苏教版基本不等式

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苏教版 2.3.4基本不等式的应用(课件)

证明：∵ x, y ∈ R
+
x ①当 xy = p (定值)时， + y ≥ p 2
x+ y ∴ 2 ≥ xy
∴ x + y≥ 2 p ∵上式当且仅当 x = y 时取“=” ∴当 x = y时有 ( x + y ) min = 2 p
s ② 当 x + y = s（定值）时， xy ≤ 2
∵上式当且仅当 x = y 时取“=” 1 x = y时有 ( xy ) max = s 2 ∴当
4
1 2 ∴ xy ≤ s 4
（1）两个命题都正确：积定和小，和定积大（2）应用此命题求最值时必须具备的条件：一“正”、二“定”、三“相等”．相等” （3）此命题主要应用于求函数的最大、最小值
三、课前练习
1.函数y = x(2 − x（ < x < 2 在_____时，有 )0 ）最大值_________ 2.函数 y =2x+ 4 (x>1) 在_______时，有最小 2x−1 值___________ 2 3.已知2 x + 3 y = 12 ( x > 0, y > 0 ) ，则 xy 的最大值为____________ x, y ，且 x + 2y = 1 ，则 1 + 1 的最小 4.已知为正数 x y 值为__________
课后作业习求周长为的直角三角形面积的最大值. (1) 12
(2)、若直角三角形的内切圆半径为， 1
求面的小。其积最值如图，设矩形ABCD(AB>CD) ABCD(AB>CD)的周长为 (3) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的周长为 24，把它关于AC对折起来，AB折过去以后 AC对折起来折过去以后， 24，把它关于AC对折起来，AB折过去以后， DC于点于点P AB=x， ADP的最大面积及交DC于点P，AB=x，求⊿ADP的最大面积及相应的x 相应的x值。

第09讲基本不等式(解析版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)

