四年级奥数第一讲 数的整除问题
小学小升初奥数知识：数的整除
小学小升初奥数知识：数的整除小学小升初奥数知识集锦：数的整除导语：下面是小编为您收集整理的数的整除相关知识，欢迎阅读!1.整除的概念在小学书中所学的自然数和零，都是整数。
同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数(或者说余数为零)，就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。
这时a叫做b 的倍数，b叫做a的约数。
例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15;也可以说15是3的倍数，3是15的约数。
由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：(1)被除数是整数，除数是自然数;(2)商是整数;(3)没有余数。
这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。
例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。
又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。
2.整除的性质(1)如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差(大减小)也都能被这个自然数整除。
换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差(大减小)仍是这个自然数的倍数。
例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除;即从6│18及6│42可知6│(18+42)、6│(42-18)。
(2)如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。
即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。
例如，7│28，28│84，那么就有7│84。
(3)如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。
也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。
例如，13│39，39×4=156，因此13│156。
(4)如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。
即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差(大减小)都不是丙数的倍数。
例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83(48+35=83)，也不整除13(48-35=13)。
四年级奥数数论整除性质的应用B级学生版
整除性质的应用知识框架一、常见数字的整除判定方法：（1）一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；（2）一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；（3）一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（4）一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；（5）一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（6）如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（7）1001特征(家有三子7、11、13)77 的余数；一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以1111 的余数；一个数除以的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除以(1)减去偶数位数字之和所得的从个位往高位数，个位为第位，即为奇数位或者，其奇数位数字之和11 的余数；差除以13()13整大减小一个数除以能被的余数，其末三位与前面隔开，等于末三位与前面隔出数的差除；. ）【备注】（以上规律仅在十进制数中成立二、整除性质abcc1 ca ，性质整除，那么它们的和或差也能被都能被数如果数︱和数整除．即如果cbc(ab) ．，那么±︱︱2 abbcacba ，整除，整除．即如果又能被数能被数性质也能被整除，那么如果数∣cbca ．，那么∣∣用同样的方法，我们还可以得出：3 abcabcbca ，那性质也能被∣如果数或能被数与数整除．即如果的积整除，那么baca ．∣么∣，4 abcbcab 一定能被如果数和数能被数整除，也能被数互质，那么整除，且数性质cbaca(bc)=1bca ．，与的乘积整除．即如果，那么∣，∣∣，且312412(34)=1(34) 12 ．∣×，那么，，且∣，∣例如：如果5 abambm babmamm0为非整除，那么，那么也能被｜能被数整除．如果（性质｜如果数；整数）6 abcdbdac ba ，能被数整除．如果整除，且数能被数也能被性质整除，那么｜如果数dcacbd ；，那么｜且｜例题精讲_________ 的倍数．是2008【例 1】2a187a a105如整除，那么它的最后两位数是多少？果六位数能被巩【固】□□1992中的数是多少？能被49整除，20【例 2】六位数08□□□□整除，那么方框中的和1911六位数11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17在巩【固】□□两位数是多少?整除。
奥数知识点：数的整除
奥数知识点：数的整除奥数知识点：数的整除如果整除a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。
如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。
下面小编给大家精心搜集整理的奥数知识点：数的整除，欢迎阅读!奥数知识点：数的整除数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。
（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。
（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。
（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。
（6）能被7（或11或13）整除的.数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。
（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。
（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
一、例题与方法指导例1.一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能。
四年级奥数第一讲数的整除性(三)
第一讲数的整除性（三）知识要点我们已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
如：837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。
再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
四年级奥数试题：数的整除
解：∵9□.2□元=9□2□分
28=4×7，
∴根据整除"性质2"可知
4和7均能整除9□2□。
4|2□可知□处能填0或4或8。
因为79020，79424，所以□处不能填0和4;
因为7|9828，所叫□处应该填8。
又∵9828分=98.28元
98.28÷28=3.51(元)
答：每支钢笔3.51元。
数的整除是四年级奥数的常见问题多做多练是提高这类题目最直接的方法下面就是小编为大家整理的整除数的奥数题目希望对大家有所帮助
四题，多做多练是提高这类题目最直接的方法，下面就是小编为大家整理的整除数的奥数题目，希望对大家有所帮助!
