北京市房山区九年级上期末数学试卷(有答案)-优质资料
2021-2022学年房山区九年级第一学期数学期末测试参考答案
房山区2021——2022学年度第一学期期末考试九年级数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案A B B D A C B D二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9. 30 ； 10. π3; 11. 40 ； 12. 65 ；13. <； 14. 80√3； 15. 直径所对圆周角是直角，经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；16. 3 ， 45 .三、解答题（本题共12道小题，第17—22题，每题5分，第23—26题，每题6分,第27—28题每题7分，共68分）17.解：原式=12+1−12…………………………3分=1 …………………………5分18.证明：∵DE⊥AC ∴∠EDC=90° …………………………2分∵∠B=90°∴∠EDC=∠B…………………………4分又∵∠C=∠C∴△CDE∽△CBA …………………………5分19. 解：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°……………………1分在Rt△ADC中，∵tan C= ADDC =43, AD=4∴DC=3 …………………………2分在Rt△ADB中，∵∠B=30°,tan B=ADBD∴BD=ADtan B =4tan30°=4√3………………4分∴BC= DC+BD=3+4√3 ………………5分EB C ADEA．2∶1 C．2∶3ACA B20. 解：∵反比例函数()0ky k x=≠ 的图象经过点A (2,3) ∴3=k 2解得，k =6 …………………………2分 ∴反比例函数表达式为y =6x.∵反比例函数y =6x的图象经过点B (-2,m )∴m =6−2=−3 ………………………5分21. 证明：如图，…………………………3分∵BD 平分∠ABC∴∠ABD =∠CBD ∴ AD⏜=CD ⏜ ∴AD =CD ……………………5分22. 解：设EF 的延长线交AB 于点M ，根据题意∵∠AEF=30°，∠AFM=60° ∴∠EAF=30° ∴EF=AF∵CD=EF=40∴AF=40 ……………………2分 在Rt△AFM 中，AF=40，∠AFM=60°∴sin60°=AMAF∴AM=sin60°∙AF=√32∙40=20√3∴AB=AM+MB=20√3+1.2 ……………………4分 ∵√3≈1.73∴AB ≈36 ……………………5分23.解：∵在⊙O 中，∠A =15°∴∠COB =30° ∵AB =4∴OC =2 ……………………2分 在Rt △COE 中，OC =2，∠COB =30° ∴CE =1 ……………………4分 ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ∴2CE=CDM∴CD =2 ……………………6分24.解：如图，EF 与AP 相交于点M ∵点A ，点P 关于线段EF 对称 ∴EF 垂直平分AP ∴△AMF ≌△PMF ∴∠AFM=∠PFM ∵PF ⊥AC∴∠AFM=∠PFM=45°……………………2分 ∵∠B ＝45°，∠C ＝60° ∴∠BAC=75°∴∠AEF =60° ……………………3分 ∵AB ＝4√2，点E 为线段AB 的中点∴AE=2√2 ……………………4分 在Rt △AME 中，∠AEF =60°，AE =2√2 ∴AM =√6 ……………………5分 ∴AP =2AM =2√6 ……………………6分25.解：(1)∵点A （2，4）在双曲线10my m x =≠（） 上∴m=8 ……………………2分（2）P 1(2,0), P 2(4,0) ……………………6分26.解：(1) ∵点A （-1,0）在抛物线2+3y ax bx a =+上 ∴0=a −b +3a∴4a =b ……………………1分 ∴抛物线表达式为2+43y ax ax a =+∴抛物线对称轴为直线x =−2 ……………………2分 (2)∵点B 的坐标为（x , x +1） ∴点B 在直线y =x +1上当AB =3√2时，点B 的坐标为B 1（2,3），B 3（-4，-3）当AB =5√2时，点B 的坐标为B 2（4,5），B 4（-6，-5） ……………………4分 由图可知,当图象经过点A 和点B 1时，a=15MPEACBF当图象经过点A 和点B 2时，a=17当图象经过点A 和点B 3时，a=−1 当图象经过点A 和点B 4时，a=−13综上，当AB≤a 的取值范围为17≤a ≤15或−1≤a ≤−13 ……………………6分27.证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB =90°∵CD ⊥AB 交⊙O 于点D ∴∠DCB =90°在△ADB 和△DCB 中，∠A =∠A ，∠ADB =∠DCB =90° ∴∠ADC =∠ABD ……………………3分 （2）补全图形，如图所示 ………………4分 ∵PD 是⊙O 的切线 ∴∠ODP =90° ∴∠PDC =∠DOC ∵4tan 3PDC ∠=∴tan∠DOC =43=CDCO 设CD =4k ,CO =3k ,则DO =5k ∴AO=5k∴AC=AO -CO=5k -3k=2k ∵AC=3 ∴3=2k ∴k=32∴BC=OC+BO=8k=12 ……………………7分28.解：（1）②；1 ……………………2分（2）∵在2y x =-+中 y 随 x 的增大而减小，∴上确界为2-a ，即2-a= b ， 又 b > a ，所以2-a> a ，解得 a <1 ∵函数的最小值是2-b ，∴2-b ≤2a+1，得a ≤2a+1，解得 a ≥-1， 综上所述：-1≤a <1 ……………………5分 (3）函数的对称轴为 x = a ，①当a≤3时，函数的上确界是25-10a +2=27-10a ∴27-10a =3解得 a =125，符合题意；②当 a >3时，函数的上确界是1-2a +2=3-2a ∴3-2a =3，解得 a =0，不符合题意． 综上所述：a =125 ……………………7分。
2024北京房山区初三(上)期末数学试卷和答案
房山区2023—2024学年度第一学期期末检测试卷参考答案九年级数学第一部分 选择题（共16分，每题2分）在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.第二部分 非选择题（共84分）二、填空题（共16分，每题2分）9. 1x ≠10. 5011. 2y x =或2y x=或22y x =（答案不唯一） 12. 413. 314. π21516.（1）3；（2）(0（注：第15题答对1个给1分，第16题一空1分）三、解答题（共68分，第17 -22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解：04sin 451)5︒++−4152=⨯++−………….………..……….4分 6=. ………….………..……….5分18. 证明： ∵A A ∠=∠， ………….………..……….2分又∵ADE C ∠=∠， ………….………..……….4分 ∴△ADE ∽△ACB . ………….………..……….5分19．（1）二次函数223y x x =+−的图象，如图.………….………..……….2分抛物线的对称轴为直线1x =−. ………….………..……….3分（2）当11x −<<时，则y 的取值范围是40y −<<. …….………..……….5分 20. 解：在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5BC =，13AB =，由勾股定理得：12AC =. ………..……….3分 ∴12cos 13AC A AB ==. ………….………..……….5分 21. 解：（1）补全的图形如图所示： ………….………..……….2分（2） …….………..……….3分90； 直径所对的圆周角是直角. …….………..……….5分BA22. （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90ADC ∠=︒.∴90ADE EDC ∠+∠=︒. ………….………..……….1分 ∵DE AC ⊥，∴90ADE DAE ∠+∠=︒. ………….………..……….2分 ∴DAE EDC ∠=∠. ………….………..……….3分（2）解：在Rt △DEC 中，3tan 4EDC ∠=，设3EC x =，4DE x =， 则5DC x =.∵DAE EDC ∠=∠，∴3tan tan 4DAE EDC ∠=∠=. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴8AD BC ==. 在Rt △ADC 中，3tan 4DAC ∠=，8AD =. ∴3tan 4DC DAE AD ∠==. ∴6DC =.∴56DC x ==. ∴65x =. ∴2445DE x ==. ………….………..……….5分 23. 解：（1）∵直线y x =与双曲线ky x=相交于点(2)P m ，. ∴ 2m =. ………….………..……….2分 把点(22)P ，代入ky x=得 EDCBA22k=. ∴4k =. ………….………..……….3分 ∴4y x=. ∴4.y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴222. 2.x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==−⎩⎩，，或∴点Q 的坐标为(22)−−，. ………….………..……….4分 （2）n 的取值范围是2n >或20n −<<. ………….………..……….6分 24.（1）证明：连接OC .∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠. 又∵DCB DAC ∠=∠，∴DCB OCA ∠=∠. .……….1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90OCA OCB ∠+∠=︒.∴90DCB OCB ∠+∠=︒. ………….………..……….2分 又∵OC 是半径，CD 经过⊙O 的半径外端C .∴CD 是⊙O 的切线. ………….………..……….3分（2）解：在Rt △OCD 中，∵90OCD ∠=︒，30D ∠=︒，2OC =，∴4OD =. ………….………..……….4分 ∴6AD AO OD =+=.∵AE 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA AE ⊥. ………….………..……….5分DA在Rt △EAD 中，∵90EAD ∠=︒，30D ∠=︒，6AD =，∴tan 3063AE AD =⋅︒=⨯= ………….………..……….6分25. （1）5m . ………….………..……….2分解：由题意可知2(6)5y a x =−+. ∵当0x =时，2y =， ∴2(06)52a −+=，解得112a =−， ∴函数关系为21(6)512y x =−−+. ……….………..……….5分 （2）>. ……….………..……….6分 26.（1）解：当0x =时，4y =.∴抛物线与y 轴交点的坐标为(04)，.……….………..……….1分 ∵点(1)m ，，(3)n ，在抛物线24(0)y ax bx a =++>上，且m n =，∴31t t −=−，解得2t =. ………….………..……….3分（2）解：由4m a b =++，934n a b =++，∵m n <， ∴820a b +>. ∴4b a >−. ∵0a >， ∴22ba−<，即2t <. ∵4n <， ∴930a b +<. ∴3b a <−. ∴322b a −>,即32t >.综上所述，322t <<. ………….………..……….5分 ∵点00()(3)x n x ≠，在抛物线上， ∴0()x n ，，(3)n ，关于抛物线的对称轴x t =对称，且0x t <. ∴03t t x −=−,解得032x t +=. ∴033222x +<<. ∴001x <<. ………….………..……….6分 27.（1）60； ………….………..……….2分（2）① 依题意补全图形，如图.………….………..……….4分② 用等式表示线段AG ，BG 与DG 的数量关系：2223AG BG DG +=.………….………..……….5分证明：作120GAM ∠=︒，在AM 截取AP AG =，连接GP ，PD .∵ AP AG =,120GAP ∠=︒, ∴30AGP APG ∠=∠=︒. ∵ △ABC 是等边三角形， ∴AB BC =,60ABC ∠=︒. 又∵AD BC =,DG FECBA∴ AB AD =. ∵ AD ∥BC ，∴180ABC BAD ∠+∠=︒.∴120BAD ∠=︒. ∵120GAP ∠=︒, ∴ BAG DAP ∠=∠.∴ △BAG ≌△DAP （SAS ）. ∴ BG DP =，120APD AGB ∠=∠=︒. ∵ 30APG ∠=︒， ∴ 90DPG ∠=︒.∴222GP DP DG +=. 过点A 作AQ GP ⊥于点Q ， 在Rt △AGQ 中，∵30AGQ ∠=︒，cos GQAGQ AG∠=，∴GQ AG =.∴2GP GQ ==. 又∵BG DP =，∴2223AG BG DG +=. ………….………..……….7分28.（1）①2P ，3P ； ………….………..……….2分 ②解：∵当2x =时，0y =，∴一次函数2y kx k =−的图象过点(20)，. 如图1，当一次函数2y kx k =−的图象与半径为1的⊙O 相切时， 30OBP ∠=︒,得：3k =−. M QPH DG FECBA如图2，当一次函数2y kx k =−的图象与y 轴的交点也是⊙O 与y 轴的交点时，45OBA ∠=︒,得：1k =−.∴13k −<−≤； ………….………..……….5分图1 图2（2）1m <<1m << ………….………..……….7分。
2022-2023学年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷(word,解析版)
2022-2023学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）1．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么AC的值为（）A．4B．6C．8D．92．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么cos A的值为（）A．B．C．D．3．（2分）把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x﹣1）2+5D．y＝（x﹣1）2+3 4．（2分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2分）堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（）A．1：3B．1：2.6C．1：2.4D．1：26．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，如果x1＜x2＜0，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞07．（2分）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（）A．B．C．D．8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点同时从原点O出发，点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方向运动，点B以每秒1个单位长的速度沿y轴的正方向运动，设运动时间为t秒，以AB为直径作圆，圆心为点P．在运动的过程中有如下5个结论：①∠ABO的大小始终不变；②⊙P始终经过原点O；③半径AP的长是时间t的一次函数；④圆心P的运动轨迹是一条抛物线；⑤AB始终平行于直线．其中正确的有（）A．①②③④B．①②⑤C．②③⑤D．①②③⑤二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标为．10．（2分）如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点A和点B，则a的值为．11．（2分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠ABC为．12．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为．13．（2分）丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是cm．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝4，且，则EF的长为．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为步．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点P（t，0）为圆心，单位长1为半径的圆与直线y＝kx﹣2相切于点M，直线y＝kx﹣2与y轴交于点N，当MN取得最小值时，k的值为．三、解答题（本题共12道小题，共68分.17，18，20，21每题5分；其余每题6分）17．（5分）2cos30°+sin45°﹣tan60°．18．（5分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1）．（1）求b，c的值；（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．19．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝．（1）求BC的长．（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．20．（5分）下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线PD（D为切点）．作法：①连接PO与⊙O交于点A，延长PO与⊙O交于点B；②以点O为圆心，AB长为半径作弧；以点P为圆心，PO长为半径作弧，在PO上方两弧交于点C；③连接OC，PC，OC与⊙O交于点D；④作直线PD．则直线PD即为所求作的⊙O的切线．请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，OC＝AB，PC＝PO，点为线段CO中点，∴PD⊥OC（）又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O切线（）21．（5分）如图，割线PB与⊙O交于点A，B，割线PC过圆心O，且∠CPB＝30°．若PC＝13，⊙O的半径OA＝5，求弦AB的长．22．（6分）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进128m 到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你求出中央电视塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）23．（6分）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB，测得弧所对的弦长AB为12.8cm，弧中点到弦的距离为2cm．设弧AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB．求这个盏口半径OB 的长（精确到0.1cm）．24．（6分）如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，4），一次函数y＝﹣x+2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B．（1）求m的值；（2）点C（x C，y C）是y＝（x＜0）图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴的垂线交直线y＝﹣x+2于点E．①当x C＝﹣2时，判断CD与CE的数量关系，并说明理由；②当CE≥CD时，直接写出x C的取值范围．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E．（1）求证：BC是∠ABD的平分线；（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长．26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上存在两点A（2﹣t，y1），B（2+2t，y2），若y1＞y2，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点（1，m），（2，n），（5，p），当mnp≥0时，求a的取值范围．27．（6分）已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．点D为平面上一点，使得∠BDA＝90°．点P为BC中点，连接DP．（1）如图，点D为△ABC内一点．①猜想∠BDP的大小；②写出线段AD，BD，PD之间的数量关系，并证明；（2）直接写出线段CD的最大值．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以AB为直径作⊙M．取线段AB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．（1）已知抛物线y＝x2．①若点A横坐标为﹣2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为；②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；（2）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+a，若点A在直线y＝﹣4ax+a上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．2022-2023学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）1．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么AC的值为（）A．4B．6C．8D．9【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算求出EC，结合图形计算得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得，EC＝4，∴AC＝AE+EC＝2+4＝6，故选：B．2．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据余弦的概念求出cos A．【解答】解：∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，由勾股定理得，AB＝＝5，∴cos A＝＝，故选：A．3．（2分）把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x﹣1）2+5D．y＝（x﹣1）2+3【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣2x+4，＝x2﹣2x+1+3，＝（x﹣1）2+3．故选：D．4．（2分）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC＝25°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝2∠CAB，代入求出即可．【解答】解：∵对的圆心角为∠COB，对的圆周角为∠CAB，∠BAC＝25°，∴∠COB＝2∠CAB＝50°，故选：C．5．（2分）堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（）A．1：3B．1：2.6C．1：2.4D．1：2【分析】坡度＝垂直距离÷水平距离．【解答】解：由勾股定理得：AC＝12米．则斜坡AB的坡度＝BC：AC＝5：12＝1：2.4．故选：C．6．（2分）点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数的图象上的两点，如果x1＜x2＜0，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0【分析】根据k的值判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0判断出A（x1，y1）、B（x2，y2）所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在一，三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜0，∴A（x1，y1）、B（x2，y2）两点均位于第三象限，∴y2＜y1＜0．故选：B．7．（2分）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（）A．B．C．D．【分析】根据弧长公式求出答案即可．【解答】解：图中的管道中心线的长为＝（m），故选：B．8．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点同时从原点O出发，点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方向运动，点B以每秒1个单位长的速度沿y轴的正方向运动，设运动时间为t秒，以AB为直径作圆，圆心为点P．在运动的过程中有如下5个结论：①∠ABO的大小始终不变；②⊙P始终经过原点O；③半径AP的长是时间t的一次函数；④圆心P的运动轨迹是一条抛物线；⑤AB始终平行于直线．其中正确的有（）A．①②③④B．①②⑤C．②③⑤D．①②③⑤【分析】①由题意得：OA＝2t，OB＝t，则tan∠ABO＝，即可求解；②AB是圆P的直径，则AB所对的圆周角为90°，即∠AOB＝90°，即可求解；③AP＝＝t，即可求解；④由③知，点P（t，t），即可求解；⑤求出直线AB的表达式为：y＝﹣x+t，即可求解．【解答】解：①由题意得：OA＝2t，OB＝t，则tan∠ABO＝，∴∠ABO的大小始终不变，正确；②∵AB是圆P的直径，则AB所对的圆周角为90°，即∠AOB＝90°，∴⊙P始终经过原点O，正确；③由点A、B的坐标，根据中点坐标公式得：点P（t，t），则AP＝＝t，即AP的长度是时间t的一次函数，正确；④由③知，点P（t，t），则点P在直线y＝x上，故④错误；⑤设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+t，∵AB始终平行于直线，正确，故选：D．二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】直接根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数y＝（x+1）2﹣2图象的顶点坐标为：（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．10．（2分）如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点A和点B，则a的值为．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣3＝﹣2a，然后解关于a的方程即可．【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，﹣3）和点B（﹣2，a），∴﹣3＝﹣2a，解得a＝，故答案为：．11．（2分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠ABC为．【分析】在Rt△ABD中，先利用勾股定理求出AB的长，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：在Rt△ABD中，AD＝1，BD＝3，∴AB＝＝＝，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：．12．（2分）抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为1．【分析】由抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点可知，对应的一元二次方程x2﹣2x+m ＝0，根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，∴Δ＝0，∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×m＝0；∴m＝1．故答案为：1．13．（2分）丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，CB为6cm，则该圆形镜子的半径是5cm．【分析】连接AB，由圆周角定理得AB为圆形镜子的直径，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．【解答】解：如图，连接AB，∵∠ACB＝90°，∴AB为圆形镜子的直径，∵CA＝8cm，CB＝6cm，∴AB＝＝＝10（cm），∴圆形镜子的半径为×10＝5（cm），故答案为：5．14．（2分）如图，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝4，且，则EF的长为．【分析】先根据矩形的性质得到AD∥BC，∠BAD＝90°，则可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得到＝＝＝，则可计算出AE＝1，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用＝求出EF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝＝，∴AE＝BC＝×4＝1，在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∵＝，∴＝，∴EF＝BE＝．故答案为：．15．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为6步．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【解答】解：根据勾股定理得：斜边AB＝＝17，∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），故答案为：6．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点P（t，0）为圆心，单位长1为半径的圆与直线y＝kx﹣2相切于点M，直线y＝kx﹣2与y轴交于点N，当MN取得最小值时，k的值为或﹣．【分析】连接PN，在y＝kx﹣2中，得N（0，﹣2），即得MN＝＝，故PN最小时，MN最小，此时PN⊥x轴，即t＝0，P与O重合，过M作MK⊥x轴于K，由含30°角的直角三角形三边关系可得M（﹣，﹣），再用待定系数法解得k＝﹣，由对称性当M'在第四象限时，k＝．【解答】解：连接PN，如图：在y＝kx﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，∴N（0，﹣2），∵MN与⊙P相切，∴∠MNP＝90°，∴MN＝＝，∴PN最小时，MN最小，此时PN⊥x轴，即t＝0，P与O重合，过M作MK⊥x轴于K，如图：∵PM＝1，PN＝2，∠PMN＝90°，∴∠PNM＝30°，∴∠MPN＝60°，∴∠MPK＝30°，∴KM＝PM＝，PK＝KM＝，∴M（﹣，﹣），把M（﹣，﹣）代入y＝kx﹣2得：﹣＝﹣k﹣2，解得k＝﹣，由对称性可得，当M'在第四象限时，k＝，故答案为：或﹣．三、解答题（本题共12道小题，共68分.17，18，20，21每题5分；其余每题6分）17．（5分）2cos30°+sin45°﹣tan60°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝2×+×﹣＝1．18．（5分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1）．（1）求b，c的值；（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．【分析】（1）把（0，﹣3）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）根据（1）中bc的值得出抛物线的解析式，求出其顶点坐标，根据抛物线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣3）和（2，1），∴，解得，（2）由（1）知，b＝4，c＝﹣3，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标为：（2，1），∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜2时，函数y随x的增大而增大．