中档题四
高考数学一天十道中档题 1-4(1)
《一天十道中档题》中档题（一）一、单选题1．已知函数221ln 11f x x x，则不等式 211f x f x 的解集为（）A ． ,01,B ． ,2C ．,20, D ．2,0 2．设函数 f x 的定义域为 ,11y f x R 为奇函数， 2y f x 为偶函数，若 2024f 1，则 2f （）A ．1B ．1C ．0D ．33．下列不等式中正确的是（）A ．11πeπeB ．1eπC ．2e2ππeD ．2π2e lnπ4．已知函数 e ,0,ln ,0,x x x f x x x ，若关于x 的方程 10f x a 的不同实数根的个数为4，则a 的取值范围为（）A ．11,1eB ．11,1eC ．11,1eD ．111,1ee5．已知函数 32697f x x x x ，直线l 过点 0,1且与曲线 y f x 相切，则直线l 的斜率为（）A ．24B ．24或3C ．45D ．0或45二、多选题6．已知函数 f x 的定义域为R ，且 21f x 的图象关于点1,02对称， 11f x f x ，则下列结论正确的是（）A ． f x 奇函数B ． f x 的图象关于直线2x 对称C ． f x 的最小正周期为4D ．若 12f ，则 12200f f f三、填空题7．已知0b ，函数 42bxxa f x 是奇函数，则ab ．8．设0a ，已知函数 2ln 2f x x ax 的两个不同的零点1x 、2x ，满足121x x ，若将该函数图像向右平移 0m m 个单位后得到一个偶函数的图像，则m．四、解答题9．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x且(e)3f ．(1)求实数a 的值；(2)若函数()() g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．10．设 2cos 1f x ax x ，a R .(1)当12a时，证明： 0f x ；(2)证明： *1114cos cos cos ,1233n n n n N L .中档题（二）一、填空题1．(1)已知0y x ，则42y x y x x y的最小值为.(2)设,0x y ，已知2xyx y，则22x y 的最小值为.(3)已知x >0，y >0，且3x y ，则141x y 的最小值为.(4)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ﹐且满足 222cos cos b a a B b A ，ABC 的周长为51，则ABC 面积的最大值为．(5)已知0a ，0b ，且1ab ，则111822a b a b的最小值为.(6)正实数x ，y 满足132x y时，则x y 的最小值为．(7)已知222x xy y ，则22x y 的最大值为.(8)已知0x ，0y ，2xy x y ，则xy 的最小值是．(9)设10,0,22x y y x，则1x y 的最小值为．(10)已知正实数x ，y 满足2x y ，则12x y的最小值为．二、多选题2．已知0a ，0b ，a b ab ，则（）A ．1a 且1bB ．4abC ．49a b D ．11b ab3．在ABC 中，角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，已知60B ，b 的是（）A ．若π4A ，则aB ．若1a ，则72cC ．ABC 周长的最大值为D ．ABC 面积的最大值124．若正实数,a b 满足1a b ，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a bC ．14a b的最小值是10D5．若0,0,1a b a b ，则下列不等式恒成立的是（）A ．14abB C ．2212a bD ．114a b6．下列说法正确的是（）A ．若12x，则函数1221y x x 的最小值为1 B ．若,,a b c 都是正数，且2a b c ，则411a b c的最小值是3C ．若0,0,26x y x y xy ，则2x y 的最小值是4D ．已知0xy ，则22222222x y x y x y 的最大值为4 7．设11a b ,，且()1ab a b ，那么（）A ．a b 有最小值21B ．a b 有最大值21C ．ab 有最大值3 .D ．ab 有最小值3 .8．已知x ，y 是正数，且21x y ，下列结论正确的是（）A ．xy 的最大值为18B ．224x y 的最小值为12C ． x x y 最大值为14D ．2x yxy最小值为99．下列结论正确的是（）A ．当1x 2B ．当54x时，14245x x 的最小值是5C ．当0x 时，1x x的最小值是2D ．设0x ，0y ，且2x y ，则14x y 的最小值是9210.已知不等式220ax bx 的解集是 12x x ．(1)求实数,a b 的值．(2)解不等式2203ax bx x ．一天十道中档题（三）一、单选题1．已知0a ，且1a ，若函数1()(ln )x f x a x a 在(1,) 上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．1(0,]eB ．1[,1)eC ．(1,e]D ．[e,)2．已知曲线:e x E y 与y 轴交于点A ，设E 经过原点的切线为l ，设E 上一点B 横坐标为(0)m m ，若直线//AB l ，则m 所在的区间为（）A ．10mB ．01mC ．312m D ．322m 3．设等比数列 n a 中，3a ，7a 使函数 3223733f x x a x a x a 在=1x 时取得极值0，则5a 的值是（）A ．BC ．D ．4．函数 y f x 在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ， f x f y f ， 11f ，则下列说法正确的是（）A ． 22f B ． f x 为奇函数C ． f x 在 0, 单调递减D ．若 4f x ，则2,2x 5．已知 0f x ，且0x 时， 22cos f x x f x ，若2π42πf ，若 22sin x f x g x x是常函数，则方程 1f x 在区间 0,1内根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．06．函数 y f x 的导数 y f x 仍是x 的函数，通常把导函数 y f x 的导数叫做函数的二阶导数，记作 y f x ，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，n 1 阶导数的导数叫做n 阶导数，函数 y f x 的n 阶导数记为n y f x ，例如e x y 的n 阶导数e e n x x ．若 e cos 2xf x x x ，则500f （）A ．50502 B ．50C ．49D ．49492 二、解答题7．已知函数 ln 0x f x x a a x.(1)讨论 f x 的最值；(2)若1a ，且 e x k xf x x≤，求k 的取值范围.8．已知函数 2ln ,R f x x a x a .(1)若函数 g x f x x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围;(2)讨论函数 2h x f x a x 的单调性.9．若函数 y f x 存在零点a ，函数 y g x 存在零点b ，使得1a b ，则称 f x 与 g x 互为亲密函数.(1)判断函数 22xf x x 与 1ln 210g x x x x是否为亲密函数，并说明理由；(2)若 1ex h x x 与 32212k x x mx m x m 互为亲密函数，求m 的取值范围.附：ln3 1.1 .10．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f (x )，g (x )满足:①图象在 ,a b 上是一条连续不断的曲线；②在 ,a b 内可导;③对 ,x a b ， 0g x ，则 ,a b ，使得f b f a fg b g a g .特别的，取 g x x ，则有： ,a b ，使得 f b f a f b a，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数 f x 满足 00f ，其导函数 f x 在 0, 上单调递增，证明：函数 f x y x在 0, 上为增函数.(2)若 ,0,e a b 且a b ，不等式ln ln 0a b b a m b a a b恒成立，求实数m 的取值范围.一天十道中档题（四）一、填空题1．已知实数,a b 满足221a ab b ，则ab 的最大值为；221111a b 的取值范围为．2．函数y 的值域为.3．2223164sin 20sin 20cos 20 ．4．在ABC 中，若sin(2)2sin A B B ，则tan B 的最大值为．5．设 ， 为锐角，且满足 22sin sin sin ，则 .6．已知锐角 ， 满足条件：4422sin cos 1cos sin ，则 .7．设G 为ABC 的重心，满足0AG BG .若11tan tan tan A B C ，则实数 的值为.二、单选题8．已知ABC 非直角三角形，G 是ABC 的重心，GA GB ，则tan tan tan tan tan A B C A B （）A ．12B ．1C D ．29．已知 ， 0,π ，且cos 10， 1tan 3 ，则2 （）A ．π4 或3π4B ．3π4 或π4C ．π4D ．3π410．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222222a b a b c c ab ，若ABC 为锐角三角形，则角B 的取值范围是（）A ．π0,6 B ．ππ,64C ．ππ,43D ．ππ,32 三、解答题11．ABC 中，求3sin 4sin 18sin A B C 的最大值。
专题 平行四边形模块中档大题过关20题(学生版)
平行四边形模块中档题过关30题（学生版）专题简介：本份资料包含平行四边形、矩形、菱形、正方形这四节的主流中档大题，所选题目源自近四年各名校试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，立意于让学生们用较短的时间刷考试最喜欢考的题、刷最有利于提分的好题，也适合于培训机构老师给学生进行专题复习时使用。
平行四边形一：平行四边形、矩形、菱形的性质汇总平行四边形矩形菱形⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⇔中点为中点为对角线：互相平分邻角互补对角相等角的方向位置关系大小关系边的方向平行四边形BD O AC O 二：平行四边形的判定：两个条件，五种判定方法⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧OD OB OC OA 分对角线：对角线互相平等角的方向：两组对角相两组对边相等两组对边平行一组对边平行且相等边的方向平行四边形的判定1．（长郡）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．AC 平分DAE ∠．（1）若50AOE ∠=︒，求ACB ∠的度数；（2）求证：AE CF =．角=90对角线相等邻边相等对角线垂直2．（2021秋•长沙期中）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD 交BD于点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数．3．（2018•吉林模拟）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB＝CF；（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．4.（明德）在平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且DF=CF，连接AE，AF，并延长AF交BC 的延长线于点P.(1)求证：△ADF≌△PCF；(2)若AE=2,AF=4,∠EAF=60∘，求PE的长。
中考数学 中档题突破 专项训练九 综合与实践
解：在△ABD和
△ACD中， AB＝AC，
AD＝AD， DB＝DC， ∴△ABD≌△A三角形全等．
(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求 △ABD≌△ACD的概率． 树状图：
所有可能出现的结果有(①②)，(①③)，(②①)，(②③)，(③①)， (③②)．共有六种等可能的情况，其中符合条件的有(①②)，(①③)， (②①)，(③①)四种， 令△ABD≌△ACD为事件A，则P(A)＝23.
