数学分析 重积分的变量替换仿射变换

数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
3.5.1 仿射变换
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式; 正交变换下体积的变换公式;
因此下面不妨设 b = 0, 考虑线性变换.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零. 于是我们进一步假设 det M = 0. 根据线性代数中矩阵的极分解, 我们知道存在 正定对称矩阵 P 以及正交矩阵 O, 使得 M = PO.
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
这称为伸缩变换.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),
这称为伸缩变换.
矩形 I = [a1, b1] × · · · × [an, bn] 在伸缩变换下的像仍为矩形, 其体积为 ν(ϕ(I)) = λ1 · · · λnν(I) = | det(ϕ)|ν(I).
M = O1diag(λ1, · · · , λn)O2. 通过上述分解, 下面我们只要考虑伸缩变换和正交变换即可.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),
ν(A) − ε < ν(Iij ) ≤
ν(Iij ) < ν(A) + ε.
Iij ⊂A
Iij ∩A=∅
覆盖引理之一
证明.取包含 A 的矩形 I, 由体积的定义, 有 I χA = ν(A). 因此, 任给 ε > 0, 存在 I 的分割 π = {Iij }, 使得
χA(ξij )ν(Iij ) − ν(A) < ε, ∀ ξij ∈ Iij .
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
根据覆盖引理之一的证明可知, 存在包含于 A 且内部互不相交的小矩形 {Ii1 = [ai , bi ]n}, 使得 i ν(Ii1) > ν(A)/2.
ij
由特征函数的定义和上式容易得出
ν(A) − ε < ν(Iij ) ≤
ν(Iij ) < ν(A) + ε.
Iij ⊂A
Iij ∩A=∅
从证明可以看出, 那些内部与 ∂A 有非空交的矩形的体积之和不超过 2ε. 同时, 也可 以看出伸缩变换将可求体积的集合变为可求体积的集合.
例子
例1 计算 Rn 中半径为 r 的球体的体积.
对于一般的可求体积集合, 上述公式仍然成立, 这可从下面的覆盖引理看出. (覆盖引理之一) 设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个矩形 {Ii } 与 {Jj }, 使得
Ii ⊂ A, ν(Ii ) > ν(A) − ε; Jj ⊃ A, ν(Jj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Ii } 的内部互不相交.
覆盖引理之一
证明.取包含 A 的矩形 I, 由体积的定义, 有 I χA = ν(A). 因此, 任给 ε > 0, 存在 I 的分割 π = {Iij }, 使得
χA(ξij )ν(Iij ) − ν(A) < ε, ∀ ξij ∈ Iij .
ij
由特征函数的定义和上式容易得出
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特 别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零. 于是我们进一步假设 det M = 0. 根据线性代数中矩阵的极分解, 我们知道存在 正定对称矩阵 P 以及正交矩阵 O, 使得 M = PO. 又因为正定对称矩阵可以对角化, 因此存在一组正实数 {λi } 以及正交矩阵 O1, O2, 使得
−1
0
利用 ω1 = 2 以及一元微积分中的计算可得
(2π)k πk
2k πk−1
ω2k = (2k )!! = k ! , ω2k−1 = (2k − 1)!! , k ≥ 1.
(1)
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
ijBiblioteka j其中 {Bi } 的内部互不相交.
i
i
i
这一过程可继续重复. 任给 ε > 0, 可得到内部互不相交的有限个 n 维球体 {Bi }, 使得
0 < ν A \ Bi < qk ν(A) < ε.
i
覆盖引理之二和正交变换
记
q
=
1
−
, ωn
2n+1
则
0
<
q
<
1,
且
0
<
ν
A\
i Bi1
< qν(A).
对 A \ i Bi1 重复上述过程, 可得包含于 A \ i Bi1 的有限个球体 {Bi2}, 使得
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
根据覆盖引理之一的证明可知, 存在包含于 A 且内部互不相交的小矩形 {Ii1 = [ai , bi ]n}, 使得 i ν(Ii1) > ν(A)/2.
Ii1 的内接球记为 Bi1, 则
i
ν(Bi1)
=
ωn 2n
i
ν(Ii1)
>
例子
例1 计算 Rn 中半径为 r 的球体的体积.
解. 根据体积的平移不变性, 不妨设球心为原点.
利用伸缩变换可知,半径为 r 的球体的体积等于 ωnr n, 其中 ωn 是单位球的体积. 利用
投影法可得
ωn+1 =
1
ωn(1 − x12)n/2 dx1 = 2ωn
π
2 sinn+1 t dt .
ωn 2n+1
ν
(A).
覆盖引理之二和正交变换
记
q
=
1
−
, ωn
2n+1
则
0
<
q
<
1,
且
0
<
ν
A\
i Bi1
< qν(A).
覆盖引理之二和正交变换
记
q
=
1
−
, ωn
2n+1
则
0
<
q
<
1,
且
0
<
ν
A\
i Bi1
< qν(A).
对 A \ i Bi1 重复上述过程, 可得包含于 A \ i Bi1 的有限个球体 {Bi2}, 使得
ϕ : Rn → Rn, x → Mx + b, 其中 M ∈ Mn×n, b ∈ Rn. 问题: 如果 A ⊂ Rn 可求体积, 那么 ϕ(A) 是否可求体积, 如果是的话体积等于多 少?
根据矩形体积的平移不变性容易知道, 如果 A 可求体积, 则经过平移以后 A 也 是可求体积的, 并且体积不变, 这可称为体积的平移不变性.
仿射变换
所谓仿射变换是指欧氏空间到自身的一类映射, 它是线性变换和平移的复合映 射:
ϕ : Rn → Rn, x → Mx + b, 其中 M ∈ Mn×n, b ∈ Rn. 问题: 如果 A ⊂ Rn 可求体积, 那么 ϕ(A) 是否可求体积, 如果是的话体积等于多 少?
仿射变换
所谓仿射变换是指欧氏空间到自身的一类映射, 它是线性变换和平移的复合映 射:
0 < ν A \ Bi1 \ Bi2 < qν A \ Bi1 < q2ν(A).
i
i
i
覆盖引理之二和正交变换
记
q
=
1
−
, ωn