2014年高考数学试题分类汇编:三角函数
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(word解析版可编辑)(四)三角函数与解三角形(逐题详解)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 四、三角函数与解三角形(逐题详解)第I 部分1.【2014年江西卷(理04)】在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ,若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积是A.3B.239C.233 D.33【答案】C【解析】()2222222222cos 2611333cos 2222c a b b a b c ab ba b c ab C abab b abab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g g2.【2014年陕西卷(理02)】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是( ).2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.【2014年浙江卷(理04)】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象,可以将函数2sin3y x =的图象A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】C【解析】函数y=sin3x+cos3x=,故只需将函数y=cos3x 的图象向右 平移个单位,得到y==的图象.故选:C .4.【2014年全国新课标Ⅱ(理04)】钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=2 ,则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得,使用余弦定理,符合题意,舍去。
为等腰直角三角形,不时,经计算当或=+======•••==5.【2014年全国新课标Ⅰ(理08)】设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】:B【解析】:∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==,∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭,,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-,即22παβ-=,选B6.【2014年四川卷(理03)】为了得到函数sin(21)y x =+的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A .向左平行移动12个单位长度 B .向右平行移动12个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+,故可由函数sin 2y x =的图象上所有的 点向左平行移动12个单位长度得到7.【2014年全国大纲卷(03)】设0sin 33a =,0cos55b =,0tan 35c =,则( ) A .a b c >> B .b c a >> C .c b a >> D .c a b >>【答案】C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos (90°﹣35°)=sin35°,由正弦函数的单调性可知b >a ,而c=tan35°=>sin35°=b ,∴c >b >a 故选:C8.【2014年辽宁卷(理09)】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( )A .在区间7[,]1212ππ上单调递减B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B【解析】把函数y=3sin (2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x ﹣)+].即y=3sin (2x ﹣).由,得.取k=0,得.∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.故选:B9.【2014年湖南卷(理09)】 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ,且⎰=3200)(πdx x f ,则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++,又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=,则56x π=是其中一条对称轴,故选A 10.【2014年重庆卷(理10)】已知A B C ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足,,面积S满足C B A c b a S ,,,,21分别为,记≤≤所对的边,则下列不等式成立的是( )A.8)(>+c b bcB.()162ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A【解析】已知变形为1sin 2sin[()]sin[()]2A CB AC B A +-+=--+展开整理得11sin 22cos()sin 2sin [cos cos()]22A C B A A A C B +-=⇒+-= 即112sin [cos()cos()]sin sin sin 28A CBC B A B C -++-=⇒=而22111sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 224S ab C R A R B C R A B C R ==⋅⋅⋅=⋅⋅= 故2122224R R ≤≤⇒≤≤,故338sin sin sin [8,162]abc R A B C R =⋅=∈, 排除,C D ,因为b c a +>,所以()8bc b c abc +>≥,选择A第II 部分11.【2014年天津卷(理12)】在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=,2sin 3sin B C =,则cos A 的值为_____________. 【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =,所以23b c =,解得32cb =,2ac =.所以2221cos 24b c a A bc +-==-.12.【2014年山东卷(理12)】在ABC V 中,已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ,当6A π=时,ABCV 的面积为 。
2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数三角恒等变换)

2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数三角恒等变换)、选择题:考点;L 函数的求值.3. (2014福建文)将函数y =s in x 的图象向左平移 一个单位,得到函数y =f x 的函数图象,则2下列说法正确的是 ( )A. y f x 是奇函数B. y = f x 的周期是二C. 3y = f x 的图象关于直线x =—对称D. y = f x 的图象关于点i - —,0对称I 2 .丿 【答案】D【解析】将函数,二血盂的團象向左平移兰牛单位,学科■馮到函数^=sin (x + -) = oo S x I 222. (2014安徽理) 设函数 f (x)(xw :R)满足 f (x + 江)=f (x) +sinx.当0兰x c23叭则f ( )—( )61 爲1A.-B. 一C.0D.--22223兀 17兀23兀 11兀 11兀 17兀f(- —)二 f ( ) +sin -f( ) +sin +sin解析: 有题意 6 66 6 6 65兀 511兀 171111-f( )+si n -+si n +si=0 +— —— +—=—6 66 6 2 2 2 22$— ~ = k n +, k € Z ,即 X ^2 + ^8, " Z ,又 $ >0,所以 需n =.时,f(x)=0.1. (2014 对称,则安徽文)若将函数 :的最小正值是( A. — B. 8-C. 4f (x ) =sin2x • cos2x 的图像向右平移 「个单位,所得图像关于 y 轴 ) 3 二D.1. C [解析]方法一: sin 2x + n 4f(x)= \.;2sin 2x + 4的图像向右平移 0个单位,得到y=J 2± 1,即 sin 2 $ - — = ± ,-2©的图像,由所得图像关于y 轴对称,可知sin 才-2因为y- cos(-^)= 0- y = /1 X I的医:关于点f-y f1?' J对称* 选D4. (2014辽宁文、理)将函数y =3sin (2 x • ^)的图象向右平移 ?个单位长度,所得图象对应的 函数( )5. (2014全国大纲文)已知角的终边经过点(-4,3),则COS 〉=()43 34 A. - B. - C .D .5 555【答案】D 【解析】r 4试题分折;由题意可知v=3・” 一 • WiUAuos 4=—二-—故选r 5育网6. (2014 全国大纲理)设 a =sin33 ,b =cos55 ,c=tan35 ,贝U ( ) A . a b cB . b c aC . c b aD . cab【答案】c.【解析】T a - sin 33; b - cos 55°=™35^c = ten l - ^flJ ~ > sin35°..\ 0 a> 扛故选 C. cos 35° 【肴点】1 ■三角函数基本关系式(商关系 Z 二角函数的匸调性.7.(2014全国新课标I 文)若tan 一「:• 0, A. sinx 、0 B . cosx 、0【答案】:C正确的结论只有sin 2- 0.圆O 的半径为1,A 是圆上的定点, ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为 距离表示为x 的函数f (x ),则y= f (x )在[0,二]上的图像大致为A .在区间[12 .Ji]上单调递减 B .在区间 C .在区间[-,]上单调递减6 3 【答案】B 【解析】n扌巴 y = 3s in( 2x+ —) = 3sin 2(x+3n n n n nD .在区间 [一,上单调递增12 12[-…「]上单调递增6 3n 的周期T = 人2第选B冗一个增区间为卜4-彳 --n ];右移丿后,4 62C. sin 2一:八 0D. cos2x【解析】:由ta n - 0可得:k —: k—(k Z),故2^ 22 k 二二(k Z),28. (2014全国新课标I 理)如图, 边为射线OA ,终边为射线OPP 是圆上的动点,角 M ,将点M 到直线 x 的始 OP 的.I H=cos : =sin I - 丿 12位 71Q 31.,即2,选B2 2【解析】:由y =cosx 是偶函数可知y 二cos 2x = cos2x ,最小正周期为二,即①正确; 】最小正周期为二,即③正6JI11. (2014陕西文)函数f (x )二COS (2x •)的最小正周期是( )4A. B.二 C.2二D.42【答案】 B2 n 2 n【解析】;T= 二 =n ,.••选B2 | 2Rt. QMP 中, =cosxs in x1=—sin 2x , 21f (x) =— sin 2x2/Ty> A /p0』9. (2014全国新课标I 理)设圧三R nA 32【答案】:E【解析】:••• tan :■1 亠 sin(0,?) —(0--),且 七…占,则2 2 2sin" = “引“卩 sin a cos P = cosa + cosa sin PCOS J cos :'H A JI兀,_—::::• —— :::—,0 ::: — - :■ 10.(2014全国新课标I 文 —兀③ y = cos (2x),④ y 6 A.①②③ B.①③④【答案】:A)在函数① y = cos 12x |,② y =| cos x |JI-tan (2x-)中,最小正周期为 二的所有函数为4 C.②④D.①③y =| cosx |的最小正周期也是■:,即②也正确;y=cosl2x •—确;y 七怙-―)的最小正周期为^-,即④不正确.4即正确答案为①②③,【解析】:如图:OM 字M MD= =OP 过 M 作 MD 丄OP 于D ,贝y PM= sinx , OM=COSX , cosx 対in x1D在12. (2014陕西理)函数f(X)=COS(2x —)的最小正周期是()6A. —B.二C.2 二D.4':2【答案】B【解析】;T = 2 n= 2 n= n,A选B|s I 213、(2014四川文)为了得到函数y二si n(x,1)的图象,只需把函数y二si nx的图象上所有的点()A、向左平行移动1个单位长度B、向右平行移动1个单位长度C、向左平行移动二个单位长度D、向右平行移动二个单位长度3、解:•••由y=sinx到y=sin (x+1 ),只是横坐标由x变为x+1 ,•••要得到函数y=sin (x+1)的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度.故选:A14. (2014四川理)为了得到函数y=sin(2x 7)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的占八、、1 1A•向左平行移动1个单位长度B.向右平行移动'个单位长度2 2C.向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度【答案】A1【解析】因为y =sin(2x 1^sin[2(x •)],故可由函数y二sin 2x的图象上所有的点向左平2行移动1个单位长度得到215. (2014天津文)已知函数f(x) = 3 sin ■ x cos x^ 0), R.在曲线y=f(x)与直线y =1的交点中,若相邻交点距离的最小值为",则f (x)的最小正周期为()3兀2兀A. B. C.二D. 2■:2 3【答案】C【解析】T f (x )= 2sin +— | = 1 ,• sin x +—| = 一,• co x1+ —= 一+ 2k^ , e Z 或I 6丿I 6丿2 6 6兀5兀2兀•冬:一——:2k/:,k^ Z,则• ■ X2 -为 2 k2 -心二,又•••相邻交点距离的最小值6 6 3为,•• - 2, T 二二.316. (2014浙江文、理)为了得到函数y二sin 3x • cos3x的图象,可以将函数y - 2sin3x的图象()。
2014年高考数学三角函数、解三角形汇编

2014年高考数学三角函数、解三角形1.已知函数2()2sin ()234f x x x π=--,ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, (1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.2.已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π. (1)求()f x 的单调递增区间;(2)求()f x 在[8π,38π]上的最大值和最小值.3.已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.4.已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.5.已知向量()1cos ,1,(1,)a x b a x ωω=+= (ω为常数且0ω>),函数x f ⋅=)(在R 上的最大值为2.(1)求实数a 的值;(2)把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位,可得函数()y g x =的图象,若()y g x =在[0,]4π上为增函数,求ω取最大值时的单调增区间.6.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos 3cos C a c B b-=. (1)求sin B ;(2)若b a c ==,求ABC ∆的面积.7.设函数()f x a b =⋅,其中向量(sin 21,sin 2,6a x b x x R π⎛⎫⎛⎫==--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
(1)求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合。
(2)将函数()f x 图像沿x 轴向右平移,则至少平移多少个单位长度,才能使得到的函数()g x 的图像关于y 轴对称。
8.已知函数22())2sin ()312f x x x ππ-+-,钝角ABC ∆(角,,A B C 对边为,,a b c )的角B 满足()1f B =.(1)求函数()f x 的单调递增区间;(2)若3,b c ==,B a .9.设函数f (x )=sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭+sin 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭ωx (其中ω>0),且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π. (1)求ω的值;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.10.已知函数f (x )=tan 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求f 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值; (2)设α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,若f 34απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2,求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.11.已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2.(Ⅰ)求函数()f x 在[]0,π上的值域;(Ⅱ)已知ABC ∆外接圆半径3=R ,()()sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,A B 所对的边分别是,a b ,求b a 11+的值.12.在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 的对边,ABC ∆的面积S 满足c o s 2S b c A =. (Ⅰ)求角A 的值;(Ⅱ)若a =B 的大小为x,用x 表示c 并求的取值范围.13.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知cos -2cos 2-cos A C c a B b = . (1)求sin sin C A 的值; (2) 若1cos ,24B b ==,求ABC ∆的面积.14.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c o s c o s c o s a C b C c B c A -=-,且C =120°.(1)求角A ;(2)若a =2,求c .15.已知函数2()1cos 22sin (),6f x x x x R π=+--∈.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和对称中心;(Ⅱ)若将()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后所得到的图像关于y 轴对称,求实数m 的最小值.16.(本小题满分12分)设()sin (sin cos )f x x x x =+.(Ⅰ)求()f x 最大值及相应x 值;(Ⅱ)锐角ABC △中,满足()1f A =.求()sin 2B C +取值范围.17.在△ABC ,已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1)求角A 值;(2)求C B cos sin 3-的最大值.18.已知:ABC c b a ∆分别是锐角,,三个内角A ,B ,C 所对的边,向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin A A b A A a ==,设b a A f ⋅=)((1)若32)(=A f ,求角A ;(2)在(1)的条件下,若2,tan 2tan tan ==+a Aa C c Bb ,求三角形ABC 的面积.19.在ABC ∆中,边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且满足cos (3)cos b C a c B =- (1)求B cos ;(2)若4BC BA ⋅= ,b =a ,c 的值.20.在ABC ∆中,,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列.(1)求B 的值;(2)求22sin cos()A A C +-的范围.21.已知ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、,且)c o s c o s c B b C-=. (1)求角B 的大小;(2)设向量8(cos 21,cos ),(1,)5A A +-m =n =,且⊥m n ,求tan()4A π+的值参考答案1.(1) m ()2ax f x =,min ()4f x =-(2)({}2,34⎤-⋃-⎦【解析】试题分析:(1)先用余弦的二倍角公式将其降幂,再用诱导公式及化一公式将其化简为()()sin f x A x k ωϕ=++或()()cos f x A x k ωϕ=++的形式,再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。
2014年高考数学(文)真题分类汇编:三角函数