数的整除题目
李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元?
小学奥数教程之数的整除
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
数的整除学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。
本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。
另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。
知识梳理1.常见数字的整除判定方法（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.（4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）注：在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。
对于11的单独判定特性需要重点讲解。
2.整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．注：在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．可以引入下面的问题2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am （m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．如果b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；3．重点难点解析（1）.常见数字的整除判定性质（2）．将不具有整除判定性质的数字进行分解判定其整除性（3）．代数式之间整除性的判断，代数思想的应用（4）．试除法的理解和应用4.竞赛考点挖掘（1）.与数字谜或算式迷结合的整除判断特性题目（2）.代数式之间的整除性问题例题精讲【试题来源】【题目】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？【解析】本题为基础题型，利用13的整除判定特征即可知道方格中填1。
小学奥数关于数的整除规律
数的整除规律1、一个数的个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、一个数的数字之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
3、这一个数的末两位如果能被4或者25整除，这个数就能被4或者25整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5.这个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7,11或13整除，则原数能被7,11或13整除。
6.这个数的末三位如果能被8或者125整除，这个数就一定能被8或者125整除。
7.若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。
性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数，一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
四年级奥数专题之整除与余数
四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。
一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。
这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。
下面来总结一下整除和有余数除法的特征：1、整除：（1）能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。
（2）能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。
（3）能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。
（4）能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。
（5）能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。
（6）能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
（7）能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
2、有余数的除法：（1）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（2）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（3）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
（4）一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。
（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。
【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。
当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。
奥数教案 整数的整除问题教案
奥数教案整数的整除问题教案一、教学目标1. 让学生理解整除的概念，掌握整除的性质和判定方法。
2. 培养学生解决整数整除问题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。
3. 培养学生运用整除性质解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
二、教学内容1. 整除的概念：整除是指一个整数除以另一个整数，商是整数，没有余数。
2. 整除的性质：(1) 如果一个整数能整除另一个整数，它能整除任何小于这个整数的整数。
(2) 如果一个整数能整除另一个整数，它的倍数也能整除这个整数。
(3) 任何整数都能整除1。
3. 整除的判定方法：(1) 如果一个整数是另一个整数的倍数，它能整除这个整数。
(2) 如果一个整数的质因数分解中包含另一个整数的质因数，它能整除这个整数。
三、教学重点与难点1. 教学重点：整除的概念，整除的性质和判定方法。
