河北省2017-2018学年高三(亮剑·快乐考生)三轮冲刺猜题(一)理数试题 Word版含答案

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河北省唐山市2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试理科数学试题

唐山市2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A. B. C.【答案】C【解析】分析：求出详解：或，，则集合D.或，，，（），可得.，故选C.点睛：本题主要考查集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2.复数满足A. B. C.【答案】A （为虚数单位），则D.（）【解析】分析：先利用复数模的公式求得可得结果，然后两边同乘以，利用复数运算的乘法法则化简，即详解：,,，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用“拆角”技巧可得详解：，，利用两角差的正切公式可得结果.，故选D.点睛：三角函数求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.4.已知命题在中，若，则；命题，.则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：命题在中，，根据正弦函数的性质可判断命题为真命题；时，结论不成立，故为假命题，逐一判断四个选项中的命题即可.详解：命题在中，，若命题，则，当，故为真命题；时，不成立，故为假命题，故选B.点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的正弦函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.5.已知双曲线的离心率为（）的两条渐近线分别为，若的一个焦点关于的对称点在上，则A. B.2【答案】BC. D.【解析】分析：求得，可得的斜率为，化简后，结合，从而可得结果.详解：分别为双曲线的两条渐近线，不妨设为为，由右焦点关于的对称点在上，设焦点关于的对称点为，右焦点坐标为，中点坐标为，可得，解得，即有，可得的斜率为，即有即可得，可得，则，故选B.，，点睛：本题主要考查双曲线的简单性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）的齐次式，求出;③采用离A.6B.7C.D.【答案】B【解析】分析：由三视图可知，该几何体为五棱柱，其底面为正视图，根据三视图中数据，利用柱体体积公式求解即可.详解：由三视图可知，该几何体为五棱柱底面为正视图，底面面积为，，高为，体积为，故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7.已知函数A. B. C. D.【答案】B的图象与轴相切，则（）详解：所以最大值，且的图象与轴相切，，，即，，，故选B.点睛：本题主要考查由三角函数的性质求解析式，以及特殊角的三角函数，属于简单题.8.已知是抛物线A. B.3 C.上任意一点，是圆D.上任意一点，则的最小值为（）【答案】D【解析】分析：可设点的坐标为据圆的几何性质即可得到的最小值.，由圆方程得圆心坐标，求出的最小值，根详解：设点的坐标为，由圆的方程可得圆心坐标，，，是圆的最小值为上任意一点，，故选D.点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.9.利用随机模拟的方法可以估计圆周率的值，为此设计如图所示的程序框图，其中上的均匀随机数（实数)，若输出的结果为786，则由此可估计的近似值为（）表示产生区间A.3.134B.3.141C.3.144D.3.147【答案】C【解析】分析：由模拟试验可得所取的点在圆内的概率为，则由几何概型概率公式，可得所取的点在圆内的概率为圆的面积比正方形的面积，由二者相等列方程可估计的值.详解：由程序框图可知，共产生了其中对的共有内的随机数对，，即在以边长为的正方形中随机取点次，所取之点在以正方形中心为圆心，为半径的圆中的次数为设事件是在以边长为的正方形中随机取点，所取之点在以正方形中心为圆心，为半径的圆中，则，又由试验结果可得，，，故选C.次，点睛：本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,是否等可能性导致错误.忽视验证事件10.在中，点满足.若存在点，使得，且，则（）A.2 C.1B. D.【答案】D【解析】分析：由求得详解：，，可得，解得，，从而可得结果.，，可得，，故选D.11.若异面直线所成的角是，则以下三个命题:①存在直线，满足与的夹角都是；②存在平面，满足，与所成角为；③存在平面，满足其中正确命题的个数为（），与所成锐二面角为.A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】分析：在①中，在上任取一点，过作，与的夹角均为；在②中，在上取一点,过作；在③中，在上取一点，过作，确定一个平面平面即可.详解：异面直线所成的角是，在①中，由异面直线所成的角是，在上任取一点，过作，在空间中过点能作出直线，使得与的夹角均为，存在直线，满足与的夹角都是，故①正确；在②中，在上取一点,过作，则以确定的平面，满足与所成的角是，故②正确；在③中，在上取一点，过作，确定一个平面平面，过能作出一个平面，满足与所成锐二面角为，故③正确，故选D点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查空间线性角、线面角、面面角的定义与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.的最小值为，则（）12.已知，若A. B. C. D.【答案】A，结合的最【解析】分析：求出导函数，设导函数的零点，即原函数的极值点为，可得小值为列方程组，求得，则值可求.详解：由，得，令，则，则在上为增函数，又，存在，使，即，，①函数在上为减函数，在上为增函数，，即，②则的最小值为联立①②可得，把代入①，可得，故选A.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量满足约束条件则的最大值为__________．【答案】4.【解析】分析：画出可行域，平移直线，由图可知，当直线过点时，有最大值，从而可得结果.详解：画出表示的可行域，如图，，化为，平移直线，由图可知，当直线过点时，有最大值，由，到，此时，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布的概率为__________．，任意选一袋这种大米，质量在（【答案】0.8185.【解析】分析：先求出详解：因为（单位：）服从正态分布所以，，根据正态分布的对称性，可得），再求得，，，从而可得结果.，，故答案为.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.15.设函数则使得成立的得取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：分两种情况讨论，分别解不等式组，然后求并集即可.详解：由，得或，得或，即得取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.的内角的对边分别为，角的内角平分线交于点，若，则的取值范围是__________．【答案】.【解析】分析：先由合函数的单调性即的结果.详解：，，当且仅当根据基本不等式可得，再根据角平分线的定理和角平分线公式，换元后结，时取等号，角的内角平分线交设，则，由角平分线公式可得于，，，设，易知函数单调递增，当且仅当，，时取等号，故答案为.点睛：本题主要考查角平分线定理基本不等式的应用以及利用单调性求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求范围，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的取值范围即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是等差数列，是等比数列，，.（1）求和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1)a＝2n－1，b＝2n.n n(2).【解析】分析：（1）根据，列出关于公比、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列与的通项公式；(2)由（1）可得根据分组求和，结合等差数列的求和公式以及等比数列求和公式可得结果.详解：（1）设数列{a}的公差为d，数列{b}的公比为q，n n依题意有，解得d＝2，q＝2，故a＝2n－1，b＝2n nn，（2）由已知c＝a＝4n－3，c＝b＝4n，2n－1 2n－1 2n 2n所以数列{c}的前2n项和为nS＝(a＋a＋…a)＋(b＋b＋…b)2n 1 3 2n－1 2 4 2n＝＋＝2n2－n＋(4n－1)．点睛：本题主要考查等差数列的定义及等比数列的通项和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题.利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18.某球迷为了解两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：球队：122110 105 105109101107129115100114 118 118104 93 120 96102 105 83球队：114114 110 10810311793124 7510691 81107 112 107 10110612010779（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：球队所得分数攻击能力等级低于100分较弱100分到119分较强不低于120分很强记事件“球队的攻击能力等级高于球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率.【答案】(1)茎叶图见解析，A球队所得分数的平均值高于B球队所得分数的平均值；A球队所得分数比较集中，B球队所得分数比较分散．(2)0.31.【解析】分析：（1）通过茎叶图可以看出，球队所得分数的平均值高于球队所得分数的平均值；球队所得分数比较集中，球队所得分数比较分散；(2)由古典概型概率公式，利用互斥事件概率公式，独立事件的概率公式可求得事件的概率.详解：（1）两队所得分数的茎叶图如下A球队B球队759381 36931524078189554501011843467772167 0921240通过茎叶图可以看出，A球队所得分数的平均值高于B球队所得分数的平均值；A球队所得分数比较集中，B球队所得分数比较分散．（2）记C 表示事件：“A球队攻击能力等级为较强”，A1C表示事件：“A球队攻击能力等级为很强”；A2C表示事件：“B球队攻击能力等级为较弱”，B1B表示事件：“B球队攻击能力等级为较弱或较强”，B2则C与C 独立，C与C 独立，C与C互斥，C＝(C C)∪(C C)．A1 B1 A2 B2 A1 A2 A1 B1 A2 B2P(C)＝P(C C)+P(C C )＝P(C)P(C)＋P(C)P(C )．A1 B1 A2 B2 A1 B1 A2 B2由所给数据得C ，C，C，C发生的频率分别为，，A1 A2 B1 B2，，故P(C)＝，P(C)＝，P(C)＝，P(C)＝，A1 A2 B1 B2P(C)＝×＋×＝0.31．点睛：本题主要考查互斥事件、对立事件及必然事件的概率及分段函数的解析式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.19.如图，四棱锥的底面是平行四边形，.（1）求证：平面平面；（2）若，为的中点，为棱上的点，平面，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析.(2).【解析】分析：（1）由平面，可得，由，可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结果；（2）以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零，列方程组分别求出平面向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.详解：（1）∵AB∥CD，PC⊥CD，∴AB⊥PC，∵AB⊥AC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，又∵PA⊥AD，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD，PA平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．（2）连接BD交AE于点O，连接OF，∵E为BC的中点，BC∥AD，∴＝＝，∵PD∥平面AEF，PD平面PBD，平面AEF∩平面PBD＝OF，∴PD∥OF，∴＝＝，以AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，与平面的一个法则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，D(－3，3，0)，P(0，0，3)，E( ，，0)，F(2，0，1)，设平面ADF的法向量m＝(x，y，z)，1 1 1∵＝(2，0，1)，＝(－3，3，0)，由·m＝0，·m＝0得取m＝(1，1，－2)．设平面DEF的法向量n＝(x，y，z)，2 2 2∵＝(，－，0)，＝(，－，1)，由·n＝0，·n＝0得取n＝(1，3，4)．cos m，n＝＝－，∵二面角A-DF-E为钝二面角，∴二面角A-DF-E的余弦值为－．点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知点，点，点，动圆与轴相切于点，过点的直线与圆相切于点，过点的直线与圆相切于点（均不同于点），且与交于点，设点的轨迹为曲线.（1）证明：为定值，并求的方程；（2）设直线与的另一个交点为，直线与交于两点，当三点共线时，求四边形的面积.【答案】(1)证明见解析，方程为.(2).【解析】分析：（1）根据圆的切线性质可得，，从而根据椭圆的可得结果；（2）直线与曲线联立，利用韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式可得四边形的面积为.详解：（1）由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|，所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC|＝|PE|＋|PC|＋|AB|＝|CE|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＝4＞|BC|所以点P 的轨迹是以B，C为焦点的椭圆（去掉与x轴的交点），可求的方程为＋＝1(y≠0)．（2）由O，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD，又由直线CE，CA为圆O的切线，可知CE＝CA，OA＝OE，所以△OAC≌△O EC，进而有∠ACO ＝∠ECO，所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2，所以△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为(0，±)(i)当点P的坐标为(0，此时直线l的方程为y＝1)时，∠PBC＝60，∠BCD＝30，(x＋1)，直线CD的方程为y＝－(x－1)，由整理得5x2＋8x＝0，得Q(－，－)，所以|PQ|＝，由整理得13x2－8x－32＝0，设M(x，y)，N(x，y)，x＋x＝，x x＝－，1 12 2 1 2 1 2|MN|＝|x－x|＝，1 2所以四边形MPNQ的面积S＝|PQ|·|MN|＝．(ii)当点P的坐标为(0，－综上，四边形MPNQ的面积为)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ的面积为．．点睛：求椭圆标准方程的方法一般为定义法与待定系数法,定义法是若题设给条件符合椭圆的定义，直接写出方程；也可以根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知，函数.（1）记，求的最小值；（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1)g(a)的最小值为g(1)＝0．(2) 0＜a＜1．【解析】分析：（1）先求出，再求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得的最小值；（2）,因为有三个不同的零点，所以至少有三个单调区间，而方程在至多有两个不同正根，所以，有内各有一个零点，可得的范围是．解得，，然后再证明详解：（1）g(a)＝lna2＋－2＝2(lna＋－1)，g(a)＝2(－)＝，所以0＜a＜1时，g(a)＜0，g(a)单调递减；a＞1时，g(a)＞0，g(a)单调递增，所以g(a)的最小值为g(1)＝0．（2）f(x)＝－＝，x＞0．因为y＝f(x)有三个不同的零点，所以f(x)至少有三个单调区间，而方程x2＋(2a2－4a)x＋a4＝0至多有两个不同正根，所以，有解得，0＜a＜1．由（1）得，当x≠1时，g(x)＞0，即lnx＋－1＞0，所以lnx＞－，则x＞e－(x＞0)，令x＝，得＞e－．因为f(e－)＜－＋－2＝－＜0，f(a2)＞0，f(1)＝－2＝＜0，f(e2)＝＞0，所以y＝f(x)在(e－，a2)，(a2，1)，(1，e2)内各有一个零点，故所求a的范围是0＜a＜1．点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知点在椭圆上，将射线绕原点逆时针旋转，所得射线交直线于点.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求椭圆和直线的极坐标方程；（2）证明：:中，斜边上的高为定值，并求该定值.【答案】(1), (2)h为定值，且h＝.【解析】分析：（1）直接利用.即可得椭圆和直线的极坐标方程；(2)由（1）得，代入，化简即可得结果.详解：（1）由 x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ 得椭圆 C 极坐标方程为 ρ22 2 2 ＝；直线 l 的极坐标方程为 ρ sin θ ＝2，即 ρ ＝．（2）证明：设 A(ρ ，θ )，B(ρ ，θ ＋ )，－ A B＜θ ＜．由（1）得|OA| ＝ρ ＝，|OB| ＝ρ ＝＝，由 S△＝OAB×|OA|×|OB|＝×|AB|×h 可得，h 2＝＝＝2．故 h 为定值，且 h ＝．点睛：本题主要考查直接坐标方程化为极坐标方程，以及坐标方程的应用，属于中档题.即可实现直接坐标方程化为极坐标方程的互化.23. 选修 4-5：不等式选讲利用已知函数（1）求不等式（2）设【答案】(1).的解集；，求.的最大值.(2) 故 x ＝± 时，g(x)取得最大值－3．【解析】分析：（1）不等式等价于,两边平方后利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）将，写成分段函数形式，利用函数的单调性，可得当时，取得最大值 .详解：（1）由题意得|x －1|≥|2x －3|,所以|x －1|2≥|2x －3| 2整理可得 3x 2－10x ＋8≤0，解得≤x≤2，故原不等式的解集为{x|≤x ≤2}．（2）显然 g(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，所以只研究 x ≥0 时 g(x)的最大值．g(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x －1|－|2x －3|＋|x ＋1|－|2x ＋3|，(cos θ ＋2sin θ )＝4，即 ρ 2 2所以x≥0时，g(x)＝|x－1|－|2x－3|－x－2＝所以当x＝故x＝±时，g(x)取得最大值－3，时，g(x)取得最大值－3．点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想；①不等式两边都含绝对值，可以两边平方后再求解，体现了转化与划归思想。

2018届河北省衡水市衡水中学第三次月考理科数学.docx

2017-2018学年度上学期高三年级三调考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1.己知集合 A = {X |X 2-3X -10<0},B = {X | v = ln(x-2)},则 4 =( )A. (2,5) C. (-2,2] D. (—2,2)1.答案：C解析：A = {% | x 2 - 3x -10 < 0} = (-2,5), B | y = ln(x - 2)} = (2, +oo),.•.飘= (Y ,2],A (詔)=(-2,2]2.已知复数z 满足（z-i ）（l + 2i ） = i 3 （其中i 是虚数单位），则复数z 的虚部等于（）解析：(z —i)(l + 2i)=f=—i,.：z —i = l + 2z 4故z 的虚部为一593•阅读如图所示的程序框图，若输入的a = —,则输出的厂值是（）19A. 9B. 10C. 11D. 12B. [2,5)1 A.—— 52 B.——5 4 C.— 5 2.答案：CD.(1 +2i)(l-2i) 2 4. 2 4.----------- 1, z — -------- 1—1 , 5 5 5 5第3题图3.答案：C] _£x (2k + l)-(2k-1) _]_(_J __________(2k —l)(2k + l) ~2X (2k —l)(2k + l) _ 2(2k-1 _ 2k + lJ所以s=22k9辱= -------- >—,解得k>9,所以取k = 10,再执行一步k = k+l,则输出k = U 2k + l 194若数列心满足心…’二=心纠则数如的第|。

