高考数学第一轮复习单元试卷5-三角函数的证明与求值

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高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及答案

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()(|sin |cos )(sin cos )f x x x x x =-+，x ∈R ，则（）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 是周期为2π的函数C ．()f x 有对称轴D ．函数()f x 在(0,2)π上有3个零点【答案】BD 【分析】先判断出()f x 是周期为2π的函数，再在给定的范围上研究()f x 的单调性和零点，从而可判断BCD 的正误，再利用反证法可判断C 不正确. 【详解】因为[][]()(2)|sin(2)|cos(2)(sin(2)cos(2))f x x x x x f x πππππ+=+-+⋅+++=，故()f x 是周期为2π的函数，故B 正确. 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22()sin cos cos 2f x x x x =-=-，因为220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而cos y u =-在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，故()cos2f x x =-在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故A 错误.由(sin cos )(sin cos )002x x x x x π⎧-+=⎨<<⎩可得4x π=或34x π=或74x π=，故D 正确.若()f x 的图象有对称轴x a =，因为()f x 的周期为2π，故可设[)0,2a π∈，则()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立，所以()()02f f a =即1(|sin 2|cos 2)(sin 2cos 2)a a a a -=-+①，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a =--+②，也有222f f a ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1(|cos 2|sin 2)(cos 2sin 2)a a a a -=+-③，由②③可得cos 2sin 20cos 2sin 2cos 2sin 2a a a a a a -≠⎧⎨+=-⎩，故sin 20a =，由①②可得cos21a =-，故π2a或32a π=.若π2a，则21116222f π⎛⎛⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而2713131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若32a π=，则21913131362226f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-+≠- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与()()2f x f a x =-对任意的x ∈R 恒成立矛盾，故D 不成立. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：与三角函数相关的函数性质的研究，应该依据一定次序，比如先研究函数的奇偶性或周期性，再根据前者把函数的研究限制在一定的范围内进行讨论.2．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆 C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 533 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===， 3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，2sin ,sin B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补，由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===2222221311cos 221332DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )cos 422ABC S θθ∴=⋅-=-△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin 2ABCADCABCD S S Sθθ∴=+=-+四边形13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确；故选：AC.．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．3．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =--C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=，整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+，即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=，即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.4．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =，函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =，当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=，当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．5．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==，所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确；对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈，所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．6．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+= ）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α；根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 555αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=，由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()0αβ+=<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()10αβ+=-，所以34cos()cos[()2]55βααβα⎛⎛⎫-=+-=-+⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-，所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误．故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()0αβ+=<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.7．在ABC 中，下列说法正确的是（） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减，此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>；若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->，于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<，此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.8．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的初相为6π- B ．若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(0,2]ω∈ C ．若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω可以为12D ．将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到的新函数是偶函数，则ω可以为2023【答案】AB 【分析】根据选项条件一一判断即可得结果. 【详解】A 选项：函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的初相为6π-，正确； B 选项：若函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2266k ππωππ-+≤-，2362k πωπππ-≤+，k Z ∈，所以21226k k ω-+≤≤+，k Z ∈，又因为0ω<，则02ω<≤，正确；C 选项：若函数()f x 关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则,26k k Z πωππ-=∈，所以12,3k k Z ω=+∈故ω不可以为12，错误； D 选项：将函数()f x 的图象向左平移一个单位得到()12sin 6f x x πωω⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭是偶函数，则,62k k Z ππωπ-=+∈，所以2,3k k Z πωπ=+∈故ω不是整数，则ω不可以为2023，错误；故选：AB 【点睛】掌握三角函数图象与性质是解题的关键.二、数列多选题9．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+，所以2021201920182a a a =+，所以B 正确；因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误；因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（） A ．24a = B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <【答案】ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=，所以2n ≥时，2422n n n a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.。

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题5-1任意角和弧度制及任意角的三角函数-教师版

专题5.1任意角和弧度制及任意角的三角函数练基础1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P -则cos α=（）A ．12B ．12-C．5D．5-【答案】D 【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos 5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P -，则cos α=（）A ．1010B ．1010-C ．31010-D ．【答案】C 【解析】由三角函数的定义即可求得cos α的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cos α∴==．故选：C ．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1rad≈57.30°，所以－2rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90 小于180 的角，显然钝角是第二象限角.故①正确；对于②：锐角是大于0 小于90 的角，小于90 的角也可能是负角.故②错误；对于③：359- 显然是第一象限角.故③错误；对于④：135 是第二象限角，361 是第一象限角，但是135361< .故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad ≈ ，所以5557.3=286.5rad ≈⨯ ，是第四象限角.故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A ．55厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B 【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）．故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（）A ．43πB ．πC ．23πD ．3π【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：因为扇形的半径2r =，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=，故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果.【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r =，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=.故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y .【详解】由三角函数的定义可得sin 3α==，故y =故答案为：.10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】12-【解析】利用分段函数直接进行求值即可．【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝，∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：12-.练提升1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（）A．1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B．1,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C．,221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了.【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得13(,)22P '-.故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答.【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=,则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解.【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈，由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈¿，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（）A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=.【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=,所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60 的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（）A ．2B ．4C ．2πD ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解.【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，过点O 作OD CD ⊥，在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=，又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4.故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（）A ．2236B ．2236+C ．2616D ．2616+【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α.【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角)∵α为锐角，∴5336πππα<+<，∴sin(03πα+>22sin()sin sin()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎣⎦221132332326⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan(4πα+=（）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【答案】B 【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可．【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan(41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-.故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A．6-B．6C．6+D．6-【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则63x =±，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍.【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角，根据题意角β终边交单位圆于3,3P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2113x +=，则63x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以332sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ-⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若63x =-，则36sin ,cos 33ββ==-所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.故选：C9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解.【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒，因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈，所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈．故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示. QRT是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =. QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==. QRT与 QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .36π+【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积.【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为3sin 2QO QPO PQ ∠==，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(3)(231)3dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.36π.练真题1．（全国高考真题）已知角的终边经过点(−4,3)，则cos =（）A．45B．35C．−35D．−45【答案】D 【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cos ==−45.故选D.2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（）A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以34244,k k k Zππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D.方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点1 ，，2 ，，且cos2=23，则−=A．15D．1【答案】B【解析】由s s 三点共线，从而得到=2，因为cos2=2cos 21=2⋅2−1=23，解得2=15，即=5所以−=−2=B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________.【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-.6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。

