWOT、情景策划，包括在一个项目或过程中优化的要素可能导致对整个系统产生不利影响。
（理解）3.闭环评价和知识管理对达到目标的项目进行文件化，将获得的经验和教训进行管理，以便识别新的机会。
（理解）D. 六西格玛与质量管理发展史了解六西格玛中使用的持续改进工具的起源（如戴明、朱兰、休哈特、石川馨、田口等）。
（理解）II. 过程管理（7）A. 过程与职能的视角1.过程要素理解过程的组成部分和界线。
（分析）2.所有者和相关方识别过程的所有者，内部和外部顾客及其他相关方。
（分析）3.项目管理与益处理解管理项目与使项目给经营带来最大利益之间的区别。
（分析）4.项目测量建立关键绩效度量指标和适宜的项目文档。
（分析）B. 顾客的声音1.识别顾客细分顾客使之适合于每一特定的项目；列出每一细分的顾客中受项目影响的顾客；展示一个项目如何影响内部和外部顾客；认识到顾客忠诚度对组织财务绩效的影响。
（分析）2.收集顾客数据运用多种方法收集顾客的反馈（调查、焦点小组、访问、观察等）并且理解每一种方法的优劣势；知晓使调查、访问和其他反馈工具有效的关键要素；审查问题清单以确保完整性（避免偏差、模糊不清等）。
六西格玛考试大纲
I 六西格玛管理概论A。
六西格玛管理的发展1。
六西格玛的起源和发展了解六西格玛的起源，理解质量大师（朱兰、戴明、休哈特等）的质量理念；六西格玛管理的演变过程；识别组织为何使用六西格玛,六西格玛与其他管理模式之间的关系。
（理解）2.六西格玛解决问题的逻辑识别企业的关键绩效指标和业绩驱动因素，平衡记分卡、绩效指标与至上而下的业务流程改进. （理解）B. 六西格玛管理的概念和核心理念1.六西格玛管理的概念掌握六西格玛的基本概念，了解其统计意义和管理意义.（理解)2.六西格玛的核心理念掌握六西格玛的核心理念和价值观。
（理解）C。
六西格玛管理的组织和推进1。
六西格玛管理领导力与战略掌握六西格玛管理实施中高层领导的作用，六西格玛与企业战略。
（理解）2.六西格玛管理的组织结构掌握实施六西格玛管理需要建立的基础架构和条件，组织各部分的角色（高层领导团队、倡导人、资深黑带、黑带、绿带等）和作用。
（理解)3.六西格玛管理的推进步骤掌握六西格玛实施的主要阶段和步骤，各阶段的特点、主要内容等。
（理解）4.六西格玛项目管理掌握六西格玛项目管理的基本原则、意义和作用。
（理解)D．六西格玛管理方法论1.六西格玛改进的模式——DMAIC掌握DMAIC解决问题的基本逻辑和流程，各阶段的主要内容，与其他持续改进思想之间的关系。
（理解）2.六西格玛设计的模式了解六西格玛设计的基本思想，描述并区别DMADOV(定义、测量、分析、设计、验证）识别它们如何与DMAIC相联系及在DFSS的设计阶段如何全程跟进帮助改进最终产品和过程。
(理解）E．精益六西格玛1.精益生产的产生及发展了解精益生产的产生和精益的思想，掌握一些概念，例如价值链、看板、拉动系统等。
（理解）2.精益生产的核心理念了解精益生产的核心理念，掌握增值作业和非增值作业，识别在过量库存、空间、测量检测、重复工作、运输和仓储等方面的浪费。
（理解）3.精益生产与六西格玛的融合了解如何将精益的工具融入六西格玛问题解决的基本框架之中。
中心极限定理公式
中心极限定理公式
中心极限定理，又被称为中央极限定理，它是数学统计的基本原
理之一。
它指出，当样本量大到一定程度时，任何总体随机变量的抽
样分布极其接近于正态分布。
也就是说，无论任何一个总体变量本身
的分布，有足够多的形状和类型，通过大量（抽样）的实践，这些总
体变量的抽样分布的形状都会收敛到正态分布。
说白了就是，随机变
量的平均分布是正态分布，即数量多少用正态分布表示。
中心极限定理为所有类型的统计学分析提供了支撑，使我们能够
