数学分析 重积分的变量替换仿射变换
数学分析ch13-3重积分的变量代换
sin(π x2 y2 )dxdy lim 0
sin(π x2 y2 )dxdy lim 0
(sin π r)rdrd
D
x2 y2 1
r1
2π
2π
1
lim 0
2 π
d
1
sin(π r)rdr
lim(2π 2 )
0
r π
cos π r
sin π r π2
(u0 ,v0 )
mT ( ) ～ (x, y)
m （ d( ) 0 ）。
(u, v)
(u0 ,v0 )
这说明 (x, y) 的几何意义为面积的比例系数。
(u, v)
第七页，共四十二页。
例 13.3.1 计算曲线 (x y)2 x2 a 2 (a 0) 所围区域 D 的面积。 解 作变换 x u, x y v ，则曲线方程对应于 u2 v2 a 2 。
部分为 D 。这个方程中有
x2 a2
y2 b2
项，因此引入广义极坐标
x ar cos , y br sin ，
第十五页，共四十二页。
它的 Jacobi 行列式为
(x, y) a cos ar sin abr 。
(r, ) bsin br cos
在 r 平面上这条曲线的像的方程是
r2
ab
c2 sin cos
第三节二重积分的变量变换.
D :
x2
y2
1
.
D
a2
b2
a2
b2
3)
( x2
y2)dxdy
,
D :
x
0, y
0,1
x2
y2
9,2 xy 4.
D
1
x
2
x
2
1
x2
4)
dx
xydy
dx
xydy
dx
xydy
1
1
x
2
1
0
2
0
2
a
a2
i
(u, v)( u*, v*)
i
i
i
i
* *
f x
, y
mT(Di)
f
x(u*, v
*
), y(u*
,v
*)
( x, y)
mDi
i
i
i
i
i
i
i
(u, v)(ui*,vi*)
N
*
*
*
*
(x, y)
f x(u
mDi
i, vi), y(ui, v
i)wenku.baidu.com
i 1
(u,v)(u*,v*)
i
i
.
(x, y)
* *
数学分析21.9在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第二十一章 重积分
9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=
),()
,(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆
dudv v u J ),(. 分析：可分四步证明
(1)对任意(u 0,v 0)∈int △, 任意ε>0, 存在(u 0,v 0)的邻域G, 当正方形I ⊂G 且(u 0,v 0)∈I 时, μ(T(I))≤⎰⎰I
dudv v u J ),(+εμ(I).
(2)对任意正方形I ⊂ int △, μ(T(I))≤⎰⎰I
dudv v u J ),(.
(3)μ(D)≤⎰⎰∆
dudv v u J ),(.
(4)μ(D)=⎰⎰∆
dudv v u J ),(.
证：(1)设(u 0,v 0)∈int △, ∀ε>0, 取正数η<|J(u 0,v 0)|满足 (1+η)2|J(u 0,v 0)|<|J(u 0,v 0)|-η+ε.