三角函数1.[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45 B.35 C .-35 D .-45【答案】D2.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α>0,则( )A .sin α>0B .cos α>0C .sin 2α>0D .cos 2α>0 【答案】C3.[2014·福建卷] 将函数y =sin x 的图像向左平移π2个单位,得到函数y =f (x )的图像,则下列说法正确的是( )A .y =f (x )是奇函数B .y =f (x )的周期为πC .y =f (x )的图像关于直线x =π2对称D .y =f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫-π2,0对称【答案】D4.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y =cos|2x |,②y =|cos x |,③y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,④y=tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③ 【答案】A5.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C .π D .2π 【答案】C6.[2014·安徽卷] 若将函数f (x )=sin 2x +cos 2x 的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y 轴对称,则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π4【答案】C7.[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定【答案】[解析] 本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设BB 1是直线l 1,BC 是直线l 2,AD 是直线l 3,则DD 1是直线l 4,此时l 1∥l 4;设BB 1是直线l 1,BC 是直线l 2,A 1D 1是直线l 3,则C 1D 1是直线l 4,此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定.8.[2014·辽宁卷] 将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增【答案】B9.[2014·陕西卷] 函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π4的最小正周期是( )A.π2 B .π C .2π D .4π 【答案】B10.[2014·浙江卷] 为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2cos 3x 的图像( )A .向右平移π12个单位B .向右平移π4个单位C .向左平移π12个单位D .向左平移π4个单位【答案】A11.[2014·四川卷] 为了得到函数y =sin(x +1)的图像,只需把函数y =sin x 的图像上所有的点( )A .向左平行移动1个单位长度B .向右平行移动1个单位长度C .向左平行移动π个单位长度D .向右平行移动π个单位长度 【答案】A12.[2014·四川卷] 如图1-3所示,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m ,则河流的宽度BC 等于( )图1-3A .240(3-1)mB .180(2-1)mC .120(3-1)mD .30(3+1)m 【答案】C1.[2014·广东卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A .充分必要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件 【答案】A5.[2014·江西卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若3a =2b ,则2sin 2B -sin 2Asin 2A的值为( )A .-19 B.13 C .1 D.72【答案】D5.[2014·江苏卷] 已知函数y =cos x 与y =sin(2x +φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是________.【答案】π613.[2014·重庆卷] 将函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y =sin x 的图像,则f ⎝⎛⎭⎫π6=________.【答案】2212.[2014·山东卷] 函数y =32sin 2x +cos 2x 的最小正周期为________. 【答案】π14.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为________. 【答案】1 [解析] f (x )=sin(x +φ)-2sin φcos x =sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x =sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x -φ),其最大值为1.14.、[2014·全国卷] 函数y =cos 2x +2sin x 的最大值为________.【答案】3216.、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于________.【答案】4312.[2014·山东卷] 函数y =32sin 2x +cos 2x 的最小正周期为________. 【答案】π [解析] 因为y =32sin 2x +1+cos 2x 2=sin ⎝⎛⎫2x +π6+12,所以该函数的最小正周期T =2π2=π .12.[2014·北京卷] 在△ABC 中,a =1,b =2,cos C =14,则c =________;sin A =________.【答案】2 15814.[2014·福建卷] 在△ABC 中,A =60°,AC =2,BC =3,则AB 等于________. 【答案】113.[2014·湖北卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知A =π6,a=1,b =3,则B =________.【答案】π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A =b sin B ,即1sin π6=3sin B,解得sin B =32.又因为b >a ,所以B =π3或2π3.14.[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是______.14.6-24[解析] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,则由正弦定理得a +2b =2c .故cos C =a 2+b 2-c22ab=a 2+b 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +2b 222ab=34a 2+12b 2-22ab 2ab =34a 2+12b 22ab -24≥234a 2·12b 22ab -24=6-24,当且仅当3a 2=2b 2,即a b =23时等号成立.16.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°,C 点的仰角∠CAB =45°,以及∠MAC =75°,从C 点测得∠MCA =60°.已知山高BC =100 m ,则山高MN =________m.图1-3【答案】15018. [2014·福建卷] 已知函数f (x )=2cos x (sin x +cos x ). (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 【解析】方法一: (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4=2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4+cos 5π4=-2cos π4⎝⎛⎭⎫-sin π4-cos π4=2.(2)因为f (x )=2sin x cos x +2cos 2x=sin 2x +cos 2x +1 =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+1,所以T =2π2=π,故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=2sin x cos x +2cos 2x=sin 2x +cos 2x +1 =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4=2sin 11π4+1=2sinπ4+1=2.(2)因为T =2π2=π,所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .16.[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值. 【解析】 由三角形面积公式,得12×3×1·sin A =2,故sin A =2 23. 因为sin 2A +cos 2A =1, 所以cos A =±1-sin 2A =±1-89=±13. ①当cos A =13时,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =32+12-2×1×3×13=8,所以a =2 2.②当cos A =-13时,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =32+12-2×1×3×⎝⎛⎭⎫-13=12,所以a =2 3.16.[2014·北京卷] 函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的部分图像如图1-4所示.图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值; (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π2,-π12上的最大值和最小值.【解析】(1)f (x )的最小正周期为π. x 0=7π6,y 0=3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,-π12,所以2x +π6∈⎣⎡⎦⎤-5π6,0.于是,当2x +π6=0,即x =-π12时,f (x )取得最大值0;当2x +π6=-π2,即x =-π3时,f (x )取得最小值-3.18.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.【解析】(1)f (8)=10-3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8-sin ⎝⎛⎭⎫π12×8=10-3cos 2π3-sin 2π3=10-3×⎝⎛⎭⎫-12-32=10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,所以-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.17.[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.【解析】(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α).所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4-sin αsin π4(cos 2α-sin 2α), 即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α在第二象限内,得α=3π4+2k π,k ∈Z .此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 16.[2014·广东卷] 已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫x +π3,x ∈R ,且f ⎝⎛⎭⎫5π12=322. (1)求A 的值;(2)若f (θ)-f (-θ)=3,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎫π6-θ.16.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)为奇函数,且f ⎝⎛⎭⎫π4=0,其中a ∈R ,θ∈(0,π).(1)求a ,θ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4=-25,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,求sin ⎝⎛⎭⎫α+π3的值. 【解析】(1)因为f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)是奇函数,而y 1=a +2cos 2x 为偶函数,所以y 2=cos(2x +θ)为奇函数.又θ∈(0,π),得θ=π2,所以f (x )=-sin 2x ·(a +2cos 2x ).由f ⎝⎛⎭⎫π4=0得-(a +1)=0,即a =-1.(2)由(1)得,f (x )=-12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4=-12sin α=-25,所以sin α=45,又α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,从而cos α=-35,所以有sin ⎝⎛⎭⎫α+π3=sin αcos π3+cos αsin π3=4-3 310.18.[2014·全国卷] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知3a cos C =2c cos A ,tan A =13,求B .【解析】由题设和正弦定理得3sin A cos C =2sin C cos A , 故3tan A cos C =2sin C . 因为tan A =13,所以cos C =2sin C , 所以tan C =12,所以tan B =tan[180°-(A +C )] =-tan(A +C )=tan A +tan Ctan A tan C -1=-1,所以B =135°.17.[2014·山东卷] △ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a =3,cos A =63,B =A +π2. (1)求b 的值;(2)求△ABC 的面积.【解析】(1)在△ABC 中, 由题意知,sin A =1-cos 2A =33. 又因为B =A +π2,所以sin B =sin ⎝⎛⎭⎫A +π2=cos A =63.由正弦定理可得,b =a sin Bsin A=3×6333=3 2. (2)由B =A +π2得cos B =cos ⎝⎛⎭⎫A +π2=-sin A =-33.由A +B +C =π,得C =π-(A +B ),所以sin C =sin[π-(A +B )] =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33×⎝⎛⎭⎫-33+63×63=13. 因此△ABC 的面积S =12ab sin C =12×3×32×13=322.18.[2014·重庆卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a +b +c =8.(1)若a =2,b =52,求cos C 的值;(2)若sin A cos 2B 2+sin B cos 2A2=2sin C ,且△ABC 的面积S =92sin C ,求a 和b 的值.【解析】(1)由题意可知c =8-(a +b )=72.由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c22ab=22+⎝⎛⎭⎫522-⎝⎛⎭⎫7222×2×52=-15.(2)由sin A cos 2B 2+sin B cos 2A2=2sin C 可得sin A ·1+cos B 2+sin B ·1+cos A2=2sin C ,化简得sin A +sin A cos B +sin B +sin B cos A =4sin C .因为sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )=sin C ,所以sin A +sin B =3sin C . 由正弦定理可知a +b =3c .又a +b +c =8,所以a +b =6.由于S =12ab sin C =92sin C ,所以ab =9,从而a 2-6a +9=0,解得a =3,所以b =3.15.[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,sin α=55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4+α的值; (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6-2α的值. 【解析】(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,sin α=55,所以cos α=-1-sin 2α=-2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4+α=sin π4cos α+cos π4sin α=22×⎝⎛⎭⎫-2 55+22×55=-1010. (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×55× ⎝⎛⎭⎫-2 55=-45,cos 2α=1-2sin 2α=1-2×⎝⎛⎭⎫552=35, 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6-2α=cos 5π6cos 2α+sin 5π6sin 2α= ⎝⎛⎭⎫-32×35+12×⎝⎛⎭⎫-45=-4+3 310.17.[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC→=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.【解析】(1)由BA →·BC →=2,得c ·a cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2. (2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23×223=429.因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4292=79. 于是cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C = 13×79+2 23×4 29=2327.21.[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=π(x -cos x )-2sin x -2,g (x )=(x -π)1-sin x1+sin x+2xπ-1.证明: (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1>π.【解析】证明:(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,f ′(x )=π+πsin x -2cos x >0,所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,π2上为增函数.又f (0)=-π-2<0,f ⎝⎛⎭⎫π2=π22-4>0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,化简得g (x )=(π-x )·cos x 1+sin x +2xπ-1.令t =π-x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=g (π-t )=-t cos t 1+sin t -2πt +1,则u ′(t )=f (t )π(1+sin t ). 由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )<0;当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )>0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0,π2上u (t )为增函数,由u ⎝⎛⎭⎫π2=0知,当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0,π2时,u (t )<0,所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0,π2上无零点.在(0,x 0)上u (t )为减函数,由u (0)=1及u (x 0)<0知存在唯一t 0∈(0,x 0),使u (t 0)=0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使u (t 0)=0.设x 1=π-t 0∈⎝⎛⎭⎫π2,π,则g (x 1)=g (π-t 0)=u (t 0)=0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.由于x 1=π-t 0,t 0<x 0,所以x 0+x 1>π.16.[2014·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知 a -c =66b ,sin B =6sin C . (1)求cos A 的值;(2)求cos ⎝⎛⎫2A -π6的值.【解析】(1)在△ABC 中,由b sin B =c sin C,及sin B =6sin C ,可得b =6c .又由a -c =66b ,有a =2c . 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =6c 2+c 2-4c 226c 2=64.(2)在△ABC 中,由cos A =64,可得sin A =104.于是cos 2A =2cos 2A -1=-14,sin 2A =2sin A ·cos A =154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A -π6=cos 2A ·cos π6+sin 2A ·sin π6=15-38.18.[2014·浙江卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A -B2+4sin A sin B =2+ 2.(1)求角C 的大小;(2)已知b =4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值. 【解析】(1)由已知得2[1-cos(A -B )]+4sin A sin B =2+2, 化简得-2cos A cos B +2sin A sin B =2, 故cos(A +B )=-22, 所以A +B =3π4,从而C =π4.(2)因为S △ABC =12ab sin C ,由S △ABC =6,b =4,C =π4,得a =3 2.由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得c =10. 19.[2014·湖南卷] 如图1-4所示,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE =1,EC =7,EA =2,∠ADC =2π3,∠BEC =π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.图1-4【解析】设∠CED =α.(1)在△CDE 中,由余弦定理,得 EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·cos ∠EDC ,于是由题设知,7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD - 6=0,解得CD =2(CD =-3舍去).在△CDE 中,由正弦定理,得EC sin ∠EDC =CDsin α.于是,sin α=CD ·sin 2π3EC =2×327=217,即sin ∠CED =217.(2)由题设知,0<α<π3,于是由(1)知,cos α=1-sin 2α=1-2149=277.而∠AEB =2π3-α,所以cos ∠AEB =cos ⎝⎛⎭⎫2π3-α=cos 2π3cos α+sin 2π3sin α=-12cos α+32sin α=-12×277+32×217=714.在Rt △EAB 中,cos ∠AEB =EA BE =2BE,故BE =2cos ∠AEB =2714=47.18.[2014·江苏卷] 如图1-6所示,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m .经测量,点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO =43.(1)求新桥BC 的长.(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?图1-6【解析】 方法一:(1)如图所示, 以O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170,0),直线 BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO =-43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB =34.设点 B 的坐标为(a ,b ),则k BC =b -0a -170=-43, k AB =b -60a -0=34,解得a =80, b =120,所以BC =(170-80)2+(0-120)2=150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM =d m (0≤d ≤60). 由条件知, 直线BC 的方程为y =-43(x -170),即4x +3y -680=0.由于圆M 与直线BC 相切, 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ,即r =|3d - 680|42+32=680-3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎨5680 - 3d5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d5最大, 即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 方法二:(1)如图所示, 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO =43,所以sin ∠FCO =45, cos ∠FCO =35.因为OA =60,OC =170,所以OF =OC tan ∠FCO =6803, CF =OC cos ∠FCO =8503, 从而AF =OF -OA =5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45.又因为 AB ⊥BC ,所以BF =AF cos ∠AFB =4003, 从而BC =CF -BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ,连接 MD ,则MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径,并设MD =r m ,OM =d m (0≤d ≤60).因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO =cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO =MD MF =MD OF -OM =r 6803-d =35, 所以r =680-3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎨5680-3d5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d5最大,即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大.17.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB =1,BC =3,CD =DA =2.(1)求C 和BD ;(2)求四边形ABCD 的面积. 【解析】(1)由题设及余弦定理得 BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos C =13-12cos C ,① BD 2=AB 2+DA 2-2AB ·DA cos A =5+4cos C .②由①②得cos C =12,故C =60°,BD =7.(2)四边形ABCD 的面积S =12AB ·DA sin A +12BC ·CD sin C =⎝⎛⎭⎫12×1×2+12×3×2sin 60°=2 3.17.[2014·山东卷] △ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a =3,cos A =63,B =A +π2. (1)求b 的值;(2)求△ABC 的面积.【解析】(1)在△ABC 中, 由题意知,sin A =1-cos 2A =33. 又因为B =A +π2,所以sin B =sin ⎝⎛⎭⎫A +π2=cos A =63.由正弦定理可得,b =a sin Bsin A=3×6333=3 2. (2)由B =A +π2得cos B =cos ⎝⎛⎭⎫A +π2=-sin A =-33.由A +B +C =π,得C =π-(A +B ),所以sin C =sin[π-(A +B )] =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33×⎝⎛⎭⎫-33+63×63=13. 因此△ABC 的面积S =12ab sin C =12×3×32×13=322.16.[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C ); (2)若a ,b ,c 成等比数列,且c =2a ,求cos B 的值.【解析】(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a +c =2b .由正弦定理得sin A +sin C =2sin B . ∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C ), ∴sin A +sin C =2sin(A +C ). (2)由题设有b 2=ac ,c =2a , ∴b =2a .由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-2a 24a 2=34.。
2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)

2014年高三数学试题-三角形与三角函数(包含答案)一.基础题组1.化简21sin352sin20-=oo()A.12B.12-C.1- D.12.()tan600-o的值等于()A.3- B.33-C.3D.33.已知函数xxxf cossin)(-=,且)(2)(xfxf=',则x2tan的值是()A.34- B.34C.43- D.434.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移3π个单位,得到的图象对应的解析式是( )A.1sin 2y x = B.1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5.函数))(4sin()4sin(2)(R x x x x f ∈+-=ππ是( ).A.最小正周期为π2的奇函数B. 最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D. 最小正周期为π的偶函数6.在ABC ∆中,=23AB ,=2AC ,0=60C ,则BC =.7.在ABC ∆中,120,5,7,A AB BC ===o 则sin sin BC 的值为______________.【答案】35.【解析】试题分析:由余弦定理得2222cos BCAB AC AB AC A=+-⋅⋅,即249255ACAC=++,整理得25240AC AC +-=,由于0AC >,解得3AC =,由正弦定理得sin 3sin sin sin 5AC AB B AC B C C AB =⇒==. 考点:1.余弦定理;2.正弦定理8.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】若tan()2πα-=,则sin 2α= .9.在ABC ∆中,若120A ∠=o,5AB =,7BC =,则AC = .10.已知}{n a 为等差数列,若1598a a a π++=,则)cos(82a a +的值为________.【答案】12-. 【解析】试题分析:由于数列{}na 为等差数列,所以159538a a a a π++==,所以1951623a aa π+==,故 ()19161cos coscos 5cos 3332a a ππππ⎛⎫+==+=-=- ⎪⎝⎭.考点:1.等差数列的性质;2.诱导公式二.能力题组1.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数:①()sin cos f x x x =; ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭; ③()sin 3cos f x x x=+; ④()2sin 21f x x =+.其中“同簇函数”的是 ( )A .①②B .①④C .②③D .③④2.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭,则2sin 22sin 1tan x xx+=-( )A.2875-B.2875C.21100- D.211003.在ABC ∆中,已知a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的边,S 为ABC ∆的面积,若向量()2224,p a b c =+-u r,()1,q S =r满足//p qu r r,则C ∠= .考点:1.平面向量共线;2.三角形的面积公式;3.余弦定理;4.同角三角函数的商数关系4.下面有四个命题:①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π; ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5;③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得xy 2sin 3=的图象;④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数. 其中真命题的序号是5.数列{}n a 满足:12a =,111n n a a -=-()2,3,4,n =L,若数列{}na 有一个形如()3sin na n ωϕ=+12+的通项公式,其中ω、ϕ均为实数,且0ω>,2πϕ<,则ω=________,ϕ= .三.拔高题组1.在ABC ∆中,角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ,且2,60c C ==o.(1)求sin sin a bA B++的值; (2)若a b ab +=,求ABC ∆的面积ABCS ∆.ABC S ∆=1sin 2ab C 计算ABC ∆的面积.2.已知向量(cos ,sin ),(cos ,cos )a x xb x x ==-r u r,(1,0)c =-r(1)若,,6x a cπ=r r求向量的夹角;(2)当]89,2[ππ∈x 时,求函数)(x f =b a ⋅2+1的最大值.试题解析:(1)当6x π=时,31)2a =rcos ,||||a ca c a c <>=r rr r g r r g 3=0,a c π≤<>≤r rQ5,6a c π∴<>r r 的夹角为;3.已知向量)1,(sin ),31cos ,3(x b x a =-=ρρ,函数ba x f ρρ•=)(.将函数()y f x =的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标先缩短到原来的12,把所得到的图象再向左平移3π个单位,得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)若ba ρρ⊥,求()y g x = 的值.试题解析:(1)31cos sin 3)(-+=•=x x b a x f ρρ=31)6sin(2-+πx , )(22622Z k k x k ∈+≤+≤-∴πππππ4.设()6cos ,3a x =-r,()cos ,sin 2b x x =r,()f x a b =⋅r r .(1)求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合;(2)若锐角α满足()323f α=-,求4tan 5α的值.()23236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,然后利用相关公式求出函数()f x 的最小正周期,并令226x k ππ+= ()k Z ∈求出函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合;(2)先利用已知条件()323f α=-并结合角α为锐角这一条件求出角α的值,并最终求出4tan 5α的值.5.如图,已知点()3,4A ,()2,0C ,点O 为坐标原点,点B 在第二象限,且3OB =,记AOC θ∠=. (1)求sin 2θ的值;(2)若7AB =,求BOC ∆的面积.考点:1.三角函数的定义;2.二倍角公式;3.余弦定理;4.两角和的正弦公式;5.三角形的面积6.已知函数()()=-f x x x x2sin cos sin.(1)当0xπ<<时,求()f x的最大值及相应的x值;(2)利用函数siny x=的图象经过怎样的变换得到()f x的图象.方法2:把函数sin=图象上的点横坐标变为原来y x的12倍,7.已知函数(3sin 2cos 2f x x x=-).(1)求函数()f x 的最小正周期和最值; (2)求函数()f x 的单调递减区间.(2)由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ, 得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ,∴单调递减区间为)](65,3[z kk k ∈++ππππ. 考点:1.辅助角公式;2.三角函数的周期;3.三角函数的最值;4.三角函数的单调区间8.已知ABC ∆中,三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ,且sin 3cos b A a B =.(1)求角B 的大小;(2)若2()3sin cos cos f x x x x =+,求()f A 的最大值.9.已知(22cos 3a x =r,()1,sin 2b x =r,函数()1f x a b =⋅-r r ,()21g x b =-r .(1)求函数()g x 的零点的集合;(2)求函数()f x 的最小正周期及其单调增区间.【答案】(1)函数()g x 的零点的集合是,2k x x k Z π⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭; (2)函数()f x 的最小正周期为π,单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】10.在ABC ∆中,已知内角3A π=,边23BC =设内角B x =,ABC∆的面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求函数()y f x =的值域.(2)203x π<<Q ,72666x πππ∴-<-<,故1sin 2126x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭, ()033f x ∴<≤,即函数()f x 的值域为(0,33.考点:1.正弦定理;2.三角形的面积公式;3.二倍角公式;4.辅助角公式;5.三角函数的最值 11.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示.(1)求函数)(x f 的解析式; (2)若),2,0(,1)62(πθπθ∈=+f 求).4cos(πθ-试题解析:(1)由图象知2A =()f x 的最小正周期54()126T πππ=⨯-=,故22Tπω== 将点(,2)6π代入()f x 的解析式得sin()13πϕ+=,又||2πϕ<, ∴6πϕ= 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+; (2)()2sin(2)6f x x π=+,2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭13cos 0sin 22πθθθ⎛⎫∴=∈= ⎪⎝⎭又,所以62cos cos cos sin sin 444πππθθθ+⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭.考点:1.三角函数的图象;2.同角三角函数的平方关系;3.两角差的余弦公式12.已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x R ∈.(1)求54f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值; (2)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,103213f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,()6325f βπ+=,求()cos αβ+的值.所以()1235416cos cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=. 考点:1.同角三角函数的基本关系;2.两角和的余弦公式13.设向量()6cos ,3a x =-r ,()cos ,sin 2b x x =r ,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)若23a =r ,求x 的值;(2)设函数()f x a b =⋅r r ,求()f x 的最大、最小值.考点:1.平面向量模的计算;2.平面向量的数量积;3.二倍角公式;4.辅助角公式;5.三角函数的最值。
2014年全国个省市高考理科数学分类汇编:三角函数

