数学人教版九年级下册相似三角形的应用----测量高度
人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例测量金字塔高度、河宽问题教学设计
-类似地，介绍如何利用相似三角形测量河宽等问题。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：组织学生进行小组讨论，共同探讨相似三角形在测量问题中的应用，并分享解题方法。
2.教学过程：
-将学生分成若干小组，每组选择一个测量问题进行讨论，如测量金字塔高度、河宽等。
-帮助学生梳理解决实际问题的步骤和思路。
6.课后作业：
-设计具有实际背景的测量问题，让学生课后独立完成。
-鼓励学生将所学知识运用到生活中，发现生活中的数学问题。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以埃及金字塔为背景，引导学生思考如何测量金字塔的高度。通过展示图片和实际案例，激发学生对相似三角形应用的好奇心。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-理解并掌握相似三角形在测量问题中的应用。
-学会运用相似三角形的性质进行实际问题的计算和分析。
2.教学难点：
-将相似三角形的理论知识与实际问题相结合，解决具体测量问题。
-在实际问题中，正确识别和运用相似三角形的条件，进行有效计算。
（二）教学设想
为了突破重难点，本节课将采用以下教学策略和方法：
人教版数学九年级下册27.2.3相似三角形的应用举例测量金字塔高度、河宽问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
本节课是关于相似三角形的应用举例，通过学习，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握相似三角形的性质及其应用，能够运用相似三角形的知识解决实际问题。
2.学会使用测量工具（如测高仪、皮尺等）进行实地测量，并能结合相似三角形的知识计算出实际问题的答案。
2.教学过程：
人教版九年级下册数学27.2.3：相似三角形的应用 举例 测量(金字塔高度、河宽)问题 课件 (共12张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
新人教版初中九年级数学下《相似三角形应用举例 测量(金字塔高度、河宽)问题》优质课教学设计_2
使学生了解数学建模思想，培养学生分析问题，解决问题的水平.
教学重点 教学难点
使用相似三角形的知识计算不能直接测量物体的长度和高度. 准确建立相似三角形模型.
教 学 过 程 设 计
教 学 程 序 及 教 学 内 容 情景引入 世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？ 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观 之一” ．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约 230 多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了 10 万人花了 20 年时间．原 高 146.59 米，但因为经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度 有所降低． 在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他 说： “听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！ ” ，这在 当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测 量大金字塔的高度的吗？ 利用相似三角形的知识能够解决一些不能直接测量的物体的长度和高度 的问题，引出课题 二、自主探究 教材 P48 例 3——测量金字塔高度问题 分析： 根据太阳光的光线是互相平 行的特点， 可知在同一时刻的阳光 下， 竖直的两个物体的影子互相平 行， 从而构造相似三角形， 再利用 相似三角形的判定和性质， 根据已 知条件，求出金字塔的高度． 思考：如果是阴天，没有阳光，你还能测量金字塔的高度吗？ 用镜面反射原理，如图，点 A 放置一面小镜子，根据光的反射定律：由 入射角等于反射角构造相似三角形△AOB 和△AFE，即可根据对应边的比 相等求出 BO 的长，从而解决问题. 教材 P49 例 4——测量河宽问题 分析：设河宽 PQ 长为 x m ，因为此种测量方法构造了三角形中的平行截 线，故可得到相似三角形，所以有 的方程可求出河宽． 思考：你还能够用什么方法来测量河的宽度？ 29 教师给出问题， 引导 到学生探究不同的 解题策略， 教师适时 点拨，引导 教 师 组 织 学 生 结 合 让学生实行观察， 常识： “在平行光线 分析，探究，交流解 照射下， 两个物体的 决实际问题，培养学 物 高 和 影 长 成 比 生使用数学知识解 例” ，实行独立思考， 决问题的水平，体验 再实行小组交流， 然 数学与生活的密切 后整理出求解过程. 关系. 教师提出新的问题， 让学生思考解决办 法，拓宽解题思路， 发散思维. 教师放映幻灯片， 显 示埃及金字塔图片， 介绍胡夫金字塔相 关知识， 通过泰勒测 量金字塔的高度问 题引入课题； 学生欣 赏金字塔图片， 了解 金字塔相关知识， 实 行充分的联想： 泰勒 是怎样测量金字塔 的高度的？初步感 知本节课的探究内 容 利用科学家泰勒测 量金字塔的高度的 历史故事引入课 题，激发学生的学 习热情. 师生行为 设 计 意 图
相似三角形的应用与位似-九年级数学下册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
相似三角形的应用与位似知识点一：相似三角形的应用：1.利用影长测量物体的高度：①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比和“在同一时刻物高与影长的比”的原理解决。
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。
2.利用相似测量河的宽度（测量距离）：①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。
3.借助标杆或直尺测量物体的高度：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。
