四川省新津中学2016届高三数学5月月考试题文

新津中学高三5月月考数学试题
文 科
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．
1. 已知集合{1,1}A =-,{|124}x B x =<<,则A B ⋂等于( ) A ．{-1,0,1} B ．{1} C ．{-1,1} D ．{0,1} 2．若将复数1i
1i
+-表示为a + b i （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b = A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
3. “22a
b
>”是 “22log log a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4. 经过抛物线2
4x y =的焦点和双曲线2
2145
y x -=的右焦点的直线方程为 A ．330x y +-= B ．330x y +-=
C ．4830x y +-=
D ．4830x y +-=
5.已知向量π(cos ,2),(sin ,1),tan()4
ααα=-=-且∥，则a b a b =（ ）
A ．3
B. 3-
C. 31 D .3
1-
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
12 B ．1 C ．3
2
D ．3 7. 设变量,x y 满足约束条件20
701
x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则y x 的最大值为（ ）
A ．95
B ．3
C ．4
D ．6
8. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为﹣4，则输出y 的值为（）
A.0.5
B.1
C.2
D.4
9. 设0.94a =，0.4
8
b =，2log 17
c =，则正确的是（ ）
A.a b c >>
B. .c a b >>
C. c b a >>
D.
10. 已知函数π
sin 1,0
()2
log (01),0
a x x f x x a a x 且⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是 A. (0,
)5
B. 5
C. 3
D. (0,3
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 把答案直接填在题目中的横线上.
11. 某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号应该是 ． 12. 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，.
AN AB AC λμ=+则λμ+的值
为 .
13. 实数a ∈[0，3]，b ∈[0，2]，则关于x 的方程x 2+2ax +b
2
=0有实根的概率是__________. 14. 已知圆C 过点(1,0)-，且圆心在x 轴的负半轴上，直线:1l y x =+被该圆所截得的弦长为则圆C 的标准方程为 ．
15. 对任意实数[],x x 表示不超过x 的最大整数，如[][]3.63, 3.64=-=-，关于函数
1()[
]33
x x
f x +=-，有下列命题：①()f x 是周期函数；②()f x 是偶函数；③函数()f x 的值域为(0,1)；④函数()()cos π
g x f x x =-在区间(0,π)内有两个不同的零点，其中正确的命题为 ．（把正确答案的序号填在横线上）．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分. 解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )A A =m ,1)=-n ,且 1⋅=m n ，A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x =+∈R 的值域.
17.（本小题满分12分）
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；
（Ⅱ）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人
数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区
服务次数在区间[20,25)内的概率.
18．(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=，
AB CD <， SD ⊥平面ABCD ，AB AD a ==
，SD =． （Ⅰ）求证:平面SAB ⊥平面SAD ；
（Ⅱ）设SB 的中点为M ，且DM MC ⊥,试求出四棱锥S ABCD -的
体积
19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足2
1123222,()2
n n n
a a a a n -+++
+=
∈N*. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n n a n b )12(-=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20. （本小题满分13分）
已知直线10x y +-=与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，
AM BM =-，且点M 在直线1
:2
l y x =上,
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆2
2
1x y +=上，求椭圆的方程。

A
B
C
D M S
21.（本小题满分14分）
已知函数()ln f x x a x =-，1()(a g x a x
R)+=-
∈，
（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若在[1,e]e 2.7182=上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围.
新津中学高三5月月考数学试题（文科）
参考答案及解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.
1.B 【解答】因为集合{1,1}A =-，{|124}x B x =<<{|02}x x =<<,所以A B ⋂={1}．
2.B 【解答】因为
1i
=i,0,11-i a b +==所以. 3.B 【解答】由22a b
>，则a b >，但不能说明,a b 是正数，则不是充分条件.而22log log a b >能得到
0a b >>.
4. B 【解答】因为抛物线2
4x y =的焦点(0,1),双曲线2
2145
y x -=的右焦点(3,0),所以经过(0,1)和(3,0)直线方程为330x y +-=.
5.B 【解答】由 (cos ,2),(sin ,1),2sin cos ,a a αα=-=-=且∥，则a b a b 化简得1
tan 2
a =-，则 πtan 1
tan()341tan ααα
--==-+.