一、选择题 1、(新课标全国卷Ⅰ)8题 设)2,0(πα∈,)2,0(πβ∈,且ββαcos sin 1tan +=,则( ) A.23πβα=- B. 22πβα=- C. 23πβα=+ D. 22πβα=+2、(新课标全国卷Ⅱ)4题 钝角三角形ABC 的面积是21,2,1==BC AB ,则=AC ( ) A.5 B.5 C.2 D. 12'、(新课标全国卷Ⅱ)12题设函数mx x f πsin 3)(=.若存在)(x f 的极值点0x 满足[]22020)(m x f x <+,则m 的取值范围是( )A.),6()6,(+∞⋃--∞B. ),4()4,(+∞⋃--∞C. ),2()2,(+∞⋃--∞D. ),1()1,(+∞⋃--∞ 3、(大纲卷-广西卷)3题设︒=33sin a ,︒=55cos b ,︒=55tan c ,则( ) A.c b a >> B.a c b >> C.a b c >> D. b a c >> 4、(安徽卷)6题设函数))((R x x f ∈满足x x f x f s i n )()(+=+π.当π<≤x 0时,0)(=x f ,则=)623(πf ( ) A.21 B. 23 C.0 D. 21- 5、(湖南卷)9题已知函数)sin()(ϕ-=x x f ,且0)(320=⎰dx x f π,则函数)(x f 的图像的一条对称轴是( )A.65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x 6、(四川卷)3题为了得到函数x y x y 2sin )12sin(=+=的图像,只需把函数的图像上所有的点( )A.向左平行移动21个单位长度 B. 向右平行移动21个单位长度 C.向左平行移动1个单位长度 D. 向右平行移动1个单位长度7、(浙江卷)4题 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像,可以将函数x y 3cos 2=的图像( )A.向右平移4π个单位B. 向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D. 向左平移12π个单位8、(陕西卷)2题 函数)62cos()(π-=x x f 的最小正周期是( )A.2πB.πC. π2D. π4 9、(辽宁卷)9题将函数)32sin(π+=x y 的图像向右平移2π个单位长度,所得图像对应的函数( )A.在区间]127,12[ππ上单调递减B. 在区间]127,12[ππ上单调递增 C. 在区间]3,6[ππ-上单调递减 D. 在区间]3,6[ππ-上单调递增二、填空题1、(新课标全国卷Ⅰ)16题已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边,2=a ,且C b c B A b s i n )()s i n )(s i n 2(-=-+,则△ABC 面积的最大值为 .2、(新课标全国卷Ⅱ)14题函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+-+=x x x f 的最大值为 . 3、(大纲卷-广西卷)16题若函数x a x x f sin 2cos )(+=在区间)2,6(ππ是减函数,则a 的取值范围是 .4、(安徽卷)11题 若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 . 5、(广东卷)12题在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知,2cos cos b B c C b =+则=ba. 6、(四川卷)13题如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m ,则河流的宽度BC 约等于 m.C(用四舍五入法将结果精确到个位,参考数据: 7、(陕西卷)13题 设20πθ<<,向量)1,(cos ),cos ,2(sin θθθ==,若//,则=θtan .8(山东卷)12题在 △ABC 中,已知A tan =⋅,当6π=A 时,△ABC 的面积为 .9、(福建卷)12题在 △ABC 中,60=A ,32,4==BC AC ,则△ABC 的面积为 . 10、(天津卷)12题△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知C B a c b sin 3sin 2,41==-,则A cos 的值为 . 11、(江苏卷)5题已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (πϕ<≤0),它们的图像有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 . 12、(江苏卷)14题若△ABC 的内角满足,sin 2sin 2sin C B A =+则C cos 的最小值是 . 三、解答题 1、(新课标全国卷Ⅰ)未考 2、(新课标全国卷Ⅱ)未考 3、(大纲卷-广西卷)17题共10分△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知31tan ,cos 2cos 3==A A c C a ,求B . 4、(安徽卷)16题12分设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且3=b ,1=c ,B A 2=. (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求)4sin(π+A 的值.5、(广东卷)16题12分已知函数,),4sin()(R x x A x f ∈+=π且23)125(=πf . (1) 求A 的值; (2) 若),2,0(,23)()(πϑθθ∈=-+f f 求)43(ϑπ-f . 6、(广东卷)18题12分如图,在平面四边形ABCD 中,7,2,1===AC CD AD .(Ⅰ)求CAD ∠cos 的值; (Ⅱ)若621sin ,147cos =∠-=∠CBA BAD ,求BC 的长. BD7、(四川卷)16题12分 已知函数)43sin()(π+=x x f .(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间; (Ⅱ)若α是第二象限角,,2cos )4cos(54)3(απαα+=f 求ααsin cos -的值. 8、(浙江卷)18题14分在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知b a ≠,3=c ,B B A A B A cos sin 3cos sin 3cos cos 22-=-.(Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若54sin =A ,求△ABC 的面积. 9、(湖北卷)17题11分某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h )的变化近似满足函数关系: )24,0[,12sin12cos310)(∈--=t t t t f ππ.(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差;(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃,则在那段时间实验室需要降温? 10、(陕西卷)16题12分△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .(Ⅰ)若a 、b 、c 成等差数列,证明:)sin(2sin sin C A C A +=+; (Ⅱ)若a 、b 、c 成等比数列,求B cos 的最小值. 11、(江西卷)16题12分已知函数)2cos()sin()(θϑ+++=x a x x f ,其中R a ∈,)2,2(ππϑ-∈.(Ⅰ)当4,2πθ==a 时,求)(x f 在区间],0[π上的最大值与最小值;(Ⅱ)若)2(πf =0,1)(=πf ,求a ,θ的值.12、(重庆卷)17题共13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)8分 已知函数)22,0)(sin(3)(πϕπωϕω<≤->+=x x f 的图像关于直线3π=x 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π. (Ⅰ)求ϖ和ϕ的值; (Ⅱ)若43)2(=αf (326παπ<<),求)23cos(πα+的值. 13、(山东卷)16题12分已知向量),,2(sin ),2cos ,(n x x m ==函数x f ⋅=)(,且)(x f y =的图像过点(3,12π)和点(2,32-π). (Ⅰ)求n m ,的值(Ⅱ)将)(x f y =的图像向左平移ϕ(0<ϕ<π)个单位后得到函数)(x g y =的图像,若)(x g y =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求)(x g y =的单调递增区间.14、(福建卷)16题13分已知函数21)cos (sin cos )(-+=x x x x f . (Ⅰ)若20πα<<,且22sin =α,求)(αf ; (Ⅱ)求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间. 15、(北京卷)15题13分 如图,在△ABC 中,8,3==∠AB B π,点D 在BC 边上,且71cos ,2=∠=ADC CD . (Ⅰ)求BAD ∠sin ; (Ⅱ)求BD ,AC 的长.F16、(天津卷)15题13分 已知函数R x x x x x f ∈+-+⋅=,43cos 3)3sin(cos )(2π. (Ⅰ)求)(x f 的最小正周期; (Ⅱ)求)(x f 在闭区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值. 17、(辽宁卷)17题12分在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a >c .已知.3,31c o s ,2===⋅b B 求:(Ⅰ)a 和c 的值; (Ⅱ))cos(C B -的值. 18、(江苏卷)15题14分 已知),2(ππα∈,55sin =α. (1) 求)4sin(απ+的值;(2) 求)265cos(απ-的值.。
2014年全国高考数学试题分类汇编考点13三角函数的图象与性质

考点13 三角函数的图象与性质一、选择题1.(2014· 湖南高考理科·T9)已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是 ( )A .56x π=B .712x π=C .3x π=D .6x π=【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解。
【试题解析】选A.由于230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且得到()x f 的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,3π, 所以3πϕ=,Z k k x ∈+=-,23πππ,所以Z k k x ∈+=,65ππ,所以()f x 的图象的一条对称轴是56x π=。
2.(2014·福建高考文科·T7)7.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位,得到函数()y f x =的函数图象,则下列说法正确的是( )()()()()...32.-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点,对称【解题指南】将函数y =sin x 的图象向左平移2π个单位, 得到函数sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.然后结合三角函数的图象性质进行判断.【试题解析】D.将函数y =sin x 的图象向左平移2π个单位, 得到函数sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.该函数是偶函数,故A 错;周期为2π,故B 错;该函数图象的对称轴为x k π=,故C 错;对称中心为,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故D 正确.3.(2014·辽宁高考文科·T11)与(2014·辽宁高考理科·T9)相同将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所的图象对应的函数 ()A 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减()B 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ()C 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减()D 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【解题提示】 结合图象平移的原则得到新函数的解析式,利用正弦函数的单调区间求解新函数的单调区间【试题解析】选B.函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所的图象对应的函数为 23sin(2())3sin(2)233y x y x πππ=-+⇒=-.由()2222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈即23sin(2)3y x π=-的增区间为()7,,.1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当0k =时,()7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈为7,1212x ππ≤≤ 可见23sin(2)3y x π=-在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增; 由()23222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()713,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈而不论k 取何整数值,得到的减区间都不包含区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故只有选项(B)正确.4.(2014年陕西高考文科·T2)函数f (x )=cos 错误!未找到引用源。
2014年高考数学真题分类汇编文科-三角函数填空题(文科)

1. (2014山东文12)函数22cos 2y x x =+的最小正周期为 . 2.(2014陕西文13)设π02θ<<,向量()()sin2cos 1cos θθθ==,,,-a b , 若0⋅=a b ,则=θtan _______.3.(2014湖北文13)在ABC △中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,.已知π6A =,1a =,b =B = .4.(2014北京文12)在ABC △中,1a =,2b =,1cos 4C =,则c = ;sin A = .5.(2014大纲文16)直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线,若1l 与2l 的交点为(1,3),则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .6.(2014福建文14)在ABC △中,602A AC BC ===,,AB 等于 .7.(2014江苏5)已知函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+()0ϕ<π≤,它们的图像有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 . 8.(2014江苏14)若ABC △的内角满足sin 2sin A B C =,则cos C 的最小值是 .9.(2014新课标Ⅱ文14)函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 .10.(2014重庆文13)将函数()()sin 022f x x ωφωφππ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭,≤图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像,则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.11.(2014新课标Ⅰ文16)如图所示,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100m BC =, 则山高MN = m .ANMCB。
[3]2014年高考理数分类汇编《三角函数》
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【 解析 】 p ;由 f ( x ) 在区间 ê
pö 1 æ p 2p ö 7 p æp ö æ 2 ,设函数 f ( x ) 的最 ç ÷= f ç ÷ 知函数 f ( x ) 的对称轴为直线 x = ç + ÷= 2 è 2 3 ø 12 è2ø è 3 ø 1 p p 2 p 7 p p T 小正周期为 T ,所以 T ³ - ,即 T ³ ,所以 - = ,解得 T = p . 2 2 6 3 12 3 4 1 3.(2014 年天津)在 DABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c = a , 2sin B = 3sin C ,则 4
p
p p æ pö - a Î ç 0, ÷ ,所以 a - b = - a ,即 2 a - b = ,故选 B. 2 2 2 è 2ø
2 cos 3 x 的图像(
)
10.(2014 年浙江)为了得到函数 y = sin 3x + cos 3 x 的图像,可以将函数 y = A.向右平移 个单位
1 2
B. 3.(2014 年湖南) 已知函数 f ( x ) = sin ( x - j ) ,且 ( )
ò
2 x 3
0
f ( x ) dx = 0 ,则函数 f ( x ) 的图象的一条对称轴是
A. x =
5 p 6
B. x =
7 p 12
C. x =
p
3
0
2.(2014 年北京) 设函数 f ( x ) = sin (w x + j ) , A > 0, w > 0 ,若 f ( x ) 在区间 ê , ú 上具有单调性,且 ë6 2û
高考数学分类汇编(高考真题+模拟新题)三角函数 文