河北省高考数学一轮复习知识点攻破习题三角函数式的求值、化简与证明

三角函数式的求值、化简与证明时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列各式中，值为32的是( )A ．2sin15°cos15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215° 解析：cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32.答案：B2．已知角α在第一象限且cos α＝35，1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝( )A.25 B.75C.145D ．－25解析：∵角α是第一象限角且cos α＝35，∴sin α＝45，∴1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2cos α＋2sin α＝145，故正确答案是C.答案：C3．设a ＝12(sin56°－cos56°)，b ＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，c ＝12(cos80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：∵a ＝sin56°·22－cos56°·22＝sin(56°－45°)＝sin11°，b ＝cos50°·(－cos52°)＋cos40°·cos38° ＝－sin40°·cos52°＋cos40°·sin52°，＝sin(52°－40°)＝sin12°.c ＝12(cos80°＋1－2cos 250°)＝12(2cos 240°－2sin 240°)＝cos80°＝sin10°. ∴b >a >c . 答案：B4．已知sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1解析：由|sin α|≤1，|sin β|≤1及sin αsin β＝1可得cos αcos β＝0，于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.答案：A5．已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >0)的两根为tan α、tan β，且α，β∈(－π2，π2)，则tanα＋β2的值是( )A.12 B ．－2 C.43 D.12或－2 解析：∵a >0，∴tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝3a ＋1>0，α、β∈(－π2，π2)，∴α、β∈(－π2，0)，则α＋β2∈(－π2，0)，又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－4a 1－(3a ＋1)＝43，∴tan(α＋β)＝2tan α＋β21－tan 2α＋β2＝43，整理得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2＝－2，故选B. 答案：B6．(2010·衡阳联考)如图1，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA →围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则sin θ6＋cos θ6的值是( )图1A ．1 B.12C ．－1D ．－12解析：结合图形易知θ＝6π，∴sin θ6＋cos θ6＝－1.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)7．计算sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)2cos α＝________.解析：sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝32sin α＋12cos α＋12cos α－32sin α＝cos α，则所求答案为12.答案：128．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足cos A (sin B ＋cos B )＋cos C ＝0，则∠A ＝________. 解析：由题意得cos A (sin B ＋cos B )－cos(A ＋B )＝0，展开并整理得sin B (cos A ＋sin A )＝0，又sin B >0，因此cos A ＋sin A ＝0，tan A ＝－1，又A ∈(0，π)，因此∠A ＝3π4.答案：3π4(或135°)9．(2010·东城目标检测)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为__________．解析：由a 1＋a 5＋a 9＝π，得a 5＝π3，a 2＋a 8＝2a 5＝2π3，∴cos(a 2＋a 8)＝－12.答案：－1210．(2009·西城抽样)给出下列四个函数： ①y ＝sin x ＋cos x ；②y ＝sin x －cos x ；③y ＝sin x ·cos x ；④y ＝sin xcos x.其中在(0，π2)上既无最大值也无最小值的函数是______．解析：对于①，注意到当x ∈(0，π2)时，函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)有最大值2；对于②，注意到当x ∈(0，π2)时，x －π4∈(－π4，π4)，sin(x －π4)∈(－22，22)，此时y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)既无最大值也无最小值；对于③，注意到当x ∈(0，π2)时，2x ∈(0，π)，此时函数y ＝sin x cos x ＝12sin2x 有最大值12；对于④，当x ∈(0，π2)时，y ＝sin xcos x＝tan x 是增函数，此时该函数既无最大值也无最小值．综上所述，其中在(0，π2)上既无最大值也无最小值的函数是②④.答案：②④三、解答题(共50分)11．(15分)已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝13，求tan α和tan β的值．解：∵cos α＝35，且α为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝1－(35)2＝45.∴tan α＝sin αcos α＝43.于是tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan(α－β)1＋tan αtan(α－β)＝43－131＋43·13＝913.12．(15分)(2009·广东高考)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)． (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值．解：(1)∵a ⊥b ，则a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝±255，cos θ＝±55，又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2.则cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010，∴cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝22. 13．(20分)(2009·山东青岛模拟)已知二次函数f (x )对于任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，设向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(2sin θ，12)，c ＝(cos2θ，1)，d ＝(1,2)，当θ∈[0，π]时，求不等式f (a ·b )>f (c ·d )的解集．解：∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴f (x )的对称轴为x ＝1，∵a ·b ＝2sin 2θ＋1≥1，c ·d ＝cos2θ＋2≥1，不妨设f (x )的二次项系数为m ，①当m >0时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，由f (a ·b )>f (c ·d )得2sin 2θ＋1>cos2θ＋2， ∴cos2θ<0.∵θ∈[0，π]，∴π4<θ<3π4. ②当m <0时，f (x )在[1，＋∞)上为减函数，则2sin 2θ＋1<cos2θ＋2，∴cos2θ>0.∴0≤θ<π4或3π4<θ≤π.∴当二次项系数为m >0时，原不等式的解集为(π4，3π4)当二次项系数m <0时，原不等式的解集为[0，π4)∪(34π，π]．。