∵|J(u,v)|在点(u 0,v 0)上连续, ∴∃(u 0,v 0)的邻域G 1⊂ int △, 使得 当(u,v)∈G 1时, |J(u,v)|>|J(u 0,v 0)|-η. 定义映射 L 1⎩⎨
⎧-+-+=-+-+=))(,())(,(),(),(ˆ))(,())(,(),(),(ˆ0000000000000000v v v u y u u v u y v u y v u y
重积分的积分变换和积分替换
重积分的积分变换和积分替换积分是高等数学中的一个重要概念，它被广泛应用在各个领域中，包括物理学、统计学、经济学等。在微积分中，一类重要的积分就是重积分。和单变量积分不同，重积分涉及到多个变量，其计算难度往往更大。近年来，学者们发现，利用积分变换和积分替换的技巧，可以有效地简化重积分的计算过程。本文就介绍一些有关积分变换和积分替换的基本知识和重要应用。
一、积分变换
积分变换是将一类积分变换成另一类积分的过程，通常是通过一些数学技巧来实现的。积分变换有很多种，包括线性变换、仿射变换、圆柱变换、球坐标变换等。在这里，我们主要介绍球坐标变换和柱坐标变换两种。
1. 球坐标变换
球坐标变换是将三维空间中的积分转化为球坐标系下的积分。通过这种变换，可以将具有各向同性的问题转化为与方向无关的
问题，从而简化积分的计算。球坐标系下的积分变量包括径向距离r、极角θ和方位角φ。一般来说，球坐标变换的步骤如下：
（1）将被积函数写成球坐标的形式；
（2）将坐标变量x、y、z表示为r、θ和φ的函数；
（3）将分子（dx dy dz）替换成球坐标系下的积分元素r²sinθ dr dθ dφ；
（4）对变量r、θ和φ进行变量替换，计算出新的积分区域。
例如，设空间中有一个函数f(x,y,z)，要求其在球形区域内的积分。那么，将被积函数转化为球坐标系下的形式：
f(x,y,z)→f(r,θ,φ)
然后，把直角坐标系下的坐标写成球坐标系下的形式：
x=r sinθ cosφ；
y=r sinθ sinφ；
z=r cosθ。
接着，计算出雅可比行列式，替换分子，并对积分区域进行调整。最终得到球坐标下的积分表达式：
重积分中的变量代换
-2-
华北水利水电学院毕业论文
Abstract
The most important difference is the calculus the high school mathematics and university mathematics. However, the main difficulty in calculus is the calculation of multiple integral. For undergraduate students, the calculation of double integrals and triple integrals is often encountered. We learn and master the calculation of the indefinite integral and definite integral at first to lay the foundation for the learning of the multiple integral. In the learning of the multiple integral, we know that the calculation of the multiple integral is turned into the repeated integral. However, not all the multiple integral can be turned into the repeated integral in the rectangular coordinate system successfully as the form of the integrand and the complexity of the integration region, even some could not be solved in the rectangular coordinate system. One of the methods to solve these difficulties is to introduce new variables, by using the appropriate variable substitution to simplify the integrand or the integral region we can achieve the purpose of solving the double integral. This paper, for my personal as well as other people in the difficult learning, double integrals, triple integrals and the n-lay integrals will be discussed in detail. In Chapters II and III, we introduce the general type of plane coordinate transformation and space coordinate transformation as well as several common variable substitution, starting from the feasibility and validity of the variable substitution, according to the form of the integrand and the types of the integral region, then discuss how to select the appropriate coordinate transformation to simplify the calculation of multiple integral. Finally we will generalize variable substitution, by analogy to the variable substitution of n-lay integrals naturally , According to various different types, we discuss the essence of different variable substitutions and geometric meaning, and the practical application. Finally we get a deeper understanding of the variable substitution fundamentally. key words ：multiple integral ，repeated integral ，variable substitution ，measure ，jacobian determinant
数学分析 重积分的变量替换变量替换公式
数学分析(二):多元微积分
梅加强副教授
南京大学数学系
内容提要:
内容提要:
重积分的变量替换公式;
内容提要:
重积分的变量替换公式; 极坐标变换;
内容提要:
重积分的变量替换公式; 极坐标变换;
柱面坐标变换;
内容提要:
重积分的变量替换公式; 极坐标变换;
柱面坐标变换;
球面坐标变换.
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.
问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.
问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?
首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).
一般的变量替换
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.
问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?
首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).
数学分析 重积分的变量替换变量替换公式
数学分析(二):多元微积分
梅加强副教授
南京大学数学系
内容提要:
内容提要:
重积分的变量替换公式;
内容提要:
重积分的变量替换公式; 极坐标变换;
内容提要:
重积分的变量替换公式; 极坐标变换;
柱面坐标变换;
内容提要:
重积分的变量替换公式; 极坐标变换;
柱面坐标变换;
球面坐标变换.
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.
问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.
问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?
首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).
一般的变量替换
现在我们考虑比仿射变换更一般的映射,看看可求体积的集合在这些映射下如何变化.