C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数2.[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45 B.35 C .-35 D .-452.D [解析] 根据题意,cos α=-4(-4)2+32=-45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18.,,[2014·福建卷] 已知函数f (x )=2cos x (sin x +cos x ). (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.18.解:方法一:(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4=2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4+cos 5π4=-2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫-sin π4-cos π4=2.(2)因为f (x )=2sin x cos x +2cos 2x=sin 2x +cos 2x +1 =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4+1, 所以T =2π2=π,故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=2sin x cos x +2cos 2x=sin 2x +cos 2x +1 =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4=2sin 11π4+1 =2sin π4+1=2.(2)因为T =2π2=π,所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .2.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α>0,则( )A .sin α>0B .cos α>0C .sin 2α>0D .cos 2α>0 2.C [解析] 因为sin 2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α>0,所以选C. 17.,,[2014·山东卷] △ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a =3,cosA =63,B =A +π2. (1)求b 的值;(2)求△ABC 的面积. 17.解:(1)在△ABC 中, 由题意知,sin A =1-cos 2A =33. 又因为B =A +π2,所以sin B =sin ⎝⎛⎭⎪⎫A +π2=cos A =63.由正弦定理可得,b =a sin Bsin A=3×6333=3 2. (2)由B =A +π2得cos B =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A +π2=-sin A =-33.由A +B +C =π,得C =π-(A +B ),所以sin C =sin[π-(A +B )] =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33×⎝ ⎛⎭⎪⎫-33+63×63=13. 因此△ABC 的面积S =12ab sin C =12×3×32×13=322.C3 三角函数的图象与性质16.、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值.16.解: 由三角形面积公式,得 12×3×1·sin A =2,故sin A =2 23. 因为sin 2A +cos 2A =1, 所以cos A =±1-sin 2A =±1-89=±13. ①当cos A =13时,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =32+12-2×1×3×13=8,所以a =2 2. ②当cos A =-13时,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =32+12-2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=12,所以a =2 3.7.[2014·福建卷] 将函数y =sin x 的图像向左平移π2个单位,得到函数y =f (x )的图像,则下列说法正确的是( )A .y =f (x )是奇函数B .y =f (x )的周期为πC .y =f (x )的图像关于直线x =π2对称D .y =f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0对称 7.D [解析] 将函数y =sin x 的图像向左平移π2个单位后,得到函数y =f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2的图像,即f (x )=cos x .由余弦函数的图像与性质知,f (x )是偶函数,其最小正周期为2π,且图像关于直线x =k π(k ∈Z )对称,关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+k π,0(k ∈Z )对称,故选D.图125.、[2014·江苏卷] 已知函数y =cos x 与y =sin(2x +φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是________.5.π6 [解析] 将x =π3分别代入两个函数,得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3+φ=12,解得23π+φ=π6+2k π(k ∈Z )或23π+φ=5π6+2k π(k ∈Z ),化简解得φ=-π2+2k π(k ∈Z )或φ=π6+2k π(k ∈Z ).又φ∈[0,π),故φ=π6.7.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y =cos|2x |,②y =|cos x |,③y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,④y =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③7.A [解析] 函数y =cos|2x |=cos 2x ,其最小正周期为π,①正确;将函数y =cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变,位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方,即可得到y =|cos x |的图像,所以其最小天正周期也为π,②正确;函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的最小正周期为π,③正确;函数y =tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4的最小正周期为π2,④不正确.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C .πD .2π 8.C [解析] ∵f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π6=1, ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π6=12,∴ωx 1+π6=π6+2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2+π6=5π6+2k 2π(k 2∈Z ),则ω(x 2-x 1)=2π3+2(k 2-k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3,∴ω=2,∴T =π.7.[2014·安徽卷] 若将函数f (x )=sin 2x +cos 2x 的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y 轴对称,则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8 D.3π47.C [解析] 方法一:将f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图像向右平移φ个单位,得到y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4-2φ的图像,由所得图像关于y 轴对称,可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-2φ=±1,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ-π4=±1,故2φ-π4=k π+π2,k ∈Z ,即φ=k π2+3π8,k ∈Z ,又φ>0,所以φmin=3π8. 13.[2014·重庆卷] 将函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y =sin x 的图像,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=________. 13.22[解析] 函数f (x )=sin(ωx +φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,得到y =sin(2ωx +φ)的图像,再向右平移π6个单位长度,得到y =sin2ωx -π6+φ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx -ωπ3+φ的图像.由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx -ωπ3+φ=sin x ,所以2ω=1,-ωπ3+φ=2k π(k ∈Z ),又-π2≤φ≤π2,所以ω=12,φ=π6,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π6,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6+π6=sin π4=22.16.[2014·北京卷] 函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6的部分图像如图14所示.图14(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值; (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,-π12上的最大值和最小值.16.解:(1)f (x )的最小正周期为π.x 0=7π6,y 0=3. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,-π12,所以2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,0. 于是,当2x +π6=0,即x =-π12时,f (x )取得最大值0;当2x +π6=-π2,即x =-π3时,f (x )取得最小值-3.18.,,[2014·福建卷] 已知函数f (x )=2cos x (sin x +cos x ). (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.18.解:方法一:(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4=2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4+cos 5π4=-2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫-sin π4-cos π4=2.(2)因为f (x )=2sin x cos x +2cos 2x=sin 2x +cos 2x +1 =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4+1, 所以T =2π2=π,故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=2sin x cos x +2cos 2x=sin 2x +cos 2x +1 =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4=2sin 11π4+1 =2sin π4+1=2.(2)因为T =2π2=π,所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .9.、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定9.D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可.如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,设BB 1是直线l 1,BC 是直线l 2,AD 是直线l 3,则DD 1是直线l 4,此时l 1∥l 4;设BB 1是直线l 1,BC 是直线l 2,A 1D 1是直线l 3,则C 1D 1是直线l 4,此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定.18.、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.18.解:(1)f (8)=10-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8=10-3cos 2π3-sin 2π3=10-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-32=10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )=10-2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,所以-1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.11.[2014·辽宁卷] 将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π3上单调递增 11.B [解析] 将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,得到y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -23π的图像 ,函数单调递增,则-π2+2k π≤2x -23π≤π2+2k π,k ∈Z ,即π12+k π≤x ≤7π12+k π,k ∈Z ,即函数y =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -23π的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12+k π,7π12+k π,k ∈Z ,当k =0时,可知函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12,7π12上单调递增. 14.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为________.14.1 [解析] f (x )=sin(x +φ)-2sin φcos x =sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x =sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x -φ),其最大值为1.7.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y =cos|2x |,②y =|cos x |,③y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,④y =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③7.A [解析] 函数y =cos|2x |=cos 2x ,其最小正周期为π,①正确;将函数y =cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变,位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方,即可得到y =|cos x |的图像,所以其最小天正周期也为π,②正确;函数y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的最小正周期为π,③正确;函数y =tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4的最小正周期为π2,④不正确.12.,[2014·山东卷] 函数y =32sin 2x +cos 2x 的最小正周期为________. 12.π [解析] 因为y =32sin 2x +1+cos 2x 2= sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+12,所以该函数的最小正周期T =2π2=π .2.[2014·陕西卷] 函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的最小正周期是( )A.π2B .πC .2πD .4π 2.B [解析] T =2π2=π.4.[2014·浙江卷] 为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2cos 3x 的图像( )A .向右平移π12个单位B .向右平移π4个单位C .向左平移π12个单位D .向左平移π4个单位4.A [解析] y =sin 3x +cos 3x =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x -π4=2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12,故将函数y =2cos 3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,故选A.3.[2014·四川卷] 为了得到函数y =sin(x +1)的图像,只需把函数y =sin x 的图像上所有的点( )A .向左平行移动1个单位长度B .向右平行移动1个单位长度C .向左平行移动π个单位长度D .向右平行移动π个单位长度3.A [解析] 由函数y =sin x 的图像变换得到函数y =sin(x +1)的图像,应该将函数y =sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度,故选A.17.、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π4. (1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值. 17.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z .(2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4(cos 2α-sin 2α).所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4-sin αsin π4(cos 2α-sin 2α), 即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α在第二象限内,得α=3π4+2k π,k ∈Z .此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9.、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定9.D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可.如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,设BB 1是直线l 1,BC 是直线l 2,AD 是直线l 3,则DD 1是直线l 4,此时l 1∥l 4;设BB 1是直线l 1,BC 是直线l 2,A 1D 1是直线l 3,则C 1D 1是直线l 4,此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定.16.、[2014·广东卷] 已知函数f (x )=A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,x ∈R ,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12=322.(1)求A 的值;(2)若f (θ)-f (-θ)=3,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ.18.、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.18.解:(1)f (8)=10-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8=10-3cos 2π3-sin 2π3=10-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-32=10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )=10-2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,所以-1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. 19.、、[2014·湖南卷] 如图14所示,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE =1,EC =7,EA =2,∠ADC =2π3,∠BEC =π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.图1419.解:设∠CED =α.(1)在△CDE 中,由余弦定理,得EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·cos ∠EDC ,于是由题设知,7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD - 6=0,解得CD =2(CD =-3舍去). 在△CDE 中,由正弦定理,得EC sin ∠EDC =CDsin α.于是,sin α=CD ·sin2π3EC=2×327=217,即sin ∠CED =217. (2)由题设知,0<α<π3,于是由(1)知,cos α=1-sin 2α=1-2149=277. 而∠AEB =2π3-α,所以cos ∠AEB =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-α=cos 2π3cos α+sin 2π3sin α =-12cos α+32sin α=-12×277+32×217=714.在Rt △EAB 中,cos ∠AEB =EA BE =2BE,故 BE =2cos ∠AEB =2714=47.16.、[2014·江西卷] 已知函数f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)为奇函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0,其中a ∈R ,θ∈(0,π).(1)求a ,θ的值;(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4=-25,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3的值. 16.解:(1)因为f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)是奇函数,而y 1=a +2cos 2x 为偶函数,所以y 2=cos(2x +θ)为奇函数.又θ∈(0,π),得θ=π2,所以f (x )=-sin 2x ·(a +2cos 2x ).由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0得-(a +1)=0,即a =-1. (2)由(1)得,f (x )=-12sin 4x .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4=-12sin α=-25, 所以sin α=45,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π, 从而cos α=-35,所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=sin αcos π3+cos αsin π3=4-3 310.18.、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知3a cos C =2c cosA ,tan A =13,求B .18.解:由题设和正弦定理得3sin A cos C =2sin C cos A , 故3tan A cos C =2sin C . 因为tan A =13,所以cos C =2sin C , 所以tan C =12,所以tan B =tan[180°-(A +C )] =-tan(A +C ) =tan A +tan Ctan A tan C -1=-1,所以B =135°.14.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为________.14.1 [解析] f (x )=sin(x +φ)-2sin φcos x =sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x =sin x cos φ-cos x sin φ=sin(x -φ),其最大值为1.17.,,[2014·山东卷] △ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a =3,cosA =63,B =A +π2. (1)求b 的值;(2)求△ABC 的面积. 17.解:(1)在△ABC 中, 由题意知,sin A =1-cos 2A =33. 又因为B =A +π2,所以sin B =sin ⎝⎛⎭⎪⎫A +π2=cos A =63.由正弦定理可得,b =a sin Bsin A=3×6333=3 2. (2)由B =A +π2得cos B =cos ⎝⎛⎭⎪⎫A +π2=-sin A =-33.由A +B +C =π,得C =π-(A +B ), 所以sin C =sin[π-(A +B )] =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33×⎝ ⎛⎭⎪⎫-33+63×63=13. 因此△ABC 的面积S =12ab sin C =12×3×32×13=322.8.、[2014·四川卷] 如图13所示,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m ,则河流的宽度BC 等于( )图13A .240(3-1)mB .180(2-1)mC .120(3-1)mD .30(3+1)m8.C [解析] 由题意可知,AC =60sin 30°=120.∠BAC =75°-30°=45°,∠ABC =180°-45°-30°=105°,所以sin ∠ABC =sin105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=6+24.在△ABC 中,由正弦定理得AC sin ∠ABC =BC∠BAC,于是BC =120×222+64=240 22+6=120(3-1)(m).故选C.17.、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π4. (1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值. 17.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z , 由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z .(2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4(cos 2α-sin 2α).所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4-sin αsin π4(cos 2α-sin 2α), 即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α在第二象限内,得α=3π4+2k π,k ∈Z .此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 18.、[2014·重庆卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a +b +c =8.(1)若a =2,b =52,求cos C 的值;(2)若sin A cos 2B2+sin B cos 2A2=2sin C ,且△ABC 的面积S =92sin C ,求a 和b 的值.18.解:(1)由题意可知c =8-(a +b )=72.由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c22ab=22+⎝ ⎛⎭⎪⎫522-⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×2×52=-15. (2)由sin A cos 2B2+sin B cos 2A2=2sin C 可得sin A ·1+cos B 2+sin B ·1+cos A2=2sin C ,化简得sin A +sin A cos B +sin B +sin B cos A =4sin C .因为sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )=sin C ,所以sin A +sin B =3sin C . 由正弦定理可知a +b =3c .又a +b +c =8,所以a +b =6.由于S =12ab sin C =92sin C ,所以ab =9,从而a 2-6a +9=0,解得a =3,所以b =3.C6 二倍角公式 18.,,[2014·福建卷] 已知函数f (x )=2cos x (sin x +cos x ). (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.18.解:方法一:(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4=2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4+cos 5π4=-2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫-sin π4-cos π4=2.(2)因为f (x )=2sin x cos x +2cos 2x=sin 2x +cos 2x +1=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4+1, 所以T =2π2=π,故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=2sin x cos x +2cos 2x=sin 2x +cos 2x +1 =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+1. (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4=2sin 11π4+1 =2sin π4+1=2.(2)因为T =2π2=π,所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .14.、[2014·全国卷] 函数y =cos 2x +2sin x 的最大值为________.14.32 [解析] 因为y =cos 2x +2sin x =1-2sin x 2+2sin x =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x -122+32,所以当sin x =12时函数y =cos 2x +2sin x 取得最大值,最大值为32.16.、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于________.16.43[解析] 如图所示,根据题意知,OA ⊥PA ,OA =2,OP =10,所以PA =OP 2-OA 2=2 2,所以tan ∠OPA =OA PA =22 2=12,故tan ∠APB =2tan ∠OPA 1-tan 2∠OPA =43,即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α>0,则( ) A .sin α>0 B .cos α>0 C .sin 2α>0 D .cos 2α>0 2.C [解析]因为sin 2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α>0,所以选C. 17.、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π4. (1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值. 17.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z , 由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z .(2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4(cos 2α-sin 2α).所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4-sin αsin π4(cos 2α-sin 2α), 即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α在第二象限内,得α=3π4+2k π,k ∈Z .此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52.C7 三角函数的求值、化简与证明16.、[2014·广东卷] 已知函数f (x )=A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,x ∈R ,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12=322.(1)求A 的值;(2)若f (θ)-f (-θ)=3,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-θ.18.、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差.18.解:(1)f (8)=10-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12×8=10-3cos 2π3-sin 2π3=10-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-32=10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )=10-2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,所以-1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. 5.、[2014·江苏卷] 已知函数y =cos x 与y =sin(2x +φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是________.5.π6 [解析] 将x =π3分别代入两个函数,得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3+φ=12,解得23π+φ=π6+2k π(k ∈Z )或23π+φ=5π6+2k π(k ∈Z ),化简解得φ=-π2+2k π(k ∈Z )或φ=π6+2k π(k ∈Z ).又φ∈[0,π),故φ=π6.15.[2014·江苏卷] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,sin α=55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α的值;(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6-2α的值. 15.解: (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,sin α=55, 所以cos α=-1-sin 2α=-2 55.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4+α=sin π4cos α+cos π4sin α=22×⎝ ⎛⎭⎪⎫-2 55+22×55=-1010. (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2×55× ⎝⎛⎭⎪⎫-2 55=-45,cos 2α=1-2sin 2α=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552=35,所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6-2α=cos 5π6cos 2α+sin 5π6sin 2α=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32×35+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-45=-4+3 310.16.、[2014·江西卷] 已知函数f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)为奇函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0,其中a ∈R ,θ∈(0,π).(1)求a ,θ的值;(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4=-25,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3的值. 16.解:(1)因为f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)是奇函数,而y 1=a +2cos 2x 为偶函数,所以y 2=cos(2x +θ)为奇函数.又θ∈(0,π),得θ=π2,所以f (x )=-sin 2x ·(a +2cos 2x ).由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0得-(a +1)=0,即a =-1. (2)由(1)得,f (x )=-12sin 4x .因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4=-12sin α=-25, 所以sin α=45,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π, 从而cos α=-35,所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=sin αcos π3+cos αsin π3=4-3 310. 17.、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC →=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2,得c ·a cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B ,又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2.因为a >c ,所以a =3,c =2. (2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫132=223. 由正弦定理,得sin C =c b sin B =23×223=429.因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫4292=79.于是cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C = 13×79+2 23×4 29=2327. 21.、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=π(x -cos x )-2sin x -2,g (x )=(x -π)1-sin x 1+sin x +2x π-1.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1>π. 21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2时,f ′(x )=π+πsin x -2cos x >0,所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2上为增函数.又f (0)=-π-2<0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=π22-4>0,所以存在唯一x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π时,化简得g (x )=(π-x )·cos x 1+sin x +2x π-1. 令t =π-x 则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2.记u (t )=g (π-t )=-t cos t 1+sin t -2πt +1,则u ′(t )=f (t )π(1+sin t ). 由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )<0;当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0,π2时,u ′(t )>0.所以在⎝⎛⎭⎪⎫x 0,π2上u (t )为增函数,由u ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=0知,当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫x 0,π2时,u (t )<0,所以u (t )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫x 0,π2上无零点.在(0,x 0)上u (t )为减函数,由u (0)=1及u (x 0)<0知存在唯一t 0∈(0,x 0),使u (t 0)=0.于是存在唯一t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,使u (t 0)=0.设x 1=π-t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,则g (x 1)=g (π-t 0)=u (t 0)=0.因此存在唯一的x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,使g (x 1)=0. 由于x 1=π-t 0,t 0<x 0,所以x 0+x 1>π.12.,[2014·山东卷] 函数y =32sin 2x +cos 2x 的最小正周期为________.12.π [解析] 因为y =32sin 2x +1+cos 2x 2= sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6+12,所以该函数的最小正周期T =2π2=π .17.、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值. 17.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z , 由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z .(2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4(cos 2α-sin 2α).所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎪⎫cos αcos π4-sin αsin π4(cos 2α-sin 2α), 即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α在第二象限内,得α=3π4+2k π,k ∈Z .此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 16.[2014·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知 a -c =66b ,sin B =6sin C . (1)求cos A 的值;(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A -π6的值. 16.解:(1)在△ABC 中,由b sin B =csin C,及sin B =6sin C ,可得b =6c .又由a -c =66b ,有a =2c . 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =6c 2+c 2-4c 226c2=64. (2)在△ABC 中,由cos A =64,可得sin A =104.于是cos 2A =2cos 2A -1=-14,sin2A =2sin A ·cos A =154. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A -π6=cos 2A ·cos π6+sin 2A ·sin π6=15-38.C8 解三角形18.[2014·浙江卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A -B2+4sin A sin B =2+ 2. (1)求角C 的大小;(2)已知b =4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值. 18.解:(1)由已知得2[1-cos(A -B )]+4sin A sin B =2+2, 化简得-2cos A cos B +2sin A sin B =2, 故cos(A +B )=-22, 所以A +B =3π4,从而C =π4.(2)因为S △ABC =12ab sin C ,由S △ABC =6,b =4,C =π4,得a =3 2.由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,得c =10. 16.、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值.16.解: 由三角形面积公式,得 12×3×1·sin A =2,故sin A =2 23. 因为sin 2A +cos 2A =1, 所以cos A =±1-sin 2A =±1-89=±13. ①当cos A =13时,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =32+12-2×1×3×13=8,所以a =2 2. ②当cos A =-13时,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =32+12-2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=12,所以a =2 3.12.[2014·北京卷] 在△ABC 中,a =1,b =2,cos C =14,则c =________;sin A =________.12.2158 [解析] 由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =1+4-2×2×1×14=4,即c =2;cos A =b 2+c 2-a 22bc =4+4-12×2×2=78,∴sin A =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫782=158.14.[2014·福建卷] 在△ABC 中,A =60°,AC =2,BC =3,则AB 等于________.14.1 [解析] 由BC sin A =AC sin B ,得sin B =2sin 60°3=1,即B =90°,所以△ABC 为以AB ,BC 为直角边的直角三角形, 则AB =AC 2-BC 2=22-(3)2=1,即AB 等于1.7.、[2014·广东卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A .充分必要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件7.A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径,R >0,由正弦定理,得a =2R sin A ,b =2R sin B .故选A.∵sin ≤A sin B ,∴2R sin A ≤2R sin B ,∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13.[2014·湖北卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知A =π6,a=1,b =3,则B =________.13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A =b sin B ,即1sinπ6=3sin B ,解得sin B =32.又因为b >a ,所以B =π3或2π3.19.、、[2014·湖南卷] 如图14所示,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE =1,EC =7,EA =2,∠ADC =2π3,∠BEC =π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.图1419.解:设∠CED =α.(1)在△CDE 中,由余弦定理,得EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·cos ∠EDC ,于是由题设知,7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD - 6=0,解得CD =2(CD =-3舍去). 在△CDE 中,由正弦定理,得EC sin ∠EDC =CDsin α.于是,sin α=CD ·sin2π3EC=2×327=217,即sin ∠CED =217. (2)由题设知,0<α<π3,于是由(1)知,cos α=1-sin 2α=1-2149=277. 而∠AEB =2π3-α,所以cos ∠AEB =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-α=cos 2π3cos α+sin 2π3sin α =-12cos α+32sin α=-12×277+32×217=714.在Rt △EAB 中,cos ∠AEB =EA BE =2BE,故 BE =2cos ∠AEB =2714=47.14.、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A +2sin B =2sin C ,则cos C 的最小值是______.14.6-24[解析] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,则由正弦定理得a +2b =2c .故cos C =a 2+b 2-c 22ab=a 2+b 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +2b 222ab=34a 2+12b 2-22ab 2ab =34a 2+12b 22ab -24≥234a 2·12b 22ab -24=6-24,当且仅当3a 2=2b 2,即ab=23时等号成立.18.、、、[2014·江苏卷] 如图16所示,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m .经测量,点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO =43. (1)求新桥BC 的长.(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?图1618.解: 方法一:(1)如图所示, 以O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170,0), 直线 BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO =-43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB =34.设点 B 的坐标为(a ,b ), 则k BC =b -0a -170=-43, k AB =b -60a -0=34, 解得a =80, b =120,所以BC =(170-80)2+(0-120)2=150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM =d m (0≤d ≤60). 由条件知, 直线BC 的方程为y =-43(x -170),即4x +3y -680=0.由于圆M 与直线BC 相切, 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ,即r =|3d - 680|42+32=680-3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎪⎨680 - 3d 5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d 5最大, 即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大. 方法二:(1)如图所示, 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO =43,所以sin ∠FCO =45, cos ∠FCO =35.因为OA =60,OC =170,所以OF =OC tan ∠FCO =6803, CF =OC cos ∠FCO =8503, 从而AF =OF -OA =5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45.又因为 AB ⊥BC ,所以BF =AF cos ∠AFB =4003, 从而BC =CF -BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ,连接 MD ,则MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半径,并设MD =r m ,OM =d m (0≤d ≤60).因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO =cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO =MD MF =MD OF -OM =r6803-d=35, 所以r =680-3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ,所以⎩⎪⎨⎪⎧r -d ≥80,r -(60-d )≥80,即⎩⎪⎨680-3d 5-(60-d )≥80,解得10≤d ≤35.故当d =10时, r =680 - 3d 5最大,即圆面积最大,所以当OM =10 m 时, 圆形保护区的面积最大.5.[2014·江西卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若3a =2b ,则2sin 2B -sin 2A sin 2A的值为( ) A .-19 B.13 C .1 D.725.D [解析] 由正弦定理得,原式=2b 2-a 2a 2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2-1=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322-1=72. 17.、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC →=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2,得c ·a cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B ,又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23×223=429.因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫4292=79.于是cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C = 13×79+2 23×4 29=2327. 18.、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知3a cos C =2c cosA ,tan A =13,求B .18.解:由题设和正弦定理得3sin A cos C =2sin C cos A , 故3tan A cos C =2sin C . 因为tan A =13,所以cos C =2sin C , 所以tan C =12,所以tan B =tan[180°-(A +C )] =-tan(A +C ) =tan A +tan Ctan A tan C -1=-1,所以B =135°.17.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB =1,BC =3,CD =DA =2.(1)求C 和BD ;(2)求四边形ABCD 的面积.17.解:(1)由题设及余弦定理得 BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos C =13-12cos C ,①BD 2=AB 2+DA 2-2AB ·DA cos A =5+4cos C .②由①②得cos C =12,故C =60°,BD =7.(2)四边形ABCD 的面积 S =12AB ·DA sin A +12BC ·CD sin C=⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2+12×3×2sin 60°=2 3. 16.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图13,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°,C 点的仰角∠CAB =45°,以及∠MAC =75°,从C 点测得∠MCA =60°.已知山高BC =100 m ,则山高MN =________m.图1316.150 [解析] 在Rt △ABC 中,BC =100,∠CAB =45°,所以AC =100 2.在△MAC 中,∠MAC =75°,∠MCA =60°,所以∠AMC =45°,由正弦定理有AM sin ∠MCA =ACsin ∠AMC ,即AM =sin 60°sin 45°×100 2=1003,于是在Rt △AMN 中,有MN =sin 60°×1003=150 .17.,,[2014·山东卷] △ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a =3,cos A =63,B =A +π2.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编4—三角函数及解三角形(文科)