2. 教学难点：整除的判定方法，特别是质因数分解的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，让学生理解整除的概念和性质。
2. 采用举例法，让学生通过实际例子掌握整除的判定方法。
3. 采用练习法，让学生在实践中提高解决整数整除问题的能力。
五、教学步骤1. 引入整除的概念，讲解整除的定义和性质。
2. 通过举例，让学生理解整除的判定方法。
3. 布置练习题，让学生运用整除的性质和判定方法解决问题。
4. 讲解练习题，引导学生总结解题规律和方法。
5. 总结整除的概念、性质和判定方法，强调其在实际问题中的应用。
六、教学活动设计1. 课堂导入：通过讲解一个有趣的整除问题，引发学生对整除的兴趣，激发学生的学习热情。
2. 新课讲解：详细讲解整除的概念、性质和判定方法，通过举例让学生加深理解。
3. 课堂练习：布置一些有关整除的练习题，让学生在实践中掌握整除的运用。
4. 解答与讲解：针对学生所做的练习题，进行解答和讲解，引导学生总结解题规律和方法。
5. 课堂小结：对本节课的主要内容进行总结，强调整除在实际问题中的应用。
七、教学评价设计1. 课堂练习：评价学生在课堂练习中的表现，检查学生对整除概念、性质和判定方法的掌握程度。
四年级常考的奥数题：整数除问题
四年级常考的奥数题：整数除问题四年级常考的奥数题：整数除问题导语：在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。
下面是小编为大家整理的：奥数题。
希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!小学奥数题【例一】数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。
例如，1248621各位上的数字之和是1+2+4+8+6+2+1=243|24，则3|1248621。
又如，372681各位上的数字之和是3+7+2+6+8+1=279|27，则9|372681。
【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。
例如，173824的末两位数为24，4|24，则4|173824。
43586775的末两位数为75，25|75，则25|43586775。
【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。
例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。
3569824的末三位数为824，8|824，则8|3569824。
214813750的末三位数为750，125|750，则125|214813750。
【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差(大减小的差)能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。
例如，75523的末三位数为523，末三位以前的.数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即7|448，则7|75523。
四年级奥数,数的整除
【变式训练】将自然数1、2、3、4、5、6、 7、8、9，依次重复写下去组成一个1993位 数，试问：这个数能否被3整除？（不能被 整除）
【例题12】如果六位数1993AE能被105整除， 那么它的最后两位数是多少？
【变式训练】若五位数32a5b能同时被2、3、 5整除，试求满足条件的所有这样的五位数。
【变式训练】51位数33……3A22……2（其 中3和2各25个）能被7整除，那么A内的数字 是几？
【变式训练】一个六位数能被11整除，首位 是7，其余各位数字各不相同，这个六位数 最小是多少？
【变式训练】有一个四位数是45ab，同时能 被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。
【变式训练】在所有五位数中，各位数字之 和等于43且能被11整除的数有哪些？
【例题9】173A是个四位数。数学老师说： “我在这个A中先后填写3个数字，所得到的 3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问： 数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
【例题10】求能被26整除的六位数A1991E。
【例题11】一个六位数12A34E是88的倍数， 这个数除以88所得的商是多少？
【例题6】算式1abcde×3＝abcde1中，不 同的字母表示不同的数字，相同的字母表示 相同的数字，求abcde是多少？
【例题7】把三位数3ab接连重复地写下去， 共写1993个，所得的数3ab3ab……3ab恰是 91的倍数，试求ab是多少？
【例题8】某小学五年级学生张明做数学题 时发现“任意”一个三位数，连着写两次得 到一个六位数，这个六位数一定同时能被7、 11、、13整除。这个结论你会证明吗？
【例题12】如果六位数1993AE能被105整除， 那么它的最后两位数是多少？
【例题13】三个连续自然数在100到200之间， 其中最小的三位数能被3整除，中间的能被5 整除，最大的能被7整除，试写出所有这样 的三个自然数。
四年级奥数-数的整除特征(一)
本讲知识总结 三大基本的整除特征（一）
知识点讲解 2和5：末一位 整除系 末尾系 4和25：末两位 8和125：末三位 整除系 和系 3和9 114,459 1001 310100 12,35 124,425 1108,750
【例1】(★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能同时被9，25和8整除。
11：单位分组求和差 差系 整除系 组合系 7和13：三位分组求和差
【例2】(★★★) 两个四位数A275和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B。
【例3】(★★★) 设六位数N= x1527y，N是4的倍数，并且被11除余5，那么x＋y等于多少？
【例5】(★★★★) 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是多少？
【例4】(★★★) 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？
小学奥数题库《数论》整除-整除的基本概念-1星题(含解析)
数论-整除-整除的基本概念-1星题课程目标知识提要整除的基本概念•定义如果整数a除以整数b（b≠ 0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b∣a．注意：如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a．•整除的性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