对变量的抽样分布作出正确的判断，让统计学研究更加准确、靠谱。
中心极限定理有时也可以用来解决不佳的实验设计和数据分析所造成
的偏差，从最基本的假设出发，采取中心极限定理来处理不理想的数据，以减少准确性的偏差。
中心极限定理的研究和应用已有很多年了，其研究历史从古希腊
数学家尼古拉斯凯撒开始，发展到现代，中心极限定理已经成为支撑
和推动大量实验设计和统计分析研究工作的重要理论。
中心极限定理是统计推断和定理的基础，其理论引用范围极广，
经常会在各种统计学考试中出现。
因此，如何好好掌握中心极限定理，熟练运用它以正确求解考试中的问题，是通过统计学的资格考试的必
要条件之一。
CP(工序能力指数)和CPK介绍 (1) 2
CP和CPK介绍CP(或Cpk)是英文Process Capability index缩写，汉语译作工序能力指数，也有译作工艺能力指数、过程能力指数。
工序能力指数，是指工序在一定时间里，处于控制状态(稳定状态)下的实际加工能力。
它是工序固有的能力，或者说它是工序保证质量的能力。
或者说他可以体现工序的质量水平。
这里所指的工序，是指操作者、机器、原材料、工艺方法和生产环境等五个基本质量因素综合作用的过程，也就是产品质量的生产过程。
产品质量就是工序中的各个质量因素所起作用的综合表现。
对于任何生产过程，产品质量总是分散地存在着。
若工序能力越高，则产品质量特性值的分散就会越小；若工序能力越低，则产品质量特性值的分散就会越大。
那么，应当用一个什么样的量，来描述生产过程所造成的总分散呢?通常，都用6σ(即μ＋3σ)来表示工序能力：工序能力＝6σ若用符号P来表示工序能力，则：P＝6σ （式中σ是处于稳定状态下的工序的标准偏差）工序能力是表示生产过程客观存在着分散的一个参数。
但是这个参数能否满足产品的技术要求，仅从它本身还难以看出。
因此，还需要另一个参数来反映工序能力满足产品技术要求(公差、规格等质量标准)的程度。
这个参数就叫做工序能力指数。
它是技术要求和工序能力的比值，即工序能力指数=技术要求／工序能力当分布中心与公差中心重合时，工序能力指数记为Cp。
当分布中心与公差中心有偏离时，工序能力指数记为Cpk。
运用工序能力指数，可以帮助我们掌握生产过程的质量水平。
工序能力指数的判断工序的质量水平按Cp值可划分为五个等级。
按其等级的高低，在管理上可以作出相应的判断和处置(见表1)。
该表中的分级、判断和处置对于Cpk也同样适用。
表1 工序能力指数的分级判断和处置参考表工序能力指数和工序能力分析当影响工序质量的各种系统性因素已经消除，而各种随机因素也受到有效的管理和控制时，工序质量处于受控状态。
这时，工序质量和特性值的概率分布反映了工序的实际加工能力。
SPC统计过程控制培训大纲(李见明2024版)202406
4.11 过程能力改进
经验告诉我们：只有稳定的过程（控制图显示受控的过程），才能提供可信赖的过程能力，而过高或过低的过程能力，都会带来额外的品质成本，通过 SPC 的运用，将使我们更有效地分配品质控制资源，以制程确保品质，最大限度地降低无形的，看不见的品质成本，赢得客户的信任。
培训对象：
企业研发部、技术部、企划部、制造部、品管部、人力资源部、资材部等主管人员及工程师
1.1 SPC的定义
1.2 SPC发展
1.3 SPC作用
1.4 SPC的基本统计概念
1.5 中心极限定理
第二讲 SPC控制图及计算公式
2.1过程控制系统
2.2 过程变差
2.3 SPC控制图对发现异常的两类错误和风险
2.4 两种变差的对策
2.5 控制图定义及构成要素
2.6 控制图的种类
2.7 SPC导入流程
第四讲 过程能力分析
4.1过程能力概念
4.2 过程能力指数
