江苏省扬州市第一中学高二数学《2.4.1抛物线的标准方程》教案

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2.4.1抛物线的标准方程学案 2017-2018学年高中数学选修2-1 苏教版

2.4.1 抛物线的标准方程物线的标准方程.1．抛物线的定义平面内到一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的________的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的____，定直线l 叫做抛物线的____．预习交流1平面内到定点(2,1)的距离等于到直线x －2y ＝0的距离的点的轨迹是__________．________________ ________ ____________ ____ ____ ________ ____ ____ ____(1)如何判断抛物线的焦点位置和开口方向？(2)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是__________，准线方程为__________．一、求抛物线的标准方程分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．思路分析：求抛物线要先确定焦点位置，能确定焦点位置就可设相应的标准方程，否则要分情况讨论．(1)已知抛物线的准线方程是x ＝－7，则抛物线的标准方程是__________． (2)焦点在y 轴上，且焦点到准线的距离是4的抛物线标准方程是__________．求抛物线方程的方法．(1)定义法，直接利用定义求解．(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．二、由抛物线方程求焦点坐标，准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0；(3)y 2＝ax (a ＞0)．思路分析：先将原方程化为标准方程，求得参数p ，再求焦点和准线方程．(1)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为__________，准线方程是__________．(2)若椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点与抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点重合，则抛物线的准线方程为__________．求抛物线焦点、准线方程时，首先要将抛物线方程化成标准形式，求出p 后根据抛物线的位置写出焦点和准线方程，注意准线与坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的14.三、抛物线定义的应用已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求P A ＋PF 的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．思路分析：由定义知抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d .求P A ＋PF 的问题可转化为求P A ＋d 的问题．(1)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是__________．(2)若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．抛物线上一点到焦点的距离等于这点到准线的距离，根据抛物线定义，可知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点A (x 0，y 0)到准线的距离为p2＋x 0，y 2＝－2px (p ＞0)上一点A (x 0，y 0)到准线的距离为p2－x 0.另外还要注意平面几何知识的应用．1．抛物线y 2＝－4x 的准线方程为__________．2．抛物线x ＝14y 2的焦点坐标为__________．3．以圆(x －3)2＋y 2＝4的圆心为抛物线的焦点，则此抛物线方程为__________．4．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为__________． 5．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为__________．答案：课前预习导学1．距离相等焦点准线预习交流1：提示：因为点(2,1)在直线x －2y ＝0上，所以所求点的轨迹是直线2x ＋y －5＝0.2．y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2向右向左向上向下预习交流2：(1)提示：一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上，若系数为负，则焦点在负半轴上，焦点确定，开口方向也随之确定．(2)提示：(1,0) x ＝－1 课堂合作探究活动与探究1：解：(1)∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点坐标为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .迁移与应用：(1)y 2＝28x 解析：由准线x ＝－7得抛物线焦点在x 轴正半轴上，且p2＝7，∴p ＝14.∴抛物线的标准方程为y 2＝28x .(2)x 2＝－8y 或x 2＝8y 解析：由已知设抛物线方程为x 2＝－2py 或x 2＝2py ，其中p ＞0.∵焦点到准线的距离是4，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y 或x 2＝8y .活动与探究2：解：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，110，准线方程是y ＝－110.(3)由a ＞0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4. 迁移与应用：(1)⎝⎛⎭⎫0，116 y ＝－116 解析：方程化为标准方程为x 2＝14y ，∴p ＝18，且焦点在y 轴正半轴上．∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，准线方程是y ＝－116.(2)x ＝1 解析：∵椭圆方程为x 22＋y 2＝1，∴左焦点为(－1,0)．而抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点为⎝⎛⎭⎫－p 2，0，∴p 2＝1. ∴抛物线准线方程为x ＝1.活动与探究3：解：将x =3代入抛物线方程得y =2，∴点A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：12x =-的距离为d ，由定义知P A +PF =P A +d . 由图知，当P A ⊥l 时，P A +d 最小，最小值为72，即P A +PF 的最小值为72，此时点P纵坐标为2，则横坐标为2.∴所求点P 的坐标为(2,2)．迁移与应用：(1)6 解析：如图所示，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x =－2，由抛物线的定义知：PF =PE=4+2=6.(2)解：由抛物线定义知，焦点为,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则准线为=2p x ，由题意设M 到准线的距离为MN ，则MN =MF =10，即2p－(－9)=10.∴p =2.故抛物线方程为y 2=－4x ，将M (－9，y )代入y 2=－4x ，解得y =±6， ∴点M 坐标为(－9,6)或(－9，－6)．当堂检测1．x ＝1 解析：由已知得抛物线焦点在x 轴负半轴上，且p ＝2，∴准线方程为x ＝1. 2．(1,0) 解析：方程化为标准方程为y 2＝4x ，∴焦点坐标为(1,0)． 3．y 2＝12x 解析：圆(x －3)2＋y 2＝4的圆心为(3,0)， ∴抛物线焦点为(3,0)，抛物线方程为y 2＝12x . 4．5 解析：抛物线的准线为y ＝－1.∴点A 到准线的距离为5，即点A 到焦点的距离为5.5．2 解析：抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，又∵直线x ＝－p2与圆相切，∴3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，∴p ＝2.。

