2014年佛山市高三一模理科数学试题及答案
2014年佛山市普通高中高二教学质量检测理科数学试题参考答案
2014年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：（每题5分，共50分） 二、填空题（每题5分，共20分）11． 2 12．(,2][1,)-∞-+∞ 13．34250x y -+= 14．6三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）解析：（1）设点P 关于直线1y x =+的对称点为(),C m n ，则有121,221112n mn m +-+⎧=+⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩ 解之得0,1.m n =⎧⎨=-⎩ 即点()0,1C - ……………………………6分（2）圆心C 到直线34110x y +-=的距离1535d ===， ……………………………9分（2）24y z x -=+是一个斜率模型，表示区域内的动点(,)Q x y 与定点(4,2)P - 连线的斜率.…………10分 如图，022143PA k -==--+最小， 321145PC k -==+最大.从而z 的取值范围为21,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. …………12分 17．（本题满分14分）证明：（1）如图，取11112D E E C =，连接1EE …………………2分∵四棱柱1111-ABCD A BC D ，且1⊥AA 平面ABCD ∴四棱柱四个侧面均为矩形，即四边形11CC D D 为矩形. …………3分 又11112D E E C =，且2DE EC =，∴11//EE DD ……………………………4分 且1DD ⊂平面1D DB ，1EE ⊂平面1D DB∴1//EE 平面1D DB ……………………………6分 （2）条件②⊥AC BD ，可做为1AC BD ⊥的充分条件. …………………7分 证明如下：1⊥AA 平面ABCD ，11//AA DD ，1∴⊥DD 平面ABCD ， …………………9分∵⊂AC 平面ABCD ，1∴⊥DD AC . …………………11分若条件②成立，即⊥AC BD ， ∵1=DD BD D ，∴⊥AC 平面1BDD ， …………………13分又1⊂BD 平面1BDD ，1∴⊥AC BD ． …………………14分 18．（本题满分14分）解析：(1)由椭圆定义知,42=a 故2=a .即椭圆方程为14222=+by x ,将(1,1)代入得342=b . 故椭圆方程为134422=+y x . ……………………………………………………4分 因此383442=-=c ,离心率36=e . ……………………………………………………6分(2)设(,),(,),C C D D C x y D x y 由题意知,直线AC 的倾斜角不为90,故设AC 的方程为1)1(+-=x k y ,联立⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1434,1)1(22y x x k y 消去y 得0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k . ……………………8分由点)1,1(A 在椭圆上,可知1316322+--=k k k x C .因为直线AD AC ,的倾斜角互补,故AD 的方程为1)1(+--=x k y ,同理可得1316322+-+=k k k x D . 所以21231C D kx x k --=+.又24(1)1,(1)1,()231C CD D C D C D ky k x y k x y y k x x k k -=-+=--+-=+-=+, 所以31=--=D C D C CD x x y y k ,即直线CD 的斜率为定值31. …………………………………14分19．（本题满分14分）（1）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB = ∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点，∵2PD PB ==，∴PO BD ⊥， ……………2分∵BD ==∴PO=12AO BD == 在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥， ……………………………4分 ∵AOBD O =，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分(2)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∴//OE PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . ……………………………9分 方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -(1,1,0)F ，(1,3,0)C，P ，ADOCPBE F11(,,222E --，则11(,222OE =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,PC =. ∴12OE PF =-∴//OE PF∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC ； …………………………………9分 (3) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， …………………………………11分解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC 的一个法向量为(2,0,1)n =，……………………………12分又(2,2,0)CB =--则sin cos ,θn CB =<>==， ∴直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值为3. ………………………………………14分 20．（本题满分14分）(1)由圆M 的方程:2280x x y ++=配方得:22(4)16x y ++=.故圆M 的圆心为(4,0)M -,半径14r =. ………………………………………………1分 由圆N 的方程:228120x x y -++=配方得:22(4)4x y -+=.故圆N 的圆心为(4,0)N ,半径22r =. ………………………………………………2分 设双曲线C 的半焦距为c ,实半轴长为a ,虚半轴长为b ,则222221,15,16a b c a b ===+=,1,4a c ∴==. ………………………………………………3分 故双曲线C 的左、右焦点分别是圆M 的圆心(4,0)M -和N 的圆心(4,0)N .………………………4分22PM PN a ∴-==,即12()()2PA r PB r +-+=.(4)(2)2,PA PB PA PB ∴+-+=∴=,故PAB ∆是等腰三角形. …………………………5分(2)设PA PB r ==,则PAB ∆的面积2111sin sin 22S PA PB P r P =⋅⋅=⋅, PMN ∆的面积211sin (4)(2)sin 22S PM PN P r r P =⋅⋅=+⋅+⋅.222221(4)(2)6811168S r r r r S r r r r++++∴===+⋅+⋅ …………………………8分 在PMN ∆中,由2PM PN c +>得:1(4)(2)8,1,01r r r r+++>∴><<. 令21,()168t f t t t r ==++,则21()Sf t S =,且01t <<. 在区间(0,1)上,2()168f t t t =++是t 的增函数,故1()15f t <<, 即21115S S <<. 21SS ∴的取值范围是()1,15. …………………………10分 (3)注意到点A 处圆M 的切线1l 和点B 处圆N 的切线2l ,也是以点00(,)P x y 为 圆心,半径r PA PB ==的圆的两条切线,设1l 与2l 的交点为(),Q x y ,则QA QB =,由切线长公式得:222212QM r QN r -=-.即2222(4)16(4)4x y x y ++-=-+-,整理得:430x -=.即两切线1l 与2l 的交点Q 的轨迹方程是430x -=. …………………………14分。
广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测(一)理综试题 Word版含答案.pdf
D．图Ⅳ分液漏斗盛硝酸能证明非金属性N>C>Si，盛硫酸能证明非金属性S>C>Si
11．己知N2(g)+3H2(g)2NH3(g) △H=— 92.4kJ?mo1—1，下列结论正确的是
A．在密闭容器中加入1mol N2和3mol H2充分反应放热92.4kJ
B．N2(g)+3H2(g) 2NH3(l) △H=— QkJ?mo1—1，则Q>92.4
2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）
理科综合能力测试
2014.1
物理部分
本试卷共12页，满分300分．考试时间150分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上．用2B铅笔将答
题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上，并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的
C．圆30°
D．圆竖直轴转动
14．2013年6月20日，测出聂海胜的质量。聂海胜受到恒力F从静止开始运动，经时间t，则聂海胜的质量为A．
B． C． D．
15．“套圈圈”是小孩和大人都喜爱的一种游戏小孩在抛出并套前方一物体则
A．B．以的速度抛出
C．D．A．B．C．D．
二、双项选择题：本大题共9小题，每小题6分，共54分．在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求
B．H+、Na+、S2—、ClO—
C．K+、Mg2+、SO42—、MnO4ˉ
D．Fe3+、Ca2+、SCN—、NO3—
10、下列叙述正确的是
A．图I装置中通入N2和O2的作用是相同的
B．图Ⅱ中甲、乙两装置产生喷泉的原理一样
广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测(一)数学(文)试卷Word版含答案
图1佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则AB =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．已知,a b R ∈，i 为虚数单位,若211ia bi i-+=+,则实数a b += A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 3．设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,1A =B . 2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A =4．已知1=a ,(0,2)=b ,且1=a b ,则向量a 与b 夹角的大小为A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π 5．给定命题p :若x R ∈,则12x x+≥； 命题q :若0x ≥，则20x ≥. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为图2A ．3πB ．23πC ．πD ．2π7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 8．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为A ．22B ．16C ．15 D ．11 9．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 A ．13 B ．12C D10．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A ． 32B ．43C ． 2D ． 3二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(9～13题)11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.若()3f a ≤，则a 的取值范围是 .13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.排球队 篮球队图4(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、PF ,其中PF =.(Ⅰ) 求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ?若存在,求出点Q 的位置；若不A. .CDBEF图5图6ABCD PEF图7存在,请说明理由.(Ⅲ) 求点A 到平面PBE 的距离.19.(本题满分14分)如图7,椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM 的最大值为,求t20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,,...3,2,1=n .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）记1111n n n c a a +=+，证明：对一切正整数n ，有123111138n c c c c ++++<.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．18012．(,1]-∞ 13．3- 14．15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分) 【解析】(Ⅰ)因为B C=，所以c b =，……………………………………………………………………2分又a =， 所以22co s 2a cb Bac +-===，……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==， ……………………………………………………………7分 所以s i n 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭s i n c os c o s s i n33B B ππ=+ ………………………………………………10分12=+=. …………………………………………………………12分 17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. …………………………………………………5分(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人,其中3人来自 排球队,记为,,a b c ,2人来自篮球队,记为,A B ,则从5人中抽 取3名同学的基本事件为:abc ,abA ,abB ,acA ,acB ,aAB ,bcA ,bcB ,bAB ,cAB 共10个；……………………………9分 其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有: abA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 8 93 2 9 1 0 8 8 3 2 8ABCD PE FQ 63105=.…………………………………………12分 18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF ,由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==, 所以PF BF ⊥………………………………2分在图1中,易得EF ==在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .…………………6分(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE .证明如下:因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP …………………………………………………………8分又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE ,所以//FQ 平面PBE .…………………………………………10分(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ………………………………11分 设点A 到平面PBE 的距离为h,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, ……………………………………12分即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=, 所以ABE PBE S PF h S ∆∆⋅===, 即点A 到平面PBE 的距离为.………………………14分 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>), 依题意,19242b -==,所以2b =…………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C的方程为22154x y +=. ……………………………………5分 (Ⅱ)设(),Q x y (其中22154x y +=),………………………………………………………………………6分 圆P的方程为()2221x y t t +-=+, ………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥, 所以Q M ==4t =+……………………9分当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值,且maxQM==,解得3182t =<(舍去). …………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值,且maxQM==,解得218t =,又102t <<,所以t =………………………………13分综上,当t =时,QM的最大值为.………………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.