证明:(Ⅰ)存在唯一 ,使 ;
(Ⅱ)存在唯一 ,使 ,且对(1)中的x0,有 .
21.(Ⅰ)当 时, ,所以 在 上为增函数.又 . .所以存在唯一 ,使 .
(Ⅱ)当 时,化简得 .令 .记
. .则 .由(Ⅰ)得,当 时, ;当 时, .从而在 上 为增函数,由 知,当 时, ,所以 在 上无零点.在 上 为减函数,由 及 知存在唯一 ,使得 .于是存在唯一 ,使得 .设 .
2.已知角 的终边经过点 ,则 ()
A. B. C. D.
2.D[解析]根据题意,cosα= =- .
14.函数 的最大值为.
14. [解析]因为y=cos2x+2sinx=1-2sinx2+2sinx=-2 + ,所以当sinx= 时函数y=cos2x+2sinx取得最大值,最大值为 .
13. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知 ,求B.
故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.
19.(本小题满分13分)如图4,在平面四边形 中, ,
(1)求 的值;
(2)求 的长
解:[19]:如图设
(I)在 中,由余弦定理可得 ,于是又题设可知 ,即 ,解得 ( 舍去),
在 中,由正弦定理可得 ,
即 .
(I)由题设可得 ,于是由(I)知 ,而 ,所以 ,在 中, ,
14.在 中, ,则 等于_________
[解析]14. [解析]由 = ,得sinB= =1,
即B=90°,所以△ABC为以AB,BC为直角边的直角三角形,
则AB= = =1,即AB等于1
18.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)求 的值;
2014年高中数学题型分析(三角函数大题)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编:三角函数(教师)1、(2013年高考北京卷(理))在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos 3A =.(II)由(I)知cos A =,所以s i n A ==.又因为∠B=2∠A,所以21c o s 2c o s 13B A =-=.所以sin B ==.在△ABC 中,sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a Cc A==.2、(2013年高考陕西卷(理))已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ)()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ)上的图像知,在,由标准函数时,当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.3、(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))在ABC 中,内角,,A B C的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos cos A B A B ααα++==求tan α的值. 【答案】由题意得4、(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; [来源:学§科§网](Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】5、(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值; (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】6、(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C . 【答案】7、(2013年高考四川卷(理))在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a bA B=,所以,sin sin 2b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为cos 2BA B =7、(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设△ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos ba c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+,又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =.(Ⅱ)在△ABC 中,sin 9B ==,由正弦定理得sin sin 3a B A b ==,因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-=.8、(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.【答案】解:(Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ;解得,令时,当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x所以.]28[]8,0[)(上单调递减,上单调递增;在在πππx f y = 9、(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ==,,παβ<<<0.(1)若||a b -= ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.【答案】解:(1)∵2||=- ∴2||2=- 即()22222=+-=-,又∵1sin cos ||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-∴0=∴⊥(2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==10、(2013年高考湖南卷(理))已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()5f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.【答案】解:(I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ11、、(2013年高考湖北卷(理))在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴== 12、(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.【答案】13、(2013年高考新课标1(理))如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得o sin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=,∴tan αtan PBA ∠. 14、(2013年高考江西卷(理))在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3B π=.(2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-.因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.2014年全国高考理科数学试题分类汇编:三角函数(学生)1、(2013年高考北京卷(理))在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.2、(2013年高考陕西卷(理))已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.3、(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))在ABC 中,内角,,A B C的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==求tan α的值. 4、(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; [来源:学§科§网](Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.5、(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值; (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值 6、(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=. (I)求B(II)若1sin sin 4A C =,求C . 7、(2013年高考四川卷(理))在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影. 7、(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设△ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.8、(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.9、(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ==,,παβ<<<0.(1)若||a b -= ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.10、(2013年高考湖南卷(理))已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()5f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.11、(2013年高考湖北卷(理))在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.12、(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+. (Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.13、(2013年高考新课标1(理))如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA14、(2013年高考江西卷(理))在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围。
2014年高考数学三角函数、解三角形汇编

2014年高考数学三角函数、解三角形1.已知函数,(1)求的最大值和最小值;(2)若方程仅有一解,求实数的取值范围.2.已知函数的最小正周期是.(1)求的单调递增区间;(2)求在[,]上的最大值和最小值.3.已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的最小值和最大值.4.已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.5.已知向量(为常数且),函数在上的最大值为.(1)求实数的值;(2)把函数的图象向右平移个单位,可得函数的图象,若在上为增函数,求取最大值时的单调增区间.6.在中,角的对边分别为且.(1)求;(2)若,求的面积.7.设函数,其中向量。
(1)求的最小值,并求使取得最小值的的集合。
(2)将函数图像沿轴向右平移,则至少平移多少个单位长度,才能使得到的函数的图像关于轴对称。
8.已知函数,钝角(角对边为)的角满足.(1)求函数的单调递增区间;(2)若,求.9.设函数f(x)=sin+sin+cos ωx(其中ω>0),且函数f(x)的图象的两条相邻的对称轴间的距离为.(1)求ω的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.10.已知函数f(x)=tan.(1)求f的值;(2)设α∈,若f=2,求cos的值.11.已知函数,的最大值为2.(Ⅰ)求函数在上的值域;(Ⅱ)已知外接圆半径,,角所对的边分别是,求的值.12.在中,分别为角的对边,的面积满足.(Ⅰ)求角A的值;(Ⅱ)若,设角B的大小为x,用x表示c并求的取值范围.13.在中,内角的对边分别为. 已知.(1)求的值;(2)若,求的面积.14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且C=120°.(1)求角A;(2)若a=2,求c.15.已知函数.(Ⅰ)求的最小正周期和对称中心;(Ⅱ)若将的图像向左平移个单位后所得到的图像关于轴对称,求实数的最小值.16.(本小题满分12分)设.(Ⅰ)求最大值及相应值;(Ⅱ)锐角中,满足.求取值范围.17.在△,已知(1)求角值;(2)求的最大值.18.已知:三个内角A,B,C所对的边,向量,设(1)若,求角;(2)在(1)的条件下,若,求三角形ABC的面积.19.在中,边、、分别是角、、的对边,且满足(1)求;(2)若,,求边,的值.20.在中,的对边分别为且成等差数列.(1)求B的值;(2)求的范围.21.已知中,角、、的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)设向量,且,求的值.22.在中,角所对的边分别为,已知,(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,求的取值范围.参考答案1.(1),(2)【解析】试题分析:(1)先用余弦的二倍角公式将其降幂,再用诱导公式及化一公式将其化简为或的形式,再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。
2014年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编(下)

2014年全国高考试卷三角函数与解三角形部分汇编(下)1. (2014山东理12)在ABC △中,已知tan AB AC A ⋅=,当π6A =时,ABC △的面积为______. 【解析】 162. (2014山东理16)已知向量(cos2)a m x =,,(sin 2)b x n =,,设函数()f x a b =⋅,且()y f x =的图象过点(12π和点2(2)3π-,.⑴求m n ,的值;⑵将()y f x =的图象向左平移ϕ(0ϕπ<<)个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(03),的距离的最小值为1,求()y g x =的单调增区间. 【解析】 ⑴ 已知()sin 2cos2f x a b m x n x =⋅=+,()f x 的图象过点π2π2123⎛⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭,,,πππ()sin cos 1266f m n ∴=+2π4π4π()sin cos 2333f m n =+=-12122m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩解得1m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⑵π()cos22sin(2)6f x x x x +=+,π()(+)=2sin(22)6g x f x x ϕϕ=++设()g x 的对称轴为0x x =,11d =+,解得00x =(0)2g ∴=,解得π6ϕ=πππ()2sin(2)2sin(2)2cos2362g x x x x ∴=++=+=π2π22π,k x k k ∴-+∈Z ≤≤ πππ,2k x k k -+∈Z ≤≤ ()f x ∴的单调增区间πππ,2k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,3. (2014)函数22cos y x x =+的最小正周期为 . 【解析】 π4. (2014山东文17)ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知π3,cos ,2a A B A ==+. ⑴求b 的值;⑵求ABC △的面积.【解析】 ⑴ 由题意知:sin A =πsin sin()cos 2B A A =+=由正弦定理得:sin sin a b A B =,sin sin a Bb A∴==;⑵ 由余弦定理得2222cos 902b c a A c bc +-==⇒-+=,12c c ∴=又因为π2B A =+为钝角,所以b c >,c =所以1sin 2ABC S bc A ==△.5. (2014陕西理2)函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A .π2B .πC .2πD .4π【解析】 B2ω=∴Q ,最小正周期2ππR ω==.故选B .6. (2014陕西理13)设π02θ<<,向量a ()sin 2cos θθ=,, b ()cos 1θ=,,若a b ∥,则tan θ=_________.【解析】 12∵2sin 21cos θθ∴⨯-=0∥,,a b ∴22sin cos cos θθθ-=0,∵π02θ<<,∴cos θ>0∴2sin =cos θθ,∴1tan 2θ=.7. (2014陕西理16)ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .⑴若a ,b ,c 成等差数列,证明:()sin sin 2sin A C A C +=+.⑵若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值.【解析】 ⑴ a b c Q ,,成等差数列,2a c b ∴+=.由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=,sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+Qsin sin 2sin()A C A C ∴+=+.⑵ a b c Q ,,成等比数列,2b ac ∴=.由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥.当且仅当a c =时等号成立.cos B ∴的最小值为12. 8. (2014陕西文2)函数π()cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A .π2B .πC .2πD .4π【解析】 B9. (2014陕西文13)设π02θ<<,向量(sin 2cos (1cos 0a b a b θθθ=)=-⋅=,,,),r r r r ,则tan θ=____________.【解析】 1210. (2014陕西文16)ABC △ 的内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,, ⑴成等差数列,证明:sin sin 2sin()A C A C +=+;⑵若a b c ,,成等比数列,且2c a =,求cos B 的值.【解析】 ⑴ 证明:∵,,a b c 成等差数列,∴2a c b +=.由正弦定理得sin sin 2sin A C B +=.∵()()sin sin πsin B A C A C =-+=+⎡⎤⎣⎦,∴()sin sin 2sin A C A C +=+. ⑵ 由题设有2b ac =,2c a =,∴b =,由余弦定理得2222222423cos 244a cb a a a B ac a +-+-===. 11. (2014上海理21)如图,某公司要在,A B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ,其中D 是顶点,AC 长35米,CB 长80米,设点,A B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β。
2014全国高考理数试题分类汇编:三角函数

