在动态中理解、解决函数类2

b 2
O

y

x
x=−

b 由此得 - ≤ 0 所以 2

ｂ≥０

练 习 2 : 已 知 f (x ) = x 2 + 2 a x + a 2 + b ①当f（x）在区间[-∞，1]上为减函数时，a的取值范围
解①：因为 f ( x) = x2 + 2ax + a2 + b

，

= ( x + a) + b
2

y

所以函数的对称轴为x=-a 如右图1 ∵函数在[-∞，1]上为减函数 ∵ ∴ -a≥1 a≤ -1 O 1 x
姓名 工作单位 年级 电子邮件 职称 课件名称

潘发军 甘肃省民勤县第五中学 高三级 mqpfj@126.com or 825147182@qq.com 中学二级教师 在动态中理解、解决函数问题

在动态中理解、解决函数问题

甘肃省民勤县第五中学

潘发军

引入： 引入：
函数是中学数学的重要内容, 函数是中学数学的重要内容,是中学数 学的核心知识,贯穿中学始终, 学的核心知识,贯穿中学始终,其思想方法 在解决数学问题和实际问题时有广泛的应用, 在解决数学问题和实际问题时有广泛的应用, 学生对函数的学习程度直接影响他们的后续学习. 学生对函数的学习程度直接影响他们的后续学习. 通过前面所学知识的归纳发现很多问题可在图形的动 态中找到问题的答案。 态中找到问题的答案。

，

解③如右图演示:
y

O

x

x = −a
③由演示知:f(x)=x2 +ax+a 2+b为偶函数时，f（x）的对称轴x=-a 应与y轴重合， 即 -a=0， a=0

二、在动态中由简单的函数图象确定较复杂的函数图象，从而解 、在动态中由简单的函数图象确定较复杂的函数图象， 决问题
x−2 例 2 :已 知 函 数 f ( x ) = , 则 它 的 图 象 是 (B ) x −1

分析: 分析

Ｆ(-a,2)
y D
P3 P2

Ｍ(a+4,2)
C
P1

Ｅ(-a,0)

A

P P4 B （a,0)

x Ｎ

解：设Ｐ４的坐标为（ａ，０），对称性可知，Ｅ，Ｆ，Ｍ的坐标 分别为（－a,0）、(-a,2)、(a+4,2)
MN 2 = 在直角△ＰＭＮ中，则可得tanα＝ ＰＭＮ中 ＰＭＮ PN a + 4 − 1
图1

x = −a

②若x在实数集R上恒有f（x）≥0时，b 的取值范围是
2 2 解② 因为 f ( x ) = x + 2ax + a + b

，

y

= ( x + a) + b
2

∴当x=-a时
如右图2 ∵F（x）≥0， ∴ b≥0，

fmin = b

O b

x

x = −a

图2

③f（x） )=x2 +ax+a 2+b为偶函数时，则a
x＝１ x＝２

x

巩固练习
练习1, 函数 f(x)=x 2 + bx + c, x ∈ [0, +∞ )是单调函数, 求b的取值范围
解:如右图变化过程所示
函数 f(x)=x 2 + bx + c, x ∈ [0, +∞ )是单调函 数,则图象在[0,+∞]上表现为升调 或降 调,对此函数由上面演示过程看出,对称 b 轴x=- 与 y轴重合或在y轴的左侧时,图 2 象在[0,+∞]上为升调,否则函数图象在 ［0，＋ ∞ ］表现为先将后升，
—2

ｘ

ａ＜０ ａ＜０ ｙ

—2

ｘ

ａ＞０

综上所述：ａ＞０ 综上所述：ａ＞０ｂ≤０ ：ａ＞ ０

试一试: 试一试
），B（ ， ）， ），C（ ， ）， ），D（ ， 例４：已知长方形的四个顶点A（0，0）， （2，0）， （2，1）， （0， 已知长方形的四个顶点 （ ， ）， 1）一质点从 的中点 沿与 夹角为 的方向射到 上的点 1后，依次射 的中点P沿与 夹角为α的方向射到 上的点P ）一质点从AB的中点 沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点 上的点P 入射角等于反射角）， ），设 的坐标为（ ， 到CD，DA和AB上的点 2、 P3 、P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（a， ， 和 上的点 、 0），若1<a<2,则tanα的取值范围是 ），若 , ）， 则 的取值范围是

2 1 又 1 < a < 2 , 所以 < tan a < 5 2

知识小结
1、在解函数类的问题中，要注意数形结合思想的应用，要“由数 定形，由形推数”，达到理解题中数量关系的目的。 2、函数通常表达数之间的动态的对应关系，理解题目时要有动态 意识，以便理解数量关系。