第09讲基本不等式知识点一基本不等式与重要不等式1．算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．2．基本不等式如果a ，b 是正数，那么ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时，等号成立).3．两个重要不等式当a ，b ∈R 时，则（1）ab ≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)；（2）ab 2(当且仅当a ＝b 时，等号成立).知识点二基本不等式与最值对于正数a ，b ，在运用基本不等式时，应注意：(1)和a ＋b 为定值时，积ab 有最大值；积ab 为定值时，和a ＋b 有最小值；(2)a ＝b 时，ab .1．基本不等式的变形利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)；(3)解题注意点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解．考点一：利用基本不等式证明不等式例1已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥8.【证明】因为a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【总结】变式(1)已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.【证明】因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．(2)已知a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥10.【证明】因为a ，b ，c 都为正实数，＝4＋b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．所以111a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥10.考点二：利用基本不等式求最值例2(1)已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________；(2)若0<x <12，则12x (1－2x )的最大值是________；(3)若x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．【答案】(1)6(2)116(3)9【解析】(1)因为x >2，所以x －2>0，所以x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以12x (1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤142＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，等号成立，所以12x (1－2x )的最大值为116.(3)因为x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y＝5＋4y x ＋xy ≥5＋24y x ·xy＝9，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝13，y ＝16时取等号．变式求下列函数的最值．(1)已知x ＞1，求y ＝4x ＋1＋1x －1的最小值；(2)已知0＜x ＜1，求x (4－3x )的最大值；(3)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＝1,求2a ＋1b 的最小值．【解析】(1)∵x ＞1，∴x －1＞0，∴y ＝4x ＋1＋1x －1＝4(x －1)＋1x －1＋5≥24（x －1）·1x －1＋5＝9，当且仅当4(x －1)＝1x －1即x ＝32时取等号，∴y ＝4x ＋1＋1x －1的最小值为9.(2)∵0＜x ＜1，∴x (4－3x )＝13·(3x )·(4－3x )≤132＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号，故x (4－3x )的最大值为43.(3)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＝1，∴2a ＋1b (a ＋2b )＝4＋4b a ＋ab ≥4＋24b a ·ab＝8，当且仅当4b a ＝a b 且a ＋2b ＝1，即b ＝14，a ＝12时取等号，故2a ＋1b的最小值为8.考点三：利用基本不等式求参数的取值范围例3(1)已知函数y ＝x ＋ax＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是()A ．12B ．32C ．1D ．2(2)已知函数y ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，y ≥3恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】(1)C(2)－83，＋∞【解析】(1)由题意可得a ＞0，①当x ＞0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x ＜0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1．故选C ．(2)对任意x ∈N *，y ≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥3．设z ＝x ＋8x ，x ∈N *，则z ＝x ＋8x ≥42，当x ＝22时等号成立，又x ＝2时z ＝6，又x ＝3时z ＝173．∴a ≥－83，故a 的取值范围是－83，＋]【总结】变式已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．【答案】2【解析】依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2．又λ≥x ＋22xyx ＋y ，因此有λ≥2，即λ的最小值为2．考点四：利用基本不等式解应用题例4某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m ，中间两道隔墙建造单价为248元/m ，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【解析】设隔墙的长度为x m ，总造价为y 元，则隔墙造价为2x ×248＝496x 元，池底造价为200×80＝16000元，x ＋2×400＝800元．因此，总造价为y ＝496x ＋800200x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋16000(0＜x ＜50)＝1296x ＋160000x＋16000≥21296x ·160000x ＋16000＝28800＋16000＝44800.当且仅当1296x ＝160000x，即x ＝1009时，等号成立．这时，污水池的长为18m ．故当污水池的长为18m ，宽为1009m 时，总造价最低，最低为44800元．【总结】变式某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为y 1万元，隔热层的厚度为x 厘米，两者满足关系式：y 1＝k 2x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数).若无隔热层，则每年的能源消耗费用为6万元，15年的总维修费用为10万元，记y 2为15年的总费用(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用).(1)求y 2的表达式；(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用y 2最小，并求出最小值．【解析】(1)依题意，当x ＝0时，y 1＝6，∴6＝k5，∴k ＝30.故y 1＝302x ＋5，y 2＝4x ＋302x ＋5×15＋10＝4x ＋4502x ＋5＋10(0≤x ≤10).(2)y 2＝4x ＋4502x ＋5＋10＝(4x ＋10)＋4502x ＋5＝2(2x ＋5)＋4502x ＋5≥22（2x ＋5）·4502x ＋5＝60，当且仅当2(2x ＋5)＝4502x ＋5，即x ＝5时，y 2取得最小值，最小值为60，∴隔热层的厚度为5厘米时，15年的总费用达到最小值，最小值为60万元．1．下列不等式中，正确的是()A.a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥23【答案】D 【解析】a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝2，则1x ＋x y ＋1的最小值为()A.12＋536B ．13＋36C.13＋233D ．32【答案】C【解析】因为x ＋y ＝2，所以y ＝2－x ，又x ＞0，y ＞0，所以0＜x ＜2，1x ＋x y ＋1＝1x ＋x 2－x ＋1＝1x ＋x 3－x ＝13×3－x x ＋x 3－x ＋13，因为0＜x ＜2，所以3－x ＞0，所以13×3－x x ＋x 3－x＋13≥213×3－x x ×x 3－x＋13＝233＋13，当且仅当13×3－x x＝x 3－x ，即x ＝33－32时取等号，所以1x ＋x y ＋1的最小值为233＋13.故选C.3．(多选)下列各选项中y 的最大值为12的是()A.y ＝x 2＋116x 2B.y ＝x 1－x 2，x ∈[0,1]C.y ＝x 2x 4＋1D.y ＝x ＋4x ＋2，x >－2【答案】BC【解析】对于A,y ＝x 2＋116x2≥2x 2·116x 2＝12；对于B,y ＝x 1－x 2＝x 2（1－x 2）≤x 2＋1－x 22＝12；对于C,y ＝x 2x 4＋1＝1x 2＋1x2≤12；对于D,y ＝x ＋4x ＋2＝x ＋2＋4x ＋2－2≥4－2＝2.故选B 、C.4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为a 万元/次，一年的总存储费用为6ax 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是________．【答案】10【解析】设一年的总费用为y ，则y ＝600x ·a ＋6ax ≥2600ax·6ax ＝2×60a ＝120a ，当且仅当600ax＝6ax ，即x ＝10时等号成立，所以要使一年的总运费与总存储费之和最小，x 的值是10.5．甲、乙两同学分别解“设x ≥1，求函数y ＝2x 2＋1的最小值”的过程如下：甲同学：y ＝2x 2＋1≥22x 2·1＝22x ，又x ≥1，所以22x ≥22.从而y ≥22x ≥22，即y 的最小值是22.乙同学：因为y ＝2x 2＋1在x ≥1时的图象随着x 增大而逐渐上升，即y 随x 增大而增大，所以y 的最小值是2×12＋1＝3.试判断谁错，错在何处？【解析】甲错．甲直接利用基本不等式求最值，忽略了不等式成立的条件．当2x 2＋1≥22x 2时，有2x 2＝1，此时x 不在范围内，故此题不能用基本不等式求解．乙正确．利用函数图象，由图象判断y 的最小值．6．已知x >0，则9x＋x 的最小值为()A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】∵x >0，∴9x ＋x ≥2x ·9x ＝6．当且仅当x ＝9x即x ＝3时取得最小值6．7．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4则()A ．1a ＋1b ≤1B ．1a ＋1b ≥2C ．ab ≤4D ．ab ≥8【答案】C【解析】设a ，b 为正数，且a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．8．若a ＞0，且a ＋b ＝0，则a －1b＋1的最小值为________．【答案】3【解析】由a ＋b ＝0，a ＞0，得b ＝－a ，－1b ＝1a＞0，所以a －1b ＋1＝a ＋1a ＋1≥3，当且仅当a ＝1，b ＝－1时取等号．9．已知ab ＝1，a >0，b >0．则a ＋b 的最小值为________．【答案】2【解析】因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ＝2．当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故a ＋b 的最小值为2．]10．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________cm 2．【答案】23【解析】设两段长分别为x cm ，(12－x )cm ，则S ＝34×＋34×＝336[x 2＋(12－x )2]≥336×(x ＋12－x )22＝23．当且仅当x ＝12－x ，即x ＝6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为23cm 2．1．已知P ＝a 2＋4a2(a ≠0)，Q ＝b 2－4b ＋7(1＜b ≤3).则P ，Q 的大小关系为()A.P ＞Q B ．P ＜Q C.P ≥Q D ．P ≤Q【答案】C【解析】P ＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当a ＝±2时等号成立，Q ＝b 2－4b ＋7＝(b －2)2＋3≤4，当b ＝3时等号成立，所以P ≥Q .故选C.2．