2.4.1抛物线的标准方程教案(苏教版选修2-1)

2．4 抛物线2．4.1抛物线的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．2．过程与方法(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系．(2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．3．情感、态度与价值观引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．●重点难点重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点．难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．(教师用书独具)●教学建议从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e＝1的特例．另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美．教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则．为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，易采用“引导探究”式的教学模式，在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程．本节课在实验画法的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比并形成抛物线的概念，构建自己的知识体系，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．●教学流程设置情景，导入新课．上课开始，用计算机出示太阳系九大行星运行图，以天文学热点事件“冥王星”的降级引入新课：同学们，最近在我们的太阳系发生了一件重大的事件，你们知道吗？⇒引导探究，获得新知(1)复习椭圆、双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的离心率e的取值范围各是什么？(2)离心率e＝1是什么含义？你能据此设计一种方案，画出一个这样的点吗？(3)这条曲线是什么？⇒由学生自主建系，求出抛物线的标准方程．并根据焦点位置的不同，写出四种不同的标准方程．归纳标准方程、焦点坐标、准线方程的内在联系和对应关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握抛物线标准方程的求法，先定位，再定量，利用待定系数法求抛物线的标准方程．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由标准方程求其焦点坐标和准线方程，达到数与形的准确转换．弄清一次项变量系数与焦点同名坐标的四倍关系，焦点坐标与准线方程的相反关系．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握抛物线定义和标准方程的综合应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化，在此基础上数形结合，解证有关问题．⇒通过易错易误辨析，体会抛物线标准方程的不同形式，焦点位置有多个，就会有不同的标准方程．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能.力1．用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？【提示】点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？【提示】根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy(如图所示)．已知抛物线的顶点在原点，试求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上； (3)焦点到准线的距离为52.【思路探究】对于(1)，需要确定p 的值和开口方向两个条件，∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)；对于(2)，∵标准方程下抛物线的焦点在坐标轴上，∴求出直线x －2y －4＝0与坐标轴的两个交点(4,0)和(0，－2)，即为所求抛物线两种情况下的焦点；而对于(3)，由题意知，p ＝52，下一步需要讨论抛物线的开口方向．【自主解答】 (1)∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)．把点(－3,2)的坐标分别代入y 2＝－2px (p >0)和x 2＝2py (p >0)，得4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2，即2p ＝43或2p ＝92.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4.∴2p ＝16，此时抛物线方程为y 2＝16x .当焦点为(0，－2)时，p2＝2.∴2p ＝8，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52，∴2p ＝5.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .1．只有顶点有原点，焦点在坐标轴上的抛物线才能将方程写成标准方程．2．求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，即先根据焦点位置设出方程形式，再利用题目条件求出待定字母的值．另外，若只知道焦点在x 轴上，可设抛物线标准方程为y 2＝mx 的形式，若只知道焦点在y 轴上，可设抛物线标准方程为x 2＝ny 的形式，避免分类讨论．一抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则其准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义知点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离， ∴p2－(－3)＝5，即p ＝4. ∴所求抛物线的方程为x 2＝－8y .和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2＝20x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)y ＝ax 2(a ≠0)．【思路探究】抛物线方程化为标准形式→求p →求焦点坐标→求准线方程【自主解答】 (1)由方程可得抛物线开口向右，且2p ＝20，即p ＝10，所以抛物线的焦点坐标为(5,0)，准线方程为x ＝－5.(2)将方程2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x ，焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝52，所以p ＝54，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.(3)将方程y ＝ax 2(a ≠0)化为x 2＝1ay ，焦点在y 轴上．当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y ＝－14a；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y 1＝－14a.1．本例中y ＝ax 2不是抛物线的标准方程，容易被误认为是标准形式，而将焦点写为F (a4，0)．2．求焦点坐标与准线方程的基本方法：(1)一般思路是先将已知方程整理为标准方程，再求解，不可与初中二次函数混淆． (2)此类问题中无论a 取正与负，拋物线y 2＝ax 的焦点坐标均为(a4，0)，准线均为x ＝－a 4.无论a 取正与负，拋物线x 2＝ay 的焦点坐标均为(0，a 4)，准线均为y ＝－a 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y ＝－18x 2；(2)x 2＝ay (a ≠0)．【解】 (1)方程可化为：x 2＝－8y ，∴F (0，－2)，准线y ＝2. (2)F (0，a 4)，准线y ＝－a4.图2－4－1如图2－4－1，已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l为其准线，点M 在抛物线上移动，问M 的坐标是什么时，MA ＋MF 取得最小值，最小值是多少？【思路探究】如图，过M 向准线l 引垂线ME ，则MF ＝ME ，转化为求MA ＋ME 的最小值．【自主解答】由题意知，抛物线y 2＝8x 的准线l 的方程为x ＝－2，过M 作ME ⊥l ，垂足为E ，由抛物线的定义知，ME ＝MF ，此时MA ＋MF ＝MA ＋ME ，当M 在抛物线上移动时，MA ＋ME 的值在变化，显然M 移动到与A ，E 共线时，MA ＋ME 取得最小值．此时，AM ∥x 轴，把y ＝－2代入y 2＝8x 得x ＝12，∴M 点的坐标为(12，－2)，距离最小值为6.1．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．2．数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么PF＝________.【解析】如图，由直线AF的斜率为－3，得∠AFH＝60°，∠F AH＝30°，∴∠P AF ＝60°.又由抛物线的定义知P A＝PF，∴△P AF为等边三角形，由HF＝4得AF＝8，∴PF＝8.【答案】8忽略对焦点位置的讨论而漏解顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．【错解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为AB＝2p＝8，所以所求抛物线的方程为y2＝8x.【错因分析】错解中只考虑焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x 轴的负半轴上的情况，故出现漏解．【防范措施】抛物线有四种标准方程，每一种所对应的焦点，准线都不相同．因此，在求抛物线方程的有关问题时，要充分考虑各种情况，以免漏解．【正解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)．因为AB＝|2a|＝8，所以2a＝±8.故所求抛物线的方程为y2＝±8x.。