设D⊂R n为开集,A可求体积且¯A⊂D,ϕ:D→R n为C1映射且Jϕ处处非退化.
问题:ϕ(A)是否可求体积,如果是的话其体积等于多少?
首先,根据反函数定理我们知道ϕ将A的内点映为ϕ(A)的内点,这说明∂ϕ(A)⊂ϕ(∂A).
重积分变量代换(2)
v v2 D u v uv o u
D
e v 1 d u d v
2
ee
1
例. 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 u
y
2
x y p u q D : a v b
,v
x
2
,则
x by
2
y
y qx y px x ay
二重积分的变量代换
定理: 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续, 变换:
v
D
x x(u , v) T : (u, v) D T ( D) o y y (u , v) 满足 (1) x (u , v ) , y (u , v ) 在D上一阶导数连续;
u
T
(2) 在D上 雅可比行列式
x a
2 2
的体积V.
y b
2 2
1, 由对称性
2 c
令 x a r cos , y b r sin , 则D 的原象为 D : r 1 , 0 2
a cos ( x, y ) ( r , ) b sin a r sin abr b r cos
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
( x, y ) cos (r , ) sin
N重积分的变量代换
N 重积分的变量代换
Shining Chen † Jun 3rd ，2019
数学难还是物理难？这个问题因人而异，没有统一答案。不过有一点可以肯定，就是数学系不懂物理依然可以work well ，因为数学play with itself ；物理系不懂数学会怎样？不能说一定死翘翘（毕竟有Faraday 大神），但可以肯定的是，此人只能搬砖（做实验），而看不了图纸（理论物理）。当然，物理系不需要像数学系那样精通数学——不必严格证明，只要计算出结果就行了（可能存在的麻烦是，某一类数学问题该如何求解，数学系以前也没研究过，这就需要物理系自己搞定了）。
在高能物理中，相空间积分可以用Mandelstam 不变量表达。但为了讨论CP 破坏，需要引入一个T-odd 变量[1]，该变量并非Lorentz 不变量。于是，就涉及变量代换问题——将对Mandelstam 不变量的积分改写为对T-odd 变量的积分。对于四体衰变而言，相空间是12维的，不过由于动能量守恒及质壳条件，最终只有五个变量是独立的。所以，本文需要解决五重积分的变量代换问题。因为数学书上只讨论了一、二、三重积分的变量代换，所以N 重积分的变量代换只好由物理系小白班门弄斧喽。希望可以抛砖引玉。
1 变量代换的一般原理 ................................................................................................................... 1 2 积分次序交换技术 ....................................................................................................................... 5 3 注意事项....................................................................................................................................... 9 参考文献.. (10)
数学分析21.4二重积分的变量变换(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 4二重积分的变量变换
一、二重积分的变量变换公式
定积分的变量变换：设f(x) 在[a,b]上连续，x=φ(t)当t 从α变到β时，严格单调地从a 变到b ，且φ(t)连续可导，则⎰b a dx x f )(=⎰'β
αϕϕdt t t f )())((. 当α<β(即φ’(t)>0)时，记X=[a,b], Y=[α,β]，则X=φ(Y), Y=φ-1(X)，则 上面的公式可以写成⎰X dx x f )(=⎰-')
(1
)())((X dt t t f ϕ
ϕϕ.
当α>β(即φ’(t)<0)时，又可改写成⎰X dx x f )(=-⎰-')
(1
)())((X dt t t f ϕ
ϕϕ，
即当φ(t)严格单调且连续可微时，有⎰X dx x f )(=⎰-')
(1
)())((X dt t t f ϕϕϕ.
