复数概念及公式总结教学内容
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
复数的基本概念与运算法则
复数的基本概念与运算法则复数是数学中的一种数形。
它由实部和虚部组成，可以表示在二维平面上的点。
复数的形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
一、复数的基本概念1. 实部和虚部：复数的实部和虚部分别用Re(z)和Im(z)表示，其中z是一个复数。
例如，对于复数2+3i来说，实部为2，虚部为3。
2. 共轭复数：对于复数z=a+bi，它的共轭复数z*定义为z的实部不变，而虚部取相反数，即z*=a-bi。
例如，对于复数2+3i来说，其共轭复数是2-3i。
3. 复数的模：复数z=a+bi的模表示为|z|，定义为实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a^2+b^2)。
例如，对于复数2+3i，它的模为√(2^2+3^2)=√13。
4. 平面表示：复数可以在复平面上表示为一个点。
复平面中，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数a+bi对应于复平面上的点(a, b)。
二、复数的运算法则1. 加减法：复数的加减法涉及实部和虚部的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的和为z+w = (a+c) + (b+d)i，差为z-w = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法：复数的乘法涉及实部、虚部和虚数单位的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的乘积为zw = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法：复数的除法一般涉及共轭复数和模的运算。
例如，对于非零复数z = a+bi和非零复数w = c+di，它们的商为z/w =(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。
4. 乘方：复数的乘方涉及实部、虚部和幂指数的运算。
例如，对于复数z = a+bi和非零正整数n，它们的乘方为z^n = (a+bi)^n =r^n(cos(nθ) + isin(nθ))，其中r = |z|，θ为z的辐角。
数学复数知识点总结范文
数学复数知识点总结范文一、复数的引入与定义复数的引入可以追溯到勾股定理的推广。
在解决方程$x^2=-1$时，无法直接求得解。
为了解决这个问题，数学家引入了虚数单位$i$，定义$i^2=-1$。
复数由实部和虚部组成，可以用$a+bi$的形式表示，其中$a$为实部，$b$为虚部。
二、复数的四则运算1. 复数的加法：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$，实部相加得到新的实部，虚部相加得到新的虚部。
2. 复数的减法：$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$，实部相减得到新的实部，虚部相减得到新的虚部。
3. 复数的乘法：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$，实部相乘减去虚部相乘得到新的实部，实部与虚部相乘再相加得到新的虚部。
三、复数的共轭与模1. 共轭复数：复数$a+bi$的共轭复数为$a-bi$，即将虚部的符号取反。
2. 复数的模：复数$a+bi$的模为$\sqrt{a^2+b^2}$，即将实部和虚部的平方和开根号。
四、复数的乘方与开方2. 复数的开方：设复数$z=a+bi$，则$\sqrt[n]{z}$可写成$\sqrt[n]{r}\cdot(\cos(\theta/n)+i\sin(\theta/n))$的形式，其中$r$为复数的模，$\theta$为复数的辐角。
开方后可以得到$n$个解。
五、欧拉公式与复数的指数形式欧拉公式：$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$，将复数用指数形式表示。
可以通过欧拉公式将复数的乘法变为指数形式的乘法，从而简化运算。
六、复数在几何中的应用1.复平面：将复数的实部和虚部分别对应到平面上的横坐标和纵坐标，可以将复数表示为一个点在平面上的位置，即复数所在的向量。
2.复数的加法与减法：复数的加法与减法可以理解为将两个向量相加或相减，从而得到新的向量。
3.复数的模与共轭：复数的模可以理解为该向量的长度，共轭复数可以理解为将该向量关于横轴或纵轴翻转得到新的向量。
高中数学公式大全复数与复平面的应用
高中数学公式大全复数与复平面的应用高中数学公式大全：复数与复平面的应用在高中数学中，复数是一个重要的概念，它包含了实数和虚数。
复数的研究充满了深奥的数学理论和实际应用。
本文将介绍一些关于复数和复平面的基本概念和常用的公式，以及它们在实际问题中的应用。
一、复数的基本概念复数是由实部和虚部组成的数，通常用z表示。
在复数中，实部和虚部分别用Re(z)和Im(z)表示。
复数的一般形式为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足公式i²=-1。
实部和虚部都可以是实数。
二、复数的表示方法1. 三角形式：复数z可以用模长r和辐角θ表示，即z=r(cosθ+isinθ)。
其中，r表示复数的模长，θ表示复数的辐角。
2. 欧拉公式：欧拉公式将复数表示为z=r(e^(iθ))，其中e是自然对数的底数。
三、复数的运算规则复数的加减乘除都可以根据实部和虚部进行计算。
以下是复数的运算规则：1. 加法与减法：设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则有z₁±z₂=(a₁±a₂)+(b₁±b₂)i。