精选例题整除的基本概念1. 再过12天就到2016年了，昊昊感慨地说：我到目前只经过2个闰年，并且我出生的年份是9的倍数，那么2016年昊昊是岁．【答案】9【分析】根据题意“我到目前只经过2个闰年”可得我的出生年份在2005 2008,这之间只有2007是9的倍数，则昊昊是2007年出生，则2016年昊昊是2016−2007=9岁.2. 若六位数201ab7能被11和13整除，则两位数ab=．【答案】48【分析】由11的整除特征可知：(7+a+0)−(2+1+b)=a+4−b=0或11,若a+4−b=11,a−b=7,只有8−1=9−2=7,六位数201817、201927都不能被13整除．若a+4−b=0,则a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情况，构成的六位数201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，则ab=48．3. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】20111221【分析】试除法得出答案：20111231÷101=199121⋯⋯10，31−10=21，所以ABCD=1221．4. 若4b+2c+d=32，试问abcd能否被8整除？请说明理由．【答案】见解析．【分析】由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd−(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被8整除．。
数的整除奥数题知识点总结
数的整除奥数题知识点总结把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包括0)，那么，原来这个数就一定能被11整除.例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除。
这种方法叫奇偶位差法。
除上述方法外，还可以用割减法进行判断.即：从一个数里减去11的10倍，20倍，30倍到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除.又如：判断583能不能被11整除。
用583减去11的50倍(583-1150=33)余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a0，a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－32＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－92＝595，59－52＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
四年级数学数的整除性讲解(一)
四年级数学数的整除性讲解（一）我们在三年级已经学习了能被2.3.5整除的数的特征.这一讲我们将讨论整除的性质.并讲解能被4.8.9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除.乙数能被丙数整除.那么甲数一定能被丙数整除。
例如.48能被16整除.16能被8整除.那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除.那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如.21与15都能被3整除.那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除.那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如.126能被9整除.又能被7整除.且9与7互质.那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质.我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性.我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0.2.4.6.8中的一个.那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5.那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除.那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除.那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除.那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除.那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容.（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除.所以由整除的性质1知.整百的数都能被4（或25）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和.所以由整除的性质2知.只要这个数的后两位数能被4（或25）整除.这个数就能被4（或25）整除。
这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性.我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
(完整版)奥数数的整除讲义及答案
数的整除（ 1）性质、特色、奇偶性教室：姓名：学号：【知识要点】：整除性：（ 1）若是数 a、b 都能被 c 整除，那么它的和（ a+b）或差（ a－ b）也能被 c 整除。
（2）若是数 a 能被自然数 b 整除，自然数 b 能被自然数 c 整除，数 a 必能被数 c 整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它的也能被个数整除。
（4）若是一个数能被两个互数中的每一个数整除，那么，个数能被两个互数的整除。
反之，若一个数能被两个互数的整除，那么个数能分被两个互数整除。
整除特色：（ 1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，个数能被4（或25）整除。