引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=
),()
,(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆
dudv v u J ),(. 证：当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时， (后面章节证明只具有一阶连续导数的情况)
∵T 为一对一变换, 且J(u,v)≠0, ∴T 把△的内点变成D 的内点， △的按段光滑边界曲线L △变换到D 时，其边界曲线L D 也按段光滑. 设曲线L △的参数方程为u=u(t), v=v(t) (α≤t ≤β), 由L △光滑知， u ’(t), v ’(t)在[α,β]上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上连续. ∵L D =T(L △), ∴x=x(t)=x(u(t),v(t)), y=y(t)=y(u(t),v(t)) (α≤t ≤β). 若规定t 从α变到β时，对应于L D 的正向，则
13.3重积分的变量代换
y H
D
H′
G
T(D）
E′
T
u
u
G′
F′
0
u+k
0
x
2S
x(u, v) y (u, v) 1 = x(u + k , v) y (u + k , v) 1 ∆E ′F ′G ′ x(u + k , v + k ) y (u + k , v + k ) 1 x(u , v) y (u, v) 1 = x(u + k , v) − x(u , v) y (u + k , v) − y (u, v) 0 x(u + k , v + k ) − x(u, v) y (u + k , v + k ) − y (u, v) 0
D
D'
− ( x2 + y2 )
dxdy
= ∫∫ e
−r2
rdrdθ
D ′ = {(r , θ );0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π }
= ∫ re dr ∫ dθ
− r2 0 0
a
2π
对新变量--矩形区域 对新变量--矩形区域
关键: 曲线网格代替 关键: 用曲线网格代替直线网格 代替直线网格
∂ ( x, y ) 2 x1 (u , v) y1 (u, v) 2 2 k + o( k 2 ) = k + o(1)k = x2 (u , v) y2 (u, v) ∂ (u , v)
重积分在变量变换问题中的应用
浅析变量变换在重积分计算问题中的应用
作者：谢健 指导教师:岳芹
摘要：由于重积分计算时有可能有多种解法也有的重积分在用一般解题方法时很困难，本文通过对重积分
的学习而利用新的解题思路，通过变量变换来解决实际上所遇到的重积分问题，利用此简单的方法来解决复杂的重积分问题。
关键词：重积分 变量变换 二重积分 三重积分
Analysis of variable transformation in the calculation of the double
integral
Abstract: Re-integration calculations may have multiple solutions, some double integral in the use of general problem-solving approach is very difficult ，Double integral learning new problem-solving ideas ，Actually encountered by variable transformation to solve the double integral ，Take advantage of this easy way to solve the complex double integral.
Keywords: Integral , Variable transformation, Double integral , Triple Integral
教案重积分变量代换公式的证明
1. 教学内容
我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式， 然后将一般的变量代换视为向量 值函数，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个 容易理解而简单的证明。
2. 指导思想
重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点， 如何化解这一难 点，使学生理解并掌握这一重要内容，是本教案的目的。我们通过将一般的变量 代换分解为两个本原变换的复合的方法，然后对本原变换的情况进行证明，使得 证明简单而容易理解。同时，也教给学生一个如何将复杂的问题化成简单问题的 方法。
∫a
b
f ( x )dx =
∫α f (ϕ( t ))ϕ ′(t )dt
D → T (D )
β
⎧ x = x(u, v) 二重积分： 设 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 连续， 变换 T : ⎨ : ⎩ y = y (u, v)
