211二次根式
根号1到100最简二次根式表
根号1到100最简二次根式表全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：根号1到100的最简二次根式表是数学中常见的一类问题，我们可以通过化简根号内的数字来得到最简二次根式。
在这份表格中，我们将罗列从根号1到根号100的最简二次根式，并附上详细的化简过程。
希望读者能通过这份表格更加深入地理解二次根式的化简规律。
1. 根号1 = 1化简过程：√220. 根号20 = 2√534. 根号34 = √3466. 根号66 = √6677. 根号77 = √7789. 根号89 = √89第二篇示例：根号是数学中一个常见的符号，表示开平方操作。
在平方根中，最简二次根式是指不能再进行开平方操作的根式，即无法再化简的根式。
在这篇文章中，我们将制作一份关于根号1到100最简二次根式表，帮助读者更好地理解这些数学概念。
在这份表格中，我们将列出根号1到100的最简二次根式，并对每个根式进行解释和化简。
让我们开始吧！1. 根号1（√1）= 1解释：1的平方根是1，所以√1=1。
1是一个完全平方数，因此它的平方根是整数。
2. 根号2（√2）解释：2是一个质数，无法化为整数的平方根。
因此，√2是一个无限不循环小数，不能被完全表示为分数。
3. 根号3（√3）解释：3也是一个质数，无法被化为整数的平方根。
因此，√3是一个无限不循环小数，不能以分数形式完全表示。
4. 根号4（√4）= 2解释：4的平方根是2，所以√4=2。
4是一个完全平方数，因此它的平方根是整数。
5. 根号5（√5）解释：5同样是一个质数，无法化为整数的平方根。
因此，√5也是一个无限不循环小数，不能被完全表示为分数。
6. 根号6（√6）解释：6不是一个完全平方数，它的平方根不能化为整数。
因此，√6是一个无限不循环小数，不能被分数完全表示。
7. 根号7（√7）解释：7也是一个质数，无法化为整数的平方根。
因此，√7是一个无限不循环小数，不能被完全表示为分数。
8. 根号8（√8）= 2√2解释：8的平方根可以化为2的平方根乘以2。
华东师大版九年级数学上册211二次根式课件
分析：二次根式应满足两个条件：第一， 有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数 或0.
12
例1：下列式子，哪些是二次根式，哪些
不是二次根式？
2， 33， 1, xx0, 0,42, 2, 1 ,
x
xy
xyx0,y0.
解：二次根式有：
2 ， x x 0 ,0 , 2 ,x y x 0 ,y 0 ；
18
1.下列式子哪些是二次根式？
32,4， -12， -x, x21,35, xyx,y异 号 ,
2xx2. 3 2, x21, 2xx2.
19
2. x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（ 1 ） x3 （ ;2 ） 2x5 （ ;3 ） 1（ ;4 ）5. x 1x
x=3 3 -2 = 1 3
28
2 二次根式的性质
29
复习引入
30
说一说
1.什么叫二次根式？
二次根式：形如 aa 0 的式子叫做
二次根式.
31
说一说
2.当a 0时，a 叫什么？当 a 0 时， a 有意义吗？
叫做二次根式 没有意义
32
说一说
3. 2 2 ， 2 2 表示的意义分别是什么？
不是二次根式的有：
3 3，, 1 , 4 2, 1 . x x y
13
交流归纳
从形式上看，一个代数式是二次根式必 须具备以下两个条件：
（1）必须有二次根号； （2）被开方数不能小于0.
14
例2：x 取何值时，下列二次根式有意义？
（ 1） x1（ ; 2）1（ ; 3） 1-x2.