80×100＝8 000 (m2)．
【尝试应用】 同学们从以上解决方法中得到启发并提出解决上述问题的另一思路：若 按如图②所示，划分出一块三角形土地AMN种植乙种作物，其余土地种 植甲种作物，则AM应该取多长？
解：【尝试应用】AM应该取160 m.
【拓展应用】 现要把另一块长AB为200 m、宽AD为100 m的长方形土地建成花园小广 场，设计方案如图③所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直 角三角形)，空白区域为活动区，且四周出口宽度一样(EF＝GH＝MN＝ PQ)，设EF＝x m(55≤x≤60)．当出口宽为多少米时，活动区的面积最 大？最大面积是多少？ 【拓展应用】当出口宽为60 m时，活动区的面积 最大，最大面积是17 200 m2.
1.95
n
0.066 9
【问题解决】 (1)上述表格中：m＝33..7 755，n＝22..00； (2)①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状 差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现 荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是BB (选填字母)同学；
专项训练九 综合与实践
1．(2022·玉林)问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图 形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD.若以其中 两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
黑龙江绥化市五年(2018-2022)中考化学真题分题型分层汇编-04选择题(中档题)
黑龙江绥化市五年（2018-2022）中考化学真题分题型分层汇编-04选择题（中档题）一．氧气的化学性质（共1小题）1．（2019•绥化）下列有关氧气的说法中正确的是（）A．氧气能支持燃烧，可做燃料B．铁丝在氧气中燃烧生成三氧化二铁C．硫在氧气中燃烧发出蓝紫色火焰D．红磷在空气中燃烧产生大量白雾二．固体溶解度曲线及其作用（共1小题）2．（2021•绥化）A、B两种固体物质的溶解度曲线如图所示。
下列说法中正确的是（）A．A的溶解度大于B的溶解度B．将接近饱和的B溶液变成饱和溶液，可采取升高温度的方法C．40℃时，A、B两种物质的溶液溶质质量分数相等D．20℃时，将等质量的A、B两种物质的饱和溶液升温到40℃，所得溶液中溶剂的质量相等三．金属的化学性质（共1小题）3．（2022•绥化）下列有关实验现象的描述中，不正确的是（）A．铁丝在氧气中剧烈燃烧，火星四射，放出大量的热，生成四氧化三铁B．在木炭还原氧化铜的实验中，试管中的现象是固体由黑色变为红色C．用砂纸打磨过的镁条放入稀盐酸中，镁条表面有气泡产生D．二氧化碳通入紫色石蕊溶液中，石蕊溶液由紫色变为红色四．酸的化学性质（共2小题）4．（2020•绥化）下列关于实验现象描述不正确的是（）A．打开盛有浓盐酸的试剂瓶盖，瓶口上方会出现白雾B．镁条在空气中燃烧发出耀眼的白光，生成白色固体C．将空气中燃着的硫粉伸入氧气瓶中，火焰由黄色变为蓝紫色D．把生锈的铁钉放入足量的稀盐酸中，溶液先由无色变为黄色，一段时间后有气泡生成5．（2020•绥化）下列图象分别对应四个变化过程，能正确反映对应变化关系的是（）A．向等质量的氧化锌和氢氧化锌中分别加入相同浓度的稀盐酸至过量B．用氯酸钾和二氧化锰混合加热制取氧气C．气体物质的溶解度与温度和压强的关系D．在恒温条件下，将饱和氯化钠溶液蒸发适量水五．中和反应及其应用（共1小题）6．（2022•绥化）恰好中和100g溶质质量分数为8.0%的氢氧化钠溶液，需要100g溶质质量分数为7.3%的稀盐酸。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
中档题04函数及其表示(定义域、分段函数)(含答案,直接打印)
√
1. ① =
(
的定义域为______. ②log (3 − 2)的定义域是______③若 = [lg( + 1)]定义域为(0,99)
)
求 = [log ( + 2)]的定义域是______．
2. 函数 ( ) = √1 − 2 +
()
(
的定义域为_________；函数
解得
16 − > 0, −4 < < 4.
如图所示，由数轴可得函数的定义域为{ | − 4 < < − 或0 < < }．
5.【答案】[0,3)
()
1⩽2 ⩽8
解：因为 ( )的定义域为[1,8]，要使 有意义，则
解得0 ⩽ < 3．
−3≠0
6.【答案】 − , 1 解： ( − 1)的定义域为[−1,4]，即−1 ≤ ≤ 4，所以−2 ≤ − 1 ≤ 3，
( + 1), < 4
+2 , ≤0
10. 已知 ( ) =
( ) , ≥4
，则 (log 3) =______；已知函数 ( ) =
( − 2)
,
，则 >0
(2020) =______．
+2 , ≤0
11. 已知函数 ( ) =
( − 2)
,
，则 >0
(2020) =______．
log ( > 0)
| + 1|, ≤ 0
23. 设 ( ) =
，若 ( ) = 有四个不同的解 <
<
< ，则 ( + ) +
高中数学中档题1,4
高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。
上海初二上学期数学中档题
上海初二上学期数学中档题训练1姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1．小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s(千米)与骑车的时间t （分钟）之间的函数关系如图4所示，请根据图中信息回答下列问题： （1）小强去学校时下坡路长 千米； （2）小强下坡的速度为 千米／分钟； （3）若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是 分钟．2、在直角坐标系xOy 中，正比例函数x y 21-=图像上的点A 、B 的坐标分别为（4，m ）、 （n ，2），反比例函数xky =的图像过点A ．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 求反比例函数的解析式．3．要对一块长为60米，宽为40米的长方形场地进行绿化和硬化，设计方案如图5所示，长方形P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面的宽相等，并且两块绿地面积的和为长方形ABCD 面积的14，求P 、Q 为两块绿地周围的硬化路面的宽．1 分钟（图4）BC D（图5）4．如图6，已知四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OA ＝OD ，∠1＝∠2＝∠3，∠BAC ＝90°，DH ⊥BC 于H ，DH 交AC 于E .（1）求证：AB=DC ；（2）求证：DE ＝12OC .（图6）BCH中档题训练2 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1．已知正比例函数x y 5=与反比例函数xky =交于A 、B 两点，其中A 的横坐标为1． 求A 、B 的坐标与反比例函数的解析式．2．某工地利用一面16米长的墙和简易板材围一个面积为140平方米的长方形临时堆场，已知和墙平行的一边要开一个宽为2米的门，除留作门以外部分的板材总长度为32米，求这个长方形临时堆场的尺寸。
3．已知在同一坐标系中，正比例函数kx y =（其中0≠k ），反比例函数xt y =（其中0≠t ）的图像没有交点，试判断关于x 的方程02=+-kt ax x 的根的情况并说明理由．4．如图，在△ABC中，BD=2AC，CD⊥BC，E是BD的中点，求证：∠A=2∠B．中档题训练3 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图像提供的信息，回答以下四问题：（1）张强跑步去体育场所行的路程y(千米)关于时间x(分)的函数解析式为；（2）体育场离早餐店千米；（3）张强从早餐店回家的平均速度是千米/小时.2．如图所示的一块地，AD=9m，CD=12m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．3．上海一家特产专营店销售临安小核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专营店销售小核桃要想平均每天获利2240元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克小核桃应降价多少元？4．如图，已知ABC ∆中，090∠=ABC ,=AB BC ,AE 是∠BAC 的角平分线交BC 于点E ，过点C 作⊥CD AE 与AE 的延长线交于D 点，分别延长CD 与AB 交于F 点．求证：12=CD AE（第4题图）AB E CD F中档题训练4 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1．已知：线段b a 、（如图3）．求作：ABC ∆，使得b AC AB ==，a BC =． （不必写作法，保留痕迹和写出结论）2．如图4，正比例函数)0(≠=k kx y 与反比例函数xy 2-=的图像交于点),1(m A -和点 B ．求点B 的坐标．3．如图5，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ，10=AB ，DE 垂直平分AB ，分别交BC AB 、于点E D 、．求CE 的长．D AB C E 图54．如图6，BC AD //，︒=∠90A ，BC AB =，点E 是AB 的中点，CE BD =． （1）求证：CE BD ⊥；（2）联结CD 、DE ，试判断DCE ∆的形状，并证明你的结论．CA BDE F图6中档题训练5 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1、已知Rt △ABC 中，∠C =90°，点M 为边AB 的中点，点D 在边BC 的延长线上，且12CD AB ，联结DM . 求证：∠B =2∠D ．2、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙（DM 长为15米，DN 长为20米），用28m 长的篱笆围成了一个面积为192m 2的长方形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边）．求篱笆BC 长．3、已知∠ABC =30°，点D 在射线BC 上，且到A 点的距离等于线段a 的长. （1） 用圆规和直尺在图中作出点D ；（不写作法，但须保留作图痕迹，且说明结果） （2） 如果AB =8，a =5.求△ABD 的面积．BA BCaA（第22题图）N4、已知四边形ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中边AD 和边BC 都与x 轴平行， 边AB 和边CD 都与y 轴平行，且D （2,3），点C 的纵坐标是-1，反比例函数(0)ky k x=≠ 的图像过点C ，与边AB 交于点E ．（1）求直线OD 的表达式和此反比例函数的解析式； （2）如果点B 到y 轴的距离是4，求点E 的坐标．xA BCDOE （第4题图）BAC(第22题图)中档题训练6 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1、已知：MON ∠、点A 及线段a （如图）．求作：点P ，使点P 到OM 和ON 的距离相等，且PA ＝a ．(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)2、如图，已知在△ABC 中，∠B =60︒，AB =2 BC . 求证：△ABC 为直角三角形.3、2012年以来，我国屡次实施药品降价，已知某种药品价格从2012年到2014年每年下降的百分率相同，结合表中的信息求这个百分率及表中m 的值．a∙AMO （第21题图）4、已知：如图,在平面直角坐标系中,正比例函数12y x =的图像与反比例函数k y x =的图像交于点()2,A m ,过点A 作x 的垂线交x 轴于点B . （1）求反比例函数的解析式； （2）如果点C 在12y x =的图像上,且△CAB 的面积为△OAB 面积的2倍，求点C 的坐标．（第4题图）中档题训练7 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1、甲、乙两车分别从A 地将一批物资运往B 地，两车离A 地的距离s （千米）与其相关的时间t （小时）变化的图像如图4所示．读图后填空： （1）A 地与B 地之间的距离是 千米； （2）甲车由A 地前往B 地时所对应的s 与t 的函数解析式是 ；（3）甲车出发 小时后被乙车追上； （4）甲车由A 地前往B 地比乙车由A 地前往B 地多用了 小时．2、如图5，已知AE 平分∠BAC ，ED 垂直平分BC ，EF ⊥AC ，EG ⊥AB ， 垂足分别是点F 、G ．