项为()liiiA. B. -^7- C. ----- D.—210<)250100 504.答案：D解析：由山5 = 5 5 ,两边取倒数，得—— =———("M2),故数列丄>a n-\ ~ a n a n ~色+1 色色-1 色+1色、色’ 是等差数列，其首项为公差为丄-丄=丄，所以—=-+丄（“-1）=2% 2 a2 a x 2 a n 2 2 22 2 1色=一，伽= 二——n n ^00100 50x-y 2 05.已知兀,y满足约束条件＜x+yW2 ,则|3x+4j-12|的最小值为（）y N 0A. 5B. 12 C・ 6 D. 45.答案：A解析：作可行域如图所示，则可行域内的任一点（兀,y）到直线3x + 4y-12 = 0的距离d = |3x + ?_12| ,所以 |3x+4y_12|=5t/；由图可知，点4(1,1)到直线3x + 4y-12 = 0的距离最小，所以|3x+4y—12|聞=|3xl + 4xl-12|=56.放在水平桌面上的某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）—1—俯视图第6题图6.答案：C解析：该几何体可以看成是一个底面是扇形的柱体，其表面积7. 在AABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若a 2 + b~ = 2014c 2,则2 tan A - tan B _ 2sin Asin Bcos C _ 2sin AsinBcosCA. 07.答案：CB. 1C. 2013D. 2014解析：cosC = a2+b 2 -< & _ 2013c 2 2aZ?cosC = 2013c 2,由正弦定理，得 2ab lab的值为（)A.兀 + 4B.兀 + 3C.辺 + 4 S = 2x —X ^X 22 +45 2 + 2 + ^-x2x^-x2 |xl = ^ + 4 3602 tan A • tan B tan C(tan A + tan B) 2sinAsinBcos C = 2013sin 2 C ,所以sin Asin Bcos C sin 2B20132 D.辺+ 2tan C(tan A + tan B) sin C(sin A cos B + sin B cos A)sin C sin(A + B)2sin Asin B cos C - 2013 -=2x = 2013 sin 2 C 2 8. 若对于数列[a n ],有任意m,n e N*,满足a,”+”的值为（）析：由 ^m +n =+ 色，色=2 ,当 m — 1 时，色=Q] +。

河北省石家庄市2017-2018学年高三第二次模拟考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{})24lg(x y x A -==，集合{}x y x B -==3，则=B A （） A ．{}2≤x x B ．{}2<x x C ．{}3≤x x D ．{}3<x x 【答案】B考点：函数的定义域，集合的运算. 2.设i 是虚数单位，复数iia +-1为纯虚数，则实数a 的值为（） A ．1 B ．1- C ．21D ．2- 【答案】A 【解析】试题分析：根据复数的运算有i a a i i i i a i i a 2121)1)(1()1)((1+--=-+--=+-，i i a +-1为纯虚数，即实部为零，所以有1021=⇒=-a a ，故本题的正确选项为A. 考点：复数的运算3.设函数x x x f -=sin )(，则)(x f （）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是增函数且有零点D ．是减函数且没有零点【答案】B 【解析】试题分析：首先函数的定义域为实数，又)(][sin sin )()sin()(x f x x x x x x x f -=--=+-=---=-，所以函数为奇函数，因为01cos )(≤-='x x f ，由导函数的性质可知函数在定义域上为减函数，存在唯一零点0=x ，所以本题正确选项为B.考点：函数的奇偶性与导函数的运用.4.xy y x p 2:≥+，:q 在ABC ∆中，若B A sin sin >，则B A >.下列为真的是（）A ．pB ．q ⌝C ．q p ∨D ．q p ∧ 【答案】C考点：的真假.5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．41 B ．31 C ．32D ．1【答案】B【解析】试题分析：有三视图可知，该几何体为四面体，其下表面为一等腰直角三角形，直角边为1，底面积为21=S ,其中一条与底面垂直的棱长为2，所以四面体的体积为3131=⨯=Sh V ,故本题的正确选项为B.考点：三视图与几何体的体积.6.已知⎩⎨⎧>+-≤=+,0,1)1(,0,8)(1x x f x x f x 则)34(f 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：因为034>，所以2)32(1)31()34(+-=+=f f f ，当0≤x 时，x x f πcos 2)(=，所以1)32cos(2)32(-=-=-πf ，所以有12)32()34(=+-=f f ，本题正确选项为B.考点：分段函数求函数的值. 7.若实数y x ,满足149≤+y x ，则y x z -=2的最小值为（）A ．18-B ．4-C ．4D ．102- 【答案】A考点：线性约束.【方法点睛】对于线性规划问题，共有两种情况：1,直线过定点时在可行域中旋转时的最大斜率，2，直线斜率一定而在可行域中平移时的截距的最值.可以再直角坐标系中画出可行域，然后在画出直线，通过观察求出待求量的最值；因为直线在可行域中的最值都是在围城可行域的顶点处取得，所以也可以先求得可行域顶点坐标，将这些坐标分别代入待求量的表达式中，从中选择最大值或最小值，本题中需要将含绝对值不等式转化成不等式组，在根据线性约束条件来求目标函数的最值.8.运行下面的程序框图，输出的结果是（）A ．7B ．6C ．5-D ．4-【答案】B考点：程序框图.9.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且e e a a a a (231291110=+为自然对数的底数），则=+⋅⋅⋅++2021ln ln ln a a a （）A ．20B ．30C ．40D ．50 【答案】B 【解析】试题分析：在等比数列中，若q p n m a a a a q p n m =⇒+=+，所以3111031110129111022e a a e a a a a a a =⇒==+，由对数的运算可知1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+12201201921011ln()ln[()()......()]a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=1031011ln()10ln 30a a e ===，所以本题的正确选项为B.考点：等比数列的性质，对数的运算.10.已知P 是ABC ∆所在平面内一点，现将一粒豆（大小忽略不计）随机撒在ABC ∆内，则此豆落在PBC ∆内的概率是（） A.51 B.41 C.31D.21 【答案】A 【解析】试题分析：因为PC PB AP PC PB PA 22022+=⇒=++,所以点P 一定在三角形内部，如图，PH PD C B ,,是中点，则PC PB PF 22+=,又PE PF 4=,所以PE PF PA 4==，所以15::：==∆∆PE AE S S ABC ABC ，所以豆子落在PBC ∆内的概率是51，本题正确选项为A.考点：向量的运算，面积法求概率.11.如图，已知平面l =⊥βαβα ,，B A 、是直线l 上的两点，D C 、是平面β内的两点，且6,6,3,,===⊥⊥CB AB AD l CB l DA .P 是平面α上的一动点，且直线PC PD ,与平面α所成角相等，则二面角D BC P --的余弦值的最小值是（） A ．51 B ．21C ．23D ．1【答案】C 【解析】试题分析：因为βα⊥⊥,AB AD ,所以而建立空间坐标系，以B 为原点，BC 为y 轴正向，BA 为x 轴负方向，过点B 且垂直于l 在平面β内向上的轴为z 轴正方向，则)036()060(),000(),006(，，，，，，，，--D C B A ,设点),0,(z x P ，),6,(),,3,6(z x z x --=---=直线PC PD ,与平面α所成角相等，则16)8(6)(3)6(222222=++⇒+-=+--z x z x z x 即点P 的轨迹为圆。

河北省衡水中学2017届高三高考押题卷三理数试题+答案解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则=（）A. B. C. D.2. 集合，，则=（）A. B.C. D.3. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得4. 已知实数，满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，若，，，则=（）A. B. 1 C. D. -36. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 34137. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.8. 已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（）A. B. C. D.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（）A. 3B.C.D. 4学&科&网...10. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（）A. B. 1 C. 2 D. 311. 若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（）A. B. C. D.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________．14. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为__________．15. 已知双曲线的左、右顶点分别为，两点，点，若线段的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为__________．16. 已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列的前项和，且，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求.18. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，，，,.（1）求证：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表学&科&网...（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.20. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.21. 已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲.已知，为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值.2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则= .本题选择C选项.2. 集合，，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则= .本题选择A选项.3. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.4. 已知实数，满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值.本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，若，，，则=（）学,科,网...A. B. 1 C. D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则= .本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，∴该几何体的表面积，本题选择B选项.8. 已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（）A. B. C. D.【答案】B学,科,网...【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当时推出循环，则判断框内的条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（）A. 3B.C.D. 4【答案】B【解析】由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．10. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.11. 若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨令，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：，整理可得：，结合函数的定义域可得不等式的解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.学,科,网...二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________．【答案】2【解析】试题分析：展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.考点：二项式公式，重要不等式.14. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：，则的面积为 .【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率 .16. 已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________.【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的必要不充分条件；④“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序号是②.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列的前项和，且，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）求.【答案】（1）见解析；（2）.学,科,网...【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2，公比为2的等比数列；(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得. 试题解析：（1）因为，所以，即，则，所以，又，故数列为等比数列.（2）由（1）知，所以，故.设，则，所以，所以，所以.点睛：证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，，，,.（1）求证：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）中，应用余弦定理得，解得，所以，所以.因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，学,科,网...所以.（2）由（1）平面，平面，所以.又因为，平面平面，所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.因为，，所以平面.所以是与平面所成的角.因为在中，，所以在中，.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在的概率为.(3) 由题意可得的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为 .试题解析：（1）设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则，解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在的概率为.因此，可估计该校学生身高在的概率为.（3）由题意可得的可能取值为0，1，2.学,科,网...由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.所以，，.所以的分布列为：所以.20. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，学,科,网...同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点的轨迹的方程为.（2）设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中，与椭圆方程联立得，，由韦达定理可知，，其中，因为满足椭圆方程，故有，所以.设直线的方程为：，其中，同理，故，所以，即轴，因此，故是等腰三角形.21. 已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,网...【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.(3)分离系数，构造新函数，，结合新函数的性质可得实数的取值范围为. 试题解析：（1）根据题意，得，则.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.（2）令.由，得，当，，单调递减；当，，单调递增.所以，所以.（3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.令，，得.由（2）可知，当时，恒成立，令，得；令，得.所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.所以实数的取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接，则为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几何意义，联立方程组求出，利用直线的参数方程的几何意义，进而求值.学,科,网...23. 选修4-5：不等式选讲.已知，为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得.试题解析：（1），因为，所以.（2）.即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．。