2. 乘法：设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则有z₁×z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
3. 除法：设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，则有z₁÷z₂=(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)+((a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²))i。
四、复数的共轭和模长1. 共轭：复数z=a+bi的共轭复数为z*（z的上横线）=a-bi。
共轭复数的实部相等，虚部相反。
2. 模长：复数z=a+bi的模长表示为|z|，即|z|=√(a²+b²)。
模长表示了复数到原点的距离。
五、复平面的应用复平面是指将复数与平面上的点一一对应的平面。
在复平面中，实部对应平面的横轴，虚部对应平面的纵轴。
数学复数概念知识点总结
数学复数概念知识点总结1.复数的定义复数是由实数和虚数单位i组成的数，虚数单位i定义为i^2=-1。
因此，一个一般的复数可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，a称为复数的实部，b称为复数的虚部。
显然，实数可以视作具有虚部为0的复数。
复数的虚部和实部分别在复平面上对应于y轴和x轴的坐标，这使得复数可以用平面上的点来表示，也被称为复平面。
2.复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面分别介绍这些运算的规则。
加法和减法：两个复数的加法和减法是按照实部和虚部分别进行运算的，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i和(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
乘法：两个复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的定义进行计算，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac+(ad+bc)i-bd。
除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数后再进行化简得到，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
复数的运算遵守了实数的运算规则，并且通过虚数单位i的定义可以很方便地进行计算。
3.复数的幅角表示复数在复平面上可以用极坐标形式表示，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数到原点的距离，θ为复数与实轴的夹角。
这种表示方式可以很方便地计算幂运算和求根运算，也称为辐角表示。
4.复数方程与不等式复数可用于解方程和不等式。
解复数方程和不等式时，通常要转化为复数运算后再进行计算。
方程的解：复数方程通常会有多个解，因为虚部的存在使得复数有无穷多个根。
例如，方程z^2=1有两个根z=1和z=-1。
对于高次复数方程，可以使用牛顿法和其他数值方法来求解。
不等式：复数的大小可以用模来表示，即|z|=√(a^2+b^2)，这便是复数的模。
因此，复数的比较大小可以转化为模的比较，即|z1|<|z2|表示z1的模小于z2的模。
复数知识点总结公式大全
复数知识点总结公式大全复数是数学中一个重要的概念，其包括实数和虚数。
在实际应用中，复数广泛被用于电路分析、信号处理、控制系统、波动方程求解等领域。
因此，理解复数的性质和运算规律对于掌握这些领域的知识具有重要意义。
以下是复数知识点的总结和相关公式的大全：1. 复数的定义：复数可以表示为a+bi的形式，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算：（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)3. 共轭复数：设z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
显然，复数与共轭复数的乘积是实数，即zz*=|z|^2，其中|z|表示复数z的模。
4. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ5. 复指数函数：e^(z)=e^a(cosb+isinb)，其中z=a+bi6. 幅角和辐角：复数z=a+bi的幅角θ满足tanθ=b/a，辐角则为θ+2kπ(k∈Z)。
7. 极坐标形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为z的辐角。
8. 三角形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以表示为z=r∠θ9. 复数的乘除法：（1）乘法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1z2=r1r2∠(θ1+θ2)（2）除法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1/z2=r1/r2∠(θ1-θ2)10. 复数的幂：z^n=r^n∠(nθ)11. 根式：复数z=r∠θ的n次根是n个复数，其模为∛r，辐角依次加2kπ/n(k=0,1,...,n-1)。
12. 解析函数与共轭函数：设u(x,y)和v(x,y)是复变函数f(x+iy)的实部和虚部，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
复数的概念和运算法则
复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。
一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。