19．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝．（1）求BC的长．（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长．【分析】（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，利用等腰三角形的性质可得BC＝2BD，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义可求出BD的长，从而进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论可得sin∠ABC＝sin∠ACB＝，然后Rt△BEC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝5，AD⊥BC，∴BC＝2BD，在Rt△ABD中，sin∠ABC＝，∴AD＝AB•sin∠ABC＝5×＝2，∴BD＝＝＝，∴BC＝2BD＝2，∴BC的长为2；（2）如图：∵∠ABC＝∠ACB，∴sin∠ABC＝sin∠ACB＝，在Rt△BEC中，BC＝2，∴BE＝BC•sin∠ACB＝2×＝，∴BE的长为．20．（5分）下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图，⊙O及⊙O外一点P．求作：过点P的⊙O的切线PD（D为切点）．作法：①连接PO与⊙O交于点A，延长PO与⊙O交于点B；②以点O为圆心，AB长为半径作弧；以点P为圆心，PO长为半径作弧，在PO上方两弧交于点C；③连接OC，PC，OC与⊙O交于点D；④作直线PD．则直线PD即为所求作的⊙O的切线．请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，OC＝AB，PC＝PO，点D为线段CO中点，∴PD⊥OC（三线合一）又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线）【分析】（1）根据题中的步骤画图；（2）根据切线的判断求解．【解答】解：（1）如图：PD即为所求；（2）证明：由作图可知，OC＝AB，PC＝PO，点D为线段CO中点，∴PD⊥OC（三线合一），又∵点D在⊙O上，∴PD是⊙O切线（过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线），故答案为：D，三线合一，过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．21．（5分）如图，割线PB与⊙O交于点A，B，割线PC过圆心O，且∠CPB＝30°．若PC＝13，⊙O的半径OA＝5，求弦AB的长．【分析】由垂径定理得到AH＝BH，由勾股定理可求AH的长，于是可求AB的长．【解答】解：作OH⊥AB于H，∴AH＝BH，∵PC＝13，⊙O的半径OA＝OC＝5，∴PO＝PC﹣OC＝13﹣5＝8，∵∠CPB＝30°，∴OH＝PO＝4，∵AH2＝AO2﹣OH2，∴AH2＝52﹣42，∴AH＝3，∴AB＝2AH＝6．22．（6分）中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进128m 到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你求出中央电视塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．）【分析】根据题意可得：DE＝CF＝128米，CD＝EF＝GB＝1.5米，∠AGD＝90°，设AG＝x米，然后在Rt△AGC中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而求出DG 的长，再在Rt△AGD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：DE＝CF＝128米，CD＝EF＝GB＝1.5米，∠AGD＝90°，设AG＝x米，在Rt△AGC中，∠AEG＝45°，∴EG＝＝x（米），∴DG＝GE+DE＝（128+x）米，在Rt△AGD中，∠ADG＝37°，∴tan37°＝＝≈，解得：x＝384，经检验：x＝384是原方程的根，∴AB＝AG+BG＝384+1.5≈386（米），∴中央电视塔AB的高度约为386米．23．（6分）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB，测得弧所对的弦长AB为12.8cm，弧中点到弦的距离为2cm．设弧AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB．求这个盏口半径OB 的长（精确到0.1cm）．【分析】由垂径定理得BD＝6.4cm，设这个盏口半径OB的长为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，然后在Rt△BOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：AB＝12.8cm，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝6.4cm，设这个盏口半径OB的长为rcm，则OD＝（r﹣2）cm，在Rt△BOD中，由勾股定理得：6.42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝11.24，答：这个盏口半径OB的长为11.24cm．24．（6分）如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，4），一次函数y＝﹣x+2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B．（1）求m的值；（2）点C（x C，y C）是y＝（x＜0）图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴的垂线交直线y＝﹣x+2于点E．①当x C＝﹣2时，判断CD与CE的数量关系，并说明理由；②当CE≥CD时，直接写出x C的取值范围．【分析】（1）把点A的坐标代入到反比例函数解析式即可得m的值；（2）①确定点C的坐标为（﹣2，2），点E的坐标为（﹣2，4），即可求解；②设t＝x C，当x＞1﹣时，则点C在E的上方，当CE≥CD时，即﹣+t﹣2≥﹣t，即可求解；当CE≥CD时，即﹣t+2≥﹣t，即可求解．【解答】解：（1）把点A（﹣1，4）代入得：4＝，解得：m＝﹣4；（2）①CD＝CE，理由如下：由（1）可得，反比例函数解析式为：y＝，∴当x＝﹣2时，y＝2，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵过点C作y轴的垂线交y轴于点D，∴CD＝2，∵过点C作x轴的垂线交直线y＝﹣x+2于点E，∴当x＝﹣2时，y＝4，∴点E的坐标为（﹣2，4），∴CE＝2，∴CD＝CE；②设t＝x C，联立y＝和x＝﹣x+2并解得：x＝1，当x＞1﹣时，则点C在E的上方，当CE≥CD时，即﹣+t﹣2≥﹣t，解得：1﹣＜t≤﹣1，当x＜1﹣时，则点C在E的下方，当CE≥CD时，即﹣t+2≥﹣t，解得：t≤﹣2，综上，1﹣＜x C≤﹣1或x C≤﹣2．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点B作BD⊥MC于D，线段BD与⊙O相交于点E．（1）求证：BC是∠ABD的平分线；（2）若AB＝10，BE＝6，求BC的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，得到OC∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）连接AC，连接AE交OC于点F，根据勾股定理求出AE，进而求出AF，然后求出AC，最后求出BC的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C∴∠OCM＝90°，∵BD⊥CD，∴∠BDM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥BD，∴∠DBC＝∠BCO，∵OA＝OC，∴∠BCO＝∠CBO，∴∠DBC＝∠CBA，即BC是∠ABD的平分线；（2）连接AC，连接AE交OC于点F，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE＝＝8，由（1）知OC∥BD，O为AB的中点，∴AF＝4，∴OF＝＝3，∴CF＝OC﹣OF＝2，∴AC＝＝2，∴BC＝＝4．26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上存在两点A（2﹣t，y1），B（2+2t，y2），若y1＞y2，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点（1，m），（2，n），（5，p），当mnp≥0时，求a的取值范围．【分析】（1）由抛物线的对称轴x＝﹣，即可求解；（2）由y1＞y2知：点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，即可求解；（3）确定（1，n）为抛物线的最高点，得到m、p同号，进而求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝2；（2）当a＞0时，由y1＞y2知：点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，即|2﹣t﹣2|＞|2+2t﹣2|，即|t|＜0，无解；当a＜0时，同理可得：|2﹣t﹣2|＜|2+2t﹣2|，即|t|＞0，∴a＜0，即抛物线有最高点；（3）由（1，m），（5，p）知，m＝a﹣4a+3＝3﹣3a，p＝25a﹣20a+3＝5a+3，由（2）知，a＜0，则（1，n）为抛物线的最高点，若n≤0，则m、n均为负数，与mnp≥0不符，故n＞0，则m、p同号，即，解得：﹣≤a≤1，而a＜0，∴﹣≤a＜0．27．（6分）已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2．点D为平面上一点，使得∠BDA＝90°．点P为BC中点，连接DP．（1）如图，点D为△ABC内一点．①猜想∠BDP的大小；②写出线段AD，BD，PD之间的数量关系，并证明；（2）直接写出线段CD的最大值．【分析】（1）①通过证明点A，点B，点P，点D四点共圆，可得∠BAP＝∠BDP＝45°；②由“SAS”可证△APD≌△BPH，可得BH＝AD，即可求解；（2）由题意可得点D在以AB为半径的圆上运动，则点D在CO的延长线时，CD有最大值，即可求解．【解答】解：（1）①如图，连接AP，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，∴AP＝BP＝CP，AP⊥BP，∠BAP＝∠ABC＝45°，∴∠APB＝∠ADB＝90°，∴点A，点B，点P，点D四点共圆，∴∠BAP＝∠BDP＝45°；②BD＝AD+PD，理由如下：如图，过点P作PH⊥PD，交BD于H，∵PH⊥PD，∠BDP＝45°，∴∠DPH＝∠APB＝90°，∠BDP＝∠DHP＝45°，∴∠BPH＝∠APD，PD＝PH，又∵BP＝AP，∴△APD≌△BPH（SAS），∴BH＝AD，∵PD＝PH，∠DPH＝90°，∴HD＝DP，∴BD＝BH+HD＝AD+DP；（2）如图，取AB的中点O，连接OC，∴AO＝OB＝1，∴CO＝＝＝，∵∠ADB＝90°，∴点D在以AB为半径的圆上运动，∴点D在CO的延长线时，CD有最大值，即CD的最大值为+1．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以AB为直径作⊙M．取线段AB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．（1）已知抛物线y＝x2．①若点A横坐标为﹣2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为4，“纵径”长为6；②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；（2）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+a，若点A在直线y＝﹣4ax+a上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．【分析】（1）①点A（﹣2，4），则点B（2，4），得到半径R＝AM＝2，则AB＝4，求出RN＝RM+OM＝4+2＝6，即可求解；②若点A横坐标为t，则点A（t，t2），则点B（﹣t，t2），参考①即可求解；（2）联立y＝x2﹣2ax+a2+a和y＝﹣4ax+a并解得：x＝﹣a，得到A（﹣a，4a2+a），进而求解．【解答】解：（1）①如图，设线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段为RN，则点N（O）重合，点A（﹣2，4），则点B（2，4），则圆M的半径R＝AM＝2，则AB＝4，由点B的坐标知，OM＝4，则RN＝RM+OM＝4+2＝6，故答案为：4，6；②若点A横坐标为t，则点A（t，t2），则点B（﹣t，t2），则圆M的直径为﹣t﹣t＝﹣2t，则RN＝﹣t+t2，则，解得：t＝0（舍去）或﹣3，即t＝﹣3；（2）由抛物线的表达式知，其顶点坐标为（a，a），即点N（a，a），联立y＝x2﹣2ax+a2+a和y＝﹣4ax+a并解得：x＝﹣a，当x＝﹣a时，y＝﹣4ax+a＝4a2+a，即点A（﹣a，4a2+a），则点B（3a，4a2+a），则AB＝4a，圆M的半径为2a，则RN＝2a+（4a2+a﹣a）＝4a2+2a，则，解得：a．。
北京市房山区初三第一学期期末数学试卷(含答案)
房山区2018——2018学年度第一学期期末终结性检测试卷九年级数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．－3的倒数是A ．-3B ．3C ．13-D ．132．已知⊙O 的半径是4，OP =3，则点P 与⊙O 的位置关系是 A ．点P 在圆上B ．点P 在圆内C ．点P 在圆外D ．不能确定3．抛物线22(1)+3y x =-的顶点坐标为A ．(2,1)B ．(2,1)-C ．(1,3)-D ． (1,3)4．若32a b =，则a ba-的值为 A ．12-B ．12C ．31-D ．5．0312=++-y x ，则2()xy -的值为A ．－6B ． 9C ．6D ．－96．将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是A ．25(2)3y x =++B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-7．如右图所示，已知AB ∥CD ，EF 平分∠CEG ，∠1＝80°， 则∠2的度数为 A ．20° B．40° C ．50° D．60°8．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上两点，CD ⊥AB ，如果∠DAB=65°，那么∠AOC 等于1 2GB DCAF EA.25°B.30°C.50°D.65°9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题3分）11．x 的取值范围为_ __． 12．反比例函数的图象经过点P （-1，2），则此反比例函数的解读式为． 13．分解因式：24ax a -=．14．活动楼梯如图所示，∠B =90°，斜坡AC 的坡度为1:1，斜坡AC 的坡面长度为8m ，则走这个活动楼梯从 16．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过A （0,3），B （2,3）两点.请你写出一组满足条件的a,b 的对应值.a=_______,b=__________.三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）BCBA17．计算：()1012sin 6020152-⎛⎫-+︒--- ⎪⎝⎭．18．求不等式组⎩⎨⎧---≤-x x x x 15234)2(2＜的整数解．19．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ．（1）求证：△ACD ∽△ABC ； （2）如果BCAC ＝3，求CD 的长．20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．21．下表给出了代数式2x bx c -++与x 的一些对应值：（1）根据表格中的数据，确定b ，c ，n 的值；（2）设2y x bx c =-++，直接写出02x ≤≤时y 的最大值．22．如图，△ABC 中，∠B =60°，∠C =75°，AC =AB 的长．23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到△A’BC ’,请画出△A’BC ’,并求BA 边旋转到B A’’位置时所扫过图形的面积； （2）请在网格中画出一个格点△A”B”C”，使△A”B”C”∽△ABC ，且相似比不为1．DCBAABC24．已知关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值．25．已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积；(3)根据图象求不等式kx+b<xm的解集．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙P 与y 轴相切于点C ，⊙P 的半径是4，直线y x =被⊙P 截得的弦AB的长为P 的坐标．27．已知关于x 的一元二次方程21202k x x -++=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2122k y x x -=++的图象 向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），直线(0)y kx b k =+>过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ，直线BC 上方的抛物线与线段BC 组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k 的取值范围.28．在矩形ABCD 中，边AD =8，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在CD 边上的点P 处（如图1）．图1 图2PA BPA O图1备用图（1）如图2，设折痕与边BC 交于点O ，连接,OP 、OA ．已知△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）动点M 在线段AP 上（不与点P 、A 重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN =PM ，连接MN 、 PA ，交于点F ，过点M 作ME ⊥BP 于点E ． ①在图1中画出图形；②在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4不变的情况下，试问动点M 、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？请你说明理由．29．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点.直线y kx b =+与抛物线2194y mx x n =-+同时经过(0,3)(4,0)A B 、. （1）求,m n 的值.（2）点M 是二次函数图象上一点，(点M 在AB 下方)，过M 作MN ⊥x 轴，与AB 交于点N ，与x 轴交于点Q .求MN 的最大值.（3）在（2）的条件下，是否存在点N ，使AOB ∆和 NOQ ∆相似？如果存在，请求点N 的坐标；如果不存在，请说明理由.房山区2018--2018学年度第一学期期末终结性检测试卷九年级数学 参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题：三、解答题：17．解：()1012sin 6020152-⎛⎫-+︒--- ⎪⎝⎭．132322--⨯+-=-------------------------------------------------- 4分（各1分） =3- ------------------------------------------------------------5分18．解：由34)2(2-≤-x x 得 21-≥x ； ------------------------ 1分由x x --152 得 x< 2． --------------------------2分∴ 此不等式组的解集为221<≤-x ． ------------------------------ 4分∴此不等式组的整数解为0，1． ------------------------------ 5分19．（1）证明：∵∠DBC ＝∠A∠DCB ＝∠BAC ---------------------------2分 ∴△ACD ∽△ABC ． ------------------------3分（2）解：∵△ACD ∽△ABC∴BC ：AC=CD ：BC ------------------4分∵BC AC ＝3∴CD =2． ------------------------------------------------------5分DCB A20．解：（1）取出黄球的概率是13； ---------------------------------------------------- 2分（2）画树状图得：（画对1分） 如图所有可能出现的结果有9个 ------------------------------4分----------------------每个结果发生的可能性都相同，其中出现两次白色球的结果有1个.所以，P （两次取出白色球）=19． ------------------------------------------------- 5分21．解：（1）根据表格可得425,12b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ -------------------------------------------------2分 ∴2,5b c =-= ------------------------------------------------3分 ∴2225x bx c x x -++=--+， ∴1x=-时，2256x x =--+，∴n =6． -------------------------------------------------4分（2）当02x ≤≤时，y 的最大值是5． ---------------------------------------------5分22．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵∠B =60°，∠A CB =75°，∴∠A =45°， ----------------------------1分 在△ADC 中，∠A DC =90°，AC= ∴AD =DC =3， -------------------------------- 3分 在△BDC 中，∠BDC =90°，∠DCB =30°，DC =3 ∴tan30°=CD BD ，即333BD=∴BD-------------------------------------------------------- 4分 ∴AB． ---------------------------------------------------------- 5分60°45°CBAD黄白黑黄白黑黑白黄黄白黑开始23．解：（1）如图：△A ’BC ’即为所求；-------------2分BA 旋转到B A’’所扫过图形的面积：S=41336013903602πππ=⨯=R n .-------------------3分 （2）如图：△A”B”C”即为所求．------------------5分24．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．-------------1分（2）当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数．∵ 它的图象与x 轴只有一个公共点，∴ 关于x 的方程2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根．-----------2分∴2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=．-----------------------------------------------------3分整理，得 2340a -=．解得a =．-----------------------------------------------------------------------5分 综上，0a =或a =．25．解：（1）∵B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm的图象的一个交点 ∴m=4∴所求反比例函数的表达式为：4y x=. ----------------------------1分∵A(n,-2)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm的图象的另一个交点 ∴ n=-2. ------------------------------------2分 ∴A （-2,-2）、B （1，4），于是 得224k b k b -+=-⎧⎨+=⎩. 解得22k b =⎧⎨=⎩∴22y x =+. ---------------------------3分 （2）△AOC 的面积=22221=⨯⨯. ---------------------------4分 A'C''B''A''C'ABC（3）不等式kx+b<xm的解集为：2x <-或01x <<.---------------------5分26. 解：延长CP 交AB 于点E ，过点P 做PD ⊥AB 于D ∴AD=BD=AB 21=32 连接PA在△PDA 中，∠PDA=90°，PA=4，AD=32∴PD=2 ---------------------1分 ∵⊙P 与y 轴相切于点C ∴PC ⊥y 轴，∴∠OCE=90° ----------------2分∵直线y=x,∴∠COE=45° ------------------3分 ∴∠CEO=45°，OC=CE在△PDE 中，∠PDE=90°，PD=2，∴PE=22 ∴CE=4+22，∴OC=4+22 --------------------------------------4分∴点P 的坐标为：P （4，4+22）-------------------------------------5分27.（1）∵关于x 的一元二次方程21202k x x -++=有实数根 ∴2144402k b ac -∆=-=-⨯≥ ∴12k -≤∴3k ≤ ---------------------------------------------------------------------------------1分 ∵k 为正整数∴k 的值是1,2,3 -----------------------------------------------------2分 （2）方程有两个非零的整数根当1k =时，220x x +=，不合题意，舍当2k =时，21202x x ++=，不合题意，舍 当3k =时，2210x x ++=，121x x ==-∴3k =----------------------------------------3分∴221y x x =++∴平移后的图象的表达式228y x x =+----------------------4分 （3）令y =0，2280x x +-= ∴124,2x x =-=∵与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）∴A （-4,0），B （2,0）°CA B-3-1-2-4-3-1-22O-4311-5y-6-7-8-9∵直线l：y kx b=+(0)k>经过点B，∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于5-．令5y=-，即2285x x+-=-．解得13x=-，21x=∴抛物线经过点(3,5)--．---------5分当直线y kx b=+(0)k>经过点（-3，-5）时，可求得1k= ------------------------6分由图象可知，当01k<<时新函数的最小值大于5-．---------------------------7分28．解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∴∠1+∠3=90°．∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．-------------------------1分又∵∠D=∠C， 2∴△OCP∽△PDA．---------------------------------------------2分如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴12OP CPPA DA==．∴CP=12AD=4．设OP=x，则CO=8－x．在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=(8－x)2+42．---------------------------------------------3分解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．-------------------------------------------------4分∴边AB的长为10．（2）①----------5分D②在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是不变的．过点M 作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图．∵AP =AB ，MQ ∥AN ，∴∠APB =∠ABP =∠MQP ．∴MP =MQ ．又ME ⊥PQ∴点E 是PQ 的中点∵MP =MQ ，BN =PM ，，．∴BN =QM ，又 MQ ∥AN可证点F 是QB 的中点∴E F =PB 21． ------------------------------------------------6分 ∵△BCP 中，∠C =90°，PC=4，BC=AD=8∴PB=54为定值∴EF 为定值． ----------------------------------------------------------7分∴在△OCP 与△PDA 的面积比为1：4这一条件不变的情况下，点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是不变的它的．29. 解：（1） 抛物线2194y mx x n =-+ 经过两点(0,3),(4,0)A B ∴22190034194404m n m n ⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得13m n =⎧⎨=⎩ 所以二次函数的表达式为21934y x x =-+. …………………………….2分 (2)可求经过AB 两点的一次函数的解读式为334y x =-+. 2223193(3)4(2)444MN x x x x x x =-+--+=-+=--+04x ≤≤∴ 当2x =时，MN 取得最大值为4.……………………………….4分(3)存在.①当ON AB ⊥ 时，（如图1）可证：NOQ OAB ∠=∠ ，90OQN AOB ∠=∠=︒图1图2∴AO B ∆∽OQN ∆. ∴ON NQ OQ AB OB OA== ∴3,4OA OB ==∴5,AB = ..ON AB OAOB =,∴125ON = ∴4836,2525NQ OQ ==.3648(,)2525N ∴ ------------------------6②当N 为AB 中点时，（如图2）NOQ B ∠=∠，90AOB NQO ∠=∠=︒∴AO B ∆∽NQO ∆.此时3(2,)2N .----------------------7∴满足条件的N 3648(,)2525或N 3(2,)2------------------------------------------------------8分。
2019-2020学年北京市房山区九年级上册期末数学试卷(有答案)-最新精品