（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，个数能被8（或125）整除。
（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，个数能被3（或9）整除。
（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，个数能被11 整除。
（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位从前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被 7（或 13）整除，个数能被7（或 13）整除。
奇偶性：（ 1）奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数±偶数 =奇数（ 4）奇数×奇数 =奇数（ 5）偶数×偶数 =偶数（ 6）奇数×偶数 =偶数（ 7）奇数÷奇数 =奇数（ 8）⋯【典型例】例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的尾端数后，所得的两位数是17 的倍数，的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是17 的倍数的数中最大的17×5=85（ 17× 6=102） .于是所求数的前两位数字 85.因 8+5=13 ，故所求数的个位数字2、5、8 ，数能被 3 整除，使数最大，其个位数字8.最大三位数是858.例 2： 1～ 200 200 个自然数中，能被 6 或 8 整除的数共有多少个？解：1～ 200 中，能被 6 整除的数共有33 个（ 200÷ 6=33⋯），能被 8 整除的数共有25 个（ 200 ÷8=25 ） .但［ 6， 8］=24 ， 200÷ 24=8⋯⋯ 8，即 1～ 200 中，有 8 个数既被 6 整除，又被8 整除。
四年级奥数---数的整除性
2014年2月22日---3月1日---3月8日星期六上午10：10-12：00四年级奥数教学设计表学科数学授课年级四学校译苑教育碧螺教师姓名吴玲霞章节名称数的整除性计划学时6课时学习内容分析1、认识整数，整数的四则混合运算，运用整数的四则混合运算2、在整数除法里，如果整数a除以整数b所得的商是整数而没有余数，则a能被b整除3、如果a、b都能被c整除，，那么a+b也能被c整除，a-b也能被c整除4、如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除5、如果a能被b、c整除，并且b、c互质，则a=b*c6、如果a能被b整除，那么a*c也能被b整除7、认识被2、3、4、5、6、7、8、11、13、16、25、125、625整除的相关概念学习者分析学生还不认识什么是因数、倍数、偶数、奇数、合数、素数问题，需要逐一讲解并理解数的整除性，需要从零起步逐一理解整除性相关的知识点，这个知识点与他们这学期课本知识有很大的相关联，学好这一章节可以为他们以后的学习有很大的帮助教学目标课程标准：理解教学大纲知识与技能：使学生理解数的整除性的意义过程与方法：探究数的整除性计算法则,能正确地计算，并能解决实际问题情感、态度与价值观：让学生感受到生活中处处有数学,增强数学意识。
培养学生主动探索、合作交流的良好习惯。
提高获取信息、整理信息及处理信息的能力。
教学重点及解决措施1、在整数除法里，如果整数a除以整数b所得的商是整数而没有余数，则a能被b整除2、如果a、b都能被c整除，，那么a+b也能被c整除，a-b也能被c整除3、如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除4、如果a能被b、c整除，并且b、c互质，则a=b*c5、如果a能被b整除，那么a*c也能被b整除6、认识被2、3、4、5、6、7、8、11、13、16、25、125、625整除的相关概念教学难点及解决措施归纳因数、倍数、偶数、奇数、合数、素数问题，并从简单的2、3、5等倍数问题延伸到复杂的6、7、8、11、13、16、25、125、625整除的相关概念教学设计思路通过认识因数、倍数、偶数、奇数、合数、素数问题，再学习2、3、5等倍数问题依据的理论教学过程中主要通过生活中的实际问题让学生理解并学会用整除性实质。
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第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________ 注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
4、互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数。
这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。
“公因数只有1”，不能误说成“没有公因数。
”例如，2与7、13与19、3与10、5与 26等等4、质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,它们叫做这个合数的质因数练习：13×4=52,13和4都是52的因数吗？13和4都是52的质因数吗？分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数练习---把下列各数分解质因数（1）21 （2）42 （3）36当数字比较大的时候，我们用短除法可以快速的分解质因数例题---用短除法把下列各数分解质因数（1）180 （2）630练习1、把下列各数分解质因数（1）960 （2）25202、（第九届小学希望杯全国数学邀请赛）在小于30的质数中，加3以后是4的倍数的是3、（2012年第十届希望杯试题）只能被1和他本身整除的自然数叫做质数, 如：2,3,5,7等，那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是。
4、（第七届希望杯试题）若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G(36)+G(42)= .5、(2016年第十四届希望杯)已知a,b,c都是质数，若a×b+b×c=119，则a+b+c= .二、数的整除性：1、能被2整除的数的特征：个位数一定是0，2，4，6或8。
偶数：能被2整除的整数称为偶数，如：0，2，4，6，8，10，12，14，…奇数：不能被2整除的整数称为奇数。
如：1，3，5，7，9，11，13，15，…偶数和奇数有如下运算性质：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