6. C 【解答】因为三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的
高为1，所以几何体的体积V =
13×12×3×1×3=32
． 7. D.【解答】利用线性规划作出平面区域后，0
y y x x -=-表示区域上的点与原点连线的斜率，代入点
(1,6)符合题意.
8. C.【解答】按照程序框图运行三次即可.
9. B.【解答】 由0.9
1.824
22=<，0.4 1.2 1.8822=<，222log 17log 1642>==，则c a b >>.
10. A. 【解答】只需函数log ()(01),0a y x a x =-<<<与函数π
sin 1,02
y x x =-<
至少有3个交点，所以2log 52log a a a ->-=，所以
2555a a ->⇒-
<<，从而(0,5
a ∈.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，
共25分.
11. 18.【解答】根据各数之间的间隔相等，易知该数是18，过程略. 12. 1
.
2
【解答】因为M 为BC 边上任意一点，可设(1)AM xAB yAC x y =++=. 因为N 为AM 中点，所以
111111
..222222AN AM xAB y AC AB AC x y λμλμ==+=++=+=
13. 23
.【解答】方程有实根时，△=（2a ）2﹣4b 2≥0，即a 2≥b 2．记方程x 2+2ax +b 2
=0有实根的事件为
A ．设点M 的坐标为（a ，b ），由于a ∈[0，3]，b ∈[0，2]，所以，所有的点M 对构成坐标平面上一个区域（如图中的矩形OABC ），即所有的基本事件构成坐标平
面上的区域OABC ，其面积为2×3=6．由于a 在[0，3]上随机抽取，b 在[0，2]上随机抽取，所以，组成区域OABC 的所有基本事件是等可能性的．又由于满足条件0≤a ≤3，且
0≤b ≤2，且a 2≥b 2
，即a ≥b 的平面区域如图中阴影部分所
示，其面积为
1
2
×（1+3）×2=4，所以，事件A 组成平面区域的面积为4，所以P （A ）=46=2
3．所以，方程
x 2+2ax +b 2=0有实根的概率为23．故答案为：2
3
．
14. 22
(3)4x y ++=.【解答】设圆C 的圆心C 的坐标为(,0),0a a <，则圆C 的标准方程为
222()x a y r -+=.圆心C 到直线:1l y x =+的距离为：d =，又因为该圆过点(1,0)-，所以其
半径为1r a =+.由直线:1l y x =+被该圆所截得的弦长为2
22
2d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪
⎝⎭
，即2
221a +=+，解之得：3a =-或1a =（舍）.所以12r a =+=，所以圆C 的标准方程为22
(3)4x y ++=.
15. ①③.【解答】由于431(3)[[]][1[1]]()3333
x x x x
f x f x ++++=-=+-+=，所以()f x 是周期函数，3是它的一个周期，所以①对；0,[0,2)1()[[]]1,[2,3)
33x x x
f x x ∈⎧+==-=⎨
∈⎩结合周期性不难得到函数()f x 的值域{}0,1，所以③对，②错；0,[0,2)[3,π)1()[[]]1,[2,3)33x x x
f x x ∈⋃⎧+==-=⎨
∈⎩
，所以()()cos πg x f x =-有三个零点13
,22
和2，所以④错.故填①③.
三、解答题：本大题共6个小题，共75分.
16. 【解答】（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,A A =-=m n ………2分
1
2sin()1,sin().662
A A ππ-=-= ………4分
由A 为锐角得πππ(,)663
A -
∈-, ,.663
A A πππ
-
==………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1
cos ,2
A =………7分
所以2()cos22sin 12sin 2sin f x x x x x =+=-+
213
2(sin ).22
x =--+………9分
因为x ∈R ，则[]sin 1,1x ∈-， 当1
sin 2
x =
时， ()f x 有最大值32.
当sin 1x =-时，()f x )有最小值3-，………11分
故所求函数()f x 的值域是33,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.………12分
17. 【解答】（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10
0.25M
=，所以40M =. 因为频数之和为40，所以1025240m +++=，3m =. 33
40
p M ==
. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以25
0.125405
a =
=⨯. ……6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有360人，分组[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为90人. （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有325+=人， 设在区间[20,25)内的人为{}123,,,a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b .