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弘知教育内部资料中小学课外辅导专家三角函数典型习题1 ．设锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a，b， c , a 2bsin A .(Ⅰ)求B的大小 ;(Ⅱ )求cos A sin C的取值范围 .A B C在中 ,角A, B,C所对的边分别为，， 2 .ABC c , sin sin2 ． 2 2（I）试判断△ABC的形状 ;（I I）若△ABC的周长为 16,求面积的最大值 .3 ．已知在ABC 中, A且与tan B是方程 x2 5 x 6 0 的两个根.B , tan A(Ⅰ )求tan( A B) 的值;(Ⅱ )若 AB 5 ,求BC的长.4．在ABC 中,角A．B．C所对的边分别是a,b,c,且a2 c 2 b 2 1 ac.A C 2(1)求sin2 cos 2B 的值;2(2)若 b=2,求△ABC面积的最大值 .5．已知函数f ( x) 2sin 2 π3 cos2x ， xπ π．x4，4 2（1）求f ( x)的最大值和最小值；（2）f ( x) m 2 在 x π π上恒成立，求实数m 的取值范围．，4 26．在锐角△ABC 中,角．．的对边分别为a、b、已知(b2 c 2 a 2) tanA bcA B C c, 3 .(I)求角 A;(II)若 a=2,求△ ABC面积 S 的最大值 ?7．已知函数f ( x) (sin x cos x)2 +cos2 x .(Ⅰ )求函数f x 的最小正周期 ;(Ⅱ )当x 0,2时 ,求函数f x 的最大值 ,并写出 x 相应的取值 .8 ．在ABC中,已知内角 A ． B ． C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 向量r2sin B, rcos2B, 2cos2 B1r rm 3 , n 2 ,且m / / n ?(I)求锐角 B 的大小 ;(II)如果b 2 ,求ABC 的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】 :(Ⅰ )由 a2b sin A ,根据正弦定理得 sin A2sin B sin A ,所以 sin B ,2π由ABC 为锐角三角形得B.6(Ⅱ ) cos A sin C cos A sinAcos A sin6Acos A13 sin Acos A223 sin A .32【解析】 :I. sinC sin C cos C sin C 2 sin( C)C2 22 2 2 4即 C ,所以此三角形为直角三角形 .2422II. 16 a b22ab2ab , ab64(22) 2a b 时取等ab2 当且仅当号,此时面积的最大值为326 4 2 .3【解析】 :(Ⅰ )由所给条件 ,方程 x 2 5 x 6 0 的两根 tan A 3, tan B2 .∴ tan( A B)tan A tan B2 311 tan A tan B 12 3(Ⅱ)∵ A B C 180 ,∴ C180 (A B) .由(Ⅰ )知 , tanCtan( A B)1,∵ C 为三角形的内角 ,∴ sin C22∵ tan A3 , A 为三角形的内角 ,∴ sin A3 ,10由正弦定理得 :AB BC5 3 ∴ BC 3 5 .21028【解析】 :(1)r r2sinB(2cos 2 B m / / n-1)=- 3cos2B22sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32ππ ∵ 0<2B< π,∴ 2B= 3 ,∴ 锐角 B=3(2)由 tan2B=- 3π 5πB= 或63π① 当B= 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :34=a 2+c 2 -ac ≥ 2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立 )1 3∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB= 4 ac ≤ 3∴△ ABC 的面积最大值为 35π ② 当 B= 6 时 ,已知 b=2,由余弦定理 ,得 :4=a 2+c 2 + 3ac ≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立 )∴ac ≤ 4(2-3)1 1∵△ ABC 的面积 S △ABC =2 acsinB=4ac ≤2- 3 ∴△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】 :(1) 由余弦定理 :cosB=4sin 2A C+cos2B=124(2)由 cos B1,得 sin B15. ∵ b=2,44a218 115 2+ c =2ac+4≥2ac,得 ac ≤ ,S △ABC =2acsinB ≤(a=c 时取等号 )33故 S △ABC 的最大值为 1535 【解析】∵f ( x) 1 π3 cos2 x 1 sin 2x 3cos2 x（ Ⅰ ）cos2x21 2sin 2xπ．3又∵ xπ ππ 2xπ 2π，， ∴≤≤，4 2633即2≤12sin 2xπ≤ 3，3∴ f ( x) max 3， f ( x) min 2 ．（Ⅱ ） ∵ f ( x)m 2f (x) 2 mf (x) 2 ， xπ π ，4，2∴ mf ( x)max 2 且 m f ( x) min 2 ，∴1 m 4 ，即 m 的取值范围是 (14)，．6【解析】 :(I)由已知得b 2c 2a 2 sin A3 32bccos A sin A22又在锐角 △ABC 中,所以 A=60°,[不说明是锐角 △ABC 中,扣 1 分 ](II)因为 a=2,A=60 所°以 b2c2bc 4, S1bc sin A3bc24而b 2c 22bc4 2bcbc4bc又 S1bc sin A3bc3 4 3244所以 △ ABC 面积 S 的最大值等于37【解析】 :(Ⅰ )因为 f ( x) (sin xcos x)2 +cos2 xsin 2 x 2sin x cos x cos 2 x cos2 x1 sin2 x cos2x ( ) =1+ 2 sin(2 x)4所以 2,即函数 f (x) 的最小正周期为, T2(Ⅱ )因为 0 x,得4 2x45,所以有2 sin(2 x) 1242 4 12 sin(2 x) 2,即0 12 sin(2 x)1244所以 ,函数 f x的最大值为 1 2此时 ,因为2 x5,所以 , 2 x,即 x844442。

(word完整版)高中数学三角函数的证明与求值练习题及答案

•选择题若为第三象限，第五单元三角函数的证明与求值cos 2 sin 2si n 2COS的值为A . 3B .—3C . 1D . — 1⑵下各式中能( )A . sin cos 1B .cos1 且 tan 22 i —2C . sin —且 tan 2-3D . tan2 且 cot2 3(3) sin7 ° cos37° —si n83 ° cos53° 值1 1 .3 (3)A . - C D —2 2 2 2_ 1 ⑷若函数 f(x)= . 3 sin x,: x € [0, -],则函数f(x)的最大值是1 2 、23A -B -C —D —— 2 32 2 ⑸条件甲d sin ,条件乙 sin cos a , 那么 2 2A •甲是乙的充分不必要条件B .甲是乙的充要条件C .甲是乙的必要不充分条件D .甲是乙的既不充分也不必要条件 ⑹、为锐角 a=si n( ),b=sin cos ，贝U a 、b 之间关系为A . a > bB . b > aC . a=bD .不确定(7)(1+ta n25 o)(1+ta n20 ° )( )A -2B 2C 1D -1(8) 为第二 : 象限的角( )A . tan — > cot —B .tanv cot — 2 22 2 C . sin — > cos —D .sinv cos — 2 22 2(9)在厶ABC 中， 4 si nA=—,cosB = 12 则cosC 等于 5 13561656十 1633 A . B . C . 或D . —65 65 656565成\立I ---------- ia b(10) 若 a>b>1, P= Igalgb , Q=-(Iga+lgb), R=lg,贝U 2 2A . R<P<QB . P<Q<RC . Q<P<RD P<R<Q二•填空题(11) 若 tan =2，贝U 2sin 2 _____ — 3sin cos =。