………………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==.………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②.…………………………………4分于是当2n ≥时，n a =…③.…………………………………………………………………5分将②、③代入①式，可得=+，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n =-=+，于是()241n b n =+.…………………………………………………6分则()41n a n n ===+.……………………………………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………10分（Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ……………………………………………………………………14分 方法二:()()()()1111111111414122242n n n c a a n n n n n n n n +⎛⎫=+=+==- ⎪+++++⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =. 因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=,所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.……3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x+-'=+-=， 令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），………………………………5分且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x 的极小值点为x =.……6分 ⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =2x a =-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <<，则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………9分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………12分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =.……………………………………………………14分。
(理综)2014届佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
2014届佛山市普通高中高三教学质量检测（一）理科综合本试卷共12页，满分300分.考试时间150分钟.注意事项:1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A 或B ）填涂在答题卡上，并在答题卡右上角的 试室号”和座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑. 2•选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案答在试题卷上无效.3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷上各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案， 改液•不按以上要求作答的答案无效. 4.考试结束后，将答卷和答题卡一并交回.1•下列关于细胞分化、衰老、癌变和凋亡的叙述，错误的是A •造血干细胞分化成白细胞的过程不可逆B .衰老细胞具有水分减少、代谢减慢等特征C .分化和癌变过程中均发生遗传物质的改变D .凋亡是由基因控制的程序性死亡2. 下图表示某绿色植物细胞内部分物质的转变过程，有关叙述正确的是” ① !丙豳議卜—T I ? ____________ __（-） （-） —A .该过程只能在有光的条件下进行，无光时不能进行 B. 图中（一）、（二）两阶段产生［H ］的场所都是线粒体 C. 图中（三）阶段产生的水中的氢都来自葡萄糖D .图中①、②两物质依次是 H 2O 和02 3•下列实践活动包含基因工程技术的是 A •水稻F i 花药经培养和染色体加倍，获得基因型纯合新品种B .将含抗病基因的重组 DNA 导入玉米细胞，经组织培养获得抗病植株C .抗虫小麦与矮秆小麦杂交，通过基因重组获得抗虫矮秆小麦D •用射线照射大豆使其基因结构发生改变，获得种子性状发生变异的大豆然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂 一、单项选择题：本大题共 16小题，每小题只有一个选项符合题目要求，选对的得4分•共64分•在每小题给出的四个选项中,4分，选错或不答的得 0分.某弃耕地杂草丛生，生活着田鼠、鼬等动物，下列有关说法正确的是A .杂草、田鼠和鼬构成了生物群落B .用样方法可以调查某种田鼠的种群密度C. 草7鼠7鼬这条食物链中，第三营养级含有的能量最少D .同种田鼠的不同个体通过生存斗争实现共同进化 为探究影响扦插枝条生根的因素，某兴趣小组以同一植物的枝条为材料，用营养素和生 长调节剂X 处理后，得到的实验结果如右下图所示。
2014年广东高考理科数学试卷(纯word版含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}【品题】B.考查集合的并集，目测就可以得出结果. 2、已知复数z 满足(34)25,i z +=则z = A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 【品题】A.考查复数的运算，()()()25342534343434i z i i i i ⋅-===-++⋅- 3、若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A ．8 B.7 C.6 D.5【品题】C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=，4、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等D.焦距相等【品题】D.考查双曲线，注意到两条双曲线的22234c a b k =+=-相等，故而选D. 5、已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）【品题】B.考查向量的夹角与运算，将ABCD 四个选项代入1cos ,cos602a b a b a b⋅===⋅即可选出正确答案6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，20【品题】D.考查分层抽样.总人数为10000人，100002%200⋅=，其中高中生抽取20002004010000=⋅人，故抽取的高中生近视人数为4050%20⋅=人7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定 【品题】D.考查空间直线的位置关系.可利用正方体来判断，易得答案. 8、设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.130 B.120 C.90 D.60【品题】A.考查分类计数原理、排列组合.先分成3类，4个0、3个0、2个0 （1）4个0①4个0，1个1：155C =②4个0，1个-1：155C = （2）3个0：①3个0，2个1：2510C =②3个0，1个1,1个-1：115420=C C ⋅年级③3个0，2个-1：2510C =（3）2个0①2个0，3个1：3510C =②2个0，2个1,1个-1：215330C C ⋅= ③2个0，1个1，2个-1：215330C C ⋅= ④2个0，3个-1：3510C =综上所述，所有的可能性有130种【品味小题】选择很基础了，第8题稍微要一点点细心.答案是BACDBDDA ，选项延续了多年答案3221的模式二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、不等式125x x -++≥的解集为【品题】(][),32,-∞-⋃+∞.考查简单的绝对值不等式，用几何意义很快得出答案. 10、曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 【品题】53y x =-+.考查复合函数求导、切线方程.'5'05,|5xx y e y -==-=-，故切线方程为53y x =-+.本题易错点在符合函数求导忘记乘以5-.11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为【品题】16.考查分步技术原理和古典概型.基本事件731010120C C ==种，包括6且6为中位数的，前3个数从0—5六个数中选3个，后三个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有3620C =种，从而概率为16.本题主要分析准确6为7个数的中位数这个条件就可以很快做出来.12、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则ab=【品题】2.考查正余弦定理，边角互化.222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，化简即可.13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+， 则1220ln ln ln a a a +++=【品题】50.考查等比数列的基础知识.依题意有51011a a e ⋅=，所求等式左边()10501011ln ln 50a a e =⋅==（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________【品题】()1,1.考查极坐标方程.212:,:1C y x C y ==，联立方程很快得出结果15、（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF 【品题】9.考查相似三角形面积比等于相似比的平方.【品填空题】10是易错点、11题有点新意；10、12、13等等是广东07—13年高考考过的. 【品小题】难度适中，出得不错。
2014-2015年广东省佛山一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
（Ⅰ）证明：平面 A1AE⊥平面 A1DE； （Ⅱ）若 DE=A1E，试求异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角 C﹣A1D﹣E 的余弦值．
21． （14 分）已知函数 （1）当 围；
．
时，如果函数 g（x）=f（x）﹣k 仅有一个零点，求实数 k 的取值范
A．
B．
C．
D．
8． （5 分）对于下列命题： ①命题“∃ x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀ x∈R，x2+1≤3x”； ②在△ABC 中“∠A＞∠B”的 充要条件是“sinA＞sinB”； ③设 a=sin ，b=cos ，c=tan ，则 c＞a＞b； 个单位，
④将函数 y=2sin （3x+ 得到函数 y=2sin（x+ 其中真命题的个数是（ A．4 B．1 C．2
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五、解答题（共 80 分） 16． （12 分）已知 （1）求 f（x）的周期及其图象的对称中心； （2）△ABC 中， 角 A、 B、C 所对的边分别是 a、b、c，满足（2a﹣c） cosB=bcosC， 求 f（B）的值． 17． （12 分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签 约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约， 否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为 ，乙、丙面试合格的概率都是 ， 且面试是否合格互不影响． （Ⅰ）求至少有 1 人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数 ξ 的分布列和数学期望． 18． （14 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥底面 ABC，∠BCA=90°，AP=AC， 点 D，E 分别在棱 PB，PC 上，且 BC∥平面 ADE （Ⅰ）求证：DE⊥平面 PAC； （Ⅱ）当二面角 A﹣DE﹣P 为直二面角时，求多面体 ABCED 与 PAED 的体积比． ．
广东省佛山市南海区2014届高三入学摸底考试数学理试题 Word版含答案
佛山市南海区2014届普通高中高三质量检测理科数学试题2013.8 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（ ）（A ）{|01}x x << （B ）{}21<<x x （C ）{}20<<x x （D ） {|2}x x > 2．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ）（A ） 1 （B ） 1- （C ）（D ）3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）（A ） 1 （B ）53（C ） 2 （D ） 3 4．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是： （A ）假设a ，b ，c 至多有一个是偶数 （B ）假设a ，b ，c 至多有两个偶数 （C ）假设a ，b ，c 都是偶数 （D ）假设a ，b ，c 都不是偶数5．若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．101x ⎫⎪⎭的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（ ）（A ） 0 （B ） 2 （C ） 4 （D ） 67．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（ ）（A ） 4 （B ） 8 （C ） 16 （D ） 328．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 （ ）（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2014佛山一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】
佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学理试题一、选择题：1．已知函数lg y x =的定义域为A ，{}01B x x =≤≤，则AB =（ ）A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12．设i 为虚数单位，若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数，则实数m =（ ）A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ，最大值为A ，则（ ）A ．T π=，A = B . T π=，2A = C ．2T π=，A = D ．2T π=，2A = 4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示，其中俯视图是中心角为60︒的 扇形，则该几何体的体积为（ ） A ．3π B ．23π C ．π D ．2π 5．给定命题p ：若20x ≥，则0x ≥；命题q ：已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件. 则下列各命题中，假命题的是（ ）A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2- 7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22，则输出的s 的值为（ ） A ．232 B ．211 C ．210 D ．1918．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于 某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值a b， 称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时，数表的所有可能 的“特征值”最大值为（ ） A ．3 B ．43C ．2D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到 的概率都为19，则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面 积等于_________.13． 如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则k 的值为_____.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程)在极坐标系中，设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点 分别为A 、B ，则AB = .15．(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知 3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且2a =，B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17．(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高(单位：cm )分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高(单位：cm )分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 排球队 篮球队图4A..A C DB EF图5 图6 A BC D P EF18．