2019-2020学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN =1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．54．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．66．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．67．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于m．12．如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c=0的解为 ．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．14．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为 ．15．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，则此二次函数图象的对称轴为 ．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形．作法：如图．（1）过圆心O 作直线AC ，与⊙O 相交于A 、C 两点；（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；（3）连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是（写出两条）．三、解答题（本题共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°．18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：）二次函数图象的顶点坐标是；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求线段BC，AD，BD的长．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为．24．（5分）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c= （用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x 的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= ；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x 相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为．2019-2020学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣【分析】把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于a的方程，可求得a的值．【解答】解：∵点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，∴2=a×（﹣1）2，解得a=2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN =1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由M、N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB、AB=2MN，进而可得出△ABC∽△MNC，根据相似三角形的性质结合S △CMN =1，即可求出S △ABC 的值．【解答】解：∵M 、N 分别为AC 、BC 的中点，∴MN ∥AB ，且AB=2MN ，∴△ABC ∽△MNC ，∴=（）2=4，∴S △ABC =4S △CMN =4．故选：C ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC ∽△MNC 是解题的关键．4．如图，在高2m ，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（ ）A ．2mB ．（2+2）mC ．4mD ．（4+2）m【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC ）．在△ABC 中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC 的长，进而求得地毯的长度．【解答】解：如图，由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC ，水平的线段相加正好等于AC ， 即地毯的总长度至少为（AC+BC ），在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2m ，∠C=90°．∵tanA=，∴AC=BC ÷tan30°=2．∴AC+BC=2+2．故选：B ． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC 的直角边的和．5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．6【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积=|k|，再根据图象所在象限求出k的值既可．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积=|k|，即|k|=2，解得，k=±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k=4，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．6．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．6【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．【解答】解：在△ADC和△ACB中，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）；∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD，∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5，∴AC2=5×2=10，∴AC=．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例．7．如图，在⊙O中， =，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中， =，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），∵AB=4，∴B点的横坐标为x=3，把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，∴CD=14﹣6=8，∴CE=CD+DE=8+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y=﹣x2+1（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣x2+1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是8 ．【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA；OE=OC﹣CE=5﹣2=3；∵OC⊥AB，∴AE=BE；由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，∵OA=5，OE=3，∴AE=4，AB=2AE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=2m，EC=1m，CD=3m，则河的宽度AB等于 6 m．【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=2m，CE=1m，CD=3m，∴，解得：AB=6故答案为：6；【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．12．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1 ．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为5π．【分析】根据扇形的面积公式代入，再求出即可．【解答】解：由扇形面积公式得：S=π，故答案为：5π；【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=．14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正弦值为．【分析】首先利用勾股定理计算出AB2，BC2，AC2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC的正弦值．【解答】解：AB2=32+12=10，BC2=22+12=5，AC2=22+12=5，∴AC=CB，BC2+AC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴∠ABC=45°，∴∠ABC的正弦值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，则此二次函数图象的对称轴为 直线x=﹣2 ．【分析】，根据两交点的横坐标和抛物线关于对称轴对称得出二次函数图象的对称轴是直线x=（x 1+x 2），代入求出即可．【解答】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，∴此二次函数图象的对称轴是直线x=（x 1+x 2）=﹣2， 故答案为：直线x=﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：两交点关于对称轴对称． 16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形． 作法：如图．（1）过圆心O 作直线AC ，与⊙O 相交于A 、C 两点； （2）过点O 作直线BD ⊥AC ，交⊙O 于B 、D 两点； （3）连接AB 、BC 、CD 、DA ． ∴四边形ABCD 为所求．请回答：该尺规作图的依据是 相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角 （写出两条）．【分析】由AC 、BD 为直径且AC ⊥BD 知AB=BC=CD=DA ，其依据为相等的圆周角所对的弦相等；再由AC为直径可知∠ABC=90°，其依据为“直径所对圆周角为直角”，由正方形的判定即可得．【解答】解：过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点，则AC为⊙O的直径，过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点，∴BD也是⊙O的直径，且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，∴AB=BC=CD=DA（相等的圆周角所对的弦相等），由AC为直径可知∠ABC=90°（直径所对圆周角为直角），则四边形ABCD为正方形（有一内角为直角的菱形是正方形），故答案为：相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理、圆周角定理及正方形的判定．三、解答题（本题共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=×﹣+=+．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：）二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣2）；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是n＞﹣3 ．【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的顶点坐标．（2）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），（2）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，故答案为：（1）（1，﹣2），（2）n＞﹣3【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：x＜﹣1或x＞3 ．【分析】（1）根据顶点坐标设y=a（x﹣1）2﹣4，利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图象写出图象在x轴上方的图象的自变量的取值范围即可；【解答】解：（1）∵顶点坐标（1，﹣4）∴设y=a（x﹣1）2﹣4，将（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2﹣4，得4a﹣4=0解得，a=1，∴二次函数表达式y=（x﹣1）2﹣4，（2）观察图象可知当y＞0时，的取值范围x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求线段BC，AD，BD的长．【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC=6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，可得△ABD 是等腰直角三角形，继而求得AD 、BD 的长；【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， ∵AB=10cm ，AC=6cm ，∴BC==8（cm ），∵∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，∴=，∴AD=BD ，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=AB•cos45°=10×=5（cm ）．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．（5分）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E ． （1）求线段CD 的长； （2）求cos ∠ABE 的值．【分析】（1）在△ABC 中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt △ABC 中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S △BDC =S △ADC ，则S △BDC =S △ABC ，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt △BDE 中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC 中，∵∠ACB=90°，∴sinA==，而BC=8， ∴AB=10，∵D 是AB 中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt △ABC 中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D 是AB 中点，∴BD=5，S △BDC =S △ADC ，∴S △BDC =S △ABC ，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt △BDE 中，cos ∠DBE===，即cos ∠ABE 的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（5分）反比例函数y=（k ≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A （1，n ）．（1）求反比例函数y=（k ≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x 的取值范围为 x ＜0或1＜x ＜4 ．【分析】（1）将A （1，n ）代入y=﹣x+5，求出n=4．将A （1，4）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x 的取值范围．【解答】解：（1）将A （1，n ）代入y=﹣x+5，得，n=﹣1+5=4．将A（1，4）代入y=中，得，k=1×4=4，故反比例函数的表达式为y=；（2）当x＜0或1＜x＜4时，反比例函数的值大于一次函数的值．故答案为x＜0或1＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求反比例函数的解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．（5分）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC=45∴MN=3000，答：直线隧道MN长为3000米．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c= 2b﹣4 （用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围﹣1＜b≤0 ；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①只要证明△＞0即可；②构建不等式即可解决问题；（3）利用配方法求出顶点坐标，再代入直线的解析式，转化为方程即可解决问题；【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）∴0=4﹣2b+c，∴c=2b﹣4，故答案为2b﹣4（2）当b＜4时①△=b2﹣4•1•c=b2﹣4（2b﹣4）=（b﹣4）2，∵b＜4∴（b﹣4）2＞0即△＞0，∴当b＜4时，抛物线与x轴有两个交点．②由题意：﹣＜﹣≤﹣4或0≤﹣＜，解得：8≤b＜9或﹣1＜b≤0，∵b＜4，∴﹣1＜b≤0，故答案为﹣1＜b≤0．（3）由y=x2+bx+c=x2+bx+2b﹣4=（x+）2﹣（﹣2）2，∴顶点P[﹣，﹣（﹣2）2]．将其代入y=x﹣4中，得，﹣（﹣2）2=﹣﹣4解得，b=0或10．∴抛物线的表达式为y=x2﹣4或y=x2+10x+16．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；（3）根据∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长．【解答】解：（1）如图所示，…2′（2）连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，…3′∴∠ODB=∠C=90°，又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线．…4′（3）∵AC=3，tanB=，∴BC=4，∴AB=5，…5′，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5﹣r，∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，即，…6′，解得，r=，…7′∴⊙O的半径为．【点评】本题综合考查了切线的判定，解直角三角形和相似三角形的性质的应用，还考查了学生运用基本作图的知识作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是垂径定理．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，且∠CBP=∠ABE，∠BCP=∠BAE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠BAE的度数为定值，∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形，∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°，∴，且∠CBP=∠ABE，∴△CBP∽△ABE，∴∠BCP=∠BAE，∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCP=45°，∴∠BAE=∠BCP=45°；（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AD=AB=2，∵∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=2，∴DE的最小值是2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x 的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 2 ；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为 4 ；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= ﹣c ；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为1+2．【分析】（1）①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，推出c=1﹣b，因为二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，可得=﹣1，解得b=3，由此即可解决问题；（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为=3﹣1=2，故答案为2；②设P（x，y）为抛物线y=﹣x2+3x+3上一点，坐标差=﹣x2+2x+3，=﹣（x﹣1）2+4，最大值为4，所以抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为4故答案为4．（2）①由题意：0﹣m=c﹣0，可得m=﹣c．②∵C（0，c），又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，∴c=1﹣b，∵二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，∴=﹣1，解得b=3，∴c=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣2．故答案为﹣c．（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．作TF⊥x轴于E交MJ于F．易知△TMF是等腰直角三角形，∵TF=FM=，EF=KM=3，EK=FK=M=，∴OE=OK﹣EK=2﹣，TE=3+，半径为2的圆的“特征值”为3+﹣（2﹣）=1+2．故答案为1+2．【点评】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．。
北京市房山区19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)
北京市房山区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，在△ABC中，DE//BC，若AD=4，BD=2，则AE：CE的值为()A. 0.5B. 2C. 32D. 232.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么cos A为()A. 45B. 35C. 43D. 343.若反比例函数y=kx的图象经过点(−1,2)，则这个函数的图象一定还经过点()A. (2,−1)B. (−12,2) C. (−2,−1) D. (12,2)4.在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长是()A. 4πcmB. 3πcmC. 2πcmD. πcm5.已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为()A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°6.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=70°，∠C=()A. 70°B. 55°C. 110°D. 140°7.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0)，若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()A. 第3.3sB. 第4.3sC. 第5.2sD. 第4.6s8.如图所示，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A,B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的是A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.当x=______时，二次函数y=−2(x−1)2−5的最大值是______．10.已知α为锐角，且满足√3tan(α+10°)=1，则α为______度．11.已知点A为双曲线y=k图象上的点，点O为坐标原点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA.若x△AOB的面积为5，则k的值为______ ．12.一个小球由地面沿着坡比1：2的坡面向上前进了5米，此时小球距离地面的高度为______米．13.若AB为⊙O的一条弦，∠AOB=110°，点C为该⊙O上异于A，B的一点，则∠ACB度数是______．14.如图，已知⊙O的直径为8cm，A、B、C三点在⊙O上，且∠ACB=30°，则AB的长为．(x>0)的图象如图所示，若两个函数15.在同一直角坐标系中，二次函数y=x2与反比例函数y=1x图象上有三个不同的点A(x1,m)，B(x2,m)，C(x3,m)，其中m为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为()A.1B.mC.m2D．1m16.14.已知二次函数y=(x−2a)2+(a−1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”.如图分别是当a=−1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是____________________．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD//BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．(1)求证：点D为AC⏜的中点；(2)若CB=6，AB=10，求DF的长；(3)若⊙O的半径为5，∠DOA=80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．18.已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E是AD上一点，且AB：AC=AE：AD.求证：BE=BD．19.根据下列条件解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8√3，∠A=60°；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3√6，b=9√2．20.已知一个二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…−3−2−101…y…0m−4−30…(1)求这个二次函数的表达式，并求m的值；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；21.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子与地面的夹角为45°，梯子底端与墙的距离CB=2米，若梯子底端C的位置不动，再将梯子斜靠在左墙，测得梯子与地面的夹角为60°，则此时梯子的顶端与地面的距离A′D的长是多少米？(结果保留根号)22.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1(k≠0)与函数(x>0)的图象交于点A(3,2)．y=mx(1)求k，m的值；(2)将直线l沿y轴向上平移t个单位后，与y轴交于点C，与函数y=m(x>0)的图象交于点D．x①当t=2时，求线段CD的长；②若√2≤CD≤2√2，结合函数图象，直接写出t的取值范围．23.请根据要求画图：(1)尺规作图：在图1的四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、AD的距离相等，并且点P到点B、C的距离也相等．(不写作法，保留作图痕迹)；(2)在图2的格点图中画出△ABC关于直线MN的对称图形(不写画法)，并利用格点图作出△ABC的角平分线BD．24.如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2=AP·AD．(1)求证：AB=AC．(2)如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为AC⌢的中点，求AD的长．25.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上的动点(点D不与点A，点B重合)，过点D作ED⊥CD交直线AC于点E.已知∠A=30°，AB=4cm，在点D由点A到点B运动的过程中，设AD=xcm，AE=ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm (1)2132252372…y/cm…0.40.8 1.0 1.00 4.0…(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当AE=12AD时，AD的长度约为_____cm．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−4x+2m−1的顶点为C，图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．(1)求m的取值范围；(2)当m取最大整数时，求△ABC的面积．27.如图，⊙O与直线MN相切于点A，点B是圆上异于点A的一点，∠BAN的平分线与⊙O交于点C，连接BC．(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)①若∠CAN=15°，⊙O的半径为2√3，则AB=______；②当∠CAN=______时，四边形OACB为菱形．28.如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，点B(√3,0)，连接AB.若对于平面内一点C，当△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，称点C是线段AB的“等长点”．(1)在P1(3√3,0)、P2(−√3,0)、P3(0,2√3)中，其中点_________为线段AB的等长点．(2)若点D(m,n)是线段AO的“等长点”，且∠DAO=60°，求m和n的值；(3)在x轴的上方，若直线y=kx+3√3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，直接写出k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：考查了平行线分线段成比例定理的运用，关键是根据平行线分线段成比例定理解答．根据平行线分线段成比例定理求出AE：EC=AD：DB即可．解：∵DE//BC，AD=4，DB=2∴AE：EC=AD：DB=2：1．故选：B．2.答案：B解析：解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴AC=√AB2−BC2=3，∴cosA=ACAB =35，故选：B．根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．3.答案：A解析：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据题意先将点(−1,2)代入反比例函数y=kx求出k的值，再由反比例函数图象上点的坐标满足k= xy即可选出正确答案．∵反比例函数y=kx的图象经过点(−1,2)，∴k=(−1)×2=−2，A.∵2×(−1)=−2，∴此点在反比例函数图象上，故A符合题意；)×2=−1≠−2，∴此点不在反比例函数图象上，故B不符合题意；B.∵(−12C.∵(−2)×(−1)=2≠−2，∴此点不在反比例函数图象上，故C不符合题意；×2=1≠−2，∴此点不在反比例函数图象上，故D不符合题意．D.∵12故选A．4.答案：A=4π(cm)，解析：解：半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长是120⋅π⋅6180故选：A．求出即可．直接利用弧长公式l=nπr180此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．