2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第三节两角和与差二倍角的三角函数公式

(1)熟记公式结构特征以及符号规律.
(2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用.
对点训练1(1) 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(
A.
5
3
2
B.3
1
C.
3
(2)若
D.
3
tan(α-β)=2,tan
5
1+tan
(2)由已知得 2tan θ=7,即 tan2θ-4tan θ+4=0,解得
1-tan
1
1
(3)对于 A,sin 15°cos 15°=2sin 30°=4,A 项错误;
tan θ=2.
对于B,sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,B项正确;
12
(2)若 3sin α-sin β=
π
8
π
1-ta n 2
8
D.
tan
π
10,α+β= ,则
2
sin α=
,cos 2β=
.
3 10
(2)
10
答案 (1)AD
4
5
17π
π
π
π
解析(1)A,sin =sin(2π+π- )=sin(π- )=sin
6
6
6
6
π
π
B,sin12 cos12
C,cos
)
)
1+cos40°
(3)由于 cos 40°=2cos 20°-1,所以 cos 20°=±

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三角函数典型习题1 •设锐角ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c,a 2bsi nA.(I )求B的大小；(n)求cosA sin C的取值范围• A B C 厂2 •在ABC中角A,B,C所对的边分别为a, b, c,sin sin— 2 .2 2(1)试判断△ ABC的形状；(II)若厶ABC的周长为16,求面积的最大值•23 •已知在ABC中,A B，且tan A与tan B是方程x 5x 6 0的两个根•(I )求tan (A B)的值;(n )若AB 5 ,求BC的长•2 2 2 14. 在ABC中，角A. B. C所对的边分别是a,b,c,且a c b ac.22A C(1) 求sin cos2B 的值；2(2) 若b=2,求厶ABC面积的最大值.5. 已知函数f(x) 2s in2 n x 3cos2x, xn，-n•4 4 2(1 )求f (x)的最大值和最小值；(2)f(x) m 2在x n,n上恒成立，求实数m的取值范围.4 26. 在锐角△ ABC 中,角A. B. C 的对边分别为a、b、c,已知(b2 c2 a2)ta nA 3bc.(I) 求角A;(II) 若a=2,求厶ABC面积S的最大值？7. 已知函数f (x) (sin x cosx) +cos2 x .(I )求函数f x的最小正周期；(n )当x o,?时,求函数f x的最大值拼写出x相应的取值•8 .在ABC中，已知内角A . B . C所对的边分别为a、b、c,向量r r 2 B r r m 2sin B, 、3 ,n cos2B, 2cos 1，且m//n?2(I) 求锐角B的大小；(II) 如果b 2,求ABC的面积S ABC的最大值?答案解析11【解析】：(I )由a 2bsi nA ,根据正弦定理得si nA 2si n Bsin A ,所以sin B -,2 由ABC 为锐角三角形得B n .6(n )cosA sin C cos A sinAcos A sin -A61 3cos A cos Asin A22、、3sinA -.32【解析】 :I. sinC . sin CC cos .C sin2sin('—222 224C C 即C，所以此三角形为直角三角形2 422••• tanA 3, A 为三角形的内角，二sin A由正弦定理得：-A 艮 -BCsin C sin A-2 2b a b 2 abII.16 号，此时面积的最大值为 32 6 42 .-2ab ,—2ab 64(2 -.2)当且仅当a b 时取等3【解析】：(I )由所给条件方程x 2 5x 6 ••• tan (A B) tan A tan B1 tan Atan BB C 180 ,• C180 (A 0 的两根 tan A 3, tan B 2 . 1B).由(I )知,tanCtan(A B)1,•/ C 为三角形的内角，• sinC_2 23 10弘知教育内部资料中小学课外辅导专家2 3••• BC 1 —汇 3.5. 近 y/10 2r r 2B 厂8【解析】:(1) m//n2sinB(2cos ；-1)=-,3cos2B 2sinBcosB=- 3cos2Btan2B=- 32兀心宀 n••• 0<2B< n,2B=y,A 锐角 B=3① 当B=n^，已知b=2，由余弦定理，得： 4=a 2+c ?-ac > 2aac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)■/ △ ABC 的面积 S ABC =3acsinBh^ac w 3ABC 的面积最大值为.3② 当B=6n 时，已知b=2,由余弦定理，得:4=a 2+c 2+ 3ac 县ac+ . 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= , 6- . 2时等号成立) •，ac < 4(23)1 1•••△ ABC 的面积 S AABC =2 acsinB^ac <2- , 3 ，△ ABC 的面积最大值为 2- 314【解析】:(1)由余弦定理：cosB=4sid +cos2B=1 24⑵由cos B4 得sinB.15 •/ b=2,4n1 2sin 2x —；=；ac+4 > 2c,得 acw —,c 233 2sin(2x -)2 ,即 0 1 -2sin(2x -) 12 44(2)由 tan2B=- .3n ［、. 5nB=3或石 1 V15S\ ABc =~acsi nBw(a=c 时取等号)3故S A ABC 的最大值为5【解析】(I ) T f(x).n _1 cos 2x3cos2x 1 sin2x 3cos2x弘知教育内部资料中小学课外辅导专家n nn n又••• x —< 2x -<4 2 613 又 S besin A be24所以△ ABC 面积S 的最大值等于32 27【解析】:(I )因为 f (x) (sin x eosx) +eos2 x sin1 sin2x eos2x ( ) =1+.2si n(2x )42所以，T —,即函数f(x)的最小正周期为2(n )因为 0 x ，得 2x L,所以有-sin(2x) 12 4 4 4 24所以，函数f x 的最大值为1 2此时，因为一2x —丄，所以,2x ，即x -4 4 4428即 2 < 1 2sinn2x -3 • f(x) maxf (X)min(n) •/ f (x)f(x)f(x)•- m f (X)maxf ( X) min••• 1 m 4，即m 的取值范围是(1,4).6【解析】：(1)由已知得b 1 2 * 4e 2 a 2 si nA ,32bccos A又在锐角△ ABC 中，所以A=60,［不说明是锐角 △ ABC 中，扣 1 分］(II)因为 a=2,A=60 所以 b e be 4,S1 3besin Abe2而 b 2 e 2 2be be 42bcbe 4 ,3x 2sin xeosx eos 2 x eos2x。

