2019_2020学年高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件新人教B版必修2

1．棱柱、棱锥、棱台的表面都可以展开成平面，它们的表面 积都是根据展开图的性质求得．运用侧面展开图解决有关问 题是非常重要的手段，它体现了空间与平面问题相互转化的 思想方法．
2．棱柱、棱锥和棱台的侧面积公式的内在联系必须明确，这 样有利于认识这三种几何体的本质，也有利于区分这三种几 何体．正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系如 下：
备注 c 为底面多边 形的周长，h 为 棱柱的高
名称 正棱 锥
正棱 台
侧面展开图 __三__角__形___
__梯__形___
公式
S 正棱锥侧＝12nah′＝12 ch′
S ＝ 正棱台侧 _12_n_(_a_＋__a_′_)h_′_______ ＝ __12_(c_＋__c_′_)h__′ _______
D．1∶1
解析：选 A．设两球的半径分别为 R1，R2，因为 R1∶R2＝1∶3， 所以两球的表面积之比为 S1∶S2＝4πR21∶4πR22＝R21∶R22＝ 1∶9．
2．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方 体各棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个 体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个正方形 的中心，经过四个切点及球心作截面如图(1)，所以有 2r1＝a， r1＝a2，所以 S1＝4πr21＝πa2．
C．Cπ2
D．2πC2
解析：选 C．设球的半径为 R，则 C＝2πR．所以 R＝2Cπ，所
以 S＝4π·(2Cπ)2＝Cπ2．
3．如图所示，圆锥的底面半径为 1，高为 3，则圆锥的表面 积为( )
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
解析：选 C．设圆锥的母线长为 l，则 l＝ 3＋1＝2，所以圆
锥的表面积 S＝π×1×(1＋2)＝3π．
解：几何体的表面积为 S＝6×22－π×(0．5)2×2＋2π×0．5×2＝24－0．5π＋2π＝ 24＋1．5π．
球的表面积 在球内有相距 1 cm 的两个平行截面，截面积分别是 5π cm2 和 8π cm2，求球的表面积．
【解】 (1)当球心不在两截面之间时，画出截面图如图所示． 圆 O 是球的大圆，A1B1、A2B2 分别是两个平 行截面圆的直径，过 O 作 OC1⊥A1B1 于 C1， 延长 OC1 至边 A2B2 于 C2．由于 A1B1∥A2B2， 所以 OC2⊥A2B2．由圆的性质可得，C1 和 C2 分别是 A1B1 和 A2B2 的中点．设两平行平面的半径分别为 r1 和 r2，且 r1>r2，依题意 πr21＝8π，πr22＝5π，所以 r21＝8，r22＝ 5，
c2)l
l 为圆台的母线
1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对角
线长为 6，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选 D．由题意知，底面边长为 1，直棱柱的高为 2，
所以 S 侧＝4×1×2＝8．
2．若球的大圆周长为 C，则这个球的表面积是( )
A．4Cπ2
B．2Cπ2
求组合体表面积时应注意的问题 (1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面 应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减． (2)在求组合体的表面积时要注意“表面(和外界直接接触的 面)”的定义，以确保不重复、不遗漏．
如图所示，一个正方体的棱长为 2，以相对两 个面的中心连线为轴，钻一个直径为 1 的圆柱形孔，所得几 何体的表面积为多少？
【解】 如图，设 PO＝3，PE 是斜高， 因为 S 侧＝2S 底． 所以 4·12·BC·PE＝2BC2． 所以 BC＝PE． 在 Rt△POE 中，PO＝3，OE＝12BC＝12 PE．
所以 9＋(P2E)2＝PE2，所以 PE＝2 3． 所以 S 底＝BC2＝PE2＝(2 3)2＝12． S 侧＝2S 底＝2×12＝24． 所以 S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36．
求棱柱、棱锥、棱台表面积的基本步骤 (1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积． (2)求出其底面的面积． (3)求和得到表面积．
已知一正三棱台的两底面边长分别为 30 cm 和 20 cm，且其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．
解：如图，正三棱台 ABC-A1B1C1 中，O、O1 为两底面中心， D、D1 是 BC、B1C1 的中点，则 DD1 为棱台 的斜高． 已知 A1B1＝20 cm，AB＝30 cm， 则 OD＝5 3 cm，O1D1＝103 3 cm． 由 S 侧＝S 上＋S 下，得
第一章 立体几何初步
1．1．6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面 积
第一章 立体几何初步
1．了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图．2．理解棱 柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念．3．会用公式求棱柱、 棱锥、棱台、球的表面积．
1．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
名称 侧面展开图
公式
直棱
__矩__形___
柱