已知a ＞0，b ＞0，则“ab ≤1”是“2aba ＋b≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】a ＞0，b ＞0，若ab ≤1，则由a ＋b ≥2ab 得2aba ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ≤1，充分性成立，若2ab a ＋b ≤1，例如a ＝23，b ＝2，则2ab a ＋b＝1，但ab ＝43＞1，因此必要性不成立．故选A.3．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 2＋b 2的最小值为()A.2B ．22C.4D ．42【答案】C【解析】∵a >0，b >0，∴1a ＋1b＝ab ≥21ab，ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，∴a 2＋b 2≥2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．综上，a 2＋b 2的最小值是4.故选C.4．若对x >0，y >0，有(x ＋2y )·21x y ⎛⎫+⎪⎝⎭≥m 恒成立，则m 的取值范围是()A.m ≤4B ．m >4C.m <0D ．m ≤8【答案】D【解析】由x >0，y >0，得(x ＋2y )21x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2＋4y x ＋xy ＋2≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当2y ＝x 时取等号，则m ≤8.故选D.5．对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界，若a ，b ∈R＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为()A.92B ．－92C.14D ．－4【答案】B【解析】由题意可知，只需求－12a －2b 的最大值即可，因此可先求12a ＋2b 的最小值，12a ＋2b＝12y a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(a ＋b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝13，b ＝23时取等号，所以－12a －2b 的最大值是－92.故选B.6．(多选)设a ，b 是正实数，则下列各式中成立的是()A.a ＋b ≥2ab B ．b a ＋ab ≥2C.a 2＋b 2ab≥2abD ．a ＋b 2≤2aba ＋b 【答案】ABC 【解析】由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴A 成立；∵b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab≥2abab＝2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，∴C 成立；∵a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a －b ）22（a ＋b ）≥0，∴a ＋b 2≥2aba ＋b ，∴D 不成立．故选A 、B 、C.7．(多选)已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，那么下列不等式中，恒成立的有()A.ab ＜14B ．a 2＋b 2≥12C.a ＋b ≤2D ．1a ＋12b≥22【答案】BC【解析】A ，因为a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，所以ab 2＝14＋b ＝1，＝b ，即a ＝b ＝12时，等号成立，故A 错误；B ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝2＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故B 正确；C ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－a 2＋a＝1＋≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，因此a ＋b ≤2，故C 正确；D ，1a＋12b ＝a ＋b a ＋a ＋b 2b＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2b a ·a 2b ＝32＋2＝a2b ，b ＝1，＝2－1，＝2－2时，等号成立，故D 错误．故选B 、C.8．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则1，ab ，a 2＋b 22的大小关系是________．【答案】ab ＜1＜a 2＋b 22【解析】因为a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，所以a ＋b ≥2ab ，即ab 2＝1，又a ≠b ，所以ab ＜1，因为(a －b )2＞0，所以a 2＋b 22＞ab ，则2(a 2＋b 2)＞(a ＋b )2＝4，a 2＋b 22＞1，所以ab ＜1＜a 2＋b 22.9．下列条件中能使b a ＋ab≥2成立的是________．①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0.【答案】①③④【解析】要使b a ＋a b ≥2成立，只需b a ＞0，a b ＞0即可，此时b a ＋ab≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝ab等号成立，若ba＜0，则不等式不成立，即只需a ，b 同号即可，故①③④满足．10．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园．设菜园的长为x 米，宽为y 米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为________；若使用的篱笆总长度为30米，则1x＋2y的最小值为________．【答案】20310【解析】若菜园面积为50平方米，则xy ＝50，所以篱笆总长x ＋2y ≥22xy ＝20，当且仅当x ＝2y ，即x ＝10，y ＝5时等号成立，故所用篱笆总长的最小值为20；若使用的篱笆总长度为30米，则x ＋2y ＝30，所以1x ＋2y ＝130×(x ＋2y)＝130＋2y x ＋≥130＋＝310，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立，所以1x ＋2y 的最小值为310.11．(1)已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝4，求ab 的最大值；(2)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，求9a ＋1＋1b 的最小值．【解析】(1)ab ＝12a ×2b ≤122＝2，当且仅当a ＝2b ＝2即a ＝2，b ＝1时取等号．故ab 的最大值为2.(2)a ＋b ＝1，即(a ＋1)＋b ＝2，∵a ＞0，b ＞0，故9a ＋1＋1b ＝12[(a ＋1)＋b ]＝12＋9b a ＋1＋≥8，当且仅当9b a ＋1＝a ＋1b 时等号成立，又a＋b ＝1，∴a ＝b ＝12min＝8.12．已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为()A.2B ．2＋2C.4D ．2＋22【答案】D【解析】因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋bc ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋22.13．(多选)下列说法正确的为()A.若x ＞0，则x (2－x )最大值为1B.函数y ＝2（x 2＋4）x 2＋3的最小值为4C.|x ＋1x |≥2D.已知a ＞3时，a ＋4a －3≥2a ·4a －3，当且仅当a ＝4a －3即a ＝4时，a ＋4a －3取得最小值8【答案】AC【解析】选项A ，若x ＞0，则x (2－x )≤x ＋（2－x ）22＝1，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时等号成立，故选项A 正确；选项B ，y ＝2（x 2＋4）x 2＋3＝2（x 2＋3＋1）x 2＋3＝2(x 2＋3＋1x 2＋3)≥2×2x 2＋3·1x 2＋3＝4，当且仅当x 2＋3＝1x 2＋3，即x 2＝－2时等号成立，显然取不到最小值，故选项B 错误；选项C ，当x ＞0时，|x ＋1x |＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立；当x ＜0时，－x ＞0，所以|x ＋1x |＝(－x )＋1－x≥2（－x ）·1－x ＝2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立，所以|x ＋1x |≥2，故选项C 正确；选项D ，当a ＞3时，a ＋4a －3＝a －3＋4a －3＋3≥2（a －3）·4a －3＋3＝7，当且仅当a －3＝4a －3，即a ＝5时等号成立，故选项D 错误．故选A 、C.14．若正实数a ，b ，c 满足a 2－3ab ＋4b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，2a ＋1b －2c的最大值为________．【答案】1【解析】由条件可得c ＝a 2－3ab ＋4b 2，则abc ＝ab a 2－3ab ＋4b 2＝1a b －3＋4×ba，由a b －3＋4×b a ＝4×b a ＋ab －3≥24×b a ×ab－3＝1，当且仅当4×b a ＝a b ，即a ＝2b 时，ab c 有最大值，此时c ＝2b 2，所以2a ＋1b －2c ＝2b －1b 22＋1，当b ＝1时，2a ＋1b －2c 有最大值1.所以2a ＋1b －2c的最大值为1.15．“勾股容方”问题出自我国汉代数学名著《九章算术》，该问题可以被描述为：“设一直角三角形(如图①)的两直角边长分别为a 和b ，求与该直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长．”公元263年，数学家刘徽为《九章算术》作注，在注中他利用出入相补原理给出了上述问题如图②和图③所示的解答，则图①中与直角三角形具有公共直角的内接正方形的边长为________，当内接正方形的面积为1时，则图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为________．【答案】aba ＋b2【解析】设内接正方形的边长为x ，则图②的面积为ab ，图③的面积为(a ＋b )x ，因为图②和图③的面积相等，则有ab ＝(a ＋b )x ，解得x ＝ab a ＋b ，故内接正方形的边长为aba ＋b.因为内接正方形的面积为1，所以内接正方形的边长x ＝1，则有a ＋b ＝ab ，利用基本不等式可得a ＋b ＝ab ≥2ab ，故ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和为ab －2≥2，故图③中两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三角形的面积总和的最小值为2.16．某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q2%.其中p ＞q ＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？【解析】不妨设提价前的价格为1，则方案甲：两次提价后的价格为(1＋p %)(1＋q %)＝1＋p %＋q %＋0.01pq %，方案乙：两次提价后的价格为(1＋q %)(1＋p %)＝1＋p %＋q %＋0.01pq %，＋p ＋q2%＋p ＋q 2%＝1＋p %＋q %＋0.012%，由于p ＞q ＞0，由基本不等式p ＋q ≥2pq ，当且仅当p ＝q 时等号成立，2≥pq ，又p ≠q 2＞pq .因此方案丙提价最多，方案甲、乙少，且提价一样．17．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝22.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．【解析】(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b ＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立).因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.18．某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将2021年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；(2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？【解析】(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋－m＝－16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0).(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