2014全国高考试题分类汇编:三角函数 1.已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (1)若02πα<<,且2sin 2α=,求()f α的值; (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.2.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,且B A c b 2,1,3===.(Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求)4sin(π+A 的值.3.已知函数()sin(3)4f x x π=+.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,4()cos()cos 2354f απαα=+,求cos sin αα-的值.4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知,3a b c ≠=22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-(Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)若4sin 5A = ,求△ABC 的面积.5.某实验室一天的温度(单位:)随时间(单位;h )的变化近似满足函数关系;(1) 求实验室这一天的最大温差;(2) 若要求实验室温度不高于,则在哪段时间实验室需要降温?6.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===.(1)求cos CAD ∠的值;(2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.7.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,)22a R ππθ∈∈-(1)当2,4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值.8.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙=,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值;(2)cos()B C -的值.9.已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭,x R ∈. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 10.已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π,且23)125(=πf , (1)求A 的值;(2)若23)()(=-+θθf f ,)2,0(πθ∈,求)43(θπ-f .11.已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==,函数()f x a b =⋅,且()y f x =的图像过 点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (I )求,m n 的值;(II )将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像,若 ()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.12.ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. (I )若c b a ,,成等差数列,证明:()C A C A +=+sin 2sin sin ;(II )若c b a ,,成等比数列,求B cos 的最小值.13.已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω,x x f 的图像关于直线3π=x 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(I )求ω和ϕ的值;(II )若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值14.已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. (2)若02πα<<,且2sin 2α=,求()f α的值; (3)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.15.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,且B A c b 2,1,3===.(Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求)4sin(π+A 的值.16.已知函数()sin(3)4f x x π=+.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,4()cos()cos 2354f απαα=+,求cos sin αα-的值.17.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知,3a b c ≠=22cos cos 3sin cos 3sin cos A B A A B B -=-(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若4sin 5A =,求△ABC 的面积.18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===.(1)求cos CAD ∠的值;(2)若7cos 14BAD ∠=-,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.19.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,)22a R ππθ∈∈-(1)当2,4a πθ==时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;(2)若()0,()12f f ππ==,求,a θ的值.20.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙=,1cos 3B =,3b =,求:(1)a 和c 的值;(2)cos()B C -的值.21.已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭,x R ∈. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.22.已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π,且23)125(=πf , (1)求A 的值;(2)若23)()(=-+θθf f ,)2,0(πθ∈,求)43(θπ-f . 23.已知向量()(),cos 2,sin 2,a m x b x n ==,函数()f x a b =⋅,且()y f x =的图像过 点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (I )求,m n 的值;(II )将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像,若 ()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.24.ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. (I )若c b a ,,成等差数列,证明:()C A C A +=+sin 2sin sin ; (II )若c b a ,,成等比数列,求B cos 的最小值.25.已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω,x x f 的图像关于直线3π=x 对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(I )求ω和ϕ的值;(II )若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.。
2014年高考数学(理)试题分项版解析:专题04 三角函数与解三角形(分类汇编)Word版含解析

1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π=2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<,它们的图像有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 .3. 【2014高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =,则co s C 的最小值是 .【答案】4【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =,4. 【2014辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[,]1212ππ上单调递减 B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增5. 【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边,2=a ,且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+,则ABC ∆面积的最大值为____________.又22b c 4bc bc +-=≥,故1S bcsinA 2BAC ∆=≤ 【考点定位】1、正弦定理和余弦定理;2、()三角形的面积公式.6. 【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,,则AC=( )A. 5B.C. 2D. 17. 【2014全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.8. 【2014山东高考理第12题】在ABC ∆中,已知tan AB AC A ⋅=,当6A π=时,ABC∆的面积为________.9. 【2014四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( ) A .向左平行移动12个单位长度 B .向右平行移动12个单位长度 C .向左平行移动1个单位长度 D .向右平行移动1个单位长度10. 【2014高考广东卷理第12题】在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,已知b B c C b 2cos cos =+,则=ba.11. 【2014全国1高考理第6题】如图,图O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ,则],0[)(π在x f y =的图像大致为( )【考点定位】1.解直角三角形;2、三角函数的图象. 12.【2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则( ) (A ) 32παβ-=(B )32παβ+=(C )22παβ-=(D )22παβ+=13. 【2014高考北京版理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数,0,0A ω>>).若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性,且2()()()236f f f πππ==-,则()f x 的最小正周期为 .14. 【2014高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称, 则ϕ的最小正值是________.15. 【2014高考福建卷第12题】在ABC ∆中,60,4,A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________.16. 【2014江西高考理第4题】在ABC ∆中,内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ,若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积( )A.3B.239 C.233 D.3317. .【2014四川高考理第13题】如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67,30,此时气球的高是46m ,则河流的宽度BC 约等于 m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 670.92≈,cos670.39≈,sin 370.60≈,cos370.80≈ 1.73≈)18. 【2014浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像,可以将函数x y 3sin 2=的图像( )A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位19. 【2014浙江高考理第17题】如图,某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为,某目标点沿墙面的射击线移动,此人为了准确瞄准目标点,需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 .20.【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足,,面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为,记≤≤所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A.8)(>+c b bcB.()ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A 【解析】试题分析:由题设得:()()1sin 2+sin 2sin 22A B C ππ-=-+1sin 2+sin2B+sin 22A C ⇒=21. 【2014陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是( ).2A π .B π .2C π .4D π22. 【2014天津高考理第12题】在ABC D 中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=,2sin 3sin B C =,则cos A 的值为_______.23. 【2014大纲高考理第3题】设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则( )A .a b c >>B .b c a >>C .c b a >>D .c a b >>24. 【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数,则a 的取值范围是 .。
2014年全国高考理科数学试题分类汇编三角函数数列