1-2x
26
1.下列各式是二次根式的是 （ C ）
人教版九年级上册数学同步练习及答案合集
21.3 二次根式的加减同步测试题 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
1．与 2 3 是同类二次根式的是（ ）
A． 18
B． 2 3
2．下列运算正确的是（ ）
C． 9
A. x 5x 6x B. 3 2 2 2 1
D． 27
C. 2 5 2 5
D. 5 x b x (5 b) x
( 1 3 ) （3） 2
3x y 9 y 22． 解： 5x 2 6 y
3x 5x
2y 9 y8
x y
1 3
23．原式＝( 5 3 )2－ ( 2 )2 ＝5－2 15 ＋3－2＝6－2 15 ．
( 2 7 4)2 ( 2 7 4)2 22
24．解：（ 菱形的边长）2＝ 2
2
22,面积 1 (2 7 4)(2 7 4) 6
∴菱形的边长＝
2
10
人教版九年级上册数学同步练习题及答案
25. 5
26．解：原式＝（2 5 ＋1）（ 2 1 ＋ 3 2 ＋ 4 3 ＋…＋ 100 99 ）
12．在 8, 12, 18, 20 中，与 2 是同类二次根式的 是
。
13． 5－ 5 的整数部分是_________
14．计算： 12 3 3
15．方程 2 （x－1）＝x＋1 的解是____________．
x 1
x1
16．已知
5 2 ，则 x 的值等于
。
17．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2 和 6，那么矩形内阴影部分的面积
是
．（结果可用根号表示）
2
6
18．图 7 是由边长为 1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从 A→B →C 所走的路程为_______m．（结果保留根号）
广东省江门市培英初级中学九年级数学上册《211 二次根式(2)》导学案
教学内容： 1． ）2=a （a ≥0）． 2．a （a ≥0）教学目标： 1.2=a （a ≥0（a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 2.通2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．通过具体数据的（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键： 1．重点：）2=a （a ≥0=a （a ≥0），及其运用．2（a ≥0）；•）2=a （a ≥0）． 教学过程一、温故知新 （学生活动）口答1．什么叫二次根式？a<03、求下列二次根式中字母的取值范围：(4 4.回忆平方根定义，思考下列问题：（1）、如果x2=3，那么x=_______（2）把x 的值 代入式子x 2=3，又可得到什么式子呢？如果x 2=11，x 2=0，x 2=a 呢？二、探究新知（一）、做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；）2=______；）2=______；）2=_______．所以 得出 2=______ （a ≥0） （二） 例题讲解：例1 计算1．2= ____________ 2．(2=______ 3．(2-=______4.2 =____________5. ）2 =____________ （三）、巩固练习1．用心算一算:）=____________，(2=____________ 2.做：P5课本练习的第1题，P5习题21.1的第2题（1）（2）及下面的补充练习计算下列各式的值：2 =__________；）2 =__________； 2 =___________；）2 =___________ ；（）2 =___________22-（四） 探究新知：（学生活动）填空：=_______ =_______；=________=________；______ （a ≥0）*探究拓展（学有余力）填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若，则a可以是什么数？（2=-a，则a可以是什么数？（3>a，则a可以是什么数？综上所述：得出例2 化简：（1=____ （2（3（4三、巩固练习：教材P5练习2．P5习题21.1的第2题（3）（4）四、*应用拓展（学有余力）例3 计算：1．2（x≥0）= _______ 2．）2=_______．3．（）2=______________．