高考数学一轮复习精选试题：三角函数(解答题) Word版含答案

三角函数02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．已知角的终边经过点．(1) 求的值；(2）求的值．【答案】由角的终边过点知：，，， (1） =， (2）=…11分 =。

2．已知函数. (Ⅰ）求函数的值域；α(3,4)P -sin()cos()tan()πααπα-+-+α(3,4)P -224sin 5(3)4α==-+223cos 5(3)4α==--+44tan 33α==--sin()cos()sin cos tan()tan πααααπαα-+-+=+4343()/()55320--=-))cos(2)23(cos()2sin(πααπαπ--+⋅+)cos 2(sin cos ααα+24336()2()55525⨯-+⨯-=2()23cos 2sin 333x x x f x =-()f x(Ⅱ）在△中，角所对的边分别为，若，且，求的值【答案】（1） ∵，∴ ∴ ∴函数的值域为(2）， ∴，而， ∴. 在中，，，∴，得解得 ∵， ∴.3．如图所示，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？ABC ,,A B C ,,a b c ()1f C =2b ac =sinA 22()cos 133x x f x =+-22sin()136x π=+-x R ∈21sin()136x π-≤+≤232sin()1136x π-≤+-≤()f x [3,1]-2()2sin()1136C f C π=+-=2sin()136C π+=(0,)C π∈2C π=Rt ABC ∆2b ac =222c a b =+22c a ac =+2()10aa c c+-=a c =0sin 1A <<1sin 2a A c -==【答案】设用t 小时，甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，∠ABC=1200，根据余弦定理得，AC 2=AB 2+BC 2－2AB ·Bccos ∠ABC即(28t)2=(20t)2+(20t)2－2×9×20tcos1200，整理得，128 t 2－60t －27=0，(4t －3)(32t+9)=0，解得或(舍). 所以AC=21，BC=15，在△ABC 中，，所以∠BAC=380，所以甲船应沿南偏西70方向行驶.答：甲船应沿南偏西70方向，用0.75h 能尽快追上乙船.4．已知向量,函数． (Ⅰ）求函数的最小正周期;(Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积．【答案】(Ⅰ）3t 4=9t 32=-015BC sin1202sin BAC 0.6186AC21⋅∠===≈1(sin ,1),(3cos ,)2a xb x =-=-()()2f x a b a =+⋅-()f xT a b c ABC ∆A B C A 4a c ==()1f A =,A b ABC ∆S 2()()22f x a b a aa b =+⋅-=+⋅-21sin 1cos 22x x x =++-因为,所以5．化简：【答案】原式=6．已知函数(I ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的最小正周期；(Ⅱ）在锐角△ABC 中，若，求△AB C 的面积．【答案】(1) (2) 1cos 21sin 2222x x -=+-12cos 222x x =-sin(2)6x π=-2ω=22T ππ==）（）（（）（αππααπααπ+++323tan --cos )(cos )-cos sin αααααααα333323cos tan sin tan cos )cos (cos )sin (==-⋅⋅-2()2sin cos f x x x x x R =+-∈()1,2f A AB AC =⋅=)32sin(2)(π+=x x f ππ==22T 22=s。

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题单元测试及答案

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题单元测试及答案一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减，此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>；若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->，于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<，此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.2．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确；由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示，可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增，又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增，所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+，所以C 不正确；又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<，令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.3．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确；对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-，解得3cos 5A ≥，故C 错误；对于D，2222213cos 44c c BAD c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >，根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==，由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin c R C===，ABC ，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.5．函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（） A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数【答案】BCD 【分析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断；对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断；对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断；【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．6．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤，此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确；对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确；对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误.故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．7．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证：对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确；对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误；对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.8．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（） A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到 C ．4x π=是()f x 的一条对称轴D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AB 【分析】首先化简函数()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项. 【详解】()1sin 2cos 21224f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，A.函数的最小正周期22T ππ==，故A 正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C.当4x π=时，32444πππ⨯+=，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8x π=-时，2084ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可；对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．在ABC 中，下列说法正确的是（） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤【答案】ABC【分析】根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD.【详解】A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理sin sin a b A B =，可知sin sin A B >，故A 正确； B.2C π>，222cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知222sin sin sin C A B >+，故B 正确；C.当02A π<<时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒+<，即2C π>，则ABC 为钝角三角形，若2A π>，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当2A π=是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，故C 正确；D.A B A B ππ+<⇒<-，0,0A B πππ<<<-<，()cos cos cos A B B π∴>-=-，即cos cos 0A B +>，故D 不正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.。

2025届高考数学一轮复习人教A版多选题专题练：第五章三角函数(含解析)