数 学D 单元 数列D1 数列的概念与简单表示法 17.、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0.(1)令c n =a nb n ,求数列{c n }的通项公式;(2)若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .17.解:(1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n +1b n +1-a nb n=2,即c n +1-c n =2,所以数列{c n }是以c 1=1为首项,d =2为公差的等差数列,故c n =2n -1.(2)由b n =3n -1,知a n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1×30+3×31+5×32+…+(2n -1)×3n -1,3S n =1×31+3×32+…+(2n -3)×3n -1+(2n -1)×3n ,将两式相减得-2S n =1+2×(31+32+…+3n -1)-(2n -1)×3n =-2-(2n -2)×3n ,所以S n =(n -1)3n +1. 17.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n +2-a n =λ.(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.17.解:(1)证明:由题设,a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1, 两式相减得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1. 因为a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ.(2)由题设,a 1=1,a 1a 2=λS 1-1,可得 a 2=λ-1, 由(1)知,a 3=λ+1.若{a n }为等差数列,则2a 2=a 1+a 3,解得λ=4,故a n +2-a n =4. 由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列, a 2n -1=4n -3;{a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1. 所以a n =2n -1,a n +1-a n =2.因此存在λ=4,使得数列{a n }为等差数列. 17.、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.17.解:(1)由a n +1=3a n +1得a n +1+12=3⎝⎛⎭⎫a n +12. 又a 1+12=32,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是首项为32,公比为3的等比数列,所以a n +12=3n2,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n -12.(2)证明:由(1)知1a n =23n -1.因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n -1,所以13n -1≤12×3n 1,即1a n =23n-1≤13n 1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32⎝⎛⎫1-13n <32. 所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.22.,,[2014·重庆卷] 设a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +2+b (n ∈N *). (1)若b =1,求a 2,a 3及数列{a n }的通项公式.(2)若b =-1,问:是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n +1对所有n ∈N *成立?证明你的结论. 22.解:(1)方法一:a 2=2,a 3=2+1. 再由题设条件知(a n +1-1)2=(a n -1)2+1.从而{(a n -1)2}是首项为0,公差为1的等差数列, 故(a n -1)2=n -1,即a n =n -1+1(n ∈N *). 方法二:a 2=2,a 3=2+1.可写为a 1=1-1+1,a 2=2-1+1,a 3=3-1+1.因此猜想a n =n -1+1. 下面用数学归纳法证明上式. 当n =1时,结论显然成立.假设n =k 时结论成立,即a k =k -1+1,则a k +1=(a k -1)2+1+1=(k -1)+1+1=(k +1)-1+1, 这就是说,当n =k +1时结论成立. 所以a n =n -1+1(n ∈N *).(2)方法一:设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ).令c =f (c ),即c =(c -1)2+1-1,解得c =14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n +1<1.当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (0)=2-1,所以a 2<14<a 3<1,结论成立.假设n =k 时结论成立,即a 2k <c <a 2k +1<1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而 c =f (c )>f (a 2k +1)>f (1)=a 2,即 1>c >a 2k +2>a 2.再由f (x )在(-∞,1]上为减函数,得c =f (c )<f (a 2k +2)<f (a 2)=a 3<1,故c <a 2k +3<1,因此a 2(k +1)<c <a 2(k +1)+1<1,这就是说,当n =k +1时结论成立.综上,存在 c =14使a 2n <C <a 2a +1对所有n ∈N *成立.方法二:设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ). 先证:0≤a n ≤1(n ∈N *). ① 当n =1时,结论明显成立.假设n =k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而 0=f (1)≤f (a k )≤f (0)=2-1<1.即0≤a k +1≤1.这就是说,当n =k +1时结论成立.故①成立. 再证:a 2n <a 2n +1(n ∈N *). ②当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (a 2)=f (0)=2-1,所以a 2<a 3,即n =1时②成立. 假设n =k 时,结论成立,即a 2k <a 2k +1. 由①及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k +1=f (a 2k )>f (a 2k +1)=a 2k +2, a 2(k +1)=f (a 2k +1)<f (a 2k +2)=a 2(k +1)+1.这就是说,当n =k +1时②成立.所以②对一切n ∈N *成立. 由②得a 2n <a 22n -2a 2n +2-1,即(a 2n +1)2<a 22n -2a 2n +2,因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得f (a 2n )>f (a 2n +1),即a 2n +1>a 2n +2.所以a 2n +1>a 22n +1-2a 2n +1+2-1,解得a 2n +1>14. ④ 综上,由②③④知存在c =14使a 2n <c <a 2n +1对一切n ∈N *成立.D2 等差数列及等差数列前n 项和 12.、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q =________.12.112.[2014·北京卷] 若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.12.8 3.[2014·福建卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8 B .10 C .12 D .14 3.C 18.、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n +800?若存在,求nn =4n -2. 800, 成立.2n 2.此时存在正整数n ,使得S n >60n +800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的正整数n ;当a n =4n -2时,存在满足题意的正整数n ,其最小值为41. 20.、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1=1,|a n +1-a n |=p n ,n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列,且a 1,2a 2,3a 3成等差数列,求p 的值;(2)若p =12,且{a 2n -1}是递增数列,{a 2n }是递减数列,求数列{a n }的通项公式.20.解:(1)因为{a n }是递增数列,所以a n +1-a n =|a n +1-a n |=p n .而a 1=1,因此 a 2=p +1,a 3=p 2+p +1.又a 1,2a 2,3a 3成等差数列,所以4a 2=a 1+3a 3,因而3p 2-p =0,解得p =13或p =0.当p =0时,a n +1=a n ,这与{a n }是递增数列矛盾,故p =13.(2)由于{a 2n -1}是递增数列,因而a 2n +1-a 2n -1>0,于是(a 2n +1-a 2n )+(a 2n -a 2n -1)>0.①因为122n <122n -1,所以|a 2n +1-a 2n |<|a 2n -a 2n -1|.②由①②知,a 2n -a 2n -1>0,因此a 2n -a 2n -1=⎝⎛⎭⎫122n -1=(-1)2n 22n -1.③ 因为{a 2n }是递减数列,同理可得,a 2n +1-a 2n <0,故a 2n +1-a 2n =-⎝⎛⎭⎫122n=(-1)2n +122n.④由③④可知,a n +1-a n =(-1)n +12n.于是a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+12-122+…+(-1)n2n -1=1+12·1-⎝⎛⎭⎫-12n -11+12=43+13·(-1)n2n -1. 故数列{a n }的通项公式为a n =43+13·(-1)n2n -1. 8.[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列,则( ) A .d <0 B .d >0 C .a 1d <0 D .a 1d >0 8.C 18.、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=10,a 2为整数,且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .18.解:(1)由a 1=10,a 2为整数知,等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4,故a 4≥0,a 5≤0, 于是10+3d ≥0,10+4d ≤0, 解得-103≤d ≤-52,因此d =-3.故数列{a n }的通项公式为a n =13-3n . (2)b n =1(13-3n )(10-3n )=13⎝⎛⎭⎫110-3n -113-3n .于是T n =b 1+b 2+…+b n =13⎝⎛⎭⎫17-110+⎝⎛⎭⎫14-17+…+⎝⎛⎭⎫110-3n -113-3n =13⎝⎛⎭⎫110-3n -110=n 10(10-3n ).17.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n -1,其中λ为常数.(1)证明:a n +2-a n =λ.(2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由.17.解:(1)证明:由题设,a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1, 两式相减得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1. 因为a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ.(2)由题设,a 1=1,a 1a 2=λS 1-1,可得 a 2=λ-1, 由(1)知,a 3=λ+1.若{a n }为等差数列,则2a 2=a 1+a 3,解得λ=4,故a n +2-a n =4. 由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列, a 2n -1=4n -3;{a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1. 所以a n =2n -1,a n +1-a n =2.因此存在λ=4,使得数列{a n }为等差数列. 19.,,[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(-1)n-14na n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .19.解: (1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12,由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12)所以a n =2n -1. (2)由题意可知, b n =(-1)n -14na n a n +1=(-1)n-14n(2n -1)(2n +1)n -1⎛⎫1+1-⎝⎛⎭⎫12n -1+12n +1 ⎝⎛⎭⎫12n -1+12n +1 =1+12n +1=2n +22n +1. 所以T n=⎩⎪⎨⎪⎧2n +22n +1,n 为奇数,2n2n +1,n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n =2n +1+(-1)n -12n +116.,,[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .(1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C );(2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 16.解:(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a +c =2b . 由正弦定理得sin A +sin C =2sin B . ∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C ), ∴sin A +sin C =2sin(A +C ).(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac . 由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a =c 时等号成立, ∴cos B 的最小值为12.11.、[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.11.-1222.,,[2014·重庆卷] 设a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +2+b (n ∈N *). (1)若b =1,求a 2,a 3及数列{a n }的通项公式.(2)若b =-1,问:是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n +1对所有n ∈N *成立?证明你的结论. 22.解:(1)方法一:a 2=2,a 3=2+1. 再由题设条件知(a n +1-1)2=(a n -1)2+1.从而{(a n -1)2}是首项为0,公差为1的等差数列, 故(a n -1)2=n -1,即a n =n -1+1(n ∈N *). 方法二:a 2=2,a 3=2+1.可写为a 1=1-1+1,a 2=2-1+1,a 3=3-1+1.因此猜想a n =n -1+1. 下面用数学归纳法证明上式. 当n =1时,结论显然成立.假设n =k 时结论成立,即a k =k -1+1,则a k +1=(a k -1)2+1+1=(k -1)+1+1=(k +1)-1+1, 这就是说,当n =k +1时结论成立. 所以a n =n -1+1(n ∈N *).(2)方法一:设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ).令c =f (c ),即c =(c -1)2+1-1,解得c =14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n +1<1.当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (0)=2-1,所以a 2<14<a 3<1,结论成立.假设n =k 时结论成立,即a 2k <c <a 2k +1<1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而 c =f (c )>f (a 2k +1)>f (1)=a 2,即 1>c >a 2k +2>a 2.再由f (x )在(-∞,1]上为减函数,得c =f (c )<f (a 2k +2)<f (a 2)=a 3<1,故c <a 2k +3<1,因此a 2(k +1)<c <a 2(k +1)+1<1,这就是说,当n =k +1时结论成立.综上,存在 c =14使a 2n <C <a 2a +1对所有n ∈N *成立.方法二:设f (x )=(x -1)2+1-1,则a n +1=f (a n ).先证:0≤a n ≤1(n ∈N *). ① 当n =1时,结论明显成立.假设n =k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(-∞,1]上为减函数,从而 0=f (1)≤f (a k )≤f (0)=2-1<1.即0≤a k +1≤1.这就是说,当n =k +1时结论成立.故①成立. 再证:a 2n <a 2n +1(n ∈N *). ②当n =1时,a 2=f (1)=0,a 3=f (a 2)=f (0)=2-1,所以a 2<a 3,即n =1时②成立. 假设n =k 时,结论成立,即a 2k <a 2k +1. 由①及f (x )在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k +1=f (a 2k )>f (a 2k +1)=a 2k +2, a 2(k +1)=f (a 2k +1)<f (a 2k +2)=a 2(k +1)+1.这就是说,当n =k +1由②得a 2n <a 22n -2a 2n +2-1,即(a 2n +1)2<a 22n -2a 2n +2,因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(-∞,1]所以a 2n +1>a 22n +1-2a 2n +1+2-1综上,由②③④知存在c =14使a 2n <c <aD3 等比数列及等比数列前n 项和 2.[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n A .a 1,a 3,a 9成等比数列 B .a 2,a 3,a 6成等比数列 C .a 2,a 4,a 8成等比数列 D .a 3,a 6,a 9,成等比数列 2.D 12.、[2014·安徽卷] 数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q =________.12.1 13.、[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.13.50 10.[2014·全国卷] 等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A .6 B .5 C .4 D .3 10.C 18.、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n +800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.18.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意得,2,2+d ,2+4d 成等比数列, 故有(2+d )2=2(2+4d ),化简得d 2-4d =0,解得d =0或d =4. 当d =0时,a n =2;当d =4时,a n =2+(n -1)·4=4n -2.从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n -2. (2)当a n =2时,S n =2n ,显然2n <60n +800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n +800成立.当a n =4n -2时,S n =n [2+(4n -2)]2=2n 2.令2n 2>60n +800,即n 2-30n -400>0, 解得n >40或n <-10(舍去),此时存在正整数n ,使得S n >60n +800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的正整数n ;当a n =4n -2时,存在满足题意的正整数n ,其最小值为41. 17.、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.17.解:(1)由a n +1=3a n +1得a n +1+12=3⎝⎛⎭⎫a n +12. 又a 1+12=32,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是首项为32,公比为3的等比数列,所以a n +12=3n2,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n-12.(2)证明:由(1)知1a n =23n -1.因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n -1,所以13n -1≤12×3n -1,即1a n =23n-1≤13n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32⎝⎛⎭⎫1-13n <32. 所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.19.,,[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(-1)n-14na n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n . 19.解: (1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12×2=2a 1+2,S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12,由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12),解得a 1=1, 所以a n =2n -1. (2)由题意可知, b n =(-1)n -14na n a n +1=(-1)n-14n(2n -1)(2n +1)=(-1)n -1⎝⎛⎭⎫12n -1+12n +1.当n 为偶数时,T n =⎝⎛⎭⎫1+13-⎝⎛⎭⎫13+15+…+⎝⎛12n -3+⎭⎫12n -1-⎝⎛⎭⎫12n -1+12n +1 =1-12n +1=2n2n +1. 当n 为奇数时,T n =⎝⎛⎭⎫1+13-⎝⎛⎭⎫13+15+…-⎝⎛12n -3+=1+12n +1=2n +22n +1. 所以T n=⎩⎪⎨⎪⎧2n +22n +1,n 为奇数,2n2n +1,n 为偶数.⎝ ⎛或T n16.,,[2014·陕西卷] △ABC (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:(2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos c =2b . =12,n 11的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.11.-1219.、、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ={0,1,2,…,q -1},集合A ={x |x =x 1+x 2q +…+x n q n -1,x i ∈M ,i =1,2,…,n }. (1)当q =2,n =3时,用列举法表示集合A .(2)设s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1,t =b 1+b 2q +…+b n q n -1,其中a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n .证明:若a n <b n ,则s <t .19.解:(1)当q =2,n =3时,M ={0,1},A ={x |x =x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i =1,2,3},可得A ={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1,t =b 1+b 2q +…+b n q n -1,a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n 及a n <b n ,可得s -t =(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q +…+(a n -1-b n -1)q n -2+(a n -b n )q n -1≤(q -1)+(q -1)q +…+(q -1)q n -2-q n -1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n -1=-1<0, 所以s <t .D4 数列求和 17.、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0.(1)令c n =a nb n ,求数列{c n }的通项公式;(2)若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .17.解:(1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n +1b n +1-a nb n=2,即c n +1-c n =2,所以数列{c n }是以c 1=1为首项,d =2为公差的等差数列,故c n =2n -1.(2)由b n =3n -1,知a n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1×30+3×31+5×32+…+(2n -1)×3n -1,3S n =1×31+3×32+…+(2n -3)×3n -1+(2n -1)×3n ,将两式相减得-2S n =1+2×(31+32+…+3n -1)-(2n -1)×3n =-2-(2n -2)×3n ,所以S n =(n -1)3n +1. 18.、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=10,a 2为整数,且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n .18.解:(1)由a 1=10,a 2为整数知,等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4,故a 4≥0,a 5≤0, 于是10+3d ≥0,10+4d ≤0, 解得-103≤d ≤-52,因此d =-3.故数列{a n }的通项公式为a n =13-3n .(2)b n =1(13-3n )(10-3n )=13⎝⎛⎭⎫110-3n -113-3n .于是T n =b 1+b 2+…+b n =13⎝⎛⎭⎫17-110+⎝⎛⎭⎫14-17+…+⎝⎛⎭⎫110-3n -113-3n =13⎝⎛⎭⎫110-3n -110=n 10(10-3n ).19.,,[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,且S 1,S 2,S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(-1)n-14na n a n +1,求数列{b n }的前n 项和T n . 19.解: (1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12×2=2a 1+2,S 4=4a 1+4×32×2=4a 1+12,由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12),解得a 1=1, 所以a n =2n -1. (2)由题意可知, b n =(-1)n -14na n a n +1=(-1)n-14n(2n -1)(2n +1)=(-1)n -1⎝⎛⎭⎫12n -1+12n +1.当n 为偶数时,T n =⎝⎛⎭⎫1+13-⎝⎛⎭⎫13+15+…+⎝⎛12n -3+=1-12n +1=2n2n +1. 当n 为奇数时,20.、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1=1,|a n +1-a n |=p n ,n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列,且a 1,2a 2,3a 3成等差数列,求p 的值;(2)若p =12,且{a 2n -1}是递增数列,{a 2n }是递减数列,求数列{a n }的通项公式.20.解:(1)因为{a n }是递增数列,所以a n +1-a n =|a n +1-a n |=p n .而a 1=1,因此 a 2=p +1,a 3=p 2+p +1.又a 1,2a 2,3a 3成等差数列,所以4a 2=a 1+3a 3,因而3p 2-p =0,解得p =13或p =0.当p =0时,a n +1=a n ,这与{a n }是递增数列矛盾,故p =13.(2)由于{a 2n -1}是递增数列,因而a 2n +1-a 2n -1>0,于是(a 2n +1-a 2n )+(a 2n -a 2n -1)>0.①因为122n <122n 1,所以|a 2n +1-a 2n |<|a 2n -a 2n -1|.②由①②知,a 2n -a 2n -1>0,因此a 2n -a 2n -1=⎝⎛⎭⎫122n -1=(-1)2n 22n -1.③ 因为{a 2n }是递减数列,同理可得,a 2n +1-a 2n <0,故a 2n +1-a 2n =-⎝⎛⎭⎫122n=(-1)2n +122n.④由③④可知,a n +1-a n =(-1)n +12n.于是a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=1+12-122+…+(-1)n2n -1=1+12·1-⎝⎛⎭⎫-12n -11+12=43+13·(-1)n2n -1. 故数列{a n }的通项公式为a n =43+13·(-1)n2n 1.21.、、[2014·安徽卷] 设实数c >0,整数p >1,n ∈N *. (1)证明:当x >-1且x ≠0时,(1+x )p >1+px ;(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ,a n +1=p -1p a n +c p a 1-p n ,证明:a n >a n +1>c 1p. 21.证明:(1)用数学归纳法证明如下.①当p =2时,(1+x )2=1+2x +x 2>1+2x ,原不等式成立. ②假设p =k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1+x )k >1+kx 成立.当p =k +1时,(1+x )k +1=(1+x )(1+x )k >(1+x )(1+kx )=1+(k +1)x +kx 2>1+(k +1)x . 所以当p =k +1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x >-1,x ≠0时,对一切整数p >1,不等式(1+x )p >1+px 均成立. (2)方法一:先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n =1时,由题设知a 1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >c 1p成立. 由a n +1=p -1p a n +c p a 1-p n 易知a n >0,n ∈N *. 当n =k +1时,a k +1a k =p -1p +c p a -p k =1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p k-1. 由a k >c 1p >0得-1<-1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k-1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k +1a k p=⎣⎡⎦⎤1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p k -1p>1+p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k -1=c a p k . 因此a p k +1>c ,即a k +1>c 1p,所以当n =k +1时,不等式a n >c 1p也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 1p 均成立.再由a n +1a n =1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p n -1可得a n +1a n <1, 即a n +1<a n .综上所述,a n >a n +1>c 1p,n ∈N *.方法二:设f (x )=p -1p x +c p x 1-p ,x ≥c 1p ,则x p ≥c ,所以f ′(x )=p -1p +c p (1-p )x -p =p -1p ⎝⎛1由此可得,f (x )在[c 1p ,+∞)①当n =1时,由a 1>c 1p>0,即a p 1>c a 2=p -1p a 1+c p a 1-p 1=a 1⎣⎡⎦⎤1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1-1<故当n =1时,不等式a n >a n +1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >c 1p ),a n >a n +1>c 1p均成立.n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. n ,使得S n >60n +800?若存在,求n 当d =0时,a n =2;当d =4时,a n =2+(n -1)·4=4n -2.从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n -2. (2)当a n =2时,S n =2n ,显然2n <60n +800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n +800成立.当a n =4n -2时,S n =n [2+(4n -2)]2=2n 2.令2n 2>60n +800,即n 2-30n -400>0, 解得n >40或n <-10(舍去),此时存在正整数n ,使得S n >60n +800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的正整数n ;当a n =4n -2时,存在满足题意的正整数n ,其最小值为41. 17.、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0.(1)令c n =a nb n ,求数列{c n }的通项公式;(2)若b n =3n -1,求数列{a n }的前n 项和S n .17.解:(1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n +1b n +1-a nb n=2,即c n +1-c n =2,所以数列{c n }是以c 1=1为首项,d =2为公差的等差数列,故c n =2n -1.(2)由b n =3n -1,知a n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1×30+3×31+5×32+…+(2n -1)×3n -1,3S n =1×31+3×32+…+(2n -3)×3n -1+(2n -1)×3n ,将两式相减得-2S n =1+2×(31+32+…+3n -1)-(2n -1)×3n =-2-(2n -2)×3n ,所以S n =(n -1)3n +1. 17.、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.17.解:(1)由a n +1=3a n +1得a n +1+12=3⎝⎛⎭⎫a n +12. 又a 1+12=32,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +12是首项为32,公比为3的等比数列,所以a n +12=3n2,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n-12.(2)证明:由(1)知1a n =23n -1.因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n -1,所以13n -1≤12×3n -1,即1a n =23n-1≤13n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32⎝⎛⎭⎫1-13n <32. 所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.19.,[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图像上(n ∈N *).(1)若a 1=-2,点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上,求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)若a 1=1,函数f (x )的图像在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln 2,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .19.解:(1)由已知得,b 7=2a 7,b 8=2a 8=4b 7,所以 2a 8=4×2a 7=2a 7+2,解得d =a 8-a 7=2,所以S n =na 1+n (n -1)2d =-2n +n (n -1)=n 2-3n .(2)函数f (x )=2x 在点(a 2,b 2)处的切线方程为y -2a 2=(2a 2ln 2)(x -a 2), 其在x 轴上的截距为a 2-1ln 2.由题意有a 2-1ln 2=2-1ln 2,解得a 2=2.所以d =a 2-a 1=1.从而a n =n ,b n =2n ,所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n =n2n ,所以T n =12+222+323+…+n -12n -1+n 2n ,2T n =11+22+322+…+n2n -1,因此,2T n -T n =1+12+122+…+12n -1-所以,T n =2n +1-n -22n.19.[2014·浙江卷] 已知数列{a n }和{b 数列,且a 1=2,b 3=6+b 2.(1)求a n 与b n .(2)设c n =1a n -1b n(n ∈N *).记数列{c n }(i)求S n ;(ii)求正整数k ,使得对任意n ∈均有S 19.解:(1)由题意a 1a 2a 3…a n =(2)b n 知a 3=(2)b 3-b 2=8.又由a 1=2,得公比q =2(q =-2舍去, 所以,当n ≥5时,c n <0.综上,若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ,则k =4.。
2014年高考数学(理)真题分类汇编:三角函数