4.3 过程能力指数CP计算
4.4 过程能力指数CPK计算
4.5过程性能指数Pp
4.6 过程性能指数PPK
4.7 过程能力指数Cp,Cpk与Pp,Ppk区分
4.8 过程能力指数Cp,Cpk与Pp,Ppk的应用时机
4.9 过程能力等级判断及处置建议
3.4 均值和标准差控制图制作与解析
3.5中位值极差图制作与解析
3.6 单值移动极差图制作与解析
3.7计数型数据控制图四种类型
3.8 P不良率管制图制作与解析
3.9 不合格品数的np 图制作与解析
3.10 缺陷数的 c 图制作与解析
3.11单位缺点数管制图u图制作与解析
3.12 控制图制作课堂练习
从数理统计角度浅析过程评价指数(Cpk和Ppk差异)
从数理统计角度浅析过程评价指数1 背景介绍在今天的经济气候下，为了事业昌盛，我们——汽车制造商、供方及销售商必须致力于不断改进。
[1]通过采取合适的预防措施，避免浪费，不断提升提供内、外部顾客满意的产品和服务的能力。
SPC，统计质量控制是现代质量管理的核心内容之一，其通过一套从合理的过程抽样、测量和统计分析方法，对过程状态进行测定，避免过程产生无用的输出，为过程的持续改进提供了指导。
然而，统计质量控的有效实施并不容易，人们在实践中往往会对理论中的概念产生困惑。
例如：SPC从过程的可接受程度和受控状态将过程分为四大类，如下表所示：然而，SPC手册又明确注明，一个可接受的过程必须是处于受控统计控制状态的且其固有变差（能力）必须小于图纸的公差。
因此，不受控的三类过程原则上是不可接受的，并且不受控的过程是无法计算过程能力的，那么此处的可接受就不是指过程能力了。
按照手册原文的意思，这里的过程符合要求，应该是指过程实际输的产品特性，因此理解为过程性能更为贴切。
2过程、过程能力和过程性能过程Process，ISO 9000：2015 《质量管理体系基础和术语》对过程的定义为：过程是指利用输入产生预期结果的相互关联或相互作用的一组活动。
过程的“预期结果”称为输出，还是称为产品或服务，需随相关语境而定。
SPC对过程的定义与SPC的研究对象密切相关：认为过程是共同工作以产生输出的供方、生产者、人、设备、输入材料、方法和环境以及使用输出的顾客之集合。
过程能力Process Capability，仅适用于统计稳定的过程，是过程固有变差6σ范围，通常由6R̅/d2计算而得。
SPC 手册对过程能力的描述为：过程能力由造成变差的普通原因来确定，通常代表过程本身的最佳性能，在处于统计控制状态下的运行过程，数据收集到后就能证明过程能力，而不考虑规范相对于过程分布的位置和/或宽度的状况如何。
过程能力是指过程本身在没有特殊原因干预（即统计受控）的情况下其产出品的均一程度。
基于OBE_理念的概率论与数理统计课程思政教学改革探索
DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2024.06.041基于OBE 理念的概率论与数理统计课程思政教学改革探索*程艳晋中信息学院 山西晋中 030800*项目来源：2022年山西省高等学校教学改革创新项目“基于OBE 理念的概率论与数理统计课程思政教学改革研究”（课题编号：J20221490）。
作者简介：程艳，副教授。
门课程的教学情况，总结该课程存在的痛点问题。
1.1 理论抽象难理解概率论与数理统计这门课程理论知识晦涩难懂，不容易理解。
晋中信息学院学生知识水平较弱，采用传统的课堂模式“引例—定义—定理—例题”授课，学生觉得学习痛苦，教学内容死板无趣，缺乏创新性且没有新意，教学效果不佳。
1.2 情感目标被弱化教学过程中注重课本上的理论知识，对于知识在其他方面的应用讲解甚少，知识在生活中的应用被忽视，与生活中的案例、思政的隐性教育脱节。