【类型一：利用相似求高度】1．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．2．为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度ED的长约为1.75m，BC和CD的长分别为40m和1m，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF）3．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）【类型二：利用相似求高度】4．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC ＝1m，DE＝1.5m，BD＝9m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．5．如图，为了估算池塘的宽度AB，在池塘边不远处选定一个目标点C，在近河边分别选N，M．使得B，N，C三点共线，A，M，C三点共线且MN∥AB．经测量MN＝38m，CM＝21m，AM＝63m，求池塘AB 的宽度．6．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使AB与河岸垂直，在近岸取点C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE与BC交于点D．已测得BD＝30米，DC＝10米，EC＝11米，求河宽AB．【类型三：利用相似求其它】7．小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从测出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F，点B，E，F，D在同一水平线上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，观测仪AB高2m，观测仪CD高1m，BE＝1.6m，FD＝0.8m，深坑宽度EF＝8.8m，请根据以上数据计算深坑深度多少米？8．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．【同题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，本板到墙的水平距离为CD＝4m．图中点A，B，C，D在同一条直线上．（1）求BC的长；（2）求灯泡到地面的高度AG．9．如图①，有一块三角形余料△ABC，它的边BC＝10，高AD＝6．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，AD交PN于点E，则加工成的正方形零件的边长为多少？小颖解得此题的答案为415，小颖善于反思，她又提出了如下的问题： （1）如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成．如图②，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少？（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值以及这个矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长又分别是多少？10．为了在校园内有效开展劳动教育，东方红学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位1的Rt △ABC 的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在Rt △ABC 中，点P 是BC 边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．七年级为矩形AFPE部分，八九年级为△PEC和△BPF两部分．（1）若BP：PC＝2：3，求S△BPF；（2）已知BC＝2，S△ABC＝1．设BP＝x，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式．（3）在（2）的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大．求出七年级所分矩形AFPE部分的面积在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．知识点一：位似：1.位似的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线，对应边互相，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做。
人教版九年级数学下册第二十七章：利用三角形相似测量高度
∴ DF EF CB AB
AB DF
∴BC=
.
EF
【归纳】 在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例.
【追问】 你还有其他方法求旗杆的高度吗?
思路二
【小组讨论】 用什么方法可以测量操场旗杆的高度?
思路一 【思考】 (1)在同一时刻,物体的高度和影长有什么关系? (2)在操场上竖立一根长 1 米的标杆,画出同一时刻旗杆和木杆的影长. (太阳光线看作是平行的) (3)通过测量影子的长度,你能得到旗杆的高度吗? 【师生活动】 学生独立思考后画出图形,小组内交流测量旗杆的方法和思路,教师巡视过 程中帮助有困难的学生. 解:如图所示,测得同一时刻旗杆的影长 AB=a,标杆的影长为 EF=b.
(2)如图所示,利用平面镜构造直角三角形.
(3)如图所示,观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.
设计意图 解决生活实际问题——求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,思路一是在教 师问题的引导下,学生进行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解,然后 归纳结论. 思路二是提出结论开放性问题,学生通过小组合作交流,想出测量旗杆高度的多种 方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力. 小明想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为 1 m 的竹竿影长 0.9 m,但当他马 上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不会全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图所示, 他先测得留在墙上的影高 1.2 m,又测得地面部分的影长 2.7 m,求树高是多少.