4．）2=_____________________．例4在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例5当x>2=____________________________．五、归纳小结本节课应掌握： 1．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．2．=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六．当堂检测：1．计算：（1）（）2=________．（2）=________．（3）2 = ________．（4）（12）2 =________．（5）（-）2 =________．(6) +-=________________________________________．（72π320092-⎛⎫+--⎪⎝⎭．六、布置作业：1．教材P5习题21．1 2．（1）、（2），P6 5、6、7、8．2．:练习册a== a-a(a≥0)(a＜0)。
数学人教版九年级上211二次根式(教案)
课题：21.1二次根式一、教学目标1.复习平方根的概念.2.经历从实际问题列二次根式的过程，知道什么是二次根式，会求二次根式有意义的条件.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的概念.2.a.三、教学过程〔一〕复习旧知，导入新课师：从本节课开始，我们要学习新的一章——第二十一章二次根式〔板书：第二十一章二次根式〕.师：什么是二次根式？这得从平方根说起.师：初二的时候我们学过平方根，那么什么是平方根？〔稍停〕师：〔板书：x2=5，并指准〕x2=5，5是x的什么？〔稍停〕5是x的平方；反过来，x是5的什么？〔稍停〕x是5的平方根.师：〔指准x2=5〕x2=5，5是x的平方，x是5的平方根.大家按照老师的说法，自己说几遍.〔生自己说〕师：哪位同学来说一说？生：……〔让一两名同学说〕师：〔指准x2=5〕x2=5，x是5的平方根，那么5的平方根x等于什么呢？〔板书：5的平方根x=〕生：……〔让一两名学生答复〕师：x=55师：〔指准555，另一个是555的算术平方根.±12的平方根是什么？师：〔指准板书〕5的平方根是5生：〔齐答〕12师：其中12是12的什么？生：12是12的算术平方根.师：上面我们复习的是正数的平方根，下面我们来看0的平方根.师：〔板书：x2=0，并指准〕x2=0，x等于什么？生：〔齐答〕x=0.〔师板书：x=0〕师：〔指准板书〕从x2=0得出x=0，这说明什么？〔稍停〕这说明0的平方根为0〔板书：0的平方根为0〕.师：我们还规定0的算术平方根为0.师：下面我们再来看负数有没有平方根.师：〔板书：x2=-5，并指准〕一个数的平方等于-5，这样的数有没有？〔稍停〕任何一个数的平方，或者大于0，或者等于0，不可能小于0，所以这样的数没有〔板书：不存在〕.这说明什么？〔稍停〕这说明-5没有平方根〔板书：-5没有平方根〕.师：〔指板书〕从上面的讨论，我们可以得出一个结论，什么结论？〔稍停〕正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.〔二〕试探练习，回授调节1.填空：(1)9的平方根是，9的算术平方根是；(2)6的平方根是，6的算术平方根是；(3)0的平方根是，0的算术平方根是 .2.用带根号的式子填空：(1)一个直角三角形的两条直角边的长分别是2和3，那么斜边的长为；(2)面积为S的正方形的边长为；(3)跳水运发动从跳台跳下，他在空中的时间t〔单位：秒〕与跳台高度h〔单位：米〕满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t= .〔三〕尝试指导，讲授新课〔生报第213S h 5师：13S h 5式子有什么共同的特点？生：……〔问题的答案不是唯一的，鼓励学生发表自己的看法〕师：〔指准式子〕这三个式子有什么共同特点？它们都是一个数的算术平方根，13是13的算术平方根，S是S的算术平方根，h5是h5的算术平方根.另一方面，从式子的样子来看，它们都是形如a的式子〔板书：形如a的式子〕.师：13a等于13S a等于S h5a等于什么？生：〔齐答〕等于hS.13S h5a a的式子叫做二次根式〔板书：叫做二次根式〕.师：大家把二次根式的概念读两遍.〔生读〕师：下面我们来看一道例题.〔师出例如题〕例当x x-2师：大家看一看这个题目，想一想怎么做这个题目.〔生读题思考〕师：x-2x-2x-2必须大于等于0.为什么被开方数x-2必须大于等于0？