求证：（1）CF BG =；（2）AB AF CF =+.A图5sB3、如图6，已知四边形ABCD 中，=AB 24，=AD 15，BC =20，CD =7，︒=∠+∠90CBD ADB ．（1）在BD 的同侧作△BD A '，使△BD A '≌△ADB （点A 与点'A 不重合）（不写作法和结论，保留作图痕迹)； （2）求四边形ABCD 的面积．中档题训练8 姓名：___________——把握现在，不要空想未来！1、小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离S （千米）与骑车的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题： （1）小强去学校时下坡路长 千米； （2）小强下坡的速度为 千米/分钟； （3）若小强回家时按原路返回，且上坡的速度 不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这 段路的时间是 分钟．2、．如图，已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ．3．已知直线)0(≠=k kx y 与双曲线xy 8=在第一象限交于A 点，且点A 的横坐标为4，点B 在双曲线上，点B 的纵坐标为8． （1）求直线的函数解析式；（2）判断ABO ∆的形状并说明理由．AD CFEt 分钟4．某校计划修建一个长方形花坛，要求花坛的长与宽的比为2:1．如图所示花坛中间为花卉种植区域，花卉种植区域左侧留有3米宽的空地，其它三侧各保留1米宽的通道．如果要求花卉种植区域的面积是50平方米，那么整个花坛的长与宽应为多少？花坛中档题训练9 姓名：___________ ——把握现在，不要空想未来！1．已知如图，在△ABC 中，︒=∠60B ，4=BC ．（1）用尺规在直线AB 上求作一点P ，使点P 到点B 、C 的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出点P 到点B 的距离．2．某县在实施“村村通”工程中，决定在B A 、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从B A 、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度)(米y 与修筑时间)(天x 之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，回答问题： （1）写出乙工程队修道路的长度y 与修筑时间x 之间的函数关系式：_________________；（2）甲工程队前4天平均每天修路______米，后12天平均每天修路_______米； （3）该公路的总长度为________米．3．已知关于x 的一元二次方程032)1(2=+++-m mx x m .（1）此方程有实数根时，求m 的取值范围；（2）此方程有一个根为0时，求m 的值．ABC（第21题图）4．如图，在∆ACB 中，点D 是AB 边上一点，且∠ACB =∠CDA ；点E 在BC 边上，且点E 到AB AC 、的距离相等；联结AE 交CD 于点F ． 试判断∆CEF 的形状；并证明你的结论．CAD BEF。
专题四中档大题(三)
中档大题(三)1．(2013·辽宁省五校第一联合体高三年级考试)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n(其中p 为非零常数，n ∈N *)． (1)判断数列{a n ＋1a n}是不是等比数列； (2)求a n .2．(2013·高考重庆卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝23，BC ＝CD＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3. (1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P -BDF 的体积．3．(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)已知函数f (x )＝2sin(πx 6＋π3)(0≤x ≤5)，点A 、B 分别是函数y ＝f (x )图象上的最高点和最低点．(1)求点A 、B 的坐标以及OA →·OB →的值；(2)设点A 、B 分别在角α、β的终边上，求tan(α－2β)的值．4．(2013·河南省洛阳市高三年级统一考试)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；(2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，96≤x <985，98≤x <1044，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．5．(2013·北京市东城区高三教学统一检测)如图，在菱形ABCD 中，MA ⊥平面ABCD ，且四边形ADNM 是平行四边形．(1)求证：AC ⊥BN ；(2)当点E 在AB 的什么位置时，使得AN ∥平面MEC ，并加以证明．6．(2013·福建省普通高中毕业班质量检查)某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年的SO2的年排放量约为9.3万吨．(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度，在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．(参考数据：823≈0.950 5，923≈0.955 9)中档大题(三)1．【解】(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n . 令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)， ∴数列{a n ＋1a n}是等比数列． (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列，∴c n ＝c 1·p n －1＝a ·p n －1，即a n ＋1a n ＝ap n －1. 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(ap n －2)×(ap n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1p n 2－3n ＋22，∵a 1满足上式，∴a n＝a n －1p n 2－3n ＋22，n ∈N *.2．【解】(1)证明：因为BC ＝CD ，所以△BCD 为等腰三角形．又∠ACB ＝∠ACD ，所以BD ⊥AC .因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD ，从而BD 与平面P AC 内两条相交直线P A ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面P AC .(2)三棱锥P -BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3. 由P A ⊥底面ABCD ，得V P -BCD ＝13·S △BCD ·P A ＝13×3×23＝2. 由PF ＝7FC ，得三棱锥F -BCD 的高为18P A ， 故V F -BCD ＝13·S △BCD ·18P A ＝13×3×18×23＝14， 所以V P -BDF ＝V P -BCD －V F -BCD ＝2－14＝74. 3．【解】(1)∵0≤x ≤5，∴π3≤πx 6＋π3≤7π6， ∴－12≤sin(πx 6＋π3)≤1. 当πx 6＋π3＝π2，即x ＝1时，sin(πx 6＋π3)＝1，f (x )取得最大值2； 当πx 6＋π3＝7π6，即x ＝5时，sin(πx 6＋π3)＝－12，f (x )取得最小值－1. 因此，点A 、B 的坐标分别是A (1,2)、B (5，－1)．∴OA →·OB →＝1×5＋2×(－1)＝3.(2)∵点A (1,2)、B (5，－1)分别在角α、β的终边上，∴tan α＝2，tan β＝－15，∵tan 2β＝2×(－15)1－(－15)2＝－512， ∴tan(α－2β)＝2－(－512)1＋2·(－512)＝292. 4．【解】(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n .∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n＝0.300，∴n ＝120. ∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150.∴其相应的频数分别为120×0.100＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18.∴这批产品平均每个的利润1120(12×3＋90×5＋18×4)＝4.65(元)．5．【解】(1)证明：连接BD ，则AC ⊥BD .由已知得DN ⊥平面ABCD ，因为DN ∩DB ＝D ，所以AC ⊥平面NDB .又BN ⊂平面NDB ，所以AC ⊥BN .(2)当E 为AB 的中点时，有AN ∥平面MEC .设CM 与BN 交于F ，连接EF .由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，F 是BN 的中点，因为E 是AB 的中点，所以AN ∥EF .又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以AN ∥平面MEC .6．【解】(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，所以y ＝5×9.3＋5×(5－1)2×(－0.3)＝43.5(万吨)． 所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43.5万吨．(2)由已知得，2012年的SO 2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1－p 的等比数列． 由题意得9×(1－p )8<6，由于0<p <1，所以1－p <823， 所以1－p <0.950 5，解得p >4.95%.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围为(4.95%,1)．。
高考数学中档小题押题训练(四)
高考数学中档小题押题训练（四）姓名：____________班级：____________一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）．．．．已知13,22m⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，命题2123ym+=-表示焦点在上的椭圆.则下列命题中为真命题的是（A ．8B ．4C ．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共有多项符合题目要求.全部选对的得5分，分.）9．用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，A ．男生成绩的样本数据在[)90,110内的频率为B ．男生成绩的样本数据的平均数为97C ．男生成绩的样本数据的第75百分位数为118D ．女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为10．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，(f x 且当[0,2]x ∈时，3()(1)f x x =-，则（）A ．()f x 的图象关于点对称(10)，B ．(2023)1f =A ．()1π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的C ．若把函数()f x 的图像向左平移π2D ．ππ,3x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦3，若()3π32f x a f ⎛+≥ ⎝12．已知函数()()(22f x x b x a =---A ．a b>C ．()f x 在(),b ∞+上单调递增三､填空题（本题共4小题，每小题分，第二空3分.）13．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列①10n n a a +<；②1n n a a +<参考答案：⋂中元素的个数即为直线所以A B由图可知直线y x=与正方形ABCD⋂中元素的个数为2.即A B故选：C.3．A【分析】根据冠军的归属分类列表后结合题设条件可得冠军的国家【详解】根据题意，有冠军甲乙丙由题意知，60ABC ︒∠=，所以23AC =，AC BC ⊥所以AB 的中点即为△ABC 又因为2PA PC ==，所以120APC ︒∠=，PM =所以在APC △中，取AC 的中点+【点睛】方法点睛：零点问题的求解常用的方法有：图象法（作出函数()f x 的图象分析判断）；（3）方程分析两函数(),()g x h x 图象即得解）.要根据已知灵活选择方法求解11．ACD【分析】对A ，由函数图像即可算出函数的周期T ，由高点即可求出函数的解析式；对B 、C ，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对用三角函数知识即可求得a 的最小值.【详解】对A ，由题意知2,A =6πT =，2π16π3ω∴==，即2πsin()13ϕ+=，2ππ2π32k ϕ∴+=+（Z k ∈），ϕ∴又πϕ< ，π6ϕ∴=-，()1π2sin 36f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，所以对B ，把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数1π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]ππx ∈- ，，∴-1π2sin 26y x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在[]π,π-上不单调递增，故B 错误；对C ，把()y f x =的图像向左平移π2个单位，。