2.4.1抛物线的标准方程教学案

2.4.1 抛物线的标准方程【教学目标】1、掌握抛物线的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量；2、掌握求抛物线的标准方程的基本方法。

【教学重点】能根据已知条件求抛物线的标准方程．【教学难点】抛物线的定义、几何图形、标准方程【教学过程】一、情景引入：1、抛掷一枚硬币，硬币经过的路径是什么图形？2、探照灯的内壁是由抛物线旋转而成的，一些太阳灶轴截面的外轮廓线是抛物线.怎样设计才能精确地制造它们？二、新授内容：1、抛物线的定义：思考：当定点F 在这条定直线上时，轨迹是什么？2、标准方程的推导：①建系：过点F 作直线FN l ⊥，垂足为N ，以直线FN 为x 轴，线段NF 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xoy ，设焦点F 到l 的距离为p ，则(,0)2pF (0)p > ②设点：③列式：④化简：整理得：22(0)y px p =>即为抛物线的标准方程. 焦点坐标(,0)F c ，准线方程：2px =-，它表示的抛物线的焦点在x 轴上，开口向右.p ——焦准距考虑：那么当焦点在y 轴上、开口变向时呢？它共有几种情况呢？3、抛物线的标准方程、类型见下表：三、例题分析例1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：①24y x =； ② 23x y =-； ③ 232y x =-； ④ 242y x =.例2．求经过点(2,4)P --的抛物线的标准方程.【变式拓展1】1、求焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程2、已知抛物线22(0)y px p =>上一点P 到它的焦点的距离等于4，到y 轴的距离等于1，求该抛物线的方程.例3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点的距离为5，求准线方程抛物线的方程和m 的值.【变式拓展2】在抛物线y 2=4x 上求一点P ，使其到焦点距离为10.三、课堂反馈：1、抛物线22x y =的焦点坐标是，准线方程是 .2、抛物线22x y =上的一点P 到x 轴的距离为4，则点P 到它的焦点的距离是 . 3、若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为______ __．4、分别根据下列条件，求抛物线的标准方程：⑴准线方程为32=y ； ⑵过点(3,4)-；⑶焦点到准线的距离是4，焦点在x 轴上.5、圆心在抛物线22y x =上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程。