5.答案：B解析：本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出AB⏜=AC⏜，再由圆周角定理即可得出结论．解：如图，连接OC．∵OA⊥BC，∴AB⏜=AC⏜，∴∠AOC=∠AOB=70°，∴∠ADC=1∠AOC=35°．2故选B．6.答案：B解析：解：如图，连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=180°−∠P=110°，∠AOB=55°．由圆周角定理知，∠C=12故选B．如图，连接OA，OB，由PA，PB分别切⊙O于点A，B可以得到∠PAO=∠PBO=90°，然后可以求出∠AOB，再由圆周角定理可以求出∠C．本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度，圆周角定理求解．7.答案：D解析：解：∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．∵4.6s最接近4.5s，∴当4.6s时，炮弹的高度最高．故选：D．由炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等可知这两点关于对称轴对称，故此可求得求得抛物线的对称轴．本题主要考查的是二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解题的关键．8.答案：A解析：本题主要考查垂径定理及其推论，动点函数的图像.解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．解：连接OP，∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC．∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，∴∠OPC=∠DCP．∴OP//CD．∴PO⊥AB．∵OA=OP=1，∴AP=y=√2(0<x<1)．故选A．9.答案：1；−5解析：解：∵二次函数y=−2(x−1)2−5，∴当x=1时，二次函数y=−(x−1)2−5的最大值为−5．故答案为1，−5．此题中解析式为顶点式的形式，根据其解析式即可求解．本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．10.答案：20解析：解：∵√3tan(α+10°)=1，∴tan(α+10°)=√3，3∴α+10°=30°，∴α=20°．故答案为：20．求出tan(α+10°)=√33，根据特殊角的三角函数值求出α+10°=30°，即可得出答案．本题考查了特殊角的三角函数值的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键．11.答案：10或−10解析：答案：根据反比例函数图象上点的坐标特征可以设点A的坐标为(x,kx)；然后根据三角形的面积公式知S△AOB=12|x|⋅|kx|=5，据此可以求得k的值．本题考查了反比例函数系数k的几何意义．过双曲线上的任意一点向x轴作垂线，与坐标轴围成的三角形的面积就等于12|k|.本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．解析：解：∵点A为双曲线y=kx图象上的点，∴设点A的坐标为(x,kx)；又∵△AOB的面积为5，∴S△AOB=12|x|⋅|kx|=5，即|k|=10，解得，k=10或k=−10；故答案是：10或−10．12.答案：√5解析：解：如图．Rt△ABC中，tanA=12，AB=5．设BC=x，则AC=2x，∴x2+(2x)2=52，解得x=√5(负值舍去)．即此时小球距离地面的高度为√5米.故答案为√5．根据坡度比，用未知数设出坡面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．13.答案：55°或125°解析：解：当点C在优弧AB上，如图，∠ACB=12∠AOB=12×110°=55°，所以∠C′=180°−∠C=125°，所以当点C在弧AB上时，∠C=125°，即∠ACB的度数为55°或125°．故答案为：55°或125°．讨论：当点C在优弧AB上，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=12∠AOB=55°，则根据圆内接四边形的性质得∠C′=180°−∠C=125°，所以当点C在弧AB上时，∠C=125°．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．注意分类讨论的应用．14.答案：4cm解析：本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，∠D=∠ACB=30°，根据直角三角形的性质解答．解：作直径AD，连接BD，∴∠ABD=90°，由圆周角定理得，∠D=∠ACB=30°，∴AB=1AD=4cm，2故答案为4cm．15.答案：1m解析：本题考查二次函数图象的轴对称性，二次函数图象上点纵坐标相同时，对应点关于抛物线对称轴对称．三个点的纵坐标相同，由图象可知y=x2图象上点横坐标互为相反数，则x1+x2+x3=x3，再由反比例函数性质可求x3．(x>0)的图象上．因为AB两点解：设点A、B在二次函数y=x2图象上，点C在反比例函数y=1x纵坐标相同，则A、B，关于y轴对称，则x1+x2=0，因为点C(x3,m)在反比例函数图象上，则x3=1m∴w=x1+x2+x3=x3=1．m故答案为1．m16.答案：y=0.5x−1解析：已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．【详解】解：由已知得抛物线顶点坐标为(2a,a−1)，设x=2a①，y=a−1②，①−②×2，消去a得，x−2y=2，x−1．即y=12x−1．故答案填y=12本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．17.答案：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD//BC，∴∠OFA=90°，∴OF⊥AC，∴AD⏜=CD⏜，即点D为AC⏜的中点；(2)解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，而OA=OB，∴OF为△ACB的中位线，BC=3，∴OF=12∴DF=OD−OF=5−3=2；(3)解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC=PC′，∴PD+PC=PD+PC′=DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵AD⏜=CD⏜，∴∠COD=∠AOD=80°，∴∠BOC=20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB=20°，∴∠DOC′=120°，作OH⊥DC′于H，如图，则C′H=DH，在Rt△OHD中，OH=12OD=52，∴DH=5√32，∴DC′=2DH=5√3，∴PC+PD的最小值为5√3．解析：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．(1)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为AC⏜的中点；(2)证明OF为△ACB的中位线得到OF=12BC=3，然后计算OD−OF即可；(3)作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′=120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．18.答案：证明：∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，又∵AB：AC=AE：AD，∴△ABE∽△ACD，∴∠3=∠4，∴∠BED=∠BDE，∴BE=BD．解析：本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质．解题关键是运用相似三角形的性质得出∠3=∠4.解题时，先运用两边对应成比例且夹角相等证明△ABE∽△ACD，由相似三角形的性质可知∠3=∠4，再根据等角的补角相等证出∠BED=∠BDE，从而得出BE=BD．19.答案：解：(1)∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°；∵c=8√3，∴a=csinA=8√3×sin60°=8√3×√32=12；b=csinB=8√3×sin30°=8√3×12=4√3；(2)∵∠C=90°，a=3√6，b=9√2，∴c=√a2+b2=√(3√6)2+(9√2)2=6√6；tanA=ab =√692=√33，∴∠A=30°；∴∠B=90°−∠A=60°．解析：本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握勾股定理和本直角三角形的边角之间的关系是解决此题的关键．(1)首先根据直角三角形两锐角互余，求出∠B，然后根据三角函数求出a，b即可；(2)首先根据勾股定理求出c，然后根据三角函数求出∠A，再根据两锐角互余求出∠B即可．20.答案：解：(1)由题意可得二次函数的顶点坐标为(−1,−4)，设二次函数的解析式为：y=a(x+1)2−4，把点(0,−3)代入y=a(x+1)2−4，得a=1，故抛物线解析式为y=(x+1)2−4，即y=x2+2x−3；当x=−2，m=y=−3(2)如图所示：．解析：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质及图象的画法．(1)利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为(−1,−4)，则可设顶点式y=a(x+1)2−4，然后把点(0,3)代入求出a即可，再根据x=−2时的值求出y的值，即m的值(2)利用描点法画二次函数图象．21.答案：解：在Rt△ABC中，∵∠BCA=45°，∴AB=BC=2米，∴AC=√BC2+AB2=√22+22=2√2米，∴A′C=AC=2√2米，∴在Rt△A′DC中，A′D=A′C⋅sin60°=2√2×√3=√6，2∴此时梯子的顶端与地面的距离A′D的长是√6米．解析：本题考查了解直角三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．根据解直角三角形的方法即可得到结论．22.答案：解：(1)将点A(3,2)的坐标分别代入y=kx−1和y=m中，得x2=3k−1，2=m，3∴k=2，m=3×2=6；(2)①∵直线y=kx−1与y轴交于点C(0,−1)，∴当t=2时，C(0,1)．中，整理得，x(x+1)=6，此时直线解析式为y=x+1，代入函数y=6x解得x1=−3(舍去)，x2=2，∴D(2,3)，∴CD=2√2．②当CD=√2时，点C的坐标为(0,6)，∴2≤t≤6．，即可求出k、m的值；解析：(1)将点A分别代入y=kx−1(k≠0)与函数y=mx(2)①求出当t=2时直线解析式，代入函数y=6中，整理得，x(x+1)=6，解方程求出点D的坐x标，即可求出CD的长；②观察图象解答即可．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．23.答案：解：(1)如图1所示：(2)如图2所示：解析：本题主要考查尺规作图和轴对称变换作图，包括尺规作出角平分线，尺规作出线段的垂直平分线，作出某一图形关于某一条直线成轴对称的图形，解题的关键是熟记作图的方法．(1)作出∠BAD的角平分线和线段BC的垂直平分线，它们的交点就是点P；(2)先找出点A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1，再顺次连接即可画出△ABC关于直线MN 的对称图形△A1B1C1，作出正方形ABCE，连接BE交AC于点D，则BD为所求．24.答案：(1)证明：连接BP，∵AB2=AP⋅AD，∴ABAP =ADAB，又∵∠BAD=∠PAB，∴△ABD∽△APB，∵∠ABC=∠APB，∠APB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；(2)解：由(1)知AB=AC，∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∵P为AC⏜的中点，∴∠ABP=∠PAC=12∠ABC=30°，∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°，∴BP为直径，∴BP过圆心O，∴BP=2，∴AP=12BP=1，∴AB2=BP2−AP2=3，∵AB2=AP⋅AD，∴AD=AB2AP=3．解析：本题考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质以及圆周角定理，掌握相似三角形的性质和判定，能够结合已知条件发现等边三角形和30°的直角三角形，根据它们的性质分析求解，属中等难度．(1)根据AB2=AP⋅AD，可以连接BP，构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD，再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB，即∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边证明结论；(2)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30°的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长．25.答案：解：(1)点A到点B运动的过程中，设AD=2cm，AE=ycm，如图∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4cm，AD=2，∴△BDC是等边三角形，∵ED⊥CD，∴∠A DE=30°，∵y=AE=DE≈1．2．补全表格时相关数值1.2．(2)如图：(3)2.4或3.3解析：本题主要考查动点函数的问题．(1)通过取点、画图、测量可得x=2时，y=1.2；(2)建立如图所示直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；AD时，AD的长度约为2.4cm或3.3cm．(3)根据函数图象，当AE=12解：(1)见答案；(2)见答案；(3)AD时，AD的长度约为2.4cm或3.3cm．根据函数图象，当AE=12故答案为2.4或3.3．26.答案：解：(1)∵抛物线y=x2−4x+2m−1与x轴有两个交点，令y=0．∴x2−4x+2m−1=0．∵与x轴有两个交点，∴方程有两个不等的实数根．∴△>0.即△=(−4)2−4⋅(2m−1)>0，∴m<2.5．(2)∵m<2.5，且m取最大整数，∴m=2．当m=2时，抛物线y=x2−4x+2m−1=x2−4x+3=(x−2)2−1．∴C坐标为(2,−1)．令y=0，得x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3．∴抛物线与x轴两个交点的坐标为A(1,0)，B(3,0)，⋅|−1|⋅(3−1)=1．∴△ABC的面积为12解析：(1)根据抛物线与x轴有两个交点，得到△>0，由此求得m的取值范围．(2)利用(1)中m的取值范围确定m=2，然后根据抛物线解析式求得点A、B的坐标，利用三角形的面积公式解答即可．考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点，解题时，注意二次函数与一元二次方程间的转化关系．27.答案：证明：(1)如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，∵MN是⊙O的切线，∴∠DAN=90°，∴∠DAC+∠CAN=90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠DAC=90°，∴∠CAN=∠ADC，∵∠ADC=∠B，∴∠B=∠CAN，∵AC是∠BAN的角平分线，∴∠CAN=∠CAB，∴∠CAB=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；(2)2√3(3)30°解析：解：(1)见答案(2)①如图2，连接OA，∵MN是⊙O的切线，∴∠OAN=90°∵AC是∠BAN的角平分线，∠CAN=15°，∴∠BAN=2∠CAN=30°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=2√3，故答案为2√3；②如图3，连接OC，∴OA=OC，∵四边形OACB是菱形，∴OA=AC，∴OA=AC=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∵∠OAN=90°，∴∠CAN=90°−60°=30°，故答案为：30°．(1)先利用切线的性质判断出∠CAN+∠CAD=90°，再判断出∠CAD+∠ADC=90°，得出∠CAN=∠ADC，进而得出∠CAN=∠B，即可得出结论；(2)①先求出∠BAN=30°，进而判断出△AOC是等边三角形即可得出结论；②先判断出△AOC是等边三角形，进而求出∠OAC=60°，得出∠BAN=30°，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，作出辅助线是解本题的关键．28.答案：解：(1)∵A(0,3)，B(√3,0)，∴AB=2√3，∵点P1(3√3,0)，∴BP1=AB=2√3，∴P1是线段AB的“等长点”，∵点P2(−√3,0)，∴BP2=2√3，∴BP2=AB=2√3，∴P2是线段AB的“等长点”，∵点P3(0,2√3)，∴BP3不等于AB，AP3不等于AB，∴P3不是线段AB的“等长点”；故答案为：P1，P2；(2)如图，点D(m,n)是线段AO的“等长点”，且∠DAO=60°，则AD =AO =OD =3，∴△ADO 为等边三角形，过D 作DC 垂直于x 轴，∴∠DOC =30°，，∴CD =32，OC =√32−(32)2=3√32， ∴D (3√32,32)， 当点D 在y 轴左侧时，根据对称性可得D′(−3√32,32) ∴m =3√32,n =32或m =−3√32,n =32 (3)如图2，∵直线y =kx +3√3k =k(x +3√3)，∴直线y =kx +3√3k 恒过一点P(−3√3,0)，∴在Rt △AOP 中，OA =3，OP =3√3，∴∠APO =30∘，∴∠PAO =60∘，∴∠BAP =90∘，∴PA 切⊙B 于A ，当PF 与以B 为圆心，AB 长为半径的⊙B 相切时，交y 轴于F ，由对称性可知∴点F 就是直线y =kx +3√3k 与⊙B 的切点，∴F 点的坐标为(0,−3)，(0,3)(此时A 与F 重合)∴3√3k =±3，∴k =±√33， 当直线y =kx +3√3k 与以A 为圆心，AB 长为半径的⊙A 相切时，交y 轴于G ，切点为E ， ∴∠AEG =∠POG =90∘，∴△AEG∽△POG ，∴AE OP =AG PG ，∴√33√3=√3k−33√3k2+3，解得：k=3√3+4√25或k=3√3−4√25∵直线y=kx+3√3k上至少存在一个线段AB的“等长点”，∴−√33≤k≤3√3+4√25解析：此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，等腰三角形的性质，解(1)的关键是理解新定义，解(2)的关键是画出图形，解(3)的关键是判断出直线和圆A，B相切时是分界点，是一道难度较大的中考常考题；(1)直接利用线段AB的“等长点”的条件判断；(2)分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n；(3)先判断出直线与圆A，B相切时，利用相似三角形的性质即可求出结论。
房山初三上册数学期末试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -1/3D. √-12. 若a=3，b=-2，则a²+b²的值是（）A. 7B. 5C. 11D. 93. 下列函数中，有最小值的是（）A. y=x²B. y=x³C. y=|x|D. y=√x4. 下列各数中，属于等差数列的是（）A. 1, 2, 3, 4, 5B. 1, 3, 5, 7, 9C. 2, 4, 6, 8, 10D. 3, 6, 9, 12, 155. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，-2），则k的值为（）A. -1B. 1C. 2D. -26. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点是（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）7. 若等比数列{an}的首项为2，公比为-1/2，则该数列的前10项和为（）A. 2B. 4C. 8D. 168. 下列各图中，表示函数y=f(x)图象的是（）A.B.C.D.9. 已知正方形的对角线长度为2，则该正方形的面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，a+c=8，则b的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题3分，共30分）11. 若x²-5x+6=0，则x的值为__________。
12. 已知函数y=2x+1，当x=3时，y的值为__________。
13. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=30°，则∠C的度数为__________。
14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1=1，S2=3，则数列{an}的通项公式为__________。
15. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a₁，则第n项an=__________。
16. 若a、b、c是等比数列，且a+b+c=6，ab+bc+ac=12，则b的值为__________。
北京市房山区初三第一学期期末数学试卷(含答案)
房山区 2018—— 2018 学年度第一学期期末终结性检测试卷九年级数学一、选择题（此题共 30 分，每题 3 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个是切合题意的．．．1．－ 3 的倒数是A．-3B．311 C．D．332．已知⊙ O 的半径是 4， OP=3，则点 P 与⊙ O 的地点关系是A ．点 P 在圆上B．点 P 在圆内C．点 P 在圆外D．不可以确立3．抛物线 y 2(x1)2 +3的极点坐标为A ．(2,1)B．(2,1) C ．(1,3) D ．(1,3)4．若3a2b ，则a b的值为aA ．1B．1C．1D．2235．2，则 ( xy) 2的值为x 1 y 30A．－ 6B． 9C．6D．－ 96．将抛物线 y 5x2先向左平移2个单位，再向上平移 3 个单位后获得新的抛物线，则新抛物线的表达式是A ． y 5( x 2) 2 3 B． y5( x2) 23C． y 5( x 2)2 3 D． y5( x2) 237．如右图所示，已知AB∥ CD， EF 均分∠ CEG，∠ 1＝ 80°，A 则∠ 2 的度数为A．20° B ．40°C C．50° D．60°8．如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上两点，CD⊥ AB，F G21EDBD假如∠ DAB=65°，那么∠ AOC等于A BOA.25 °°°°9．如图，在边长为 1 的小正方形构成的网格中，△ABC 的三个极点均在格点上，则tan ∠ ABC 的值为3AA ．1B ．510 3C ．D ．4BC510．如图，点 C 是以点 O 为圆心， AB 为直径的半圆上的动点（点C 不C与点 A ，B 重合）， AB=4．设弦 AC 的长为 x ，△ ABC 的面积为 y ，则以下图象中，能表示y 与 x 的函数关系的图象大概是BABOA ．B ．C ．D ．二、填空题（此题共 16 分，每题 3 分）11．假如代数式x 3 存心义，那么实数 x 的取值范围为 _ __ ．12．反比率函数的图象经过点P （-1， 2），则此反比率函数的解读式为．13．分解因式： ax 24a =．C14．活动楼梯如下图，∠B=90 °，斜坡 AC 的坡度为 1:1，斜坡 AC 的坡面长度为 8m ，则走这个活动楼梯从BA 点到 C 点上涨的高度ABC 为．DC15．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ，BD订交于点 O ，点 E ，F 分别是边 AD ， AB 的中点，EF 交 AC 于点 H ，则AH的值为 .HCEOHA BF16．已知二次函数 y ax 2 bx c(a 0) 的图象经过 A （0,3）， B （ 2,3）两点 .请你写出一组知足条件的 a,b 的对应值 .a=_______,b=__________.三、解答题（此题共 72 分，第 17— 26 题，每题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7分，第 29题8分）117．计算：12sin 60．23201518．求不等式组2( x 2) 4x 32x ＜x 的整数解．5 119．如图，在△ ABC 中， D 为 AC 边上一点，∠ DBC ＝∠ A ．（ 1）求证：△ ACD ∽△ ABC ；（ 2）假如 BC ＝6 ， AC ＝ 3，求 CD 的长 ．CDAB20．在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色以外没有其余差别．（1）随机从箱子里拿出 1 个球，则拿出黄球的概率是多少？（ 2）随机从箱子里拿出 1 个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出全部可能出现的结果，并求两次拿出的都是白色球的概率．21．下表给出了代数式 x 2 bx c 与 x 的一些对应值：x-2 -1 0 1 2 3 x 2bx c5nc2-3-10（1）依据表格中的数据，确立 b ， c ， n 的值；（2）设 yx 2 bx c ，直接写出 0x 2 时 y 的最大值．A22．如图， △ABC 中，∠ B=60°，∠ C=75°，AC= 3 2 ，求 AB 的长．23．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形构成的网格中，给出了格点△ABC （极点是网格线的交点）． BC（ 1）将△绕点 B 顺时针旋转 90°获得△ ’,请画ABC A ’BC出△ A ’BC ’,并求 BA 边旋转到 B A ’地点时所扫过图形的面积；B（ 2）请在网格中画出一个格点△A ”B ”，C ”使△ A ”B ”∽△C ” ABC ，且相像比不为1．AC24．已知对于 x 的函数 yax 2 ( a 2)x a 1的图象与 x 轴只有一个公共点，求实数 a 的值．25．已知 A(n ，-2) ，B(1， 4) 是一次函数 y=kx+b 的图象和反比率函数 y=m的图象的两个交点，直线 AB 与xy 轴交于点 C ．(1) 求反比率函数和一次函数的关系式； (2) 求△ AOC 的面积；(3) 依据图象求不等式 kx+b<m的解集． x26．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙ P 与 y 轴y相切于点 C ，⊙ P 的半径是 4，直线 yx 被⊙ PCPB截得的弦 AB 的长为 4 3 ，求点 P 的坐标．Aox27．已知对于 x 的一元二次方程 x 2 2xk 1 0 有实数根， k 为正整数 .（ 1）求 k 的值；2（2）当此方程有两个非零的整数根时，将对于x 的二次函数 y x 22xk 1的图象2向下平移 9 个单位，求平移后的图象的表达式；（ 3）在（ 2）的条件下，平移后的二次函数的图象与 x 轴交于点A ，B （点 A 在点 B 左侧），直线 y kx b(k0) 过点 B ，且与抛物线的另一个交点为C ，直线 BC 上方的抛物线与线段 BC 构成新的图象，当此新图象的最小值大于-5 时，求 k 的取值范围 .28．在 矩形 ABCD 中，边 AD =8，将矩形 ABCD 折叠，使得点B 落在 CD 边上的点P 处（如图 1）．DPCDPCOABAB图 1图 2（1）如图 2，设折痕与边 BC 交于点 O，连结 ,OP、 OA．已知△ OCP 与△ PDA 的面积比为 1： 4，求边 AB 的长；（2）动点 M 在线段 AP 上（不与点 P、A 重合），动点 N 在线段 AB 的延伸线上，且BN=PM ，连结 MN 、PA，交于点F，过点 M 作 ME⊥ BP 于点 E．①在图 1 中画出图形；②在△ OCP 与△ PDA 的面积比为1：4 不变的状况下，试问动点M、 N 在挪动的过程中，线段EF 的长度能否发生变化？请你说明原因．29 ．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.直线y kx b 与抛物线ymx219x n 同时经过 A(0,3) 、 B(4,0) .4（ 1）求m,n的值 .（ 2）点M是二次函数图象上一点，(点M在AB下方)，过M作MN x 轴，与AB 交于点N，与x轴交于点Q.求 MN 的最大值.（ 3）在（ 2）的条件下，能否存在点N，使AOB和NOQ 相像？假如存在，恳求点 N 的坐标；假如不存在，请说明原因.y yA AN NQ QBO O Bx xM M图1备用图房山区 2018--2018学年度第一学期期末终结性检测试卷九年级数学参照答案及评分标准一、选择题：题号12345678910答案C B D A B A C C D B二、填空题：题号1112131415答案x 3y2a(x 2)( x 2) 4 21x3三、解答题：1102sin 603201517．解：．2223 1 --------------------------------------------------4 32= 3------------------------------------------------------------5 18．解：由2( x2)4x 3得 x 1 ；------------------------1由 2x 5 1 x 得x< 2．2--------------------------2分∴ 此不等式组的解集为1x 2 ．------------------------------42分∴此不等式组的整数解为 0，1．------------------------------5 19．（ 1）证明：∵∠DBC＝∠A∠ DCB ＝∠ BAC---------------------------2分∴△ ACD ∽△ ABC ．------------------------3分（ 2）解：∵△ ACD ∽△ ABC A∴ BC：AC=CD： BC------------------4分16a=1,b=-2答案不独一分（各 1 分）分分分CDB∵BC＝6， AC＝3∴ CD =2．------------------------------------------------------5分20．解：（ 1）拿出黄球的概率是1；----------------------------------------------------2分3（2）画树状图（画对 1 分）如图全部可----------------------每个结果发球的结果有 1 个 .开始黄白黑黄 白黑黄白黑 黄白黑得：能出现的结果有 9 个------------------------------4 分生的可能性都同样，此中出现两次白色因此， P （两次拿出白色球） = 1． ------------------------------------------------- 5分921．解：（ 1）依据表格可得4 2b c 5, 1 b c2∴ b2, c 5-------------------------------------------------2 分------------------------------------------------3 分∴ x 2bx c x 22x 5 ，∴ x= 1 时， x 2 2x 5= 6 ，∴ n =6 ．-------------------------------------------------4分（ 2）当 0 x 2时， y 的最大值是 5． ---------------------------------------------5分．解：过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D ，22 ∵∠ B=60°，∠ A CB=75°，∴∠ A=45°，---------------------------- 1 分在△ADC 中，∠ A DC=90°， AC= 3 2 ，∴AD =DC=3，--------------------------------3 分在△BDC 中，∠ BDC =90°，∠ DCB=30°， DC=3∴ tan30 ° =BD，即3 BDA45°D60°BCCD33∴ BD= 3 ， -------------------------------------------------------- 4 分∴ AB=3+3 ．---------------------------------------------------------- 5分23．