提醒：（1）如果两个整数的和（或者差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；（2）如果两个整数的和（或者差）是奇数数，那么这两个整数的奇偶性相反；2、能被5整除的数的特征是：个位是0或53、能被3整除的数的特征是：各个数位数字之和能被3整除如：27, 215等等4、能被9整除的数的特征是：各个数位数字之和能被9整除如：81, 216等等5、能被4或25整除的数的特征是：末两位数能被4或25整除如：264能被4整除，150能被25整除6、能被8或125整除的数的特征是：末三位数能被8或125整除。
如：2168能被8整除，不能被125整除7、能被7（11或13 ）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差，（大减小）能被7（11或13 ）整除例如：判断1540是否是7的倍数？解：把1540分成1和540两个数，因为540-1=539，由539能被7整除，所以1540能被7整除，因此1540是7的倍数例题1、已知六位数能被3整除，数字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a ，要使25+a 能被3整除，数字a 只能是2，5或8。
即符合题意的a 是2，5或8。
例题2、五位数48A1B 能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
例题3、（2012年第十届希望杯决赛）如果六个连续奇数的乘积是135135，则这六个数的和是 。
练习：1、（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是2、（第十一届中环杯初赛）已知a24b8是一个五位数，且是8的倍数，则a24b8 最大是__________，最小是________3、四位数8A1B 能同时被2,3,5整除，则这个四位数是______________.4、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）在2013的质因数中，最大的质因数与最小的质因数的乘积是（ ）。
5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）喜羊羊打开一本书，发现左右两页的页码数的乘积是420，则这两页的页码数的和是（ ）。
6、（2014年第十二届希望杯初赛试题）自然数a 是3的倍数，1a -是4的倍数，2a -是5的倍数，则a 最小是 57 。
分析：从题目中可以看出，这个数a 是3的倍数，也是4的倍数余1，也是5的倍数余2. 可以用枚举法，先从5的倍数余2考虑，末尾应该是2或者7.末尾是2，不符合4的倍数余1，所以末尾肯定是7.从小到大枚举：7,17,27,37,47,57.只有57符合。
三、整除的性质：1、如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除.例如：9能被3整除，81也能被3整除，那么81+9=90,81-9=72都能被3整除。
2、（***）如果a能被b整除，a也能被c整除，并且b、c互质（除1以外，没有其它公共因数），那么，a就能被b和c的乘积整除。
例如：24能被3整除，24也能被4整除，由于3和4互质，所以24也能被3×4=12整除。
例题4、在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省小学生数学竞赛初赛试题）解：因为15=3×5，且3和5互质。
所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。
由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0。
再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3＋2＋5=10。
可推知，百位上最大可填入8。
即组成的四位数是3825；若个位上是0，则有3＋2＋0=5。
可推知，百位上最大可填入7。
即组成的四位数是3720。
故知，这个数是3825。
例题5、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛）一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，则这样的数中最小的是（）。
例题6、(2012年第十届希望杯试题)有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个。
已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，则这筐桃子共有个。
练习：a2016能被12整除，则这样的六位数1、(2016年第十四届希望杯)若六位数b有个。
2、（第十一届2013年“希望杯”全国数学邀请赛决赛试题）如果一个小于100的自然数除以3，除以4，除以5都余2，那么这个数最小是________，最大是________巩固练习：1、36的因数有（1,2,3,4，6,9,12,18,36），它的质因数有（2,3 ）。
2、有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的自然数，且他们年龄的积是210，这三个小朋友的年龄分别是（5）岁、（6）岁、（7）岁。
解：用短除法分解质因数：210=2×3×5×7=5×6×73、有一个长方形，长和宽都是整厘米数，面积是231平方厘米。
这个长方形的长和宽分别是（）、（）解：用短除法分解质因数：231=3×7×11则此长方形的长和宽有以下几种情况: 1、长3×7=21cm，宽11cm；2、长3×11=33cm，宽7cm；3、长7×11=77cm，宽3cm。
4、若9位数2016□2016能够被9整除，则□里的数是9解：个位数字之和是9的倍数，可以得出，方框内应填“9”5、某个自然数，被3除余2，被5除余4，被7除余6，这个自然数最小是___________。
6、已知五位数A329B能同时被8和9整除，则A=_5___，B=_6___ _。
分析：根据能被8整除的数的特征，后三位应该能被8整除，29B 除以8，列竖式，可以推算出B=6。
然后根据能被9整除的数的特征，各位数字之和能被9整除，所以A=5.7．五位数能被12整除，这个五位数是____________。
8、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。
72=8×9，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。
由能被8整除的数的特征（末三位数能被8整除）知，79b能被8整除，则b＝2；由能被9整除的数的特征知，a＋6＋7＋9＋2＝a＋24能被9整除，则a=3。
故这笔账应是36792元。
9、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。