无法达到知识传送与育人目标同向同行。
1.3 高阶思维难建立概率论与数理统计重在培养学生的逻辑思维能力和处理实际问题的能力。
学生学习动力不足，缺乏自主学习以及深度学习的内驱力，导致学生的思维方式难以升华，无法上升到一定的高度。
1.4 教学评价方式单一概率论与数理统计的考核方式通常是：总成绩=卷面成绩×70%+平时成绩×30%（或总成绩=卷面成绩×60%+平时成绩×40%）。
卷面成绩占比较大，对于学习效果的检验较为单一，不够全面。
总之，概率论与数理统计的教学模式较为传统，有一定的局限性，学生的获得感不足，教学效果无法满足当代社会对大学生的要求。
因此，对于概率论与数理统计的教学改革势在必行。
2 OBE 教育理念OBE 全称Outcome Based Education，也称为成果导向教育。
OBE 理念最先开始于美国，由Spady 等最先提出，是一种被国内外都认可的先进的教育教学理念。
其核心教育集中于以下4个问题。
统计过程控制SPC第二版
例如，原材料的质量不符合规定要求；机 器设备带病运转；操作者违反操作规程； 测量工具带系统性误差，等等。由于这些 原因引起的质量波动大小和作用方向一般 具有一定的周期性或倾向性，因此比较容 易查明，容易预防和消除。又由于异常波 动对质量特性值的影响较大，因此，一般 说来在生产过程中是不允许存在的。
是
否
np或p图 p图
关心的是 单位零件缺陷数吗？
是
样本容量 是否恒定？
是
否
C或U图 U图
二、控制图
计量型控制图
二、控制图 计数型控制图
二、控制图 4、控制图应用的二个阶段
从生产过程中，定期抽取样本，测量各样 本的质量特性值，然后将测得的数据加以 统计分析，判断过程是否处于稳定受控状 态，从中发现过程异常原因(特殊原因)， 从而及时采取有效对策，使过程恢复到正 常稳定受控状态。
预防与检测
检测——容忍浪费
在生产部门，通过检查最终产品并剔除不合格产品。不合格的总是不合格。 在管理部门，经常靠检查或重新检查工作来找出错误 这实质上是“死后验尸”，造成时间和材料等的浪费
计数型：通常是指不用仪器即可测出的数 据。计件如不合格件数；计点如PCB上的 漏焊数、溢胶数等
计量型 计数型
计件型 计点型
二、控制图 2、控制图的构成
18 17 16 15 14 13 12 11 10
9 8 7 6 5
1
2
3
4
点落在该区间的概率为99.7%
5
6
7
8
9
+3
Average
-3
10
二、控制图
▪ ……
二、控制图
计数型控制图
不良率控制图（P图） 不良品数控制图（Pn图） 缺陷数控制图（C图） 单位缺陷数控制图（U图）
举例说明中心极限定理
举例说明中心极限定理
中心极限定理（Central Limit Theorem）是数理统计中一种重要的定理，舍罕－拉瓦锡在19世纪末提出的，它指出：当样本数目足够大时，其样本统计量的某些类型的分布比较接近正态分布。
换言之，即使母
体分布非正态，某些拥有一定数量样本时，其统计量也接近正态分布。
中心极限定理是统计学中重要的定理，它所指出的是许多概率模型中
的性质以及它们的变异情况是怎样的：当一个分布的假定的母体的样
本量越大时，它也拥有更多的样本中心越来越接近期望值，即比期望
值偏离得越小，样本越来越接近正态分布，即偏离正态分布得越小，
而样本标准偏差大小则回落迅速，而方差则不变。
举个例子，比如要考察100个人100米冲刺的完成时间，此时这100米冲刺的完成时间服从一种独特的概率分布，但是根据中心极限定理，
当100个人参加100米冲刺的完成时间的样本量够大时，那这些完成
时间的分布就会越来越接近正态分布，而无论最初所采样的概率分布
如何。