解：（ 1）如图：△ A ’BC ’即为所求； -------------2分B''A'BA 旋转到 BA ’所扫过图形的面积：A''C''C'S=n R 290 1313.-------------------3 分B360 3604A（ 2）如图：△ A ”B ”即C ”为所求． ------------------ 5 分C24．解：（ 1）当 a 0 时，函数 y 2 x 1的图象与 x 轴只有一个公共点建立．------------- 1分（ 2）当 a ≠ 0 时，函数 y22) x a 1 是对于 x 的二次函数．ax (a ∵ 它的图象与 x 轴只有一个公共点，2( a 2) x a1 0 有两个相等的实数根．-----------2 分∴ 对于 x 的方程 ax∴(a 2) 24a( a 1) 0 ．-----------------------------------------------------3分整理，得 3a 2 4 0 ．解得 a2 -----------------------------------------------------------------------5分3 ．3综上， a0 或 a23 ．325．解：（ 1）∵ B(1 ， 4) 是一次函数 y=kx+b 的图象和反比率函数y=m的图象的一个交点x∴ m =4∴所求反比率函数的表达式为：分y4 1. ---------------------------- x∵A(n,-2) 是一次函数 y=kx+b 的图象和反比率函数y=m的图象的另一个交点x∴ n=-2. ------------------------------------2 分∴ A （ -2,-2 ）、 B （ 1，4），于是得2k b 2k 2b.解得2k 4b∴ y 2x2 .--------------------------- 3分（ 2）△ AOC 的面积 =12 22 .4分8/12（3）不等式 kx+b<m的解集为： x 2 或 0 x 1.---------------------5分x26. 解：延伸 CP 交 AB 于点 E ，过点 P 做 PD ⊥ AB 于 D ∴ A D=BD=1AB = 2 32连结 PA在△PDA 中，∠ PDA=90°， PA=4， AD=2 3∴PD=2--------------------- 1分∵⊙ P 与 y 轴相切于点 C∴PC ⊥ y 轴，y∴∠ OCE=90° ----------------2分∵直线 y=x,∴∠ COE=45° ------------------ 3分CPB∴∠ CEO=45°， OC=CEED22在△PDE 中，∠ PDE=90°， PD=2，∴ PE=oA2 22 2∴CE=4+，∴ OC=4+-------------x-------------------------4分∴点 P 的坐标为： P （ 4， 4+2 2 ） -------------------------------------5 分27.（1）∵对于 x 的一元二次方程x 22xk 1 0 有实数根2∴b24ac 4 4k 12∴ k 1 2∴ k3---------------------------------------------------------------------------------1 分∵ k 为正整数∴ k 的值是 1,2,3-----------------------------------------------------2 分（2）方程有两个非零的整数根当 k 1 时， x 2 2x 0 ，不合题意，舍当 k2 时， x 2 2x1 0 ，不合题意，舍3 时， x 22当 k 2x 1 0 ， x 1 x 2 1∴ k3 ----------------------------------------3 分∴ yx 22 x 1∴平移后的图象的表达式 yx 22 x 8 ---------------------4 分（3）令 y =0， x 22x 8 0∴ x 1 4, x 22∵与 x 轴交于点 A ， B （点 A 在点 B 左边）∴ A （ -4,0）， B （ 2,0）∵直线 l ： ykx b ( k 0) 经过点 B ，∴函数新图象如下图，当点C 在抛物线对称轴左边时，新函数的最小值有可能大于 5 ．y1AB-4 -3 -2-1O123x-1令 y5 ，即 x 22x 8 5 ．-2解得 x 1 3， x 2 1 （不合题意，舍去）．-3∴抛物线经过点 ( 3, 5) ． --------- 5 分-4-5C-6 °当直线 ykx b (k 0) 经过点（ -3， -5），（ 2,0）时，-7 -8可求得 k1-9------------------------6 分由图象可知，当0 k 1时新函数的最小值大于5 ．---------------------------7 分28．解：（ 1）如图 2，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ C=∠ D=90°．∴∠ 1+∠3=90 °．∵由折叠可得∠APO=∠ B=90°，∴∠ 1+∠2=90 °．∴∠ 2=∠3． ------------------------- 1 分又∵∠ D=∠ C ，2∴△ OCP ∽△ PDA ． --------------------------------------------- 2 分如图 1，∵△ OCP 与 △ PDA 的面积比为 1： 4，∴OP CP 1 1 1 ．PADA4．∴ CP=AD=422设 OP=x ，则 CO=8－ x ．在 Rt △ PCO 中，∠ C=90°，由勾股定理得 x 2=(8 － x) 2 +4 2． ---------------------------------------------3分解得： x=5 ．∴ AB = AP =2 OP =10 ． -------------------------------------------------4 分∴边 AB 的长为 10．（2）① ----------5分DPCME10/12FABN②在△OCP 与△ PDA 的面积比为1： 4 这一条件不变的状况下，点M、 N 在挪动过程中，线段EF 的长度是不变的．过点 M 作 MQ∥ AN，交 PB 于点 Q，如图．∵AP=AB， MQ ∥AN，∴∠APB=∠ ABP =∠ MQP ．∴MP =MQ．又 ME⊥ PQ∴点 E是 PQ的中点∵MP =MQ，BN=PM，，．∴ BN=QM，又 MQ∥ AN可证点 F 是 QB 的中点∴EF=1PB ．------------------------------------------------6 分2∵△ BCP 中，∠ C=90 °， PC=4，BC=AD=8∴PB= 4 5 为定值∴ EF 为定值．----------------------------------------------------------7分∴在△OCP 与△ PDA 的面积比为1： 4这一条件不变的状况下，点M、N 在挪动过程中，线段EF 的长度是不变的它的．29.解：（1）抛物线 y mx219x n 经过两点A(0,3), B(4,0)4m02190n3m14解得m2194n0n 3 44因此二次函数的表达式为y x219x 3 .分.2 4(2) 可求经过 AB 两点的一次函数的解读式为y 3x 3 . 4MN 3x 3 ( x219x 3)x24x( x 2) 24 440x4当 x 2 时，MN获得最大值为 4.分.4(3)存在 .①当 ON AB 时，（如图1）可证：NOQ OAB ，OQN AOB 9011/12AOB ∽ OQN .yON NQ OQ AAB OBOANOA 3, OB 4AB 5,OQBxON.AB OAOB. , ON12M5图1NQ48,OQ36 . N (36 , 48) ------------------------6 分25 25 25 25y②当 N 为 AB 中点时，（如图 2）ANOQ B ， AOB NQO 90NAOB ∽ NQO .此时 N (2, 3) .QBx7 O分知足条件的 N (36 2------------------------------------------------------8分,48)或 N (2,3)图 2M25 25 212/12。
北京市房山区初三数学上册期末试卷(有答案)【精选】.doc
1D 房山区第一学期终结性检测试卷九年级数学学科一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 二次函数2(1)3y x =--的顶点坐标是A ．（1，-3）B ．（-1，-3）C ．（1，3）D ．（-1，3）2．如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．则△CMN 与△CAB 的面积之比是A ．12B ． 13C ．14D ．193．如图，在⊙O 中，A ，B ，D 为⊙O 上的点，∠AOB =52°，则∠ADB 的度数 是A ．104°B ．52°C ．38°D ．26°4. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若 13=AD AB ,AE =1,则EC 等于A ．1B ． 2C ．3D ．45. 如图，点P 在反比例函数2y x=的图象上，P A ⊥轴于点A ，则△P AO 的面积为A ．1B ．2C ．4D ．66. 如图，在△ABC 中，B ACD ∠=∠，若AD =2,BD =3,则AC 长为A ．B ．CD ．67. 抛物线22y x x m =-+与轴有两个交点，则m 的取值范围为A ．1m >B ．=1mC ． 1m <D ．4m <8. 已知二次函数y 1＝a 2＋b ＋c (a ≠0)和一次函数y 2＝＋n (≠0)的图象如图所示，下面有四个推断 ①二次函数y 1有最大值B CB2②二次函数y 1的图象关于直线1x =-对称 ③当2x =-时，二次函数y 1的值大于0④过动点P (m ，0)且垂直于轴的直线与y 1，y 2的图象的交点分别 为C ，D ，当点C 位于点D 上方时，m 的取值范围是m ＜-3或m ＞-1．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 已知点A （1，a ）在反比例函数12y x=-的图象上，则a 的值为 ． 10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交点在y 轴负半轴的抛物线的表达式：11. 如图，在⊙O 中，AB 为弦，半径OC ⊥AB 于E ，如果AB=8，CE =2， 那么⊙O 的半径为 ．12. 把二次函数245=-+y x x 化为()2y a x h k =-+的形式，那么h k +=_____.13. 如图，∠DAB =∠CAE ，请你再添加一个条件____________， 使得△ABC ∽△ADE ．14. 若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为 ．15. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF 的斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上. 测得DE =0.5米，EF =0.25米，目测点D 到地面的距离DG =1.5米，到旗杆的水平距离DC =20米．按此方法，请计算旗杆的高度为 米．16．如图1，将一个量角器与一张等边三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，CD ⊥AB ,垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，此时，测得顶点C 到量角器最高点的距离CE ＝2cm ，将量角器沿DC 方向平移1cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，如图2,则AB 的长为 cm .图1CBAEED ABC 图2CB3三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算：o o o 2sin 45tan 602cos30++18. 下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线l 及直线l 外一点P . 求作：直线PQ ，使得PQ ⊥l . 做法：如图，①在直线l 的异侧取一点，以点P 为圆心，P 长为半径画弧，交直线l 于点A ，B ； ②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的同样长为半径画弧，两弧交于点Q （与P 点不重合）； ③作直线PQ ，则直线PQ 就是所求作的直线. 根据小西设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：∵P A = ，QA = ,∴PQ ⊥l （ ）（填推理的依据）.19．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ，且A ，B ，C 三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC 相似的△A 1B 1C 1，要求：A 1，B 1，C 1三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A 1B 1C 1的面积．P420. 如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AD =BC . 已知A （﹣20），B （6，0），D （0，3），函数(0)=>ky x x的图象G 经过点C （1）求点C 的坐标和函数(0)=>ky x x的表达式；（2）将四边形ABCD 向上平移2个单位得到四边形''''A B C D 问点'B 是否落在图象G 上？21. 小磊要制作一个三角形的模型，已知在这个三角形中，长度为(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积为S (单位：cm 2)．(1)请直接写出S 与之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)当是多少时，这个三角形面积S 最大?最大面积是多少?[22. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，AC =12，BC =5． （1）求ADE ∠cos 的值；（2）当DE DC =时，求AD 的长．523. 如图，反比例函数=k y x分别交于M ，N 两点，已知点（1）求反比例函数的表达式；（2）点P 为y 轴上的一点，当∠标．24. 如图，AB ，AC 是⊙O 点E ，连接BE ，连接AO ． （1）求证：AO ∥BE ；（2）若2=DE ，tan ∠BEO25. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD 的垂线，交CD 延长线于点E . 已知AC =30，cos A =53. （1）求线段CD 的长； （2）求sin ∠DBE 的值.26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A --，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .B6（1）直接写出点B 的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过点A ,B ，求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线2y x =+上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．27. 如图，Rt △ ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC ， 作AD 的垂直平分线EF 交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，交AB 于点G，交AC 于点H ． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠BAD =∠BFG ；（3）试猜想AB ，FB 和FD 之间的数量关系并进行证明．B728. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，2），B （3，2），连接AB . 若对于平面内一点P ，线段AB 上都存在点Q ，使得PQ ≤1，则称点P 是线段AB 的“临近点”． （1）在点C （0，2），D （2，32），E （4，1）中，线段AB 的“临近点”是__________； （2）若点M （m ，n）在直线2y x =+上，且是线段AB 的“临近点”，求m 的取值范围； （3）若直线3y x b =-+上存在线段AB 的“临近点”，求b 的取值范围.第一学期终结性检测试卷答案九年级数学学科二.填空题（本题共16分，每小题2分）89. -12 10.略 11. 5 12. 3 13.略14.15. 11.5 16. 三. 解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17.2sin 45tan 602cos30︒+︒+︒22=- ……………………4分= ……………………………………5分18. （1）如图所示 ………………………………………1分（2）P A=PB ，QA=QB …………………………………3分依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线. ………………………………………5分19. 画图略 …………………………………………………3分面积略 ……………………………………………………5分20. （1）C （4，3）， ……………………………………………1分反比例函数的解析式y=x12； ………………………3分 （2）点B ′恰好落在双曲线上． …………………………5分21.（1）x x S 20212+-= …………………………2分 （2）∵21-=a ＜0，∴S 有最大值， …………………………3分 当20)21(2202=-⨯-=-=abx 时，S 有最大值为200202020212=⨯+⨯-=S ∴当为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2. …………………………5分22. 解如图，（1）∵DE ⊥AB ，∴∠DEA =90°． ∴∠A+∠ADE =90°． ∵∠ACB =90︒， ∴∠A+∠B =90°．∴∠ADE =∠B ． ………………………………1分l9在Rt △ABC 中，∵AC =12，BC =5， ∴AB =13． ∴5cos 13BC B AB ==． ∴5cos cos 13ADE B ∠==． ………………………………2分 （2）由（1）得5cos 13DE ADE AD ∠==， 设AD 为，则513DE DC x ==． ………………………………3分 ∵ 12AC AD CD =+=，∴ 51213x x +=. .………………………………4分解得263x =. ∴ 263AD =. ……………………………5分23. （1）∵点M （-2，m ）在一次函数12y x =-的图象上，∴()1=212m -⨯-= ． ∴M （-2，1）． ……………………………2分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点M （-2，1）， ∴＝-2×1＝-2．∴反比例函数的表达式为2=-y x． ……………………………4分 （2）点P 的坐标为（0，……………………………6分24. （1） 证明：连结BC ,∵AB ，AC 是⊙O 的两条切线，B ，C 为切点，∴=AB AC ,平分∠OA BAC ………………………………1分10 ∴OA ⊥BC . ∵CE 是⊙O 的直径, ∴∠CBE =90°，∴ OA ∥BE . ………………………………2分 (2)∵OA ∥BE, ∴∠BEO =∠AOC . ∵tan ∠BEO,∴tan ∠AOC (3)在Rt △AOC 中,设OC =r ,则AC r , OA ………………………4∴在Rt △CEB 中,EB =3r . ∵BE ∥OA , ∴△DBE ∽△D AO∴DE EBDO OA=, ………………………………………………………………5分 2DO =∴DO =3. ………………………………6分25. ⑴∵∠ACB =90°，AC =30，cos A =53，∴BC =40，AB =50. ……………………2分 ∵D 是AB 的中点， ∴CD =21AB =25. …………………………3分 (2)∵CD =DB ,∴∠DCB =∠DBC . ………………………4分 ∴cos ∠DCB =cos ∠DBC =45. ∵BC =40,∴CE =32， ……………………5分 ∴DE =CECD =7, ∴sin ∠DBE=725=DE DB . ……………………6分 BA1126. （1）()2,2B -……………………2分（2） 抛物线2y x bx c =-++过点,A B ，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩, 解得26b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线表达式为226y x x =--+ ………………………4分 （3）抛物线2y x bx c =-++顶点在直线2y x =+上∴抛物线顶点坐标为(),2t t +∴抛物线表达式可化为()22y x t t =--++． 把()4,2A --代入表达式可得()2242t t -=---++解得123,4t t =-=-． ∴43t -≤<-．把()2,2B -代入表达式可得()2222t t --++=-．解得340,5t t == ∴05<≤t ．综上可知t 的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ． …………………6分1227. （1）补全图形如图; ……………………………2分 （2）证明∵AD 平分∠BAC , ∴∠BAD =∠CAD∵FE ⊥AD , ∠ACF =90°, ∠AHE =∠∴∠CFH =∠CAD∴∠BAD =∠CFH , 即∠BAD =∠（3）猜想 222AB FD FB += 证明：连接AF ，∵EF 为AD 的垂直平分线，∴ AF=FD ，∠ DAF =∠ ADF∴ ∠ DAC +∠ CAF =∠ B +∠ BAD ， ∵ AD 是角平分线， ∴ ∠ BAD =∠ CAD ∴ ∠ CAF =∠ B ，∴ ∠ BAF =∠ BAC +∠ CAF=∠ BAC +∠ B =90°………………………6分∴222AB AF FB +=∴222+=AB FD FB ………………………………7分28.（1）C 、D （2）如图，设3y x =-+易知M （0,2），∴m≥0，易知N 的纵坐标为1，代入y =∴∴0≤m≤.（3）当直线3y x b=-+与半圆A相切时，=23-b…………5分当直线y x b=+与半圆B相切时，b分∴2+332－≤b……………………………………………7分13。
北京市房山区九年级(上)期末数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）：下面各题均有四个选项，其中只有一个 符合题意.
1．（3 分）下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）已知：⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d．如果 d≥r，那么 P 点（ ）
A．在内
3．（3 分）已知，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则 sinA 的值是
（）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）三角形内切圆的圆心为（ ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点
5．（3 分）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝kx2+k 与 y＝ 的图象可能是（ ）
第3页（共8页）
（1）利用配方法将表达式化成 y＝a （x﹣h）2+k 的形式； （2）写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 19．（5 分）在 Rt△ABC 中，已知∠B＝90°，AB＝2，AC＝ ，解这个直角三
角形． 20．（5 分）已知：二次函数 y＝ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图
的是（ ）
A．①
B．④
C．①或③
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）：
第2页（共8页）
D．②或④
11．（3 分）函数
的自变量 x 的取值范围是
．
12．（3 分）在圆中，如果 75°的圆心角所对的弧长为 2.5πcm，那么这个圆的半
径是
．
13．（3 分）如果一个等腰三角形的三条边长分别为 1、1、 ，那么这个等腰三
北京市房山区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题及答案【完整版】
（2）P1(2,0), P2(4,0)
……………………6 分
2
26.解：(1) ∵点 A（-1,0）在抛物线 y ax +bx 3a 上
∴0 = � − � + 3�
∴4� = �
……………………1 分
2
∴抛物线表达式为 y ax +4ax 3a
∴抛物线对称轴为直线� =− 2
……………………2 分
∴�=
21. 证明：
6
−2
�
=− 3
………………………5 分
如图，…………………………3 分
∵ ��平分 ABC
∴ ∠��� = ∠���
∴ �� = ��
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∴AD =CD
……………………5 分
22. 解：设 EF 的延长线交 AB 于点 M，根据题意
∵∠AEF=30°，∠AFM=60°
19. 解：
第 13 页 共 19 页
∵AD⊥BC
∴ ∠��� = ∠��� = 90°……………………1 分
在 Rt△���中，
∵tanC=
4
, AD=4
3
��
��
=
∴ �� = 3
…………………………2 分
在 Rt△���中，
∵∠B=30°,tanB=
∴ �� =
��
tan�
��
��
=
4tan3ຫໍສະໝຸດ °（1 ）用等式表示a 与b 之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
（2 ）当 3 2 AB 5 2 时，结合函数图象，求a 的取值范围.
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27．如图，点 C 是⊙O 直径 AB 上一点，过 C 作 CD⊥AB 交⊙O 于点D，连接DA，DB．
北京市房山区2022年-有答案-九年级上学期期末数学试题
北京市房山区2022学年九年级上学期期末数学试题一、单选题1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B.C. D.2. 的值等于()A. B. C. D.3. 如图，在中， // ，若，，则等于()A. B. C. D.4. 如图，，是⊙的半径，若，则的度数是()A. B. C. D.5. 在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为()A. B. C. D.6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是()A. B. C. D.7. 在中，，，，则的长为()A. B. C.或 D.或8. 如图，二次函数的图象经过，，三点，下面四个结论中正确的是()A.抛物线开口向下B.当时，取最小值C.当时，一元二次方程必有两个不相等实根D.直线经过点，，当时，的取值范围是二、填空题已知，则________．请写出一个过点的函数表达式：________．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70∘，则∠ADC的度数是________．函数的图象向下平移3个单位，得到函数图象的表达式是________．如图，点，分别在△的，边上．只需添加一个条件即可证明△∽△，这个条件可以是________．如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为________．如图所示的网格是边长为1的正方形网格，，，是网格线交点，则________．我们将满足等式的每组，的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面四个结论中：①“心形”图形是轴对称图形；②“心形”图形所围成的面积小于3；③“心形”图形上任意一点到原点的距离都不超过；④“心形”图形恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．所有正确结论的序号是________．三、解答题如图，已知 // ，．求证：．已知二次函数．（1）求它的图象的顶点坐标和对称轴；（2）画出它的图象，并结合图象，当时，则的取值范围是________．已知：线段．求作：，使其斜边，一条直角边．作法：①作线段；②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点；③以为圆心，长为半径作⊙；④以点为圆心，线段的长为半径作弧交⊙于点，连接．就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明．证明：∵点在线段的垂直平分线上，∴点为线段的中点，为⊙的半径．∴为⊙的直径．∵点在⊙上，∴________(________)（填推理的依据）．∴为直角三角形．在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角分别为和，求桥的长度．（结果精确到．参考数据：，）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．（1）求的值；（2）点为轴上一动点．若的面积是，请直接写出点的坐标．如图，为⊙的直径，⊙过的中点，，垂足为点．（1）求证：与⊙相切；（2）若，．求的长．已知抛物线经过点．（1）当抛物线与轴交于点时，求抛物线的表达式；（2）设抛物线与轴两交点之间的距离为．当时，求的取值范围．如图，已知是矩形的一条对角线，点在的延长线上，且．连接，与相交于点，与相交于点．（1）依题意补全图形；（2）若，解答下列问题：①判断与的位置关系，并说明理由；②连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．定义：在平面直角坐标系中，点为图形上一点，点为图形上一点．若存在，则称图形与图形关于原点“平衡”．（1）如图，已知⊙是以为圆心，为半径的圆，点，，．①在点，，中，与⊙关于原点“平衡”的点是________；②点为直线上一点，若点与⊙关于原点“平衡”，求点的横坐标的取值范围；（2）如图，已知图形是以原点为中心，边长为的正方形．⊙的圆心在轴上，半径为．若⊙与图形关于原点“平衡”，请直接写出圆心的横坐标的取值范围．参考答案与试题解析北京市房山区2022学年九年级上学期期末数学试题一、单选题1.【答案】C【考点】中心对称图形轴对称图形轴对称与中心对称图形的识别【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．2.【答案】A【考点】算术平方根二次根式的加减混合运算点的坐标【解析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：sin30∘=12故选A3.【答案】D【考点】平行线的判定与性质平行线的性质点的坐标【解析】首先根据平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：…DEIIBC，AD=2,AB=3…AEAC =ADAB=23故选：D．4.【答案】A【考点】圆周角定理【解析】Ⅰ由题意及圆周角定理可直接进行排除选项．【解答】Ⅰ解：∠AOB=50∘．∠ACB=12∠AOB=25∘故选A．5.【答案】D【考点】弧长的计算圆的有关概念有理数的乘方【解析】利用弧长公式即可求出．【解答】解：90∘的圆心角所对的弧加nπ180=90π×2180=π故选：D．6.【答案】B【考点】反比例函数的性质【解析】根据反比例函数的增减性解答．【解答】y=6xk=6>0…该反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，点A(x1,−1)B(x,2)C(x3,3)…点A在第三象限内，且x1最小，2<3∴x2>x3∴ x 1<x 3<x 2 故选：B ． 7. 【答案】 D【考点】解一元二次方程-因式分解法 【解析】利用分类讨论的思想，①当AC 边为长边时，作BD ⊥AC 交AC 于点D ，设BD =x ，由题意可求出AD 、DC 长，再根据勾股定理可列出关于x 的一元二次方程，解出x 即可求出AB 长；②当AB 边为长边时，作CE ⊥AB 交AB 于点E ，由题意可求出CE 、AE 长，再根据勾股定理可求出BE 长，从而得到AB 长． 【解答】分类讨论：①当AC 边为长边时，作BD ⊥AC 交AC 于点D ，设BD =x ∠A =30∘∴ AD =√3BD =√3x．