(本题满分14分)如图5，矩形ABCD 中，12AB =，6AD =，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且3DE =，4BF =，将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示)，连结AP 、EF 、PF ，其中PF =(Ⅰ)求证：PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19．(本题满分14分)如图7所示，已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >)，且经过1F 、2F ，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M，当QM 时，求t 的值.图720．(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，1,2,3,n =. （Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----.21．(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.解法二图ABCD PEFH2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：CABD DCBD二、填空题：9．180 10．,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．24 13．3 14． 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．【解析】(Ⅰ)B C =，∴c b =，……2分,又a =，∴22223cos 2ba c bB ac +-===……5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==……7分，所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin 33B B ππ=+……10分12424=+⨯38=. …………………………………………………………12分 17．【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分 (Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, 所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………6分203)0(15141311===C C C C X P ,()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,……………………………10分，所以X 的分布列为所以X 的数学期望202022012030=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分 18．(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==，在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==，所以PF BF ⊥…………2分，在图1中易得EF ==PEF ∆中，222612081EF PF PE +=+==，所以PF EF ⊥………………………………………4分又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . ………………6分(Ⅱ)方法一：以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,(6,8,P , 排球队篮球队1817 161510 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP =,(FP =,()6,5,0EF =, …………8分 设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x yz ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得()5,6,0=-n ,…………12分，设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅===n n.所以直线AP 与平面PEF . ………14分 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ，由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥，又EFPF F =，EF ⊂平面PEF ，PF ⊂平面PEF ，所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. …………9分，在Rt APF∆中，AP =分，在AEF ∆中，由等面积公式得AF ADAH EF ⋅==…………13分，在RtAPH ∆中,sin AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF . ………………………………………………14分 19．【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>),依题意,19242b -==,所以2b = …………2分 又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ………………6分，圆P 的方程为()2221x y t t +-=+………7分 因为PM QM⊥，所以QM===分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM取得最大值，且max2QM ==,解得3182t =<(舍去). ………11分，当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值，且max2QM ==,解得218t =,又102t <<,所以t =……13分，综上,当t =,QM . ……………14分 20．【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.……1分，由2212a b b =，可得222136a b b ==. ……2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因数列{}na 、{}nb 的每一项都是正数，所以1n a +=②......................4分，于是当2n ≥时，n a ③. (5)分 将②、③代入①式，可得是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n -=+，于是()241n b n =+.………6分，由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n ==+.………7分当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .…………………………9分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>,所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分 当1n =时，1277<.……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭. 当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭.…12分，当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=.…13分 综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭.当4n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<.………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=.……13分 综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 21．【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.…………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=，所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. …3分 （Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=，令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x 分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a ⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a =-(舍去).a -，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=，令()0f x '=，得24210x a x ---=，记2416a ∆=-， 若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x，4x 且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x 和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2xx a x+>…（*） （ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx<，0x a +≥，不等式（*）恒成立； （ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1a ≠； （ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x >-+恒成立.令()ln 2x g x x x =--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x xg x x --+'=<， 因此()ln 2x g x x x =--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值，所以ln 2xa x x<--不可能恒成立. 令()ln 2xh x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。
2014年广东省佛山市南海区高考数学模拟试卷(理科)
2014年广东省佛山市南海区高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设a是实数，且，则实数a=（）A.-1B.1C.2D.-2【答案】B【解析】解：===+∈R∴=0即a=1故选B．根据复数代数形式的乘除运算公式进行化简，再依据复数为实数时虚部为零，建立等式关系，求出a即可．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念，同时考查了计算能力，属于基础题．2.设a∈R，则“a=4”是“直线l1：ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：当a=4时，直线4x+2y-3=0与2x+y-4=0平行，∴满足充分性；当：ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0平行⇒a=4，∴满足必要性．故选C根据直线ax+2y-3=0与直线l2：2x+y-a=0的斜截式，求出平行的条件，验证充分性与必要性即可．本题考查充要条件的判定．3.已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P（-2≤ξ≤2）=（）A.0.477B.0.625C.0.954D.0.977【答案】C【解析】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞2）=0.023，则P（ξ＜-2）=0.023，故P（-2≤ξ≤2）=1-P（ξ＞2）-p（ξ＜-2）=0.954，故选：C．画出正态分布N（0，1）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果．本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．4.设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则以下命题正确的是（）A.若m∥n，m⊥β，则n⊥βB.若m∥n，m∥β，则n∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若n⊥α，n⊥β，则α⊥β【答案】A【解析】解：由m∥n，m⊥β，则n⊥β；故A正确；若m∥α，m∥β，则α与β可能平行与可能相交，故B错误；若m∥α，m∥β，α、β可能相交，故C错误；由n⊥α，n⊥β，则α∥β，故D错误；故答案为A．根据空间中面面垂直的判定方法，面面平行的判定方法，及线面垂直的判定方法逐一对题目中的四个结论进行判断，即可得到答案．本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定和性质，建立良好的空间想象能力是解答此类题的关键．5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】解：当输入的值为n=5时，n不满足上判断框中的条件，n=16，k=1n不满足下判断框中的条件，n=16，n满足上判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足下判断框中的条件，n=8，n满足判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足下判断框中的条件，n=4，n满足判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足下判断框中的条件，n=2，n满足判断框中的条件，n=1，k=5，n满足下面一个判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选B．根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6.函数f（x）=x-cosx的零点个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】解：函数f（x）=x-cosx的零点，即函数y=x与y=cosx图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y=x与y=cosx的图象，如下图所示：由图可知：函数y=x与y=cosx的图象有5个交点，故函数f（x）=x-cosx有5个零点，故选：C将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，结合图象，问题容易解得．本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．7.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．故选B．由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，结合三视图的数据，利用体积公式得到结果．本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出所给的几何体的形状和长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题．8.设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足，，，则对、，λ∈R，下列结论恒成立的是（）A. B.f（||•+||）=f[f（）+f（）] C.f（||•）=f（） D.f （||•+||）=f[f（）+f（）]【答案】C【解析】解：根据题意，映射f（）的对应法则是将零向量对应到零向量，将一个非零向量对应到与之同向的单位向量，因此可得对于A，若向量、是方向相反且模不相等的两个非零向量，则，且=+=，所以，得A项不正确；对于B，若向量、是方向相反且模不相等的两个非零向量，则||•+||不是零向量，可得f（||•+||）=而f[f（）+f（）]=f（）=，故f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得B项不正确；对于C，若=，则f（||•）=f（）=；若≠，则f（||•）=且f（）=，得f（||•）=f（）由以上的分析，可得对任意向量，均有f（||•）=f（）成立，故C项正确；对于D，若向量且，则f（||•+||）=f（）=而f[f（）+f（）]=f[+•）=•，因此，f（||•+||）≠f[f（）+f（）]，可得D项不正确故选：C由映射f的对应法则，可得f（）将零向量对应到零向量，将一个非零向量对应到与之同向的单位向量．由此对C项进行证明，可得对任意向量均有f（||•）=f（）成立，得C正确；而对于A、B、D利用映射f的对应法则结合向量的运算性质，分别举出反例加以说明，即可得到A、B、D均不正确．由此得到本题答案．本题给出定义域为向量集的一个映射f，要我们验证关于映射f的几个等式中哪一个正确．着重考查了平面向量的线性运算法则和映射的概念等知识，属于中档题．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7= ______ ．【答案】20【解析】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故答案为：20．根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本．10.已知变量x，y满足约束条件．若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为______ ．