【河北省石家庄】2017届高三冲刺模考理科数学年试题

河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）答案1~5．DBCBC 6~10．ABBAD 11~12．BC 13．240 1415．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16．217．解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()1121,424202,4n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ．又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-．()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=---． 111111*********-1ni KT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．18．证明：（Ⅰ）因为,A B 是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为,,DB AB DB BC ABBC B ⊥⊥=所以DB ⊥平面ABC ,又EA DB ∥, 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AMEA A =,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -．因为DB ⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角．由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE =．故())()()0,1,0,,0,1,2,0,1,1B C D E -．于是()()()()3,1,0,0,0,2,3,,3,1,2BC BD CE CD =-==-=-1,1-设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为()(),,,,,m x y z n a b c ==,由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩,令1x =,得()1,3,0m =．由3-0320n CE b c n CD b c ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩,令1a =,得31,n ⎛=- ⎝⎭, 所以cos ,0m n <>=所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人；（Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且,B C 为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||X Y ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3；()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=； ()()()()()10,11,01,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123=32056010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯20．解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b =由题意的离心率c e a =,解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+,由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩, 可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0∆=,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-, 由直线PQ 过椭圆右焦点为()2,0F ,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==： ()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．②由()1,FM t =,222326,1313km k m FP k k ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭,则22326013mt km k FM FP k ---==+, 即FMPF ⊥,∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,2,,,,x ty P x y Q x y =-+ 与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣, 则())212213t PQ y y t ++=+丨丨,则()()3222163PQM t S t+=+△令()23,0t m m +=＞,则1326PQM S m m ⎛ =-⎝△由函数的单调性可知：y =单调递增, 故()()3222163PQM t S t+=+△,当0t =时,PQM △． ∴PQM △． 21．解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 31,,0x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>所以,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0,y y '<单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭．（Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12,x x 是()g x 的两个极值点,故12,x x 是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤．所以()()()()2211212121112211111lnln 0222x g x g x x x x x x x x x x e ⎛⎫-=--+<≤ ⎪⎝⎭=-+ 令()222111ln ,0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦-,()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以2212,22e k e ≤--即221222max e k e=--．22．解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=, 与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α=,在π4π,6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以||||OP OQ 的最大值是23．解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336,x +≤故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]0,3．（Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+,2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦河北省石家庄二中2017年高考模拟数学试卷（理科）解析1．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A,B,根据集合的交集定义进行计算．【解答】解：∵log2x＞1=log22,∴x＞2,∴B=（2,+∞）,∵x2﹣4x+3＜0,∴（x﹣3）（x﹣1）＜0,解得1＜x＜3,∴A=（1,3）,∴A∩B=（2,3）,故选：D2．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足=i,∴z+i=﹣2﹣zi,化为：z===﹣+i．=﹣﹣i．则|+1|===．故选：B3．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即可得出结论．【解答】解：由题意,M的坐标为（2cos（π+θ）,2sin（π+θ））,即（﹣2cosθ,﹣2sinθ）,故选C4．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断．【解答】解：∵0＜a＜b＜1,c＞1,∴ac＜bc,abc＞bac,∴logab＞logba,logac＞logbc,故选：B5．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值,模拟程序的运行过程,可得答案．【解答】解：当输入的x为2017时,第1次执行循环体后,x=2015,输出y=3﹣2015+1；第2次执行循环体后,x=2013,输出y=3﹣2013+1；第3次执行循环体后,x=2011,输出y=3﹣2011+1；…第1007次执行循环体后,x=3,输出y=3﹣3+1；第1008次执行循环体后,x=1,输出y=3﹣1+1；第1009次执行循环体后,x=﹣1,输出y=31+1=4；第1010次执行循环体后,x=﹣3,输出y=33+1=28；此时不满足x≥﹣1,输出y=28,故选：C6．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y即可得出．【解答】解：由于前两天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺,因此前两天两鼠共打3+1．5=4．5．第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺,因此第三天相遇．设第三天,大鼠打y尺,小鼠打0．5﹣y尺,则=,解得y=．相见时大鼠打了1+2+=3尺长的洞,小鼠打了1++=1尺长的洞,x=2+=2天,故选：A7．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中,画出f（1）＞0对应的区域,和a、b都是在区间[0,4]内表示的区域,计算它们的比值即得．【解答】解：f（1）=﹣1+a﹣b＞0,即a﹣b＞1,如图,A（1,0）,B（4,0）,C（4,3）,S△ABC=,P==,故选：B8．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求得m=sin（2•）=,故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q （+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,求得n的最小值值,可得mn的最小值．【解答】解：函数y=sin2x图象上的某点P（,m）可以由函数y=cos（2x﹣）上的某点Q向左平移n（n＞0）个单位长度得到,∴m=sin（2•）=．故把函数y=sin2x图象上的点P（,）,向右平移n个单位,可得Q（+n,）,根据Q在函数y=cos（2x﹣）的图象上,∴m=cos[2（+n）﹣]=cos（2n﹣）=,∴应有2n﹣=,∴n=,则mn的最小值为,故选：B9．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．进而得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC,其中侧面PAB⊥底面ABC,在平面PAB内,过点P作PD⊥AB,垂足为D,连接CD,CD⊥AD．该几何体的表面积S=×2++=2+2+．故选：A10．【考点】进行简单的合情推理．【分析】依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×f（m1,1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得结论．【解答】解：依题记f（m1,m2）=f（m1,m2﹣1）+5×1=f（m1,1）+5×（m2﹣1）=f（m1﹣1,1）+4×1+5×（m2﹣1）=…=f（1,1）+4×（m1﹣1）+5×（m2﹣1）,将m1=60,m2=50,f（1,1）=2,代入得483．故选D11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（b,yM）,由A,B代入双曲线方程,作差整理可得k==,化简得a2=bc,即a4=（c2﹣a2）c2,有e4﹣e2﹣1=0,得e=．故选B12．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】判断f（x）的单调性,求出极值,得出方程f（x）=t的解的情况,得出关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0的根的分布区间,利用二次函数的性质列不等式解出m的范围．【解答】解：f（x）=,∴f′（x）=．∴当0＜x＜1或x＞e时,f′（x）＞0,当1＜x＜e时,f′（x）＜0,∴f（x）在（0,1）上单调递增,在（1,e）上单调递减,在（e,+∞）上单调递增,作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t,则当0＜t＜e时,方程f（x）=t有1解,当t=e时,方程f（x）=t有2解,当t＞e时,方程f（x）=t有3解,∵关于x的方程f2（x）﹣（2m+1）f（x）+m2+m=0,恰好有4个不相等的实数根,∴关于t的方程t2﹣（2m+1）t+m2+m=0在（0,e）和（e,+∞）上各有一解,∴,解得e﹣1＜m＜e．故选C．13．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为4,求出r的值,将r的值代入通项求出展开式中含x4项的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣2）rx,令得18﹣r=4,解得r=4,∴展开式中含x4项的系数为（﹣2）4C64=240,故答案为：240．14．【考点】向量的模．【分析】求出+2,求出|+2|的解析式,根据三角函数的运算性质计算即可．【解答】解：=（cos5°,sin5°）,=（cos65°,sin65°）,则+2=（cos5°+2cos65°,sin5°+2sin65°）,则|+2|===,故答案为：．15．【考点】利用导数研究函数的极值；分段函数的应用．【分析】由f'（x）=6x2﹣6,x＞t,知x＞t时,f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间,从而要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调,必须有f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数,由此能求出a的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=2x3﹣6x,f'（x）=6x2﹣6,x＞t当6x2﹣6＞0时,即x＞1或x＜﹣1,此时f（x）=2x3﹣6x,为增函数当6x2﹣6＜0时,﹣1＜x＜1,∵x＞t,∴f（x）=2x3﹣6x一定存在单调递增区间要使无论t取何值,函数f（x）在区间（﹣∞,+∞）总是不单调∴f（x）=（4a﹣3）x+2a﹣4不能为增函数∴4a﹣3≤0,∴a≤．故a 的取值范围是（﹣∞,]．故答案为：（﹣∞,]．16．【考点】三角形中的几何计算．【分析】设∠DBM =θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,继而可得=,问题得以解决【解答】解：设∠DBM =θ,则∠ADC =2θ,∠DAC =﹣2θ,∠AMB =﹣2θ,在△CDA 中,由正弦定理可得=,在△AMB 中,由正弦定理可得=,∴===,从而MA =2, 故答案为：2．17．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（II ）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当3n ≥时,可得()()11214242024n n n n n n S S S S n n a a ---------=≥∈∴=Z ,．，又因为12a =,代入表达式可得28a =,满足上式．所以数列{}n a 是首项为12a =,公比为4的等比数列,故：121242n n n a --=⨯=．（Ⅱ）证明：2log 21n n b a n ==-． ()21212n n n T n +-==2n ≥时,211111(1)1n T n n n n n=<=-+-． 111111*********-1ni nT n n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．18．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）推导出△ABC 是等边三角形,从而CM ⊥AB ,再由DB ⊥AB ,DB ⊥BC ,知DB ⊥平面ABC ,又EA ∥DB ,从而EA ⊥平面ABC ,进而CM ⊥EA ．由此CM ⊥平面EAM ．进而能证明CM ⊥EM ．（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴,过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角B ﹣CD ﹣E 的平面角．【解答】证明：（Ⅰ）因为A B ，是PQ 的三等分点, 所以PA AB BQ CA CB ====, 所以ABC △是等边三角形,又因为M 是AB 的中点,所以CM AB ⊥．因为DB AB DB BC ABBC B ⊥⊥=,,所以DB ⊥，平面ABC ,又//EA DB , 所以EA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以CM EA ⊥．因为AMEA A =,所以CM ⊥平面EAM ．因为EA ⊂平面EAM ,所以CM EM ⊥．解：（Ⅱ）以点M 为坐标原点,MC 所在直线为x 轴,MB 所在直线为y 轴, 过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系M xyz -．因为DB⊥平面ABC ,所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角．由题意得tan 2BDDMB MB∠==,即2BD MB =, 从而BD AC =．不防设2AC =,又2AC AE +,则1CM AE =．故())()()0,1,00,1,20,1,1B C D E -，，，．于是()()()()3,100,0,23,3,1,2BC BD CE CD =-==-=，，,-1,1,-设平面BCD ，与平面CDE 的法向量分别为()(),,,m x y z n a b c ==,,, 由3-020m BC x y m BD z ⎧==⎪⎨==⎪⎩,令1x =,得()1,3,0m =．由3-0320n CE b c n CD b c ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩,令1a =,得31,n ⎛=- ⎝⎭, 所以cos 0m n <>=,所以二面角B CD E --的平面角大小为90︒．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样求出各个选修人数,利用互斥事件的概率求解从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（Ⅱ）从选出的10名学生中随机抽取3人,记ξ为选修线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值．求出ξ的可能值,就是概率,即可得到随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：因为选修数学学科人数所占总人数频率为0.6,即1800.6600x+=,可得：180x =,又180********x y ++++=,所以60y =,则根据分层抽样法：抽取的10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯=人；选修微积分的人数为：180103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60101600⨯=人；选修文学写作的人数为：60101600⨯=人；（Ⅰ）现从10人中选3人共有310120C =种选法,且每种选法可能性都相同,令事件A ：选中的3人至少两人选修线性代数,事件B ：选中的3人有两人选修线性代数,事件C ：选中的3人都选修线性代数,且B C，为互斥事件,()()()P A P B P C =+=2133733310101160C C C C C ⨯+= （Ⅱ）记X 为3人中选修线性代数的代数,X 的可能取值为0,1,2,3,记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3,则随机变量||X Y ξ=﹣的可能取值为0,1,2,3；()()()00,01,1P P X Y P X Y ξ====+===1113334433101013C C C C C C +=；()()()()()10,1101,22,12P P X Y P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==+===⨯，121234333310109220C C C C C C +⨯=, ()()()20,22,02P P X Y P X Y ξ====+===⨯213431015C C C =,()()()33310130,33,0260C P P X Y P X Y C ξ====+===⨯=；所以ξ的分布列为：所以0123320560Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 20．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由b =,椭圆的离心率公式,即可求得a 和c 的值,求得椭圆方程；（Ⅱ）①设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,分别求得kOM ,kPQ ,即可求得kOM •为定值； ②设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式,求得S △PQM =•,根据函数的单调性即可求得△PQM 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ,由题意可得：2b b ==,由题意的离心率c e a =,解得：26a =,则2224c a b -==,故椭圆方程为：22162x y +=；（Ⅱ）①证明：由题意可知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程：y kx m =+,由点()3,M t 在直线上,则3t k m =+,联立直线与椭圆方程：22360y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩, 可得：()222136360k x kmx m +-++=,又直线与椭圆只有一个公共点,故0=△,即2262m k =+；由韦达定理,可得P 点坐标223,1313km m k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭-,由直线PQ 过椭圆右焦点为()20F ，,则直线PQ 的斜率2326PQ PF mk k km k ==---；而直线OM 的斜率,则333OM t k m k +==：()()22222331311••••33263333263OM PQk m m km m km m k k km k km k km m +++====------+-+．①由()1FM t =，,222326,1313km k m FP k k ⎛⎫---= ⎪++⎝⎭,则22326013mt km k FM FP k ---==+, 即FMPF ⊥,∴三角形的面积1||||2PQM S PQ MF =△, MF =丨丨由直线FM 的斜率为t ,可得直线PQ 的方程：()()1122,,2x ty P x y Q x y =-+，，，与椭圆方程联立可得：222162x ty x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()223420t y ty +-=-,则12243t y y t +=+,12223y y t =+﹣,则)2213t PQ t +==+丨丨,则PQM S =△令()23,0t m m +=＞,则PQMS =△, 由函数的单调性可知：y =单调递增,故PQMS =≥△,当0t =时,PQM △面积的最小值．∴PQM △． 21．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）求出g （x ）的导数,求出g （x1）﹣g （x2）的解析式,令h （x ）=lnx2﹣x2+,x ∈（0,],根据函数的单调性求出k 的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：()()121121f x ax f a x'=-'=-=-，,可得：1a =；又()()()2216ln 310x y f x xf x x x y x x-=+'=-+'=>，所以，,当x ⎛∈ ⎝⎭时,0y y '>，单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,0y y '<，单调递减；故函数的单调增区间为⎛ ⎝⎭．（Ⅱ）()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++'=-，,因为12x x ，是()g x 的两个极值点,故12x x ，是方程()2110x b x ++=-的两个根,由韦达定理可知：121211x x b x x +=+⎧⎨=⎩；12x x <,可知101x <<,又11111x b e x e +=+≥+,令1t x x =+,可证()t x 在()0,1递减,由()11h x h e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,从而可证110x e <≤．所以()()()()22111ln 12x b x g x x x b x g x x-++=++-'=，令()222111ln 0,22h x x x x x e ⎛⎤=+∈ ⎥⎝-⎦，()()22310x h x x--'=≤,所以()h x 单调减, 故()22min11222eh x h e e⎛⎫==-- ⎪⎝⎭, 所以221222e k e ≤--，即221222max e k e=--．22．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法,即可求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得：ρ=,即|OP |=,同理可得|OQ |=2sinα．求出|OP |•|OQ |=,在α∈[,]上单调递减,即可求|OP |•|OQ |的最大值．【解答】解：（Ⅰ）1C 的普通方程为24y x =,2C 的普通方程为()2211x y +-=,2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=,与直线θα=联立可得：24cos =sin αρα,即24cos =sin OP αα,同理可得2|i |s n OQ α=．所以|||8tan |OP OQ α∙=,在π4π6α⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减,所以||||OP OQ ∙的最大值是23．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a =3时,不等式即|2x ﹣3|+3≤6,可得﹣3≤2x ﹣3≤3,由此求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|≥2a2﹣13恒成立,利用绝对值三角不等式求得|2x ﹣a |+a +|2x ﹣1|的最小值为|1﹣a |+a ,可得|1﹣a |+a ≥2a2﹣13,分类讨论,去掉绝对值,求得a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）当3a =时,不等式()6f x ≤,即||2-336x +≤，故有3233x -≤-≤,求得03x ≤≤,即不等式()6f x ≤的解集为[]03,．（Ⅱ）()()22-13f x g x a +≥,即222121||||3x a a x a +-≥--+恒成立,()||||||||2212211x a a x x a x a a a -++-≥---+=-+2121||3a a a ∴-+≥-①．当1a ≤时,①等价于21213a a a --+≥,解得1a ≤；当1a >时,①等价于21213a a a --+≥,即260a a --≤,解得13a <≤,所以a 的取值范围是⎡⎤⎣⎦。

2017-2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案模板

2017-2018学年度高三第三次模拟考试(理科)数学试题本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一．选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知i z +=1，则2)(z =（）A ．2B ．2-C ．i 2D ．i 2- 2. 设全集U=Z ，集合M=}{2,1，P=}{2,1,0,1,2--，则P CuM ⋂=（） A ．}{0 B ．}{1 C ．}{0,2,1-- D ．Φ 3. 一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为（）A ．32B ．41C ．31D ．214．已知直线a 、b 、c 和平面M ，则a//b 的一个充分条件是（）．A ．a//M ，b//MB ． a ⊥c ，b ⊥cC ．a 、b 与平面M 成等角D ．a ⊥M ，b ⊥M ．5．已知实数x y 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ，则24z x y =+的最大值为（）．A ．24B ．20C ．16D ．12 6．已知向量12||,10||==,且60-=⋅，则向量与的夹角为（）A ．060B ．0120C ．0135D ．0150 7．下列命题错误的是（）A ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”。

B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件。

13题C ．命题“若0xy =，则,x y 中至少有一个为零”的否定是：“若0xy ≠，则,x y 都不为零”。

2018年2017～2018学年度河北省衡水中学高三数学三轮复习理科数学周测七试卷

1 3
C. 1,
D. , 2

1
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
10.已知向量 OA (3,1) ， OB (1,3) ， OC mOA nOB ( m 0, n 0) ，若 m n [1, 2] ，则 | OC | 的取值范围是（ A． [ 5, 2 5]
2
8．设 F1 ， F2 分别为双曲线 C ：
x2 y2 1 (a 0, b 0) 的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点， a 2 b2
）
以 F1 F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、 N 两点，且满足： MAN 120 ，则该双曲线的离心率为（） B．
B.60
C.120
f ( x1 ) f (0) f ( x2 ) f (1) 恒成立，则实数 x1 的取值范围是（
A． ( , 0)
）
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分）已知函数 f x 2a sin x cos x 2b cos x c a 0, b 0 ，满足
2
1 B． (0, ) 2
1 C. ( ,1) 2
D． (1, )
12.已知矩形 ABCD 中， AB 6, BC 4 ， E , F 分别是 AB , CD 上两动点，且 AE DF ，把四边形 BCFE 沿 EF 折起，使平面 BCFE 平面 ABCD ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ A. 28 ） B.