6
63
6 3 23
2
不符合条件.
当 7 时， f (x) sin(7 x π ) ，当 x [π, 2π] 时， 7 x π [3π , 8π ] ， f (x) [1,1] ，
6
63
6 3 23
不符合条件.
综上，当 1 时， f (x) sin(x π ) ，符合条件，故 B 错误;
6
2
（纵坐标不变），得到函数 g x 的图象，则下列关于函数 g x 的说法中正确的是( )
A.在
π 6
,
5π 12
上单调递增
B.当
x
π 2
,
π
时，函数
g
x
的值域是
2,1
C.其图象关于直线 x 5π 对称 6
D.直线 y 2 3x 1为曲线 y g x 的切线
10．已知函数
f
x
sin
y
sin
2x
π 4
的图象的是(
)
A.先将 y cos x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ,再向右平移 3π 个单位长度
2
8
B.先将 y sin x 的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ,再向右平移 π 个单位长度
2
8
C.先将 y sin x 的图象向右平移 π 个单位长度,再将各点的横坐标缩小为原来的 1
与单位圆
O
交于点
P
2 10
,
y
,则(
)
A. sin 7 2 10
B. tan 5
C. cos 2 24 25
D.
sin
2
π 4
17 2 50
1．答案：AD

高考第一轮复习——三角函数的求值、化简、证明(理)

1. 理解任意角的三角函数定义，及三角函数线定义。

理解同角三角函数的基本关系（平方关系、倒数关系、商的关系）2. 掌握弧度制与角度制的转换及弧度制下的扇形面积、弧长公式。

3. 掌握三角函数的诱导公式、和差角、倍半角、和差化积、积化和差等公式（半角公式及和差化积、积化和差公式不要求记忆）及其简单的三角恒等变换（求值、化简、证明）二、重点、难点：重点：三角函数的求值、化简、证明。

难点：诱导公式、和差角、倍半角公式的应用。

三、考点分析：在三角函数求值、化简、证明的考查中，主要以考查基础知识为主，求值与化简题在高考中多以选择、填空题的方式出现，题目的难度小，易得分。

三角函数的证明将会在大题的某一问中出现。

常与向量、解三角形等内容结合在一起考查，题目难度中等。

知识要点解析：（一）任意角与弧度制1. 角的概念推广：正角、负角、零角。

（按角的始边的旋转方向分）（1（2）轴线角：角的终边在坐标轴上的角叫轴线角角的终边在x 轴上的角的集合：}Z k ,k x |x {S ∈π== 角的终边在y 轴上的角的集合：}Z k ,2k x |x {S ∈π+π== 角的终边在坐标轴上的角的集合：}Z k ,k 21x |x {S ∈π== （3）终边相同的角的集合：所有与角α有相同终边的角的集合表示为：},2|{z k k S ∈+==απββ2. 弧度制：（1）角度制与弧度制的转换：角度化弧度：rad 01745.0rad 1801≈π=︒ 弧度化角度：'185730.57)180(rad 1︒≈︒≈︒π= （2）弧长与扇形面积公式：2||2121,||r lr S r l αα===，（α为扇形圆心角，r 为扇形半径）（二）任意角的三角函数定义、诱导公式（1）任意角三角函数定义：设α是任意角，角的终边与单位圆交于P （u ，v ）则：αααtan ,sin ,cos ===uvv u注：（i ）若点P （x ，y ）是角α的终边上一点，则2222cos ,sin yx x y x y+=+=αα)0(,tan ≠=x xyα（ii ）角α在第一、二象限时，0sin >α，角α在第一、四象限时，0cos >α 角α在第一、三象限时，0tan >α（2）诱导公式：掌握απ±，α-，απαπαπ±±±23,2,2k 的诱导公式。

高考数学第一轮复习单元试卷5-三角函数的证明与求值

第五单元三角函数的证明与求值一.选择题. (1)若α为第三象限，则αααα22c o s1s i n 2s i n 1c o s-+-的值为（）A ．3B ．－3C ．1D ．－1 (2) 以下各式中能成立的是（）A ．21cos sin ==αα B ．21cos =α且2tan =α C ．21sin =α且33tan =α D ．2tan =α且21cot -=α(3) sin7°cos37°－sin83°cos53°值（）A ．21-B ．21C ．23D ．－23(4)若函数f(x)=3sin 21x, x ∈[0, 3π], 则函数f(x)的最大值是( )A 21B 32C 22D 23(5)条件甲a=+θsin 1，条件乙a=+2cos2sinθθ，那么（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件(6)α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为（） A ．a ＞b B ．b ＞a C ．a =b D ．不确定 (7)(1+tan25°)(1+tan20°)的值是( )A -2B 2C 1D -1 (8) θ为第二象限的角，则必有（） A ．2tanθ＞2cotθB ．2tanθ＜2cotθC ．2sinθ＞2cosθD ．2sinθ＜2cosθ(9)在△ABC 中，sinA=54，cosB=1312-，则cosC等于（） A ．6556 B ．6516- C ．6556或6516-D ．6533-(10)若a >b >1,P =b a lg lg ⋅, Q =21(lg a +lg b )，R =lg2ba +, 则（）A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD P <R <Q 二.填空题(11)若tan θ=2，则2sin 2θ－3sin θcos θ= 。

