宁夏银川市第二中学2017-2018学年高三上学期统练(二)理数试题 Word版含解析

2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.设集合 }5,2{},3,2,1{},6,5,4,3,2,1{===B A U ，则)(B C A U ⋂= （ ） A ．{1，3 } B ．{ 2 }
C ．{2，3}
D ．{ 3 }
【答案】A 【解析】
试题分析：因为{1,3,4,6}U C B =，所以(){1,2,3}{1,3,4}{1,3}U A C B ==，选A. 考点：集合运算
2.在等差数列{}n a 中，若,32=a 943=+a a ，则
61a a = ( )
A ．18
B ．14
C ． 2
D ． 27 【答案】B
考点：等差数列通项
3. 函数f (x )＝x 3
＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( )
A ．10
B ．5
C ．－1
D ．3
7
-
【答案】D. 【解析】
试题分析：因为2()34f x x '=+，所以(1)7k f '==，切线方程为：
(1)7(1)107(1)y f x y x -=-⇒-=-，令0y =得3
7
x =-，选D.
考点：导数几何意义
4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则 1a = ( ) A.
31 B.31- C.9
1
- D. 91
【答案】D 【解析】
试题分析：23211232131101099S a a a a a a a a a q =+⇒++=+⇒=⇒=，因此由4251111
99999
a a q a a =⇒=⇒=⇒=
，选D. 考点：等比数列通项
5. 将函数)6
2sin(π-=x y 图象向左平移4
π
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )
A ．12
x π
= B ．6
x π
=
C ．3
x π
=
D ．12
x π
=-
【答案】A.
考点：三角函数图像与性质
6.已知||＝1，||＝2，与的夹角为
60，则＋在上的投影为 ( ) A ． 1 B ．2 C ．
772 D ．7
7
【答案】B 【解析】
试题分析：a ＋b 在a 上的投影为()
112cos602||
a a
b a ⋅+=+⨯⨯=，选B. 考点：向量投影
7.已知()πα,0∈，2
2
)3cos(-
=+
π
α，则=α2tan （ ）
A ．33 B.3-或33- C.3
3- D.3-
【答案】C 【解析】
试题分析：()40,,333π
ππαπα⎛⎫∈⇒+
∈ ⎪⎝⎭，因此由2
2)3cos(-=+πα得
355,,2,tan 23
4126π
πππαααα+
=
===选C. 考点：特殊角三角函数值
8. 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN AB AC λμ=+，则λ＋μ的
值为( )
A ． 12
B . 1
3 C . 1
4 D ．1
【答案】A. 【解析】
试题分析：因为222AM AN AB AC λμ==+，所以1
221,,2
λμλμ+=+=选A. 考点：向量共线表示
9.已知p ：函数2()21(0)f x ax x a =--≠在（0，1）内恰有一个零点； q ：函数2a
y x
-=在(0,)+∞上是减函数，若p 且q ⌝为真，则实数a
的取值范围是 （ ） A ．1a > B ．a ≤2 C ． 1<a ≤ 2 D ．a ≤ l 或a >2
【答案】C
考点：真假
10. ABC ∆中，角,,A B C 成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A. 【解析】
试题分析：由题意得：
sin()sin )cos cos sin cos cos 0tan A B A A B A B A B A B +=+⇒⇒==或即2
3
A B π
π
=
=
或，而角,,A B C 成等差数列，则3
B π
=
，因此角,,A B C 成等差数列是
sin sin )cos C A A B =+成立的充分不必要条件，选A.
考点：充要关系
11.在正项等比数列{a n }中，存在两项n m a a ,，使得n m a a ＝41a ,且5672a a a +=, 则
n m 5
1+
的最小值是 ( ) A ．
4
7
B ．1＋35
C ．
6
25
D ．
3
5
2 【答案】A 【解析】
试题分析：2765221(),2a a a q q q q =+⇒=+⇒=-=舍；由n m a a ＝41a 得22
4m n q +-=，即
222
2
2,6m n m n +-=+=，因此
n
m 51+151511
()(6)(6(66666m n n m m n m n +=+=++≥+=+，但等于号取不到，从而逐一验证12345,,,,,54321m m m m m n n n n n =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩得24m n =⎧⎨=⎩时n m 51+ 取最小值为4
7
，选A.
考点：等比数列性质
12.函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，
OM ON ⋅的取值范围为 ( )
A ．[)+∞,12
B ．[]3,0
C ．[]12,3
D ．[]12,0 【答案】D
考点：线性规划求最值
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.已知⊥，2=a
，3=b ，且2+与-λ垂直，则实数λ的值为 ；
【答案】
2
9 【解析】
试题分析：由题意得：229
(2)()02.2
a b a b a b λλλ+⋅-=⇒=⇒=
考点：向量数量积
14.已知数列}{n a 的前n 项的和n S 满足n S n =+)1(log 2,则n a = ； 【答案】12-n
考点：数列通项
15.已知函数()2sin(),(0)6f x x π
ωω=+>的图象与y 轴交于P ，与x 轴的相邻两个交点
记为A ，B ，若△PAB 的面积等于π，则ω＝________． 【答案】
12
【解析】
试题分析：由题意得：(01)2T P AB πω==，，,因此11
1==.22
ππωω⨯⨯， 考点：三角函数性质
16.ABC ∆为锐角三角形，内角C B A ,,的对边长分别为 c b a ,,，已知 2=c , 且A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，则a 的取值范围是______________;
【答案】)3
3
2,552( 【解析】
试题分析：
sin sin()2sin 2sin()sin()2sin 22sin cos 4sin cos C B A A A B B A A B A A A +-=⇒++-=⇒=，因
为ABC ∆为锐角三角形，所以sin 2sin 2B A b a =⇒=，因为ABC ∆为锐角三角形，所以2222220,0,a b c a c b +->+->即2254,34,a a ><解得a 的取值范围是)3
3
2,552(
考点：正弦定理，余弦定理应用
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分12分） 已知等差数列{}n a 中,,21=a 1053=+a a . （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令1+⋅=n n n a a b , 证明:
2
1
11121<⋅⋅⋅⋅++n b b b . 【答案】（1）1+=n a n （2）详见解析
考点：等差数列通项，裂项求和
18.（本小题满分12分）f(x)=.，其中向量=(m,cos2x), =(1+sin2x,1)，x R ∈，且
函数()y f x = 的图象经过点(,2)4
π
．
（Ⅰ）求实数m 的值.
（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