河北省2017-2018学年高三(亮剑·快乐考生)三轮冲刺猜题(一)文数试题 Word版含答案

2017-2018学年文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数iiz -+=135，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i 4 B ．z 的共轭复数为i 41- C ．5||=z D ．z 在复平面内对应的点在第二象限2.已知}0|{2<+-∈=b x x Z x A 只有一个子集，则b 值范围是（） A ．),41[+∞ B ．),0[+∞ C ．),41(+∞ D ．不存在3. 已知向量)4,3(),0,1(),2,1(===，若为实数，⊥+)(λ，则λ的值为（） A ．113-B ．311-C ．21D ．534. 函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算其参考数据如下表：那么方程0)(=x f 的一个近似根（精确到0.1）为（） A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.55. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ab C c b a =-+tan )(222，则角C 的值为（） A ．6π或65π B ．3π或32π C ．6π D ．32π 6. 如果直线l 将圆：04222=--+y x y x 平分，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（）A ．]2,0[B ．]1,0[C ．]21,0[ D ．),2()0,(+∞-∞7.一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是)1,0,0(，)0,0,1(，)0,2,2(，)0,0,2(，画该三棱锥三视图的俯视图时，从x 轴的正方向向负方向看为正视方向，从z 轴的正方向向负方向看为俯视方向，以xOy 平面为投影面，则得到俯视图可以为（）8.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3-=kx y 与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围是（）A ．]3,3[-B ．),31[]31,(+∞--∞C ．),3[]3,(+∞--∞D ．]31,31[- 9.数列}{n a 满足11=a ，且对任意的*∈N n m ,都有mn a a a n m n m ++=+，则2021111a a a +++ 等于（） A ．2140 B ．2120 C ．1019 D ．192010. 已知函数)0,0(cos 3cos sin )(2>>+=ωωωωa x x x a x f 的最小正周期为2π，最小值为23-，将函数)(x f 的图象向左平移)0(>ϕϕ个单位后，得到的函数图象的一条对称轴为8π=x ，则ϕ的值不可能为（）A ．245πB ．2413π C ．2417πD ．2423π11.如图，M 是正方体1111D C B A ABCD -的棱1DD 的中点，给出下列：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，11C B 都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，11C B 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，11C B 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，11C B 都平行. 其中真是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④12. 函数||)(x x f -=，)14lg()(2+-=x ax x g ，若对于任意R x ∈1，都存在R x ∈2，使)()(21x g x f =，则实数a 的取值范围是（）A ．]4,(-∞B ．]4,0(C ．]0,4(-D ．),4[+∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∞∈=),1[,log )1,(,)41()(21x x x x f x，则=-))2((f f .14.如图所示是用模拟方法估计圆周率π值得程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入.15. 如图，在ABC Rt ∆中，90=∠A ，90=∠A ，E D ,分别是BC AC ,上一点，满足30=∠=∠CDE ADB ，CE BE 4=，若3=CD ，则BDE ∆的面积为 .16. 点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且||||22M F OF =，则该双曲线的离心率为 . 三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列}{n a 与}{n b 满足))((211*++∈-=-N n b b a a n n n n . （1）若11=a ，53+=n b n ，求数列}{n a 的通项公式；（2）若61=a ，)(2*∈=N n b n n 且λλ22++>n a n n 对一切*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.18.某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查.这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间内，样本分组为：.购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额（单位：元）与购物金额关系如下：（1）求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；（2）以这1000名购物者购物金额落在响应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的频率.19.如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，AC B A ⊥1，且51==AC B A ，131==BC AA ，12=AB .（1）求证：AC AA ⊥1；（2）求点B 到平面11A ACC 的距离.20.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,2(F ，且离心率为21.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆5822=+y x 相切并交椭圆C 于另一点B ，求⋅的值.21.已知函数)1(ln )(-=x ax x f （R a ∈且0≠a ）. （1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）当0>a 时，设函数)(61)(3x f x x g -=，函数)(')(x g x h =. ①若0)(≥x h 恒成立，求实数a 的取值范围. ②证明：)(321)321ln(22222*∈+++<⨯⨯⨯⨯N n n n e.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于C E ，两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PD PG =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若BD AC =，求证：ED AB =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 213231（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若),(y x P 是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，求y x +3的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数||)(a x x f -=，R a ∈. （1）若1=a ，解不等式)1(21)(+≥x x f ；（2）记函数|2|)()(--=x x f x g 的值域为A ，若]3,1[-⊆A ，求实数a 的取值范围.文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．4-； 14．10004M =P ； 15．534； 16．213+ 三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：（1）∵)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ， ∴6)5383(2)(211=--+=-=-++n n b b a a n n n n当2≥n 时，226222)()()(121112211+=+++=+-++-+-=+----n n n n n n n n a a a a a a a a当1=n 时，61=a ，符合上式.由λλ22++>n a nn 得：1122122+++=+>n n n nn λ，021221212≤-=-++++n n n n n n∴当21，=n 时，122++n n n取最大值43，故λ的取值范围),43(+∞. 18．解：（1）购物者的购物金额x 与获得优惠券金额y 的频率分布如下表：这1000名消费者获得优惠券金额的平均数为：9610002020028015030010040050=⨯+⨯+⨯+⨯.（2）由获得优惠券金额y 与购物金额x 的对应关系，有03.002.028.0)200()150()150(=+==+==≥y P y P y P .19．（1）证明：在ABC ∆中，∵222BC AC AB =+，∴AB AC ⊥，又∵AC B A ⊥1且AB B A 、1是平面11A ABB 内的两条相交直线， ∴⊥AC 平面11A ABB ，又⊂1AA 平面11A ABB ，∴AC AA ⊥1（2）解：在1ABA ∆中，∵21221AA AB B A =+，∴AB B A⊥1，又∵AC B A ⊥1且AC AB 、是平面ABC 内的两条相交直线， ∴⊥B A 1平面ABC由（1）知，AC AA ⊥1，∴135211⨯⨯=∆AC A S . ∵12521⨯⨯=∆ABC S ，设点B 到平面11A ACC 的距离为h ，由ABC A AC A B V V --=11得：h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯)13521(315)12521(31，解得1360=h .∴点B 到平面11A ACC 的距离为1360.20．解：（1）设)0,(c F ，则2=c ， ∵21=e ，∴42==c a ，∴124162=-=b . ∴所求椭圆C 的方程为1121622=+y x . （2）右顶点)0,4(A ，设直线l 的方程为)4(-=x k y ，∵直线l 与圆5822=+y x 相切，581|4|2=+k k ，∴192=k ，∴联立)4(31-±=x y 与1121622=+y x ，消去y 得：036832312=--x x ，设),(00y x B ，由韦达定理得3136840-=x ， ∴3136840-==⋅x . 21．解：（1）∵x a xx x a x f ln ]1)1[(ln )('=⋅+-=，令0)('>x f ，当0>a 时，解得1>x ；当0<a 时，解得10<<x . ∴0>a 时，函数)(x f y =的单调递增区间是),1(+∞；0<a 时，函数)(x f y =的单调递增区间是)1,0(.（2）①∵x a x x f x x g x h ln 21)('21)(')(22-=-==，由题意得min )(0x h ≤，∵xa x a x x a x x a x x h ))(()('2-+=-=-=， ∴当),0(a x ∈时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当),(+∞∈a x 时，0)('>x h ，)(x h 单调递增. ∴a a a a h x h ln 21)()(min -== 由a a a ln 210-≤得1ln ≤a ，则实数a 的取值范围是],0(e . ②证明：由①知，e a =时，0ln 21)(2≥-=x e x x h 在),0(+∞∈x 上恒成立，当e x =时等号成立，∴*∈N x 时，2ln 2x x e <，令n x ,,3,2,1 =，累加可得2222321)ln 3ln 2ln 1(ln 2n n e +++<++++ 即)(321)321ln(22222*∈+++<⨯⨯⨯⨯N n n n e.请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.证明：（1）∵PD PG =，∴PGD PDG ∠=∠，∵PD 为切线，∴DBA PDA ∠=∠， ∵EGA PGD ∠=∠，∴EGA DBA ∠=∠∴BAD EGA BAD DBA ∠+∠=∠+∠，∴PFA BDA ∠=∠，∵EP AF ⊥，∴ 90=∠PFA ，∴90=∠BDA ，∴AB 为圆的直径. （2）连结BC ，DC .∵AB 为圆的直径，∴90=∠=∠ACB BDA ，在BDA Rt ∆与ACB Rt ∆中，BA AB =，BD AC =， ∴BDA Rt ∆≌ACB Rt ∆，∴CBA DAB ∠=∠，∵DAB DCB ∠=∠，∴CBA DCB ∠=∠，∴AB DC //， ∵EP AB ⊥，∴EP DC ⊥， ∴DCE ∠为直角，∴ED 为圆的直径， ∵AB 为圆的直径，∴ED AB =.23.解：（1）∵圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=，∴)cos 21sin 23(4)6sin(42θθρπθρρ-=-=. 又222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ， ∴x y y x 23222-=+，∴圆C 的直角坐标方程为032222=-++y x y x .（2）设y x z +=3，圆C 的方程032222=-++y x y x 化为4)3()1(22=-++y x ， ∴圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2，将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 213231（t 为参数）代入y x z +=3得t z -=，又∵直线l 过)3,1(-C ，圆C 的半径是2，∴22≤≤-t ，∴22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-24．解：（1）由于1=a ，故⎩⎨⎧≥-<-=1,11,1)(x x x x x f ，当1<x 时，由)1(21)(+≥x x f ，有)1(211+≥-x x ，解得31≤x ；当1≥x 时，由)1(21)(+≥x x f ，有)1(211+≥-x x ，解得3≥x . 综上，不等式)1(21)(+≥x x f 的解集为),3[]31,(+∞-∞ . （1）当2<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤-=2,22,22,2)(x a x a a x a x a x g ，)(x g 的值域]2,2[a a A --=. 由]3,1[-⊆A ，得⎩⎨⎧≤--≥-3212a a ，解得1≥a ，又2<a ，故21<≤a ；当2≥a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤-=a x a a x a x x a x g ,22,222,2)(，)(x g 的值域]2,2[--=a a A . 由]3,1[-⊆A ，得⎩⎨⎧≤--≥-3212a a ，解得3≤a ，又2≥a ，故32≤≤a .综上，所求实数a 的取值范围为]3,1[.。

河北省石家庄市2017-2018学年高三数学复习试卷(理科)(一) Word版含解析

2017-2018学年河北省石家庄市高考数学复习试卷（理科）（1）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数=（）A．1+i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}3．已知向量=（﹣2，﹣6），||=，•=10，则向量与的夹角为（）A．150°B．﹣30°C．120°D．60°4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈A．4πB．πC．πD．20π12．设函数f（x）=e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．曲线y=e2x+3（e为自然对数的底数）在x=0处的切线方程为．14．实数x，y满足条件，则x﹣y的最小值为．15．已知圆C：x2+y2=1，过第一象限内一点P（a，b）作圆C的两条切线，切点分别为A、B，若∠APB=60°，则a+b的最大值为．16．观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值．18．已知{a n}为公差不为0的等差数列，a1=3，且a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和．19．某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm），身高分组区间及人数见表：（Ⅰ）求a、b的值并根据题目补全频率分布直方图；（Ⅱ）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y为身高不低于170cm的人数，求Y的分布列及期望．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．21．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．22．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．2015年河北省石家庄市高考数学复习试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数=（）A．1+i B．i﹣1 C．1﹣i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：原式===1﹣i．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集的性质求解．解答：解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1，2，3}．故选：B．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意不等式性质的合理运用．3．已知向量=（﹣2，﹣6），||=，•=10，则向量与的夹角为（）A．150°B．﹣30°C．120°D．60°考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ，则由cosθ=的值，求得θ的值．解答：解：设向量与的夹角为θ，∴cosθ===，∴θ=60°，故选：D．点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，根据三角函数的值求角，属于基础题．4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出抛物线y2=12x的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，∴焦点是（3，0），∴双曲线的c=3，a2=9﹣4=5，∴e=．故选：B．点评：本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力．解题时要抛物线的性质进行求解．5．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈函数的性质及应用．分析：由f（x）是定义在R上的周期为3的函数，得f（）=f（﹣），再由分段函数的性质能求出结果．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈解答：解：由已知，设函数g（x）=f（x）﹣4=asin3x+bx3是奇函数，由g（﹣x）=﹣g（x），∴g（x）为奇函数，f′（x）=3acos3x+3bx2为偶函数，∴f′（﹣x）=f′（x），∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）=g（2014）+4+g（﹣2014）+4+f′（2015）﹣f′（2015）=g（2014）﹣g（2014）+f′（2015）﹣f′（2015）+8=8．故选A．点评：本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用，灵活构造函数g（x）是解答本题的关键．8．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：函数y=3cos2x=3sin（2x+），把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3sin=3sin（2x+）的图象，故选：D．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．9．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．10．二项式（2x+）7的展开式中的系数是（）A．42 B．168 C．84 D．21考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于﹣3，求得r的值，即可求得展开式中的的系数．解答：解：二项式（2x+）7的展开式的通项公式为 T r+1=•27﹣r•x7﹣2r，令7﹣2r=﹣3，求得r=5，故展开中的系数是×22=84，故选：C．点评：题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．点评：本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．12．设函数f（x）=e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A． B． C． D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），可得y0=sinx0∈．函数f（x）=e x+2x﹣a在上单调递增．利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）=y0．令函数f（x）=e x+2x﹣a=x，化为a=e x+x．令g（x）=e x+x （x∈）．利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0），∴y0=sinx0∈．函数f（x）=e x+2x﹣a在上单调递增．下面证明f（y0）=y0．假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．综上可得：f（y0）=y0．令函数f（x）=e x+2x﹣a=x，化为a=e x+x．令g（x）=e x+x（x∈）．g′（x）=e x+1＞0，∴函数g（x）在x∈单调递增．∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．∴a的取值范围是．故选：A．点评：本题考查了函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e2x+3（e为自然对数的底数）在x=0处的切线方程为y=2x+4 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出导数，求出切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线方程．解答：解：y=e2x+3的导数y′=2e2x，则在x=0处的切线斜率为2e0=2，切点为（0，4），则在x=0处的切线方程为：y=2x+4．故答案为：y=2x+4．点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查运算能力，属于基础题．14．实数x，y满足条件，则x﹣y的最小值为﹣1 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x﹣y，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：设z=x﹣y，即y=x﹣z作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当直线y=x﹣z过点A（0，1）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，此时z=0﹣1=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．已知圆C：x2+y2=1，过第一象限内一点P（a，b）作圆C的两条切线，切点分别为A、B，若∠APB=60°，则a+b的最大值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：先求出|PO|，根据∠APB=60°可得∠AP0=30°，判断出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理，再利用基本不等式可得结论．解答：解：∵P（a，b），∴|PO|=（a＞0，b＞0）∵∠APB=60°∴∠AP0=30°∴|PO|=2|OB|=2∴=2即a2+b2=4，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=8，∴a+b的最大值为．故答案为：．点评：本题主要考查了求轨迹方程的问题，考查基本不等式的运用，属基础题．16．观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数是3602 ．考点：数列的应用．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+…+，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．解答：解：观察如图的三角形数阵，依此规律，则第61行的第2个数为3+3+5+7+…+=3602．故答案为：3602．点评：本题考查数列的应用，考查等差数列的求和公式，比较基础．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且a=3，b=2，A=2B，求cosB和c的值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理，求出cosB=，再用余弦定理求出c的值．解答：解：∵A=2B，，a=3，b=2，∴，∴cosB=，∴=，∴2c2﹣9c+10=0，∴c=2或2.5，因为c=2，不合题意舍去，所以…（10分）点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中，常需要用正弦定理和余弦定理完成边角互化，来解决问题．18．已知{a n}为公差不为0的等差数列，a1=3，且a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=2n a n，求数列{b n}的前n项和．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a1、a4、a13成等比数列可得关于d的方程，解出d，利用等差数列的通项公式可得结果；（Ⅱ）若b n=2n a n，可得数列{b n}的通项，利用错位相减法，求前n项和．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由题意得（3+3d）2=3（3+12d），得d=2或d=0（舍），…（2分）所以{a n}的通项公式为a n=3+（n﹣1）•2=2n+1…（4分）（Ⅱ）…①…②…（6分）①﹣②得…（8分）…（10分）∴…（12分）点评：该题考查等差数列的通项公式、求和公式，考查错位相减法，属于中档题．19．某学校为了解学生身体发育情况，随机从高一年级中抽取40人作样本，测量出他们的身高（单位：cm），身高分组区间及人数见表：（Ⅰ）求a、b的值并根据题目补全频率分布直方图；（Ⅱ）在所抽取的40人中任意选取两人，设Y为身高不低于170cm的人数，求Y的分布列及期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图知身高分组区间[155，160）的频率为0.15，由此能求出a，b，补全频率分布直方图．（2）由题意知Y=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E（Y）．解答：解：（1）由频率分布直方图知身高分组区间[155，160）的频率为：0.03×5=0.15，∴a=0.15×40=6，∴b=40﹣6﹣8﹣14﹣2=10．…（2分）∴频率分布表为：∴频率分布图为：…．（5分）（2）由题意知Y=0，1，2，P（Y=0）=P（Y=1）=P（Y=2）=Y的分布列为：Y 0 1 2P…（11分）E（Y）==．…（12分）点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EF∥MN，所以得到EF∥平面PAB；（Ⅱ）分别以向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz．可以确定点P，A，B，C，D，E，F的坐标，从而确定向量的坐标，设平面ABE的法向量为，根据即可求得一个法向量，根据法向量和向量的夹角和EF与平面ABE所成的角的关系即可求出所求的角．解答：解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=，ME∥AD，且ME=，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；∴EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD两两垂直；如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，所以：P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），；∴，；设平面ABE法向量，则；∴令b=1，则c=﹣1，a=0；∴为平面ABE的一个法向量；设直线EF与平面ABE所成角为α，于是：；所以直线EF与平面ABE所成角为．点评：考查线面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，用向量的方法求一直线和平面所成的角，以及两非零向量垂直的充要条件．21．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足=2．（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求•的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），由此能求出点P的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出的最大值为．解答：解：（Ⅰ）设A（x0，0），B（0，y0），P（x，y），由得，（x，y﹣y0）=2（x0﹣x，﹣y），即，（2分）又因为，所以（）2+（3y）2=9，化简得：，这就是点P的轨迹方程．（4分）（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由韦达定理得：，，（6分）又由△=4t2+12（t2+4）=16t2+48＞0恒成立，（10分）得t∈R，对于上式，当t=0时，综上所述的最大值为．…（12分）点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在a，使k=﹣．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，当或x＞1，时，f'（x）＞0，…（2分）当时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为…（4分）（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，1°当△＜0，即时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值；…（5分）2°当△=0，即时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…（6分）3°当△＞0，即或时，方程u（x）=0有两个实数根若，两个根x1＜x2＜0，此时，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…（7分）若，u（x）=0的两个根x1＞0，x2＞0，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）和（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，则f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且，==即…（*）…（9分）即令，则上式等价于：令g（t）=（t+1）lnt﹣t+1则令，∴m（t）在区间（0，1）上单调递减，且m（t）＞m（1）=1＞0，即g'（t）＞0在区间（0，1）恒成立，∴g（t）在区间（0，1）上单调递增，且g（t）＜g（1）=0，∴对∀t∈（0，1），函数g（t）没有零点，即方程在t∈（0，1）上没有实根，…（11分）即（*）式无解，∴不存在实数a，使得…（12分）点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。

河北省2017届高考第三次模拟考试数学试题(理)含答案

（1）求证： sin C tan B ；
（2）若 a 1 ， C 为锐角，求 c 的取值范围 .
18. 某学校用简单随机抽样方法抽取了 100 名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）
进行调查，结果如下：
t
0,15
15,30
30,45
45,60
60,75
75,90
男同学人 7
11
15
12
2
1
数
女同学人 8
D. 3 2
12. 已知函数 f x x 3 ax2 bx 有两个极值点 x1, x2 ，且 x1 x2 ，若 x1 2 x0 3x2 ，函数
g x f x f x0 ，则 g x （）
A. 恰有一个零点
B. 恰有两个零点
C.恰有三个零点
D.至多两个零点
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
C. 4
3
ex x ex
1 1
（其中
e 为自然对数的底数）的图象大致为（
D. 8 3
）
A
B
C
9. 若 1
9
x
a0
a1 x
a2x2
…
a9 x9 ，则 a1
a2
a3 … a9
（
D ）
A.1
B.513
C.512
D.511
10. 函数 f x cos x
（
6
0 ）在 0, 内的值域为
1, 3 ，则的取值范围是 2
1,0
有唯一零点
x0 ，证明：
2
e
1
x0 1 e .
22. 点 P 是曲线 C1 : x