作业布置
1、P191 2、 P192 题型三 高考真题： 2、3
2

y x=a

所以函数的对称轴为x=a 所以函数的对称轴为

由题意f(x)=x2 -2ax-3在区间[1，2] 上存在反函数，如右图所示： 因在区间[1，2]上存在反函数，由图象 的动态演示知对称轴x=a应与x=1重合 或在它的左侧或与x=2重合或在它的右 侧,此时图象在[1,2]上单调,函数才存在 反函数 所以 a≤1 或a≥2
y y y y x A
分析 : 因为

x B x−2 1 f ( x) = = 1− x −1 x −1 y x C y x
→ y = − 1 x −1

x D

x

y x
→ y =1− 1 x −1

由

1 y = − x

因 此 ， 函 数 f(x) 的 图 象 可 以 看 作 由 y = −

1 的图象先向右移动一个单位， x 再向上移动一个单位得到的，故选答案B
1

y=logax
1 x

0

＝ａ│ｘ ｂ 上是增函数,求实数 例3、函数 、函数f(x)＝ａ ｘ-ｂ│+2在[0,∞)上是增函数 求实数 的取 ＝ａ 在 上是增函数 求实数a,b的取 值范围
ｙ

解：如图所示 １）当a＜０时，ｙ＝ａ ｘ│+2的 ，ｙ＝ａ│ｘ （ ＜ 的 图象无论怎样平移，总不能使 ＝ａ│ｘ ｂ 图象无论怎样平移，总不能使f(x)＝ａ ｘ-ｂ│+2在 ＝ａ 在 上为增函数． ［0,∞)上为增函数． 上为增函数 (２)当a＞０时，函数 函数f(x)＝ａ ｘ-ｂ│+2的图象可以看 ＝ａ│ｘ ｂ 函数 ＝ａ 的图象可以看 作是ｙ＝ａ ＝ａ│ｘ ＋ 的图象向左或者向右平移而得到 作是 ＝ａ ｘ│＋2的图象向左或者向右平移而得到 的． 若把ｙ＝ａ ｘ│+2的图象向左或者不移动，则始终能 的图象向左或者不移动， 若把ｙ＝ａ│ｘ ｙ＝ａ 的图象向左或者不移动 使函数ｙ＝ａ ｙ＝ａ│ｘ 为增函数， 使函数ｙ＝ａ ｘ│+2在［0,∞)为增函数，若把ｙ＝ａ 在 为增函数 若把ｙ＝ａ │ｘ│+2 的图象向右平移，则ｙ＝ａ ｘ-b│+2 在 的图象向右平移， ｙ＝ａ│ｘ ｘ 内不是单调函数，因而f(x)＝ａ ｘ-ｂ│+2在 ＝ａ│ｘ ｂ ［0,∞) 内不是单调函数，因而 ＝ａ 在 上为增函数的图象可以看作是由ｙ＝ａ ［0,∞)上为增函数的图象可以看作是由ｙ＝ａ ｘ│+2 上为增函数的图象可以看作是由ｙ＝ａ│ｘ 向左平移或者不移而得到． 向左平移或者不移而得到． 所以－ｂ ０ 所以－ｂ≥０，即ｂ≤０ －ｂ ０

一、在动态中理解二次函数的单调性与对称轴的关系， 从而解决问题
二次函数的单调性以对称轴为分界线， 二次函数的单调性以对称轴为分界线， 这就要识别对称轴与单调 区间的关系。 区间的关系。
例1 : 函数 f(x)=x 2 -2ax-3 在区间 [1, 2 ] 上存在反函数 , 求a的取值范围

解: 因为 f(x)=x 2 -2ax-3 = ( x − a ) − ( a 2 − 3)



1− x 练习3 : 函数f ( x ) = ( x ≠ 0)的反函数的大致图象是(B wenku.baidu.com x
y x y x y x y x

A

分析

f (x ) =
y

1− x x

B

C

D

( x ≠ 0 )的 反 函 数 为 y =
y x
1 x + 1

1 x +1

x
由 y = 1 x → y =

练习4.已知f(x)=a (a＞ a≠1)， 练习4.已知f(x)=ax(a＞0且a≠1)，f 4.已知 y=f(x+1)的图象是 的图象是( y=f(x+1)的图象是( B )

-1

(1/2)＜ (1/2)＜0，则

分析: ∵f(x)=ax(a＞0且a≠1) 的反函数为f-1(x)=logax f(x)=a (a＞ 的反函数为f ∴ f -1 (1/2)=loga(1/2)<0 其图象大致如右图所示 ∴ a>1 y 由互为反函数图象关于直线y=x对称得 对称得 由互为反函数图象关于直线 对称 f(x)=ax的图象如图所示 又 y=f(x+1)=ax+1 (a>1) 其图象由 f(x)=ax的图象向左平移一个单位得到 故答案 为：B