〔稍停〕x-2x-2的算术平方根，而负数没有平方根，所以被开方数x-2必须大于等于0.〔以下师边讲解边板书，解题过程如下〕解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2x-2.〔四〕试探练习，回授调节3.填空：(1)当a 时，a-1有意义；(2)当x 时，2x+3有意义.4.选做题：当x 时，2x有意义；当x 时，()2x 有意义.〔五〕归纳小结，布置作业师：本节课我们首先复习了平方根的概念，然后学习了什么是二次根式.〔指准板书〕形如a的式子叫做二次根式，这里的a必须大于等于0〔板书：其中a≥0〕.〔作业：P5习题1，P3练习2〕四、板书设计第二十一章二次根式x2=5，5的平方根x=5±13，S，h5例x2=0，x=0,0的平方根为0 形如…叫做二次根式x2=-5，x不存在，-5没有平方根其中a≥0.课题：21.1二次根式〔第2课时〕一、教学目标1.经历探究过程，知道并会简单运用二次根式的根本性质.2.培养探究能力和归纳表达能力.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的根本性质.2.难点：二次根式根本性质的探究.三、教学过程〔一〕创设情境，导入新课师：上节课我们学习了二次根式的概念，什么样的式子是二次根式？〔师出示下面的板书〕a〔a≥0〕的式子叫做二次根式.师：a的式子叫做二次根式，这里的被开方数a必须大于等于0.譬如，〔板书：5〕5是二次根式，〔板书：0〕0也是二次根式，〔板书：-5〕-5不是二次根式.师：明确了二次根式的概念，本节课我们要学习什么？本节课我们要学习二次根式的性质〔板书：二次根式的性质〕.〔二〕尝试指导，讲授新课师：二次根式有什么性质？二次根式有三个性质，我们先来看第一个性质.〔师出示下面的板书〕性质1：a〔a≥0〕是一个非负数.师：〔指准板书〕性质1告诉我们，二次根式a是一个非负数.譬如，5＞0，所以5是一个非负数；0=0，所以0也是一个非负数.实际上，二次根式a表示a的算术平方根，而a的算术平方根总是大于等于0，可见，a是一个非负数.师：下面我们来看二次根式的第二个性质.师：〔板书：3〕3是一个二次根式，我们把3平方〔边讲边板书〕，()23等于什么？生：等于3.〔直到有学生猜出这个答案，师板书：=3〕师：〔指式子〕()23=3，为什么？〔稍停〕〔师出示下列图〕面积＝3师：〔指准图〕这是一个正方形，这个正方形的面积为3，那么它的边长等于什么？生：边长等于3.〔多让几名同学答复，然后师在图上板书：边长3〕师：3 3.3的平方等于什么？生：……〔多让几名同学答复〕师：〔指准图〕边长3的平方就等于面积3，可见，()23=3.师：〔板书：()28=〕利用同样的方法，我们可以得到()28等于什么？生：〔齐答〕等于8.〔生答师板书：8〕 师：〔板书：()2a =〕利用同样的方法，我们可以得到()2a 等于什么？生：〔齐答〕等于a.〔生答师板书：a 〕 师：〔指式子〕()2a =a ，这就是二次根式的第二个性质〔板书：性质2〕.师：〔指准式子〕这里的a 是被开方数，所以a 必须大于等于0〔板书：(a ≥0)〕. 师：下面我们利用性质2来做几个题目. 〔师出例如1〕 例1 计算： (1)()21.5； (2)()225.〔师边讲边解板书，解题过程如课本第4页所示〕 〔三〕试探练习，回授调节 1.计算： (1)()24= (2)213⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=(3)()20= (4)()2-0.6=(5)()232=〔四〕尝试指导，讲授新课师：前面我们学习了二次根式的性质1和性质2，下面我们学习性质3.师：22.1〕22.1生：等于2.1.〔直到有学生猜出这个答案，师板书：2.1〕师：22.1=2.1，为什么？〔稍停〕〔师出示下列图〕面积＝2.12师：〔指准图〕这是一个正方形，这个正方形的面积为2.12，那么它的边长等于什么？生：边长等于2.1.〔多让几名同学答复，然后师在图上板书：边长=2.1〕师：〔指准图〕我们知道，正方形面积的算术平方根等于边长，所以有22.1=2.1.师：〔板书：26=〕利用同样的方法，我们可以得到26等于什么？生：〔齐答〕等于6.〔生答师板书：6〕师：〔板书：2a=〕利用同样的方法，我们可以得到2a等于什么？生：〔齐答〕等于a.〔生答师板书：a〕师：〔指式子〕2a=a，这就是二次根式的第三个性质〔板书：性质3〕师：〔指准右边的a〕这里的a是a2的算术平方根，所以a≥0〔边讲边板书：〔a≥0〕〕.师：学习了二次根式的性质2和性质3，有的同学觉得性质2和性质3好似是一样的.