精品解析：河北省衡水中学2017届高三高考押题理数试题(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则= （）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知，，则故本题答案选．2.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．3.下列函数中，既是偶函数，又在内单调递增的为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇偶性可知,是非奇非偶函数,是奇函数,故排除A、C;在内,是减函数,故排除B,因此答案为D.4.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由题知．则两双曲线的焦距相等且，焦点都在圆的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为，由于实轴长度不同故离心率不同．故本题答案选，5.在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由韦达定理可得a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，得a4和a12均为负值，由等比数列的性质可得．【详解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0两根，∴a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，∴a4和a12均为负值，由等比数列的性质可知a8为负值，且a82＝a4•a12＝1，∴a8＝﹣1，故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a8＝±1”的充分不必要条件.故选：A．【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．6.执行如图的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由程序框图则，由规律知输出．故本题答案选．【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.7.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高为．三棱锥的底面是两直角边分别为的直角三角形，高为．则几何体的体积．故本题答案选．8.已知函数的部分图像如图所示，则函数图像的一个对称中心可能为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由图可知,，，当时，，该对称中心为时，，当时，，所以对称中点为，故选C.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.9.《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．10.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的名学生中选派名学生参加，要求甲、乙、丙这名同学中至少有人参加，且当这名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的名学生不同的朗诵顺序的种数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知结果有三种情况．甲、乙、丙三名同学全参加，有种情况，其中甲、乙相邻的有种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有种情况，故本题答案选11.焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A.或 B.C.或 D.【答案】A【解析】过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．12.定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故本题答案选．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该不重复不遗漏．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为______.【答案】【解析】,由向量与共线，得，解得，则，故答案为.14.已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=_____．【答案】【解析】作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．则．故本题应填．15.在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为__________．【答案】【解析】由正弦定理，原等式可化为，进一步化为，则，即．在三角形中．由面积公式，可知，由余弦定理，代入可得．故本题应填．点睛：本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时，要以已知角的为主．16.已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________．【答案】【解析】如图,设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D,OD,O1E，OE，则，在Rt△OO1D中,R2=3+(3−R)2，解得R=2，∵BD=3BE，∴DE=2△DEO1中,，∴，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知的展开式中的系数恰好是数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由二项展开式可知各项中的系数，求和后可得，利用与间的关系可得数列的通项公式；（2）由的通项公式可求得的通项公式，对进行裂项，用裂项法可求得，利用放缩法可证明不等式．试题解析：（1）的展开式中的系数为，即，所以当时，；当时，也适合上式，所以数列的通项公式为.（2）证明：，所以，所以.18.如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）延长交于点，由重心性质及中位线性质可得，再结合圆的性质得，由已知，可证平面，进一步可得平面平面（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为平面，平面，所以.又平面，平面=，所以平面.即平面，又平面，所以平面平面.（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.在中，由，得，则，.所以，.所以.设二面角的大小为，则.点睛：若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．19.2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）（2）顾客选择第一种抽奖方案更合算.【解析】试题分析：（1）选择方案一可以免单，但需要摸出三个红球，利用古典概型求出摸出三个红球的概率，再利用两个相互独立事件同时发生的概率应该是两事件的概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）分别写出两种方案下付款金额的分布列，再求出期望值，利用期望值的大小，进行合理选择．试题解析：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件，则，所以两位顾客均享受到免单的概率为.（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0，600，700，1000.，，，，故的分布列为，所以（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，由已知可得，故，所以（元）.因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20.已知椭圆的长轴长为，且椭圆与圆的公共弦长为（1）求椭圆的方程. （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设，的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以，.因为，所以，即，所以.当时，，所以；当时，，所以.综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）对函数求导后，利用导数与函数单调性的关系，对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数的导函数可知，又是的零点，代入相减化简得，对求导，.令，求得函数.不等式得证．试题解析：（1）由于的定义域为，则.对于方程，其判别式.当，即时，恒成立，故在内单调递增.当，即，方程恰有两个不相等是实，令，得或，此时单调递增；令，得，此时单调递减.综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在，内单调递增.（2）由（1）知，，所以的两根，即为方程的两根.因为，所以，，.又因为，为的零点，所以，，两式相减得，得.而，所以.令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，即的最小值为.所以.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点．求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；动点P在圆C上不与A，B重合，试求的面积的最大值．【答案】(1).(2).【解析】分析：(1)先根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入圆方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦的长；(2)先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据点到直线距离公式得点到直线的距离最大值，最后根据三角形面积公式求最大值.详解：（1）由得所以，所以圆的直角坐标方程为将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得所以直线被圆截得的弦长为.（2）直线的普通方程为 .圆的参数方程为（为参数），可设圆上的动点，则点到直线的距离当时，取最大值，且的最大值为所以即的面积的最大值为.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23.选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）根据函数的单调性可知，当时，.所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，所以，知，，所以，所以，所以.。

河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试理科数学试题含答案

2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=2221|x x A ，1|ln()02B x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，则()R A B =（） A ．∅B ．1(1,]2- C ．1[,1)2D ．(1,1]-2.已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，若29z z i +=-，则z =（） A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -3.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=，3564a a =，则4S =（）A ．63或120B ．256C ．120D ．634.42()(1x x+的展开式中x 的系数是（）A ．1B ．2C ．3D ．125.已知ABC ∆中，tan (sin sin )cos cos A C B B C -=-，则ABC ∆为（） A ．等腰三角形B ．60A ∠=︒的三角形C ．等腰三角形或60A ∠=︒的三角形D ．等腰直角三角形6.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，15a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（）A ．3B ．4C ．232-D ．927.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．83B ．163C ．323D ．168.已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x R ∈）的图像关于直线6x π=对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图像（）A ．关于直线3x π=对称B ．关于点2(,0)3π对称C ．关于点(,0)3π 对称D ．关于直线6x π=对称9.设0a >，若关于x ，y 的不等式组20,20,20,ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域与圆22(2)9x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为（） A ．[]8,10B ．(6,)+∞C ．(6,8]D ．[8,)+∞10.已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++（1ω>，||2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(,]62ππ 11.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x <时，()f x 满足2()'()()f x xf x xf x +<，则()f x 在R 上的零点个数为（） A ．5 B ．3C ．1或3D ．112.已知函数2ln 2,0,()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩ 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（） A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知1211sin()2sin()0510πθπθ++-=，则2tan()5πθ+= ．14.已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1，6B π∠=，则BA BC ⋅的取值范围为．15.数列{}n a 满足1(2|sin |1)22n n n a a n π+=-+，则数列{}n a 的前100项和为． 16.函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与B 之间的“弯曲度”，给出以下命题： ①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(,)3A B ϕ>；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A ，B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤； ④设曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞．其中真命题的序号为．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，3B π∠=，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，410AC =，4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．18.如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠=（0θπ<<），C 点坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（1）求OA OP S ⋅+的最大值；（2）若//CB OP ，求sin(2)6πθ-的值．19.已知数列{}n a 满足对任意的*n N ∈都有0n a >，且33321212()n n a a a a a a +++=+++……．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，不等式1log (1)3na S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围． 20.已知函数21()ln 2f x x ax =-，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(1)1f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．21.已知函数2()(1)(1)x f x axe a x =--+（其中a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.718281e =…）．（1）若函数()f x 仅有一个极值点，求a 的取值范围；（2）证明：当102a <<时，函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且1232x x -<+<-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程将圆2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）设A ，B 是曲线C 上的任意两点，且OA OB ⊥，求2211||||OA OB +的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|f x x x a =-++，a R ∈．（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()|2|3f x x +-<，求a 的取值范围．2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷答案一、选择题1-5:BDCCC 6-10:BBADC 11、12：DA 二、填空题13.2 14.3(3,2+15.510016.②③ 三、解答题17.解：（1）因为344AEC πππ∠=-=，在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以216064CE =++，所以2960CE +-=，所以CE =（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，所以5sin 2CDE ∠=，所以4sin 5CDE ∠=．因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而45<，所以CDE ∠只能为钝角，所以3cos 5CDE ∠=-，所以cos cos()cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ∠=∠-=∠+∠3143525210=-⨯+⨯=． 18.解：（1）由已知得A ，B ，P 的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(cos ,sin )θθ，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以OQ OA OP =+(1,0)(cos ,sin )(1cos ,sin )θθθθ=+=+，所以1cos OA OQ θ⋅=+，又因为平行四边形OAQP 的面积为||||sin sin S OA OP θθ=⋅=，所以1cos sin )14OA OQ S πθθθ⋅+=++=++．又因为0θπ<<，所以当4πθ=时，OA OQ S ⋅+1．（2）由题意知，(2,1)CB =，(cos ,sin )OP θθ=，因为//CB OP ，所以1tan 2θ=，因为0θπ<<，所以02πθ<<．由cos 2sin θθ=，22cos sin 1θθ+=，得sin 5θ=，cos 5θ=，所以4sin 22sin cos 5θθθ==，223cos 2cos sin 5θθθ=-=，所以sin(2)sin 2cos cos 2sin 666πππθθθ-=-431552=⨯=．19.解：（1）由于33321212()n n a a a a a a +++=+++……，① 则有33332121121()n n n n a a a a a a a a ++++++=++++……，② ②—①，得322112112()()n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++……，由于0n a >，所以211212()n n n a a a a a ++=++++…，③ 同样有21212()(2)n n n a a a a a n -=++++≥…，④ ③—④，得2211n n n n a a a a ++-=+，所以11n n a a +-=（2n ≥）．由3211a a =，3321212()a a a a +=+，得11a =，22a =．由于211a a -=，即当1n ≥时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =．（2）由（1）知n a n =，则211(2)n n a a n n +=+111()22n n =-+，所以13243511211111n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++…11111111111111(1)()()()()2322423521122n n n n =-+-+-++-+--++… 1111(1)2212n n =+--++3111()4212n n =-+++．因为110(1)(3)n n S S n n +-=>++，所以数列{}n S 单调递增，所以min 11()3n S S ==．要使不等式1log (1)3n a S a >-对任意正整数n 恒成立，只要11log (1)33a a >-．因为10a ->，所以01a <<，所以1a a ->，即102a <<．所以，实数a 的取值范围是1(0,)2．20.解：（1）211'()ax f x ax x x-=-=，函数()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a ≤时，'()0f x >，则()f x 在区间(0,)+∞内单调递增；当0a >时，令'()0f x =，则x =，当0x <<时，'()0f x >，()f x 为增函数，当x >'()0f x <，()f x 为减函数．所以当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为)+∞．（2）由21ln (1)12x ax a x -≤--，得22(ln 1)(2)x x a x x ++≤+，因为0x >，所以原命题等价于22(ln 1)2x x a x x++≥+在区间(0,)+∞内恒成立．令22(ln 1)()2x x g x x x ++=+，则222(1)(2ln )'()(2)x x x g x x x -++=+，令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间(0,)+∞内单调递增，由(1)10h =>，11()2ln 2022h =-+<，所以存在唯一01(,1)2x ∈，使0()0h x =，即002ln 0x x +=，所以当00x x <<时，'()0g x >，()g x 为增函数，当0x x >时，'()0g x <，()g x 为减函数，所以0x x =时，00max 2002(ln 1)()2xx g x x x ++=+0002(2)x x x +=+01x =，所以01a x ≥，又01(,1)2x ∈，则01(1,2)x ∈, 因为a Z ∈，所以2a ≥，故整数a 的最小值为2．21.解：（1）'()2(1)(1)(1)(22)x x x f x ae axe a x x ae a =+--+=+-+，由'()0f x =，得1x =-或220x ae a -+=（*）．由于()f x 仅有一个极值点，所以关于x 的方程（*）必无解．①当0a =时，（*）无解，符合题意；②当0a ≠时，由（*）得22x a e a-=，故由220a a-≤，得01a <≤．由于这两种情况都有当1x <-时，'()0f x <，于是()f x 为减函数，当1x >-时，'()0f x >，于是()f x 为增函数，所以仅1x =-为()f x 的极值点．综上可得a 的取值范围是[]0,1．（2）证明：由（1）得，当102a <<时，1x =-为()f x 的极小值点，又因为2222(2)(1)(1)10a f a a e e -=---=--+>对于102a <<恒成立， (1)0a f e -=-<对于102a <<恒成立， (0)(1)0f a =-->对于102a <<恒成立，所以当21x -<<-时，()f x 有一个零点1x ，当10x -<<时，()f x 有另一个零点2x ，即121x -<<-，210x -<<且12111()(1)(1)0x f x ax e a x =--+=， 22222()(1)(1)0x f x ax e a x =--+=（**），所以1231x x -<+<-．下面再证明122x x +<-，即证122x x <--，由210x -<<，得2221x -<--<-，由于1x <-时，()f x 为减函数，于是只需证明12()(2)f x f x >--，也就是证明2(2)0f x --<， 22222222222(2)(2)(1)(1)(2)(1)(1)x x f x a x e a x a x e a x ------=------=----+，借助（**）式代换可得222222(2)(2)x x f x a x e ax e ----=--⋅-22222(2)x x a x e x e --⎡⎤=---⎣⎦，令2()(2)(10)x x g x x e xe x --=----<<，则2'()(1)()x x g x x e e --=+-，因为2()x x h x e e --=-在区间(1,0)-内为减函数，且(1)0h -=，所以2'()(1)()0x x g x x e e --=+-<在区间(1,0)-内恒成立，于是()g x 在区间(1,0)-内为减函数，即()(1)0g x g <-=，所以2(2)0f x --<，这就证明了122x x +<-．综上所述，1232x x -<+<-．22.解：（1）设11(,)x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(,)x y ，则有11,1.2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩因为112cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以2214x y +=．（2）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线C 的普通方程化为极坐标方程得2222cos sin 14ρθρθ+=．设1(,)A ρθ，2(,)2B πρθ+，则1||OA ρ=，2||OB ρ=，则2222222212cos ()1111cos 52sin sin ()||||4424OA OB πθθπθθρρ++=+=++++=． 23.解：（1）当1a =时，()|2||21|f x x x =-++．由()5f x ≥，得|2||21|5x x -++≥．当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥；当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以x ∈∅；当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-．故原不等式的解集为4|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或．（2）()|2|2|2||2||24||2|f x x x x a x x a +-=-++=-++|2(24)||4|x a x a ≥+--=+，因为原命题等价于[]min ()|2|3f x x +-<，所以|4|3a +<，所以71a -<<-．。