总结一下，中心极限定理是指，多样本（sample size足够大）情况下，即使假定母体分布极不正态，但是采样样本总体的分布仍然会趋向于
正态分布，即只要样本数量足够大，正态分布是任何概率分布的密切
逼近。
这个定理的十分重要，因为它为许多重要的统计抽样技术和显
著性统计检验提供了基础理论，也为计算机中的Monte Carlo模拟法（Monte Carlo Simulation）的应用铺平了道路。
初中数学 什么是中心极限定理 如何应用中心极限定理判断数据的波动趋势
初中数学什么是中心极限定理如何应用中心极限定理判断数据的波动趋势中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了当独立随机变量的数量足够大时，它们的和或平均值的分布会趋近于一个正态分布。
简单来说，中心极限定理告诉我们，无论总体分布如何，当样本数量足够大时，样本的和或平均值会呈现出正态分布的特征。
以下是如何应用中心极限定理来判断数据的波动趋势的步骤：1. 收集数据：首先，收集包含观测值的数据集。
2. 数据准备：对于数据集，进行必要的数据清洗和处理。
确保数据的格式正确，缺失值被处理。
3. 划分样本：将数据集划分为若干个大小相等的样本。
4. 计算样本和/平均值：对于每个样本，计算其观测值的和或平均值。
5. 绘制样本和/平均值图：将样本和/平均值绘制成一个随样本数量增加的直方图或折线图。
6. 观察波动趋势：根据中心极限定理，随着样本数量的增加，样本和/平均值的分布应该趋近于正态分布。
因此，通过观察样本和/平均值图的形状，我们可以判断数据的波动趋势。
如果样本和/平均值图逐渐呈现出钟形曲线的形状，那么我们可以认为数据的波动较小，符合正态分布的特征，趋于稳定。
相反，如果样本和/平均值图的形状仍然偏离钟形曲线，呈现出非正态分布的特征，那么我们可以认为数据的波动较大，不趋于稳定。
需要注意的是，中心极限定理是基于概率的，它并不是绝对准确的。
在实际应用中，我们需要根据具体情况和样本数量来判断数据的波动趋势。
总结起来，中心极限定理是一个告诉我们当样本数量足够大时，样本和或平均值的分布趋近于正态分布的定理。
应用中心极限定理来判断数据的波动趋势的步骤包括收集数据、数据准备、划分样本、计算样本和/平均值、绘制样本和/平均值图和观察波动趋势。
中心极限定理可以帮助我们判断数据的波动趋势，但需要结合具体情况和样本数量进行分析和判断。
cpk的ca计算公式及解释
cpk的ca计算公式及解释摘要：I.引言- 介绍cpk 的背景和作用II.cpk 的定义和计算公式- 解释cpk 的含义和计算方法- 介绍cpk 与产品质量和生产效率的关系III.cpk 的ca 计算公式- 解释ca 的含义和计算方法- 介绍ca 与cpk 的关系IV.cpk 的ca 计算公式推导- 详细推导cpk 的ca 计算公式V.总结- 概括cpk 的ca 计算公式的重要性和应用正文：I.引言制程能力指数（Process Capability Index，简称cpk）是一种衡量生产过程稳定性和产品质量的指标。
cpk 值越接近1，说明生产过程的稳定性和产品质量越好。
在制造业中，cpk 被广泛应用于生产过程的监控和改进。
II.cpk 的定义和计算公式cpk 是通过计算过程均值（Xbar）与规格上限（USL）和规格下限（LSL）的关系来评估过程能力的。
其计算公式为：cpk = (USL - LSL) / 6σ其中，σ代表过程标准差，可以通过样本标准差（s）来估计，即σ = s / √n。