DC =AC −AD =2√3−√3x在Rt △BCD 中，BC 2=BD 2+DC 2，即22=x 2+(2√3−√3x)2整理得：(x −1)(x −2)=0 解得x 1=1x 2=2当x 2=2时，DC =AC −AD =2√3−2√3=0不合题意，所以此解舍去． →C．AB =2BD =2×1=2②当AB 边为长边时，作CE ⊥AB 交AB 于点E ， ∠A =30∘ .AE =√32AC =√32×2√3=3CE =12AC =12×2√3=√3 在Rt △BCE 中，BE =√BC 2−CE 2=√22−(√3)2=1 AB =AE +BE =3+1=4A 8. 【答案】 C【考点】 根的判别式反比例函数图象上点的坐标特征 解一元二次方程-因式分解法 【解析】把A 、B 、C 三点代入二次函数即可求出函数解析式，根据函数解析式依次判断即可． 【解答】把A 、B 、C 三点代入二次函数得： {1=c−1=4a +2b +c 5=16a +4b +c 解得：{a =1b =−3故函数解析式为：y =x 2−3x +1 …开口朝上， 故A 不正确；函数对称轴为：x =−b2a =32 x =32时，函数值最小，y =−54 故B 不正确；由题意得：y =−54时，一元二次方程ax 2+bx +c =y 有一个实根，y >−54时，ax 2+bx +c =y 有两个不等实根，m >−1…一元二次方程ax 2+bx +c =m 必有两个不相等实根， 故C 正确；直线y =kx +c (k ≠0)经过点A ，C ，…依据题意可知：kx +c <ax 2−bx +c 时，x ≤0或x >4 故D 错误； 故选：C ． 二、填空题 【答案】 4【考点】 比例的性质 【解析】Ⅰ先根据xy =13得到y =3x,再代入x+y x化简即可求解．【解答】 解：xy =13 y =3xx +y x =x +3x x =4xx =4 故答案为：4 【答案】________f 客案】y =x 或y =1x 或y =x 2（答案不唯一）． 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 待定系数法求二次函数解析式 【解析】由函数图象过点(1,1)，设该函数的表达式为y=kx可l=kx或y=a2，将点的坐标代入求函数的表达式．【解答】解：设该函数的表达式为y=k或y=kx或y=a2把点(1,1)代入，可分别求出表达式为：y=x或y=1x，或y=22故答案为：y=x或y=1x或y=x2（答案不唯一）．【答案】110∘【考点】圆内接四边形的性质圆周角定理圆心角、弧、弦的关系【解析】根据圆周角、圆心角的性质计算，即可得到答案．【解答】∵ ∠ABC所对圆心角和△ADC所对圆心角之和等于360∘又：同弧所对圆周角是圆心角的一半∠ABC+∠ADC=180∘∴ ADC=180∘−∠ABC=180∘−70∘=110∘故答案为：110∘【答案】I加加加y=x2−3【考点】二次函数图象的平移规律【解析】根据函数图象平移的法则“上加下减”进行计算，即可求解结果．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=x2的图象向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=x2−3故答案为：y=x2−3【答案】【答∠ADE=∠C或AED=∠B或ADAC =AEAB【考点】相似三角形的判定全等三角形的判定相似三角形的性质与判定【解析】由已知得到∠A是公共角，只需添加另一组角相等过夹角A的两条边成比例即可．【解答】ΔA=∠A…当△ADE=∠A或∴ AED=∠B时，ADE∼△ACB当ADAC =AEAB时，ADE−△ACB故答案为：△ADE=∠C或∠AED=∠B或ADAC =AEAB【答案】3【考点】垂径定理勾股定理圆的有关概念【解析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和90的半径，即可由勾股定理求出OH的长．【解答】连接OC，A十Rt△OCH中，OC=12AB=5CH=12CD=4;由勾股定理，得：OH=√OC2−CH2=√52−42=3即线段OH的长为3．故答案为：3．【答案】45【考点】勾股定理的逆定理轴对称图形三角形的面积【解析】作;AD⊥BC于D点，在Rt△ABD中根据余弦的定义求解即可．【解答】如图，作AD⊥BC于D点，则△ABD为直角三角形，其中，AD=3,BD=4，由勾股定理可得AB=5cos∠ABC=BDAB=45故答案为：45【答案】I加加【考点】函数的图象完全平方公式【解析】①根据方程的特点，用(−x,y)代替(x,y)可知“心形”图形关于y轴对称；②如图找出“心形”图形上的整点A(−1,0)B(−1,1)C(1,1)D(1,0),E(0,−1)F(0,1)，求出四边形ABCD和△ADE的面积，由“心形”图形的面积>S加加加ABCD+SΔAE=3可得结论；③当x≥0时，x2+y2=1+xy≤1+x2+y22，则x2+y2≥2，可得“心形”图形右侧部分的点到原点的距离都不超过√2，再根据对称性可得结论；④由②③可知“心形”图形上恰有6个整点．【解答】①在x2+y2=1+|x|y中，用(−x,y)代替(x,y)得(−x)2+y2=1+|−x|y，即x2+ y2=1+|x|y，所以“心形”图形关于y轴对称，故①正确；②如图，分别令x=−1.0,1，求出对应的y值可得：A(−1,0)B(−1,1)C(1,1),D(1,0)E(0,−1)F(0,1)S加加加加CDD=AD⋅AB=2×1=2S△ADE=12AD⋅OE=12×2×1=1：“心形”图形的面积S加加加BED+SΔΔE=3，故②错误；③当x≥0时，(x−y)2≥0，即x2+y2−2xy≥0∴x2+y2≥2:y,xy≤x2+y22x2+y2=1+xy≤1+x2+y22则x2+y2≤2，从而√(x−0)2+(y−0)2≤√2即“心形”图形右侧部分的点到原点的距离都不超过√2“心形”图形关于y轴对称，：“心形”图形上所有的点到原点的距离都不超过√2，故③正确；④由③知“心形”图形上所有的点到原点的距离都不超过√2：“心形”图形上的整点的横纵坐标都只能取−1，0，1中的一个，则由②知“心形”图形恰好经过6个整点：A(−1,0)B(−1,1)C(1,1)D(1,0)E(0,−1)F(0,1)，故④正确．综上所述，正确结论的序号是：①③④．三、解答题【答案】见解析【考点】平行线的判定与性质平行线的判定平行线分线段成比例【解析】根据平行线的性质可得∠A=∠CDE，结合ABDC =ADDE可证△ABD∼△DCE，由相似三角形的性质即可证明结论．【解答】证明：ABIICD，∠A=∠CDEAB DC = AD DE△ABD−△DCE∠B=∠C【答案】（1）顶点坐标为(1,−4)；对称轴为直线x=1；（2）y≥−4【考点】图象法求一元二次方程的近似根【解析】（1）把解析式化成顶点式即可；（2）先列表，再描点连线即可画出图象，再结合图象可判断出取值范围．【解答】（1）y=x2−2x−3=(x−1)2−4…二次函数y=x2−2x−3的图象的顶点坐标为(1,−4)对称轴为：直线x=1（2）列表如下：y0−3−4−30从图象可知：当x>0时，则Ⅳ的取值范围是y≥−4故答案为：y≥−4【答案】（1）见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角【考点】圆周角定理作三角形的内切圆与外接圆【解析】（1）根据作图步骤补全图即可（2）根据直径所对的圆周角是直角即可解决问题．【解答】（1）补全的图形如图所示：>B（2）证明：：点0在线段AB的垂直平分线上，…点0为线段AB的中点，OA为⊙O的半径，．AB为90的直径，点C在⊙O上，∠ACB=90∘（直径所对的圆周角是直角）．．△ABC为直角三角形．【答案】【答246m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题线段的和差勾股定理【解析】过点C作:D⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60∘和45∘，可得∠A=30∘∠B=45∘，再解直角三角形即可求解．【解答】解：根据题意得∠A=30∘∠B=45∘过C点作CD⊥AB，垂足为DD∠ADC=∠BDC=90∘在Rt△BDC中∠B=45∘CD=90m∴BD=CD=90m在Rt△ADC中∠A=30∘CD=90m∠ACD=60∘AD=CD⋅tan60∘=90√3mAB=AD+BD=90√3+90≈246m答：桥AB的长度约为246m．【答案】（1）m=3（2）C(−6,0)或C(2,0)【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】（1）先将点B(−2,0)代入一次函数求出k的值，进而求出A点坐标后，代入反比例函数求出m的值；（2）设C(n,0)，由S△ABC=6，列出方程即可求得n的值，要注意C点有两种可能．【解答】（1）一次函数y1=kx+2的图象与∼轴交于点B(−2,0)−2k+2=0k=1…y1=x+2(x>0)的图象交于点A(1,a)一次函数y1=kx+2的图象与反比例函数y2=mxa=1+2=3把A(1,3)代入y2=m，得m=3x（2）设C(n,0)，由（1）知点A的纵坐标为3，即△ABC的高为3，|BC|×3=6，则|BC|=4依题S△ABC=12当C点在B点左侧时，C(−6,0)当C点在B点右侧时，C(2,0)综上C(−6,0)或C(2,0)【答案】（1）见解析；（2）DE=125【考点】解直角三角形【解析】（1）连接OD，由题目已知条件可证明OD是△ABC的中位线，进而可得到OD//BC，根据DE⊥BC，可以推出∠ODE=90∘，即可得到结论．（2）连接BD，圆周角等于它所对的圆心角的一半可知∠ADB=90∘，又因为D是AC的中点，根据等腰三角形三线合一定理可得AB=BC,∠A=∠C，再根据三角函数正切值求出DE的长．【解答】（1）如图，连接OD0为AB中点，D是AC的中点，．．OD是△ABC的中位线，OD//BC∠ODE=∠DECDE⊥BC∠DEC=90∘∠ODE=90∘OD⊥DE○0过AC的中点D．DE与0相切．（2）如图，连接BD：AB是⊙O的直径，BD⊥AC：D 是AC 的中点，…AB =BC∴ ∠A =∠CtanA =anC在Rt △BDC 中，tanC =tanA =34BC =5 DB =3,CD =412BC ×DE =12BD ×DC DE =125【答案】 （1）y =12x 2−x（2）a <00<a <16或a >12【考点】抛物线与x 轴的交点【解析】（1）利用待定系数法求解；（2）先确定b =1−4a ，令y =at 2+bx =ax 2+(1−4a )x =0，求出方程的两个根分别为x 1=0x 2=4−1a ，由d >2，得到4−1a >2或4−1a ⋅−2，求出1a <2或1a >6，再分情况：①当a >0时，0<a <16或a >12，②当a <0时，1a <2恒成立，故a <0【解答】（1）解：由题意得，{16a +4b =44a +2b =0b =−1．抛物线的表达式为y =12x 2−x（2）解：：抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)经过点A (4,4)16a +4b =4b =1−4a令y =ax 2+bx =ax 2+(1−4a )x =0ax 2+(1−4a )x =0x(ax −(4a −1)]=0a ≠0x 1=0x 2=4−1ad >24−1a >2或4−1a <−2 即1a <2或1a >6①当a >0时，0⋅a <16或a >12 ②当a <0时，1a <2恒成立，故a <0 …综上所述，a <00<a <16或a >12【答案】（1）见解析；（2）①EC ⊥BD ，见解析；②EG −DG =√2AG ，见解析【考点】全等三角形的应用【解析】（1）根据线段的定义补图即可；（2）①证明△AEF ≅△ADB ，得到∠E =∠ADB ，利用∠AFE =∠DFG ，推出∠DGF =∠EAF =90∘，即可得到EC ⊥BD○如图，在线段EG 上取点P ，使得EP =DG ，连接AP ，证明△AEP ≅△ADG ，推出AP =AG∠EAP =∠DAG求出∠PAG =∠PAD +∠DAG =∠PAD +∠EAP =∠DAE =90∘，得到△PAG 为等腰直角三角形，PG =√2AG ，即可得到EG −DG =EG −EP =PG =√2,AG【解答】（1）补全的图形如图所示：刁CA（2）①解：EC ⊥BD理由如下：由矩形性质知∠DAB =90∘∠EAF =90∘在△AFF 与△ADB 中，{AE =AD ∠EAF =∠DAB AF =AB△AEF ≅△ADB∠E =∠ADB∠AFE =∠DFG∠DGF =∠EAF =90∘EC ⊥BD②线段AG ，EG ，DG 之间的数量关系：EG −DG =√2AG如图，在线段EG 上取点P ，使得EP =DG ，连接AP在△AEP 与△ADG 中，{AE =AD ∠E =∠ADG EP =DG△AEP≅△ADGAP=AG∠EAP=∠DAG∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90∘ΔPA)为等腰直角三角形，PG=√2AGEG−DG=EG−EP=PG=√2,AGE【答案】（1）①点C，D；②−3√22≤x N<√22或√22≤x加<3√22；（2）2−√2≤x≤2+√2或−2−√2≤x≤√2−2【考点】一次函数的应用点与圆的位置关系【解析】（1）①由C(−1, 0)，D(−2.1)，E(3.2)，依据勾股定理分别求出OC，OD，OE的长度，由新定义得到距离的取值范围，比较大小即可求解；②由点H可以与○A关于原点O“平衡”，得到1≤0H≤3，又因为点H为直线J=−Y上一点，得到直线OH与直线y=—Y的较小的夹角为45∘，分两种情况讨论，根据特殊角的三角函数值可以求得点H的横坐标，根据新定义的意义最后得出点H的横坐标的取值范围；（2）由图形G是以原点O为中心，边长为2的正方形，得到原点O到正方形的最短距离是d=1，最长距离是d=√2，即1zds√2，再根据○K的圆心在∼轴上，半径为2，分两种情况来讨论，根据新定义的意义即可求出圆心K的横坐标的取值范围．【解答】(1)(D加C(−1.0)，D(−2.1)，E(3.2)，可知OC=√12+02=1OD=√(−2)2+12=√5OE=√32+22=√13☉A是以(1.0)为圆心，2为半径的圆，原点○到○A的最短距离是d=1，最长距离是d=3，∶1≤0C<3，1<0D<3.点C，D与○A关于原点○“平衡”．故答案为：C，D−5H②解：若点H可以与○A关于原点○“平衡”，则1≤0H≤3：点H为直线J=−Y上一点，直线OH与直线J=−Y的较小的夹角为45∘点H在第四象限时，当OH=1时，可求得点H的横坐标为：cos45∘×OH=√22当^UH2=”3时，可求得点H的横坐标为：cos45∘×OH1=3√22点H横坐标的取值范围是：√22<x B<3√22点H在第二象限时，点H横坐标的取值范围与点H在第四象限时的取值范围关于原点对称，点H横坐标的取值范围是:−3√22≤x B<−√22综上所述，点H横坐标的取值范围是:−3√22≤x R<−√22加√22≤x≤3√22（2）∵图形G是以原点O为中心，边长为2的正方形，．原点O到正方形的最短距离是d=1，最长距离是d=√2∵☉K与图形G关于原点○“平衡”，原点0到☉K上一点的距离1≤d≤√☉K的圆心在∼轴上，半径为2，当○K在∼轴正半轴时，圆心K的横坐标的取值范围为2−√2≤x≤2+√2当○K在∼轴负半轴时，圆心K的横坐标的取值范围为：−2−√≤x≤√2−2综上所述，圆心K的横坐标的取值范围2−、√2≤x≤2+√2=−2−√2≤x≤√2−2。
2022-2023学年北京房山区初三第一学期数学期末试卷及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年北京房山区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 如图，在△中，∥，如果，，，那么的值ABC DE BC 3AD =6BD =2AE =AC 为（ ）A.B. C. D. 4689【答案】B【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得到，从而AC 的长度可求. AD AE AB AC =【详解】∵∥ DE BC ∴AD AE AB AC =∴ 3236AC=+∴6AC =故选B【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.2. 在△中，∠，如果，，那么cos 的值为（ ）Rt ABC 90C =︒4AC =3BC =AA. B. 4535C. D.4334【答案】A【分析】先利用勾股定理求出AB 的长度，从而可求. cos AC A AB =【详解】∵∠，，90C =︒4AC =3BC =∴ 5AB ===∴ 4cos 5AC A AB ==故选A【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.3. 把二次函数y ＝x 2﹣2x+4化为y ＝a （x﹣h）2+k 的形式，下列变形正确的是（ ）A. y ＝（x+1）2+3B. y ＝（x﹣2）2+3C. y ＝（x﹣1）2+5D. y ＝（x﹣1）2+3【答案】D【解析】【详解】y= ，22224(21)3(1)3x x x x x -+=-++=-+所以,y=. 故选D.2(1)3x -+4. 如图，A ，B ，C 是上的三个点，如果，那么的度数是O 25BAC ∠=︒BOC ∠（ ）A.B. C. D.35︒45︒50︒60︒【答案】C【解析】 【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得结果．【详解】∵在中，，O 25BAC ∠=︒∴，250BOC BAC ∠=∠=︒故选：C【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，并能找出同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．5. 河堤的横截面如图所示，堤高BC 是5米，迎水坡AB 的长是13米那么斜坡AB 的坡度iA. 1：3B. 1：2.6C. 1：2.4D. 1：2【答案】C【解析】 【详解】分析：在Rt△ABC 中，根据勾股定理求得AC 的长，根据坡面AB 的坡比即为∠BAC 的正切即可求解.详解：在Rt△ABC 中，BC=5米，AB=13米，根据勾股定理得AC=12米，∴AB 的坡度i=. 5112 2.4BC AC ==故选C.点睛：本题主要考查学生对坡度坡角的掌握，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6. 已知点，都是反比例函数图象上的点，并且，则()11,A x y ()22,B x y 1y x =120x x <<（ ）A. B. C. D. 120y y >>210y y >>210y y <<210y y <<【答案】D【解析】【分析】反比例函数在每一象限内，y 随x 的增大而减小，从而可得答案． 1y x=【详解】解：∵点，都是反比例函数图象上的点， ()11,A x y ()22,B x y 1y x =又∵，10＞∴反比例函数的图象在第一象限和第三象限， 1y x=即当时，y 随x 的增大而减小，120x x ＜＜∴，210y y ＜＜故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．7. 道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m ）（ ） ABA. B. C. D. 403π803π16003π 32003π【答案】B 【解析】【分析】根据题意，求长即可求解．AB 【详解】解：依题意，， 120π4080π1803ABl ⨯⨯==故选：B ． 【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，两点同时从原点出发，点以每秒个单xOy A B ，O A 2位长的速度沿轴的正方向运动，点以每秒个单位长的速度沿轴的正方向运动，设运x B 1y 动时间为秒，以为直径作圆，圆心为点．在运动的过程中有如下5个结论： t AB P ①的大小始终不变；ABO ∠②始终经过原点O ；P ③半径的长是时间t 的一次函数；AP ④圆心的运动轨迹是一条抛物线；P ⑤始终平行于直线． AB 12y x =-其中正确的有（ ）A. ①②③④B. ①②⑤C. ②③⑤D. ①②③⑤【答案】D【解析】【分析】根据，即可判断①，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得出tan 2OA B OB==，即可判断②，根据题意求得，即可判断③④，待定系数法求得的解12OP AB =AP AB 析式，即可判断⑤，即可求解．【详解】解：依题意，2,AO t OB t ==∴， tan 2OA B OB==∴的大小始终不变，故①正确；ABO ∠如图，连接， OP∴， AB ==12OP AB ==∴始终经过原点O ，故②正确P∵ 12AP AB ==∴半径的长是时间t 的一次函数，故③正确；AP∵ 12OP AB ==∴圆心的运动轨迹是一条直线；故④不正确P∵，，()0,B t ()2,0A t 设直线的解析式为,AB y kx b =+则， 20tk b b t +=⎧⎨=⎩解得：，12k b t⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线的解析式为 AB 12y x t =-+∴始终平行于直线，故⑤正确． AB 12y x =-故选：D【点睛】本题考查了求正切，，勾股定理，一次函数解析式，一次函数的平移，点的轨迹，综合运用以上知识是解题的关键．二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）9. 二次函数的顶点坐标为__________．()212y x =-+-【答案】（-1，-2）【解析】【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为（-1，-2）．()212y x =-+-故答案为：（-1，-2）【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．10. 如图，平面直角坐标系中，若反比例函数的图象过点和点，则a 的()0k y k x=≠A B 值为______．【答案】##1.5 32【解析】【分析】根据点的坐标求得反比例函数解析式，将代入，即可求解．A 2x =-【详解】解：依题意，将点代入，得出， ()1,3A -k y x =3k =-∴反比例数解析式为， 3y x =-当时，， 2x =-32y =即， 32a =故答案为：． 32【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，求得反比例函数解析式是解题的关键．11. 在正方形网格中，的位置如图所示，则为______．ABC sin ABC ∠【解析】【分析】根据题意找到，根据正弦的定义即可求解．Rt △ABD 【详解】解：如图∵是直角三角形，ABD △，1,AD AB ===∴， sin AD ABC AB ∠===【点睛】本题考查了求正弦，勾股定理与网格，掌握正弦的定义是解题的关键．12. 平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，则的值为xOy 22y x x m =-+x m ______．【答案】1【解析】【分析】根据题意，得出，即，然后再根据一元二次方程的判别0y =220x x m -+=式，计算即可．【详解】∵抛物线与轴只有一个交点，22y x x m =-+x ∴方程根的判别式，220x x m -+=Δ0=即，440m -=解得：，1m =故答案为：1【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，转为为一元二次方程根的判别式进行求解x 是解题的关键．13. 丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C 放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A ，B 两点，测得CA 为8cm ，CB 为6cm ，则该圆形镜子的半径是______cm ．【答案】5【解析】【分析】连接，根据圆周角定理可得：是该圆形镜子的直径，进而直接根据勾股AB AB 定理求得，即可求解．AB 【详解】如图，连接，AB ∵，90ACB ∠=︒∴是该圆形镜子的直径，AB 在Rt 中，cm ，cm ，ACB △8CA =6CB =∴cm ，10AB ===∴该圆形镜子的半径是cm ， 10522AB ==故答案为：5．【点睛】本题考查圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，证得是该圆形镜子的直径．AB 14. 如图，在矩形中，若，，且，则EF 的长为______． ABCD 2AB =4BC =14AF FC =【解析】 【分析】先证明，由勾股定理求得的长度，再根据三角形相似比得AEF CBF ∽△△BE到，最后利用的长度．4BF EF =EF BF BE +==EF 【详解】∵是矩形，且，，ABCD 2AB =4BC =∴，AD BC ∥∴，且，EAF BCF ∠=∠AFE BFC ∠=∠∴， AEF CBF ∽△△∴，且， 14AE EF AF BC BF FC ===4BC =∴，，1AE =4BF EF =∵，2AB =∴ BE =∴ EF BF BE +==4BF EF =∴EF =故答案为 【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，矩形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用是解题关键．15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．【答案】6【解析】 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．=17，设内切圆半径为r ，由面积法 ()111715881522r ⨯++⋅=⨯⨯r= 3（步），即直径为6步，故答案为：6．【点睛】考点：三角形的内切圆与内心．16. 在平面直角坐标系xOy 中，以点为圆心，单位长1为半径的圆与直线(),0P t 相切于点M ，直线与y 轴交于点N ，当取得最小值时，k 的值为2y kx =-2y kx =-MN ______．##【解析】【分析】根据题意先求得，即可求得，，设直线与x 轴的0=t 1PM =2PN =2y kx =-交点为，然后利用，即可求得k 的值 2,0A k ⎛⎫ ⎪⎝⎭1122PAN S AN PM AP PN == △【详解】∵直线与y 轴交于点N ，2y kx =-∴，且，()0,2N -(),0P t ∴，PN ==∵单位长1为半径的圆与直线相切于点M ，2y kx =-∴，PM MN ⊥∴，MN ==∴当时，，0=t MN ∴点，()0,0P 设直线与x 轴的交点为，2y kx =-2,0A k ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，，， AN =2AP k =1PM =2PN =∴，1122PAN S AN PM AP PN == △∴22k ⨯=解得：，k =k =【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理及分式方程，解决问题的关键是利用三角形的面积相等解分式方程三、解答题（本题共12道小题，共68分．17，18，20，21每题5分；其余每题6分）17. 计算：．2cos3045tan 60︒︒-︒【答案】1．【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】原式= 2=1.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．18. 抛物线过点和．2y x bx c =-++()0,3-()2,1（1）求b ，c 的值；（2）直接写出当x 取何值时，函数y 随x 的增大而增大．【答案】（1），4b =3c =-（2）（或）2x ≤2x <【解析】【分析】（1）将已知点代入抛物线表达式即可求得b ，c 的值（2）根据抛物线的开口方向和对称轴即可求得x 的取值范围【小问1详解】解：∵抛物线过点和，2y x bx c =-++()0,3-()2,1∴， 3421c b c =-⎧⎨-++=⎩解得：，4b =3c =-【小问2详解】由（1）知抛物线的表达式为，2=+43y x x --∵，，10a =-<4b =∴抛物线开口向下，对称轴为， 22b x a=-=∴当（或）时，函数y 随x 的增大而增大2x ≤2x <【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键19. 如图，中，，． ABC 5AB AC ==2sin 5ABC ∠=（1）求的长．BC（2）是边上的高，请你补全图形，并求的长．BE AC BE【答案】（1）（2 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据三线合一得出，在A AD BC ⊥D 12BD DC BC ==中，勾股定理求得，进而即可求解；Rt ADB BD （2）过点，作交的延长线于点，根据，以及正弦的B BE CA ⊥CA E ACB ABC Ð=Ð定义，结合（1）的结论，即可求解．【小问1详解】解：如图，过点作于点，A AD BC ⊥D∵5AB AC ==∴， 12BD DC BC ==∵ 2sin 5ABC ∠=∴, 2,55AD AB AB ==∴2AD =在中，, Rt ADB BD ===∴ 2BC BD ==【小问2详解】解：如图，过点，作交的延长线于点B BE CA ⊥CA E∵AB AC =∴ ACB ABC Ð=Ð∵ 2sin 5ABC ∠=∴ 2sin 5BE ACB BC ∠==∵,BC =∴ BE =【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．20. 下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及外一点．O O P 求作：过点的的切线（为切点）．P O PD D 作法：①连接与交于点，延长与交于点；PO O A PO O B ②以点为圆心，长为半径作弧；以点为圆心，长为半径作弧，在上方两O AB P PO PO 弧交于点C ；③连接与交于点；OC PC OC ，，O D ④作直线．PD 则直线即为所求作的的切线．PD O 请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，，，OC AB =PC PO =点______为线段CO 中点，∴（____________）PD OC ⊥又∵点D 在上，O ∴PD 是切线（____________）O 【答案】（1）见解析 （2）；三线合一；切线的判定定理D 【解析】【分析】（1）根据基本作图补全图形即可求解；（2）根据作图步骤，由三线合一得出，进而判断是切线PD OC ⊥PD O 【小问1详解】解：如图所示，【小问2详解】证明：由作图可知，，，OC AB =PC PO =点为线段CO 中点，D ∴（三线合一）PD OC ⊥又∵点D 在上，O ∴是切线（切线的判定定理）PD O 故答案为：；三线合一；切线的判定定理D 【点睛】本题考查了切线的判定，三线合一，掌握基本作图是解题的关键．21. 如图，割线与交于点，割线过圆心，且．若PB O A B ，PC O 30CPB ∠=︒，的半径，求弦的长．13PC =O 5OA =AB【答案】6【解析】【分析】作于点，根据垂径定理可得出，根据含30度角的直角三OD AB ⊥D 12AD AB =角形的性质，在中，勾股定理求得，即可求解．Rt AOD 3AD =【详解】解：如图，作于点，OD AB ⊥D则， 12AD AB =∵，，13PC =5OC OA ==∴，8PO =∵，30CPB ∠=︒∴， 142OD PO ==在中，，Rt AOD 5,4AO OD ==∴，3AD ==∴．26AB AD ==【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．22. 中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达C 1.5m CD A 37︒128m 处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到F F A 45︒AB ）．（参考数据：，，，，1m 3sin 375︒≈4cos375≈︒3tan 374︒≈sin 5345︒≈cos5335︒≈，．） tan 5343︒≈【答案】中央电视塔的高度为米．AB 385.5【解析】【分析】在中，中得出，根据，进而Rt AGD Rt AGE ,GD GE 128ED GD GE =-=求得的长，即可求解．AG 【详解】解：在中，， Rt AGD tan AG ADG GD∠=∴ 43tan 3734AG AG GD AG ===︒在中，， Rt AGE tan AG AEG GE ∠=45AEG ∠=︒∴，AG GE =∴ 4133ED GD GE AG AG AG =-=-=∵128ED =∴, 3384AG ED ==由图可知四边形是矩形，则GBCD 1.5GB CD ==∴（米），384 1.5385.5AB AG BG =+=+=答：中央电视塔的高度为米．AB 385.5【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．23. 在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得弧所对的弦长为12.8，弧中点到弦的距离为2．