2018届河北省衡水市衡水中学第三次月考理科数学Word版

2017~2018学年度上学期高三年级三调考试数学（理科）试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）1．已知集合2{|3100},{|ln(2)}A x x x B x y x =--<==-，则()R A B =（）A ．(2,5)B ．[2,5)C ．(2,2]-D ．(2,2)-1．答案：C解析：2{|3100}(2,5),{|ln(2)}(2,),A x x x B x y x =--<=-==-=+∞()(,2],(2,2]B AB ∴=-∞=-R R2．已知复数z 满足3(i)(12i)i z -+=（其中i 是虚数单位），则复数z 的虚部等于（） A ．15- B ．25-C ．45D ．352．答案：C解析：3i i(12i)2424(i)(12i)i i,i i,i 12(12i)(12i)5555z z z i ----+==-∴-===--∴=-+++-，故z 的虚部为453．阅读如图所示的程序框图，若输入的919a =，则输出的k 值是（） A ．9B ．10C ．11D ．123．答案：C 解析：11(21)(21)111(21)(21)2(21)(21)22121k k k k k k k k +--⎛⎫=⨯=- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121k S k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令92119k S k =>+，解得9k >，所以取10k =，再执行一步1k k =+，则输出11k = 4．若数列{}n a 满足122,1a a ==，且1111(2)n n n n n n n n a a a an a a a a -+-+⋅⋅=--≥，则数列{}n a 的第100项为（） A ．10012 B ．5012 C ．1100D ．1504．答案：D 解析：由1111n n n n n n n n a a a a a a a a -+-+⋅⋅=--，两边取倒数，得111111(2)n n n nn a a a a -+-=-≥，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其首项为1112a =，公差为211112a a -=，所以111=+(1),222n n n a -= 100221,10050n a a n ∴===5．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥ ，则3412x y +-的最小值为（）A ．5B ．12C ．6D ．45．答案：A解析：作可行域如图所示，则可行域内的任一点(,)x y 到直线34120x y +-=的距离34125x y d +-=，所以3412=5x y d +-，由图可知，点(1,1)A 到直线34120x y +-=的距离最小，所以min 34123141125x y +-=⨯+⨯-=xyOx y -=2x y +=34120x y +-=AB6．放在水平桌面上的某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．4π+B ．3π+C ．342π+ D ．322π+6．答案：C解析：该几何体可以看成是一个底面是扇形的柱体，其表面积245453222222143603602S πππ⎛⎫=⨯⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯=+ ⎪⎝⎭7．在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为（）A ．0B ．1C ．2013D ．20147．答案：C解析：222222013cos ,2cos 201322a b c c C ab C c ab ab+-==∴=，由正弦定理，得： 22sin sin cos 2013sin A B C C =，所以2sin sin cos 2013sin 2A B C B =， 2tan tan 2sin sin cos 2sin sin cos =tan (tan tan )sin (sin cos sin cos )sin sin()A B A B C A B CC A B C A B B A C A B ⋅=+++22sin sin cos 201322013sin 2A B C C ==⨯= 8．若对于数列{}n a ，有任意,m n N *∈，满足2,2m n m n a a a a +=+=，则132013222014a a a a a a ++++++的值为（） A ．10061007B ．10081009C ．10051006D ．100710088．答案：D解析：由2,2m n m n a a a a +=+=，当1m =时，21112,1a a a a =+=∴=；当1m =时，111n n n a a a a +=+=+，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =，所以132013222014(12013)1007132********(22014)242014100810072a a a a a a +⨯++++++===+++++++⨯ 9．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若32C ππ<<，sin 2,sin sin 2b Ca bA C=--3a =，sin 6B =，则b 等于（） A B ．2CD ．9．答案：A 解析：由sin 2sin sin 2b C a b A C =--及正弦定理可得sin sin 2sin sin sin sin 2B CA B A C=--，即sin sin sin sin 2sin sin 2sin sin 2B A B C A C B C -=-，sin sin sin sin 2B A A C ∴= 又sin 0A ≠，sin sin 2B C ∴=，故2B C =或2B C π+=，又因为3C π>，若2B C =，则23B C C π+=>，故舍去，所以2B C π+=，又因为A B C π++=，所以A C =，所以3c a ==，由sin 6B =可得5cos 6B =，由余弦定理可得 2222cos 99153b a c ac B =+-=+-=，故b =10．如图所示，23ABC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于,,1D E AD =，若点P 是圆M 及其内部任意一点，且(,)AP x AD y AE x y R =+∈，则x y +的取值范围是（） A．[1,4+B．[44-+ C．[1,2+D．[22+10．答案：B解析：连接DE ，则当点P 在线段DE 上运动时，1x y +=，连接AM 并延长，交圆于,ST两点，交线段DE 于点N ，则圆的半径r =12,,22AM AN AS AM r===-= 2AT AM r =+=，当点P 位于点T时，x y +取得最大值，最大值为4ATAN=+当点P位于点S 时，x y +取得最小值，最小值为4ASAN=-另一种解释，考虑以,AD AE 方向为x 轴、y 轴，AD 为单位长度建立菱形坐标系，则直线DE 的方程为1x y +=，设z x y =+，作直线0x y +=并平移，当直线过点S 时，z 取得最小值，当直线过点T 时，z 取得最大值．11．已知向量,,αβγ满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，若17,βγ=的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（） A ．32B ．2C ．52D．211．答案：C 解析：()()212,22120,2ααβααβααβαβαβ⊥-∴⋅-=-⋅=-⋅=∴⋅=，()22217255211,442αβααββαβ∴+=+⋅+=++=∴+=，如图，设,,OA OB OC αβγ===，则,CA CB αγβγ-=-=，所以CA CB ⊥，即点C 在以AB 为直径的圆上，设D 为AB 中点，连接OD 并延长，与圆交于12,C C 两点，则125,,22m OC OD r n OC OD r m n OD αβ==+==-+==+=12．已知定义在(0,)+∞内的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()(ln )2()f x x x f x '>，则（）A ．326()2()3()f e f e f e >> B ．236()3()2()f e f e f e << C ．236()3()2()f e f e f e >> D ．326()2()3()f e f e f e <<12．答案：B解析：由2()(ln )2()f x x x f x '>可得()(ln )()f x x x f x '>，设()()ln f x g x x=，则 221()ln ()()(ln )()()0(ln )(ln )f x x f x f x x x f x x g x x x x '-⋅'-'==>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以23()()()g e g e g e <<，即23()()()23f e f e f x <<，即236()3()2()f e f e f e << 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）C 2C 1DABO13．322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为．13．答案：160解析：22222111144(2)222x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++⋅⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故362211442x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中的常数项为333461(2)160T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，若函数()22()f x x x x R =+∈的最大值为1a ，且满足114n n n n n a a a S a S +-=-，则数列n a 的前2 017项之积2017A = ． 14．答案：4解析：()224sin(2)4f x x x x π=+=+的最大值为4，故14a =，由114n n n n n a a a S a S +-=-，得1()1n n n n a a S S +--=，即11n n n a a a +-=，111n n a a +∴=-，由14a =，可得23431,,443a a a ==-=，故数列{}n a 的周期为3，且31231A a a a ==-，又201736721=⨯+，所以672201720171(1)4A a a =-==15．已知O 为ABC △的外接圆圆心，16,10AB AC ==AO x AB y AC =+，且322525x y +=，则AO = ．15．答案：10解析：以点A 为坐标原点，AO 方向为x 轴正方向建立直角坐标系，设直线AO 与圆的另一个交点为D ，设,BAD CAD αβ∠=∠=，则(16cos ,16sin ),(16cos ,16sin )B C ααββ-，在RT ABD △中，16cos cos AB AD αα==，在RTACD △中，cos AC ADβ==，所以416cos cos cos cos 2ααββ=∴==，根据数字特征，不妨假设4cos ,cos 5αβ==，然后再进行验证，此时20,10,AD AO ==(10,0),AO =6448,,(10,10)55AB AC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由AO x AB y AC =+，得6448(10,0)10,1055x y x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故6410105481005x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，AO =()0h x =在区间(0,)+∞内有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是．16．答案：53,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭解析：()min((),())h x f x g x =，()ln g x x =-有1个零点1x =，2()3f x x a '=+，显然必须0a <，令()0f x '=，得x =()f x 的对称中心为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，要想满足题意，只需0(1)0f f ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即21034504a ⎧<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：5344a -<<-，故实数a 的取值范围是 53,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos c a B b -=．（1）求角A 的大小；（2）若ABC △，且22cos 4c ab C a ++=，求a ． 17．解：（1）由22cos c a B b -=及正弦定理可得2sin 2sin cos sin C A B B -=，因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2cos sin sin A B B =，因为sin 0B ≠，所以1cos 2A =，又因为0A π<<，所以3A π=．（5分）（2）22cos 4c ab C a ++= （*）又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=，代入（*）式得22283b c a +=-．1sin 12ABC S bc A bc ===∴=△，由余弦定理得222222cos 1a b c bc A b c =+-=+-，所以22831a a =--，解得a = （12分） 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，211()(2)n n n n a S S S n ---=⋅≥，且11,0.n a a =>（1）求2a 的值，并证明数列{}n S 是等比数列；（2）设212(1)log ,nn n n n b S T b b b =-=+++，求n T ．18．解：（1）令2n =，得221121()()a a a a a -=+⋅，将11a =代入并整理得：22230a a -=，因为0n a >，所以23a =．由题意得211(2)(2)n n n n S S S S n ---=⋅≥，整理得11()(4)0,n n n n S S S S ----=1(4)0n n n a S S -∴-=，因为0n a >，所以14(2)n n S S n -=≥，所以数列{}n S 收首项为1，公比为4的等比数列．（7分）（2）由（1）可知14n n S -=，所以2(1)log (1)(22)n nn n b S n =-=--所以1,2[0123456(1)(1)],n n n n T n n n -⎧=⨯+-+-+-++--=⎨⎩为奇数为偶数（12分） 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足214(1)(),1n n nS n a n N a *=+∈=．（1）求n a ；（2）设n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：74n T <． 19．解：（1）由题意得2(1)4nn n a S n += ① 211(2)4(1)n n n a S n n --=-≥ ② ①－②，得：221(1)44(1)n n n n a n a a n n -+=--，所以133(2)(1)nn a a n n n -=-≥，所以数列3n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个常数列，所以3131,1n n a a a n n ==∴= （6分）（2）由（1）得21n b n =，所以127571;;444T T =<=< 当3n ≥时， 222221111111117171123442334(1)44n T n n n n =+++++<+++++=-<⨯⨯-⨯综上可得7()4n T n N *<∈ （12分） 20．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x x ax =++，其中a R ∈．（1）当1a =-时，求证：()0f x ≤；（2）对任意210x ex >≥，存在(1,)x ∈-+∞，使212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-成立，求a 的取值范围．（其中e 是自然对数的底数， 2.71828e =） 20．解：（1）当1a =-时，()ln(1)(1)f x x x x =+->-，则1()111x f x x x -'=-=++，令()0f x '=，得0x =．当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当0x =时，函数()f x 取得极大值，也是最大值，所以max ()(0)0f x f ==，所以()0f x ≤，得证．（4分）（2）不等式212212(1)(1)(1)()f x f x a x f x x x x ----->-，即为[]221221(1)(1)()x f x f x ax f x a x x ---->---，而[]221221(1)(1)x f x f x ax x x -----[]22212221112221212221212222111ln ()ln (1)ln (1)=ln ln 1x x a x x x x a x x a x x ax ax x x x x x x x x x x ax ax x x x x x ⎡⎤+-⎢⎥+----⎣⎦-=---=+-=⋅-- 令21()x t t e x =≥，原命题即故对任意t e ≥，存在(1,)x ∈-+∞，使ln ()1t t f x a t >---恒成立，所以()min min ln ()1t t f x a t ⎛⎫>--⎪-⎝⎭，设ln ()1t t h t t =-，则21ln ()(1)t t h t t --'=-，设()1ln u t t t =--，则11()10t u t t t-'=-=>对于t e ≥恒成立，则()1ln u t t t =--为区间[,)e +∞上的增函数，于是()()20u t u e e =->≥，所以21ln ()0(1)t t h t t --'=>-对于t e ≥恒成立，所以ln ()1t t h t t =-为区间[,)e +∞上的增函数，所以min ()()1e h t h e e ==-．设()()ln(1)p xf x a x ax a =--=-+--，①当0a ≥时，函数()p x 为区间(1,)-+∞上的单调递减函数，其值域为R ，可知符合题意； ②当0a <时，1()1p x a x '=--+，令()0p x '=，得111x a=-->-，由()0p x '>得 11x a >--，则函数()p x 在区间11,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭内为增函数；由()0p x '<，得11x a <--，则函数()p x 在区间11,1a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭内为减函数，所以min 1()1ln()1p x p a a ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，从而ln()11e a e >-+-，解得110e e a --<<．综上所述，a 的取值范围是11,e e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（12分）21．（本小题满分12分）设函数2()ln(1)f x x a x =++．（1）若函数()y f x =在区间[1,)+∞内是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：21()10ln 22f x x <<-+． 21．解：（1）由题意知222()2011a x x a f x x x x ++'=+=>++在区间[1,)+∞内恒成立（1分）即222a x x >--在区间[1,)+∞内恒成立，解得4a >- （3分）当4a =-时，22242(2)(1)()011x x x x f x x x +-+-'==>++，当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥，且仅当1x =时，()0f x '=，所以函数()f x 单调递增，所以a 的取值范围是[4,)-+∞ （4分）（2）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，222()1x x a f x x ++'=+，即2()22g x x x a =++，则有480(1)0112a g a ⎧⎪∆=->⎪-=>⎨⎪⎪->-⎩，解得102a << 证法一：因为2122222111,220,0222x x x x a x x +=-++==-+-<<，所以222222212()(22)ln(1)=1f x x x x x x x -++--，令22(22)ln(1)1(),,012x x x x k x x x -++⎛⎫=∈- ⎪--⎝⎭（8分）则2223262()2ln(1),()(1)(1)x x x k x x k x x x ++'''=++=++，因为()4,(0)2k x k ''''=-=，所以存在01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()0k x ''=，列表如下：又1(0)0,12ln 202k k ⎛⎫''=-=-< ⎪⎝⎭，所以1()0,,02k x x ⎛⎫'<∈- ⎪⎝⎭，所以函数()k x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数，（11分）所以1(0)()2k k x k⎛⎫<<-⎪⎝⎭，即21()10ln 22f x x <<-+．（12分）证法二：因为2x 是方程2220x x a ++=的解，所以22222a x x =--．因为122110,0,222a x x x <<<<=-+，所以2102x -<<．先证21()0f x x >，因为120x x <<，即证2()0f x <，在区间12(,)x x 内，()0f x '<，在区间2(,0)x 内，()0f x '>，所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=，即2()0f x <，所以21()0f x x >成立．（8分）再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()ln 2(1)ln 2(1)22f x x x ⎛⎫⎛⎫>-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令2211()(22)ln(1)ln 2(1),,022g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（10分）则1()2(21)ln(1)ln 22g x x x ⎛⎫'=-++-- ⎪⎝⎭，因为1ln(1)0,210,ln 202x x +<+>-<，所以()0g x '>，函数()g x 在区间1,02⎛⎫-⎪⎝⎭内为增函数，所以111111()ln ln 20242242g x g ⎛⎫>-=+-+= ⎪⎝⎭，（11分）所以221()ln 2(1)2f x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭成立．综上可得21()10ln 22f x x <<-+成立．（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:(0)l y kx x =≥与曲线12,C C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围．22．解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=，两边同时乘以ρ，得22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．（5分）（2）设射线:(0)l y kx x =≥的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且tan k ϕ=∈．联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩，得12cos OA ρϕ==，（7分）联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩，得22sin cos OB ϕρϕ== （8分）所以122sin 2cos 2tan 2(2,cos OA OB k ϕρρϕϕϕ⋅=⋅=⋅==∈，即OA OB ⋅的取值范围是(2, （10分）23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若正实数,,a b c 满足(22)a a c b m bc ++=-，求3a b c ++的最小值．23．解：（1）因为()13(1)(3)4f x x x x x =-++--+=≥，所以4m =．（4分）（2）因为(22)4a a c b bc ++=-，所以2(22)()4a ac ab bc +++=，即(2)()4a b a c ++=所以3(2)()4a b c a b a c ++=+++=≥，当且仅当22a b a c +=+=时取等号，所以3a b c ++的最小值的最小值为4 （10分）。