【答案】a＞【解析】解：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）取得最大值，由图知，-a＜-解得a＞故答案为a＞本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.已知关于x的二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为______ ．【答案】2【解析】解：二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32，∴2n=32，∴n=5；∴=，令，可得r=3，∵展开式的常数项是80，∴，解得a=2．故答案为：2．利用二项式系数的和，求出n，通过二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，即可求出a的值．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，考查计算能力．12.已知函数f（x）=，，＜＜，则f（x）dx= ______ ．【答案】【解析】解：∵根据定积分的几何意义，就等于单位圆的面积的四分之一，∴=又==，∴f（x）dx=+=．故答案为：．根据微积分基本定理求出即可．本题主要考查了微积分基本定理和定积分的几何意义，属于基础题．13.已知直线y=a交抛物线x2=4y于A，B两点，若该抛物线上存在点C使得∠ACB为直角，则a的取值范围为______ ．【答案】[4，+∞）【解析】解：如图所示，可知A（-2，a），B（2，a），设C（2m，m2），则=（2m+2，m2-a），=（2m-2，m2-a）．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=0，即4m2-4a+（m2-a）2=0．∴m2=a-4≥0，解得a≥4．∴a的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．确定A（-2，a），B（2，a），设C（2m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0，即可得到a的取值范围．本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14.（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为______ ．【答案】相交【解析】解：把直线l的参数方程化为普通方程得：2x-y+1=0，把圆C的极坐标方程化为平面直角坐标系的方程得：x2+=2，所以圆心坐标为（0，），半径r=，因为圆心到直线l的距离d=＜r=，所以直线l与圆C的位置关系为相交．故答案为：相交把直线l的参数方程化为普通方程，把圆C的极坐标方程化为直角坐标系中的方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，比较d与半径r的大小即可判断出直线l与圆C的位置关系．此题考查学生会将极坐标方程化为直角坐标系的方程及会将参数方程化为普通方程，掌握直线与圆位置关系的判断方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．15.如图，已知R t△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为4cm、3cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为______ cm．【答案】【解析】解：∵易知AB==5，又由切割线定理得BC2=BD•AB，∴32=BD•5，∴BD=．故答案为：．由已知R t△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为4cm，3cm，利用勾股定理，我们易求出AB的长，再由切割线定理，易得BD的长度．本题是考查圆的切割线定理及运用，我们要注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其应用；2．圆周角与弦切角定理的内容及其应用；3．圆幂定理的内容及其应用；4．圆内接四边形的性质与判定．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．【答案】解：（1）∵==．（4分）而f（x）的最小正周期为π，ω为正常数，∴，解之，得ω=1．（6分）（2）由（1）得．若x是三角形的内角，则0＜x＜π，∴＜＜．令，得，∴或，解之，得或．由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且，∴，，∴．（10分）又由正弦定理，得．（12分）【解析】（1）先借助诱导公式把角化成相同的角，即sin（ωx+）=cos[-（ωx+）]=cos[（ωx+）-]=cos（ωx-），然后借助二倍角公式化成一个角一个函数的形式根据周期公式即可求出ω的值．（2）由三角函数值为可求出相应的两个角A，B．由内角和求出C角，利用正弦定理即可求出答案．本题主要考查三角函数的诱导公式，二倍角公式和三角函数的周期及其求法，并结合解斜三角形知识考查了正弦定理等知识．属于三角函数章节与解斜三角形的综合考查．17.一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记a k=1；出现“×”，则记a k=-1，令S n=a1+a2+••+a n．（Ⅰ）当p=q=时，记ξ=|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当p=，q=时，求S8=2且S i≥0（i=1，2，3，4）的概率．【答案】解：（I）∵ξ=|S3|的取值为1，3，又，∴P（ξ=1）=，P（ξ=3）=（4分）∴ξ的分布列为（5分）∴Eξ=1×+3×=．（6分）（II）当S8=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i≥0（i=1，2，3，4），若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．故此时的概率为或（12分）【解析】（I）ξ=|S3|的取值为1，3，故欲求ξ的分布列，只须分别求出取1或3时的概率即可，最后再结合数学期望的计算公式求得数学期望即可；（II）由S8=2知，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又S i≥0（i=1，2，3，4）知包括两种情形：若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；或者若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．分别求出它们的概率后求和即得．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列、古典概率及数据计算的能力，属于基础题．18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．【答案】解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形．∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）∵=，∴=，，在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），，，，，，．则，，，，，，，，，，，．∴，∴OE∥PF，∵OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，∴OE∥平面PDC．…（9分）（Ⅲ）设平面PDC的法向量为，，，直线CB与平面PDC所成角θ，则，即，解得，令z1=1，则平面PDC的一个法向量为，，，又，，，则＜，＞，∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．…（14分）【解析】（Ⅰ）由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，从而证得PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出和的坐标，由可得OE∥PF，从而证得OE∥平面PDC．（Ⅲ）设平面PDC的法向量为，，，直线CB与平面PDC所成角θ，求出一个法向量为，，，又，，，可得和夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值．本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，把CB和平面PDC所称的角的正弦值转化为CB和平面PDC的法向量夹角的余弦值，是解题的难点和关键．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a=，设b n=，数列{b n}的前n项和为T n．求证：T n＞2n-．【答案】（Ⅰ）解：∵S n=（a n-1），∴n=1时，，解得．…（2分）当n≥2时，有a n=S n-S n-1=，解得，…（4分）∴{a n}是首项为a，公比为a的等比数列．…（5分）∴．…（6分）（Ⅱ）证明：∵a=，∴a n=，…（7分）∴==+==1-+1+=2-（-），…（9分）由＜，＞，得＜，…（11分）∴＞2-（），…（12分）∴=b1+b2+…+b n＞[2-（）]+[2-（）]+…+[2-（）]=2n-[（）+（）+…+（）]=2n-（）＞2n-．即T n＞．…（14分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出{a n}是首项为a，公比为a的等比数列，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由a=，得a n=，=2-（-）＞2-（），由此利用裂项求和法能证明T n＞．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20.一动圆与圆：外切，与圆：内切．（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程．（Ⅱ）设过圆心O1的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点，请问△ABO2（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．由题意，动圆与圆：外切，与圆：内切∴|MO1|=R+1，|MO2|=3-R，∴|MO1|+|MO2|=4．（3分）由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，∴b2=a2-c2=4-1=3．∴动圆圆心M的轨迹L的方程为．（6分）（2）如图，设△ABO2内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形△ABO2的面积=当最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大，（7分）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），则，（8分）由，得（3m2+4）y2+6my-9=0，解得，，（10分）∴，令，则t≥1，且m2=t2-1，有，令，则，当t≥1时，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，，即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为，∴存在直线l：x=1，△ABO2的内切圆M的面积最大值为．（14分）【解析】（1）利用动圆与圆：外切，与圆：内切，可得|MO1|=R+1，|MO2|=3-R，∴|MO1|+|MO2|=4，由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心M的轨迹L的方程；（2）当最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，求得最值，即可求得结论．本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确运用椭圆的定义，确定最大时，r也最大，△ABO2内切圆的面积也最大21.已知f（x）=x-（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+∞]内的一切实数x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2.71828…是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，…，x k都有f（x1）+f（x2）+…+f（x k-1）≤16g（x k）成立；（3）求证：＞ln（2n+1）（n∈N*）．【答案】解：（1）设点（x0，y0）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0-2①∵，∴②由②得，2x0-2=bx0，代入①得x0=1，所以b=0，则g（x）=2lnx．由f（x）≥g（x），即，整理得，∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2-2xlnx恒成立．设h（x）=x2-2xlnx，，∵，∴当x≥1时，h''（x）≥0，则h'（x）是增函数，∴h'（x）≥h'（1）=0，∴h（x）是增函数，则h（x）≥h（1）=1，∴a≤1．又a＞0，因此，实数a的取值范围是0＜a≤1．（2）当a=1时，，∵＞，∴f（x）在[e，3]上是增函数，f（x）在[e，3]上的最大值为．要对[e，3]内的任意k个实数x1，x2，…，x k，都有f（x1）+f（x2）+…+f（x k-1）≤16g （x k）成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，∵当x1=x2=…=x k-1=3时不等式左边取得最大值，x k=e时不等式右边取得最小值．∴（k-1）f（3）≤16g（3），即，解得k≤13．因此，k的最大值为13．（3）证明：1°当n=1时，左边=，右边=ln3，根据（1）的推导有，x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x），即＞．令x=3，得＞，即＞．因此，n=1时不等式成立．2°假设当n=k时不等式成立，即＞，则当n=k+1时，＞，要证n=k+1时命题成立，即证＞，即证＞．在不等式＞中，令，得＜．∴n=k+1时命题也成立．综上所述，不等式＞对一切n∈N*成立．【解析】（1）首先设出直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，把切点代入两曲线方程后联立可求得b的值，解出g（x）后把f（x）和g（x）的解析式代入f（x）≥g（x），分离变量a后对函数进行两次求导得到函数在区间[1，+∞）内的最小值，则实数a的范围可求；（2）当a=1时可证得函数f（x）在[e，3]上为增函数，而g（x）也是增函数，把不等式左边放大取最大值，右边取最小值，代入后即可求解最大的正整数k；（3）该命题是与自然数有关的不等式，采用数学归纳法证明，由归纳假设证明n=k+1成立时，穿插运用分析法．本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、数学归纳法等综合知识，考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识，属难题．。
2014年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学参考答案与评分标准(细则)
2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．18012．(,1]-∞ 13．3-14．15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又2a =，所以222cos 2a c b B ac +-=， …………………3分 23b=……4分,=……………………5分解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分 ∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分 又2sin cos B B B =………………………………………4分 ∵sin 0B ≠，∴cos B =……………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==7分 （注：直接得到sin B =不扣分） 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………8分 sin cos cossin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12=…………………………………………………………11分 =. …………………………………………………………12分 17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. …………………………………………………5分 （注：写对茎叶图3分，方差结论正确2分）(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人,其中3人来自ACD PEFQ排球队,记为,,a b c , ……………………………6分2人来自篮球队,记为,A B ,……………………………7分则从5人中抽取3名同学的基本事件为: abc ,abA ,abB ,acA ,acB ,aAB ,bcA ,bcB ,bAB ,cAB 共10个；……………………………9分其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有: abA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是63105P ==.………………………………………12分 18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF ,由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==, 所以PF BF ⊥………………………………2分在图1中,易得EF ==……3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分 又BF EF F = ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .…………………6分 （注：学生不写BF EF F = 扣1分）(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE . ………………………………………………7分 （注：只讲存在Q 满足条件1分） 证明如下: 因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP ……………………………8分 又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE ,所以//FQ 平面PBE .…………………………………………10分 （注：学生不写FQ ⊄平面PBE ,扣1分）(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ………………………………11分 设点A 到平面PBE 的距离为h ,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, ……………………………………12分即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=, 所以36273ABE PBE S PF h S ∆∆⋅⨯===,即点A 到平面PBE 的距离为3.………………………14分（注：指出A PBE P ABE V V --=给1分，若能最终得到结果3给4分） 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ………1分,所以2b = ……………………2分 又1c =, …………3分,所以2225a b c =+=, ……………………………4分排球队 篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8所以椭圆C 的方程为22154x y +=. ………………………………………………………………………5分(Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分圆P 的方程为()2221x y t t +-=+, ………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==…………………8分=……………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且max2QM==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, …………………………………………12分且maxQM==解得218t =,又102t <<,所以t =………………………………13分综上,当t =,QM . ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=. 由2212a b b =，可得222136a b b ==.………………2分 （Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②. …………………………………4分于是当2n ≥时，n a .将②、③代入①式，可得6分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列， (7)分()122n d n -=+，于是()241n b n =+.则()41n a n n ==+9分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………10分 （Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.……………………12分于是1231111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ……………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, …………………………………………………………………2分 所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.………………………………………………………3分（注：有求导思想，虽然运算不对，给1分）（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=， 令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），………………………………5分 且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =.……6分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ………………………………7分当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a <-(舍去). 8分a ≤-，即2a ≤-，则()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………9分① 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， ……………………………………10分若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………12分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当22a -≤≤时,()f x 的极小值点为x a =-；当2a >,()f x的极小值点为4a x -=.14分注：第二问：3大类，每类全正确给3分；（1）若步骤清晰（即求导，解方程，比较两根大小，明确单调区间，得到极值），但计算不全对，给2分；（2）有这个思路，但步骤不清晰，给1分；。
广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测(一)数学文试题(含答案)
佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则AB =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．已知,a b R ∈，i 为虚数单位,若211ia bi i-+=+,则实数a b += A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 3．设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,1A =B . 2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A = 4．已知1=a ,(0,2)=b ,且1=a b ,则向量a 与b 夹角的大小为A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π 5．给定命题p :若x R ∈,则12xx+≥； 命题q :若0x ≥，则20x ≥. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是图2中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3π B ．23π C ．π D ．2π7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 8．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为A ．22B ．16C ．15D ．119．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 A ．13 B ．12 C ．3 D ．210．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A ． 32B ．43C ． 2D ． 3二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(9～13题)11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.若()3f a ≤，则a 的取值范围是 .13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实排球队 篮球队图4数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?18.(本题满分14分)如图5,矩形A B C D 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且A. .ACDBEF图5图6ABCD PEF图73DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、PF ,其中PF =(Ⅰ) 求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ?若存在,求出点Q 的位置；若不存在,请说明理由.(Ⅲ) 求点A 到平面PBE 的距离.19.(本题满分14分)如图7,椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM 的最大值为2时,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,,...3,2,1=n . （Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）记1111n n n c a a +=+，证明：对一切正整数n ，有123111138n c c c c ++++<.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．180 12．(,1]-∞ 13．3- 14． 15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………………2分又2a =， 所以2223co 2ba cb B ac +-===5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin 4B ==， ……………………………………………………………7分 所以s i63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭s33B B ππ=+………………………………………………10分 12=+=. …………………………………………………………12分17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. …………………………………………………5分(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人,其中3人来自 排球队,记为,,a b c ,2人来自篮球队,记为,A B ,则从5人中抽 取3名同学的基本事件为:abc ,abA ,abB ,acA ,acB ,aAB ,bcA ,bcB ,bAB ,cAB 共10个；……………………………9分其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有:排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 9 2 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8AB CD PEFQabA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是63105=.…………………………………………12分 18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF ,由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==, 所以PF BF ⊥………………………………2分 在图1中,易得EF ==在PEF∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以P F ⊥………………………………………4分又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .…………………6分(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE .证明如下:因为23A Q AP =,23AF AB=,所以//FQ BP …………………………………………………………8分又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE,所以//FQ 平面PBE .…………………………………………10分(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P A B E -的高. ………………………………11分 设点A到平面PBE的距离为h,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, ……………………………………12分即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=, 所以853ABE PBE S PF h S ∆∆⋅===, 即点A 到平面PBE 的距离为.………………………14分 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>), 依题意,19242b -==,所以2b =…………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C的方程为22154x y +=. ……………………………………5分(Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=),………………………………………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+, ………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥, 所以Q M =-==……………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值,且max2QM=,解得3182t =<(舍去). …………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值,且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =………………………………13分综上,当4t =时,QM的最大值为2.………………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.………………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. ………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +…②.…………………………………4分于是当2n ≥时，n a .…………………………………………………………………5分将②、③代入①式，可得是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n-=+，于是()241nb n=+.…………………………………………………6分则()41na n n===+.……………………………………………………………7分当1n=时，18a=，满足该式子，所以对一切正整数n，都有()41na n n=+.…………………………10分（Ⅲ）方法一:2111114441na n n n n⎛⎫==-⎪++⎝⎭，所以111111142n n nc a a n n+⎛⎫=+=-⎪+⎝⎭.……………………12分于是12311111111111114324112nc c c c n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L11113142128n n⎛⎫=+--<⎪++⎝⎭.……………………………………………………………………14分方法二:()()()()1111111111414122242n n nc a a n n n n n n n n+⎛⎫=+=+==-⎪+++++⎝⎭.……………………12分于是12311111111111114324112nc c c c n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L11113142128n n⎛⎫=+--<⎪++⎝⎭.………………………………………………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a=，则()()11ln2f x x x x=+-，此时()12f=.因为()1212f x xx'=+-，所以()512f'=,所以切线方程为()5212y x-=-，即5210x y--=.……3分（Ⅱ）由于()1ln2f x x x a x=+-，()0,x∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=， 令()0f x '=，得10x =>，20x <（舍去），………………………………5分且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =……6分 ⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a -(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………9分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x 且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………12分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =x a =-，极大值点为x =当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；x=……………………………………………………14分。