【师生活动】 学生在教师的引导下独立思考,画出示意图,小组合作交流,共同探索解决 方法,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的小组,及时发现各小组不同的解题 思路,鼓励学生用不同方法解决问题. 解法 1:如图所示,过 D 作 DE⊥AB 于点 E,
九年级数学 利用相似三角形测高《测量旗杆的高度》
AB CA
5 1 AB 2
∴AＢ＝１０
答：Ａ．Ｂ两点间的距离是１０米
解决问题的方法：
1、找相似（三角形）； 2、找比例（对应边的比）.
B
D
法线
EA
C
怎么办？
方法3：利用镜子的反射.
测量数据：
眼睛到地面的距离DE
人与镜子间的距离AE
B
旗杆与镜子间距离AC
∵△ADE∽△ABC.
D
∴DE AE . BC AC
EA
C
分析三种方法的优点和缺点
１．测量数据较少，结果较准确；但需要有阳光 且要有影子． ２．不依靠影子，结果准确；但测量数据较多． ３．测量数据较少，不依靠影子；但镜子角度有 一点误差，结果就会误差很大．
D
影长BC
旗杆影长EF.
∵△ABC∽△DEF
A
∴ AC BC DF EF
B CE
F
方法2：利用标杆
C
E
A
M
N
B
F
D
怎么办？
方法2：利用标杆.
测量数据：
眼睛到地面的距离AB
标杆的长EF
人与标杆间的距离AM
C
旗杆与标杆间距离MN
E
∵△AEM∽△ACN
A
M
N
∴ CN AN . EM AM
B
F
D
方法3：镜子的反射
解：∵△CDE∽△ABE
CD DE AB BE
即：1.4 2.1 AB 18
解得：AB 12
答：树高为12米
A C
DE
B
如图,A、B两点分别位于一个池塘的两端,小芳想用绳 子测量A、B两点之间的距离,但绳子的长度不够,一位 同学帮她想了一个主意,先在地上取一个可以直接到达 A、B点的点C,找到AC、BC的中点D、E,并且测得 DE的长为5m,则A、B两点的距离是多少？
数学人教版九年级下册27.2.3相似三角形应用(1)测量高度、河宽
1．测量金字塔高度问题(阅读教材第39页例4)
分析：根据太阳光是平行光线，可知在太阳光下，同一时刻竖直的两个物体的影子互相平行(或在同一条直线上)，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？
你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？
[答案] 答案不唯一，如利用镜面反射原理．如图，点A处是一面小镜子，根据光的反射定
律，由入射角等于反射角构造相似三角形．解法略．
2．测量河宽问题(阅读教材第40页例5) 分析：由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得
到相似三角形，因此有PQ PS ＝QR ST ，即PQ PQ ＋45＝60
90
.再解关于PQ 的方程即可求出河宽． 问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？
2．测量河宽问题(阅读教材第40页例5)
分析：由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得
到相似三角形，因此有PQ
PS ＝QR
ST ，即PQ
PQ ＋45＝60
90
.再解关于PQ 的方程即可求出河宽． 问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？
[答案] 答案不唯一，如图构造相似三角形．解法略．。
用相似三角形测量高度
环境误差
由于环境因素（如风、温 度等）导致的误差。
误差的传播与控制
误差传播
在测量过程中，误差会随着测量量的增加而累积，导致最终 测量结果偏离真实值。
误差控制
通过采取有效措施，如使用高精度仪器、培训测量人员、多 次测量取平均值等，来减小误差。
实例二：用相似三角形测量山的高度
选择一个已知高度的物体作为参照， 如树木或建筑物。
在山脚下，用卷尺或激光测距仪测量 参照物和山顶之间的水平距离。
确定两个物体在同一垂直线上的两点 ，可以借助望远镜或瞄准器。
利用相似三角形的性质，计算山的高 度。
实例三：用相似三角形测量电线杆的高度
选择一个已知高度的物体作为参照，如电线杆或树木。
提高测量精度的措施
01
02
03
04
使用高精度仪器
选择精度较高的测量仪器，如 高精度的测距仪、望远镜等。
多次测量取平均值
对同一目标进行多次测量，并 取平均值作为最终结果，可以 有效减小随机误差的影响。
消除环境因素
在测量过程中尽量消除环境因 素的影响，如选择无风、温度 稳定的时间和地点进行测量。
培训测量人员
精细化：对于一些需要高精度测量的应用场景，可以研究更加精细的测量方法和技巧，以提 高测量精度。
未来发展方向与挑战
• 多维化：可以尝试将相似三角形测量方法扩展到多维空间 ，如同时测量高度和距离等参数。
未来发展方向与挑战
挑战
技术更新：随着科技的发展，需要不断更新和完善相似三角形测量方法 的理论和技术，以适应新的应用需求。
对测量人员进行专业培训，提 高他们的操作技能和读数准确
相似三角形的应用1——测高
(2)当镜子的高度取到最小值时，镜子下边挂在离地面多 高的位置时，恰好能看到自己的全身像？
M
(1)镜面的最小高度是
A
D
1
C
P F
C`
E 面的距离是:
B
N
1
人
镜
像
QN= CB
面
2
小结:
1、 实际问题
数学问题
数学问题的解
检验
2、 数学思想方法: 化归思想
小结
测高的方法 测量不能到达顶部的物体的
A
N M
D
B
CE
如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现 树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上， 测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度角，且测 得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多
少？A
D
B
4 30°
10
CE
思考题：镜子问题
(1)一面镜子垂直地面放置于墙壁上，平常的镜子较大 能看到自己的全身像，现在想把镜子高度缩小，但要求能 看到全身像，问能否求出镜子上下边之间的最小高度？
▪ 2. 我们应该掌握并应用一些简单的相似三 角形模型。
▪ 3.测高的方法
▪ 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用 “在同一时刻物高与影长的比例”的原理 解决