III.cpk 的ca 计算公式在计算cpk 时，需要先计算过程能力指数（Process Capability Index，简称ca），其计算公式为：ca = (USL - Xbar) / 3σ 或ca = (Xbar - LSL) / 3σIV.cpk 的ca 计算公式推导根据中心极限定理，当样本大小足够大时，样本均值的分布会接近正态分布。
因此，我们可以使用正态分布来推导cpk 的ca 计算公式。
假设过程均值Xbar 和标准差σ已知，规格上限USL 和规格下限LSL 也已知，我们可以通过以下步骤计算cpk 的值：1.计算过程能力比（Cpk）：Cpk = min((USL - Xbar) / 3σ, (Xbar - LSL) / 3σ)2.计算cpk：cpk = (USL - LSL) / 6σ = 2 * CpkV.总结cpk 的ca 计算公式是评估生产过程能力和产品质量的重要工具。
中心极限定理的三个结论和证明
中心极限定理的三个结论和证明中心极限定理，你听说过吗？哦，这可真是概率论里的一颗璀璨明珠。
就像是打麻将的时候，别人摸到的牌看着随意，可最后那手牌却总能拿到胜利！在数学里，中心极限定理也是这种“逆天”的存在，它告诉我们一个超级重要的事：不管你原本的数据分布是什么样的，经过足够多的实验和计算，最终的结果都可以像一个钟摆一样，稳定地聚集在一个中心点附近。
听起来有点抽象？别急，咱们慢慢聊。
中心极限定理有三个最关键的结论。
如果你对概率稍微有点儿了解，肯定会觉得这玩意儿特别酷。
第一个结论呢，就是无论我们原始的数据分布长什么样，经过多次独立抽样，算出样本均值（也就是所有数据的平均数），这些均值会随着样本量的增加，逐渐形成一个钟形的分布——也就是你经常看到的正态分布。
简单来说，像是在掷骰子，虽然每次你掷出来的点数都是不同的，但当你掷够了很多次，点数的平均值就会聚集在某个地方，这个地方通常就是3.5，差不多是骰子的中心。
虽然掷骰子的过程看似是乱七八糟的，但结果却总能偏向一个稳定的数值，这就是中心极限定理的神奇之处。
第二个结论，也许你会觉得更有意思，那就是不管原本的数据分布是怎样的，不管它有多么奇怪或者偏斜（比如那种左右不对称、像个山脊一样的分布），经过足够多次的抽样，它的样本均值也会趋向于正态分布。
这就像是即使你吃的东西特别奇葩，最后吃进肚里的也就是一些基本的营养成分。
所以，不要看数据分布初始时的样子奇奇怪怪，一旦样本量大了，它们就会自动“修正”成正常的模样。
至于第三个结论嘛，听着就有点让人拍案叫绝。
它告诉我们，即使我们抽样的方式有点复杂，或者数据本身有点“曲线”——比如不完全独立、或者样本之间有点相互影响，中心极限定理依然能够成立。
也就是说，即使你的样本数据看似“稀奇古怪”，只要满足了一些基本的条件，最终它们的样本均值还是会收敛到正态分布。
这是怎么做到的呢？这个过程就像是大自然的规律，虽然有时候乱七八糟，但最后总能回归平衡。
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Ｃｐ值在１．３３～１．６７之间，说明过程“质量 能力”充分，但其Ｃｐｋ值为１．０８，说明过 程中心与公差中心偏离较大， “管理能力” 不够；机台３的Ｃｐ与Ｃｐｋ值均为０．６６， 小于０．６７，说明过程“质量能力”严重不 足。
根据以上统计分析。我们可以制定 不同的对策．机台１过程能力充分，继 续维持；机台２“质量能力”充分，但 分布中心与公差中心偏离．操作人员应 调整质量控制指标向公差中心“瞄准”： 机台３“管理能力”尚可，但“质量能 力”严重不足，采取紧急措施，全面检 查设备。对影响烟丝均匀性的关键部位 进行调整，提高设备保障能力。
态分布总体的样本．ｎ＝２～７时的系
数值示于表３。据此，总体标准偏
差（ｉｔ可通过ｓ／ｃ。式利用样本统计量
ｓ来统计。
６．极差Ｒ的分布。
样本极差Ｒ分布的期望值与标