《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计07

《抛物线及其标准方程》教学设计一、教材分析本节内容是人教A版数学选修2-1第二章第四节的第一课时。

是在学生初中已经通过学习二次函数的图像对抛物线有所认识的基础上，在学生进入高中学习了平面解析几何初步及本章椭圆、双曲线的知识后进行的。

通过本节的学习学生要从曲线的几何特征及曲线的形成上对抛物线有一个新的认识，然后归纳形成抛物线的定义。

再用坐标法对曲线的几何性质进行研究。

让学生充分体会和加深理解解析几何是一门用数来研究形的学科，是数形结合数学思想的体现。

通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法.二、学情分析抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法.在本节课之前，学生已经学习了椭圆，对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用.三、教学目标和重点难点依据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：教学目标：1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用；4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美. 教学重点:1.掌握抛物线的定义与相关概念；2.掌握抛物线的标准方程；教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.教学过程【环节一：复习与引入】教师活动：同学们，我们在前面学习了椭圆和双曲线，它们都有两个定义，我们一起来回顾一下它们的第二定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹，当01e <<表示椭圆，当1e >的时候表示双曲线，那么当1e =的时候呢，它又表示什么曲线呢？我们先来看一个动画【环节二：亲身体验,感受新知】教师活动：在纸一侧固定一根直尺，将直角三角板的一条直角边紧贴直尺，取长等于另一直角边长的绳子，固定绳子一端在三角板点A 上，固定绳子另一端在直尺外的一点F 上，用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角板的直角边，上下移动三角板,用笔画出轨迹。

江苏省扬州市第一中学高二数学《抛物线及其标准方程(二)》学案

教学目的：1．能够熟练的运用抛物线的方程解决一些问题2.能够将到焦点的问题与到准线的问题进行互相转化，提高学生的转化能力3．使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平.教学重点：抛物线的定义及方程的运用教学难点：到焦点的距离与到准线距离的转化授课类型：新授课 .课时安排：1课时 .教具：多媒体、实物投影仪 .教学过程：一、复习引入：1. 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2．推导抛物线的标准方程：如图所示，建立直角坐标系系，设||(0)KF p p =>,那么焦点F 的坐标为)0,2(p ，准线l 的方程为2p x -=，设抛物线上的点(,)M x y ，则有|2|)2(22p x y p x +=+-. 化简方程得 ()022>=p pxy . 方程()022>=p px y 叫做抛物线的标准方程.（1）它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是(,0)2p F ，它的准线方程是2p x -= . （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下.3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出||(0)KF p p =>，则抛物线的标准方程如下：(1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：2p x -=. (2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2p y -=. (3))0(22>-=p px y , 焦点:)0,2(p -，准线l ：2p x =. (4) )0(22>-=p py x , 焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y =. 课前预习:1．说出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.（1）28y x = （2）24 x y = （3）2230y x += （4）261x y -= 2．根据下列条件写出抛物线的标准方程.（1）焦点是(2,0)F -.（2）准线方程是3y =.（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上.讲授新课:一）标准方程的再认识例1、分别求满足下列条件的抛物线标准方程：1）过点(3,4)-2）焦点在直线-20x y +=上.1）分析：因为抛物线的标准方程只含有一个待定系数，所以只需要一个独立的条件即可求出标准方程，而标准方程有四种形式，所以要根据条件选设方程形式解：因为点(3,4)-在第四象限，所以抛物线可能开口向右或向下故设方程为)0(22>=p px y 或)0(22>-=p py x将点(3,4)-代入得方程为：2163y x =或294x y =- 2）因为焦点在直线上，而且是标准方程，所以焦点也应该在坐标轴上，而直线与坐标轴有两个交点，这两个焦点都可能是焦点解：由题意知直线与坐标轴交于(2,0)-和(0,2)若抛物线以(2,0)-为焦点，则方程为28y x =-抛物线以(0,2)为焦点，则方程为28x y =二）定义的拓展例2、1）抛物线24y x =上一点到焦点的距离为3，则这个点的坐标是变题一）抛物线24y x =上一点的横坐标是4，则这个点到焦点的距离为变题二）抛物线22y px =上有一点(4,)A m 到准线的距离为6，则m =变题三）抛物线上一点(5,25)A -到焦点(,0)F m 的距离为6，则抛物线的标准方程为分析：由定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，后者可以用这个点的横坐标或纵坐标单独的表示出来，所以应该围绕这个特点来解决问题解：1）由题意可知抛物线24y x =的准线方程为1x =-，因为这个点到焦点的距离为3，所以它到准线的距离也是3，从而它的横坐标为2，将它带入方程得坐标为(2,2)±变题一）答案：5变题二） 42m =± 变题三）由已知得：22(5)(25)6m ++=整理得：21090m m ++=，9,1m m ∴=-=-若(1,0)F -，24y x =-或(9,0)F -236y x =-若方程为236y x =-，则它的准线为9x =-由定义知：(5,25)A -到准线的距离是14，矛盾，所以方程应为：24y x =-2）过抛物线22y px =的焦点作直线交抛物线与1122(,),(,)P x y Q x y ，若122x x p +=，则PQ =3p分析：由图可知：直线PQ 经过焦点，所以线段PQ 可以分为两段之和，即PF 、FQ ，而这两条线段都是抛物线上的点到焦点的距离，它们分别等于对应的点到准线的距离即：12p PF x =+、22p FQ x =+，从而12PQ x x p =++ 解：（略）反思：若此题给的是直线方程和抛物线的方程应如何处理？变题：过抛物线28y x =的焦点且斜率为2的直线交抛物线与,P Q 两点，则PQ =解：因为焦点坐标为(2,0)，所以直线方程为2(2)y x =- 由22(2)8y x y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：2420x x -+= 所以124x x +=，128PQ x x p =++=例3、设抛物线22y x =的焦点为F ，定点(3,2)A ，抛物线上点M 使MF MA +最小，求M 的坐标并求出最小值.分析：求两条线段和的最小值，即寻找三点共线的情形，显然本题中M 、F 、A共线时不存在这样的结果，从而转化MF 为到准线的距离重新寻找三点共线的情景，解：作MN ⊥准线于N ，则MN MF =，即求MN MA +的最小值，故当M 、N 、A 三点共线时MN MA +最小，也就是MF MA +，此时M 的坐标是(2,2)，最小值是132课后练习：1.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则它到焦点的距离是 5 .2. 过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线与1122(,),(,)P x y Q x y ，若PQ 的倾斜角4πθ=，则PQ = 5 . 解：焦点为1(,0)2，直线方程为：12y x =- 由2122y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：21304x x -+=，124x x += 1215PQ x x =++=3. 若抛物线28y x =上的点P 到焦点的距离是10，则P 到直线40x +=的距离.解：因为抛物线28y x =上的点P 到焦点的距离是10，且准线为20x +=，所以 P 到直线40x +=的距离为到准线的距离再加上两直线之间的距离P 到直线40x +=的距离.为124.抛物线的上一点(,3)a -到焦点(0,)m 的距离是5，求抛物线的标准方程解：因为焦点在y 轴上，由点(,3)a -的特点可设方程为22(0)x py p =->，则准线方程为：2p y =，故有(3)52p --=，4p =方程为：28x y =-。

