高中数学选修2-1北师大版 圆锥曲线与方程 本章整合 课件 (42张)
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北师大版高中数学选修2-1课件3.4.1 曲线与方程、圆锥曲线的共同特征课件

即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得 x2+y2=a2.依题意可 知 x≠± a. 故所求直角顶点 C 满足的方程为 x2+y2=a2(x≠± a). 方法二 由△ ABC 是直角三角形可知 AC ⊥ BC ,所以 y y kAC· kBC=-1,则 · =-1(x≠± a),化简得直角顶点 C 满 x+a x-a 足的方程为 x2+y2=a2(x≠± a).
• 圆锥曲线的共同特征
曲线上的点 M(x,y)到定点 F(0,3)的距离和它到 定直线 l y=-3 的距离的比是常数 1,求曲线方程. [解析] 设 d 是点 M 到直线 l 的距离,则 d=|-3-y|.
|MF| 根据题意,曲线上的点 M 满足 d =1. x-02+y-32 由此得 =1,即有 x2+y-32=|y+3|.将 |-3-y| 上式两边平方,并化简得 x2=12y. 故所求曲线方程为 x2=12y.
• 2.在建立了直角坐标系之后,平面内的点与 它的坐标即有序实数对之间就建立了一一对 应关系,那么对应于符合某种条件的一切点, 它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的约 束,所以探求符合某种条件的点的轨迹问题, 就变为探求这些点的横坐标与纵坐标受怎样 的约束条件的问题,两个变数x、y的方程f(x, y)=0就标志着横坐标x与纵坐标y之间所受的 约束,一般由已知条件列出等式,再将点的 坐标代入这个等式,就得到x、y的方程,于 是符合某种条件的点的集合,就变换到x、y 的二元方程的解的集合,当然要求两集合之 间有一一对应的关系,也就是:
思路方法技巧
• 曲线与方程的概念
如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x,y)=0, 则以下说法正确的是( ) A.曲线 l 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 l C.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点不在曲线 l 上 D.坐标满足方程 F(x,y)=0 的点在曲线 l 上
数学北师大版高中选修2-1北师大版高中数学选修2-1第三章圆锥曲线与方程第四节曲线与方程第一课时PPT课件

x=0 (0≤y≤2)
2+y2=1(x≠±1) x 则动点p的轨迹方程为:______________
课堂练习
6、已知平面上两个定点A、B之间的
比为2:1,求动点M的轨迹方程。
距离为2a,点M到A、B两点的距离之 7、 一个动点P与两个定点A、B
的距离的平方和为 122, |AB|=10, 求动点P的轨迹方程。
5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
(一般情况下可省略)
例题讲解
例2.证明圆心为M (3, 4), 半径等于5的圆 的方程是 x 3 ( y 4) 25, 并判断
2 2
点O(0, 0), A(1, 0), B(1, 2)是否在这个圆 上.
例题讲解
例3. 已知一条曲线在
曲线与方程
安福二中 李春艳
新课引入
y
M(x ,y )
0 0
X-y=0
y
y ax2 (a 0)
M(x0,y0)
o
x
o
x
课堂新授
曲线的方程与方程的曲线:
一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点 与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解; 2.以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 那么,这个方程叫做这个曲线的方程, 这个曲线叫做这个方程的曲线
X 轴的上方,它上面
的每一点到点A(0,2) 的距离减去它到x轴的
y
A M
距离的差是2,求这条
曲线的方程。
B x
o
课堂练习
1.到F(2,0)和Y轴的距离相等的 动点的轨迹方程 是:__________________
数学北师大版高中选修2-1北师大版选修2-1高二数学上册第3章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程PPT课件

3.图形如图2-15、2-16.
4.焦点:F1(-c,0),F2(c,0).F1(0,-c),F2(0, c).3.图形如图2-15、2-16.
2019/2/27
课后作业
习题六:
P97 98,1,2,3
2019/2/27
2019/2/27
2019/2/27
2019/2/27
演示结束!
新课引入 课堂练习 作业
讲解新课 新课小结
2019/2/27
新课导入
2003年10月15日是全中国人感到 骄傲和自豪的日子: 问题1:这一天在中国发生了什 么震惊世人的事件?中国人终于 实现了什么梦想?幻灯片 28
问题2:请问神州五号飞船绕着什 么飞行?它的运行轨道是什么?