性质2和性质3是一样的吗？〔稍停〕师：〔指准板书〕性质2和性质3这两个等式的右边是一样的，而且a都必须大于等于0，但性质2和性质3的左边是不一样的，大家仔细看一看，性质2的左边是什么，性质3的左边又是什么.〔让生观察一会儿〕师：〔指准式子〕谁来说说这两个等式的左边有什么不同？生：……〔多让几名同学说，要鼓励学生用自己的语言来表述〕师：〔指准2a〕这个式子表示什么？表示a的算术平方根的平方，2a这个式子表示什么？表示a2的算术平方根.a的算术平方根的平方和a2的算术平方根的意思是不一样的.师：下面我们利用性质来做几个题目.〔师出例如2〕例2 化简：(1)16； (2)()2-5.〔师边讲解边板书，解题过程如课本第5页所示〕 〔五〕试探练习，回授调节 2.化简：(1)20.3=(2)0.36=(3)21-7⎛⎫ ⎪⎝⎭= (4)-2(-π)= 3.直接写出结果： (1)()25= (2)25=(3)2(-5)= (4)()2-5=〔六〕归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？〔稍停〕我们学习了二次根式的三个性质.大家把这三个性质再看一遍.〔生默读〕〔作业：P 5习题2.4.〕 四、板书设计形如…叫做二次根式 例1 例25，0，-5二次根式的性质性质1：a 〔a ≥0〕是一个非负数. 性质2：()2a =a(a ≥0). ()23=3，()28=8 图一性质3：2a =a(a ≥0). ()22.1=2.1，26=6 图二课题：21.1二次根式〔第3课时〕一、教学目标1.通过根本训练，复习稳固二次根式的概念和性质.2.了解代数式的概念，会用代数式表示实际问题中的某一个量. 二、教学重点和难点1.重点：用代数式表示实际问题中的某一个量.2.难点：用代数式表示实际问题中的某一个量. 三、教学过程〔一〕根本训练，稳固旧知 1.填空：(1)形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式. (2)二次根式的三个性质是：性质1：a 〔a ≥0〕是一个 数； 性质2：()2a = (a ≥0)；性质3：2a = (a ≥0).2.直接写出结果：(1)36= (2)()26=(3)()2-6= (4)2(-6)=3.判断正误：对的画“√〞，错的画“×〞. (1)()27=7； 〔 〕(2)27=7； 〔 〕(3)()2-7=-7； 〔 〕 (4)()2-7=7； 〔 〕 (5)()2-7=7； 〔 〕(6)2-7=-7； 〔 〕(7)2(-7)=-7； 〔 〕(8)2(-7)=7. 〔〕〔二〕尝试指导，讲授新课师：到现在我们已经学习了好几种式子，我们学习了整式〔板书：整式〕、分式〔板书：分式〕、二次根式〔板书：二次根式〕.师：什么样的式子是整式？〔边讲边板书：3，2a，3+2a〕3是一个整式，2a是一个整式，3+2a也是一个整式.师：什么样的式子是分式？〔边讲边板书：32a，2a3+2a〕32a是一个分式，2a3+2a也是一个分式.师：什么样的式子是二次根式？〔边讲边板书：3，32a〕3是一个二次根式，32a也是一个二次根式.师：整式、分式、二次根式都可以叫做代数式〔连线并板书：代数式，如板书设计所示〕.师：除了整式、分式、二次根式是代数式，由整式、分式、二次根式混合组成的式子也是代数式〔连线并板书：混合式，如板书设计所示〕.师：〔板书：2a+3，并指准〕譬如2a+3，2a是一个整式，3是一个二次根式，把这两个式子加起来，得到2a+3，2a+3也是代数式.师：〔板书：3a2a，并指准〕又譬如3a2a，32a是一个分式，a是一个二次根式，把这两个式子乘起来，得到3a2a，3a2a也是代数式.师：〔指准板书〕到现在为止，我们学过的代数式包括整式、分式、二次根式，以及由这三种式子混合组成的式子.师：下面我们来看一个列代数式的例子.〔师出例如题〕例一个矩形的面积为S，长宽之比为3:2，用代数式表示这个矩形的长和宽.〔先让生读题，然后师边讲解边板书，解题过程如下〕解：设这个矩形的长为3x，宽为2x.根据题意列方程得 3x·2x=S，整理得 x2=S6，∴∴这个矩形的长为〔三〕试探练习，回授调节4.用代数式表示：面积为S的圆的半径为 .5.一个矩形的面积为60，长宽之比为5:2，求这个矩形的长和宽.〔四〕归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了代数式的概念.〔指准板书〕到目前为止，我们学过的代数式包括整式、分式、二次根式，以及由这三种式子混合组成的式子.〔作业：P6习题5.6.〕四、板书设计。
