排列(第二课时)公开课教案

1.2.1 排 列 （第二课时）

2010-5-6 第六节 高二（3）教室

一 、教学目标：

1．知识与技能：

熟练掌握排列数公式；熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；

能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题

2．过程与方法：

通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，正确地解决的实际问题；

3. 情感、态度与价值观：

会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；培养学生严谨的学习态度

二 、教学重点与难点

教学重点：理解排列的概念, 熟练掌握排列数公式，分析和解决排列问题的基本方法，对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中

教学难点：分析和解决排列问题的基本方法，对于有约束条件排列问题的解答

三、 教学方法分析：

分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.

排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种

不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 排列的应用题是本节的难点，通过本节例题的分析，注意培养学生解决应用问题的能力．

在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．

在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一

个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．教学中指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.

四 、教学过程：

一、复习引入： 1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法

2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同

的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法

3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不

相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫

做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m

n A 表示 5．排列数公式：（1）(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（

,,m n N m n *∈≤）常用来求值，特别是,m n 均为已知时（2）公式m n A =!

()!n n m -，常用来证明或化简

6 .阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘0!1=． 7. 练习：1计算：5699610

239!A A A +=- ； 11(1)!()!n m m A m n ---=⋅- ．

2．解方程：3322126x x x A A A +=+．

二、讲解新课：

例1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任

意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有1

3A 种；

第二类用2面旗表示的信号有23A 种；

第三类用3面旗表示的信号有33A 种，

由分类计数原理，所求的信号种数是：12333333232115A A A ++=+⨯+⨯⨯=， 答：一共可以表示15种不同的信号

例2 将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一

位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？

分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车

上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有44A 种方法；

第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有4

4A 种方法，

利用分步计数原理即得分配方案的种数

解：由分步计数原理，分配方案共有4444576N A A =⋅=（种）

答：共有576种不同的分配方案

例3 从0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解法一：对排列方法分步思考。位置分析法

用分步计数原理：

所求的三位数的个数是：1299998A A ⋅=⨯⨯=

解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可以分成三类：元素分析法

每一位数字都不是0的三位数有3

9A 个，个位数字是0

的三位数有29A 个，十位数字是0的三位数有29A 个，

由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：

322999648A A A ++=． 解法3：间接法. 逆向思维法

从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为310A ，其中以0为排头的排列数为29A ，

因此符合条件的三位数的个数是32109648A A -=-29A ．

（有约束条件的排列问题）

一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法：

（l ）直接计算法

排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）

位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法．这些统称为“特殊元素（位置）优先考虑法”．

（2）间接计算法

先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间

接得出符合条件的排列种数. 这种方法也称为“去杂法”．在去杂时，特别注意要不重复，不遗漏.

例4. 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多

少个？

例5.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

解法一：（从特殊位置考虑）1360805919=A A ；

解法二：（从特殊元素考虑）若选：595A ⋅；若不选：69A ，则共有56995136080A A ⋅+=种；

解法三：（间接法）65109136080A A -=