2019/2/27
标准方程特点: 1,方程右边为常数1 2,方程左边为各的形式,分子 ,分母都为平方项。
2019/2/27
o
F1
y
F2
M
x
o
F1
x
F2
2.椭圆标准方程分析
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
同学们要掌握这两个椭圆的标准方程
M
o
F1
o
F2
x
(二)椭圆标准方程的推导
(2)点的集合 由定义不难得出椭圆集合为: P={M||MF1|+|MF2|=2a}. (3)代数方程
M
F1
o F2
(a 2 b 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 ( a 2 b 2 )
(a>b>0).
2019/2/27
2.椭圆标准方程分析
最新北师大版选修2-1高中数学第三章《圆锥曲线与方程》ppt本章整合课件

由题知|-2pm|=4m,所以 2p=4.
综上所述,抛物线 C 的方程为 y2=4x.
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可得 y2-4������y-4=0,
所以
������1
+ ������2
=
4 ������
,由|AM|=2|MB|,得
y1=-2y2.
1+������
(|MA|>|MB|),
1-(1+������2������)2
∴有 y=0 或 x2-���3���2=1(y≥0).
又当∠MBA=90°时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M(2,±3)也在曲线上, 当点 M 为线段 AB 的分点时,满足∠MBA=2∠MAB,∴y=0(-1<x<2)是 M 点 的轨迹方程.
(1)求抛物线 C 的方程; (2)当 m=1,|AM|=2|MB|时,求直线 AB 的方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
解:(待定系数法)(1)由题意可设抛物线的方程 为 y2=2px(p>0),如图.
当线段 AB 垂直于 x 轴时,A,B 的坐标分别为
(m,2 ������),(m,-2 ������), 所以(2 ������)2=2p·m,
圆圆心的轨迹方程; (2)一动圆过定点 A(2,0),且与定圆(x+2)2+y2=4 相切,求动圆圆心的轨迹
方程.
解:(定义法)(1)设动圆的圆心为 P(x,y),定圆的圆心为 B(-3,0),则
|PA|+|PB|=8>6.
∴由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹方程是������2
数学北师大选修2-1课件:第三章 圆锥曲线与方程 3.4.1

进而通过研究方程来研究曲线的
性质. 3.掌握求曲线方程的一般方法,进
一步体会曲线与方程的关系,感受
解析几何的思想方法.
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一 二 思考辨析
一、曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件 的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的 关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么,这条曲线叫作 方程的曲线,这个方程叫作曲线的方程. 名师点拨“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念中包含了双重性, 即纯粹性和完备性,所谓纯粹性,即曲线上点的坐标都是这个方程 的解,所以要剔除曲线上不合题意的点;所谓完备性,即以方程的解 为坐标的点都在曲线上,所以对方程进行变形时要注意等价变形, 防止漏解.
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探究一
探究二
探究三
变式训练2证明以点C(0,3)为圆心,以2为半径的圆的方程为x2+(y3)2=4,并判断点M(√3 ,4),N(1,3+√3 ),P(0,1),Q(1,0)是否在圆上.
证明:设M'(x0,y0)是圆上的任一点,则|M'C|=2,
,
则|MP|=12|OC|=12,得方程
������-
1 2
2 +y2=14,
由圆的范围知0<x≤1.
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北师大版高中数学选修2-1课件第三章《圆锥曲线与方程》双曲线及其标准方程

高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)
北师大版高中数学选修2-1 第三章《圆锥曲线与方程》
双曲线及其标准方程
2
法门高中姚连省制作
一、教学目标:1.知识与技能:掌握双曲线的定义,标
准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过
程与方法:教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双
曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于 常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
||MF1|-|MF2||=2a
①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②|F1F2|=2c——焦距.
M
说明
(1)2a<2c;
思考:
(2)2a>0;
F
1
oF
2
(1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,
则 A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).
设 P(x,y)为巨响点, 由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =-x,
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360,
M在左支上|MF1|-|MF2|=-2a
7
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1.建系.
以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点.
设M(x,y),则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1|-|MF2|=±2a
y
M
F OF
1
2
(金戈铁骑 整理制作)
北师大版高中数学选修2-1 第三章《圆锥曲线与方程》
双曲线及其标准方程
2
法门高中姚连省制作
一、教学目标:1.知识与技能:掌握双曲线的定义,标
准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过
程与方法:教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双
曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于 常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
||MF1|-|MF2||=2a
①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②|F1F2|=2c——焦距.