新教材苏教版高中数学必修第一册3.2基本不等式精品教学课件

【跟踪训练】
1.若0<x< 8 ,则函数y=x(8-3x)的最大值为________.
3
【解析】因为0<x< 8 ,所以y= 1 (3x)(8-3x)≤
3
3
1 (3x 8 3x )2 16 ,当且仅当x= 4 时取等号.
32
3
3
答案: 16
3
2.函数y= x 1 的最大值为________.
3.(教材二次开发:练习改编)设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值为________. 【解析】因为x,y都是正数,且x+y=40,所以xy≤ ( x y)2=400,当且仅当x=y=20时
2
取等号. 答案:400
类型一利用基本不等式求简单问题的最值(逻辑推理、数学运算) 【题组训练】 1.当x>1时,(x-1)+ 9 +2的最小值为______.
【跟踪训练】
若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是
()
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 ab
C. 1 1 2
a b ab
D.b a 2
ab
【解析】选D.对于A项,当a=b时,应有a2+b2=2ab,所以A项错;对于B,C,条件ab>0,
只能说明a,b同号,当a,b都小于0时,B,C错误; 对于D项,因为ab>0,所以 b，a >0,
答案:0< x（3 2x） 3 2
4
5.已知a,b是不相等的正数,x= a b , y a b ,则x,y的大小关系为________.
2
【解析】因为a,b是不相等的正数,

基本不等式苏教版

6.课堂小结:
1.基本不等式
ab 2
ab (a 0, b 0)
(当且仅当a=b时取”=”) 2.基本不等式的证明 3.基本不等式简单应用
基本不等式
ab ab (a 0, b 0) 2
1.问题的引入
问题1：设左右两次称量的结果分别为a、b，天平的两臂长分别为l1和 l2，我们如何求出该物体的真实质量M呢？
l1
l2
M=
ab
ab 问题2：比较与 2
ab 的大小关系？
2.动手试算,猜想结论
ab ab (a 0, b 0) 2
a b (1) 2. b a
1 (2) a 2 a
例2.已知a,b,c,d都是正数，求证：
(ab cd )(ac bd ) 4abcd
5.练习：判断下列不等式成立吗？ 1 a (1)2 a 2 2 1 (2) lg a 2(a 1) lg a
1 (3) sin 2(0 ) sin 2
2
分析法：执果索因．
0 a 2 ab b 基本步骤：
要证……
（ a b） 0成立，
2
只需证……，
只需证……
ab 所以 ab 成立 2 当且仅当a=b时取等号.
证法3:对于正数a、b有（ a - b） 0
2
综合法：由因导果
a+b-2 ab 0 a+b 2 ab a+b ab 2 当且仅当a=b时，等号成立。
ab 即： 2
ab a b
4.几何图形解释 P
1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于A来自的弦，连AP,BP.A

苏教版3.2.2基本不等式的应用课件(34张)

当且仅当 a＝2b，即 a＝52，b＝54时，等号成立. (2)∵0<x<13，∴1－3x>0，∴y＝2x·(1－3x)＝23·3x·(1－3x)≤23·122＝16，
当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝16时，等ห้องสมุดไป่ตู้成立. 答案 (1)D (2)16
角度2 “1”的代换求最值【例 1－2】 (1)已知 x>0，y>0 且1x＋9y＝1，则 x＋y 的最小值为________.
题型一基本不等式的变形应用求最值
角度1 积定求和或和定求积的最值【例1－1】 (1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( )
A.25
B.225
25
25
C. 4
D. 8
(2)若 0<x<13，则函数 y＝2x·(1－3x)的最大值是________.
解析 (1)a>0，b>0，a＋2b＝5，则 ab＝12a·2b≤12×a＋22b2＝285.
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件： ①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. (2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.注意“1”的代换.
)
A.－12
B.－1
C.2
D.0
解析因为 x>－2，∴x＋x＋1 2＝x＋2＋x＋1 2－2≥2－2＝0，当且仅当 x＝－1 时
“＝”成立.
答案 D
3.已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________.