《2.4.1抛物线及其标准方程》教案

2.3.1 抛物线及其标准方程五河一中杨明朗一、三维目标（一）知识与技能（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程（二）过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想。

（三）情感态度与价值观进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学方法探究式、讲授式五、教学过程1．情景设置、课题导入前几节课我们研究了圆锥曲线中的椭圆和双曲线，大家想一想它们的研究过程？（先给出曲线的定义，再通过合理的建系求出其方程，最后再通过方程用代数方法研究其性质。

这也是解析几何的一般研究过程。

）这节课我们就来按照上两个曲线的研究方法来共同探究最后一个曲线-------抛物线。

（板书课题：2.3.1 抛物线及其标准方程）问题：我们在哪些地方见过或研究过抛物线？1、数学中我们学过二次函数，它的图象是抛物线；2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹；3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、喷泉的纵截面都是抛物线。

（通过图片让学生直观感受抛物线其实就在我们身边）||2p x =+22(0)y px p =>复习回顾：我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e 的点的轨迹. (其中定点F 不在定直线l 上)(1)当0<e <1时,是椭圆; (2) 当e ＞1时，是双曲线; 问题：那么,当e =1时，它又是什么曲线？下面我们通过一个实验来具体看一下它到底是什么曲线？请同学归纳总结抛物线的定义 2.抛物线的定义我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