M
说明
(1)2a<2c;
思考:
(2)2a>0;
F
1
oF
2
(1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,
则 A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).
设 P(x,y)为巨响点, 由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =-x,
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360,
M在左支上|MF1|-|MF2|=-2a
7
双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤: 1.建系.
以F1,F2所在的直线为x轴,线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点.
设M(x,y),则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式 |MF1|-|MF2|=±2a
y
M
F OF
1
2
高中数学北师大版选修2-1 第3章 圆锥曲线与方程 本章整合 课件(49张)

∴|AB|= 1 +
1 ������2
· |y1-y2|= 1 + 4· |0-2|=2 5.
∴所求直线的方程为 x+2y-4=0,弦长为 2 5.
专题一
专题二专题三ຫໍສະໝຸດ 专题四(方法二 )设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y 2). ∵点 M 是 AB 的中点 ,
∴x1+x2=4,y1+y 2=2.
2.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 中点弦问题 连接圆锥曲线上任意两点所得的线段叫圆锥曲线的弦,有关弦的 中点问题要注意根与系数的关系及“点差法”的灵活运用. 应用 在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所 在的直线的方程和弦长. 提示:题目中涉及弦的中点,既可考虑中点坐标公式,又可考虑“点 差法”. 解:(方法一)设弦的两个端点是A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,当直线 斜率不存在时,M不可能为弦中点, ∴可设直线方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程,消去y,整理得 (1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0. 显然1+4k2≠0,Δ=16(12k2+4k+3)>0,
−
������2 ������2
=1(a>0,b>0).
由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c. 在△PF1F2中,由余弦定理, 得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|· cos 60° =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°), 即4c2=c2+|PF1||PF2|.①
高中数学选修2-1-第三章 圆锥曲线与方程 复习课件-北师大版

解:(2)由已知,直线 l2 的方程是 y=-n(x-m),将 y=-n(x-m)代入 x2 +y2=1 化简得 2
(1+2n2)x2-4mn2x+2m2n2-2=0. 由Δ=16m2n4-8(1+2n2)(m2n2-1)=8(1+2n2-m2n2)>0 ①
又 m =1,得 m2=n2+1.
②
1 n2
解:(2)①假设直线 l 的斜率存在,设其方程为 y=kx+m,
联立
y kx x2 2y2
m, 8,
可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.
所以Δ=64k2-8m2+32>0.
x1+x2=-
1
4km 2k
2
,x1x2=
2m2 8 1 2k 2
,(*)
因为 OA ⊥ OB ,所以 OA · OB =0, 则 x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0, 化简可得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.
(2)要注意轨迹问题所包含的隐含条件,也就是曲线上点的坐 标的取值范围.
即时训练 1-1:(1)已知 F1,F2 分别为椭圆 C: x2 + y 2 =1 的左、右焦点,点 P 为 43
椭圆 C 上的动点,则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( ) (A) x2 + y2 =1(y≠0)
36 27 (B) 4x2 +y2=1(y≠0)
将(*)代入上式可得 3m2=8k2+8.
|AB|= 1 k 2 |x1-x2|= 1 k 2
64k2 8m2 32 将 m2= 8 (k2+1)代入上式,可得|AB|=
2021最新北师大版高三数学选修2-1全册课件【完整版】

2021最新北师大版高三数学选修 2-1全册课件【完整版】目录
0002页 0028页 0097页 0139页 0213页 0247页 0312页 0368页 0416页 0418页 0452页 0497页 0577页 0611页 0619页 0679页 0740页
第一章 常用逻辑用语 习题1—1 2.1充分条件 2.3充要条件 3.全称量词与存在量词 3.2存在量词与特称命题 习题1—3 4.1逻辑联结词“且” 4.3逻辑联结词“非” 本章小结建议 第二章 空间向量与立体几何 习题2—1 习题2—2 3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.3空间向量运算的坐标表示 4.用向量讨论垂直与平行 5.夹角的计算
第一章 常用逻辑用语
2021最新北师大版高三数学选修21全册课件【完整版】
1.命题
2021最新北师大版高
0002页 0028页 0097页 0139页 0213页 0247页 0312页 0368页 0416页 0418页 0452页 0497页 0577页 0611页 0619页 0679页 0740页
第一章 常用逻辑用语 习题1—1 2.1充分条件 2.3充要条件 3.全称量词与存在量词 3.2存在量词与特称命题 习题1—3 4.1逻辑联结词“且” 4.3逻辑联结词“非” 本章小结建议 第二章 空间向量与立体几何 习题2—1 习题2—2 3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.3空间向量运算的坐标表示 4.用向量讨论垂直与平行 5.夹角的计算
第一章 常用逻辑用语
2021最新北师大版高三数学选修21全册课件【完整版】
1.命题
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最新北师大版选修2-1高中数学3.4《曲线与方程》(第2课时)ppt课件

htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
课前自主预习
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
在直角坐标系 xOy 中,给定两条曲线 C1、C2,它们由如下方 程确定:C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0.