2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。
2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。
例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。
(完整版)复数知识点总结
(完整版)复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，特别是在代数和几何中扮演着重要角色。
以下是复数的知识点总结：1. 定义：复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
2. 实部与虚部：对于复数 z = a + bi，a 称为它的实部（Re(z)），b 称为它的虚部（Im(z)）。
3. 共轭复数：一个复数 z 的共轭复数表示为 z* 或者z̅，定义为a - bi。
共轭复数在复平面上关于实轴对称。
4. 模与辐角：复数 z 的模（|z|）是其实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a² + b²)。
辐角（arg(z)）是从正实轴到复数在复平面上表示的向量的角度，通常用θ 表示。
5. 复数的乘法与除法：- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i6. 欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
这个公式将复指数函数与三角函数联系起来。
7. 德摩弗定理：对于任何复数 z 和非零复数 w，有 (z/w) = (z - w) / (1 - wz)，这个定理在处理复数序列和级数时非常有用。
8. 复数的极限与连续性：复数的极限定义与实数类似，但需要考虑复平面上的点。
复数函数的连续性也可以用类似实数函数的方式定义。
9. 解析函数：如果一个复数函数 f(z) 在某个区域内的每一点都可微分，则称 f(z) 在该区域内解析。
柯西-黎曼方程是判断一个复函数是否可微分的必要条件。
10. 级数展开：复数函数可以通过泰勒级数或劳朗级数在复平面上展开。
复数基础知识及其运算规律
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
关于复数的知识点总结
复数的知识点总结关于复数的知识点总结在日常过程学习中，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
还在苦恼没有知识点总结吗？下面是小编收集整理的关于复数的知识点总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
复数的知识点总结篇1复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
复数知识点概括
复数知识点概括复数是数学中的一种数的形式，它由实部和虚部组成。
在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分，虚数单位（i）是一个特殊的数，定义为i^2 = -1。
复数的一般形式可以表示为a + bi，其中a和b都是实数。
在本文中，我们将探讨复数的基本概念、运算规则以及一些实际应用。
复数的基本概念复数是由实部和虚部组成的数。
实部通常用字母a表示，虚部用字母b表示。
例如，复数3 + 4i中，实部为3，虚部为4。
实部和虚部都可以是正数、负数或零。
复数的运算规则复数的加法和减法可以通过对实部和虚部分别进行运算得到。
例如，(3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i，(3 + 4i) - (2 + 5i) = 1 - i。
复数的乘法可以通过使用分配律和虚数单位i的平方等于-1来计算。
例如，(3 + 4i)(2 + 5i) = 6 + 15i + 8i + 20i^2 = 6 + 23i - 20 = -14 + 23i。
复数的除法需要使用共轭复数（即将虚部取负）来计算。
例如，(3 + 4i)/(2 +5i) = (3 + 4i)(2 - 5i)/(2 + 5i)(2 - 5i) = (6 - 15i + 8i - 20i^2)/(4 - 25i^2) = (26 - 7i)/29。
复数的实际应用复数在物理学、工程学和计算机科学等领域中具有广泛的应用。
它们可以用来描述交流电路中的电压和电流，通过复数的运算可以方便地分析电路的特性。
另外，在信号处理领域，复数也被广泛应用于傅里叶变换。
傅里叶变换可以将一个信号分解为多个正弦波的叠加，复数可以方便地表示这些正弦波的振幅和相位。
此外，复数还在计算机图形学中用于表示平面上的点和向量。
通过使用复数的运算规则，可以方便地进行平移、旋转和缩放等变换操作。
结论复数是数学中的一种数的形式，由实部和虚部组成。
它们具有特定的运算规则，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法运算。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结高中数学复数知识点总结（上）一、复数的概念在数学中，复数是由实数与虚数构成的数，具有普通实数所不具备的性质。
我们可以用“a+bi”的形式表示一般复数，其中a为实部，b为虚部，i表示虚数单位。
二、复数的运算1. 加减法那么，当两个复数a+bi和c+di相加时，其结果为（a+c）+（b+d）i，同样道理，当两个复数相减时，结果为（a-c）+（b-d）i。
2. 乘法两个复数的乘积等于它们的实部的乘积减去它们的虚部的乘积，再加上它们的实部和虚部相乘的积所得的数。
即(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 除法两个复数相除的时候，与普通的除法有点不同，需要进行有理化分母。
具体来说，将除数和被除数都乘上分母的共轭形式，即将分母的虚部取相反数，然后进行除法运算。