设 AB AB cm cm AB 所在圆的圆心为O ，半径于D ，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1OC AB ⊥OB OB ）．cm【答案】11.2cm 【解析】【分析】根据垂径定理求出，再根据勾股定理列出关于的方程求出答案即可．BD OB【详解】∵，且，OC AB ⊥12.8AB =cm ∴． 1 6.42B D A B ==cm 根据题意可知，OB OC =∴（）． (2)O D O C C D O C =-=-cm 根据勾股定理，得，222(2) 6.4O B O B =-+解得．11.2O B ≈cm 所以这个盏口半径的长为11.2．OB cm 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．24. 如图，平面直角坐标系xOy 中，反比例函数的图象经过点，一()0m y x x =<()1,4A -次函数的图象与反比例函数的图象交于点B ． 2y x =-+()0m y x x=<（1）求m 的值；（2）点是图象上任意一点，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点(),C C C x y ()0m y x x=<D ，过点C 作x 轴的垂线交直线于点E ．2y x =-+①当时，判断与的数量关系，并说明理由；2C x =-CD CE ②当时，直接写出的取值范围．CE CD ≥C x 【答案】（1）4m =-（2）①；②或CD CE =2C x ≤-10C x -≤<【解析】【分析】（1）将点代入反比例函数，即可求得m 的值 ()1,4A -()0m y x x=<（2）①将分别代入反比例函数和一次函数即可求得与，即可得到与2C x =-CD CE CD 的数量关系CE ②当时，可以得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围CE CD ≥C x C x 【小问1详解】∵反比例函数的图象经过点， ()0m y x x =<()1,4A -∴， 41m =-∴4m =-【小问2详解】①，理由如下：CD CE =将代入得： ， 2C x =-()40y x x-=<2C y =∴ 2CD =将代入得：， 2C x =-2y x =-+4E y =∴,2E C CE y y =-=∴CD CE =②∵，，且， 4C Cy x -=2E C y x =-+0x <∴，， C CD x =-24C E C C C y x E y x =+---=-∵，CE CD ≥∴，且， 42C C C x x x --≥-+-0C x <∴，2242C C C x x x --≥∴或，且， 2242C C C x x x --≥2224C C C x x x ≤---0C x <∴或2C x ≤-10C x -≤<【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，解决问题的关键是能够按照点的坐标求到坐标轴的距离25. 如图，是的直径，直线与相切于点．过点作于，AB O MC O C B BD MC ^D 线段与相交于点．BD O E（1）求证：是的平分线；BC ABD ∠（2）若，，求BC 的长．10AB =6BE =【答案】（1）见解析 （2）BC =【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据，得出CO OC MC ⊥BD MC ^，根据平行线的性质得出，根据半径相等，等边对等角得出OC BD ∥DBC OCB ∠=∠，等量代换可得，即可得证；OCB OBC ∠=∠DCB OBC ∠=∠（2）连接交于点，连接，勾股定理求得，垂径定理求得，进而勾AE CO F AC AE AF 股定理求得，在中，勾股定理即可求解．,,FO CF AC Rt ACB △【小问1详解】证明：如图，连接， CO∵直线与相切于点．MC O C ∴,OC MC ⊥∵，BD MC ^∴，OC BD ∥∴，DBC OCB ∠=∠∵，OC OB =∴，OCB OBC ∠=∠∴，DBC OBC ∠=∠∴是的平分线；BC ABD ∠【小问2详解】解：如图，连接交于点，连接，AE CO F AC∵是的直径，AB O ∴，，90AEB ∠=︒90ACB ∠=︒又∵，BD MC ^∴，AE MC ∥∴，CO AE ⊥∴， 12AF FE AE ==∵，，10AB =6BE =∴， 8AE ==∴， 142AF AE ==在中，， Rt AFO V 3FO ===∴，532CF CO OF =-=-=在中，， Rt CAF △AC ===在中，，Rt ACB △BC ===∴．BC =【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． ()2430y ax ax a =-+≠（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上存在两点，，若，请判断此时抛物线有()12,A t y -()222,B t y +12y y >最高点还是最低点，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点，，，当时，求的()1,m ()2,n ()5,p 0mnp ≥a 取值范围．【答案】（1）直线2x =（2）抛物线有最高点，理由见解析（3） 305a -≤<【解析】【分析】（1）化为顶点式即可求解；（2）将点，代入抛物线解析式，根据，得出，即()12,A t y -()222,B t y +12y y >a<0可求解；（3）将点，，代入抛物线解析式，根据时，结合，解不()1,m ()2,n ()5,p 0mnp ≥a<0等式即可求解．【小问1详解】解：∵()2224343y ax ax a x a ==-+--+∴抛物线的对称轴为直线；2x =【小问2详解】解：抛物线有最高点，理由如下∵抛物线上存在两点，，()12,A t y -()222,B t y +∴，()221224343y a t a at a =---+=-+，()22222243443y a t a at a =+--+=-+∵，12y y >即，2243443at a at a -+>-+∴，224at at >∴，a<0∴此时抛物线有最高点；【小问3详解】将点，，，代入抛物线解析式得：()1,m ()2,n ()5,p ，334353m a n a p a =-+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩∵，0mnp ≥∴，()()()3334350a a a --+≥∵，a<0∴，()()33340a a -->∴，350a +≥∴． 305a -≤<【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．27. 已知为等腰直角三角形，，．点D 为平面上一点，使得ABC 90BAC ∠=︒2AB =．点P 为中点，连接．90BDA ∠=︒BCDP（1）如图，点D 为内一点．ABC ①猜想的大小；BDP ∠②写出线段，，之间的数量关系，并证明；AD BD PD （2）直接写出线段的最大值．CD 【答案】（1）①②45BDP ∠=︒BD AD =+（2）1+【解析】【分析】（1）①由为等腰直角三角形，，以为直径作圆，则点D ABC 90BDA ∠=︒AB 与点P 是圆周上的点，再根据等腰直角三角形的性质可知，然后利用圆周角45BAP ∠=︒的性质可知45B BDP AP ∠=︒∠=②过点B 作交的延长线于点E ，得到，即可得BE PD ⊥PD Rt Rt ABD PBE △∽△，得到PE =BD =BD AD =（2）连接与圆周交于点D ，点D 在外，此时最大，利用勾股定理即可求得OC ABC CD 【小问1详解】①猜想，下面证明：45BDP ∠=︒以为直径作，AB O∵，90BDA ∠=︒∴点D 在圆上，连接，点P 为中点，为等腰直角三角形，AP BC ABC ∴，即点P 也在上，AP BP ⊥O 45ABP C ∠=∠=︒∴，45BAP ABP ∠=∠=︒∴45B BDP AP ∠=︒∠=②，下面证明：BD AD =+过点B 作交的延长线于点E ，BE PD ⊥PD由①知，，45BDP ∠=︒45BAP ABP ∠=∠=︒AP BP =∴，，即45DBE ∠=︒AP BP =AB =∴，45ABD DBP DBP PBE ∠+∠=∠+∠=︒∴，且，ABD PBE ∠=∠90ADB BEP ∠=∠=︒∴，Rt Rt ABD PBE △∽△∴，且， BP PE AB AD =AB =∴， PE =∵，45DBE BDE ∠=∠=︒∴，BE DE =∴， )BD PD PE PD AD ==+=+=+【小问2详解】连接与圆周交于点D ，点D 在外，此时最大，OC ABC CD∵，，1OA OD ==2AC =∴11CD OC OD =+=+=【点睛】本题是圆与等腰直角三角形综合题，考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质及勾股定理，解决问题的关键是依据题意画出辅助圆28. 在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴xOy 对称的两点（点在点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线A B ，A B AB M AB 部分和线段上方的圆弧部分（含端点），组成一个封闭图形，我们称这种图形为AB A B ，“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段AB AB 叫做“”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． 纵径（1）已知抛物线．2y x =①若点A 横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为2-______；②若点A 横坐标为t ，用t 表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t 的值；（2）已知抛物线，若点A 在直线上，求“抛物圆”的222y x ax a a =-++4y ax a =-+“扁度”不超过3时a 的取值范围．【答案】（1）①，；②463t =-（2） 52a ≤【解析】【分析】（1）①根据题意分别求得的长，的长，根据定义即可求解；AB OD ②根据题意求得“抛物圆”的“横径”、“纵径”，根据它的“扁度”为2，建立方程，解方程即可求解；（2）设的横坐标为，则的横坐标为，同（1）的方法求得“抛物A m ()m a <B 2a m -圆”的“横径”、“纵径”， 根据它的“扁度”不超过3，得出，根据点A 在直线5a m ≤+上也在抛物线上得出，代入解不等式即可求解．4y ax a =-+()2y x a a =-+a m =-【小问1详解】解：①如图，∵点A 横坐标为，2-∴，()224y =-=∴，则关于轴对称的点，()2,4A -y ()2,4B ∴，4AB =设与轴交于点，半圆与轴交于点，AB y M y D ∴， 122DM AB ==∴，，()0,6D 6OD =∴则得到的“抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为；46故答案为：；46，②∵关于轴对称，2y x =y ∴当点A 横坐标为t ，则横坐标为，点在点左侧，B t -A B∴得到的“抛物圆”的“横径”长为，2t t t --=-“纵径”长为， 2222t t t t -+=-+∵它的“扁度”为2， 即， 222t t t-+=-解得：或（舍去），3t =-0=t 【小问2详解】，()2222y x ax a a x a a =-++=-+对称轴为，顶点为，x a =(),a a 设的横坐标为，则的横坐标为，A m ()m a <B 2a m -∴，半径为，22AB a m =-a m -∵在抛物线上，当时，，A ()2y x a a =-+x m =()2A y m a a =-+∴“纵径”长为，“抛物圆”的“横径”长a m -()2m a a +-+a -()()2a m a m =-+-为， ()2a m -“扁度”为， ()()232a m a m a m -+-≤-即，即，5a m -≤5a m ≤+∵点A 在直线上，4y ax a =-+∴，()24m a a am a -+=-+解得：，a m =-∴，5a a ≤-解得：． 52a ≤【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．。
2022-2023学年北京市房山区九级九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在ABC ∆中，中线BE CD ，相交于点O ，连接DE ，则OE OB ：的值是（）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．2:32．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,3，那么sin α的值是（ ）A ．34B ．43 C ．45 D ．353．若关于x 的一元二次方程 2 3 0x x a -+=的一个根是1，则a 的值为( )A ．-2B ．1C ．2D ．04．2018年，临江市生产总值为1587.33亿元，请用科学记数法将1587.33亿表示为（ ）A ．1587.33×108B ．1.58733×1013C ．1.58733×1011D ．1.58733×1012 5．cos30︒的值等于（ ）．A ．12B ．22C ．32D ．16．如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．则△CMN 与△CAB 的面积之比是( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:97．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +++-=根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．根的情况无法判断8．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．29．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．10．如图，正六边形的边长是1cm ，则线段AB 和CD 之间的距离为（ ）A ．23cmB ．3 cmC ．233 cmD ．1cm11．已知坐标平面上有一直线L ，其方程式为y+2=0，且L 与二次函数y=3x 2+a 的图形相交于A ，B 两点：与二次函数y=﹣2x 2+b 的图形相交于C ，D 两点，其中a 、b 为整数．若AB=2，CD=1．则a+b 之值为何？（ ） A ．1 B ．9 C ．16 D ．2112．如图，已知点P 在反比例函数k y x=上，PA x ⊥轴，垂足为点A ，且AOP ∆的面积为4，则k 的值为（ ）A ．8B ．4C ．8-D ．4-二、填空题（每题4分，共24分）13．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个．14．如图，将ABC 绕顶点A 顺时针旋转60︒后得到11AB C △，且1C 为BC 的中点，AB 与11B C 相交于D ，若2AC =，则线段1B D 的长度为________.15．如图，在ABC ∆中，AB AC =，70B ∠=︒，把ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到EDC ∆，若点B 恰好落在AB 边上D 处，则1∠=______°.16．高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．17．已知：如图，△ABC 的面积为12，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则四边形BCED 的面积为_____．18．函数32y x =-中，自变量x 的取值范围是________. 三、解答题（共78分）19．（8分）一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？20．（8分）已知抛物线y ＝ax 2+2x ﹣32（a ≠0）与y 轴交于点A ，与x 轴的一个交点为B ． （1）①请直接写出点A 的坐标 ；②当抛物线的对称轴为直线x ＝﹣4时，请直接写出a ＝ ；（2）若点B 为（3，0），当m 2+2m +3≤x ≤m 2+2m +5，且am ＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣152，求m 的值； （3）已知点C （﹣5，﹣3）和点D （5，1），若抛物线与线段CD 有两个不同的交点，求a 的取值范围．21．（8分）解下列方程（1）x 2+4x ﹣1=0（2）（y+2）2=（3y ﹣1）222．（10分）如图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 是边AC 的中点，CE BD ⊥交AB 于点E .（1）求tan ACE ∠的值；（2）求:AE EB .23．（10分）已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）点F 是线段AD 上一个动点．①如图1，设AF k AD =，当k 为何值时，2CF AD =1. ②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与ABC ∆相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．24．（10分）如图，O 的直径为AB ，点C 在O 上，点D ，E 分别在AB ，AC 的延长线上，DE AE ⊥，垂足为E ，A CDE ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若4AB =，3BD =，求CD 的长．25．（12分）计算：43036024545cos tan sin cos -+⋅．26．已知抛物线的顶点坐标为（1，2），且经过点（3，10）求这条抛物线的解析式．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】BE、CD是△ABC的中线，可知DE是△ABC的中位线，于是有DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质即可判断．【详解】解：∵BE、CD是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE= 12 BC，∴△DOE∽△COB，∴12 OE DEOB BC==,故选：B.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，证明△ODE和△OBC相似是关键．2、D【分析】过A作AB⊥x轴于点B，在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OA，再根据正弦的定义即可求解. 【详解】如图，过A作AB⊥x轴于点B，∵A的坐标为(4,3)∴OB=4，AB=3，在Rt△AOB中，2222OA=OB AB=43=5++∴AB3 sin==OA5α故选：D．【点睛】本题考查求正弦值，利用坐标求出直角三角形的边长是解题的关键．3、C【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入方程，即可得到关于a 的方程，再求解即可．【详解】解：根据题意得：1-3+a=0解得：a=1．故选C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0.4、C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：用科学记数法将1587.33亿表示为1587.33×108＝1.58733×1． 故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5、C【分析】根据特殊三角函数值来计算即可.【详解】cos30︒故选：C.【点睛】本题考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键.6、C【解析】由M 、N 分别为AC 、BC 的中点可得出MN ∥AB ，AB ＝2MN ，进而可得出△ABC ∽△MNC ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵M 、N 分别为AC 、BC 的中点，∴MN ∥AB ，且AB ＝2MN ，∴△ABC ∽△MNC ，∴MNC ABC S S =（MN AB ）2＝14． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC ∽△MNC 是解题的关键．7、A【解析】若△＞0，则方程有两个不等式实数根，若△=0，则方程有两个相等的实数根，若△＜0，则方程没有实数根.求出△与零的大小，结果就出来了.【详解】解：∵△=()()()22214229180k k k k k +--=-+=-+＞ ，∴方程有两个不相等的实数根【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是关键.8、B 【解析】根据向量的运算法则可得: n =()222OA OB +=,故选B.9、D 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．10、B【分析】连接AC ，过E 作EF ⊥AC 于F ，根据正六边形的特点求出∠AEC 的度数，再由等腰三角形的性质求出∠EAF 的度数，由特殊角的三角函数值求出AF 的长，进而可求出AC 的长．【详解】如图，连接AC ，过E 作EF ⊥AC 于F ，∵AE=EC，∴△AEC是等腰三角形，∴AF=CF，∵此多边形为正六边形，∴∠AEC=18046=120°，∴∠AEF=1202=60°，∴∠EAF=30°，∴AF=AE×cos30°=1×32=32，∴AC=3，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形的应用，等腰三角形的性质和锐角三角函数，掌握知识点是解题关键．11、A【解析】分析：判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；详解：如图，由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，∴a+b=1，故选A．点睛：本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．12、C【分析】根据反比例函数中的比例系数k 的几何意义即可得出答案．【详解】∵点P 在反比例函数k y x=，AOP ∆的面积为4 8k ∴=0k <8k ∴=-故选：C ．【点睛】本题主要考查反比例函数中的比例系数k 的几何意义，掌握反比例函数中的比例系数k 的几何意义是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【详解】设袋中红球有x 个， 根据题意，得：0.73x x =+， 解得：x ＝1，经检验：x ＝1是分式方程的解，所以袋中红球有1个，故答案为1．【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用红球在总数中所占比例进行求解.14、3【分析】根据旋转的性质可知△ACC 1为等边三角形，进而得出BC 1=CC 1=AC 1=2，△ADC 1是含20°的直角三角形，得到DC 1的长，利用线段的和差即可得出结论．【详解】根据旋转的性质可知：AC =AC 1，∠CAC 1=60°，B 1C 1=BC ，∠B 1C 1A =∠C ，∴△ACC 1为等边三角形，∴∠AC 1C =∠C =60°，CC 1=AC 1．∵C 1是BC 的中点，∴BC 1=CC 1=AC 1=2，∴∠B =∠C 1AB =20°．∵∠B1C1A=∠C=60°，∴∠ADC1=180°-（∠C1AB+∠B1C1A）=180°-（20°+60°）=90°，∴DC1=12AC1=1，∴B1D=B1C1-DC1=4-1=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出△ADC1是含20°的直角三角形是解答本题的关键．15、100【分析】作AC与DE的交点为点O，则∠AOD=∠EOC，根据旋转的性质，CD=CB，即∠CDB=∠B=∠EDC=70°，∠B=70°,则∠ADE=180°-2∠B=40°，再由AB=AC可得∠B=∠ACB=70°即A=40°，再根据三角和定理即可得∠AOD=180°-40°-40°=100°，即可解答.【详解】如图，作AC交DE为O则∠AOD=∠EOC根据旋转的性质，CD=CB，∴∠CDB=∠B=∠EDC=70°，∠B=70°,则∠ADE=180°-2∠B=40°AB=AC∴∠B=∠ACB=70°∴∠A=40°∠AOD=180°-∠A-∠ADO∴∠AOD=180°-40°-40°=100°∠AOD=∠EOC∴∠1=100°【点睛】本题考查旋转的性质，解题突破口是作AC与DE的交点为点O，即∠AOD=∠EOC.16、1【分析】根据同一时刻物体的高度与影长成比例解答即可．【详解】解：设此建筑物的高度为x米，根据题意得：7530x=，解得：x=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行投影，属于基础题型，明确同一时刻物体的高度与影长成比例是解题的关键．17、1【解析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=12BC，从而得2ADEABCS DES BC⎛⎫= ⎪⎝⎭，据此建立关于x的方程，解之可得．【详解】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=12 BC，∴△ADE∽△ABC，则2ADEABCS DES BC⎛⎫= ⎪⎝⎭=14，即121124x-=，解得：x=1，即四边形BCED的面积为1，故答案为1．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．18、2x≠【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式x﹣1≠0，求解可得自变量x的取值范围．【详解】根据题意，有x﹣1≠0，解得：x≠1．故答案为：x≠1．【点睛】本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键．三、解答题（共78分）19、渔船没有进入养殖场的危险.【解析】试题分析：点B 作BM ⊥AH 于M ，过点C 作CN ⊥AH 于N ，利用直角三角形的性质求得CK 的长，若CK ＞4.8则没有进入养殖场的危险，否则有危险．试题解析：过点B 作BM ⊥AH 于M ，∴BM ∥AF.∴∠ABM=∠BAF=30°. 在△BAM 中，AM=12AB=5，BM=53.过点C 作CN ⊥AH 于N ，交BD 于K.在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30° 设CK=x ，则3x在Rt △ACN 中，∵∠CAN=90°-45°=45°， ∴AN=NC. ∴AM+MN=CK+KN.又NM=BK ，BM=KN.∴5353x x +=.解得5x =∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.答：这艘渔船没有进入养殖场危险.20、（1）①3(0,)2-；②14；（2）21m =；（1）a ＞1750或a ＜﹣1． 【分析】（1）①令x ＝0，由抛物线的解析式求出y 的值，便可得A 点坐标；②根据抛物线的对称轴公式列出a 的方程，便可求出a 的值；（2）把B 点坐标代入抛物线的解析式，便可求得a 的值，再结合已知条件am ＜0，得m 的取值范围，再根据二次函数的性质结合条件当m 2+2m +1≤x ≤m 2+2m +5时，抛物线最低点的纵坐标为152-,列出m 的方程，求得m 的值，进而得出m 的准确值；（1）用待定系数法求出CD 的解析式，再求出抛物线的对称轴1x a=-，进而分两种情况：当a ＞0时，抛物线的顶点在y 轴左边，要使抛物线与线段CD 有两个不同的交点，则C 、D 两必须在抛物线上方，顶点在CD 下方，根据这一条件列出a 不等式组，进行解答；当a ＜0时，抛物线的顶点在y 轴的右边，要使抛物线与线段CD 有两个不同的交点，则C 、D 两必须在抛物线下方，抛物线的顶点必须在CD 上方，据此列出a 的不等式组进行解答．【详解】（1）①令x ＝0，得32y =-， ∴3(0,)2A -, 故答案为：3(0,)2-；②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣4， ∴ 242a-=-， ∴a ＝14， 故答案为：14； （2）∵点B 为（1，0），∴9a +6﹣32＝0， ∴a ＝﹣12， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =+-， ∴对称轴为x ＝﹣2，∵am ＜0，∴m ＞0，∴m 2+2m +1＞1＞﹣2， ∵当m 2+2m +1≤x ≤m 2+2m +5时，y 随x 的增大而减小，∵当m 2+2m +1≤x ≤m 2+2m +5，且am ＜0时，抛物线最低点的纵坐标为﹣152， ∴ 2221315(25)2(25)222m m m m -+++++-=-， 整理得（m 2+2m +5）2﹣4（m 2+2m +5）﹣12＝0，解得，m 2+2m +5＝6，或m 2+2m +5＝﹣2（△＜0，无解），∴1m =-±∵m ＞0，∴1m =；（1）设直线CD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵点C （﹣5，﹣1）和点D （5，1），∴ 5351k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， ∴251k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴CD 的解析式为215y x =-， ∵y ＝ax 2+2x ﹣32（a ≠0） ∴对称轴为1x a=-， ①当a ＞0时，10a-＜，则抛物线的顶点在y 轴左侧， ∵抛物线与线段CD 有两个不同的交点， ∴23251032325101211321()2()()125a a a a a a ⎧---⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪-+----⎪⎩＞＞＜， ∴1750a ＞； ②当a ＜0时，10a -＞，则抛物线的顶点在y 轴左侧，∵抛物线与线段CD 有两个不同的交点， ∴23251032325101211321()2()()125a a a a a a ⎧---⎪⎪⎪+-⎨⎪⎪-+----⎪⎩＜＜＞， ∴a ＜﹣1， 综上，1750a ＞或a ＜﹣1． 【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，解题时需注意用待定系数法求出CD 的解析式，再求出抛物线的对称轴1x a =-，要分两种情况进行讨论.21、 (1) x 1=﹣x 2=﹣2(2) y 1=﹣14，y 2=32． 【解析】（1）把常数项1移项后，在左右两边同时加上4配方求解．(2)整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）移项可得：x 2+4x=1，两边加4可得：x 2+4x+4=4+1，配方可得：（x+2）2=5，两边开方可得：∴x 1=﹣x 2=﹣2（2）移项可得：（y+2）2﹣（3y ﹣1）2=0，分解因式可得：（y+2+3y ﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，即（4y+1）（3﹣2y ）=0，∴4y+1=0或3﹣2y=0，∴y 1=﹣14，x 2=32． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．22、（1）23；（2）:8:9AE EB = 【分析】（1）首先证明∠ACE=∠CBD ，在△BCD 中，根据正切的定义即可求解；（2）过A 作AC 的垂线交CE 的延长线于P ，利用平行线的性质列出比例式即可解决问题.【详解】解：（1）由90ACB ∠=︒，CE BD ⊥，得ACE CBD ∠=∠.在BCD ∆中，3BC =，122CD AC ==，90BCD ∠=︒， 得2tan 3CBD ∠=， 即2tan 3ACE ∠=. （2）如图，过A 作AC 的垂线交CE 的延长线于P 点，则在CAP ∆中，4CA =，90CAP ∠=︒，2tan 3ACP ∠=， ∴28433AP =⨯=， 又∵90ACB ∠=︒，90CAP ∠=︒，∴//BC AP ，∴::8:9AE EB AP BC ==.【点睛】本题考查了正切与平行线分线段成比例，熟练掌握正切的定义，作辅助线构造平行是解题的关键.23、（1）223y x x =--+，D 的坐标为(1,4)-；（2）①12k =；②以A ，F ，O 为顶点的三角形与ABC ∆相似，F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-． 