试一试 你还有什么方法吗？
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒 O’B’，比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB，即 可近似算出金字塔的高度OB. 如果O’B’＝1, A’B’＝2, AB＝274,求金字塔的高度OB
利用标杆
B
E
A
F
C
数学人教版九年级下册27.2.3相似三角形应用举例_测量(金字塔高度、河宽)
27.2.3相似三角形应用举例（1）测量(测量金字塔高度、河宽)潮阳区棉城中学黄秋生一、教学目标1.进一步巩固相似三角形的知识．2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．二、重点、难点1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．三、教学过程（一）复习回顾相似三角形的判定（1）定义.（2）预备定理：通过平行线.（3）三边成比例的两个三角形相似.（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（5）两角分别相等的两个三角形相似.相似三角形的性质（1）对应边成比例，对应角相等.（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比等于相似比.（3）相似三角形对应线段的比等于相似比.（4）相似三角形周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方.（二）知识新授活动一：知识抢答：师生共同探究：怎样测量旗杆的高度？作为新课铺垫新知探究：例1（测量金字塔高度问题）：例4.据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．活动二请设计一个利用相似来测量河宽的方案学生在小组内讨论交流，老师给出八年级全等三角形课后的一道题目提示学生，通过构造全等三角形测量出池塘两岸相对两点间的距离，类似的，能否构造相似三角形来测量河的宽度（测量河宽问题）例5．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．已知测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，请根据这些数据,计算河宽PQ．教师问：还可以用什么方法来测量河的宽度？学生在黑板上展示讲解解法二：如图构造相似三角形教师及时总结：（三）方法总结1. 相似三角形的应用主要有两个方面：（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。
九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形3相似三角形应用举例作业课件新版新人教版
6．(2020·上海)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示， 在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C， 视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝ 0.2米，那么井深AC为_________7米．
7．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时， 他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸 边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延 长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测 量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB的长度．
解：设 BN 的长为 x 米，则 BM＝x＋1.1＋2.8－1.5＝(x＋2.4)米．由题 意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB， ∴CADB ＝DBNN .同理，△EMF∽△AMB，∴AEFB ＝BFMM .∵EF＝CD， ∴DBNN ＝BFMM ，即1x.1 ＝x＋1.52.4 .解得 x＝6.6，∵CADB ＝DBNN ，∴A1.B6
解：∵BC⊥AD，DE⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴BDCE ＝AADB ，∴11.5 ＝ABA＋B8.5 ，解得 AB＝17 m.经检验，AB＝17 是 分式方程的解．答：河宽 AB 的长度为 17 m．
8．如图，某同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他 调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直 线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离 地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB是( D ) A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
人教版九年级下册数学第27章 相似 相似三角形应用举例 (3)
知1－讲
解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位
置点E与两棵树的顶端A，C恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK. ∴
EH AH ,
即
EH
解得EH=E8H(m).5
8 1.6 12 1.6
EK
6.4 . 10.4
CK
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距
解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，
因此BE=CD=1.2m，CE=BD=2.7m，
由
AE 1 , 可得AE=3m，
2.7 0.9
所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m).