求曲线 C1 和 C2 的交点,即要求出这些交点的坐标. 设 M(x0,y0)是曲线 C1 和 C2 的一个交点.因为点 M 在曲线 C1 上,所以它的坐标满足方程 f(x,y)=0;因为点 M 在曲线 C2 上, 所以它的坐标也满足方程 g(x,y)=0.从而,曲线 C1 和 C2 的任意 一个交点的坐标都满足方程组fgxx,,yy==00 .
的实数解(Δ=0)时,直线与椭圆相切;无实数解(Δ<0)时,直线与
椭圆相离.
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
②直线与椭圆相交弦长 设直线斜率为 k,直线与椭圆两交点为 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 |AB| = 1+k2 |x1 - x2| = 1+k12 |y1 - y2| , 一 般 地 , |x1 - x2| = x1+x22-4x1x2用根与系数关系求解. ③中点弦问题常用“点差法”求解,即 P(x0,y0)是弦 AB 的 中点,A(x1,y1)、B(x2,y2),将 A、B 坐标代入椭圆方程,并两式 相减结合 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,及yx22--yx11=k 求解.
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
3.直线与圆锥曲线交点个数的判定 对于直线 l:y=kx+l,圆锥曲线 C:f(x,y)=0,它们的交点 个数通常有以下两种判定方法: (1)解方程组yf=x,kxy+=l 0 ,求得实数解的组数就是直线与圆锥 曲线的交点个数.
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������2 ������2 ∴ 由椭圆的定义可知动圆圆心的轨迹方程是 + =1. 16 7
(2)设动圆的圆心为 P(x,y),定圆的圆心为 B(-2,0), 则||PA|-|PB||=2<4. ∴ 由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹方程是 x
2
������2 - =1. 3
专题一
专题二
专题三
专题四
本章整合
椭圆 抛物线
圆锥曲线与方程
椭圆及其标准方程 椭圆的简单性质 抛物线及其标准方程 抛物线的简单性质 双曲线及其标准方程 双曲线的简单性质 曲线与方程 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
双曲线
曲线与方程
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 求动点的轨迹方程
主要方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法等. (1)直接法:建立平面直角坐标系,把动点满足的几何条件转化为 x,y 间 的关系,即得轨迹方程. (2)定义法:当已知条件适合圆锥曲线的定义时,可直接写出方程. (3)代入法:若动点 P(x,y)依赖于已知曲线上另一个点 Q(x',y')而运动时, 可用 x,y 来表示 x',y',再代入已知曲线方程,即可求出轨迹方程. (4)待定系数法:若由题设条件易于确定方程的类型,可先设出方程,再 由条件确定方程中的参数,即“先定型,再定量”. (5)参数法:当直接建立 x,y 间的关系较困难时,可通过选适当的参数,找 出 x,y 间的间接关系,即参数方程,然后消去参数化为普通方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)当 M 在 x 轴下方时,∠MBA 为直线 MB 的倾斜角,直线 MA 的倾斜角 为 π-∠MAB,同理可得上述方程. 综上,点 M 的轨迹方程为 x
2
������2 - =1(x≥1)和 3
y=0(-1<x<2).
专题一
专题二
专题三
专题四
【应用 2】 (1)一动圆过定点 A(3,0),且与定圆(x+3)2+y2=64 相切,求动 圆圆心的轨迹方程; (2)一动圆过定点 A(2,0),且与定圆(x+2)2+y2=4 相切,求动圆圆心的轨迹 方程. 解:(定义法)(1)设动圆的圆心为 P(x,y),定圆的圆心为 B(-3,0),则 |PA|+|PB|=8>6.