选择、填空4
2014年南平市初中数学升学考试 选择题、填空题专项训练（四）（满分：63分；考试时间：25分钟）一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．每小题只有一个正确的选项） 1．实数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，则a 与b 的大小关系是（ ）A ．a > bB ． a = bC ． a < bD ． 不能判断 2．下列计算错误的是（ ）A ．－（－2）=2 B= C ．22x +32x =52x D ．235()a a = 3．如果点M 在直线1y x =-上，则M 点的坐标可以是（ ）A ．（－1，0）B ．（0，1）C ．（1，0）D ．（1，－1） 4．如图2，直线l 截两平行直线a 、b ，则下列式子不一定成立的是（ ）A ．∠1=∠5B ． ∠2=∠4C ． ∠3=∠5D ． ∠5=∠2 5．下列说法正确的是（ ）A ．抛一枚硬币，正面一定朝上；B ． 掷一颗骰子，点数一定不大于6；C ． 为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法；D ． “明天的降水概率为80%”，表示明天会有80％的地方下雨． 6．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A B C D7．如图3，在O 中，圆心角60BOC ∠=︒，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60︒ B ．50︒ C ．40︒ D ．30︒ 8．一次函数1y x =--不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）A ．12 B ．13 C ． 16 D ．18二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）10．因式分解：24x -=____________11．某电视台为满足观众在北京奥运会期间收看不同比赛项目的要求，做了一个随机调查，结果如下表：如果你是电视台负责人，在现场直播时，将优先考虑转播 比赛．12． 函数11y x =-的自变量的取值范围是_________． 13．如图4，E 、F 是ABC ∆两边的中点，若EF =3，则BC = _______． 14．已知O 的半径是3，圆心O 到直线l 的距离是3，则直线l 与O 的位置关系是 ．15． 已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．16． 已知一圆锥的底面半径是1，母线长是4，它的侧面积是 ______．17．如图5，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠= __________度． 18. 下面是一个三角形数阵： 1 2 4 23 6 9 6 34 8 12 16 12 8 4…… 根据该数阵的规律,猜想第十行所有数的和是 。
初二(上)数学中档题
姓名学号班别1．已知：如图所示，在□ABCD中，M、N分别是DC、AB的中点．求证：△AMD≌△CN B．2．如图所示，□ABCD的对角线AC、BD交于O，且AE=CF，求证：四边形EHFG是平行四边形．3．如图所示，E、F是□ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形．姓名 学号 班别1、矩形的定义：__________________________的平行四边形叫矩形．2、矩形的性质：①．矩形的四个角都是______；矩形的对角线__________________________． ②.矩形既是 对称图形,又是 图形,它有 条对称轴.3、矩形的判定：①．有_____个是直角的四边形是矩形．②．对角线____________________________的平行四边形是矩形． ③．对角线________________________________的四边形是矩形．4、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
5、已知：如图，在□ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ．求证：□ABCD 是矩形．B ACD O姓名 学号 班别1、菱形的定义：有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形．2、菱形的性质：①．菱形的四条边___；菱形的对角线______，且每条对角线_______． ②.菱形既是 对称图形,又是 图形,它有 条对称轴.3、菱形的判定：①．__________________边都相等的四边形菱形．②．对角线_____________________________的平行四边形是菱形．③．对角线_____________________________________________的四边形是菱形． 4、菱形的面积与两对角线的关系是________________________5、如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ，求证：四边形OCED 是菱形。
14 中档小题练(十四)
中档小题练(十四)(限时45分钟)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，若复数z ＝3－i 1＋i ，则|i z |＝( ) A ．1B ． 5 C. 2 D ．22．已知x ∈R ，则“－3≤x ≤4”是“lg(x 2－x －2)≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0平分，且与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，则l 的方程为 ( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x －y ＋2＝04．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，B ＝45°，a ＝23，则△ABC 的面积为 ( )A ．2 3B ．3 2C ．1＋ 3D ．3＋ 35．已知a ＝⎠⎛－11x dx ，则(2x ＋a －1)5的展开式中x 3项的系数为( ) A ．40B ．－40C ．80D ．－806．在平面直角坐标系xOy 中，若A (1，0)，B (3，4)，OC→＝xOA →＋yOB →，x ＋y ＝6，则|AC→|的最小值为( ) A ．1B ．2 C. 5 D ．2 57．甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天生产的次品数的茎叶图如图所示，下列判断错误的是( )A ．甲的中位数大于乙的中位数B ．甲的众数大于乙的众数C ．甲的方差大于乙的方差D ．甲的性能优于乙的性能8．设点A 在球O 的球面上，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得圆M ，点B 在圆M 上，若AB ＝2，则圆M 的面积等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9．已知函数f (x )的图象与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )的图象经过点A (4，2)与点B (8，t )，若p ＝t 0.2，q ＝0.2t ，r ＝log t 0.2，则( )A ．r ＜q ＜pB ．r ＜p ＜qC ．q ＜r ＜pD ．p ＜q ＜r10．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )A ．将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数B ．函数f (x )的图象关于点(π8，0)对称C ．f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π3)D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 11．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 22－y 2b 2＝1(b >0)的两个焦点，M 为C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，MF 1→·MF 2→＝2.有下述四个结论：①△MF 1F 2 的面积S ＝3；②|F 1F 2→|＝3；③双曲线C 的离心率e ＝62；④点M 一定在曲线|x |＝|2y |上．其中，所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①③④12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论中错误的是( )A ．翻折到某个位置，使得DA 1⊥ECB ．翻折到某个位置，使得A 1C ⊥平面A 1DEC ．四棱锥A 1-DCBE 体积的最大值为24D ．点M 在某个球面上运动二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tan α，tan β是方程3x 2＋5x －7＝0的两根，则sin （α＋β）cos （α－β）＝________．14．某校高三学生一次数学诊断考试的成绩(单位：分)服从正态分布N (110，102)，从中随机抽取一个同学的数学成绩ξ.记90＜ξ≤110为事件A ，记80＜ξ≤100为事件B ，则在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率P (B |A )≈________．(结果用分数表示)(参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ≤ μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)15．已知等比数列{a n } 的前n 项和S n 满足S n －2S n －1－2＝0(n ≥2)，则数列{a n }的前n 项积T n ＝________．16．已知函数f (x )＝e xx 2－2k ln x ＋kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是________．参考答案与解析中档小题练(十四)1．解析：选B.方法一：i z ＝（3－i ）i 1＋i ＝1＋3i 1＋i ＝（1＋3i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4＋2i 2＝2＋i ，所以|i z |＝22＋12＝5，故选B.方法二：|i z |＝|i||z |＝1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝32＋（－1）212＋12＝102＝5，故选B. 2．解析：选B.lg(x 2－x －2)≤1⇒0＜x 2－x －2≤10，解得－3≤x ＜－1或2＜x ≤4，所以“－3≤x ≤4”不能推出“lg(x 2－x －2)≤1”，反之成立，所以“－3≤x ≤4”是“lg(x 2－x －2)≤1”的必要不充分条件．故选B.3．解析：选D.化圆C 的方程为标准方程，得(x ＋12)2＋(y －1)2＝14，故圆C的圆心为(－12，1). 