(理综)2014届佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
2014届佛山市普通高中高三教学质量检测（一）理科综合本试卷共12页，满分300分．考试时间150分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上．用2B铅笔将答题卡试卷类型（A或B）填涂在答题卡上，并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案答在试题卷上无效．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试结束后，将答卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分．共64分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分．1．下列关于细胞分化、衰老、癌变和凋亡的叙述，错误的是A．造血干细胞分化成白细胞的过程不可逆B．衰老细胞具有水分减少、代谢减慢等特征C．分化和癌变过程中均发生遗传物质的改变D．凋亡是由基因控制的程序性死亡2．下图表示某绿色植物细胞内部分物质的转变过程，有关叙述正确的是A．该过程只能在有光的条件下进行，无光时不能进行B．图中（一）、（二）两阶段产生[H]的场所都是线粒体C．图中（三）阶段产生的水中的氢都来自葡萄糖D．图中①、②两物质依次是H2O和O23．下列实践活动包含基因工程技术的是A．水稻F1花药经培养和染色体加倍，获得基因型纯合新品种B．将含抗病基因的重组DNA导入玉米细胞，经组织培养获得抗病植株C．抗虫小麦与矮秆小麦杂交，通过基因重组获得抗虫矮秆小麦D．用射线照射大豆使其基因结构发生改变，获得种子性状发生变异的大豆4．某弃耕地杂草丛生，生活着田鼠、鼬等动物，下列有关说法正确的是A．杂草、田鼠和鼬构成了生物群落B．用样方法可以调查某种田鼠的种群密度C．草→鼠→鼬这条食物链中，第三营养级含有的能量最少D．同种田鼠的不同个体通过生存斗争实现共同进化5．为探究影响扦插枝条生根的因素，某兴趣小组以同一植物的枝条为材料，用营养素和生长调节剂X处理后，得到的实验结果如右下图所示。
2014年佛山市高中阶段学校招生考试数学试卷解析
2014年佛山市高中阶段学校招生考试数学试卷说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分120分，考试时间100分钟。
注意事项：1、 试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上。
2、 要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑。
3、 其余注意事项，见答题卡。
第Ⅰ卷（选择题）（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，答案选项填涂在答题卡上） 1、2-等于A 、2B 、2-C 、21 D 、21- 2、一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是A 、三棱柱B 、三棱锥C 、四棱柱D 、四棱锥 3、下列调查中，适合用普查方式的是A 、调查佛山市市民的吸烟情况B 、调查佛山市电视台某节目的收视率C 、调查佛山市市民家庭日常生活支出情况D 、调查佛山市某校某班学生对“文明佛山”的知晓率4、若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为 A 、1：4 B 、1：2 C 、2：1 D 、1：165、若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是 A 、15° B 、30° C 、45° D 、75°6、下列函数中，当0>x 时，y 值随x 值的增大而减小的是 A 、x y = B 、12-=x y C 、xy 1=D 、2x y = 7、据佛山日报2014年4月4日报道，佛山市今年拟投入70亿元人民币建设人民满意政府，其中民生项目资金占99%，用科学记数法表示民生项目资金是A 、81070⨯元 B 、9107⨯元 C 、81093.6⨯元 D 、91093.6⨯元 8、多项式ab b a b a --222的项数及次数分别是 A 、3，3 B 、3，2 C 、2，3 D 、2，2 9、下列说法正确的是A 、10=a B 、夹在两条平行线间的线段相等C 、勾股定理是222c b a =+ D 、若21--x x 有意义，则1≥x 且2≠x 10、把24个边长为1的小正方体木块拼成一个长方体（要全部用完），则不同的拼法（不考虑放置的位置，形状和大小一样的拼法即为相同的拼法）的种数是 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在答题卡上） 11、如图，线段的长度大约是_________厘米（精确到0.1厘米）； 12、计算：()___________323=aa ；13、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-<>-32123x x x 的解集是______________________；14、如图是一副三角板叠放的示意图，则_______=∠α；15、如图，AC ⊥BC ，AC=BC=4，以BC 为直径作半圆，圆心为O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB 。
佛山市2014年高三教学质量检测(一)理科数学
图12014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则A B =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,A = B . T π=,2A = C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A = 4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3π B ．23π C ．π D ．2π5．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2- 7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的 比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表 的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43 C ．2 D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.排球队 篮球队图4A..A CD BEF 图5 图6ABCD PEF如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M,当QM 的最大值为2时,求t 的值.图数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n = .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<---- .21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围. \2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准9．18010．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．2413．13 14． 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又a =， 所以222cos 2a c b B ac+-=， ………………………………………………………3分23b= ……………………………………………………………………4分=……………………………………………………………………5分 解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分又2sin cos B B B = ………………………………………4分∵sin 0B ≠， ∴cos B =.……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B==，………………………………………………………………7分（注：直接得到sin B =）所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………………………………………………8分sin cos cos sin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12424=+⨯…………………………………………………………11分 38=. …………………………………………………………12分17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）解法二图 A C D P E F H(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………5分 （注：正确写出X 的值1分）203)0(15141311===C C C C X P , ()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分 （注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）……………………………………………11分 所以X 的数学期望20232062*********=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分 （注：若学生将X 写成ξ 本次不扣分，但要告诉学生，在高考中会不得分）18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==,在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF ⊥ ………………………………………2分在图1中,易得EF ==………………………………………3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥ ………………………………………4分 又BF EFF = ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . (6)分（注：学生不写扣1分） (Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,(6,8,P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP =,(FP = ,()6,5,0EF =, …………8分设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x yz ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得()5,6,0=-n ,………………………………………………………………………………12分排球队 篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 9 2 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅=== nn. 所以直线AP 与平面PEF. ………………………………………………14分 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED所以PF AH ⊥,又EF PF F = ,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF , 所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. ………………………………………………………9分在Rt APF ∆中,AP …………………………………………11分在AEF ∆中,由等面积公式得AF AD AH EF ⋅==…………………………………………………13分 在Rt APH ∆中,sin 427AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF. ………………………………………………14分19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ……………………………………………………………………1分 所以2b = …………………………………………………………2分 又1c =, …………………………………………………………3分所以2225a b c =+=, …………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………………………………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==8分=…………………………………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且max QM ==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, …………………………………………12分且max 2QM ==,解得218t =,又102t <<,所以4t =………………………………13分综上,当4t =,QM的最大值为2. ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. …………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=， …………………………………4分因为数列{}n a 、{}n b的每一项都是正数，所以1n a +…②.于是当2n ≥时，n a …③. …………………………………………………………………4分将②、③代入①式，可得 …………………………………………………………5分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，（注：学生不写上述陈述扣1分）()122n d n -=+，于是()241n b n =+. …………………………………………………6分 由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n +. …………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………8分 （注：学生从特殊到一般归纳猜想出,n n a b 的解析式各1分，正确证明通项公式各2分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .…………………………9分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>, …………………………10分所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分 当1n =时，1277<. ……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<---- ……………………………14分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. ……………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. …………………………………………13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭.当4n ≥时,2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<. ……………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, …………………………………………………2分 所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. ……………………………………………3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞. ⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x+-'=+-=， ……………………………………………4分令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =…5分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ……………………………………6分① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a <-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， ……………………………………8分若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x ，4x 且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x 的极小值点为x =…………………………………………………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2xx a x +>…（*） …………………………………………………11分 （ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx <，0x a +≥，不等式（*）恒成立；（ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1a ≠；…………………………………………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x>-+恒成立.令()ln 2x g x x x=--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x x g x x --+'=<， 因此()ln 2xg x x x =--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值，所以ln 2xa x x<--不可能恒成立.令()ln 2xh x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。