2022-2023学年苏教版必修第一册 3-2-1基本不等式的证明课件(共67张)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.(多选)设y＝x＋1－2，则 x
√A.当x>0时，y有最小值0
B.当x>0时，y有最大值0
√C.当x<0时，y有最大值－4
D.当x<0时，y有最小值－4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
√A.m>n
B.m<n
C.m＝n
D.不确定
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
因为a>2，所以a－2>0. 又因为 m＝a＋a－1 2＝(a－2)＋a－1 2＋2，所以 m≥2 a－2×a－1 2＋2＝4，由b≠0得b2≠0，所以4－b2<4，即n<4，所以m>n.
3.已知x>－2，则x＋x＋1 2 的最小值为
A.－12B.－1C.2√D.0
∵x>－2，∴x＋2>0， ∴x＋x＋1 2＝x＋2＋x＋1 2－2≥2－2＝0，当且仅当x＝－1时，等号成立.故所求最小值为0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.已知m＝a＋a－1 2 (a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是
2.已知a>0，b>0，a＋b＝4，则下列各式中正确的是
A.1a＋1b≤14
√C. ab≤2
B.1a＋1b>1 D.a1b≥1
1234
当 a＝b＝2 时，1a＋1b＝1，所以A，B选项错误；同时a1b＝14<1，所以 D 选项错误；对于 C 选项，由基本不等式得 ab≤a＋2 b＝42＝2，当且仅当a＝b＝2时等号成立. 所以C选项正确.

苏教版--基本不等式

平均数不小于它们的几何平均数。
a
2
b
ab
对这一定理，给出一个几何解释如右图，以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’AB 则 CD2=CA•CB
即：CD = ab ，这个圆的半径为
ab
A
2 ，显然，它大于或等于CD，
a
也就是，a b ab 2
其中，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立。
2
b
ab
我们当把且仅a当ab b时取ab"(a". 0,b 0)
2
称为基本不等式.
基本不等式2：一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
4.观察公式的特征,用自己的语言提炼概括.
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
基本不等式
第一课时
一.课时目标
1.弄清定理的条件与结论,掌握定理的结构特征.
2.能应用公式解决一些简单问题.
3.在师生共同探索活动中,体验数学知识的发现过程,在知识应用中体验数学学习的快乐.
二.教学过程
1.情境设置
把一个物体放在天平的一个盘
子上，在另一个盘子上放法码
使天平平衡，称得物体的质量
为a，如果天平制造的不精确，天平两臂长略有不同，那么a并
2
求最值时,注意验证：一正、二定、三相等
三.课堂小结与总结提炼
1. a b ab,要求的条件是a 0,b 0, 2
等号成立的条件是:a=b; a2 b2 ab,要求的条件是a R,b R.
2 等号成立的条件是:a=b.

2022-2023学年苏教版必修第一册 3-2-2基本不等式的应用课件(共76张)

角度2 常数代换法例2 已知x>0，y>0，且满足 8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值.
因为 x>0，y>0，8x＋1y＝1，所以 x＋2y＝(x＋2y)·8x＋1y ＝8＋1x6y＋xy＋2＝10＋1x6y＋xy ≥10＋2 16＝18，当且仅当1x6y＝xy，即 x＝12，y＝3 时等号成立，所以x＋2y的最小值为18.
x＋y＝(x＋y)1x＋9y ＝10＋yx＋9yx≥10＋2 yx·9yx＝16，当且仅当yx＝9yx且1x＋9y＝1，即 x＝4，y＝12 时取等号，所以 x＋y 的最小值为 16.
二
基本不等式的实际应用
例3 2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成.长征三号乙运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产 1千克该产品时，消耗A材料10千克. (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；
设矩形温室的一边长为x m，与其对应的种植蔬菜的区域的一边长为(x－4) m，
则矩形温室的另一边长为80x0 m，与其对应的种植蔬菜的区域的另一边长为80x0－2m.
x－4>0，由80x0－2>0，得 4<x<400，所以其面积 S＝(x－4)·80x0－2
＝808－2x＋3
200
x
√B.车辆在第6年时，总收入最高 √C.车辆在前5年的平均收入最高
D.车辆每年都能盈利
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

苏教版高中数学必修第一册基本不等式的应用课件1

11
1.设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是
√A.400
B.100 C.40 D.20
解析 ∵ xy≤x＋2 y(x>0，y>0)， ∴xy≤x＋2 y2＝4202＝400.
当且仅当x＝y＝20时，等号成立.
2.设 x>0，则 3－3x－1x的最大值是
A.3
B.3－2 2
A.25
B.225
25
25
C. 4
D. 8
(2)若 0<x<13，则函数 y＝2x·(1－3x)的最大值是________.
解析 (1)a>0，b>0，a＋2b＝5，则 ab＝12a·2b≤12×a＋22b2＝285.
当且仅当 a＝2b，即 a＝52，b＝54时，等号成立. (2)∵0<x<13，∴1－3x>0，∴y＝2x·(1－3x)＝23·3x·(1－3x)≤23·122＝16，
3.2.2 基本不等式的应用
1．基本不等式的四种形式
（1） a2 b2 ≥ 2ab(a,b R);
（2）
ab
≤
a2
2
b2
(a,
b
R)
（3） a b ≥ 2 ab(a ≥ 0,b ≥ 0);
)2
(a
≥
0,
b
≥
0)
.
2
2．最值定理：若 x, y 都是正数，且 x y S, xy P ，则
9
(2) 对任意x∈N*，y≥3，即x2＋xa＋x＋1 11≥3恒成立，即a≥－x＋8x＋3．设z＝x＋8x，x∈N*，则z＝x＋8x≥4 2，当x＝2 2时等号成立，又x＝2时z＝6，又x＝ 3时z＝137． ∴a≥－83，故a的取值范围是－38，＋∞．]