河北省衡水中学2017-2018学年高三上学期第三次调研考数学(理)试题 Word版含答案

2017-2018学年数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.复数212ii +-的共轭复数的虚部是（） A ．35- B ．35C ．-1D ．13.下列结论正确的是（）A ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则//αβB ．若直线//l 平面α，直线//l 平面β，则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成的角相等，则12//l lD ．若直线l 上两个不同的点A B 、到平面α的距离相等，则//l α4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（）A ．29B ．31C ．33D ．365.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（） A ．8 B ．6 C ．4 D ．27.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是（）A ．计算数列{}12n -前5项的和B ．计算数列{}21n-前5项的和C ．计算数列{}21n -前6项的和 D ．计算数列{}12n -前6项的和8. ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“)sin sin cos C A A B =+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（） A ．1 BC ．2 D．10.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()1152392102a a a b b b a ++=++（） A ．1941 B ．1737 C ．715D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 12.如图，在OMN ∆中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、，且满足()114a b ->，则a b 、的大小关系是_____________． 14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为___________．15.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_____________．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭，记()f x m n =．（1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围． 19.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A B BA ，且12AA AB ==．（1）求证：AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的正弦值为12，求锐二面角1A AC B --的大小．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-．（1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交于点M ，过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ．（1）求证：AB MD AD BM =；（2）若CP MD CB BM =，求证：AB BC =．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB 的值；（2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1,1m n >>，对t T ∀∈，不等式23log log m n t ≥恒成立，求m n +的最小值．参考答案一、选择题二、填空题13. a b < 14．0 15．80 16．1724b <≤ 三、解答题17．解：（1）∵()2f x =，∴()22x k k Z πππ=+∈，∴21,x k k Z =+∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又∵0x >，∴()*21n a n n N =-∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∴()11111111111422314414n n T b b n n n ⎛⎫=++<-+-++-=-< ⎪++⎝⎭ ∴14n T <．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．（1）()21113sin cos cos cos sin 4442222262x x x x x x f x m n π⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭，由()1f x =，得1sin 262x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以21cos 12sin 3262x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=，则22,33AC A C ππ+==-，又02C π<<，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，所以sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，又因为()12sin 62f A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故函数()2f A 的取值范围是32⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．（1）证明：如图，取1A B 的中点D ，连接AD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因1AA AB =，则1AD A B ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1111ABC A ABB A B =侧面，．．．．．．．．．．．．．．3分得AD ⊥平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥．又1AA AD A =，从而BC ⊥侧面11A ABB ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解法一：连接CD ，由（1）可知AD ⊥平面1A BC ，则CD 是AC 在平面1A BC 内的射影，∴ACD ∠即为直线AC 与平面1A BC 所成的角，因为直线AC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为12，则6ACD π∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点，∴112AD A B ==,26ADC ACD ππ∠=∠=，∴AG =．．．．．．．．．．．．．．．．．9分过点A 作1AE AC ⊥于点E ，连接DE ，由（1）知AD ⊥平面1A BC ，则1AD AC ⊥，且AEAD A =，∴AED ∠即为二面角1A AC B --的一个平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分且直角1A AC ∆中，11A A AC AE AC ===，又2AD ADE π=∠=，∴sin 2AD AED AE ∠===，且二面角1A AC B --为锐二面角， ∴3AED π∠=，即二面角1A AC B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分解法二（向量法）：由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，且设BC a =，则()()()()10,2,0,0,0,0,,0,0,0,2,2A B C a A ，()()()()11,0,0,0,2,2,,2,0,0,0,2BC a BA AC a AA ===-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由111,BC n BA n ⊥⊥得：220za y z =⎧⎨+=⎩，令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-．．．．．．．．．．．．10分设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则6πθ=，得111sin624AC n AC n π-===-，解得2a =，即()2,2,0AC =-，又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得()31,1,0n =，设锐二面角1A AC B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α===，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3πα=，∴锐二面角1A AC B --的大小为3π．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）∵()()()322ln g x a x a x =----，∴()23g x a x'=--，∴()1g x a '=-，．．．．．．．．2分又()11g =，∴121110a --==--，得2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由()22320x g x x x-'=--=<，得02x <<， ∴函数()g x 单调减区间为()0,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>-⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则()()2221220x m x x x x--'=-+=<，故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭，从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）∵()()(),,,1,1p x m q x a f x p q ==+=+，∴二次函数()21f x x ax m =+++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),01,m -∞++∞，也就是不等式()22120x a m x m m ++-++>的解集为()(),01,m -∞++∞，∴m 和 1m +是方程()22120x a m x m m ++-++=的两个根，由韦达定理得：()()112m m a m ++=-+-， ∴2a =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）由（1）得()()()2211111f x x x m mg x x x x x -++===-+---， ∴()()()()21ln ln 1,11m mx g x x x x x x x x Γ=-+=-+Γ=---， ∵存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ， ∴()()00200011021m x m x x x x Γ=-=⇒=+--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵0013x x -+>，∴02x >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分令()()122h x x x x =+->，则()()()221111x x h x x x +-'=-=，当2x >时，()()()2211110x x h x x x +-'=-=>， ∴()12h x x x=+-在()2,+∞上为增函数，从而()()00011+222h x x h x =->=，∴12m >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）()()()()()ln 11ln 11m x g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞， ∴()()()()222211111x k x k m mk x x x x ϕ-++-+'=--=--- 方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．①若0m >时，0∆>，方程（*）的两个实根为1212k x +=<，或2212k x +=>，则()21,x x ∈时，()0x ϕ'<；()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()21,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极小值，极小值点为2,x k 可取任意实数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分②若0m <时，当0∆≤，即k -≤()2210x k x k m -++-+≥恒成立，()()0,x x ϕϕ'≥在()1,+∞上为增函数，此时()x ϕ在()1,+∞上没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分下面只需考虑0∆>的情况，由0∆>，得k <-k >当k <-12221,122k k x x ++=<=<，故()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴函数()x ϕ没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当k >121,1x x =>=>，则()11,x x ∈时，()()120;,x x x x ϕ'>∈时，()()20;,x x x ϕ'<∈+∞时，()0x ϕ'>， ∴函数()x ϕ在()11,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极大值和极小值，极小值点2x ，有极大值点1x ．综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当k >()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x（其中12x x ==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．解：（1）由BC CD =可知，BAC DAC ∠=∠，在ABD ∆中，则AB AD BM DM=，因此AB MD AD BM =；．．．．．．．．．．．．．5分（2）由CP MD CB BM =，可知CP BM CB MD =，又由（1）可知BM AB MD AD=，则CP AB CB AD =，由题意BAD PCB ∠=∠，可得BAD PCB ∆∆，则ADB CBP ∠=∠，又ADB ACB ∠=∠，即CBP ACB ∠=∠，又PB 为圆O 的切线，则CBP CAB ∠=∠，因此ACB CAB ∠=∠，即AB AC =．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）已知曲线 C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为()-．则m =-l的参数方程2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩与曲线22:1124x y C +=联立，得2220t t --=，则122FA FB t t ==．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由曲线C 的方程为221124x y +=，可设曲线C 上的定点(),2sin Pθθ，则以P 为顶点的内接矩形周长为()42sin 16sin 032ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⨯+=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此该内接矩形周长的最大值为16．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）令()1,11223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}|1t T t t ∈=≤．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，33log log 1m n ≥，根据基本不等式33log log 2m n +≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥当且仅当3m n ==时取等号，所以m n +的最小值为6．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

河北省衡水中学2017届高三高考猜题卷理数试题

2017 年高考衡水猜题卷理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.设全集Q x 2x25x 0, x N ，且P Q ，则知足条件的会合P的个数是（）A．3B．4C．7D．82.已知i是虚数单位，复数5i的虚部为（）12iA．1B．1C．i D．i3.某样本中共有5个个体，此中四个值分别为0,1,2,3 ，第五个值丢掉，但该样本的数为 1，则样本方差为（）A．2B．6C．2D．30 554.双曲线C : x 2y2 1(a 0,b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为3，则C的a 2b2焦距等于（）A．4B．22 C.2D．4 2x 0,5.若不等式组y 2x,表示的平面地区是一个直角三角形，则该直角三角形的kx y 10面积是（）A．1B．1C.1D．1或1 542546.已知sin2cos 10，则 tan2（）2A．4B．3C.3D．4 34437.《九章算术》是我国古代的数学名著，表现了古代办感人民的数学智慧，此中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师依据这一问题的思想设计了以下图的程序框图，若输出 m 的值为35，则输入 a 的值为（）A．4B．5 C.7D．118.如图，过抛物线y2 2 px p0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点A, B，交其准线于点 C，若 BC2BF ，且 AF 3 ，则此抛物线方程为（）A．y29x B．y26x C. y23x D．y23x9.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是（）A．B． C.D．10.在ABC 中， AB AC 2, BCgcos A 1 ，则 cosA 的值所在区间为（）A．0.4, 0.3B．0.2, 0.1 C.0.3, 0.2D．0.4,0.51, x 0,11.已知符号函数 sgn x 0, x 0, 那么 y sgn x 3 3x 2 x 1 的大概图象是（）1, x 0,A ．B ．C.D ．12.已知函数 f xe x a x ，关于随意的 x 1, x 2 1,2 ，且2ex 1 x 2 , f x 1f x 2x 1 x 20 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A ．e 2, e 2B ．e 2 , e 2 C. e 2 , e 2D ． e 2 ,e 24 42233第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 x 12x 22016a 0 a 1 x 2 a 2 x 22L a 2018 x 22018，则a 1 a 2a 3 La 2018的值是．222232201814.已知一个公园的形状以下图，现有 3 种不一样的植物要种在此公园的A, B, C , D , E ，这五个地区内，要求有公共界限的两块相邻地区种不一样的植物，则不一样的种法共有种．15.已知函数 f xsin x ，若存在 x 1 , x 2 ,L , x m 知足 0 x 1 x 2 Lx m 6 ，且f x 1 f x 2f x 2f x 3 Lf x m 1 f x m 12 m2,m N，则 m 的最小值为．16.已知等腰直角ABC 的斜边 BC 2 ，沿斜边的高线 AD 将ABC 折起，使二面角B ADC 为，则四周体 ABCD 的外接球的表面积为．3三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17. 已知等差数列 a n 的公差为 2 ，前 n 项和为 S n ，且 S 1 , S 2 , S 4 成等比数列 .（I ）求数列 a n 的通项公式；（II ）令 b n 1n 14n，求数列 b n 的前 n 项和 T n .a nan 118. 如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， AE 平面 CDE ，已知AE DE2, F 为线段 DF 的中点 .（ I ）求证： BE P 平面 ACF ；（ I I ）求平面 BCF 与平面 BEF 所成锐二面角的余弦角 .19. 龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内聚集了 3000余栽花卉苗木，一年四时如花似锦花香四溢 .花园景观交融法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新奇，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、小孩乐园等景点有条有理，交相响应又自成一体，是世界园艺景观的大展现 .该景区自 2015 年春建成，试运转以来，每日游人如织，郁金香、向日葵、虞佳人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为认识进园游客的详细情况以及收集游客对园区的建议，特别在 2017年 4 月 1日赏花旺季对进园游客进行取样检查，从当天 12000名游客中抽取 100 人进行统计剖析，结果以下：年纪频数频次男女0,10100.15510,20①②③④20,30250.25121330,40200.2101040,50100.16450,60100.13760,7050.51470,8030.31280,9020.202共计100 1.004555（I）达成表一中的空位①~④，并作答题纸中补全频次散布直方图，并预计2017年 4 月 1日当天招待游客中 30岁以下的游戏的人数.(II)达成表二，并判断可否有 97.5%的掌握以为在观花游客中“年纪达到 50岁以上”与“性别”有关；(表二）50岁以 50 岁以合上下计男生女生合计P K 2k00.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.00110.828k0 6.635 7.8792（参照公式： K 2n ad bc，此中 n a b c d ）a b c d a c b d（III ）按分层抽样（分50岁以上与50岁以下两层）抽取被检查的100位游客中的10人作为好运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10 人中选用2 人接受电视台采访，设这 2 人中年纪在 50 岁以上（含 50岁）的人数为，求的散布列.20. 给定椭圆C :x2y2，称圆心在原点 O ，半径为22的圆是椭圆 C a2b21 a b 0a b的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为 F 2,0 ，其短轴上的一个端点到F的距离为3. (I)求椭圆 C 的方程和其“准圆”的方程；(II)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M , N.(i) 当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1,l2的方程，并证明l1l2；(ii)求证 :线段MN的长为定值 .21. 已知函数f x 1 x2 a ln x a R .2(I ）若函数f x在x 2 处的切线方程为y x b ，求 a 和b的值;(II)议论方程 f x 0 的解的个数，并说明原因.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是2 4 cos 6 sin 12 ，以极点为原点，极轴为 x 轴x2 1 t的正半轴成立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2( t为参数） .y1 3 t2(I)写出直线 l 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程，并判断它们的地点关系；(II)将曲线 C 向左平移 2 个单位长度，向上平移 3 个单位长度，获得曲线 D ，设曲线 D 经过伸缩变换x 'x,获得曲线 E ，设曲线 E 上任一点为 M x, y ，求3x1y 的y' 2 y,2取值范围 .23.选修 4-5：不等式选讲设函数 f x x a , a R .(I)当 a 5 时，解不等式 f x 3 ；(II) 当a 1 时，若x R ，使得不等式 f x 1 f 2x 1 2m 成立，务实数m的取值范围 .试卷答案一、选择题1-5: DBAAD 6-10:CACDA11、12： DB二、填空题201816.713. 114.1815.823三、解答题17.解：（I ）由于 S 1 a 1 ，S 22 12a 1 2 ，2a 122S 44 34a 1 12 ，4a 122由题意，得 2a 1 2a 1 4a 1 12 ，2解得因此a 1 1，a n 2n 1, n N .n 14n（II ）由题意，可知 b n1a nan 1n 14n12n1 2n 1n 111.12n12n1当 n 为偶数时，T n111 1 L 13 11 11 11 111 2n ；33 5 2n 2n 2n 2n2n 2n 1当 n 为奇数时，T n(1 1) ( 11) ... (13 1 ) ( 1 1 1 ) 1 1 1 2n 233 52n 2n 1 2n 2n 1 2n 2n 1.2n 2, n 为奇数 ,因此 T n2n 12n, n 为偶数 .2n 12n 11 n 1（或 T n）2n118.解：（1）连结 BD 和 AC 交于点 O ，连结 OF ，由于四边形 ABCD 为正方形，因此O 为 BD 的中点 .由于 F 为 DE 的中点，因此 OF PBE .由于 BE平面 ACF ,OF 平面 AFC ，因此 BE P 平面 ACF .(II) 由于 AE 平面 CDE ,CD 平面 CDE ，因此 AE CD .由于 ABCD 为正方形，因此 CD AD .由于 AEAD A,AD, AE平面 DAE ，因此 CD 平面 DAE .由于 DE平面 DAE ，因此 DE CD .因此以 D 为原点，以 DE 所在直线为 x 轴成立以下图的空间直角坐标系，则 E 2,0,0 , F 1,0,0 , A 2,0,2, D 0,0, 0 .由于因此AE 平面 CDE , DE 平面 CDE ,AE CD .由于 AE DE 2，因此 AD2 2.由于四边形 ABCD 为正方形，因此 CD2 2 ，因此 C 0,2 2,0 .由四边形 ABCD 为正方形，uuuv uuuv uuuv2,2 2,2,得 DB DA DC因此 B 2,3 2,2 .设平面 BEF 的一个法向量为 n 1uuuvuuuv1,0,0 ， x 1 , y 1 , z 1 ，又知 BE0, 2 2,2 ,FEuuuv由n 1 BE 02 2 y 1 2 z 1 0,n 1 uuuvx 1 0,FE 0令 y 1 1 ，得 x 1 0, z 1 2 ，因此 n 10,1, 2.设平面 BCF 的一个法向量为 n 2uuuvuuuv2 2,0) ,x 2 , y 2 , z 1 2 ，又知 BC( 2,0,2), CF (1,n 2 uuuv2x 2 2z 2 0, 由 BCuuuv x 2 2 2y 20,n 2 CF 0令 y 2 1 ，得 x 2 2 2, z 2 2 2 ，因此 n 22 2,1, 2 2 .设平面 BCF 与平面 BEF 所成的锐二面角为，又 cos n , nn 1 n 2 1 4 5 51，12n 1 n 2 317 51则 cos5 51. 51因此平面 BCF 与平面 BEF 所成的锐二面角的余弦值为 5 51 .5119.解：（ I）达成表（一）：15;0.15;7;8 .达成以下频次散布直方图：由于年纪在 30 岁以下的频次为 0.1 0.15 0.25 0.5，以频次作为概率，预计2017 年 4 月 1日当天招待游客中 30岁以下的人数为12000 0.5 6000.（II ）达成2 2列联表以下：50岁以50 岁以合上下计男54045生女154055生合2080100计100 54040152K 2的观察值 k400 4.040 5.024，2080554599因此没有的掌握以为在观花游客中“年纪达到岁以上”与“性别”有关.(III)由分层抽样应从这 10 人中抽取到 50 岁以上的人的人数为 10 0.2 2 人，50岁以下的人的人数为8 人，故的全部可能的取值为0,1,2 .P0C20C8228 ，C10245P1C21C8116 ，C10245P2C22C801，C102 45故的散布列为01228161P45454520.解：（ I）由于由题易知c2, a3 ，因此 b 1，因此椭圆的方程为x2y 21，3准圆的方程为x2y2 4 .(II)(i) 由于准圆x2y2 4 与y轴的正半轴的交点为P 0,2 ，设过点 P 0,2 且与椭圆相切的直线为y kx 2 ，y kx2,由x2y21,3得 1 3k2 x2 12kx 9 0 .由于直线 y kx 2 与椭圆相切，因此144k2 4 9 1 3k 20 ，解得 k1.因此 l1 , l2的方程分别为 y kx 2 ， y x 2 .由于 k1 k21 ，因此 l1 , l 2.(ii) 当直线l1,l2中有一条斜率不存在时，不如设直线l1的斜率不存在，则 l1的方程为x3 .当 l1的方程为 x 3 ， l1与准圆交于点3,1 ， 3, 1 ，此时 l2的方程为 y1（或 y1）明显直线 l1, l2垂直.同理可证 l1 : x 3 ，直线l1, l2垂直.②当直线 l1, l2斜率均存在时，设点 P x0 , y0，此中x02y02 4 .设经过点 P x0 , y0与椭圆相切的直线为y t x x0y0 ,y t x x0y0 ,2由xy21,得 1 3t 2 x26t y0 tx0 x 3 y0tx023 0 .由0 ，化简整理，得3x02t22x0 y0t 1 y020 .由于 x02y02 4 ，因此有 3 x02t 22x0 y0t1y020 .设直线 l1 ,l 2的斜率分别为 t1, t2，由于 l1 , l2与椭圆相切，因此 t1, t2知足方程3 x02t22x0 y0t x02 3 0 .因此 t1, t21，即 l1l 2.综合①②知，由于l ,l经过P x, y，又分别交准圆于点M , N ，且 l1 ,l 2互相垂直，因此线段 MN 为准圆x2y2 4 的直径，因此 MN 4，因此经段 MN 的长为定值.21.解：（I ）由于f ' x x a x 0 ，x又 f x 在 x 2 处的切线方程为y x b ，因此解得f 2 2 a ln 2 2 b, f ' 2 2a1，2a 2,b2ln 2 .（II ）当a 0时，f x 在定义域 0,内恒大于 0 ，此时方程无解.当 a0时， f ' x x a0 在区间0,内恒成立，x因此 f x 的定义域内为增函数.11由于 f 11 0, f e a1 e a 1 0 ，22因此方程有独一解 .当 a0 时，f ' x x2 a .x当 x0, a 时，f 'x0 ，f x 在区间0, a 内为减函数，当 x a ,时， f ' x0 ，f x 在区间x a,内为增函数，因此当 x a 时，获得最小值f a 1 a 1 ln a .2当 a 0,e 时，f a1 a 1 ln a0 ，无方程解；2当 a e 时， f a 1a 1ln a 0 ，方程有独一解. 2当 a e,时，f a 1a 1 ln a 0 ，12 0，且 a 1 ，由于 f 12因此方程 f x0 在区间0, a内有独一解，当 x 1 时，设 g x x ln x, g ' x11，x因此 g x 在区间 1,内为增函数，又 g 11，因此 x ln x0 ，即 ln x 0 ，故 f x 1 x2aln x 1 x2ax .22由于 2a a1，因此 f2a122a20 .2a2因此方程 f x0 在区间a,内有独一解，因此方程 f x0 在区间0,内有两解，综上所述，当 a 0,e 时，方程无解，当 a 0 ，或a e时，方程有独一解，当a e 时，方程有两个解.22.解：（I ）直线l的一般方程为3x y2310，曲线 C 的直角坐标方程为2y32x 2 1 .233231由于21，31因此直线 l 和曲线 C 相切.（II ）曲线D为x2y 21.曲线 D 经过伸缩变换x ' x,y ' 2 y,获得曲线 E 的方程为 x 2y 2 1，4则点 M 的参数方程为xcos ,（为参数），y 2sin因此因此3x1 2sin，y3 cos sin233x1y 的取值范围为2,2.223.解：（I ）当 a 5 时，原不等式等价于 x 5 3 ，即 3x 5 32 x 8 ，因此解集为 x 2 x 8 .（II ）当 a 1时， f x x 1 .令 g xf x1 f2x3x 3, x 1 ,12 x 22x 1xx 2,1,23x 3, x 2,由图象，易知 x 1时， g x 获得最小值 3.由题意，知321 ， 21 2mm24因此实数 m 的取值范围为, 1 .4。