广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测(一)数学文试题
佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则A B =IA ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．已知,a b R ∈，i 为虚数单位,若211ia bi i-+=+,则实数a b += A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 3．设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,1A =B . 2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A = 4．已知1=a ,(0,2)=b ,且1=g a b ,则向量a 与b 夹角的大小为A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π5．给定命题p :若x R ∈,则12x x+≥； 命题q :若0x ≥，则20x ≥. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是图2中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3πB ．23πC ．πD ．2π7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = －0.054那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 8．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为A ．22B ．16C ．15D ．11 9．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 A ．13 B ．12C 3D 210．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A ． 32B ．43C ． 2D ． 3二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(9～13题)11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.若()3f a ≤，则a 的取值范围是 .13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.排球队 篮球队图4(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?18.(本题满分14分)A. .CDBEF图5图6ABCD PEF图7如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、PF ,其中PF =(Ⅰ) 求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ?若存在,求出点Q 的位置；若不存在,请说明理由.(Ⅲ) 求点A 到平面PBE 的距离.19.(本题满分14分)如图7,椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM 的最大值为2时,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,,...3,2,1=n . （Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）记1111n n n c a a +=+，证明：对一切正整数n ，有123111138n c c c c ++++<L .21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．18012．(,1]-∞13．3-14．15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)因为B C=，所以c b=，……………………………………………………………………2分又2a=，所以22223cos2ba c bBac+-===， (5)分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin4B==，……………………………………………………………7分所以sin63f Bππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin33B Bππ=+………………………………………………10分12424=+⨯38+=. …………………………………………………………12分17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. …………………………………………………5分(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm的同学恰有5人,其中3人来自排球队,记为,,a b c,2人来自篮球队,记为,A B,则从5人中抽取3名同学的基本事件为:abc,abA,abB,acA,acB,aAB,bcA,bcB,bAB,cAB共10个；……………………………9分排球队篮球队181716103689258329108832AB CD PEFQ其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有: abA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是63105=.…………………………………………12分 18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF ,由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==, 所以PF BF ⊥………………………………2分在图1中,易得EF ==在PEF∆中,222612081EF PF PE+=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分又BF EF F =I ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .…………………6分(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE .证明如下:因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP …………………………………………………………8分又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE,所以//FQ 平面PBE .…………………………………………10分(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ………………………………11分 设点A到平面PBE的距离为h,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, ……………………………………12分即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=, 所以ABE PBE S PF h S ∆∆⋅===, 即点A 到平面PBE 的距离为3.………………………14分 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>), 依题意,19242b -==,所以2b =…………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C的方程为22154x y +=. ……………………………………5分 (Ⅱ)设(),Q x y (其中22154x y +=),………………………………………………………………………6分 圆P的方程为()2221x y t t +-=+, ………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥, 所以QM ===……………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值,且max2QM==,解得3182t =<(舍去). …………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值,且maxQM==,解得218t =,又102t <<,所以t =………………………………13分综上,当t =时,QM的最大值为2.………………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.………………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. ………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，…………………………………4分 于是当2n ≥时，na=.…………………………………………………………………5分 将②、③代入①式，可得=，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n =-=+，于是()241n b n =+.…………………………………………………6分 则()41n a n n ==+.……………………………………………………………7分当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………10分（Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭.……………………………………………………………………14分 方法二:()()()()1111111111414122242n n n c a a n n n n n n n n +⎛⎫=+=+==- ⎪+++++⎝⎭.……………………12分 于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭.………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分) 【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=,所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.……3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=， 令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），………………………………5分且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =……6分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =2x a <-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即02a <<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………9分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………12分... 综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x 和x a =-，极大值点为x =当22a -≤≤时,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =……………………………………………………14分。
【名师解析】广东省佛山市普通高中2014届高三上学期教学质量检测(一)数学(理)试题 Word版含解析
佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学理试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则AB =（ ）A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12.设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =（ ）A ．3-B ．3-或1C ．3或1- D ．13.设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ,则（ ）A ．T π=,A =B . T π=,2A =C ．2T π=,A =D ．2T π=,2A =4.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为（ ） A ．3π B ．23π C ．π D ．2π5.．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是（ ）A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-7.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191【答案】B8.将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43C ．2D ．32第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分，将答案填在答题纸上）(一)必做题(9～13题)9.一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 .10.不等式321x x +>-的解集为_________. 【答案】{}243x x -<<【解析】试题分析：不等式等价于210321x x x -≥⎧⎨+>-⎩，或210312x x x-<⎧⎨+>-⎩，解得142x ≤<，或2132x -<<，故不等式解集为{}243x x -<<.考点：绝对值不等式解法.11.若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______. 【答案】8 【解析】试题分析：令1x =，得012340a a a a a ++++=①；令1x =-，得0123416a a a a a -+-+=②，两式相加得0248a a a ++=. 考点：二项式定理.12.设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13.如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.考点：1、二元一次不等式组表示的平面区域；2、直线的方程.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．【解析】试题分析：由圆的切割线定理知，2AD AB AC =⋅，所以AB =BC =BC 中点E ，连接OE ，则OE BC ⊥，连接OB ，在RT OBE ∆中，OE ==考点：1、圆的切割线定理；2、垂径定理；3、勾股定理.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.所以X 的分布列为所以X 的数学期望2023202201200=⨯+⨯+⨯=EX .考点：1、茎叶图；2、方差；3、离散型随机变量的分布列和期望.排球队篮球队图4排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 818.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM 时,求t 的值.【答案】 (Ⅰ) 22154x y +=；(Ⅱ)4. 【解析】试题分析：(Ⅰ)求椭圆的标准方程，“先定位后定量”，由题知焦点在x 轴，且1c =，由点到直线的距离求b ，再由222a b c =+求a ，进而写出椭圆的标准方程；(Ⅱ)圆P 的圆心为()0,P tPM ，则PM QM ⊥，设点(),Q x y ，在RT PQM ∆中，利用勾股定理并结合22154x y +=，表示()QM f y =，其中22y -≤≤，转化为自变量为y 的二次函数的最值问题处理.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n =.（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<----. 【答案】(Ⅰ)2224,36a b ==；（Ⅱ）()41n a n n =+，()241n b n =+；（Ⅲ）答案详见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)依题意，12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=，并结合已知18a =，116b =，利用赋值法可求2a 、试题解析：(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=，由2212a b b =，可得222136a b b ==.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L . 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>,所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . 当1n =时，1277<.综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=.综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）5210x y --=；（Ⅱ）当2a <-时,()f x 的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =2a -≤≤时,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x 的极小值点为x （Ⅲ）()1,-+∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）1a =时，()()11ln 2f x x x x =+-，先求切线斜率k =()512f '=，又切点为(1,2)，利用直线的点斜式方程求出直线方程；（Ⅱ）极值点即定义域内导数为0的根，且在其两侧导数值异号，首先求得定义域为()0,+∞，再去绝对号，分为0a ≥和0a <两种情况，其次分别求()0f x '=的根并与定义域比较，将定义域外的舍去，并结合图象判断其两侧导数符号，进而求极值点；（Ⅲ）()0f x >即ln 2xx a x +>，当()0,1x ∈时，显然成立；当1x =时，-1a ≠，当1x >时，去绝对号得ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x>-+恒成立，转换为求右侧函数的最值处理.试题解析：()f x 的定义域为()0,+∞.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a <-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即02a <， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增，()f x的极小值点为x =② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x ，4x 且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减.综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；f x的极小值点为x=当a>,()。