4. 共轭复数两个复数具有相反的虚部，即a-bi和a+bi互为共轭复数，可以用符号“*”表示共轭复数。
共轭复数在实际计算中有很重要的作用。
三、复数的模和辐角1. 模长一般复数z=a+bi的模长为|z|=√（a²+b²），表示复数到原点的距离，也称为模。
2. 辐角对于非零复数z=a+bi，根据正切值的定义，其辐角为arg(z)=tan^-1(b/a)，其中atan为反正切函数。
3. 三角形式已知复数的模和辐角，我们可以用三角形式表示它，即z=a+bi=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arg(z)，cosθ为实部的比值，sinθ为虚部的比值。
四、欧拉公式欧拉公式指出，在复平面上，长度为r，辐角为θ的向量可以表示为r(cosθ+isinθ)，再代入最著名的三角函数公式e^ix=cosx+isinx，就得到e^iθ=cosθ+isinθ，这就是欧拉公式的核心内容。
五、复数的平方根1. 一般情况下，不同的复数可能有多个平方根，例如2i 的平方根为±（1+i）√2。
因此，我们通常取其中模长为较小值的平方根。
高二数学公式复数知识点
高二数学公式复数知识点复数是数学中一个重要的概念，它可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
在高二数学中，我们需要了解复数的各种性质和公式，以便解决与复数相关的各种问题。
以下是高二数学公式复数知识点的详细介绍。
一、复数的定义与表示方式在数学中，复数的定义为 a + bi，其中 a 和 b 都是实数，而 i 是虚数单位，它表示满足 i^2 = -1 的数。
复数的实部 a 和虚部 b 可以分别表示一个复数的水平和垂直方向上的长度。
二、复数的运算1. 加法与减法：复数的加法与减法可以直接对实部和虚部进行运算，即实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 乘法：复数的乘法可以使用分配律展开运算，然后根据 i^2 = -1 简化计算。
3. 除法：复数的除法可以通过有理化去除分母中的虚数 i，然后进行分子的实数和虚数的分别计算。
三、复数的性质和公式1. 共轭复数：对于复数 a + bi，它的共轭复数定义为 a - bi。
共轭复数的实部相等，虚部符号相反。
2. 模长：对于复数 a + bi，它的模长定义为 |a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)。
模长表示复数到原点的距离。
3. 辐角：对于复数 a + bi，它的辐角定义为复数与正实轴之间的夹角。
辐角可以使用反正切函数 atan(b/a) 计算。
4. 指数形式：由欧拉公式得到的公式e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)，其中θ 表示辐角。
5. 复数的幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为指数形式进行简化计算。
6. 韦达定理：韦达定理是一个重要的公式，它表示 n 次多项式的根之和、根之积与系数之间的关系。
四、复数在几何中的应用复数具有良好的几何解释，可以用来表示和计算几何图形的坐标、长度、角度等。
复数的模长可以表示向量的长度，复数的辐角可以表示向量的方向。
通过复数的运算和性质，可以简化几何问题的计算过程。
复数的知识点总结
复数的知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它扩展了实数系统，允许我们处理平方根为负数的情况。
以下是复数的知识点总结：1. 复数的定义：复数是实数和虚数的组合，通常表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的分类：- 实数：当b=0时，复数a+bi退化为实数a。
- 纯虚数：当a=0时，复数a+bi被称为纯虚数bi。
- 复数：当a和b都不为0时，a+bi是一个完整的复数。
3. 复数的表示：- 代数形式：a+bi，其中a是实部，b是虚部。
- 极坐标形式：r(cosθ + isinθ)，其中r是模，θ是幅角。
- 指数形式：r(cosθ + isinθ) = re^(iθ)。
4. 复数的四则运算：- 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i- 减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i- 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i- 除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (c^2+d^2)] + [(bc-ad) / (c^2+d^2)]i5. 复数的共轭：对于复数a+bi，其共轭为a-bi，记作a+bi*。
6. 复数的模：复数a+bi的模是|a+bi| = √(a^2+b^2)，表示复数在复平面上到原点的距离。
7. 复数的幅角：复数a+bi的幅角是θ，满足tanθ = b/a，且θ的取值范围通常在[0, 2π)。
8. 复数的极坐标表示：复数可以表示为极坐标形式r(cosθ +isinθ)，其中r是模，θ是幅角。
9. 复数的指数形式：复数的指数形式是re^(iθ)，其中r是模，θ是幅角。
10. 复数的代数基本定理：任何非零复数都可以分解为若干个线性因子的乘积。
11. 复数的解析函数：在复数域上，如果一个函数在某区域内处处可导，则该函数在该区域内是解析的。
复数知识点精心总结
复数知识点精心总结复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进展四那么运算，进展四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：假如a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。