苏教版高中数学必修五课件3.4《基本不等式(3)》

例4 (1)已知：0< x <2, 求函数 y x 2 x 的最大值, 并求函数取最大值时x的值。
1 (2)已知 0 x , 则函数 y = x (1- 4x) 4
的最大值为_______.
2
(3)函数 y x 4 x 0 x 2 的最大值是_____, 此时x=____.
3.4 基本不等式（3）
基本不等式:
ab ab (a 0, b 0) 2
变形公式： a b 2 ab
2
ab ab a, b 0 2
（当且仅当a = b时取 “＝”）
例 1 已知 x，y 是正数，求证：（1）如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 p 。（2）如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，积 xy
1 2 有最大值用时应注意三个前提条件：一正，二定，三相等。
例1 （1） y 2 2 小值为________.
x
x
x R
的最
9 y x 2 有最小值_____. (2) x =____时， x 4 y x (3) x =____ (x>0)时，有最小值 x 1
2
_____.
(4)设值为______.
5 x 4
1 ，则 y 1 4 x 的最小 5 4x
5 2 (5)如果 lg x lg y 1 , 则的最小值 x y
为_______.
x x3 例2 设x>1, 求函数 y 的最小值. x 1
2
注：对分式型的函数，我们可以先进行 “换元”，“分离常数”，然后考虑应用基本不等式求解。 2 x 3x 1 练习：已知 x> -1, 求函数 y 的 x 1 最小值。函数 y

苏教版-必修五-第三章不等式-3.4《基本不等式》【全国一等奖】

拨云去“误”探正解均值不等式2a b +a b ，均是正实数），被称为“垂要不等式”．利用均值不等式求最值等问题时，必须满足三个条件：一正、二定、三相等．这三个条件缺一不可，否则就会导致错误．1．忽视正实数条件例1 当0x ≠时，求函数1y x x =+的值域．误：1122y x x x x =+=≥， ∴函数1y x x=+的值域是[)2+∞，．点拨：误解的原因是忽视了均值不等式2a b +成立的前提条件：a b ，必须是实数．由于x 与1x同号，则需分0x >，0x <两种情况讨论．正：当0x >时，12y x x=+≥，当且仅当1x =时，等号成立：当0x <时，0x ->，10x ->，12x x ∴--≥，12y x x∴=+-≤，当且仅当1x =-时，等号成立．故所求函数的值域为(][)22-∞-+∞，，． 2．忽视定值条件例2 已知3a >，求43a a +-的最小值．误：3a >，43a a ∴-，均为正实数． 4433a a a a ∴+--≥，当且仅当43a a =-，即4a =时，43a a +-有最小值8．点拨：误解的原因是忽视了利用均值不等式2a b +求“和”的最小值时，其“积”必须是定值．由3a >得30a ->，所以欲使各为定值，需作恒等变形(3)3a a =-+．正：44(3)3343733a a a a ⎡⎤+=-++=+=⎢⎥--⎣⎦≥，当且仅当433a a -=-时，等号成立，即5a =时，43a a +-有最小值7． 3．忽视等式成立条件例3 求函数2y =的最小值．误：2222x y x +===，2y ∴=有最小值2．点拨：误解的原因是忽视了等式成立的条件．当难以直接利用均值不等式求最值时，可先作恒等变形，再利用函数的单调性求最值．正：t =，则2t ≥．2y ==1(2)t t t =+≥． 1y t t=+在[)1+∞，上是增函数， ∴当2t =时，y 有最小值52．例4 已知0x >，0y >，且191x y+=，求x y +的最小值．误：0x >，0y >，且191x y +=，199()212x y x y xy x y xy ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭≥．故x y +的最小值为12．点拨：误解的原因是连续两次运用均值不等式，忽视了等号同时成立的条件，这时可通过变形转化为仅一次运用均值不等式．正：199()10y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭91016y x x y +=≥，当且仅当9y x x y =，且191x y+=，即4x =，12y =时，x y +有最小值16．。

苏教版高中数学必修五课件第3.4基本不等式

叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?
例题讲解:P88 例题1
练习:P88 1(验证基本不等式) 2(2)(4)
6.小结：算术平均数、几何平均数的概念基本不等式（均值不等式）及适合的条件.
7.作业：1.设为a, b, c 正数,证明下列不等式成立.
2
称 ab 为 a, b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a,b为非负数.
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.我们把不等式 a b ab 2
(a≥0,b≥0)
称为基本不等式
我们把 a b 看做两个正数 a, b 的等差中项，
2
ab 看做正数 a, b 的等比中项，那么上面不等式可以
灿若寒星整理制作
高a b ab
2
（当且仅当 a b时取“=”）
证明：∵ ( a )2 ( b)2 2 a b
∴ a b 2 ab
即： a b ab 2
当且仅当 a b 时, a b ab
2
称 a b 为 a,b 的算术平均数，
(1) a+1≥2 a
(2) a+b+2≥2( a b) (3) a+b+c≥ ab bc ac

苏教版数学高二苏教版必修5课件3.4.1基本不等式的证明

明目标、知重点
小结如果 a，b 是正数，那么 ab≤a＋2 b(当且仅当 a＝b 时取“＝”).我们把不等式 ab≤a＋2 b(a≥0，b≥0)称为基本不等式.
明目标、知重点
思考 5 如果把 ab看作是正数 a，b 的等比中项，a＋2 b看作是正数 a，b 的等差中项，该定理如何叙述？答两个正数的等比中项不大于它们的等差中项.
明目标、知重点
探究点一基本不等式的证明
思考1 观察下列实验数据，你能得出两个正数a，b的算
术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？
a
30 59 92 70 25 11
b
39 99 23 99 54 100
ab 34.21 76.43 46 83.25 36.74 33.17
a＋b
2
34.5 79 57.5 84.5 39.5 55.5
明目标、知重点
例 2 已知 a，b，c 都是正实数，且 a＋b＋c＝1，求证：a1
＋1b＋1c≥9. 证明 ∵a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号.
明目标、知重点
反思与感悟证明中把ba，ab，分别看作基本不等式中的 a， b 从而能够应用基本不等式；在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
明目标、知重点
跟踪训练 1 已知 a，b，c 为不全相等的正数，求证：a＋ b＋c> ab＋ bc＋ ca. 证明 ∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab>0，b＋c≥2 bc>0，c＋a≥2 ca>0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)，即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca. 由于 a，b，c 为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca.