因为直线l 将圆C 平分，所以直线l 过圆心(－12，1)，设直线l 的斜率为k l ，因为直线l 与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，所以k l ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，所以k l ＝2，所以直线l 的方程为y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0，故选D.4．解析：选D. 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得b ＝22，因为C ＝180°－A －B ＝75°，所以sin C ＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°×cos 45°＋cos 30°×sin 45°＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3＋ 3.故选D.5．解析：选C. 由已知得a ＝⎠⎛－11x d x ＝0，则(2x ＋a －1)5＝(2x －1)5，其展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1)r ，令5－r ＝3，得r ＝2，则T 3＝C 25(2x )3＝80x 3，故(2x ＋a －1)5的展开式中x 3项的系数为80.故选C.6．解析：选D. 由题意得OA→＝(1，0)，OB →＝(3，4)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得OC →＝(x ＋3y ，4y )，所以AC→＝OC →－OA →＝(x ＋3y －1，4y )，又x ＋y ＝6，所以AC →＝(5＋2y ，4y )，则|AC→|＝（5＋2y ）2＋（4y ）2＝20y 2＋20y ＋25＝25（y ＋12）2＋5，y ∈R ，所以当y ＝－12时，|AC→|取得最小值25，故选D. 7．解析：选D.由茎叶图知，甲机床每天生产的次品数为7，8，9，10，12，13，15，15，20，21.乙机床每天生产的次品数为8，9，10，10，11，12，12，12，16，20.对于A ，甲的中位数为12＋132＝12.5 ，乙的中位数为11＋122＝11.5，甲的中位数大于乙的中位数，故A 正确；对于B ，甲的众数为15，乙的众数为12，所以甲的众数大于乙的众数，故B 正确；对于C ，甲的平均数x －甲＝7＋8＋9＋10＋12＋13＋15＋15＋20＋2110＝ 13，乙的平均数x －乙＝8＋9＋10＋10＋11＋12＋12＋12＋16＋2010＝12，甲的方差s 2甲＝110×[(－6)2＋(－5)2＋(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋02＋22＋22＋72＋82]＝20.8，乙的方差s 2乙＝110×[(－4)2＋(－3)2＋(－2)2＋(－2)2＋(－1)2＋02＋02＋02＋42＋82]＝11.4，所以s 2甲>s 2乙，故C 正确；对于D ，由A ，B ，C 可得，中位数、众数、平均数和方差均为甲大于乙，所以甲的次品数大于乙，故乙的性能优于甲的性能，故D 错误．故选D.8.解析：选C. 如图，连接OB ，BM ，则OB ＝OA .因为OA 垂直于圆M 所在平面，所以OA ⊥MB ，又M 为OA 的中点，所以MB 为△OAB 中OA 所在边的中线，所以△OAB 为等边三角形，所以OA ＝OB ＝AB ＝2.在Rt △OBM 中，OB 2－OM 2＝BM 2，所以BM ＝3，即截面圆M 的半径r ＝3，所以圆M 的面积S ＝πr 2＝3π.故选C.9．解析：选A.因为f (x )的图象与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝log a x ，又因为f (x )的图象过点A (4，2)，则2＝log a 4，则a ＝2，则函数f (x )＝log 2x ，因此t ＝log 28＝3.则p ＝t 0.2＝30.2>1，q ＝0.2t ＝0.23，0＜q ＜1，r ＝log t 0.2＝log 30.2＜0，故r ＜q ＜p ，故选A.10．解析：选C.由题图知A (π12，2)，B (5π6，0)．设f (x )的最小正周期为T ，则34T ＝5π6－π12＝3π4，即T ＝π＝2πω，故ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)，则f (π12)＝2sin(2×π12＋φ)＝2sin(π6＋φ)＝2，令π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3)，故选项C 正确．对于选项A ，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋π12）＋π3＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x ，g (x )为偶函数，故选项A 错误．对于选项B ，f (π8)＝2sin(π4＋π3)≠0，故函数f (x )的图象不关于点(π8，0)对称，故选项B 错误．对于选项D ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ＋π3∈[0，π]，故f (x )∈[0，2]，故选项D 错误．综上，选C.11．解析：选D. 由MF 1→·MF 2→＝|MF 1→|·|MF 2→|cos 60°＝2可知，|MF 1→|·|MF 2→|＝4，所以△MF 1F 2的面积S ＝12|MF 1→|·|MF 2→|sin 60°＝3，故①正确；由焦点三角形的面积公式知S △MF 1F 2＝b 2tan ∠F 1MF 22＝3，解得b ＝1，所以|F 1F 2→|＝2c ＝2a 2＋b 2＝23，故②错误；双曲线C 的离心率e ＝c a ＝32＝62，故③正确；设M (x M ，y M )，则S △MF 1F 2＝12×2c ×|y M |＝3，所以|y M |＝1，y M ＝±1，代入双曲线方程x 22－y2＝1，得x M ＝±2，所以M (x M ，y M )一定在曲线|x |＝|2y |上，故④正确．故选D.12．解析：选B. 由题意，可计算得AD ＝AE ＝A 1D ＝A 1E ＝1，DE ＝EC ＝2，所以DE 2＋EC 2＝CD 2＝4，即DE ⊥EC .对于A ，若DA 1⊥EC ，因为DA 1∩DE ＝D ，DA 1，DE ⊂平面A 1DE ，所以EC ⊥平面A 1DE ，又EC ⊂平面ABCD ，所以平面A 1DE ⊥平面ABCD ，即将△ADE 翻折到垂直于平面ABCD 时，可使得DA 1⊥EC ，故A 正确．对于B ，取DE 的中点为F ，连接A 1F ，CF (图略)，易得A 1F ＝22，CF ＝102.若A 1C ⊥平面A 1DE ，则A 1C ⊥A 1E ，A 1C ⊥A 1F ，因为A 1C 2＝CF 2－A 1F 2＝(102)2－(22)2＝2，A 1C 2＝EC 2－A 1E 2＝(2)2－12＝1，显然2≠1，所以A 1C ⊥平面A 1DE 不成立，故B 错误．对于C ，设h 为点A 1到平面ABCD 的距离，则VA 1-DCBE ＝13S 四边形DCBE ·h ，因为S 四边形DCBE ＝（1＋2）×12＝32，为定值，所以当h 取得最大值时，四棱锥A 1-DCBE 的体积最大，显然将△ADE 翻折到垂直于平面ABCD 时h 取得最大值22，此时VA 1-DCBE ＝13×32×22＝24，故C 正确．对于D ，取CD 的中点为N ，连接MN (图略)，则MN 是△A 1CD 的中位线，所以MN ＝12A 1D ＝12，为定值，所以点M 在以N 为球心，MN 为半径的球面上(点M 所在的球不唯一，存在即可)，故D 正确．故选B.13．解析：因为tan α，tan β是方程3x 2＋5x －7＝0的两根，所以由一元二次方程根与系数的关系可得tan α＋tan β＝－53，tan α·tan β＝－73，所以sin （α＋β）cos （α－β）＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝－531－73＝54. 答案：5414．解析：由题意可知，μ＝110，σ＝10，事件AB 为90＜ξ≤100，因为90＝μ－2σ，100＝μ－σ，所以P (AB )＝P (90＜ξ≤100)＝P (μ－2σ＜ξ≤ μ－σ)＝P （μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ）－P （μ－σ＜ξ≤ μ＋σ）2≈0.954 5－0.682 72＝2 71820 000，P (A )＝P (90＜ξ≤110)＝P (μ－2σ＜ξ≤μ)＝P （μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ）2≈9 54520 000，由条件概率公式得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）≈2 71820 000×20 0009 545＝2 7189 545. 答案：2 7189 54515．解析：方法一：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，在S n －2S n －1＝2(n ≥2)中，令n ＝2，可得a 2－a 1＝a 1(q －1)＝2，①令n ＝3，可得a 3－a 2－a 1＝a 1(q 2－q －1)＝2，②由①②可得a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n ，所以数列{a n }的前n 项积T n ＝a 1a 2·…·a n －1·a n ＝21×22×…×2n －1×2n ＝21＋2＋…＋(n －1)＋n ＝2n （n ＋1）2.方法二：由S n －2S n －1＝2(n ≥2)可知，S n ＋2＝2(S n －1＋2)，所以数列{S n ＋2}是以S 1＋2＝a 1＋2为首项，2为公比的等比数列，所以S n ＋2＝(a 1＋2)2n －1.当n ≥2时，有S n －1＋2＝(a 1＋2)·2n －2，两式相减得a n ＝(a 1＋2)2n －2.(*)因为数列{a n }为等比数列，所以(*)式对于n ＝1也成立，将n ＝1代入(*)式，得a 1＝a 1＋22，解得a 1＝2，所以a n ＝2n ，所以数列{a n }的前n 项积T n ＝a 1a 2·…·a n －1a n ＝21×22×…×2n －1×2n ＝21＋2＋…＋(n －1)＋n ＝2n （n ＋1）2.答案：2n （n ＋1）216．解析：函数f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－2k x ＋k ＝（e x ＋kx 2）（x －2）x 3，由题意可得，x ＝2是方程f ′(x )＝0唯一变号的根，令h (x )＝e x ＋kx 2，则h (x )在(0，＋∞)上没有变号零点，令h (x )＝0，得－k ＝e xx 2，令g (x )＝e xx 2(x >0)，则g ′(x )＝e x （x －2）x 3，当x >2时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， 当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，故当x ＝2时，g (x )取得最小值g (2)＝e 24，故－k ≤e 24，即k ≥－e 24.故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 24，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－e 24，＋∞。
中考数学 中档题突破 专项训练四 框图程序题(选填题)
3．按如图所示的运算程序，若输出结果为 y＝－3，则输入 x 的值可以是 ( B)
A．－3
B．－1 C．1
D．3
4．按如图所示的运算程序，若输入 x＝2，y＝1，则输出结果为 ( C )
A．1
B．4
C．5
D．9
5．如图是用程序计算，若输入“x＝2，y＝3”，则输出的 a 的值为 ( C )
A．15
专项训练四 框图程序题 (选填题)
1．按照如图所示的运算程序，能使输出 y 的值为 5 的是
( D)
A．m＝1，n＝4 B．m＝2，n＝5 C．m＝5，n＝3 D．m＝2，n＝2
2．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 12 的是
( C)
A．x＝3，y＝3 C．x＝2，y＝4
Bபைடு நூலகம்x＝－4，y＝－2 D．x＝4，y＝2
A．2＜x≤4 B．2≤x＜4 C．2＜x＜4 D．2≤x≤4
8．如图所示，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 125，则
第 2 021 次输出的结果为
( C)
A．125
B．25
C．1
D．5
9．一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是 36，则输出 的结果为 106，要使输出的结果为 127，则输入的最小正整数是 15 .