2014年高考数学(理)真题分类汇编:三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 6.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]上的图像大致为( )图1-1A BC D 6.CC2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.16.解:方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝⎛⎭⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12. (2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .17.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2=34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3,求cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2的值.17.解:(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2=3sin(2×α2-π6)=34,所以sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos ⎝⎛⎫α-π6=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6=1-⎝⎛⎭⎫142=154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=sin α=sin ⎣⎡⎦⎤(α-π6)+π6=sin ⎝⎛⎭⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎫α-π6sin π6=14×32+154×12 =3+158.C3 三角函数的图象与性质9.[2014·辽宁卷] 将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增9.B3.[2014·全国卷] 设a =sin 33°,b =cos 55°,c =tan 35°,则( ) A .a >b >c B .b >c >a C .c >b >a D .c >a >b 3.C6.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]上的图像大致为( )图1-1C D 6.C 14.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为________.14.117.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2=34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3,求cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2的值.17.解:(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2=3sin(2×α2-π6)=34, 所以sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6=1-⎝⎛⎭⎫142=154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=sin α=sin ⎣⎡⎦⎤(α-π6)+π6=sin ⎝⎛⎭⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎫α-π6sin π6=14×32+154×12 =3+158.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质3.[2014·四川卷] 为了得到函数y =sin (2x +1)的图像,只需把函数y =sin 2x 的图像上所有的点( )A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度 3.A11.[2014·安徽卷] 若将函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y 轴对称,则φ的最小正值是________.11.3π814.[2014·北京卷] 设函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6,π2上具有单调性,且f ⎝⎛⎭⎫π2=f ⎝⎛⎭⎫2π3=-f ⎝⎛⎭⎫π6,则f (x )的最小正周期为________.14.π16.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.16.解:方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝⎛⎭⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x=22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12. (2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .7.[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定 7.D17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.16.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.(1)当a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,求a ,θ的值.16.解:(1)f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+2cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=22(sin x +cos x )-2sin x =22cos x -22sin x =sin ⎝⎛⎭⎫π4-x . 因为x ∈[0,π],所以π4-x ∈⎣⎡⎦⎤-3π4,π4,故f (x )在区间[0,π]上的最大值为22,最小值为-1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1-2a sin θ)=0,2a sin 2θ-sin θ-a =1. 又θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,知cos θ≠0,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-2a sin θ=0,(2a sin θ-1)sin θ-a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,θ=-π6.12.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )=3sinπxm,若存在f (x )的极值点x 0满足x 20+[f (x 0)]2<m 2,则m 的取值范围是( )A .(-∞,-6)∪(6,+∞)B .(-∞,-4)∪(4,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 12.C 16.,[2014·山东卷] 已知向量a =(m ,cos 2x ),b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a ·b ,且y =f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12,3和点⎝⎛⎭⎫2π3,-2. (1)求m ,n 的值;(2)将y =f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g (x )的图像,若y =g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g (x )的单调递增区间.16.解:(1)由题意知,f (x )==m sin 2x +n cos 2x .因为y =f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12,3和点⎝⎛⎭⎫2π3,-2,所以⎩⎨⎧3=m sin π6+n cos π6,-2=m sin 4π3+n cos 4π3,即⎩⎨⎧3=12m +32n ,-2=-32m -12n ,解得m =3,n =1.(2)由(1)知f (x )=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.由题意知,g (x )=f (x +φ)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +2φ+π6.设y =g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2).由题意知,x 20+1=1,所以x 0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y =g (x )得,sin ⎝⎛⎭⎫2φ+π6=1.因为0<φ<π,所以φ=π6.因此,g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=2cos 2x .由2k π-π≤2x ≤2k π,k ∈Z 得k π-π2≤x ≤k π,k ∈Z ,所以函数y =g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π2,k π,k ∈Z .2.[2014·陕西卷] 函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π6的最小正周期是( )A.π2 B .π C .2π D .4π 2.B16.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 15.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.4.[2014·浙江卷] 为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2cos 3x 的图像( )A .向右平移π4个单位B .向左平移π4个单位C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位4.C17.,,[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2=34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3,求cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2的值.17.解:(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2=3sin(2×α2-π6)=34, 所以sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6=1-⎝⎛⎭⎫142=154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=sin α=sin ⎣⎡⎦⎤(α-π6)+π6=sin ⎝⎛⎭⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎫α-π6sin π6=14×32+154×12 =3+158.C5 两角和与差的正弦余弦正切 14.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为________.14.116.[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B .(1)求a 的值;(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A +π4的值.16.解: (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B ,由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =sin A 2sin B ,所以由正弦定理可得a =2b ·a 2+c 2-b 22ac. 因为b =3,c =1,所以a 2=12,即a =2 3. (2)由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-13.因为0<A <π,所以sin A =1-cos 2A =1-19=2 23. 故sin ⎝⎛⎭⎫A +π4=sin A cos π4+cos A sin π4=2 23×22+⎝⎛⎭⎫-13×22=4-26.7.[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定 7.D16.[2014·广东卷] 已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,x ∈R ,且f ⎝⎛⎭⎫5π12=32.(1)求A 的值;(2)若f (θ)+f (-θ)=32,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎫3π4-θ.17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.17.[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC→=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2得c ·a ·cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23·2 23= 4 29.因为a =b >c ,所以C 为锐角, 因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4 292=79. 所以cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2 23×4 29=2327.17. [2014·全国卷] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知3a cos C =2c cos A ,tan A =13,求B .17.解:由题设和正弦定理得 3sin A cos C =2sin C cos A , 故3tan A cos C =2sin C .因为tan A =13,所以cos C =2sin C ,所以tan C =12.所以tan B =tan[180°-(A +C )] =-tan(A +C ) =tan A +tan Ctan A tan C -1=-1,所以B =135°.8.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且tan α=1+sin βcos β,则( )A .3α-β=π2B .3α+β=π2C .2α-β=π2D .2α+β=π28.C13.,[2014·四川卷] 如图1-3所示,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高度是46 m ,则河流的宽度BC 约等于________m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,3≈1.73)图1-313.6016.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 15.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.10.,[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A-B )+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A .bc (b +c )>8B .ab (a +b )>16 2C .6≤abc ≤12D .12≤abc ≤24 10.AC6 二倍角公式 15.[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于________.15.4316.[2014·全国卷] 若函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,则a 的取值范围是________.16.(-∞,2]16.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.16.解:方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝⎛⎭⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12. (2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .16.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 15.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.C7 三角函数的求值化简与证明16.[2014·广东卷] 已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,x ∈R ,且f ⎝⎛⎭⎫5π12=32.(1)求A 的值;(2)若f (θ)+f (-θ)=32,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎫3π4-θ.17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.16.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.(1)当a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,求a ,θ的值.16.解:(1)f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+2cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=22(sin x +cos x )-2sin x =22cos x -22sin x =sin ⎝⎛⎭⎫π4-x . 因为x ∈[0,π],所以π4-x ∈⎣⎡⎦⎤-3π4,π4,故f (x )在区间[0,π]上的最大值为22,最小值为-1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1-2a sin θ)=0,2a sin 2θ-sin θ-a =1. 又θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,知cos θ≠0,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-2a sin θ=0,(2a sin θ-1)sin θ-a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,θ=-π6.16.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52.C8 解三角形12.[2014·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b -c =14a ,2sin B =3sin C ,则cos A 的值为________.12.-1416.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是________.16.[-1,1]12.[2014·广东卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .已知b cos C +c cos B =2b ,则ab=________.12.216.[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B .(1)求a 的值;(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A +π4的值.16.解: (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B ,由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =sin A 2sin B ,所以由正弦定理可得a =2b ·a 2+c 2-b 22ac. 因为b =3,c =1,所以a 2=12,即a =2 3. (2)由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-13.因为0<A <π,所以sin A =1-cos 2A =1-19=2 23. 故sin ⎝⎛⎫A +π4=sin A cos π4+cos A sin π4=2 23×22+⎝⎛⎭⎫-13×22=4-26.15.[2014·北京卷] 如图1-2,在△ABC 中,∠B =π3,AB =8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC =17.(1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ,AC 的长.图1-215.解:(1) 在△ADC 中,因为cos ∠ADC =17,所以sin ∠ADC =4 37.所以sin ∠BAD =sin(∠ADC -∠B )=sin ∠ADC cos B -cos ∠ADC sin B =4 37×12-17×32=3 314. (2)在△ABD 中,由正弦定理得 BD =AB ·sin ∠BADsin ∠ADB =8×33144 37=3.在△ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =82+52-2×8×5×12=49,所以AC =7.12.[2014·福建卷] 在△ABC 中,A =60°,AC =4,BC =2 3,则△ABC 的面积等于________.12.2 3 18.[2014·湖南卷] 如图1-5ABCD 中,AD =1,CD =2,AC =7.(1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD =-714,sin ∠CBA =216,求BC 的长.18.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠CAD =AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD,故由题设知,cos ∠CAD =7+1-427=277.(2)设∠BAC =α,则α=∠BAD -∠CAD .因为cos ∠CAD =277,cos ∠BAD =-714,所以sin ∠CAD =1-cos 2∠CAD = 1-⎝⎛⎭⎫2772=217, sin ∠BAD =1-cos 2∠BAD =1-⎝⎛⎭⎫-7142=32114.于是sin α=sin (∠BAD -∠CAD )=sin ∠BAD cos ∠CAD -cos ∠BAD sin ∠CAD=32114×277-⎝⎛⎭⎫-714×217=32. 在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin α=ACsin ∠CBA. 故BC =AC ·sin αsin ∠CBA=7×32216=3. 4.[2014·江西卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( )A .3 B.9 32 C.3 32 D .3 34.C17.[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC→=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2得c ·a ·cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23·2 23= 4 29.因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4 292=79.所以cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2 23×4 29=2327.17. [2014·全国卷] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知3a cos C =2c cos A ,tan A =13,求B .17.解:由题设和正弦定理得 3sin A cos C =2sin C cos A , 故3tan A cos C =2sin C .因为tan A =13,所以cos C =2sin C ,所以tan C =12.所以tan B =tan[180°-(A +C )]=-tan(A +C ) =tan A +tan Ctan A tan C -1=-1,所以B =135°. 16.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )·(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,则△ABC 面积的最大值为________.16. 34.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12,AB =1,BC =2,则AC =( )A .5 B. 5 C .2 D .1 4.B12.,[2014·山东卷] 在△ABC 中,已知AB →·AC →=tan A ,当A =π6时,△ABC 的面积为______.12.1616.,,[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C ); (2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 16.解:(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a +c =2b . 由正弦定理得sin A +sin C =2sin B . ∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C ), ∴sin A +sin C =2sin(A +C ).(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac . 由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a =c 时等号成立, ∴cos B 的最小值为12.13.,[2014·四川卷] 如图1-3所示,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高度是46 m ,则河流的宽度BC 约等于________m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,3≈1.73)图1-313.60 18. [浙江卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ≠b ,c =3,cos 2A -cos 2B =3sin A cos A -3sin B cos B .(1)求角C 的大小;(2)若sin A =45,求△ABC 的面积.18.解:(1)由题意得1+cos 2A 2-1+cos 2B 2=32sin 2A -32sin 2B ,即32sin 2A -12cos 2A=32sin 2B -12cos 2B ,sin ⎝⎛⎭⎫2A -π6=sin ⎝⎛⎭⎫2B -π6. 由a ≠b ,得A ≠B ,又A +B ∈(0,π),得2A -π6+2B -π6=π,即A +B =2π3,所以C =π3.(2)由c =3,sin A =45,a sin A =c sin C ,得a =85.由a <c ,得A <C ,从而cos A =35,故sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =4+3 310.所以,△ABC 的面积为S =12ac sin B =8 3+1825.10.,[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A -B )+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A .bc (b +c )>8B .ab (a +b )>16 2C .6≤abc ≤12D .12≤abc ≤2410.A [解析] 因为A +B +C =π,所以A +C =π-B ,C =π-(A +B ),所以由已知等式可得sin 2A +sin(π-2B )=sin[π-2(A +B )]+12,即sin 2A +sin 2B =sin 2(A +B )+12,所以sin[(A +B )+(A -B )]+sin[(A +B )-(A -B )]=sin 2(A +B )+12,所以2 sin(A +B )cos(A -B )=2sin(A +B )cos(A +B )+12,所以2sin(A +B )[cos(A -B )-cos(A +B )]=12,所以sin A sin B sin C =18.由1≤S ≤2,得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,所以1≤2R 2·sin A sin B sin C ≤2,所以1≤R 24≤2,即2≤R ≤2 2,所以bc (b +c )>abc =8R 3sinA sinB sinC =R 3≥8.C9 单元综合16.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是________.16.[-1,1]17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温. 18.[2014·湖南卷] 如图1-5中,AD =1,CD =2,AC =7.(1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD =-714,sin ∠CBA =216,求BC 的长.18.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠CAD =AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD,故由题设知,cos ∠CAD =7+1-427=277.(2)设∠BAC =α,则α=∠BAD -∠CAD .因为cos ∠CAD =277,cos ∠BAD =-714,所以sin ∠CAD =1-cos 2∠CAD = 1-⎝⎛⎭⎫2772=217, sin ∠BAD =1-cos 2∠BAD =1-⎝⎛⎭⎫-7142=32114.于是sin α=sin (∠BAD -∠CAD )=sin ∠BAD cos ∠CAD -cos ∠BAD sin ∠CAD=32114×277-⎝⎛⎭⎫-714×217=32.在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin α=ACsin ∠CBA. 故BC =AC ·sin αsin ∠CBA=7×32216=3. 21.[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=(cos x -x )(π+2x )-83(sin x +1),g (x )=3(x -π)cos x-4(1+sin x )ln ⎝⎛⎭⎫3-2xπ.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1<π.21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,f ′(x )=-(1+sin x )·(π+2x )-2x -23cos x <0,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上为减函数.又f (0)=π-83>0,f ⎝⎛⎭⎫π2=-π2-163<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)记函数h (x )=3(x -π)cos x 1+sin x-4ln ⎝⎛⎭⎫3-2πx ,x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π.令t =π-x ,则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=h (π-t )=3t cos t1+sin t -4 ln ⎝⎛⎭⎫1+2πt ,则u ′(t )=3f (t )(π+2t )(1+sin t ).由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )>0,当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )<0.故在(0,x 0)上u (t )是增函数,又u (0)=0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,u (t )>0,所以u (t )在(0,x 0]上无零点.在⎝⎛⎭⎫x 0,π2上u (t )为减函数,由u (x 0)>0,u ⎝⎛⎭⎫π2=-4ln 2<0,知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2,使u (t 1)=0,故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使u (t 1)=0.因此存在唯一的x 1=π-t 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使h (x 1)=h (π-t 1)=u (t 1)=0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,1+sin x >0,故g (x )=(1+sin x )h (x )与h (x )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.因为x 1=π-t 1,t 1>x 0,所以x 0+x 1<π.21.[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=(cos x -x )(π+2x )-83(sin x +1),g (x )=3(x -π)cos x-4(1+sin x )ln ⎝⎛⎭⎫3-2xπ.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1<π.21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎫0,π2时,f ′(x )=-(1+sin x )·(π+2x )-2x -23cos x <0,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上为减函数.又f (0)=π-83>0,f ⎝⎛⎭⎫π2=-π2-163<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)记函数h (x )=3(x -π)cos x 1+sin x-4ln ⎝⎛⎭⎫3-2πx ,x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π.令t =π-x ,则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=h (π-t )=3t cos t1+sin t -4 ln ⎝⎛⎭⎫1+2πt ,则u ′(t )=3f (t )(π+2t )(1+sin t ).由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )>0,当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )<0.故在(0,x 0)上u (t )是增函数,又u (0)=0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,u (t )>0,所以u (t )在(0,x 0]上无零点.在⎝⎛⎭⎫x 0,π2上u (t )为减函数,由u (x 0)>0,u ⎝⎛⎭⎫π2=-4ln 2<0,知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2,使u (t 1)=0,故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使u (t 1)=0.因此存在唯一的x 1=π-t 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使h (x 1)=h (π-t 1)=u (t 1)=0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,1+sin x >0,故g (x )=(1+sin x )h (x )与h (x )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.因为x 1=π-t 1,t 1>x 0,所以x 0+x 1<π.。
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2014年全国高考数学试题分类汇编: 三角函数
一、选择题
1. (2014年安徽文)若将函数x x x f 2cos 2sin )(+=的图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是( )
A.
8π B.4π C.83π D.4
3π 2.( 2014年福建文)将函数sin y x =的图象向左平移2
π
个单位,得到函数()y f x =的函数图象,则下列说法正确的是
( )
()()()()...3.-022A y f x B y f x C y f x x D y f x ππ
π==⎛⎫
==
= ⎪⎝⎭
是奇函数 的周期是的图象关于直线对称 的图象关于点,对称
3.( 2014年江西文)在ABC ∆中,内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ,若35a b =,则222
2sin sin sin B A
A
-的值为( ) 1.9A -
1.3B .1C 7.2
D 4.( 2014年课标I 文)若0tan >α,则( )
A.0sin >α
B. 0cos >α
C. 02sin >α
D. 02cos >α 5.( 2014年课标I 文)在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)6
2cos(π
+=x y ,④)4
2tan(π
-
=x y 中,最小正周期
为π的所有函数为( )
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③ 6.( 2014年辽宁理)将函数3sin(2)3y x π
=+
的图象向右平移
2
π
个单位长度,所得图象对应的函数( )
A .在区间7[,]1212ππ上单调递减
B .在区间7[,]1212ππ
上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63
ππ
-上单调递增
7.( 2014年天津文)
已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为
3
π
,则()f x 的最小正周期为( ) A.2
π B.23π C.π D.2π
8.( 2014年江西理)在ABC ∆中,内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ,若,3
,6)(2
2π
=
+-=C b a c 则ABC ∆的面积
( )
A.3
B.
239 C.2
3
3 D.33 9.( 2014年课标Ⅱ理)钝角三角形ABC 的面积是
1
2
,1AB =
,BC =AC =( )
B C
(A) 5
(B)
(C) 2 (D) 1
二、填空题
10.( 2014年山东文)
函数22cos 2
y x x =
+的最小正周期为 . 11.( 2014年福建文)在ABC ∆中,3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________ 12. (2014年江苏卷)已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3
π
的交点,
则ϕ的值是.
13.(2014年江苏卷)若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是.
14. (2014年课标I 文)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点. 从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =________
m .
15.(2014年陕西理)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为67°,30°, 此时气球的高度是46m ,则河流的宽度BC 约等于 m. (用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:
67673737sin cos sin cos ︒≈0.92,︒≈0.39,︒≈0.60,︒≈≈1.73 )
16.(2014年广东理)在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,已知b B c C b 2cos cos =+, 则
=b
a。
17.(2014年山东理)在ABC ∆中,已知tan AB AC A ⋅= ,当6
A π
=时,ABC ∆的面积为.
三、解答题
18.(2014年安徽文)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且3,1b c ==,ABC ∆
cos A 与a 的值.
19.(2014年安徽理)设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且3,1,2.b c A B === (Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)求sin()4
A π
+的值.
20.( 2014年福建文)已知函数
()2cos (sin cos )f x x x x =+.
(1)求
5(
)4
f π
的值; (2)求函数
()f x 的最小正周期及单调递增区间.
21.( 2014年福建理)已知函数
1
()cos (sin cos )2
f x x x x =+-.
(1)若02
π
α<<
,且sin 2
α=
,求()f α的值; (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.
22.(2014年江苏卷)已知),2
(ππ
α∈,55sin =α.
(1)求)4sin(απ+的值;(2)求)26
5cos(απ
-的值.
23.( 2014年山东文)ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c . 已知3,cos 2
a A B A π
===+. (I)求b 的值;(II )求ABC ∆的面积.
24.( 2014年江西文)已知函数()()
()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数,且04=⎪⎭
⎫
⎝⎛πf ,其中()πθ,,
0∈∈R a . (1)求θ,a 的值;
(2)若⎪⎭
⎫
⎝⎛∈-=⎪⎭⎫
⎝⎛ππαα,,
2524f ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值. 25.( 2014年江西理)已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++,其中,(,)22
a R ππ
θ∈∈-
(1)当4
a π
θ=
=
时,求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值;
(2)若()0,()12
f f π
π==,求,a θ的值.
26.( 2014年广东文)已知函数()sin(),3
f x A x x R π
=+
∈,且5(
)122
f π=
(1)求A 的值;
(2)若()()(0,)2f f πθθθ--=∈,求()6
f π
θ- ( 2014年广东理)(2)若23)()(=-+θθf f ,)2,0(πθ∈,求)4
3
(θπ-f 。
27.( 2014年四川文)已知函数()sin(3)4
f x x π
=+
(Ⅰ)求()f x 的单调递增区间; (Ⅱ)若α是第二象限角,4()cos()cos 23
54
f α
π
αα=
+,求cos sin αα-的值。
28.( 2014年天津文)在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知b c a 6
6
=
-,C B sin 6sin = (1)求A cos 的值;(2)求)6
2cos(π
-
A 的值.
29.( 2014年湖南理)如图5,在平面四边形ABCD 中,12AD CD AC =,=, (1)求cos CAD ∠的值;
(2)若cos 146
BAD CBA ∠=-∠=求BC 的长.
30.( 2014年辽宁理)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙= ,1
cos 3
B =,3b =,
求:(1)a 和c 的值;(2)cos()B C -的值.
31.( 2014年山东理)已知向量(,cos2)a m x = ,(sin 2,)b x n = ,设函数()f x a b =⋅ ,且()y f x =的图象过点(12
π
和点2(,2)3
π
-. (Ⅰ)求,m n 的值;。