广东省佛山市普通高中2014届高三上学期教学质量检测(一)数学(文)试题 含解析
佛山市普通高中2014届高三教学质量检测(一)数学文试题 第Ⅰ卷(共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则AB =（)A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12。
已知,a b R ∈，i 为虚数单位，若211ia bi i-+=+，则实数a b +=（ ）A ．2B ．3C ． 4D ．53。
设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ，最大值为A ,则（ )A ．T π=,1A =B .2T π=,1A = C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A =4。
已知1=a ,(0,2)=b ，且1a b ⋅=,则向量a 与b 夹角的大小为( ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π【答案】C 【解析】试题分析：∵1,2a b ==,1a b ⋅=,∴1cos 2a b a bθ⋅==⋅,故a 与b 的夹角为3π。
考点:1、向量的模；2、向量的夹角。
5。
给定命题p ：若x R ∈，则12x x+≥； 命题q ：若0x ≥,则20x≥.则下列各命题中，假命题的是（ ) A ．p q∨ B ． ()p q ⌝∨ C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示，其中俯视图是中心角为60︒的扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．3π B ．23π C ．π D ．2π【答案】D 【解析】试题分析：由题意知道，该几何体体积是圆柱体积的16，即212326V ππ=⨯⨯⨯=。
考点：1、三视图;2、几何体体积.7.若函数32()22f x xx x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1） = －2 f (1.5) = 0.625f （1。
25） =－0.984f （1.375) = －0.260f （1。
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图12014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则A B =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 22y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,A =B . T π=,2A =C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A =4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3π B ．23π C ．π D ．2π5．给定命题p :若20x ≥，则0x ≥；命题q :已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数 表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的 比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时, 数表 的所有可能的“特征值”最大值为A ．3B ．43C ．2D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．(一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.A. .ACDBEF图5图6ACD PEF17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,直线90x --=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM 的排球队 篮球队图4最大值为2时,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n = .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<---- .21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．9．180 10．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．24 13．13 14． 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又2a =， 所以222cos 2a c b B ac+-=， ………………………………………………………3分23b =……………………………………………………………………4分4=……………………………………………………………………5分 解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 22B B =………………………………………3分又2sin cos sin 2B B B =………………………………………4分 ∵sin 0B ≠，∴cos 4B =.……………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin 4B ==，………………………………………………………………7分 （注：直接得到sin 4B =不扣分） 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………8分 sin cos cossin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12424=+⨯ …………………………………………………………11分38=. …………………………………………………………12分 17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………5分 （注：正确写出X 的值1分）203)0(15141311===C C C C X P , ()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分 （注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，排球队 篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8解法二图ACD PEFH共计3分）所以X 的分布列为……………………………………………11分 所以X 的数学期望20232062201112030=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分 （注：若学生将X 写成ξ 本次不扣分，但要告诉学生，在高考中会不得分） 18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==,在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF ⊥ ………………………………………2分 在图1中,易得EF ==………………………………………3分 在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥ ………………………………………4分 又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . ………………6分（注：学生不写BF EF F = 扣1分）(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,(6,8,P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(0,8,AP =,(0,0,FP =,()6,5,0EF = , …………8分设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 令6y =-,得()5,6,0=-n ,………………………………………………………………………………12分设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅===n n. 所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为427. ………………………………………………14分 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED所以PF AH ⊥,又EF PF F = ,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF , 所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. ………………………………………………………9分在Rt APF ∆中,AP ===…………………………………………11分在AEF ∆中,由等面积公式得AF ADAHEF ⋅==…………………………………………………13分在Rt APH ∆中,sin427AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为427. ………………………………………………14分 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ……………………………………………………………………1分所以2b = …………………………………………………………2分 又1c =, …………………………………………………………3分所以2225a b c =+=, …………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………………………………………………………5分(Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==8分=…………………………………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且maxQM==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分 当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, …………………………………………12分且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =.………………………………13分综上,当4t =时,QM 的最大值为2. ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. …………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=， …………………………………4分因为数列{}n a 、{}n b的每一项都是正数，所以1n a +=…②.于是当2n ≥时，n a =.…………………………………………………………………4分将②、③代入①式，可得 …………………………………………………………5分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，（注：学生不写上述陈述扣1分）()122n d n -=+，于是()241n b n =+. …………………………………………………6分 由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n ==+. …………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………8分 （注：学生从特殊到一般归纳猜想出,n n a b 的解析式各1分，正确证明通项公式各2分） （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .…………………………9分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>, …………………………10分所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分 当1n =时，1277<.……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<---- ……………………………14分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭. 当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. ……………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. …………………………………………13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭.当4n ≥时,2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<. ……………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, …………………………………………………2分 所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. ……………………………………………3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=， ……………………………………………4分 令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去）， 且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =. …5分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ……………………………………6分① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x,2x a -(舍去).a -，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；若4a a -+>-，即02a <<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， ……………………………………8分若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为4a x --=和x a =-，极大值点为4a x -+=；当22a -≤≤时,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x 的极小值点为x =…………………………………………………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞. 由()0f x >，可得ln 2xx a x +>…（*） …………………………………………………11分 （ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx <，0x a +≥，不等式（*）恒成立；（ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1a ≠；…………………………………………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x >-+恒成立.令()ln 2x g x x x =--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x xg x x --+'=<，因此()ln 2xg x x x =--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值，所以ln 2xa x x<--不可能恒成立.令()ln 2x h x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x xh x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数，所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。