10．已知 9 个小球，把它们分别标号为 1，2，…，9，现从中依次摸取两 个小球，按照下图的操作步骤，若输入第一个小球上的数字 a(记第二个 小球上的数字为 b)，输出的值为 63，求 a 的值． 输入a → 乘以2 → 加上3 → 乘以5 → 加第二个小球上的数字 → 输出
解：根据操作步骤，可得输出的值＝5(2a＋3)＋b， ∵输出的值为 63，∴5(2a＋3)＋b＝63， 整理得 10a＋b＝48，
第十四章整式的乘除 中档题专题提优2024-2025学年人教版八年级数学上册(无答案)
第十四章整式的乘除专题一幂的运算核心考点一同底数幂的乘法(m，n都是正整数) ，即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.03. 若则n= .核心考点二幂的乘方(m，n都是正整数)，即：幂的乘方，底数不变，指数相乘.06. 已知可变形为则a, b,c的大小关系是 .核心考点三积的乘方(其中a为正整数)，即：积的乘方，每一个因数分别乘方.08. 已知则核心考点四逆用幂的运算法则09.已知: 则值为 ( )A. 17B. 36C. 48D. 7210. 已知: 则：11. 已知: 则12. 已知: 则m= , n= .13.已知:2"=a, 3"=b, n是正整数，则用含有a，b的式子表示( 的值为.14. 若则A. 2B. 3C. 6D. 1215.已知: 3"=a, 81"=b, m, n为正整数, 则3³ᵐ⁺¹²ⁿ的值为 ( )A. a³b³B. 27abC. 3a+12b16按一定规律排列的一列数: 2¹, 2², 2³, 2⁵,2⁸, 2¹³, …, 若x, y, z表示这列数中的连续三个数，猜想x，y，z满足的关系式是 .核心考点五幂的运算法则综合运用17. 已知求的值. 18. 已知求的值.19. 是否存在整数a, b, c满足若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由.专题二整式的乘除核心考点一单项式与单项式的乘法单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.01. 计算:1202. 计算:核心考点二单项式与多项式的乘法单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.核心考点三多项式与多项式的乘法多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即|①|②| ①②③④(a+b)(m+n)= am+ an+ bm+ bn|③↑④↑04. (1) (x+2)(x-4)= ,核心考点四整式的除法08. [(2x-y)(2x+y)+y(y-6x)]÷2x.核心考点五降次代换09. 若则10. 已知则代数式的值是 ( )A. 31B. -31C. 41D. -4111. 已知. 求(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)的值.核心考点六多项式相乘展开后与待定参数12. 若的积中不含x的二次项，则常数m的值为 ( )A. 0 B13. 若的展开式中不含x³项和x²项，则m"的值= .14. 已知a, b, x, y满足a+b=x+y=3, ax+ by=7, 求的值.15. 已知将x=0代入这个等式中可以求出a₀=1.用这种方法可以求得的值为( )A. -16B. 16C. -1D. 116. 若则：(1) a+b+c+d+e+f= ; (2) f= .17已知, 若多项式. 被x+3整除，说明时，多项式的值为0，即当x=-3时，多项式为0，我们可以把x=-3代入多项式，值为0，可得方程，求出k的值为若多项式.去除以x+3时，余数为6，说明. 时，多项式的值为6，即当. 时，多项式为6，我们可以把x=-3代入多项式，值为6，可得方程，求出k的值为- 结合上述知识，解决下列问题：(1) 若能被x-2整除，则a的值为；(2) 若除以x+2时, 余数为4, 则a的值为 ;(3) 若能被x-2与x+3整除, 则a-b的值为 ;(4) 若去除以x-2时，余数为1去除以x+3时，余数为- 求a, b的值.核心考点一整式的运算与求值01 计算:02先化简, 再求值: 其中x=0.5, y=-1.核心考点二待定参数03.已知( 其中p，q为正整数，则04. 如果二次三项式中有一个因式是3a-2，那么k的值为 .05以下关于x的各个多项式中, a, b, c, m, n均为常数.(1) 根据计算结果填写下表：二次项系数一次项系数常数项(2x+1)(x+2)22(2x+1)(3x-2)6-2( ax+b)( mx+n) am bn(2) 已知既不含二次项，也不含一次项，求的值；(3)多项式M与多项式的乘积为则2a+b+c的值为.核心考点一整式的运算与图形01.如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆.若a+b=4，求剩下的钢板的面积.02.如图将一个边长为a的小正方形与四个边长均为b的大正方形拼接在一起(其中a<b) , 则四边形ABCD的面积为 ( )03.在长方形ABCD内, 将两张边长分别为a和b(a>b) 的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S₁，图2 中阴影部分的面积为S₂.当AD-AB=2时, 的值为 ( )A. 2aB. 2bC. 2a-2bD. -2b核心考点二图形的拼接与整式的乘法04有足够多的如图所示的正方形和长方形的卡片.(1)选取1号，2号，3号卡片若干张，拼成一个正方形(不重叠无缝隙)，并能运用拼图前后面积之间的关系说明公式( 成立，请画出这个正方形；(2) 小明想用类似(1) 的方法解释多项式乘法( 那么用2号卡片张，3号卡片张；(3)如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，请画出这个长方形的草图.专题五平方差公式的应用及构造平方差公式： (核心考点一平方差公式的基本应用01. 计算: (2) (b+2a)(2a-b);(3) (-x+2y)(-x-2y);核心考点二平方差公式在多项式计算中的应用02. (1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);核心考点三平方差公式的构造03. 计算:04. 计算下列各式，完成所提出的问题：…计算：① ;05.若则(06. 已知实数a, b, x, y满足求的值.07. 设a, b, c, d都是自然数, 且求d-b的值.专题六 完全平方公式完全平方公式：核心考点一 完全平方公式的基本应用01. 计算:核心考点二 含参数的完全平方式02. 若是关于x ，y 的完全平方式，则03. 若 是一个完全平方式，则m 的值为 .核心考点三 完全平方公式的拓展应用04. 计算:(5) 求证: 1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方, 并求出这个整数.核心考点四完全平方公式补充公式的应用05. 已知且a=1, 试求( 的值.06. 设求的值.07. 已知求的最小值.专题七完全平方公式的变形与应用核心考点一利用完全平方公式求a+b, a-b, ab, a²-b²的值01.已知求 xy和x-y的值;02. 已知求和x+y的值;03.若(2026-a)(2025-a)=2024, 则(核心考点二利用完全平方公式求的值04.例: 已知求的值.解：因为所以则所以观察以上解答，解答以下问题：已知(1) 求下列各式的值：(2) 直接写出的值 .05. 已知:x²-3x+1=0, 则的值为 .06. 已知则的值为 ( )A. 136B. 169C. 194D. 19607. 若则专题八配方法与完全平方式的构造核心考点一配方构造完全平方式01. 将二次三项式进行配方，正确的结果是 ( )B. (x-2)²-1 D. (x-2)²+302.关于x的二次三项式有最小值-10, 则常数a= .03.a, b为实数, 整式的最小值是 ( )A. -13B. -4C. -9D. -504.已知, 则x+y+z= .05.已知a, b, c满足则a-b+c的值为 ( )A. -1B. 5C. 6D. -7核心考点二配方构造完全平方式求最值、比较大小06.简读以下材料井解决问题：①若a-b≥0,则a≥b;若a-b≤0,则a≤b;有最小值1；有最小值-9.(1)求的最小值；(2) 已知比较P与Q的大小.核心考点三配方法求最值应用题07.我们已学习了完全平方公式：观察下列式子：x并回答下列问题.则(2) 解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一块长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，按图设长方形一边长度为x米，回答下列问题：①列式：用含x的式子表示花圃的面积：；②请说明当x取何值时，花圃的最大面积是多少平方米?专题九 乘法公式的几何背景核心考点一 乘法公式与图形结合01如图1，在长为2b ，宽为b 的长方形中去掉两个边长为a 的小正方形. 然后将图2中的阴影部分剪下，并将剪下的阴影部分从中间剪开，得到两个形状，大小完全相同的小长方形. 将这两个小长方形与剩下的图形拼成如图3 中的长方形，上述操作能够验证的等式是( )02.四张长为a, 宽为b(a>b) 的长方形纸片, 按如图的方式拼成一个边长为 (a+b) 的正方形，图中空白部分的面积为阴影部分的面积为S₂, 若则a:b= .03. 探究：如图1，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图2的长方形.(1) 请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 ； ；(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母表示)；应用：请应用这个公式完成计算：04.(1) 用边长分别为a ，b 的两个正方形和长宽分别为a ，b 的两个长方形按如图摆放可拼成一个大正方形，用两种不同的方法可以表示图中阴影部分的面积和. 请你用一个等式表示( a²+b², ab 之间的数量关系 ；(2) 根据(1) 中的数量关系，解决如下问题：①已知 求m-n 的值;②已知(求的值.05. 我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践一面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释得出代数恒等式，请你解答下列问题：(1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形ABCD 的面积. 可以得到代数恒等式：(2) 已知求 ab+ ac+ bc的值;(3) 若n, t满足如下条件:,求t的值.核心考点二杨辉三角与整式乘法06.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如下图所示) 就是一例.这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方(左右)两数之和.事实上，这个三角形给出了(a+b)"(n为正整数) 的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列) 的系数规律. 例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等.(1) 根据上面的规律，展开式的各项系数中最大的数为；(2) 直接写出式于的值为；(3)若求的值.专题十因式分解核心考点一因式分解的定义01. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是 ( )核心考点二提公因式法02. 把下列各式分解因式：(4) 2a(b+c)-3(b+c); (5)6(x-2)+x(2-x);核心考点三运用公因式法03. 把下列各式分解因式：(1) 1-25b²;(6) x⁴-y⁴;核心考点四分组分解法04. 分解因式:(2) 2ax-10ay+5by- bx;核心考点五 十字相乘法05. 把下列各式分解因式：核心考点六 配方法06. 分解因式:核心考点七 换元法07. 把下列各式分解因式：专题十一因式分解的应用核心考点一对因式分解结果的判断01.下列因式分解结果正确的是 ( )02.下列因式分解结果正确的是 ( )核心考点二多步骤因式分解03.因式分解:(2) (p-3)(p-1)+1.04. 因式分解:05.将下列多项式因式分解：06.因式分解:核心考点三利用因式分解求值07. 若则a-b= .08.若则a+b-c的值是 ( )A. 2B. 5C. 20D. 5009. 已知a, b满足则x, y的大小关系是 ( )A. x≤yB. x≥yC. x>yD. x<y10.已知( 则((x-2027)²的值是 .11. 已知a=2019x+2016, b=2019x+2017, c=2019x+2018, 求多项式( 的值.核心考点四利用图形理解因式分解12.如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解：核心考点五试根法因式分解13. 对于多项式我们把. 代入此多项式，发现. 能使多项式的值为0，由此可以断定多项式. 中有因式( (注：把x=a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式( 于是我们可以把多项式写成：分别求出m，n后再代入就可以把多项式. 因式分解.(1) 求式子中m, n的值;(2) 以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式.。