则任选2人共有121311122321(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a b a b a a a b 22(,),a b 313212(,),(,),(,)a b a b b b 10种情况， 而两人都在[20,25)内共有121323(,),(,),(,)a a a a a a 3种， 至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.37
11010
p =-=.……12分
18. 【解答】（Ⅰ）证明：90,.A AB AD ∠=∴⊥ 又SD ⊥平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，
SD AB ∴⊥，.………………2分 AB ∴⊥平面SAD ，. …………………………………4分
又AB ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD . ……………………………6分
（Ⅱ） 连结BD ,90A ∠=︒,AB AD a ==
,BD ∴=,SD DB ∴=,45BDA ∠=︒,
又M 为SB 中点, DM SB ∴⊥ . ……………… 8分 由条件DM MC ⊥，MC SB M ⋂=,
DM SBC ∴⊥面,又BC SBC ⊂面,则DM BC ⊥,
由（1）可知SD BC ⊥,SD DM D ⋂=,BC SDB ∴⊥面,则BC BD ⊥, (10)
分
由平面几何知识，则BDC ∆是等腰直角三角形， 则
2DC a ==，
故3112()3322
S ABCD ABCD a a V S SD a a -+=⋅=⋅=..……… 12分
19. 【解答】（Ⅰ）∵2
1123222,()2
n n n
a a a a n -+++
+=
∈N* ①
A B C D M
S
P
∴当2≥n 时，2
212311
222,()2
n n n a a a a n ---++++=
∈N* ② ………2分
由①-②得，1
122n n a -=
，1
2n n a ∴=.
……………………4分 又∵11
2a =
也适合 ， ……………………………………………………5分 ∴1
()2
n n a n ∴=∈N* . ……………………………………………………6分
（Ⅱ）由（1）知()1212n n b n =-, ∴()231111
135212222
n n S n =++++-, ③
()234111111
1352122222
n n S n +=++++-,④……………8分 由③-④得：
()2311111112()21222222n n n S n +=++++++-()
11
11
(1)1142221122
12
n n n -+-=++
+-- ()11111121222n n n -+=+-++-1323
22
n n ++=-,…11分 ∴23
32n
n S +=-.………………………………………………………12分 20. 【解答】设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,
（ I ）由AM BM =-知M 是AB 的中点，………………1分
由2222101x y x y a b
+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()222222220a b x a x a a b +-+-=,……………4分
()22
1212122222
22,2a b x x y y x x a b a b +=+=-++=++ ,………5分
M ∴点的坐标为2222
22,a b a b a b ⎛⎫
⎪++⎝⎭,
又M 点的直线l 上：
22
2
222
20a b a b a b -=++
,
…………6分 ()222222a b a c ==-, 222a c ∴=
c e a ∴=
=……7分 （Ⅱ）由（1）知b c =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为(),0F b ，设(),0F b 关于直线 1
:2
l y x =的对称点为()00,x y ， ………………8分
则有 000001
1,221,22
y x b x b y -⎧=-⎪-⎪
⎨+⎪+⨯=⎪⎩
解得：003,5
4.5b x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
………………10分
由已知22
001x y +=， 2234()()155
b b ∴+=，………………11分
2
1b =.………12分
所求的椭圆的方程为2
212
x y +=.…………13分
21. 【解答】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x
-'=-=， --------2分
（Ⅱ）1()ln a h x x a x x +=+-，22221(1)(1)[(1)]
()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==
--------4分
①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； --------5分
②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>， 所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. -------6分
（III ）在[1,e]上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即 在[1,e]上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln a
h x x a x x
+=+
-在[1,e]上的最小值小于零. --------8分
由（Ⅱ）可知
①1e a +>，即e-1a >时，()h x 在[1,e]上单调递减，
所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0e a
h a +=+-<可得2e 1>e 1
a +-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1
>e 1
a +-；--------10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[1,e]上单调递增，
所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h =++<可得2a <-；--------12分
③当11e a <+<，即0e-1a <<时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1),
a a a <+< 故(1)2ln(1)2,h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +
<不成立. 综上讨论可得所求的范围是：2e 1
>e 1
a +-或2a <-.--------14分。