211用二次根式定义取值范围性质
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则
这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。
0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。
温 1、平方根的性质：
故
正数有两个平方根且互为相反数；
而
0有一个平方根就是0；
10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
探究
22 2
02 0
0.12 0.1
2 2 2 3 3
一般地，根据算术平方根的意义，
a2 a a (a≥0)
-a (a≤0)
例题讲解
化简：
(1) 8
(2) (5)2
解： (1) 8 22 2 2 2
(2) (5)2 52 5
(1)32, (2) 6,
(3) 12,
(4)- m
(6)3 5
(m≤0), (5) a2 1 ,
(8) xy (x,y 异号)
在实数范围内,负数没有平方根
思考： 二次根式 a中，被开方数a的 取值范围是什么？
a≥0 (负数没有算术平方根)
1、思考 a2是不是二次根式？
2、那么以下的式子是二次根式？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式子. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
说一说:
下列各式是二次根式吗?
知 新
211二次根式性质计算3
1.若１＜Ｘ＜４，则化简 (x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的性质
1
1
2
2
2 x 1ห้องสมุดไป่ตู้
(x>0 )
3 x2 2xy y2 (x﹤y)
( a)2与 a2有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a a≥0
a2
a2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a a (a≥ 0) a2 =∣a∣= -a (a≤0)
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数 (4) 1 x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
x0
当x为怎样的实数时，下列各式
有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 x2 2
x为任何实数.
3 x 1
x为任何实数.
1、当 x 1 y 3 0时，
x （ -1 ），y （ 3 ）
2、已知x 5 6 3 y z 22 0
求xyz的 值 。
(-5)×2×(-2)=20
1.若 a 2 2b 7 =0，则 a 2b =__3___。
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1
你能求出a+b 的值吗？ 3、已知 1 有意义,那A(a, a )在 第二象限.
华东师大版九年级上册数学211二次根式(1)
a叫被开方数
灿若寒星
凭着你已有的知识,
说说对二次根式 a
的认识,好吗?
?
灿若寒星
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以是数,也可以是式.
3.形式上含有二次根号
4.a≥0,≥0 a
(双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
灿若寒星
说一说: 下列各式是二次根式吗?
当a 0时
a2 a
1 1 2 6 6
当a 0时
a2 a
灿若寒星
1:从运算顺序来看,
2 a
先开方,后平方
a 2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a 2 a取任何实数
灿若寒星
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a(a≥0)
a 2 =∣a∣=
灿若寒星
( 4)2 4 ( 0)2 0
1
(
0.01)2 0.01 (
3 1 )2
3
2 a a (a≥0)
42 4
02 0
0.012 0.01
1 2 1 3 3
a2 a (a≥0)
灿若寒星
( a )2与 a2 有区别吗?