准偏差（图７）如下：
Ｅ（Ｒ）＝ｄ２（ｒ
Ｄ（Ｒ）＝ｄ３０＂
（８）
式中系数ｄ２ ｄ，决定于总体的分
布形态与样本大小ｎ：从正态分布
总体抽取样本．其系数值如表３所 示。据此，叮的估计可通过Ｒ／ｄ：式 来求得。
（上接第８１页）
项目＼ ＼
Байду номын сангаас
彩台
ｌ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５ １６ 均值（分布中心¨） 公差中心（Ｍ） 汕与Ｍ的偏离（￡） 公差幅度（Ｔ） 均值方差 总体方差 总体标准差 过程能力指数。 ｌ有偏差情况的过程能力 指数Ｃ４
机台１ 平均值（曲
０．９２７ ０．９３４ Ｏ．９３１ ０．９３２ ０．９３３ ０．９３７ ０．９２８ ０．９３６ ０．９２７ ０．９３３ ０．９３５ ０．９３７ ０．９３６ ０．９３７ ０．９２９ ０．９４０ ０．９３３ ０．９３０ Ｏ．００３ Ｏ．１６０ １．４８１２５Ｅ一０５ ０．０００３０ ０．０１７ １．５５
（下转第８５页）
万方数据
数理统计分析与应用ｌ ８５
Ｄ（ｓ）：、／丽盯２ （５）
４．方差Ｓ２的分布。 方差ｓ２是由偏差平方和Ｓ除以 （ｎ一１）得到的，所以大小为ｎ的样 本的方差ｓ２的期望值与标准偏差如下： Ｅ（ｓ２１－仃２
Ｄ（ｓ２）＝、／２／（ｎ一１）盯２
（６）
由上式可知．Ｓ／（ｎ一１）是无偏的
０１２估计值。因此，ｓ２也称无偏方差。
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
杨运红 河北中烟工业公司
中国质量 CHINA QUALITY 2007(9)
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１．４９
１．０８
机台３ 平均值（曲
０．８９９ ０．９２５ ０．９１３ ０．９１２ ０．９０５ ０．８９０ ０．９２５ ０．９１２ ０．９０３ ０．９２ｌ Ｏ．９０３ ０．９０６ Ｏ．９０９ ０．９０９ ０．９１０ ０．９０９ ０．９０９ ０．９１０ ０．００ｌ Ｏ．１６０ ８．０６１９１Ｅ—０５ ０．００１６１ ０．０４０ ０．６６
样本数据极差Ｒ作为离散的测 度有直观、容易理解、好计算的优 点。但在ｎ个数据中求极差仅仅使 用了最大值与最小值两个数据，没 有充分利用全部数据所提供的信 息，因此当ｎ较大时使用极差估计 叮的效率较差。使用Ｒ估计盯通常 要求ｎ在１０以下。
７．统计量函数的分布。 殳，Ｍｅ，Ｓ，Ｓ２，ｓ，Ｒ等统计量 的分布是各种统计方法的基础，应 予重视。进而，这些统计量复合起 来得到的ｘ２，ｔ，Ｆ等统计量函数， 其分布对于实际统计检验与推断也 有重要意义，这些分布在后面具体 应用时详述。ｔ
作为方差也有用Ｓ除以ｎ来求
得的，不过这时它不是ｏｒ２的无偏
估计量，将得到比盯２小的有偏估
计值。
５．标准偏差ｓ的分布。
样本标准偏差ｓ分布的期望值
与标准偏差为：
Ｅ ｆ Ｓ）＝Ｃ４０＂
Ｄ（ｓ）＝ｃ５盯
（７）
这里，系数ｃ。，ｃ，的值取决于分
布的形态与样本大小；对于来自正
厂 ＼／如 弋＼
０
ｄ毋’
Ｒ
图７极差Ｒ的分布
本文链接：/Periodical_zhonggzl200709030.aspx
数理统计分析与应用Ｉ
一、刖置
单支质量是卷烟的一项主要物 理指标，单支质量的稳定性不仅与 卷烟的吸阻、硬度、焦油量、感官 质量、烟丝消耗等密切相关，还会 导致空头、竹节卷烟产生。因此新 的《卷烟》国家标准对卷烟单支质 量指标提出了更高要求，单支质量 允差由原标准的设计值－＋０．１００９， 调整为设计值±０．０８０９。所以加强 对卷烟质量的过程能力评价与控制 研究具有十分重要的意义。本文探 讨了过程能力评价在卷烟质量控制 中的应用。