【分析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)-；(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC 32=DC 2=，AD 5=，可得ΔACD 为直角三角形，若1CF AD 2=，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值；②由条件可判断DAC OBC ∠∠=，则OAF ACB ∠∠=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，可分两种情况考虑：当AOF ABC ∠∠=或AOF CAB 45∠∠︒==时，可分别求出点F 的坐标．【详解】(1)抛物线2y ax bx 3=++过点A(3,0)-，B(1,0)， 933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为2y x 2x 3=--+；()22y x 2x 3x 14=--+=-++，∴顶点D 的坐标为(1,4)-；(2)①在Rt ΔAOC 中，OA 3=，OC 3=，222AC OA OC 18∴=+=，()D 1,4-，()C 0,3，()A 3,0-，222CD 112∴=+=，222AD 2420∴=+=，222AC CD AD ∴+=，ΔACD ∴为直角三角形，且ACD 90∠︒=， 1CF AD 2=， ∴F 为AD 的中点，AF 1AD 2∴=， 1k 2∴=；②在Rt ΔACD 中，DC 1tan ACDAC 3∠===， 在Rt ΔOBC 中，OB 1tan OCB OC 3∠==， ACD OCB ∠∠∴=，OA OC =，OAC OCA 45∠∠︒∴==，FAO ACB ∠∠∴=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，则可分两种情况考虑：当AOF ABC ∠∠=时，ΔAOF ΔCBA ∽，OF BC ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，03k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y=3x+3-，∴直线OF 的解析式为y=3x -，设直线AD 的解析式为y=mx+n ，430k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩，解得：26k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为y=2x 6+，263y x y x =+⎧∴⎨=-⎩，解得：65185x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 618F ,55⎛⎫∴- ⎪⎝⎭． 当AOF CAB 45∠∠︒==时，ΔAOF ΔCAB ∽，CAB 45∠︒=，OF AC ∴⊥，∴直线OF 的解析式为y=x -，26y x y x =-⎧∴⎨=+⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩， ()F 2,2∴-，综合以上可得F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．24、（1）见解析；（2【分析】（1）连接OC ，根据三角形的内角和得到∠EDC+∠ECD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO ，得到∠OCD=90°，于是得到结论；（2）根据已知条件得到OC=OB=12AB=2，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OC ，∵DE ⊥AE ，∴∠E=90°，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠A=∠CDE ，∴∠A+∠DCE=90°，∵OC=OA ，∴∠A=∠ACO ，∴∠ACO+∠DCE=90°，∴∠OCD=90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵AB=4，BD=3，∴OC=OB=12AB=2， ∴OD=2+3=5，∴22OD OC -2252-21【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平角的定义，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 25、3【解析】分别把各特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算．【详解】原式=4×32-3×3+2×22×223 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．26、y ＝1（x ﹣1）1+1．【分析】根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）1+1，代入（3，10）求解即可．【详解】解：根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）1+1，把（3，10）代入得a （3﹣1）1+1＝10，解得a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝1（x ﹣1）1+1．【点睛】本题考查了抛物线的问题，掌握抛物线的性质以及解析法、待定系数法是解题的关键．。
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2017-2018学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN =1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．54．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．66．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．67．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C、D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A 、E 、D 在同一条直线上，若测得BE=2m ，EC=1m ，CD=3m ，则河的宽度AB 等于 m ．12．如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c=0的解为 ．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．14．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为 ．15．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，则此二次函数图象的对称轴为 ．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形．作法：如图．（1）过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点；（2）过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点；（3）连接AB、BC、CD、DA．∴四边形ABCD为所求．请回答：该尺规作图的依据是（写出两条）．三、解答题（本题共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°．18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：）二次函数图象的顶点坐标是；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求线段BC，AD，BD的长．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为．24．（5分）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c= （用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD 上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= ；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为．2017-2018学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．已知点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，那么a的值是（）A．1B．2C．D．﹣【分析】把点的坐标代入二次函数解析式可得到关于a的方程，可求得a的值．【解答】解：∵点（﹣1，2）在二次函数y=ax2的图象上，∴2=a×（﹣1）2，解得a=2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，在△ABC中，M、N分别为AC、BC的中点，若S△CMN =1，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．5【分析】由M、N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB、AB=2MN，进而可得出△ABC∽△MNC，根据相似三角形的性质结合S△CMN =1，即可求出S△ABC的值．【解答】解：∵M、N分别为AC、BC的中点，∴MN∥AB，且AB=2MN，∴△ABC∽△MNC，∴=（）2=4，∴S△ABC =4S△CMN=4．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC∽△MNC是解题的关键．4．如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要（）A．2m B．（2+2）m C．4m D．（4+2）m【分析】由题意得，地毯的总长度至少为（AC+BC）．在△ABC中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AC的长，进而求得地毯的长度．【解答】解：如图，由题意得：地毯的竖直的线段加起来等于BC，水平的线段相加正好等于AC，即地毯的总长度至少为（AC+BC），在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°．∵tanA=，∴AC=BC÷tan30°=2．∴AC+BC=2+2．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角△ABC的直角边的和．5．如图，点P在反比例函数y=（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．6【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积=|k|，再根据图象所在象限求出k的值既可．【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积=|k|，即|k|=2，解得，k=±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k=4，故选：C．【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．6．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC的长为（）A．B．2C．D．6【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．【解答】解：在△ADC和△ACB中，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）；∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD，∵AD=2，AB=AD+BD=2+3=5，∴AC2=5×2=10，∴AC=．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例．7．如图，在⊙O中，=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．25°【分析】先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．8．小明以二次函数y=2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE为（）A．14B．11C．6D．3【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），∵AB=4，∴B点的横坐标为x=3，把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，∴CD=14﹣6=8，∴CE=CD+DE=8+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共16分）9．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y=﹣x2+1（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣x2+1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．10．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是8 ．【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA；OE=OC﹣CE=5﹣2=3；∵OC⊥AB，∴AE=BE；由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，∵OA=5，OE=3，∴AE=4，AB=2AE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键．11．如图1，西沙河属马刨泉河支流，发源于房山区城关街道迎风坡村，流域面积11平方公里，为估算西沙河某段的宽度，如图2，在河岸边选定一个目标点A ，在对岸取点B 、C 、D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A 、E 、D 在同一条直线上，若测得BE=2m ，EC=1m ，CD=3m ，则河的宽度AB 等于 6 m ．【分析】由两角对应相等可得△BAE ∽△CDE ，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB ．【解答】解：∵AB ⊥BC ，CD ⊥BC ， ∴△BAE ∽△CDE ， ∴，∵BE=2m ，CE=1m ，CD=3m ， ∴，解得：AB=6 故答案为：6；【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．12．如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c=0的解为 x 1=﹣2，x 2=1 ．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c=0的解．【解答】解：∵抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），∴方程组的解为，，即关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c=0的解为x 1=﹣2，x 2=1． 故答案为x 1=﹣2，x 2=1．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．13．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 5π ．【分析】根据扇形的面积公式代入，再求出即可．【解答】解：由扇形面积公式得：S=π，故答案为：5π；【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r 的扇形的面积为S=．14．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的正弦值为．【分析】首先利用勾股定理计算出AB 2，BC 2，AC 2，再根据勾股定理逆定理可证明∠BCA=90°，然后得到∠ABC 的度数，再利用特殊角的三角函数可得∠ABC 的正弦值． 【解答】解：AB 2=32+12=10，BC 2=22+12=5，AC 2=22+12=5，∴AC=CB ，BC 2+AC 2=AB 2， ∴∠BCA=90°， ∴∠ABC=45°，∴∠ABC 的正弦值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数．15．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，则此二次函数图象的对称轴为 直线x=﹣2 ．【分析】，根据两交点的横坐标和抛物线关于对称轴对称得出二次函数图象的对称轴是直线x=（x 1+x 2），代入求出即可．【解答】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1=，x 2=，∴此二次函数图象的对称轴是直线x=（x 1+x 2）=﹣2， 故答案为：直线x=﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：两交点关于对称轴对称．16．下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接正方形． 作法：如图．（1）过圆心O 作直线AC ，与⊙O 相交于A 、C 两点； （2）过点O 作直线BD ⊥AC ，交⊙O 于B 、D 两点； （3）连接AB 、BC 、CD 、DA ． ∴四边形ABCD 为所求．请回答：该尺规作图的依据是相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角（写出两条）．【分析】由AC、BD为直径且AC⊥BD知AB=BC=CD=DA，其依据为相等的圆周角所对的弦相等；再由AC为直径可知∠ABC=90°，其依据为“直径所对圆周角为直角”，由正方形的判定即可得．【解答】解：过圆心O作直线AC，与⊙O相交于A、C两点，则AC为⊙O的直径，过点O作直线BD⊥AC，交⊙O于B、D两点，∴BD也是⊙O的直径，且∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，∴AB=BC=CD=DA（相等的圆周角所对的弦相等），由AC为直径可知∠ABC=90°（直径所对圆周角为直角），则四边形ABCD为正方形（有一内角为直角的菱形是正方形），故答案为：相等的圆周角所对的弦相等，直径所对圆周角为直角．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆心角定理、圆周角定理及正方形的判定．三、解答题（本题共68分）17．（5分）计算：tan30°﹣cos60°+sin45°．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=×﹣+=+．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．18．（5分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x、y的对应值：）二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣2）；（2）当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围是n＞﹣3 ．【分析】（1）由表中所给x、y的对应值，可求得二次函数解析式，可求得抛物线的顶点坐标．（2）在y=x+n中，令x=1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．【解答】解：（1）把点（0，﹣1），（1，﹣2）和（2，﹣1）代入二次函数解析式可得，解得，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为（1，﹣2），（2）在y=x+n中，令x=1代入可得y=1+n，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，∴1+n＞﹣2，解得n＞﹣3，故答案为：（1）（1，﹣2），（2）n＞﹣3【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键．19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．20．（5分）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象．（1）结合图象信息，求此二次函数的表达式；（2）当y＞0时，直接写出x的取值范围：x＜﹣1或x＞3 ．【分析】（1）根据顶点坐标设y=a（x﹣1）2﹣4，利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图象写出图象在x轴上方的图象的自变量的取值范围即可；【解答】解：（1）∵顶点坐标（1，﹣4）∴设y=a（x﹣1）2﹣4，将（﹣1，0）代入y=a（x﹣1）2﹣4，得4a﹣4=0解得，a=1，∴二次函数表达式y=（x﹣1）2﹣4，（2）观察图象可知当y＞0时，的取值范围x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（5分）如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求线段BC，AD，BD的长．【分析】由在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC=6cm，利用勾股定理，即可求得BC的长，又由∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，可得△ABD是等腰直角三角形，继而求得AD、BD的长；【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵AB=10cm，AC=6cm，∴BC==8（cm），∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，∴=，∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=AB•cos45°=10×=5（cm）．【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22．（5分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD 的垂线，垂足为点E ．（1）求线段CD 的长；（2）求cos ∠ABE 的值．【分析】（1）在△ABC 中根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5；（2）在Rt △ABC 中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到S △BDC =S △ADC ，则S △BDC =S △ABC ，即CD•BE=•AC•BC，于是可计算出BE=，然后在Rt △BDE 中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ABC 中，∵∠ACB=90°，∴sinA==， 而BC=8，∴AB=10，∵D 是AB 中点，∴CD=AB=5；（2）在Rt △ABC 中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6，∵D 是AB 中点，∴BD=5，S △BDC =S △ADC ，∴S △BDC =S △ABC ，即CD•BE=•AC•BC，∴BE==，在Rt△BDE中，cos∠DBE===，即cos∠ABE的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．23．（5分）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=﹣x+5的一个交点是A（1，n）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，直接写出自变量x的取值范围为x＜0或1＜x＜4 ．【分析】（1）将A（1，n）代入y=﹣x+5，求出n=4．将A（1，4）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）当一次函数的函数值大于反比例函数值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围．【解答】解：（1）将A（1，n）代入y=﹣x+5，得，n=﹣1+5=4．将A（1，4）代入y=中，得，k=1×4=4，故反比例函数的表达式为y=；（2）当x＜0或1＜x＜4时，反比例函数的值大于一次函数的值．故答案为x＜0或1＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求反比例函数的解析式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．24．（5分）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M、N为山的两侧），工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵，∴，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ANM，∴，∵BC=45∴MN=3000，答：直线隧道MN长为3000米．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．25．（5分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）填空：c= 2b﹣4 （用含b的式子表示）．（2）b＜4．①求证：抛物线与x轴有两个交点；②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），直接写出b的取值范围﹣1＜b≤0 ；（3）直线y=x﹣4经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，求抛物线的表达式．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①只要证明△＞0即可；②构建不等式即可解决问题；（3）利用配方法求出顶点坐标，再代入直线的解析式，转化为方程即可解决问题；【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）∴0=4﹣2b+c，∴c=2b﹣4，故答案为2b﹣4（2）当b＜4时①△=b2﹣4•1•c=b2﹣4（2b﹣4）=（b﹣4）2，∵b＜4∴（b﹣4）2＞0即△＞0，∴当b＜4时，抛物线与x轴有两个交点．②由题意：﹣＜﹣≤﹣4或0≤﹣＜，解得：8≤b＜9或﹣1＜b≤0，∵b＜4，∴﹣1＜b≤0，故答案为﹣1＜b≤0．（3）由y=x2+bx+c=x2+bx+2b﹣4=（x+）2﹣（﹣2）2，∴顶点P[﹣，﹣（﹣2）2]．将其代入y=x﹣4中，得，﹣（﹣2）2=﹣﹣4解得，b=0或10．∴抛物线的表达式为y=x2﹣4或y=x2+10x+16．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线．（1）以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O；（2）求证：BC为⊙O的切线；（3）如果AC=3，tanB=，求⊙O的半径．【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上；（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线；（3）根据∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再结合三角形相似就可求出圆的半径的长．【解答】解：（1）如图所示，…2′（2）连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，…3′∴∠ODB=∠C=90°，又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线．…4′（3）∵AC=3，tanB=，∴BC=4，∴AB=5，…5′，设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，BO=5﹣r，∵OD∥AC，∴，即，…6′，解得，r=，…7′∴⊙O的半径为．【点评】本题综合考查了切线的判定，解直角三角形和相似三角形的性质的应用，还考查了学生运用基本作图的知识作复杂图的能力，本题中作图的理论依据是垂径定理．27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是线段CD 上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰Rt△BPE，连接AE、DE．（1）∠BAE的度数是否为定值？若是，求出∠BAE的度数；若不是，说明理由．（2）直接写出DE的最小值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到，且∠CBP=∠ABE，∠BCP=∠BAE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∠BAE的度数为定值，∵△ABC和△EBP均为等腰直角三角形，∴△ABC∽△EBP，且∠ABC=∠EBP=45°，∴，且∠CBP=∠ABE，∴∠BCP=∠BAE，∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCP=45°，∴∠BAE=∠BCP=45°；（2）当DE⊥AE时，DE的有最小值，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AD=AB=2，∵∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=2，∴DE的最小值是2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．28．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 2 ；②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为 4 ；（2）某二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m= ﹣c ；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为1+2．【分析】（1）①②根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，推出c=1﹣b，因为二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，可得=﹣1，解得b=3，由此即可解决问题；（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．【解答】解：（1）①点A（1，3）的“坐标差”为=3﹣1=2，故答案为2；②设P（x，y）为抛物线y=﹣x2+3x+3上一点，坐标差=﹣x2+2x+3，=﹣（x﹣1）2+4，最大值为4，所以抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为4故答案为4．（2）①由题意：0﹣m=c﹣0，可得m=﹣c．②∵C（0，c），又∵点B与点C的“坐标差”相等，∴B（﹣c，0），把（﹣c，0）代入y=﹣x2+bx+c，得到：0=﹣c2﹣bc+c，∴c=1﹣b，∵二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1所以y﹣x=﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，∴=﹣1，解得b=3，∴c=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x﹣2．故答案为﹣c．（3）如图，设M（2，3），作M⊥x轴于K，交⊙M于N，MJ⊥y轴于J，作∠JMN的平分线交⊙M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大．作TF⊥x轴于E交MJ于F．易知△TMF是等腰直角三角形，∵TF=FM=，EF=KM=3，EK=FK=M=，∴OE=OK﹣EK=2﹣，TE=3+，半径为2的圆的“特征值”为3+﹣（2﹣）=1+2．故答案为1+2．【点评】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题．。