北师版高考数学一轮总复习课后习题第五章三角函数、解三角形课时规范练19

课时规范练19《素养分级练》P305基础巩固组1.(贵州贵阳高三开学考试)已知cos α+π2=35,-π2<α<0,则tanα=( ) A.43B.-43C.34D.-34答案:D 解析:由cos α+π2=35,可得sinα=-35,又因为-π2<α<0,则cosα=√1-sin 2α=45,所以tanα=sinαcosα=-34,故选D.2.(陕西西安高三一模)已知tan α+1tanα=4,α∈π,3π2,则sin α+cosα=( ) A.√62B.-√62C.√63D.-√63答案:B 解析:由tanα+1tanα=4可得sinαcosα+cosαsinα=4,即1sinαcosα=4,因此sinαcosα=14,2sinαcosα=12,于是(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=32.又因为α∈π,3π2,所以sinα<0,cosα<0,故sinα+cosα=-√62.3.(山东日照高三月考)cos (α+2π)tan (π+α)sin (-α)cos (-α)tan (π-α)=( )A.tan αB.cos αC.sin αD.-sin α答案:C 解析:cos (α+2π)tan (π+α)sin (-α)cos (-α)tan (π-α)=cosαtanα(-sinα)cosα(-tanα)=sinα,故选C.4.(山东潍坊高三月考)若sin α+2cos α=0,则sin 2α-sin 2α=( ) A.-35B.0C.1D.85答案:D解析:因为sinα+2cosα=0,所以tanα=-2,所以sin 2α-sin2α=sin 2α-2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α-2tanαtan 2α+1=4-2×(-2)4+1=85,故选D.5.(浙江金华高三期中)已知π<θ<32π,tan θ-6tanθ=1,则sin θ+cos θ的值为( ) A.2√105 B.√105 C.-√105D.-2√105答案:D解析:因为tanθ-6tanθ=1,所以tan 2θ-tanθ-6=0,解得tanθ=3或tanθ=-2.因为π<θ<3π2,所以tanθ=3,又{tanθ=sinθcosθ=3,sin 2θ+cos 2θ=1,解得{sinθ=3√1010,cosθ=√1010(舍去)或{sinθ=-3√1010,cosθ=-√1010.所以sinθ+cosθ=-3√1010−√1010=-2√105,故选D.6.(甘肃兰州一中高三检测)若tan 2x-sin 2x=4,则tan 2x·sin 2x 的值等于( ) A.-4 B.4 C.-14D.14答案:B解析:由于tan 2x-sin 2x=4,所以tan 2x·sin 2x=tan 2x(1-cos 2x)=tan 2x-tan 2x·cos 2x=tan 2x-sin 2x=4. 7.(湖北武汉高三期中)已知sin αtan α=-32,且α∈(0,π),则sin α的值等于( ) A.√32B.-√32C.12D.-12答案:A 解析:由已知得sin 2αcosα=-32,所以2sin 2α+3cosα=0,即2-2cos 2α+3cosα=0,解得cosα=-12或cosα=2(舍去),又因为α∈(0,π),于是sinα=√1-cos 2α=√32. 8.(多选)(天津耀华中学高三月考)已知α∈(π,2π),sin α=tanα2=tan β2,则( )A.tan α=√3B.cos α=12C.tan β=4√3D.cos β=17答案:BD解析:因为sinα=tanαcosα=tanα2,所以cosα=12,又α∈(π,2π),所以sinα=-√32,tanα=-√3,故A 错误,B 正确.又tan β2=-√32,所以tanβ=2tanβ21-tan 2β2=-4√3,cosβ=cos 2β2-sin 2β2sin 2β2+cos 2β2=1-tan 2β21+tan 2β2=17,故C 错误,D 正确.故选BD. 9.已知cos (α-π)1+sin (π-α)=√3,则sin(α-3π2)1+sin (α+π)的值等于( )A.√33B.-√33C.√3D.-√3答案:B 解析:由cos (α-π)1+sin (π-α)=√3,可得cosα1+sinα=-√3.而sin(α-3π2)1+sin (α+π)=cosα1-sinα.由于cosα1+sinα·cosα1-sinα=cos 2α1-sin 2α=cos 2αcos 2α=1,又cosα1+sinα=-√3,所以cosα1-sinα=-√33.10.(山东淄博高三月考)已知θ∈(0,π),cos 5π6-θ=-1213,则tan θ+π6= . 答案:512解析:因为θ∈(0,π),所以-π6<5π6-θ<5π6,又因为cos5π6-θ=-1213,所以π2<5π6-θ<5π6,因此sin5π6-θ=√1-cos 2(5π6-θ)=513,所以tan5π6-θ=-512,故tan θ+π6=tan π-5π6-θ=-tan 5π6-θ=512.11.(辽宁大连高三模拟)已知sin α+cos α=1cosα,则tan α= .答案:0或1解析:由sinα+cosα=1cosα,得sinαcosα+cos 2α=1=sin 2α+cos 2α,则sinαcosα=sin 2α,tanα=tan 2α,所以tanα=0或tanα=1.综合提升组12.(多选)(福建泉州高三月考)已知角α是锐角,若sin α,cos α是关于和n 的关系式中一定成立的是( ) A.m 2-4n=0 B.m 2=2n+1 C.mn>0 D.m+n+1>0答案:BD解析:因为sinα,cosα不一定相等,如当α=π3时,sinα≠cosα,故A 错误;因为1=sin 2α+cos 2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=m 2-2n,所以m 2=2n+1,故B 正确;因为α为锐角,所以sinα+cosα=-m>0,所以m<0,sinαcosα=n>0,所以mn<0,故C 错误;因为α是锐角,即α∈0,π2,α+π4∈π4,3π4,所以m=-(sinα+cosα)=-√2sin α+π4∈[-√2,-1),所以m+n+1=m+m 2-12+1=(m+1)22>0,故D 正确.故选BD.13.(河北石家庄高三期中)若sinαcos2αsinα-cosα=-25,α∈0,π2,则tanα= . 答案:13解析:由题意,sinαcos2αsinα-cosα=-sinα(sin 2α-cos 2α)sinα-cosα=-sinα(sinα+cosα)(sinα-cosα)sinα-cosα=-sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=-tan 2α+tanαtan 2α+1=-25, 因为α∈0,π2,所以tanα>0,解得tanα=13.创新应用组14.(四川德阳高三一模)若sin θ+sin 2θ=1,则cos 2θ+cos 6θ+cos 8θ的值等于( ) A.0 B.1C.-1D.√5-12答案:B解析:因为sinθ+sin2θ=1,sin2θ+cos2θ=1,所以sinθ=cos2θ,所以原式=sinθ+sin3θ+sin4θ=sinθ+sin2θ(sinθ+sin2θ)=sinθ+sin2θ=1.。