【答案】（Ⅰ）1m =（Ⅱ）最小值为13|,8x x k k Z ππ⎧
⎫=-
∈⎨⎬⎩
⎭
考点：向量数量积，配角公式，三角函数性质
19.（本题满分12分）如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B =
，1
cos 4
ADC ∠=-．
（1）求sin BAD ∠的值； （2）求AC 边的长．
【答案】（12）4
【解析】
试题分析：（1）利用角的关系BAD ADC ABD ∠=∠-∠,再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD 中，由正弦定理解出BD 长，即CD 长：由正弦定理,得
sin sin AD BD
B BAD
=∠,
=
解得2BD =…故2DC =；再在三角形ADC 中由余弦定理解出AC ：
2
2
2
2cos AC AD DC AD DC ADC
=+-⋅∠22
132232()164
=+-⨯⨯⨯-=；
AC= 4
考点：正余弦定理 20.（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 是递增数列，,3252=a a 1243=+a a ，数列{}n b 满足
11=b ，且n n n a b b 221+=+（+∈N n ）
（1）证明：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n a b 是等差数列； （2）若对任意+∈N n ，不等式n n b b n λ≥++1)2(总成立，求实数λ的最大值． 【答案】（1）详见解析（2）12． 【解析】
试题分析：（1）求等比数列通项公式，一般利用待定系数法，求出首项及公比，代入通项公式1
1n n a a q
-=即可。