学案5：2.4.1 抛物线的标准方程

2.4.1 抛物线的标准方程学习目标核心素养1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点) 1.通过抛物线的定义，标准方程的学习，培养学生的数学抽象，直观想象素养. 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养.新知初探 1．抛物线的定义思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p ＞0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p ＞0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p ＞0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p ＞0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？初试身手1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－82．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．规律方法求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．跟踪训练1．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5.类型2 抛物线定义的应用探究问题1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？2．如何通过抛物线定义实现距离转化？3．如何利用抛物线定义解决与抛物线有关的最值问题？例2 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．母题探究1．(变换条件、改变问法)若本例中点M 所在轨迹上一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标．2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A (3,2)，其他条件不变，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出点M 的坐标．规律方法利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等. 类型3 与抛物线有关的应用问题例3河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？规律方法涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解.跟踪训练2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？当堂达标1．思考辨析(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物线x2＝－20y的焦点到准线的距离是10.()(3)抛物线y ＝－2x 2的准线方程是y ＝18. ( )2．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是 ( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或y ＝0(x ＜0)3．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点的距离是a ⎝⎛⎭⎫a ＞p2，则点M 的横坐标是 ( ) A ．a ＋p 2 B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p4．抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．参考答案新知初探思考1：提示：不一定．当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线．思考2：提示：焦点到准线的距离．思考3：提示：一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．初试身手 1．【答案】B【解析】由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.2．【答案】D【解析】∵y 2＝4x ，∴焦点F (1,0)． 3．【答案】y 2＝－8x 或x 2＝－y【解析】设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 解：(1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)，又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 跟踪训练1．解：(1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 类型2 抛物线定义的应用探究问题1．提示：抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M ；一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线. 2．提示：根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．3．提示：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．例2 解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)．母题探究1．解：设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2，即⎝⎛⎭⎫x 0－122＋y 20＝4 ①，又由典例的解析知点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，故y 20＝2x 0 ②，由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝32，y 0＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝－3，故点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，3或⎝⎛⎭⎫32，－3. 2．解：如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，最小值为3＋12＝72.这时点M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．类型3 与抛物线有关的应用问题例3 解：如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意可知点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m 时，小船开始不能通航．跟踪训练2．解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6 m ，桥墩高出水面4 m ， ∴A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)，则102＝－2p (－2)，∴p ＝25，∴抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16 m ，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28 m ，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5 m ，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28 m,0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t ，而船最多还能装1 000 t 货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔. 当堂达标1．【答案】(1)× (2)√ (3)√ 2．【答案】C【解析】∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4，0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x . 3．【答案】B【解析】设抛物线上点M (x 0，y 0)，如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ⎝⎛⎭⎫l 是抛物线的准线x ＝－p2，连MF .根据抛物线定义，|MN |＝|MF |＝a ， ∴x 0＋p2＝a ，∴x 0＝a －p2，∴选B.4．【答案】52【解析】y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.。

《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计

《2.4.1抛物线及其标准方程》教学设计【教材分析】“抛物线及其标准方程”是高中数学教材选修2-1第二章第四部分的第一节课。

此节是建立在已学过圆、椭圆、双曲线（特别是后两者）的基础上，由圆锥曲线的第二定义展开，得到的一类特殊的曲线，同时也弥补了离心率为1的情况。

同时，抛物线的定义也为后续抛物线的几何性质做了铺垫。

所以“抛物线及其标准方程”这节课不仅在教材中起到了承上启下的作用，同时也对圆锥曲线提出了统一的定义（第二定义：到焦点的距离与到相应准线的距离的比为常数（e））。

该课时通过引导学生观察，寻找到几何和代数之间的桥梁——建系，再次巩固了学生对于几何问题代数化的一种同法。

【学情分析】本人所带班级学生的学习习惯的差异导致学生课前准备有所差异，比如建系的过程，有课前预习的同学普遍会把坐标系建成满足标准方程的格式，而未预习的学生可能建系就有所差异，甚至于无从下手。

建系时，引导学生回顾已学过的椭圆、双曲线的建系规则，向着最简、最美的方向想，充分考查曲线的对称性的特点。

对于已预习的同学，建议可否还有其他建系方式等。

【学习目标及要求】：1.学习目标：（1）.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．（2）.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．（3）.通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．2.重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过观察实物图和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．3. 难点：运用坐标法建立抛物线的标准方程．【教学方法】：合作探究【教学过程】：一．新课引入：学生观察实物图得出图片的共同性。

由此引入课题，以投篮运动的轨迹联系以前所学的二次函数，引出抛物线有哪些几何特征？二、探究精讲探究一：如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．探究二：抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师启发辅导，小结：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．讨论得出抛物线四种形式，完成下表师：如何看焦点的确定焦点位置？椭圆：看分母。

教学设计2：2.4.1 抛物线及其标准方程

2.4.1 抛物线及其标准方程教学内容抛物线及其标准方程三维目标【知识与技能】1．理解抛物线的定义。

明确焦点、准线的概念2．掌握抛物线的方程及标准方程的推导3．熟练掌握抛物线的四个标准方程。

【过程与方法】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。

教学重点抛物线的定义和标准方程，四种抛物线标准方程的应用，理解坐标法的基本思想. 教学难点抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。

教学过程复习引入一．引入新课【师】前面我们已经探究过，椭圆和双曲线都可以叙述为“平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l（F不在l上）的距离的比是常数e（0>e）的动点的轨迹”。

其中当()1,0∈e时是椭圆，当()+∞∈,1e时是双曲线。

那么，当1=e时，动点的轨迹是什么？它的方程如何呢？点题，板书课题。

新课学习二．新课讲解1．实验观察、实现构建探究1 点F与直线l的位置关系（1）点F在直线l上（引导学生求出动点的轨迹）点F的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线。