高考数学第一轮复习单元试卷5-三角函数的证明与求值

第五单元三角函数的证明与求值一.选择题 (1）若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为（） A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 (2)以下各式中能成立的是（）A ．21cos sin ==ααB ．21cos =α且2tan =αC ．21sin =α且33tan =α D ．2tan =α且21cot -=α(3） sin7°cos37°－sin83°cos53°值（）A ．21- B ．21 C ．23 D ．－23 （4）若函数f （x)=3sin 21x, x ∈[0,3π］, 则函数f(x)的最大值是( ）A 21 B 32 C22 D23 (5）条件甲a=+θsin 1，条件乙a=+2cos2sinθθ，那么（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件（6)α、β为锐角a =sin （βα+），b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 ( ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定(7）(1+tan25°）(1+tan20°）的值是（ )A —2B 2C 1D -1（8） θ为第二象限的角，则必有（）A ．2tan θ＞2cot θB ．2tan θ＜2cot θC ．2sin θ＞2cos θD ．2sin θ＜2cos θ(9）在△ABC 中,sinA=54，cosB=1312-,则cosC 等于（ )A ．6556 B ．6516-C ．6556或6516- D ．6533-（10）若a 〉b >1， P =ba lg lg ⋅, Q =21(lg a +lg b ),R =lg2b a +, 则（ )A ．R <P 〈QB ．P <Q 〈RC ．Q <P <RD P 〈R <Q 二.填空题(11）若tan θ=2，则2sin 2θ－3sin θcos θ= 。

全国通用近年高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换高考达标检测(十五)三角函数的3个基本考点

（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换高考达标检测（十五）三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换高考达标检测（十五）三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高考达标检测（十五）三角函数的3个基本考点—-定义、公式和关系一、选择题1.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且B错误!，点C在第一象限，∠AOC＝α，BC＝1，则cos错误!＝( ）A．－错误!B．－错误!C。

35D. 错误!解析:选B 由已知可得OB＝1，即圆O的半径为1，又因为BC＝1，所以△OBC是等边三角形,所以cos错误!＝cos错误!＝－sin错误!＝－sin∠BOA＝－错误!.2．(2018·江西六校联考）点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于（) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析:选C 因为sin 2 018°＝sin（11×180°＋38°)＝－sin 38°＜0,cos 2 018°＝cos（11×180°＋38°)＝－cos 38°＜0，所以点A（sin 2 018°,cos 2 018°)位于第三象限．3．若sin θcos θ＝错误!，则tan θ＋错误!的值是( )A．－2 B．2C．±2 D。

高考数学一轮复习 3.5三角函数的图象与性质练习理-人教版高三全册数学试题

第五节三角函数的图象与性质1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：利用公式 T ＝2πω即可得到答案D.答案：D2．函数y ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x)是( )A ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增B ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增C ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增解析：y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，可见它是偶函数，并且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增的．故选C.答案：C3．若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ω＞0，|φ|<π2的最小正周期是π，且f(0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3解析：由T ＝2πω＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3⇒2sin φ＝3，∴sin φ＝32. ∵|φ|<π2，∴φ＝π3.故选D.答案：D4．已知函数①y＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin xcos x ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称 B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4对称C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4上都是单调递增函数 D ．可以将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数①的图象解析：y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y ＝22sin x cos x ＝2sin 2x .对于A ，注意到当x ＝－π4时，y ＝2sin 2x ＝－2，因此y ＝2sin 2x 的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0成中心对称；对于B ，注意到当x ＝－π4时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，因此y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象不关于直线x ＝－π4对称；对于D ，注意到将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到的函数相应的解析式是y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2x ≠2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，因此选项D 不正确．故选C.答案：C5．已知实数a ，b 满足a 2＋b 2－4a ＋3＝0，函数f(x)＝asin x ＋bcos x ＋1的最大值记为φ(a，b)，则φ(a ，b)的最小值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D ．3解析：由a 2＋b 2－4a ＋3＝0得(a －2)2＋b 2＝1， ∴可设⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋cos α，b ＝sin α，而函数f (x )的最大值为φ(a ，b )＝a 2＋b 2＋1，∴φ(a ，b )＝（2＋cos α）2＋sin 2α＋1 ＝5＋4cos α＋1. 当cos α＝－1时，φ(a ，b )有最小值2.故选B.答案：B6．若函数f(x)＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T<2，则自然数k 的值为________．解析：因为T ＝πk ，所以1<πk <2，即π2<k <π，而k 为自然数，所以k ＝2或3.答案：2或37．函数y ＝sin x ＋16－x 2的定义域为________．解析：因为sin x ≥0，所以2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z，因为16－x 2≥0，所以－4≤x ≤4，取交集得[－4，－π]∪[0，π]．答案：[－4，－π]∪[0，π]8．设M(cos πx 3＋cos πx 5，sin πx 3＋sin πx5)(x∈R)为坐标平面内一点，O 为坐标原点，记f(x)＝|OM|，当x 变化时，函数f(x)的最小正周期是__________．解析：∵f (x )＝|OM |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos πx 3＋cos πx 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin πx 3＋sin πx 52＝2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－πx 5＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos2πx 15＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos πx 15，画图易知函数f (x )的最小正周期为15. 答案：159．已知函数f(x)＝3sin 2x －cos 2x. (1)求函数f(x)的最小正周期和最值； (2)求函数f(x)的单调递减区间．解析：(1)f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴T ＝2π2＝π.当2x －π6＝2k π＋π2即x ＝k π＋π3(k ∈Z)时，f (x )取最大值2；当2x －π6＝2k π－π2即x ＝k π－π6(k ∈Z)时，f (x )取最小值－2.(2)由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π(k ∈Z)，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π(k ∈Z)．∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z)．10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式，并写出f(x)的单调递减区间；(2)△ABC 的内角分别是A ，B ，C ，若f(A)＝1，cos B ＝45，求sin C 的值．解析：(1)由图象最高点得A ＝1，由周期12T ＝2π3－π6＝12π，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由图象可得f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z.(2)由(1)可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1，∵0＜A ＜π， ∴π6＜2A ＋π6＜13π6， ∴2A ＋π6＝π2，A ＝π6.∵0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝35.∴sin C ＝sin (π－A －B )＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝12×45＋32×35＝4＋3310.。

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