【应用 3】 已知 P 是抛物线 y2=2px(p>0)上任一点,O 是原点,以线段 OP 为一边按逆时针方向作正方形 OPQR,当点 P 在抛物线上移动时,求点 R 的轨迹方程. 提示:本题实质是线段 OP 逆时针旋转 90° ,联想到用向量的运算来解 决.
专题一
专题二
专题三
专题四
解:(代入法)如图所示,设点 R(x,y),点 P(x0,y0), 由题意������������ ·������������ =0,|������������ |=|������������ |. 设∠xOP=α,|������������ |=|������������ |=r, 则有������������ =(rcos α,rsin α)=(x0,y0), ������������ =(rcos(90° +α),rsin(90° +α))=(-rsin α,rcos α)=(-y0,x0). ������0 = y, ������ = -������0 , 由向量相等的条件,有 即 ������0 = -x. ������ = ������0 , ∵ 点 P(x0,y0)在抛物线 y2=2px(p>0)上,∴ (-x)2=2py,即 x2=2py(p>0)为所求的 点 R 的轨迹方程.
解:(直接法)设 M(x,y),∠MAB=α,∠MBA=2α. (1)当 M 在 x 轴上方时,α≠90° ,如图所示. 则 tan α=kMA= 将 tan α= ������ ������-2 ������ 代入①式得 ������+1 2������
2
������ ������ 2tan������ ,tan(π-2α)=kMB= =.① ������+1 ������-2 1-tan2 α
专题一
专题二
专题三
专题四
【应用 1】 已知点 A(-1,0),B(2,0),动点 M 满足 2∠MAB=∠MBA,求动 点 M 的轨迹方程. 提示:若设 M(x,y),由∠MBA=2∠MAB,可以转化为直线 MA,MB 的斜率 之间的关系,可以直接求出点 M 的轨迹方程.
专题一
专题二
专题三
专题四
=
1-Leabharlann 1+������ ������2 (1+������)
2
(|MA|>|MB|),
∴ 有 y=0 或 x
������2 - =1(y≥0). 3
又当∠MBA=90° 时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M(2,± 3)也在曲线上, 当点 M 为线段 AB 的分点时,满足∠MBA=2∠MAB,∴ y=0(-1<x<2)是 M 点 的轨迹方程.
专题四
解:(待定系数法)(1)由题意可设抛物线的方程 为 y2=2px(p>0),如图. 当线段 AB 垂直于 x 轴时,A,B 的坐标分别为 (m,2 ������),(m,-2 ������), 所以(2 ������)2=2p·m, 所以 2p=4. 当线段 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0),则直线 AB 的 方程为 y=k(x-m). ������ = ������(������-������), 2 2������ 由 得 y - y-2pm=0, ������ ������ 2 = 2px, 所以 A,B 两点的纵坐标的积为-2pm. 由题知|-2pm|=4m,所以 2p=4. 综上所述,抛物线 C 的方程为 y2=4x.
专题一
专题二
专题三
专题四
【应用 4】 线段 AB 过点 M(m,0)(m>0),并且点 A,B 到 x 轴的距离之积 为 4m,抛物线 C 以 x 轴为对称轴且经过 O,A,B 三点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当 m=1,|AM|=2|MB|时,求直线 AB 的方程.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题四
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可得 y2- y-4=0, 所以 ������1 + ������2 = , ������1 ������2 = -4.
(2)设动圆的圆心为 P(x,y),定圆的圆心为 B(-2,0), 则||PA|-|PB||=2<4. ∴ 由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹方程是 x
2
������2 - =1. 3
专题一
专题二
专题三
专题四
本章整合
椭圆 抛物线
圆锥曲线与方程
椭圆及其标准方程 椭圆的简单性质 抛物线及其标准方程 抛物线的简单性质 双曲线及其标准方程 双曲线的简单性质 曲线与方程 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
双曲线
曲线与方程
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 求动点的轨迹方程
主要方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法等. (1)直接法:建立平面直角坐标系,把动点满足的几何条件转化为 x,y 间 的关系,即得轨迹方程. (2)定义法:当已知条件适合圆锥曲线的定义时,可直接写出方程. (3)代入法:若动点 P(x,y)依赖于已知曲线上另一个点 Q(x',y')而运动时, 可用 x,y 来表示 x',y',再代入已知曲线方程,即可求出轨迹方程. (4)待定系数法:若由题设条件易于确定方程的类型,可先设出方程,再 由条件确定方程中的参数,即“先定型,再定量”. (5)参数法:当直接建立 x,y 间的关系较困难时,可通过选适当的参数,找 出 x,y 间的间接关系,即参数方程,然后消去参数化为普通方程.