是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换 公式似乎应该是
证毕 下面证明变量代换公式对于本原映射成立。 引理 2 设 T 为本原映射，二元函数 f ( x, y ) 在 T (D) 上连续，则
T ( D)
∫∫ f ( x, y)dxdy =∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) ∂(u, v) dudv 。
D
∂ ( x, y )
[理学]重积分的变量代换
![[理学]重积分的变量代换](https://img.taocdn.com/s3/m/2e6e107ebe23482fb4da4cde.png)
∫∫
∂ ( x, y ) dudv = ∫∫ dudv = π a 2 。 ∂ (u , v) u 2 +v2 ≤a2
例 13.3.2 求双曲线 xy = p, xy = q 与直线 y = ax ， y = bx 在第一象限 所围图形的面积，其中 q > p > 0, b > a > 0 。
Ty :
x = x(u , v ), y = y (u , v ) = v
形如 Tx :
x = x (u , v ) = u , y = y (u , v )
的映射称为本原映射。
引理 13.3.1 设 T 为本原映射，则对于每个小矩形 R ，等式
mT ( R ) =
∂ ( x, y ) mR ∂ (u , v) ( u ~ ,v ~)
界的有界闭区域 D ，记它的像为 E = T (D) ⊂ V ，则 D 的内点和边界分别 被映为 E 的内点和边界， 同时， 由于连通集的像也连通， 所以 E = T (D) 也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下，有如下的二 重积分的变量代换公式。
定理 13.3.1(二重积分变量代换公式) 映射 T 和区域 D 如上假 设。如果二元函数 f ( x, y ) 在 T (D) 上连续，则
⎡ ⎛ x 2 + y 2 ⎞⎤ 2 2 ⎢ 2a − x + y − ⎜ ∫∫ ⎜ a ⎟ ⎟⎥ d x d y = ∫∫ ⎝ ⎠⎦ D ⎣ 0≤ r ≤ a
三重积分的变量替换
三重积分的变量替换
三重积分是微积分中的重要概念之一，它广泛应用于物理学、工程学和数学分析等领域。在处理复杂的立体形状和物理现象时，三重积分可以帮助我们计算体积、质量、质心以及物理场的密度等。
在进行三重积分计算时，我们可以通过变量替换的方法简化问题的求解过程。变量替换的目的是将原来的积分区域变换为另一个更简单的区域，使得积分计算变得更加容易。
常见的三种变量替换方法分别是柱坐标变换、球坐标变换和柱坐标变换。接下来，我将详细介绍这三种方法，并举例说明如何使用它们进行三重积分计算。
首先是柱坐标变换。当我们处理具有旋转对称性的问题时，柱坐标变换是一个有用的工具。它将直角坐标系中的(x, y, z)坐标转换为柱坐标系统中的(r, θ, z)坐标。其中，r代表极径，θ代表极角，z代表高度。变换关系如下：
x = rcosθ
y = rsinθ
z = z
在柱坐标下，积分区域一般由极角θ、极径r和高度z来确定。利用柱坐标变换可简化三重积分的计算。例如，我们要计算半径为1的球体的体积，可以使用柱坐标变换将球体的方程转换为积分区域为r、
θ、z的柱坐标区域。然后，通过设置合适的积分边界条件，我们可以
将三重积分转化为三个单变量积分的乘积。
接下来是球坐标变换。球坐标变换适用于处理具有球对称性的问题。它将直角坐标系中的(x, y, z)坐标转换为球坐标系统中的(r, θ, φ)坐标。
其中，r代表距离原点的距离，θ代表极角，φ代表方位角。变换关系
如下：
x = rsinθcosφ
y = rsinθsinφ
z = rcosθ
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仿射变换
所谓仿射变换是指欧氏空间到自身的一类映射, 它是线性变换和平移的复合映 射:
ϕ : Rn → Rn, x → Mx + b, 其中 M ∈ Mn×n, b ∈ Rn. 问题: 如果 A ⊂ Rn 可求体积, 那么 ϕ(A) 是否可求体积, 如果是的话体积等于多 少?
根据矩形体积的平移不变性容易知道, 如果 A 可求体积, 则经过平移以后 A 也 是可求体积的, 并且体积不变, 这可称为体积的平移不变性.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),
这称为伸缩变换.
矩形 I = [a1, b1] × · · · × [an, bn] 在伸缩变换下的像仍为矩形, 其体积为 ν(ϕ(I)) = λ1 · · · λnν(I) = | det(ϕ)|ν(I).
这称为伸缩变换.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),
这称为伸缩变换.
矩形 I = [a1, b1] × · · · × [an, bn] 在伸缩变换下的像仍为矩形, 其体积为 ν(ϕ(I)) = λ1 · · · λnν(I) = | det(ϕ)|ν(I).
ij
由特征函数的定义和上式容易得出
ν(A) − ε < ν(Iij ) ≤
ν(Iij ) < ν(A) + ε.