高职单独招生考试数学试卷(答案解析) (4)
2022年对口单独招生统一考试数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共20小题，每小题3分，共60分）1、函数的定义域是()A. B.C.D.2.展开式中不含项的系数的和为()A.-1B.0C.1D.23、设b a ,为正实数，则“1>>b a ”是“0log log 22>>b a ”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4、已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程y ＝2.1x ＋0.85，则m 的值为（）A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.55．执行如图所示的程序框图，则输出的b 值等于（）a=1,ba<7开结是否a=a+输b=b-aA.24-B ．15-C ．8-D ．3-6、已知集{1,2,3},B {1,3}A ==，则A B = ()A 、{3}B 、{1,2}C 、{1,3}D 、{1,2,3}7、已知集合{}{}3,2,3,2,1==B A ,则()A 、A=B B 、=B A ∅C 、B A ⊆D 、AB ⊆8、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N = ()A 、{0,-1}B 、{1}C 、{-2}D 、{-1,1}9、设A,B 是两个集合,则“A B A = ”是“A B ⊆”的()A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件10、设集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a2}，若A ∪B ＝{0,1,2,5,25}，则a 的值为()A 、0B 、1C 、2D 、511、“1=x ”是“0122=+-x x ”的()A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件12、“2)1(+=n n a n ”是“0)2(log 21<+x ”的()A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件13、设b a ,为正实数，则“1>>b a ”是“0log log 22>>b a ”的()A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件14、0=b 是直线b kx y +=过原点的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15、方程4322(log =x 的解为（）A.4=x B.2=x C.2=x D.21=x 16、设b a ,是实数，则“0>+b a ”是“0>ab ”的()A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件17、已知x x x f 2)(2+=，则)2(f 与)21(f 的积为()A 、5B 、3C 、10D 、818、“ααcos sin =”是“02cos =α”的()A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件19、函数)32(log )(22-+=x x x f 的定义域是()A 、[]1,3-B 、()1,3-C 、(][)+∞-∞-,13, D 、()()+∞-∞-,13, 20、设,6.0,6.05.16.0==b a 6.05.1=c ,则c b a ,,的大小关系是()A 、c b a <<B 、b c a <<C 、ca b <<D 、ac b <<二、填空题（共10小题，每小题3分；共计30分）1．设函数f （x ）＝x|x ﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式0恒成立，则实数a 的取值范围是_______．2．已知平面向量，，满足||＝1，||＝2，，的夹角等于，且（）•（）＝0，则||的取值范围是_______．3、已知函数()f x =223,1lg(1),1x x x x x ⎧+-≥⎪⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=______.4、不等式2340x x --+>的解集为______.（用区间表示）5、不等式422<-xx的解集为______..（用区间表示）6、函数()35lg -=x y 的定义域是______.（用区间表示）7、函数y ＝)9(log 2-x 的定义域是______.（用集合表示）8、不等式062<--x x 的解集是______.（用集合表示）9、不等式0125>--x 的解集为______.（用集合表示）10、已知函数)1(log )(2-=x x f ，若f(α)＝1，则α=______.三、大题：(满分30分)1、如下图，四棱锥P ABCD -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB BC ⊥，//BC AD ，12AB BC AD ==，E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角B PC D --的余弦值.2、在平面直角坐标系xOy 中，己知点F 1(-√17,0)，F 2(√17,0),点M 满足|MFt|-|MF2|=2.记M 的轨迹为C.（1）求C 的方程;（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和参考答案：一、选择题：1-5题答案:BBADC 6-10题答案：CDBCD 11-15题答案：ABACA 16-20题答案：DCADC 选择题解析：1、答案.B【解析】由可得．答案：B【解析】令,得所有项的系数和为,再减去项系数,即为所求．4、参考答案：D【解析】试题分析：由题意得，数据33 5.5715.5,244m mx y++++===，所以样本中心点315.5(,)24，代入回归直线方程，可得0.5m=，故选D.考点：回归直线方程的特征.5、参考答案：C【解析】试题分析：初始1,1,7a b a==<成立；0,3,7b a a==<成立；3,5,7b a a=-=<成立；8,7,7b a a=-=<不成立；输出8b=-，故选C．考点：循环结构．二、填空题：参考答案1、（﹣∞，2]；2、；3、0；4、（-4,1）；5、（-1,2）；6、⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，54；7、}9{>x x ；8、{}32<<-x x ；9、}32{><x x x 或；10、3。
中档题训练 函数解答题部分1
中档题训练 函数解答题部分1(百度文库有详解)一.解方程和不等式1．已知函数)1lg()(+=x x f .若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;2.已知二次函数()b ax x x f ++=22为偶函数,，()()()212≠+=c x c x h .关于x 的方程()()x h x f =有且仅有一根21.求c b a ,,的值;3.已知二次函数f (x )= x 2+bx +c ，方程f (x )－x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<1． 当x ∈(0, x 1)时，证明x <f (x )<x 1；二.值域与最值问题4.已知函数2()(0).f x ax bx c a =++≠ 若函数()()f x xg x x-=是奇函数，求函数12()lg 2xxb h x b +-=+ 的值域；5.已知x 满足不等式0log )(log 2222≤-x x ，求函数1224221++⋅-=-a a y xx (R a ∈)的最小值.6.已知函数()()1.f x x x a x R =--+∈（Ⅰ）当1a =时，求使()f x x =成立的x 的值;（Ⅱ）当()0,3a ∈，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值；三.函数的单调性7. 已知函数2()(1)||f x x x x a =+--． （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；四.恒成立，存在性问题 8.已知函数()xxf x e e-=+，其中e 是自然对数的底数.（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()1xmf x e m -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；9.已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．10.已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设． （1）求、的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；b ax ax x g ++-=12)(20>a ]3,2[41xx g x f )()(=a b 02)2(≥⋅-xx k f ]1,1[-∈x k中档题训练 函数解答题部分1一.解方程和不等式1．已知函数)1lg()(+=x x f .若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;[解](1)由⎩⎨⎧>+>-01022x x ,得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x因为01>+x ,所以1010221+<-<+x x x ,3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x2.已知二次函数()b ax x x f ++=22为偶函数,，()()()212≠+=c x c x h .关于x 的方程()()x h x f =有且仅有一根21.求c b a ,,的值;解: 由()()x f x f -=⇒0=a由()()x h x f =可得：()0222=-++-b c cx x c 代入21=x 得：2149-=c b ① ()()b c c c --=⇒=∆202 ②联立方程①②解得：32,1==c b ∴0=a ，32,1==c b .—————3分3.已知二次函数f (x )= x 2+bx +c ，方程f (x )－x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<1． 当x ∈(0, x 1)时，证明x <f (x )<x 1；解:因为x 1，x 2是方程f (x ) -x =0的根，所以f (x ) -x =(x -x 1)(x -x 2) ．当x ∈(0，x 1)时，由于x 1< x 2，所以 (x -x 1)(x -x 2)>0，故x < f (x ) ． 因为x 1- f (x )= x 1- (x -x 1)(x -x 2) -x =(x 1-x )[ 1+(x - x 2)]， 又 x 1-x > 0，1+(x - x 2) > 1- x 2> 0．于是x 1- f (x ) > 0． 从而f (x )< x 1．综上，x <f (x )< x 1． 二.值域与最值问题4.已知函数2()(0).f x ax bx c a =++≠ 若函数()()f x xg x x-=是奇函数，求函数12()lg 2xxb h x b +-=+ 的值域；解： ()()1()() 1 (222223)()lg ()1(0,2)()(,lg 2)121212x x x x xf x x cg x ax b g x g x b x x h x u x h x -'==++--=-∴=--∴=⇒==-+∈∴∈-∞+++ 5.已知x 满足不等式0log )(log 2222≤-x x ，求函数1224221++⋅-=-a a y xx (R a ∈)的最小值.解：解不等式 0log )(log 2222≤-x x ，得 41≤≤x ，所以 1622≤≤x1)2(21122)2(211224222221+-=++⋅-=++⋅-=-a a a a a y x xx xx当2<a 时，1)2(212min +-=a y ； 当162≤≤a 时，1min =y 当16>a 时，1)16(212min +-=a y6.已知函数()()1.f x x x a x R =--+∈（Ⅰ）当1a =时，求使()f x x =成立的x 的值;（Ⅱ）当()0,3a ∈，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值； 解：（Ⅰ）当1a =时，由()f x x =得11x x x --+=，解得1x =；（Ⅱ）当()()()2211x ax x a f x x ax x a ⎧-++≥⎪=⎨-+<⎪⎩，作出示意图，注意到几个关键点的值:2()2(0)()=1,()124a a f x f f a f ===-， 最大值在()()(1),2,f f f a 中取.