苏教版高中数学必修五课件13基本不等式(2)

它的两边都留有宽为 a 的空白, 顶部和底部都
留有宽为b的空白.如何选择纸张的尺寸,才能
使纸的用量最小?
Q`
x
P`
b
解设纸张的长和宽分别是x, y,则 Q
P
x 2ay 2b A,
从而
y
A x 2a
2b.
a
y
于是纸张的面积为
S

xy

x
Ax 2a

2bx
M`
M
N N`
2取等号的条件当且仅当a b时,

ab

a
2
b
.
例3 过点1,2的直线l与x的正半径、y 轴
的正半轴分别交于A, B两点,当AOB的面
积最小时, 求直线l的方程.
解设点Aa,0, B0,ba 0,b 0,则直线 l y
的方程为x y 1,点1,2在l上,故 1 2 1. B
12-x
x
2
8
例1 用长为4a的铁丝围成一个矩形,怎样才能使所围矩形的面积最大 .
解设矩形长为x 0 x 2a,则宽为2a x,矩形
面积为 S x2a x,且 x 0,2a x 0.
由基本不等式, 得
x2a

x

x
Hale Waihona Puke 2a2x

a.
上式当且仅当x 2a x ,即 x a时,取""号.由此

Ax2Aa 2Aa x 2a
2bx

A
2Aa x 2a
2bx

2Aa x 2a

2bx

苏教版高中数学必修五课件3.4《基本不等式(4)》

和 x＋y 有最小值 2 p 。（
积
xy
有最大值
1 4
s2
。
注：上述是求最值的主要方法，在运用时应注意三个前提条件：
一正，二定，三相等。
如
a

R
，则
a

1 a

2
(当且仅当
a=1
时取等号)
问题 1：如果没有条件 a >0，即“非正” 时，那么我们会有什么样的结果？
例2 设 a 0,b 0，且 a2 b2 1，求
2 a 1 b2 的最大值。
例3 若a>0, b>0, 且满足 ab=a+b+3 ，求
a+b的取值范围。
例4 已知 tan x 3tan y(0 y x 2)
求u=x-y的最大值。
例5 (1)若a2+b2=2, 则a+b的最大值为___.
即 a 1 2 或 a 1 2
a
a
例1 (1)求函数 f ( x) 3 lg x 4 (0 x 1)
lg x 的最值。
(2)已知x<0,
求函数
y

2x x2 4
的值域。
(3)已知 x [1,1)，求函数 y x2 2x 2
的最大值。
2( x 1)
(2)已知x+2y=4, 则x2+y2的最小值为___.
(3)若直角三角形的周长为定值l，求三角形面积的最大值。
例6 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？

苏教版必修5第3章 3.4 3.4.1 基本不等式的证明

3.4 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3.4.1 基本不等式的证明学习目标：1.理解基本不等式的内容及证明．(重点)2.能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点)3.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)[自主预习·探新知]1．算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b 2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数．2．基本不等式如果a ，b 是正数，当且仅当a ＝b 时取“＝”)，2称为基本不等式．思考如何证明不等式ab ≤a ＋b 2(a>0，b>0)?[提示] ∵a＋b －2ab ＝(a)2＋(b)2－2a ·b ＝(a －b)2≥0，当且仅当a ＝b 时，等号成立， ∴a＋b≥2ab ， ∴ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．[基础自测]1．思考辨析(1)对任意a ，b∈R，都有a ＋b≥2ab 成立．( ) (2)不等式a 2＋4≥4a 成立的条件是a ＝2.( ) [答案] (1)× (2)√2．若两个正数a ，b 的算术平均数为2，几何平均数为2，则a ＝________，b ＝________. [解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝2，ab ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，ab ＝4，∴a＝2，b ＝2.[答案] 2 2[合作探究·攻重难]已知a ，b ，c 为不全相等的正数．(1)求证：a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca ； (2)求证：a 2b ＋b 2c ＋c2a≥a＋b ＋c.【导学号：57452095】[思路探究] (1)利用a ＋b≥2ab ，a ＋c≥2ac ，b ＋c≥2bc 求证； (2)利用a 2b ＋b≥2a 2；b 2c ＋c≥2b 2；c 2a ＋a≥2c 2求证．[解] (1)∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b≥2ab ，a ＋c≥2ac ，b ＋c≥2bc. 又a ，b ，c 为不全相等的正数， ∴a＋b ＋c≥ab ＋ac ＋bc.又a ，b ，c 互不相等，故等号不能同时取到，所以a ＋b ＋c>ab ＋ac ＋bc. (2)∵a，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c2a 均大于0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a ，当且仅当a2b ＝b 时等号成立．b2c＋c≥2b2c·c＝2b ，当且仅当b2c ＝c 时等号成立．c2a＋a≥2c2a·a＝2c ，当且仅当c2a＝a 时等号成立．相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c2a ＋a≥2a＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥a＋b ＋c. [规律方法]利用基本不等式证明不等式的条件要求：(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.[跟踪训练]1．已知a ，b ，c∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.[证明] 法一：∵a，b ，c∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．法二：∵a，b ，c∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋b ＋c) ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立.[1．不等式“x＋1x≥2x ·1x＝2”成立吗？为什么？ [提示] 不成立．如当x<0时，x ＋1x <0，显然不成立．2．当x<0时，能否应用基本不等式求解，x ＋1x 的范围是多少？[提示] 可以，当x<0时，－x>0， ∴x＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≤－2(－x)·1(－x)＝－2. 当且仅当－x ＝－1x ，即x ＝－1时等号成立，∴x＋1x∈(－∞，－2]．3．当x≥0时，如何求“x＋1x ＋1”的最小值？ [提示] x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝2－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x＝0时等号成立．求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1(x>－1)的最小值，并求相应的x 值．[思路探究] y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1――→变形y ＝(x ＋1)＋kx ＋1＋b ―――――→基本不等式求最小值[解] y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5，∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5 ＝4＋5 ＝9.当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1(x>－1)的最小值为9，此时x ＝1.母题探究：1.(变条件)本例条件改为当x ＜－1时，求y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最大值，并求相应x 的值．[解] y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5∵x<－1，∴x＋1<0，∴－y ＝[－(x ＋1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋1－5≥4－5＝－1， ∴y≤1，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝－3时，等号成立．∴函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1(x<－1)的最大值为1，此时x ＝－3.2．(变条件)本例条件改为当x>－1时，求y ＝x ＋1x 2＋3x ＋3的最大值，并求相应x 的值．[解] y ＝x ＋1x 2＋3x ＋3＝x ＋1(x ＋1)2＋(x ＋1)＋1 ＝1(x ＋1)＋1x ＋1＋1， ∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y≤12(x ＋1)·1x ＋1＋1＝13，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立．∴y＝x ＋1x 2＋3x ＋3(x>－1)的最大值为13，此时x ＝0.[当堂达标·固双基]1．a ＋1≥2a(a>0)中等号成立的条件是________． [解析] 等号成立的条件是两项相等，即a ＝1. [答案] a ＝12．函数f(x)＝2x ＋8x (x>0)有最小值为________．[解析] 2x ＋8x ≥22x ·8x＝8，当且仅当x ＝2时等号成立．[答案] 83．已知x>0，则函数f(x)＝7－x －9x 的最大值为________．[解析] 因为x>0，则函数f(x)＝7－x －9x ＝7－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ≤7－2x ·9x ＝1，当且仅当x ＝9x即x ＝3时取等号．[答案] 14．设b>a>0，且a ＋b ＝1，则四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是________．[解析] ∵b>a>0，∴a 2＋b 2>2ab. 又∵a＋b ＝1，∴b>12.又b ＝b(b ＋a)＝b 2＋ab>b 2＋a 2，故b 最大． [答案] b5．已知a ，b ，c ，d 都是正实数．求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac≥4.【导学号：57452096】[证明] ∵a，b ，c ，d 都是正实数， ∴ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋d c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d c ＋c d≥2b a ·a b＋2d c ·cd＝4. 当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”．。