S 直棱柱侧＝___ch____
2．矩形的边长分别为 1 和 2，分别以这两边为轴旋转，所形 成的几何体的侧面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶1
C．1∶4
D．4∶1
解析：选 B．以边长为 1 的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积
S1＝2π×2×1＝4π，以边长为 2 的边为轴旋转得到的圆柱的 侧面积 S2＝2π×1×2＝4π，所以 S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1．
1．在求面积的问题中，要注意应用所学的几何体的定义和性 质． 2．对于面积的计算，有些可以用表示数字的字母进行计算， 有些可以保留准确值及表示圆周率的字母 π，有些实际应用 的问题要根据要求的精确度取值．
3．将正棱锥的高与斜高混淆，对几个重要的三角形应用不熟 练，导致错误．实际上正棱锥的高是顶点向底面作垂线，顶 点与垂足间的距离；而斜高是顶点向底面多边形的边作垂线， 顶点与垂足间的距离．
S 侧＝12(60＋90)·DD1＝ 43(202＋302)，
解得 DD1＝133 3(cm)．
在直角梯形 O1ODD1 中， O1O＝ DD21－(OD－O1D1)2
＝
13 (3
3)2－(5
3－103 3)2＝4
3(cm)，
即棱台的高为 4 3 cm．
组合体的面积 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则 该几何体的表面积为( )
A．20π C．28π
B．24π D．32π
【解析】 该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面 积和圆柱的一个底面圆的面积组成．其中，圆锥的底面半径 为 2，母线长为 (2 3)2＋22＝4，圆柱的底面半径为 2，高为 4，故所求表面积 S＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π． 【答案】 C
4．如何认识圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间的变化关系？ 解：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为： S 圆柱侧＝2πrl←r1＝―r2＝―r S 圆台侧＝π(r1＋r2)lr1―＝0―，r→2＝rS 圆锥侧＝πrl．
简单几何体的表面积 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积．
因为 OA1 和 OA2 都是球的半径 R， 所以 OC1＝ R2－r21＝ R2－8，OC2＝ R2－r22＝ R2－5， 所以 R2－5－ R2－8＝1，解这个方程得 R2＝9． 所以 S 球＝4πR2＝36π(cm2)． (2)当球心在两截面之间时， 由(1)可得 OC1＋OC2＝1，即 R2－8＋ R2－5＝1 无解． 故球的表面积为 36π cm2．
1．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )
A．280 C．360
B．292 D．372
解析：选 C．由三视图知，该几何体由上、下 2 个长方体组 合而成．下面长方体的长、宽、高分别为 8、10、2，上面长 方体的长、宽、高分别为 6、2、8， 所以 S 表＝2×10×8＋2×(8＋10)×2＋2×(2＋6)×8＝360．故 选 C．
3．一个圆锥的底面半径为 2，高为 2 3，则圆锥的侧面积为 ________． 解析：S 侧＝πRl＝π×2× 22＋(2 3)2＝8π． 答案：8π 4．已知棱长为 1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面 积是________．
答案： 3
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备注 a 为底面边长， c 为底面周长， h′为斜高 a 为下底面边 长，a′为上底面 边长，c 为下底 面周长，c′为上 底面周长，h′ 为斜高
2．球的表面积 公式：S＝_____4_π_R_2___，其中 R 为球半径． 语言叙述：球面面积等于它的大圆面积的 4 倍．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积
名称 侧面展开图
公式
备注
圆柱 圆锥 圆台
矩形 扇形 扇环
S ＝ 圆柱侧 __2_π_R__h_
R 为底面圆半径，h 为 圆柱的高
S 圆锥侧＝12cl＝ __π_R_l_
c 为底面周长，l 为母 线长，R 为底面圆半径
S 圆台侧＝π(r1＋ r2)l＝12(c1＋
r1，r2 分别为上、下底 面圆半径，c1，c2 分别 为上、下底面圆周长，
求球的表面积的方法 (1)把握球的表面积公式 S＝4πR2 是计算表面积的关键，半径 与球心是确定球的条件，把握这两点，球的表面积问题也就 迎刃而解了． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．
1．两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的
表面积之比为( )
A．1∶9
B．1∶27
C．1∶3
(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体 的对角面得截面，如图(2)，2r2＝ 2a，r2＝ 22a，所以 S2＝4πr22 ＝2πa2．
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得 截面，如图(3)，所以有 2r3＝ 3a，r3＝ 23a，所以 S3＝4πr23＝ 3πa2． 综上可得 S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．