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2017-2018学年理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数iiz -+=135，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i 4 B ．z 的共轭复数为i 41- C ．5||=z D ．z 在复平面内对应的点在第二象限2.已知}0|{2<+-∈=b x x Z x A 只有一个子集，则b 值范围是（） A ．),41[+∞ B ．),0[+∞ C ．),41(+∞ D ．不存在3. 已知向量)4,3(),0,1(),2,1(===c b a ，若为实数，c a b ⊥+)(λ，则λ的值为（） A ．113-B ．311-C ．21D ．534. 函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算其参考数据如下表：那么方程0)(=x f 的一个近似根（精确到0.1）为（） A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.55. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ab C c b a =-+tan )(222，则角C 的值为（） A ．6π或65π B ．3π或32π C ．6π D ．32π 6.一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是)1,0,0(，)0,0,1(，)0,2,2(，)0,0,2(，画该三棱锥三视图的俯视图时，从x 轴的正方向向负方向看为正视方向，从z 轴的正方向向负方向看为俯视方向，以xOy 平面为投影面，则得到俯视图可以为（）7.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3-=kx y 与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围是（）A ．]3,3[-B ．),31[]31,(+∞--∞C ．),3[]3,(+∞--∞D ．]31,31[- 8.数列}{n a 满足11=a ，且对任意的*∈N n m ,都有mn a a a n m n m ++=+，则2021111a a a +++ 等于（） A ．2140 B ．2120 C ．1019 D ．19209. 设圆1C ：1)1(22=+-y x 与圆2C ：1)2()3(22=-+-y x ，点P 为一动点，由点P 作圆1C 与圆2C 的切线PA ，PB ，切点分别为B A ,.若||||PB PA =，则点P 的轨迹方程为（） A ．03=-+y x B ．03=++y x C ．03=+-y x D ．03=--y x 10. 已知函数)0,0(cos 3cos sin )(2>>+=ωωωωa x x x a x f 的最小正周期为2π，最小值为23-，将函数)(x f 的图象向左平移)0(>ϕϕ个单位后，得到的函数图象的一条对称轴为8π=x ，则ϕ的值不可能为（） A ．245π B ．2413π C ．2417πD ．2423π11.如图，M 是正方体1111D C B A ABCD -的棱1DD 的中点，给出下列：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，11C B 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，11C B 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，11C B 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，11C B 都平行. 其中真是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④12. 设][x 表示不超过x 的最大整数（如2]2[=，1]45[=），对于给定的*∈N n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ，),1[+∞∈x ，则当)3,23[∈x 时，函数x C 8的值域是（）A ．]28,316[B ．6)5,316[ C ．6)5,82[)328,4( D ．8]2,382(]316,4( 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图所示是用模拟方法估计圆周率π值得程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入.14. 已知⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥-+=0,)3(40),1()(222x a x x x a k x x f ，R a ∈，对任意非零实数1x ，存在唯一的非零实数2x （21x x ≠），使得)()(21x f x f =成立，则实数k 的取值范围是 .15. 如图，在ABC Rt ∆中，90=∠A ，90=∠A ，E D ,分别是BC AC ,上一点，满足30=∠=∠CDE ADB ，CE BE 4=，若3=CD ，则BDE ∆的面积为 .16. 点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且||||22M F OF =，则该双曲线的离心率为 . 三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列}{n a 与}{n b 满足))((211*++∈-=-N n b b a a n n n n . （1）若11=a ，53+=n b n ，求数列}{n a 的通项公式；（2）若61=a ，)(2*∈=N n b n n 且λλ22++>n a n n 对一切*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围.18. d c b a ,,,四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人.第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者与负者；第二轮比赛（决赛）：两组中的胜者进行一场比赛争夺第1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名.四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：若抽签结果为甲组：c a ,；乙组：d b ,.每场比赛中，以双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率.（1）求c 获得第1名的概率；（2）以c 的名次X 的分布列和数学期望.19.如图，在多面体ABCDE 中，⊥DB 平面ABC ，DB AE //，且ABC ∆是边长为2的等边三角形，1=AE ，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为46. （1）若F 是线段CD 的中点，证明：⊥EF 平面DBC ；（2）求二面角B EC D --的平面角的余弦值.20.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,2(F ，且离心率为21.（1）求椭圆C 的方程；（2）设),(00y x P （00≠y ）为椭圆C 上一点，过F 作直线PF 的垂线，交y 轴于点Q ，已知点)1,8(-A ，)5,8(B ，记PFQPABS S ∆∆=λ，求λ的取值范围. 21.设函数bx x ax x f -+-=)1ln()1()(，其中R b a ∈,，曲线)(x f y =恒与x 轴相切于坐标原点.（1）求常数b 的值；（2）当10≤≤x 时，关于x 的不等式0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：5.10004.10000)10001001()1000010001(<<e . 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，EP 交圆于C E ，两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PD PG =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （1）求证：AB 为圆的直径；（2）若BD AC =，求证：ED AB =.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 213231（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若),(y x P 是直线l 与圆面)6sin(4πθρ-≤的公共点，求y x +3的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数||)(a x x f -=，R a ∈. （1）若1=a ，解不等式)1(21)(+≥x x f ；（2）记函数|2|)()(--=x x f x g 的值域为A ，若]3,1[-⊆A ，求实数a 的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．10004M =P ； 14．),8[]0,(+∞-∞ ； 15．534； 16．213+ 三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：（1）∵)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ， ∴6)5383(2)(211=--+=-=-++n n b b a a n n n n当2≥n 时，226222)()()(121112211+=+++=+-++-+-=+----n n n n n n n n a a a a a a a a当1=n 时，61=a ，符合上式.由λλ22++>n a nn 得：1122122+++=+>n n n nn λ，021221212≤-=-++++n n n n n n∴当21，=n 时，122++n n n取最大值43，故λ的取值范围),43(+∞. 18．解：（1）设a 分别与d c b ,,比赛时获胜的事件分别为d c b A A A ,,，则31)(=b A P ，32)(=c A P ，21)(=d A P .b 分别与dc a ,,比赛时获胜的事件分别为d c a B B B ,,，则32)(=a B P ，31)(=c B P ，21)(=d B P . c 分别与d b a ,,比赛时获胜的事件分别为d b a C C C ,,，则31)(=a C P ，32)(=b C P ，21)(=d C P . d 分别与c b a ,,比赛时获胜的事件分别为c b a D D D ,,，则21)(=a D P ，21)(=b D P ，21)(=c D P . 则c获得第1名的概率367212131322131)()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯=+=d b a b d a C P D P C P C P B P C P P .（2）c 的名次X 的取值有1，2，3，4，由（1）知367)1(==X P .若c 为第2名，则甲组中c 胜，且c 与乙组的胜者比赛时负， ∴365212131312131)()()()()()()2(=⨯⨯+⨯⨯=+==c b a c d a D P D P C P B P B P C P X P 若c 为第3名，则甲组中c 负，且c 与乙组的负者比赛时胜，∴1873614212132322132)()()()()()()3(==⨯⨯+⨯⨯=+==d d c b b c C P B P A P C P D P A P X P ∴185361036143653671)3()2()1(1)4(==---==-=-=-==X P X P X P X P . ∴X 的分布列为数学期望为4111854187336523671)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 19．（1）证明：取AB 的中点O ，连接OD OC 、，则⊥OC 平面ABD ，CDO ∠即是CD 与平面ABDE 所成角. ∴46=CD OC ，22=CD ，2=BD . 取ED 的中点G ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OGx 为z 轴建立如图空间直角坐标系，则)0,0,3(C ，)0,1,0(B ，)2,1,0(D ，)1,1,0(-E ，)1,21,23(F . 取BC 的中点M ，则⊥AM 平面BCD ，)0,23,23(=，)0,23,23(=，∴//，∴⊥EF 平面DBC .（2）解：由上面知: ⊥BF 平面DEC 又)1,21,23(-=，取平面DEC 的一个法向量)2,1,3(-=. 又)1,1,3(--=，)0,1,3(-=，设平面BCE 的一个法向量),,1(z y m =.由0=⋅，0=⋅，得平面BCE 的一个法向量)32,3,1(=. 则46||||,cos =>=<n m n m ∴二面角B EC D --的平面角的余弦值46. 20．解：（1）设)0,(c F ，则2=c ， ∵21=e ，∴42==c a ，∴124162=-=b . ∴所求椭圆C 的方程为1121622=+y x . （2）易知直线AB 的方程为8=x ∴),(00y x P 到直线AB 的距离为08x d -= ∴d d AB S PAB 3||21=⨯=∆. 又d x x x y x PF 21)8(41)161(12)2()2(||2020202020=-=-+-=+-=∴||41||||21FQ d FQ PF S PFQ ⨯=⨯=∆， ∵2||≥FQ ，∴d S PFQ 21≥∆，则62130=≤=<∆∆d dS S PFQPAB λ，∴λ的取值范围是]6,0(.21．解：（1）b xaxx a x f -+-++-=11)1ln()('，由0)('=x f ，∴01=-b ，1=b .（2）由（1）得x x ax x f -+-=)1ln()1()(，10≤≤x ，111)1ln()('-+-++-=xaxx a x f ， 22)1(12)1()1()1(1)(''x a ax x ax x a x a x f +++-=+--+-++-=. ①当21-≤a 时，由于10≤≤x ，有0)1()12()(''2≥+++-=x a a x a x f ，于是)('x f 在]1,0[上单调递增，从而0)0(')('=≥f x f ，∴)(x f 在]1,0[上单调递增，即0)0()(=≥f x f ，而且仅有0)0(=f ；②当0≥a 时，由于10≤≤x ，有0)1(12)(''2<+++-=x a ax x f ，于是)('x f 在]1,0[上单调递减，从而0)0(')('=≤f x f ，∴)(x f 在]1,0[上单调递减，即0)0()(=≤f x f ，而且仅有0)0(=f ； ③当021<<-a 时，令}12,1min{aa m +-=，当m x ≤≤0时，0)1()12()(''2≤+++-=x a a x a x f ，于是)('x f 在],0[m 上单调递减，从而0)0(')('=≤f x f ，∴)(x f 在],0[m 上单调递减，即0)0()(=≤f x f ，而且仅有0)0(=f ；综上，符合题意的]21,(--∞∈a . （3）对要证明的不等式等价变形如下：21100052100005.10004.10000)100011()1000011()10001001()1000010001(+++<<+⇔<<e e 所以可以考虑证明：对于任意的正整数n ，不等式2152)11()11(+++<<+n n n e n 恒成立.并且继续作如下等价变形：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++<-++⇔++<<++⇔+<<+++)(01)11ln()211()(01)11ln()521()11ln()21(1)11ln()52()11()11(2152q n n n p nn n nn n n n e n n n 对于)(p 相当于（2）中)0,21(52-∈-=a ，21=m 情形，有)(x f 在]21,0[上单调递减，即0)0()(=≤f x f ，而且仅有0)0(=f .取n x 1=，当2≥n 时，01)11ln()521(<-++nn n 成立；当1=n 时， 017.05712ln 5712ln )521(<-⨯<-=-+.从而对于任意的正整数n 都有01)11ln()521(<-++n n n 成立. 对于)(q 相当于（2）中21-=a 情形，对于任意]1,0[∈x ，恒有0)(≥x f 而且仅有0)0(=f .取n x 1=，得：对于任意的正整数n 都有01)11ln()211(>-++nn n 成立. 因此对于任意的正整数n ，不等式2152)11()11(+++<<+n n ne n 恒成立. 当00001=n 时，第一个不等号成立；当0001=n 时，第二个不等号成立. 即可得到5.10004.10000)10001001()1000010001(<<e 成立.请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.证明：（1）∵PD PG =，∴PGD PDG ∠=∠， ∵PD 为切线，∴DBA PDA ∠=∠， ∵EGA PGD ∠=∠，∴EGA DBA ∠=∠∴BAD EGA BAD DBA ∠+∠=∠+∠，∴PFA BDA ∠=∠，∵EP AF ⊥，∴ 90=∠PFA ，∴90=∠BDA ，∴AB 为圆的直径. （2）连结BC ，DC .∵AB 为圆的直径，∴90=∠=∠ACB BDA ，在BDA Rt ∆与ACB Rt ∆中，BA AB =，BD AC =， ∴BDA Rt ∆≌ACB Rt ∆，∴CBA DAB ∠=∠，∵DAB DCB ∠=∠，∴CBA DCB ∠=∠，∴AB DC //， ∵EP AB ⊥，∴EP DC ⊥， ∴DCE ∠为直角，∴ED 为圆的直径， ∵AB 为圆的直径，∴ED AB =.23.解：（1）∵圆C 的极坐标方程为)6sin(4πθρ-=，∴)cos 21sin 23(4)6sin(42θθρπθρρ-=-=. 又222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ， ∴x y y x 23222-=+，∴圆C 的直角坐标方程为032222=-++y x y x .（2）设y x z +=3，圆C 的方程032222=-++y x y x 化为4)3()1(22=-++y x ， ∴圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2，将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 213231（t 为参数）代入y x z +=3得t z -=，又∵直线l 过)3,1(-C ，圆C 的半径是2，∴22≤≤-t ，∴22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-24．解：（1）由于1=a ，故⎩⎨⎧≥-<-=1,11,1)(x x x x x f ，当1<x 时，由)1(21)(+≥x x f ，有)1(211+≥-x x ，解得31≤x ；当1≥x 时，由)1(21)(+≥x x f ，有)1(211+≥-x x ，解得3≥x . 综上，不等式)1(21)(+≥x x f 的解集为),3[]31,(+∞-∞ . （1）当2<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤-=2,22,22,2)(x a x a a x ax a x g ，)(x g 的值域]2,2[a a A --=.由]3,1[-⊆A ，得⎩⎨⎧≤--≥-3212a a ，解得1≥a ，又2<a ，故21<≤a ；当2≥a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤-=a x a a x a x x a x g ,22,222,2)(，)(x g 的值域]2,2[--=a a A .由]3,1[-⊆A ，得⎩⎨⎧≤--≥-3212a a ，解得3≤a ，又2≥a ，故32≤≤a .综上，所求实数a 的取值范围为]3,1[.。