答：这棵树的高为4.2m．
知1－导
归纳
知1－导
1.与测量有关的概念： (1)视点：观察物体时人的眼睛称为视点． (2)仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物 体的视线间的夹角称为仰角． (3)盲区：人的视线看不到的区域称为盲区． 2.测量原理：用标杆或直尺作为三角形的边，利用视 点和盲区的知识构造相似三角形．
A．3.25mB．4.25m C．4.45mD．4.75m
知1－导
问题
小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹 竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑 物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图， 他先测得留在墙上的影高l.2m， 又测得地面部分的影长2.7m，他求 得的树高是多少?
3 度是多少？
解：设这栋楼的高度是xm． 由题意得 x 1.8 , 90 3 解得x＝54.
因此这栋楼的高度是54m.
（来自教材）
知1－练
人教版数学九年级下册《测量(金字塔高度、河宽)问题》教案
人教版数学九年级下册《测量（金字塔高度、河宽）问题》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册《测量（金字塔高度、河宽）问题》这一节主要讲述了利用相似三角形来测量金字塔的高度和河宽。
在学习了相似三角形的性质和判定之后，学生已经具备了初步的数学建模能力，能够解决实际问题。
这一节内容旨在让学生将理论知识应用于实际问题，提高学生的动手实践能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形有一定的了解。
但是，将相似三角形应用于实际问题中，可能还需要一定的引导。
此外，学生可能对测量问题感到陌生，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解相似三角形在实际测量问题中的应用，学会使用相似三角形解决金字塔高度和河宽的测量问题。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生的动手实践能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形在实际测量问题中的应用。
2.难点：如何引导学生将相似三角形与实际测量问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动的教学法，引导学生通过实际操作，将相似三角形应用于测量问题中。
在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生提出问题、分析问题、解决问题。
同时，采用小组合作的学习方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、绳子等测量工具。
2.教学素材：金字塔和河宽的实际例子。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾相似三角形的性质和判定。
例如：“同学们，我们之前学习了相似三角形，那么相似三角形有哪些性质和判定方法呢？”2.呈现（10分钟）呈现金字塔和河宽的实际例子，让学生直观地了解测量问题的背景。
例如：“同学们，你们看看这个金字塔，我们如何才能求出金字塔的高度呢？”3.操练（10分钟）引导学生分组进行实际操作，使用测量工具（如三角板、直尺、绳子等）进行测量。
九年级数学人教版下册第27章《利用相似三角形测物高》优秀教学案例
本节课的教学内容与过程通过导入新课、讲授新知、学生小组讨论、总结归纳和作业小结等环节，系统地介绍了利用相似三角形测量物体高度的方法。在教学过程中，注重引导学生主动探究、合作学习，培养他们的逻辑思维、推理能力和团队协作能力。同时，通过实际问题的解决，使学生感受到数学在生活中的应用价值，激发他们对数学的兴趣和热情。在教学结束后，通过作业的布置和总结，巩固学生所学知识，提高他们的自我学习和评价能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个现实生活中的问题：“如何测量教学楼的高度？”引发学生的思考和兴趣。