苏教版必修五不等式《基本不等式》

基本不等式一、知识结构解读1．教材对基本不等式2a b ab +≤(00)a b ，≥≥的推导给出了三种证法，即作差法、分析法和综合法，同时引导同学们探讨基本不等式的几何解释．2．基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．应用基本不等式时一定要注意其成立的条件．基本不等式的应用过程蕴涵了函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化等数学思想．二、重点、难点解读本节的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握“两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值”的结论．难点是正确理解和使用基本不等式求某些函数的最值或证明不等式．三、知识点精析1．基本不等式的定义（详见课本）基本不等式可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．注意：不等式2a b ab +≤成立的条件是00a b ，≥≥． 2．基本不等式的几何证明已知在Rt ABD △中，如右图所示，dc 为斜边AB 上的高，O 为Rt ABD △的外接圆的圆心，DC 的延长线交O 于点E ．AC a =，CB b =，证明：2a b ab +≤．证明：由题意知，2a b OD +=，由于tan CD a A =，tan cot CD b B b A ==，因此2CD ab =，CD当a b ≠时，在Rt OCD △中，OD CD >，即2a b + 当且仅当点C 与点O 重合，即a b =时，OD CD =，即2a b +2a b +，当且仅当a b =时，式中等号成立．通过上面的证明我们可以这样理解基本不等式的几何意义：在直角三角形中，斜边上的中线大于或等于斜边上的高线．同学们共同探讨一下，基本不等式还有没有别的几何解释呢？3．基本不等式的有关变形及推广根据基本不等式可以得到一些常用的变形公式和推广公式：（1）根式形式：00)a b a b +，≥≥≥当且仅当a b =时，等号成立．（2）整式形式：2()2a b ab a b +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭R ，≤当且仅当a b =时，等号成立； 222()a b ab a b +∈R ，≥，当且仅当a b =时，等号成立；2()4()a b ab a b +∈R ，≥，当且仅当a b =时，等号成立；222()22a b a b a b ++⎛⎫∈ ⎪⎝⎭R ，≤，当且仅当a b =时，等号成立．（3）分式形式：2(0)b a ab a b+>≥，当且仅当a b =时，等号成立．（4）倒数形式：12(0)a a a+>≥，当且仅当1a =时，等号成立； 12(0)a a a+-<≤，当且仅当1a =-时，等号成立．说明：用基本不等式及变形公式和推广公式，并结合不等式的性质，不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式，还可以处理两个正数的平方和及其他形式的不等式．4．基本不等式的应用基本不等式是不等式变形的一个重要依据，是历年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式、判断不等式是否成立、求函数的值域或最值、求字母或参数的变化范围、求解实际问题等．（1）当00a b >>，，且ab 为定值时，有a b +≥，当且仅当 a b =时，等号成立，此时a b +有最小值，即“积定和最小”．（2）当a b ∈R ，，且a b +为定值时，有22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤（定值），当且仅当 a b =时，等号成立，此时ab 有最大值，即“和定积最大”．说明：（1）(00)2a b a b +>>，求最值时，必须具备三个条件：①在所求最值的代数式中，各变量均应是正数；②各变量的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值；③等号能成立．以上三个条件简称为“一正、二定、三相等”．（2）在证明不等式问题时，有时要多次使用基本不等式，然后再相加或相乘．这时字母应满足多次使用基本不等式中的等号一致都成立的条件．若不满足，则不等式中的等号不能成立．。