（2）点F不在直线l上用《几何画板》演示，观察点M的轨迹。

2.观察曲线的动态形成过程, 你能发现点M的轨迹是一条什么曲线吗？FlFHMl· oF y x lK (学生会猜想到轨迹是抛物线)3.如果曲线是抛物线，只要适当建立平面直角坐标系，就可以得到形如c bx ax y ++=2()0≠a 的轨迹方程，是否真是这样呢？（在学生思考的基础上引导学生先求出点M 的轨迹方程。

）4.如何建立坐标系求点M 的轨迹方程？（师生探讨建立不同方案，以下面方案为例进行推导）解：取经过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合，建立平面直角坐标系。

教学设计1：2.4.1 抛物线及其标准方程

2.4.1抛物线及其标准方程教学目标：知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．过程与方法目标要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。

（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。

教学重点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．教学难点：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．一.复习引入回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？二.思考分析如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.三.抽象概括抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.抛物线标准方程的几种形式1．抛物线定义的实质可归结为线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1.定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线．2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为2p 4(或－2p 4)，相应的准线是x ＝－2p 4(或x ＝2p4)；如果含的是y 的一次项，有类似的结论．3．抛物线标准方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离．四.例题分析及练习[例1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y ＋4＝0； (2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．[思路点拨] 确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程[精解详析] (1)准线方程为2y ＋4＝0，即y ＝－2，故抛物线焦点在y 轴的正半轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)．又p2＝2，所以2p ＝8，故抛物线的标准方程为x 2＝8y .(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝x －2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(3)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .[感悟体会] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．训练题组11．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上．由a 2＝16，得a ＝4，∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .答案：A2．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m 的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．解：(1)法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p2，0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26，或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p2.由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5，即点M 到准线的距离等于5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上，∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. (2)∵p ＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程是x ＝2.[例2] 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)．在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．[思路点拨] 把|PF |转化为点P 到准线的距离→画出草图→数形结合 →求出点P 的坐标 [精解详析] ∵(－2)2<8×4，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B .由抛物线的定义可知：|PF |＋|P A |＝|PQ |＋|P A |≥|AQ |≥|AB |，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF |＋|P A |取得最小值，即为|AB |.此时P 的横坐标为－2，代入x 2＝8y 得y P ＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)．[感悟体会] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．训练题组23．点P 为抛物线y 2＝2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．位置由F 确定解析：如图，抛物线的焦点为F (p 2，0)，M 为PF 的中点，准线是l ：x ＝－p2.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么|PF |＝|PH |，且|QH |＝|OF |＝p2.作MN ⊥y 轴于N ，则MN 是梯形PQOF 的中位线，即|MN |＝12(|OF |＋|PQ |)＝12|PH |＝12|PF |，故以PF 为直径的圆与y 轴相切．答案：B4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3 C. 5 D.92解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A (0,2)点，抛物线的焦点F (12，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝|AF |＝0－122＋2－02＝172.答案：A[例3] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[思路点拨] 分析题意→建立平面直角坐标系→设出抛物线标准方程→确定点的坐标求p →利用方程求值→回答实际问题[精解详析] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．∵拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，∴A (10，－2)．设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)，则102＝－2p (－2)，∴p ＝25，∴抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船体高为5米，∴无法通行．又∵5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．[感悟体会] 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．训练题组35．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反光镜顶点的距离是( ) A ．11.25 cm B ．5.625 cm C ．20 cmD ．10 cm解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)．∵A (40,30)在抛物线上，∴302＝2p ×40，∴p ＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p 2＝4524＝458＝5.625 (cm)．答案：B6．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为(a2，－a4)，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a>3.解得a >12.21或a <－0.21(舍去)．∴使卡车通过的a 的最小整数值为13. 五.课堂小结与归纳1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p 的值)的程序求解．2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题．六.当堂训练1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0，116)D ．(116，0)解析：由y ＝4x 2得x 2＝14y ，∴抛物线焦点在y 轴正半轴上且2p ＝14，∴p ＝18，∴焦点为(0，116)．答案：C 2．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：由椭圆方程可知a ＝6，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴椭圆右焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4.答案：D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34B ．1 C.54 D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 的中点到y 轴的距离为12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( ) A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得|PF |＝|P A |，由直线AF 的斜率为－3，可知∠P AF ＝60°.△P AF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos60°＝8. 答案：B5．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．解析：由抛物线方程y 2＝2px (p >0)，得其准线方程为x ＝－p2.又圆的方程为(x －3)2＋y 2＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4.依题意，得3－(－p2)＝4，解得p ＝2.答案：26．右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．答案：267．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)．由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)．由抛物线定义得5＝|AF |＝|m ＋p2|.又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .8．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．依题意有P ′(1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12.故得抛物线方程为x 2＝－y .B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2，即|AB |＝2，则|AB |＋1＝2＋1，因此所求水池的直径为2(1＋2) m ，约为5 m ，即水池的直径至少应设计为5 m.。