专题一
专题二
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专题四
(2)当 M 在 x 轴下方时,∠MBA 为直线 MB 的倾斜角,直线 MA 的倾斜角 为 π-∠MAB,同理可得上述方程. 综上,点 M 的轨迹方程为 x
2
������2 - =1(x≥1)和 3
y=0(-1<x<2).
专题一
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专题四
【应用 2】 (1)一动圆过定点 A(3,0),且与定圆(x+3)2+y2=64 相切,求动 圆圆心的轨迹方程; (2)一动圆过定点 A(2,0),且与定圆(x+2)2+y2=4 相切,求动圆圆心的轨迹 方程. 解:(定义法)(1)设动圆的圆心为 P(x,y),定圆的圆心为 B(-3,0),则 |PA|+|PB|=8>6.
【应用 3】 已知 P 是抛物线 y2=2px(p>0)上任一点,O 是原点,以线段 OP 为一边按逆时针方向作正方形 OPQR,当点 P 在抛物线上移动时,求点 R 的轨迹方程. 提示:本题实质是线段 OP 逆时针旋转 90° ,联想到用向量的运算来解 决.
专题一
专题二
专题三
专题四
解:(代入法)如图所示,设点 R(x,y),点 P(x0,y0), 由题意������������ ·������������ =0,|������������ |=|������������ |. 设∠xOP=α,|������������ |=|������������ |=r, 则有������������ =(rcos α,rsin α)=(x0,y0), ������������ =(rcos(90° +α),rsin(90° +α))=(-rsin α,rcos α)=(-y0,x0). ������0 = y, ������ = -������0 , 由向量相等的条件,有 即 ������0 = -x. ������ = ������0 , ∵ 点 P(x0,y0)在抛物线 y2=2px(p>0)上,∴ (-x)2=2py,即 x2=2py(p>0)为所求的 点 R 的轨迹方程.
解:(直接法)设 M(x,y),∠MAB=α,∠MBA=2α. (1)当 M 在 x 轴上方时,α≠90° ,如图所示. 则 tan α=kMA= 将 tan α= ������ ������-2 ������ 代入①式得 ������+1 2������
2
������ ������ 2tan������ ,tan(π-2α)=kMB= =.① ������+1 ������-2 1-tan2 α
专题一
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【应用 1】 已知点 A(-1,0),B(2,0),动点 M 满足 2∠MAB=∠MBA,求动 点 M 的轨迹方程. 提示:若设 M(x,y),由∠MBA=2∠MAB,可以转化为直线 MA,MB 的斜率 之间的关系,可以直接求出点 M 的轨迹方程.
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专题三
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=
1-Leabharlann 1+������ ������2 (1+������)
2
(|MA|>|MB|),
∴ 有 y=0 或 x
������2 - =1(y≥0). 3
又当∠MBA=90° 时,△MAB 为等腰直角三角形,点 M(2,± 3)也在曲线上, 当点 M 为线段 AB 的分点时,满足∠MBA=2∠MAB,∴ y=0(-1<x<2)是 M 点 的轨迹方程.
专题四
解:(待定系数法)(1)由题意可设抛物线的方程 为 y2=2px(p>0),如图. 当线段 AB 垂直于 x 轴时,A,B 的坐标分别为 (m,2 ������),(m,-2 ������), 所以(2 ������)2=2p·m, 所以 2p=4. 当线段 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0),则直线 AB 的 方程为 y=k(x-m). ������ = ������(������-������), 2 2������ 由 得 y - y-2pm=0, ������ ������ 2 = 2px, 所以 A,B 两点的纵坐标的积为-2pm. 由题知|-2pm|=4m,所以 2p=4. 综上所述,抛物线 C 的方程为 y2=4x.
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【应用 4】 线段 AB 过点 M(m,0)(m>0),并且点 A,B 到 x 轴的距离之积 为 4m,抛物线 C 以 x 轴为对称轴且经过 O,A,B 三点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当 m=1,|AM|=2|MB|时,求直线 AB 的方程.
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专题二
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专题四
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)可得 y2- y-4=0, 所以 ������1 + ������2 = , ������1 ������2 = -4.