Iij ⊂A
Iij ∩A=∅
从证明可以看出, 那些内部与 ∂A 有非空交的矩形的体积之和不超过 2ε. 同时, 也可 以看出伸缩变换将可求体积的集合变为可求体积的集合.
例子
例1 计算 Rn 中半径为 r 的球体的体积.
M = O1diag(λ1, · · · , λn)O2. 通过上述分解, 下面我们只要考虑伸缩变换和正交变换即可.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零. 于是我们进一步假设 det M = 0. 根据线性代数中矩阵的极分解, 我们知道存在 正定对称矩阵 P 以及正交矩阵 O, 使得 M = PO. 又因为正定对称矩阵可以对角化, 因此存在一组正实数 {λi } 以及正交矩阵 O1, O2, 使得
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式; 正交变换下体积的变换公式; 行列式的几何含义.
仿射变换
所谓仿射变换是指欧氏空间到自身的一类映射, 它是线性变换和平移的复合映 射:
ϕ : Rn → Rn, x → Mx + b, 其中 M ∈ Mn×n, b ∈ Rn.
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
根据覆盖引理之一的证明可知, 存在包含于 A 且内部互不相交的小矩形 {Ii1 = [ai , bi ]n}, 使得 i ν(Ii1) > ν(A)/2.
Ii1 的内接球记为 Bi1, 则
i
ν(Bi1)
=
ωn 2n
i
ν(Ii1)
>
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
−1
0
利用 ω1 = 2 以及一元微积分中的计算可得
(2π)k πk
2k πk−1
ω2k = (2k )!! = k ! , ω2k−1 = (2k − 1)!! , k ≥ 1.
(1)
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
3.5.1 仿射变换
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式; 正交变换下体积的变换公式;
0 < ν A \ Bi1 \ Bi2 < qν A \ Bi1 < q2ν(A).
i
i
i
这一过程可继续重复. 任给 ε > 0, 可得到内部互不相交的有限个 n 维球体 {Bi }, 使得
0 < ν A \ Bi < qk ν(A) < ε.
i
至于 {Bj } 的存在性, 可以先对 A \ i Bi 应用覆盖引理之一再考虑矩形的外接球 即可.
例子
例1 计算 Rn 中半径为 r 的球体的体积.
解. 根据体积的平移不变性, 不妨设球心为原点.
利用伸缩变换可知,半径为 r 的球体的体积等于 ωnr n, 其中 ωn 是单位球的体积. 利用
投影法可得
ωn+1 =
1
ωn(1 − x12)n/2 dx1 = 2ωn
π
2 sinn+1 t dt .
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
0 < ν A \ Bi1 \ Bi2 < qν A \ Bi1 < q2ν(A).
i
i
i
覆盖引理之二和正交变换
记
q
=
1
−
, ωn
2n+1
则
0
<
q
<
1,
且
0
<
ν
A\
i Bi1
< qν(A).
对 A \ i Bi1 重复上述过程, 可得包含于 A \ i Bi1 的有限个球体 {Bi2}, 使得
0 < ν A \ Bi1 \ Bi2 < qν A \ Bi1 < q2ν(A).
对于一般的可求体积集合, 上述公式仍然成立, 这可从下面的覆盖引理看出.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),
这称为伸缩变换.
矩形 I = [a1, b1] × · · · × [an, bn] 在伸缩变换下的像仍为矩形, 其体积为 ν(ϕ(I)) = λ1 · · · λnν(I) = | det(ϕ)|ν(I).
M = O1diag(λ1, · · · , λn)O2.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零. 于是我们进一步假设 det M = 0. 根据线性代数中矩阵的极分解, 我们知道存在 正定对称矩阵 P 以及正交矩阵 O, 使得 M = PO. 又因为正定对称矩阵可以对角化, 因此存在一组正实数 {λi } 以及正交矩阵 O1, O2, 使得
ν(A) − ε < ν(Iij ) ≤
ν(Iij ) < ν(A) + ε.