本题先利用等比数列性质转化条件25343232a a a a =⇒=；再结合
1243=+a a 联立方程组解出34,a a ，根据等比数列{}n a 递增性，舍去一解，最后根据4
3
a q a =
求出公比及首项。

证明数列为等差数列，一般利用定义进行证明，即证
11n n
n n
b b a a ++-为一个常数（2）不等式恒成立，先利用变量分离，转化为研究函数最值，即1
min (2)[
]n n
n b b λ++≥，而11(2)(2)(1)22
2(3)2n n n n n b n n n b n n
+-+++==++⋅，其最值可由单调性给予解决，
考点：等比数列通项公式，等差数列定义，不等式恒成立 21.（本小题满分12分）
已知函数()()
ln x
f x e a =+（a 为常数，e 为自然对数的底数）是实数集
R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数．
(1)求实数a 的值；
(2)若()2
1g x t t λ≤++在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围；
(3)讨论关于x 的方程
()
2ln 2x
x ex m f x =-+的根的个数．
【答案】(1) 0a = (2) 1t ≤- (3) 当2
1m e e ->
，即2
1m e e
>+时，方程无实根； 当21m e e -=，即21m e e =+时，方程有一个根；当21m e e -<，即2
1m e e
<+时，方程有
两个根． 【解析】
试题分析：(1)由奇函数性质可得()()
ln ln x x
e a e a -+=-+，根据恒等式关系
()0x x a e e a -++=可得实数a 的值(2)先根据函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是
减函数，'()0g x ≤恒成立，得出参数λ取值范围，而不等式恒成立，一般转化研究对应函数最值，即()max g x 21t t λ≤++，再转化为不等式2(1)sin110t t λ++++≥关于参数λ恒成立，利用一次函数性质得不等关系2
10,sin10,
t t t +≤⎧⎨-+≥⎩，解不等式组就可解得实数t 的取值范围(3)
化简方程得：
2ln 2x
x ex m x
=-+，这可看作两个函数212ln (),()2x f x f x x ex m x ==-+，利用导数研究它们值域包含关系，就可研究根的个数
(3)由(1)知方程2ln 2()x x ex m f x =-+，即2ln 2x x ex m x
=-+， 令212ln (),()2x f x f x x ex m x
==-+ 12
1ln '()x f x x -= 当(]0,x e ∈时，11'()0,()f x f x ≥∴在(]0,e 上为增函数；
当[,)x e ∈+∞时，11'()0,()f x f x ≤∴在[,)e +∞上为减函数；
当x e =时，1max 1()f x e =
． 而2222()2()f x x ex m x e m e =-+=-+-
当(]0,x e ∈时2()f x 是减函数，当[,)x e ∈+∞时，2()f x 是增函数，
∴当x e =时，22min ()f x m e =-． 故当21m e e ->，即21m e e
>+时，方程无实根； 当21m e e -=，即21m e e
=+时，方程有一个根； 当21m e e -<，即21m e e <+时，方程有两个根． 考点：奇函数性质，不等式恒成立，函数与方程
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

22.(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .
(1)证明：CD ∥AB ；
(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，
证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．
【答案】（1）详见解析，（2）详见解析
(2)由(1)知，AE ＝BE ，因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，
从而∠FED ＝∠GEC.
连接AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE ＝∠GBE.
又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠FAB ＝∠GBA ，
所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°，故A ，B ，G ，F 四点共圆． 考点：圆内接四边形
23.(本题满分10分) 选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2
＝4. (Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2交点的极坐标；
(Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 【答案】(Ⅰ) ρ＝2，ρ＝4cos θ. (2，3π)，(2，－3π)．(Ⅱ) 1,,tan ,
x y θ=⎧⎨=⎩－3π≤θ≤3π.
考点：极坐标方程、直角坐标方程、参数方程之间转化
24.(本题满分10分). 选修4-5：不等式选讲
已知a ，b ，c ∈R +
，求证：
(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c 2)≥16abc ；
【答案】（1）详见解析，（2）详见解析
【解析】
考点：利用基本不等式证明。