特殊地，a，b∈R时，a+bi=0a=0，b=0.复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
复数相等特别提醒：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比拟大小。
复数知识点概括
1．复数的概念：形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，） （1）虚数单位i;（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩4．复数的四则运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++， 即实部与实部相加，虚部与虚部相加； （2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减； （3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ； （4）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+：； 5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模|Z|=22a b +, 且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩.即实部与实部相等，虚部与虚部相等。
由这个定义得到a+bi=0⇔ab=⎧⎨=⎩.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
复数总结笔记
复数总结笔记一、什么是复数？复数是数学中的一个概念，由实数和虚数构成。
复数的形式为a + bi，其中a 表示实数部分，bi表示虚数部分，i是虚数单位。
复数可以表示为一个有序对(a, b)，其中a是实部，b是虚部。
复数的定义包含实数，即当虚部为0时，复数变为实数，例如3 + 0i变为3。
二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似。
当两个复数相加（或相减）时，实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。
例如，(3 + 2i) + (4 + 5i) = 7 + 7i。
2. 乘法两个复数的乘法可以使用如下公式计算：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i例如，(3 + 2i) * (4 + 5i) = 2 + 23i。
3. 除法两个复数的除法可以使用如下公式计算：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)其中除数的模不为零，即c^2 + d^2 ≠ 0。
4. 共轭复数的共轭是将复数的虚部取相反数。
例如，对于复数a + bi，它的共轭为a - bi。
三、复数的性质1. 模（绝对值）复数的模表示复数到原点的距离，可以通过如下公式计算：|a + bi| = √(a^2 + b^2)2. 平方根给定一个复数z，它的平方根可以表示为±√|z| * e^(iθ/2)，其中θ是复数z 的辐角。
3. 欧拉公式欧拉公式是一个重要的公式，它将指数函数、三角函数和复数联系起来，可以表示为e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
根据欧拉公式，我们可以使用复数来简洁地表示三角函数。
四、应用领域复数在物理学、工程学和计算机科学等领域中有广泛应用，例如：•电路分析中用于计算交流电路中的电压和电流•信号处理中用于频域分析•控制系统中用于描述系统的动态特性•图像处理中用于表示图像的频域信息•数据压缩中用于傅里叶变换•量子力学中用于描述量子态和操作五、总结复数是实数和虚数的组合，在数学和应用领域中有重要的作用。
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复数概念及公式总结
数系的扩充和复数概念
1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21
i=-
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i；
3. i的周期性：
4.复数的定义：形如(,)
+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成
a bi a
b R
的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即
z a bi a b R
=+∈
(,)
5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)
+∈，当且仅当b=0时，复数
a bi a
b R
a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N___Z___Q___R___C.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较当两个复数不全是实数时不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示____________
（2）虚轴上的点都表示____________
（3）原点对应的有序实数对为(0，0)
设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，
8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .
9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .
10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .
11.复数z 1与z 2的除法运算律：
12.共轭复数：
通常记复数z 的共轭复数为z 。
例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数
13. 共轭复数的性质
（1）实数的共轭复数仍然是它本身
（2）22Z Z Z Z ==⋅
（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称
14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论
（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=- （3）i i -=1， （4）
i i
i =-+11 16.复数的模： （5） i i
i -=+-11 复数bi a Z +=的模22b a Z += （6）()()22b a bi a bi a +=-+
点),(b a Z 向量OZ 一一对应 一一对应 一一对应 复数()R b a bi a Z ∈+=,
特别地：1的立方根
【复数高考题选（2011——2012）】
1、（2012辽宁理）复数
=+-i i 22（ ）（A ）i 5453- （B ）i 5453+ （C ）i 541- （D ）i 531+ 2、复数131i i
-++=（ ）A 2+i B 2-I C 1+2i D 1- 2i 3、（2012海南文）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是（ ）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i
（D ）－1－i
4、（2012全国卷理）下面是关于复数21z i
=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-
()A 23,p p ()B 12,p p （C ）,p p 24 ()D ,p p 34
5、（2012陕西理）设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i
+为纯虚数”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件
6、（2012天津理）i 是虚数单位，复数7=
3i z i -+=（ ）（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --
7、（2012安徽文）复数z 满足i i i z +=-2)(，则 z =（ ） （A ）i --1 （B ）i -1 （C ） i 31+-（D ）i 21-
8、（2012山东理）若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为（ ）A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i
9、（2012四川理）复数2
(1)2i i
-=（ ）A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 10、（2012天津理）i 是虚数单位，复数
i
i +-37=（ ）（A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i
11、（2012重庆理）若1+i 2+i （）（）=a+bi ，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += ；
12、（2011重庆理）复数2311i i i i -++=-（ ）（A ）1122i -- (B) 1122i -+ (C)1122
i - (D) 1122
i + 13、（2011全国卷理）复数212i i +-的共轭复数是（ ）A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i
14、（2011陕西理）设集合M={y |2cos x —2sin x |,x ∈R},N={x ||x —1
i 为虚数单位，x ∈
R},则M ∩N 为（ ） (A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]
15、（2011辽宁理）a 为正实数，i 为虚数单位，
2a i i
+=，则a=（ ）（A ）2 （B
(D)1
16、（2011山东理）复数22i z i -=+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
17、（2011安徽理）设i 是虚数单位，复数
12ai i
+-为纯虚数，则实数a 为_（A ） 2 （B ） -2 （C ） -12（D ） 12 18、（2011江苏理）设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 19、（2011广东理）==+z z i z ，则满足设复数2)1(（ ）A ． i +1 B ． i -1 C ． i 22+ D ． i 22-
20、（2010山东理）已知
),(2R b a i b i i a ∈+=+，则=+b a （ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）3
21、（2010辽宁理）设a,b 为实数，若复数
11+2i i a bi
=++，则（ ） （A ）31,22a b == (B) 3,1a b == (C) 13,22a b == (D) 1,3a b ==
22、（2010全国卷理）已知复数z =
z 是z 的共轭复数，则z z •=（ ）A. 14 B.12 C.1 D.2 23、（2010北京理）在复平面内，复数
21i i -对应的点的坐标为 。
24、（2010安徽理）=+i i
33（ ）（A ）12341-（B ）i 12341-（C ）i 6321+ （D ）i 6
321- 25、（2010江苏理）设复数z 满足i i z 46)32(+=-（其中i 为虚数单位），则z 的模为 .
26、（2010广东理）若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则=⋅21z z ( ) A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i
27、（2009四川理）复数2
(12)34i i
+-的值是_______________Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i
28、（2009陕西理）已知z 是纯虚数,
21i z +-是实数,那么z 等于（ ）（A ）2i (B)i (C)-i (D)-2i
29、（2009广东理）设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则()a i =（ ） Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４Ｄ．２
30、（2008广东理）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）
A ．(15)，
B ．(13)，
C ．(1
D ．(1
31、（2008辽宁理）复数
11212i i +-+-的虚部是（ ）A ．15
i B ．15 C ．15i - D ．15- 32、（2008山东理）设z 的共轭复数是z ，若z +z =4, z ·z ＝8，则z z 等于（ ）（A ）i （B ）-i (C)±1 (D) ±i
33、（2008陕西理）复数(2)12i i i +-等于（ ）A ．i B ．i - C ．1 D ．1-
34、（2008北京理）已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．
35、（2007北京理）22(1)i =+
36、（2007四川理）复数211i i
i +-+的值是（ ）（A ）0 (B)1 (C)-1 (D)1。