无偏离情况下的过程能力指数 Ｃｐ计算方法：
Ｃｐ＝Ｔ／６（ｒ—Ｔ／６ｓ
式中Ｔ为技术规范的公差幅 度．盯为质量特性分布的总体标准 差。ｓ为样本标准差。
有偏离情况的过程能力指数 Ｃｐｋ计算方法：
Ｃｐｋ＝（１一Ｋ）Ｃｐ 式中Ｋ为定义分布中心ｕ与公 差中心Ｍ的偏离度，¨与Ｍ的偏 离为￡＝ＩＭ一¨ｌ，Ｋ＝２ｅ／Ｔ 要计算过程能力指数．首先需 得到反映总体质量特性的标准差。 目前我们对卷烟质量的抽样检测虽
三、应用过程能力指数实例
卷烟机台按标准要求每３０分 钟进行１次２０支卷烟质量检测， 以下是某一个班任意３个机台２０ 支卷烟质量平均值，根据以上原理 进行总体标准差的测算（见表１）：
从表１中可以看出：机台１的 Ｃｐ、Ｃｐｋ值在１．３３～１．６７之间，说 明该机台过程能力充分，且过程中 心与公差中心偏离很小， “质量能 力”与“管理能力”均可；机台２的
四、结论
通过利用中心极限定理开展工序质 量的过程能力评价，可以减少单支卷烟 质量检测中偶然因素的影响．使’样品更 具有代表性，并且能够充分利用在线现 有检测数据，及时了解各工序对卷烟质 量的控制能力，做到早预防、早整改． 避免不合格产品的产生。镑
（作者单位：河北中烟工业公司）
万方数据
中心极限定理在过程能力评价中的应用
表１
机台２ 平均值（ｇ）
０．９３６ Ｏ．９３１ ０．９３４ ０．９２６ ０．９２９ ０．９３２ ０．９３７ ０．９３９ ０．９２７ ０．９３３ ０．９３６ ０．９２７ ０．９２８ ０．９３５ ０．９３１ ０．９２８ ０．９３２ ０．９１０ ０．０２２ Ｏ．１６０ １．６２３７１Ｅ—０５ Ｏ．０００３２ ０．０１８ １．４８
二、运用过程能力指数开 展工序能力评价的原理
过程能力指数Ｃｐ是反映过程 加工质量满足产品技术要求的程 度，ｃｐ越大，表明加工质量越高， Ｃｐ越小，表明加工质量越差。在实 际生产当中．有时质量分布的均值 与公差中心不重合，不合格品率增 大，即Ｃｐ值降低，这时我们需要 计算该偏离情况的过程能力指数 Ｃｐｋ，Ｃｐｋ表示过程中心灿与公差 中心Ｍ的偏离情况，Ｃｐｋ越大，二 者偏离越小，过程中心对公差中心 越“瞄准”。因此，Ｃｐｋ是过程“质 量能力”与“管理能力”二者综合 的结果。
然可以得到样本的标准差．但抽取 的样本一般只是在极小的时间段内 生产的产品，而卷烟产品的生产是 一个连续的过程．在此过程中．不 可避免地存在着“系统因素”和 “偶然因素”的影响。因此，卷烟 质量是在不停的波动变化，要得到 反映整个生产过程产品的标准差， 上述样本的抽取方法受偶然因素影 响较大。
如何才能准确估计总体标准差？ 鉴于目前我们在生产过程控制 中．采用各机台每间隔一定时间测 量一次２０支卷烟质量的情况，可 以利用中心极限定理，采集生产过 程中各机台２０支卷烟质量数据， 对机台一段时间内生产的产品质量 标准差进行测算。 中心极限定理１：设Ｘ。，Ｘ２， ……Ｘ。，是ｎ个相互独立的同分布 的随机变量，假如其共同分布为正 态分布Ｎ（¨，盯２），则样本均值Ｘ 仍为正态分布，其均值不变仍为¨， 而其方差缩小ｎ倍，若把ｘ的方差记 为０－０２，则有叮０２＝盯２／ｎ。这个定理表 明在定理１的条件下，正态样本均 值Ｘ服从正态分布Ｎ（斗，盯２／ｎ）。 卷烟单支质量是相互独立的随 机变量，且服从正态分布。由以上 定理可知其２０支的平均值仍为正 态分布，均值不变，而其方差缩小 ２０倍。 设２０支卷烟质量的平均值为 Ｘ１，Ｘ２，……Ｘ。，其均值为Ｘ。 均值的方差为：（３１＂０２ ［（Ｘ１一Ｘ）２＋ （ｘｚ—Ｘ）……（ｘ。一ｘ）］／（ｎ－１） 根据以上定理可知： 总体方差盯２＝盯０２×２０ 即可以得到产品总体的方差及 标准差。