2.引导学生回顾已学的相似三角形性质，提出问题：“能否利用相似三角形来解决这个问题？”
3.请学生分享他们在生活中遇到的其他测量问题，从而引出本节课的主题《利用相似三角形测物高》。
（二）讲授新知
（二）问题导向
1.引导学生发现并提出问题：“为什么利用相似三角形可以测量物体高度？”、“如何利用相似三角形测量物体高度？”
2.鼓励学生自主探究，引导学生运用已知的相似三角形性质解决问题。
3.设计具有梯度的问题，引导学生逐步深入探讨，如：“如果已知一个三角形的两边和夹角，如何求第三边？”、“在测量过程中，如何确保测量的准确性？”
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的性质，掌握利用相似三角形测量物体高度的方法。
2.能够运用相似三角形解决实际问题，提高解决生活中问题的能力。
3.掌握画高线的方法，能够正确作出物体的高度线。
4.学会使用尺规作图，提高作图能力。
（二）过程与方法
1.通过观察生活中的实例，引导学生发现相似三角形的性质在测量物体高度中的应用。
九年级数学《利用相似三角形测高》教案分析
九年级数学《利用相似三角形测高》教案分析九年级数学《利用相似三角形测高》教案分析学习目标的表述：1.通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，发展应用意识，加深对相似三角形的理解和认识。
2.分组合作利用影子，标杆，镜子，皮尺等工具结合所学相似知识测量物体高度。
在活动和交流中积累活动经验，激发学习兴趣，增强数学学习信心。
设置的依据：1.《课程标准》的要求（1）会利用三角形相似解决一些实际问题（2）参与动手操作的活动，发展空间观念及有条理的思考及表达能力。
在活动和交流中积累活动经验。
2.教材分析本节课介绍了利用相似三角形测量旗杆高度的几种方法，是在学习了相似三角形的判定定理之后的进行的，鼓励学生通过动手操作，通过观察思考，形成有关技能，并积累活动经验。
3.学情分析学生活动经验基础：在相关知识的学习和学生的实际生活中，学生已经经历了一些测量活动，解决过一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．评价任务的设计：先集中讨论，再确定测量方案。
（目标1）2. 分组实际操作，小组发言，总结交流。
（目标2）3.通过问题解决3加深对相似三角形的理解和认识。
（目标1）4.通过问题解决4使学生能解决具体的数学测量问题（目标2）设计意图：本节课的重点是利用相似三角形测高，也是贯穿于本节的一条主线，评价也要突出这一主线。
在活动中注重学生类比能力，想象能力，动手能力的合理评价，对能主动参与合作交流、积极操作、勇于发言、善于创新的行为给予及时的评价和鼓励。
教学设计学习目标学习活动评价标准教师活动目标达成情况反思与评价目标1：，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，发展应用意识，旧知链接相似三角形的定义2. 相似三角形的判定定理能用自己的语言说出相似三角形的定义和判定找2—3名同学回答，教师眼神注视大家，并对他们的给予回答肯定，同时也用动作提醒大家思考问题。
九年级数学利用相似三角形测高ppt优秀课件
第6节 利用相似三角形测高
方法1:利用阳光下的影子
要点
方法一：把太阳光近似地看成平行光线,那么有 AB//DE.
E
人高
人影长度
=
旗杆高
旗杆影子长度
B
A CD
测量数据：BC(身高)，
F
AC(人影长)，
易得：△ＡＢＣ∽△ＤＥF
DF(旗杆影长)；
所求数据：EF(旗杆高)．
∴ BECF＝ADFC
例2
小结 拓展
本节课你有哪些收获(知识方面和操作方 面)？
布置 作业
《小灰》72页到73页
练习1:如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得 AB=2m,BC=14m,那么楼高CD为________m.