Iij ⊂A
Iij ∩A=∅
覆盖引理之一
证明.取包含 A 的矩形 I, 由体积的定义, 有 I χA = ν(A). 因此, 任给 ε > 0, 存在 I 的分割 π = {Iij }, 使得
χA(ξij )ν(Iij ) − ν(A) < ε, ∀ ξij ∈ Iij .
因此下面不妨设 b = 0, 考虑线性变换.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零. 于是我们进一步假设 det M = 0. 根据线性代数中矩阵的极分解, 我们知道存在 正定对称矩阵 P 以及正交矩阵 O, 使得 M = PO.
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
根据覆盖引理之一的证明可知, 存在包含于 A 且内部互不相交的小矩形 {Ii1 = [ai , bi ]n}, 使得 i ν(Ii1) > ν(A)/2.
仿射变换
所谓仿射变换是指欧氏空间到自身的一类映射, 它是线性变换和平移的复合映 射:
ϕ : Rn → Rn, x → Mx + b, 其中 M ∈ Mn×n, b ∈ Rn. 问题: 如果 A ⊂ Rn 可求体积, 那么 ϕ(A) 是否可求体积, 如果是的话体积等于多 少?
仿射变换
所谓仿射变换是指欧氏空间到自身的一类映射, 它是线性变换和平移的复合映 射:
i
i
j
j
其中 {Ii } 的内部互不相交.
覆盖引理之一
证明.取包含 A 的矩形 I, 由体积的定义, 有 I χA = ν(A). 因此, 任给 ε > 0, 存在 I 的分割 π = {Iij }, 使得
χA(ξij )ν(Iij ) − ν(A) < ε, ∀ ξij ∈ Iij .
ij
由特征函数的定义和上式容易得出
i
i
i
这一过程可继续重复. 任给 ε > 0, 可得到内部互不相交的有限个 n 维球体 {Bi }, 使得
0 < ν A \ Bi < qk ν(A) < ε.
i
覆盖引理之二和正交变换
记
q
=
1
−
, ωn
2n+1
则
0
<
q
<
1,
且
0
<
ν
A\
i Bi1
< qν(A).
对 A \ i Bi1 重复上述过程, 可得包含于 A \ i Bi1 的有限个球体 {Bi2}, 使得
ωn 2n+1
ν
(A).
覆盖引理之二和正交变换
记
q
=
1
−
, ωn
2n+1
则
0
<
q
<
1,
且
0
<
ν
A\
i Bi1
< qν(A).
覆盖引理之二和正交变换
记
q
=
1
−
, ωn
2n+1
则
0
<
q
<
1,
且
0
<
ν
A\
i Bi1
< qν(A).
对 A \ i Bi1 重复上述过程, 可得包含于 A \ i Bi1 的有限个球体 {Bi2}, 使得
对于一般的可求体积集合, 上述公式仍然成立, 这可从下面的覆盖引理看出. (覆盖引理之一) 设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个矩形 {Ii } 与 {Jj }, 使得
Ii ⊂ A, ν(Ii ) > ν(A) − ε; Jj ⊃ A, ν(Jj ) < ν(A) + ε,
覆盖引理之二和正交变换
记
q
ຫໍສະໝຸດ Baidu
=
1
−
, ωn
2n+1
则
0
<
q
<
1,
且
0
<
ν
A\
i Bi1
< qν(A).
对 A \ i Bi1 重复上述过程, 可得包含于 A \ i Bi1 的有限个球体 {Bi2}, 使得
0 < ν A \ Bi1 \ Bi2 < qν A \ Bi1 < q2ν(A).
ϕ : Rn → Rn, x → Mx + b, 其中 M ∈ Mn×n, b ∈ Rn. 问题: 如果 A ⊂ Rn 可求体积, 那么 ϕ(A) 是否可求体积, 如果是的话体积等于多 少?
根据矩形体积的平移不变性容易知道, 如果 A 可求体积, 则经过平移以后 A 也 是可求体积的, 并且体积不变, 这可称为体积的平移不变性.