灿若寒星
计算：
52 5
a米
塔座所形成的这个直角三角形的
斜边长为____a_2___2_5__0_0__米。
灿若寒星
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，
S
则半径为__பைடு நூலகம்_________.
灿若寒星
b-3
如图示的值表示正方形的面积，则
211化简二次根式
• 计算：
1 8
最简二次根式
最简二次根式的定义
满足下列条件的二次根式，叫做最简二 满足下列条件的二次根式，叫做 最简二 次根式。 次根式。 因数是 被开方数中的因数 整数， （ 1 ） 被开方数中的 因数 是 整数 ， 因式 整式； 是整式； 被开方数中不含能开得尽方 不含能开得尽方的 （ 2 ） 被开方数中 不含能开得尽方 的 因 因式； 数或因式； （3）分母中不含根号。 分母中不含根号。
将下列各式化成最简根式
• （1）
12
；（2）
45a b
（a≥0） a≥0）
2
1 • （3）4 1 2
； （4）x
y x
3
分母 有理化
练习：有理化分母下列各式
3 (1) 5
0.1 (4) 0.2
3 2 (2) 27
(3)
8 2a
注意：要进行根式化 注意： 简，关键是要搞清楚 分式的分子和分母都 乘什么， 乘什么，有时还要先 对分母进行化简。 对分母进行化简。
判断下列各式是否为最简 二次根式？ 二次根式？
（1） ） （3） ） ） 12 ×）；（2） （
45a b（ × ）；
2
30 x（ √
y ）；（4） x ） 3 x
（
× ）；
1 4 （5） 1 ） 2
（
×）； √
2
（6）5m m 2 + 9 （ ） （7） ）
4
）；
25m + 225m （ × ）；
练习：化简下列各式
（1）
32
0.8
；（2）
2 ab
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21.1二次根式21.1二次根式第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A．BC．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）AB．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．21.1二次根式第二课时作业设计一、选择题1．二次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-2（3）（12）2（4）（2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4（3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2（2）x4-9（3）3x2-521.1二次根式第三课时作业设计一、选择题1）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0）．AC．二、填空题1．．2m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│21.2二次根式的乘除21.2二次根式的乘除第一课时作业设计一、选择题1．，•那么此直角三角形斜边长是（）． A．cm B．．9cm D．27cm2．化简）．AC．．3=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．．×C．．二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？21.2二次根式的乘除第二课时作业设计一、选择题1）．A．27．27C．72．阅读下列运算过程：3==5==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”）．A．2 B．6 C．13D二、填空题1．分母有理化=______.2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题11，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）21.2二次根式的乘除第三课时作业设计一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A（y>0） By>0） C（y>0） D．以上都不对2．把（a-1a-1）移入根号内得（）．A．．3．在下列各式中，化简正确的是（）A=±12C2D．4的结果是（）A．-3B．．-3．二、填空题1．（x≥0）2．_________．三、综合提高题1．已知a•请写出正确的解答过程：-a·1a（a-12．若x、y为实数，且21.3二次根式的加减21.3二次根式的加减第一课时作业设计一、选择题1）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④2．下列各式：①；②17=1，其中错误的有（）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题1、、是同类二次根式的有________．2．计算二次根式的最后结果是________．三、综合提高题12.236-（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．21.3二次根式的加减第二课时作业设计一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A．B．．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．．．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）三、综合提高题1与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12反之，+1=-1）2∴=-1）2-1求：（1；（2；（3吗？（4，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．21.3二次根式的加减第三课时作业设计一、选择题1．的值是（）．A．203．23．23．2032）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题1．（-12+2）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若，则x2+2x+1=________．4．已知，a2b-ab2=_________．三、综合提高题12．当的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．ABD2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如也是互为有理化因式．练习________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1；（2；（3；（4．4．其它材料：如果n==________=_______．5．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．。