2.4.1抛物线的标准方程教案(苏教版选修2(1))-_0

2.4.1抛物线的标准方程教案(苏教版选修2（1)）-2.4抛物线2.4.1抛物线标准方程低三维目标1。

知识和技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其求导。

(2)阐明了p在抛物线标准方程中的几何意义。

它可以解决寻找抛物型标准方程的简单问题。

2.过程和方法(1)通过比较抛物线、椭圆和双曲线的偏心率，我们可以了解三条二次曲线之间的内在区别和联系。

(2)通过比较四种不同形式的标准方程，熟练掌握求曲线方程的基本方法，培养学生的分析和归纳能力。

3。

情感、态度和价值观引导学生发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识。

体验数学中的简单与和谐之美。

●重点和难点重点:抛物线的定义和标准方程的推导。

通过学生独立系统的建立和方程的讨论，突出重点。

难点:抛物线概念的形成。

通过条件E = 1的描述性设计，标准方程与二次函数的比较，突破难点。

(教师专用书籍)●教学建议本章中，此部分位于省略号和双曲线之后。

一方面，有必要统一定义三条二次曲线。

抛物线是偏心率e = 1的特例。

另一方面，它也是对“用方程研究曲线”的解析几何基本思想的重新强化。

本节对抛物线定义的研究呼应了初中阶段的二次函数形象，体现了数学的和谐之美。

教材的安排是为了分散难度，符合循序渐进的原则。

是充分调动学生的积极性。

要将学生的被动学习转变为主动学习，很容易采用“引导式探究”教学模式。

在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学理念。

通过引导学生进行实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分利用手、嘴和大脑参与整个教学过程。

本课基于实验绘图，以问题为核心，创建场景。

通过教师的及时指导和师生之间的交流与互动，启发学生的思维，让学生通过自己对抛物线概念的分析、反思、比较和形成，构建自己的知识体系，并尝试愉快地一起学习，体验成功的喜悦。

●教学过程设置场景并引入新的课程。

在课程开始时，计算机被用来显示太阳系九大行星的运行图，并且随着热天文事件“冥王星”的降级而引入了一个新的课程:学生们，我们的太阳系最近发生了一个重大事件，你们知道吗？？引导探究并获得新知识(1)复习椭圆和双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的偏心距e的范围是什么？(2)偏心率e = 1的含义是什么？你能设计一个计划并画出这样一个点吗？(3)这条曲线是什么？？学生建立自己的系统，找到抛物线的标准方程，并根据不同的焦点位置写出四个不同的标准方程。

高二年级数学 2.4.1抛物线的标准方程教学设计

2.4.1抛物线的标准方程教学设计学习目标：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形学习过程：课前准备分别画出下列四种图形中，到l点距离相等的点的轨迹F与直线（用铅笔画，要画漂亮些哦）l·F·Fl·F ·Fl l 你能建立适当的坐标系，求出它们的方程吗？例典型题例1.分别根据求下列条件下抛物线的标准方程(1) 过点A（-3，2）(2) 焦点在直线x-2y-4=0上例2、已知抛物线焦点在y 轴上，其上一点M （m ，3）到焦点的距离为5，则其标准方程为 ,点M 的坐标为课堂总结：（这节课你学到了什么，自己总结一下）当堂检测合作提高-2y . 2 . 2 . 2 . 08 .22==-===+D y C x B x A y x ）的准线方程是（抛物线01 . 215 . 5 . 2 5 . 10 .32D C B A x y ）（的焦点到准线的距离是抛物线=与抛物线焦点的距离求点，的纵坐标为上一点抛物线A A y x 44 .42=的点的坐标上与焦点的距离等于求抛物线912 .52x y =），开口向右，焦点为（），开口向右，焦点为（），开口向上，焦点为（），开口向上，焦点为（）下列描述正确的是（对抛物线1610. 01. 1610. 10. ,4 .12D C B A x y =的焦点坐标求抛物线)0(412≠=a x a y课后作业课后思考：过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，求AB的轨迹方程。

相切的动圆圆心）且与直线（求经过点M )0(2:0,2A .1>=-p p x l p 到焦点的距离，求点轴距离为与上一点抛物线P x P x y 1216.22-=。