方法2:利用标杆
B
E
A
F
C
M
D
N
要点
方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶 端“三点共线〞，标杆与地面要垂直。
易得：△AＥＦ∽ △ＡＢＣ
B
∴ ＡＦ ＝ＥＦ ＡＣ ＢＣ
试一试小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长
BA为15米(如图),然后在A处竖立一根高2米的 标杆,测得标杆的影长AC为3米,那么楼高为______米。
例1 如图,晚上小亮走在大街上.他发现:当他站在大街两边的两盏路 灯之间,并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时, 自己右边的影子长为3米,左边的影子长为1.5米,自己身高1.80米, 两盏路灯的高相同,两盏路灯之间的距离为12米,求路灯的高.
BN=BC+CN
E
A
F
M
D
测量数据：AM(人眼距地面的高度)， ED(标杆高)，
九年级数学 利用相似三角形测高 知识点精讲 教案 课件
九年级数学利用相似三角形测高知识点精讲
知识点总结
测量原理：同一时刻物高与影长成比例，即相似三角形的对应边成比例。
测量方法：在同一时刻测量出人高、人的影长和旗杆的影长，再计算出旗杆的高度。
可测数据：人高、人的影长和旗杆的影长。
【注意】
太阳光可近似看成平行光线。
同一时刻，同一地点，在太阳光下：
1典例解析
某同学的身高为1.66m,测得他在地面上的影长为4.98m,如果这时测得操场上旗杆的影长为42.3m,那么该旗杆的高度是多少米?
【分析】本题主要考察了同一时刻,不同物体的高度与影长之比为定值,即.例如本题,在设出旗杆的高度为xm后,结合上述知识即可得到关于x的方程,解方程即可解答此题
1、观察题目信息,设旗杆的高度为x米,想一想人的高度、人的影长、旗杆高度、旗杆影长有什么关系?
2、根据
即可列出关于x的方程,解方程即可解答本题。
【解答】
解:设旗杆的高度为xm,则
解得x=14.1
答:旗杆的高度为14.1m.
2拓展提升
如图，两根木竿AB、QP在平行的太阳光线AC、QN下的影子如图所示，其中木竿AB=2米，它的影子BC=1.6米，木竿PQ的影子有一部分MN落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木竿PQ的长度。
【分析】过点N作ND⊥QP于D，则△ABC∽△QDN，根据相似三角形的性质即可求出QD的长度，将其代入QP=QD+DP即可求出木竿PQ的长度．
【解答】
过点N作ND⊥QP于D,则△ABC∽△QDN,如图所示。
∴
∴QD=1.5，
∴QP=QD+DP=2.3.
答：木杆长2.3米。
图文导学。
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建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
（四）收获体会与作业
1.通过今天的学习，你有什么收获与体会？ （1）利用相似三角形来测量高度的方法. （2）解决过程中要实行数学建模: 审题--画示意图--明确数量关系--解决问题 2.作业：习题27.2 第1高度
学习目标
1.在测量旗杆、金字塔等的具体情境中进一步理解相似 三角形的概念及其性质；
2.在探究的过程中构造出相似三角形，并能够运用相似
三角形的相关知识解决实际问题； 3.经历数学活动，体验主动探究的成功与快乐，感受数 学活动中充满着探索与创造的机遇。
（一）创设情境
你怎样测量旗杆的高度？
(三) 学以致用
例. 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方 法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一 根已知长度的木棒EF，比较棒子的影长AD与金字 塔的影长OA，即可近似算出金字塔的高度OB． 如果EF＝2，AD＝3，OA＝201，求金字塔的高度 OB。 B .
如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光
源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，
且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为 ______cm．
（二）探索新知
问题：
1.怎样测量旗杆的高度?
2.怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度?
3.如果给你以下工具：一块平面镜、一根长1M的标杆，
E
O
A（F）
D
练习
1.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小 树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的 一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在 墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米
，那么这棵大树高多少米?
2. 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一