当()[]()()max 01,1,21a f x f x f a <≤==时在上递减，故；当()[][]()()max 12,1,,21a f x a a f x f a <<==时在上递增，上递减，故；当2≤a ＜3时，f(x)在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，且2ax =是函数的对称轴，由于213022a a a ⎛⎫⎛⎫---=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()max 252f x f a ==-，综上()ma x,011,1252,23a a f x a a a <≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤<⎩三.函数的单调性7. 已知函数2()(1)||f x x x x a =+--． （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；解：（1）当1-=a 时，有⎩⎨⎧-<-≥-=1,11,12)(2x x x x f ………2分当1-≥x 时，1122=-x ，解得：1=x 或1-=x当1-<x 时，1)(=x f 恒成立 ………4分 ∴方程的解集为：1|{-≤x x 或}1=x ………5分（2）⎩⎨⎧<-+≥++-=a x ax a ax a x a x x f ,)1(,)1(2)(2 ………7分若)(x f 在R 上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0141a a a ，解得：31≥a ………10分四.恒成立，存在性问题 8.已知函数()xxf x e e-=+，其中e 是自然对数的底数.（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；9.已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．(20)解：（Ⅰ）2222()()()3()()33x a a x a f x a a x x a ⎧--+≤⎪=⎨-->⎪⎩当0a ≥时，()f x 在(,)a -∞和(,)a +∞上均递增，∵2()f a a =，则()f x 在R 上递增 当0a <时，()f x 在(,)a -∞和(,)3a +∞上递增，在在(,)3a a 上递减 …………6分 （Ⅱ）由题意只需min max ()4,()16f x f x ≥≤ 首先，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,2]x ∈上恒递增 则min ()(1)1214f x f a ==+-≥，解得12a ≤-或52a ≥ 其次，当52a ≥时，()f x 在R 上递增，故max ()(2)4416f x f a ==-≤，解得552a ≤≤ 当12a ≤-时， ()f x 在[1,2]上递增，故max ()(2)12416f x f a ==-≤，解得112a -≤≤-综上：112a -≤≤-或552a ≤≤…………15分10.已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设． （1）求、的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围； 21. 解：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．（2）由已知可得，所以可化为， 化为，令，则，因，故，记，因为，故， 所以的取值范围是．b ax ax x g ++-=12)(20>a ]3,2[41xx g x f )()(=a b 02)2(≥⋅-xx k f ]1,1[-∈x k a b x a x g -++-=1)1()(20>a )(x g ]3,2[⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ⎩⎨⎧==01b a 21)(-+=x x x f 02)2(≥⋅-x x k f x x x k 22212⋅≥-+k x x ≥⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2122112x t 21=122+-≤t t k ]1,1[-∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t =)(t h 122+-t t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21t 1)(max =t h k ]1,(-∞。
浙江省9+1高中联盟长兴中学2024学年高三练习题四(全国卷)数学试题
浙江省9+1高中联盟长兴中学2024学年高三练习题四（全国卷）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。
如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n值为（）（参考数据：003 1.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈）A．48 B．36 C．24 D．122．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒3．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q）C．（非p）∧q D．p∧（非q）4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．23B ．13C ．43D ．565．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i6．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．1547．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B ．23C ．33D ．238．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．329．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．10．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．23B 6C 3D ．1311．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n、x的值分别为3、1，则输出v的值为（）A．7B．8C．9D．1012．执行如图所示的程序框图若输入12n ，则输出的n的值为（）A．32B．2C．52D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西赣中南五校2024届高三数学试题4月联考试题
江西赣中南五校2024届高三数学试题4月联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差 2．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．40322017B ．20152016C ．20162017D ．201510083．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦4．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABCS=，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CACB=⋅+⋅，则11x y+的最小值为（ ） A ．73123+B ．12C ．43D ．53124+5．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 36．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元 7．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．858．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）A ．3B 3C ．6D ．311．已知抛物线C ：28x y =，点P 为C 上一点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，又知点()5,2A ，则PQ PA +的最小值为（ ） A ．132B ．4102C ．3D ．512．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ） A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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中档题四
已知点(cos ,1cos 2)A x x +，(3sin ,cos )B x x λ-+，()0,x π∈，向量()1,0a =.
（1）若向量BA 与a 共线，求实数x 的值；
（2）若向量BA a ⊥，求实数λ的取值范围.
如图，已知▱ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点．
(1)求证：直线AE ∥平面BDF ；
(2)若∠AEB ＝90°，求证：平面BDF ⊥平面BCE .
正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，O 为A 1B 与AB 1的交点．
(1) 求证：AB 1⊥平面A 1BD ；
(2) 若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面A 1BD .
函数x x x g a x a x x f ln )(,)1()(3=++-=．
（Ⅰ）若)(x f y =，)(x g y =在1=x 处的切线相互垂直，求这两个切线方程； （Ⅱ）若)()()(x g x f x F -=单调递增，求a 的范围．
等差数列{}n a 中，首项11a =，公差0d ≠，前n 项和为n S ，已知数列123,,,,,n k k k k a a a a 成等比数列，其中11k =，22k =，35k =．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n k 的通项公式；
（Ⅱ）令21
n n n a b k =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ．若存在一个最小正整数M ，使得当n M >时，4n n S T >（*n ∈N ）恒成立，试求出这个最小正整数M 的值．
16. （本小题满分12分）
解：（I ）).cos 2cos 1,sin 3(cos x x x x BA -+-+=λ
,BA a 与共线
.0cos cos 20cos 2cos 12=-=-+∴x x x x 即 2
1cos 0cos ==∴x x 或 又3
2),,0(πππ==∴∈x x x 或 （II ）,BA a ⊥ .)6
sin(2cos sin 3πλ-=-=∴x x x .6
566,0ππππ<-<-∴<<x x 1)6
sin(21≤-<-∴πx
.21≤<-∴λ ]2,1(-∴的取值范围是λ
解：（I ）)1(3)(2+-='a x x f , 1ln )(+='x x g
∴a f -='2)1( 1)1(='g
∵两曲线在1=x 处的切线互相垂直
∴11)2(-=⨯-a ∴ 3=a
∴0)1(1)1(=-='f f ∴)(x f y =在 1=x 处的切线方程为01=-+y x ， 同理，)(x g y =在 1=x 处的切线方程为01=--y x
(II) 由x x a x a x x F ln )1()(3-++-=
得2ln 31ln )1(3)(22---=--+-='a x x x a x x F
∵)()()(x g x f x F -=单调递增 ∴0)(≥'x F 恒成立
即2ln 32
--≤x x a 令2ln 3)(2--=x x x h %5￥u )0(16)(>-
='x x x x h 令0)(>'x h 得66>x ，令0)(<'x h 得660<<x ∴6ln 2123)66()(min
+-==h x h
∴a 的范围为(]6ln 2123,+-∞-
解：（Ⅰ）由2215a a a =⋅，得2(1)1(14)d d +=⋅+，解得2d =，21n a n ∴=-，
21n k n a k =-，又在等比数列中，公比21
3a q a ==，∴13n n k a -=， 1
213n n k -∴-=，1312
n n k -+∴=． （Ⅱ）121213n n n n a n b k --==-， 则0121135213333n n n T --=
++++， 123111352321333333n n n n n T ---=+++++， 两式相减得：
123122222211333333
n n n n T --=+++++- 112122*********
n n n n --+=+⨯-=-， ∴1133
n n n T -+=-． ∵1121213(3)0333
n n n n n n n n T T +-+++-=---=>， ∴n T 单调递增，∴13n T ≤<．又2n S n =在*n ∈N 时单调递增． 且11S =，144T =；24S =，248T =；39S =，39249
T =
；41612S =>，4412T <；…． 故当3n >时，4n n S T >恒成立，则所求最小正整数M 的值为3．。