第10章 正弦稳态分析(新)

设 u(t)=Umcos(w t+ u),
i(t)=Imcos(w t+ i) u(t)与i(t)之间的相位差为： u
u, i i O
u i
= (w t +u )－(w t +i )
＝u－i
wt

u, i
= u－i
☆ > 0, u 超前i 角; ☆ < 0, i 超前u 角。 特殊相位关系： O u, i
两种表示法的关系： A=a+jb A=|A|ej =|A|
| A | a 2 b 2 b θ arctg a
直角坐标表示 极坐标表示
a | A | cosθ b | A | sinθ
Im b
A
|A|

O a Re
或
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标 若 则 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2) O Im A2 A1
s 2
则微分方程的通解为
uCh t Ke st Ke 2 t
uCp t A cos 2t B sin 2t
设非齐次微分方程的特解为 代入到微分方程中可求得
A 1 B 1
全解
uC (t ) uCh (t ) uCp (t ) Ke 2t cos 2t sin 2t
类似，正弦电压的三要素为振幅Um，角频率ω和初相u ， 其函数表达式为 i(t) = Imcos(w t +i ) u(t) = Umcos(w t +u ) 由于正弦电压电流的数值随时间t 变化，它在任一时 刻的数值称为瞬时值，因此上两式又称为正弦电流和正弦 电压的瞬时值表达式。
三、同频率正弦量的相位差 (phase difference) 正弦电流电路中，各电压电流都是频率相同的正弦量， 我们分析这些电路时，常常需要将这些正弦量的相位进行 比较。两个正弦电压电流相位之差，称为相位差，用 表 示。例如有两个同频率的正弦电压电流
W1 i ( t ) Rdt
0
T 2
W2=I 2RT
I
R
令: W1 = W2
I RT i ( t ) Rdt
2 T 2 0
1 I T

T
0
i 2 ( t )dt
R
同样，可定义电压有效值： U
def
1 T

T
0
u 2 ( t )dt
3. 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )
j
2
cos j sin j 2 2
Re
jI
j 2 , e cos( ) j sin( ) j 2 2 2
I
, e j cos( ) j sin( ) 1
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej= –1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
182.5 j132.5 225.536
(3) 旋转因子： 复数 A• ej ej =cos +jsin =1∠
Im
A• ej

Aபைடு நூலகம்Re
0 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故 把 ej 称为旋转因子。
Im
几种不同值时的旋转因子：
jI
0
I
, e 2
1 I T
def

T
0
i 2 ( t )dt
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。 有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。)
2. 有效值的物理意义
周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的电能，等 于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。 i(t)
第10章 正弦稳态分析
重点：
正弦信号的表示、相位差
正弦量的相量表示
电路定理的相量形式 阻抗和导纳 用相量法分析正弦稳态电路
引
言
迄今为止，我们讨论的大多为直流信号激励的电路。如 理想直流电压源，其电压值是一个常数，不随时间变化。在 实际生活中，还存在大量随时间做交替变化的信号，称为交 流信号。 u u
u i
wt
u iw t
=0， 同相 = ，反相 = /2，正交
规定： | | (180°)。
O u, i u
i
O
wt
例, 已知正弦电压u(t)和电流i1(t)，i2(t)的瞬时值表达式为
u( t ) 311 cos(wt 180 ) V i1 ( t ) 5 cos(wt 45 ) A i2 ( t ) 10 cos(wt 60 ) A
i 2Icos(wt Ψ ) A(t ) 2Ie
A(t)还可以写成 A(t ) 2Ie e
j
j(wt Ψ )
jwt
2 I e jwt
Re
加减法可用图解法。
(2) 乘除运算——极坐标
若
A1=|A1| 1 ，若A2=|A2| 2
j j j ( ) 则: A1 A2 A1 e 1 A2 e 2 A1 A2 e 1 2 A1 A2 1 2
乘法：模相乘，角相加。
A1 | A1 | θ 1 | A1 | e jθ1 | A1 | j( θ1θ 2 ) | A1 | e θ1 θ 2 jθ 2 A2 | A2 | θ 2 | A2 | e | A2 | | A2 |
例2.
(17 j9)(4 j6) 22035 ? 20 j5

19.24 27.9 7.21156.3 解：上式 180.2 j126.2 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329
10. 2 正弦量的相量表示
一、复数及运算 1. 复数A表示形式： Im b A=a+jb
(j 1 为虚数单位 )
A
Im b
A
|A|

O a Re O a Re
j
A a jb
A | A | e | A |
j
A | A | e
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
i(t ) Im cos( t Ψ ) 2I cos( t Ψ ) w w
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V， Um537V。
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭 牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的 是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大 值考虑。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 *注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
1. 正弦量的相量表示 构造一个复函数 没有物理意义
A(t ) 2Ie j(wt ) 2Icos(wt ) j 2Isin( t Ψ ) w
若对A(t)取实部：
Re[A(t )] 2Icos( t Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。 w
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应 的复指数函数：
i , Im , I
五. 正弦电压激励的RC电路分析 例
uS t
1
t=0 0.5F
已知uS (t ) 2 cos 2t，求uC (t )。
+
_
+ uC _
解 建立微分方程
duC uC 2 cos 2t RC dt uC (0 ) 0
特征根
0.5s+1=0
式中：Im —— 振幅值； ω —— 角频率； i —— 初相位。 i T
/w O
t
交流电路中的正弦电压与电流的大小和方向随时 间按正弦规律做周期变化。 i T R i R i L
+
/w
O
+
L
t
_
us
_
us
正半周 正弦信号应用广泛的原因：
负半周
（1）许多自然现象本身呈现出正弦特性；如钟摆等 （2）正弦信号易于产生和远距离传输； （3）由傅立叶分析可知，任何实际的周期信号都可以 表示成许多正弦信号之和； （4）正弦信号在数学上易于处理，其导数和积分仍然 是正弦信号。
O u
T
t
O u
T
t
T O t O T t
10. 1 正弦电压和电流
一、正弦电压电流
按照正弦规律随时间变化的电压(或电流)称为正弦电 压(或电流)，它是使用最广泛的一种交流电压(电流)，常 称为交流电，用AC表示。常用函数式和波形图表示正弦电 压和电流，正弦电流的函数表达式如下式所示，其波形图 如图所示。 i(t) = Imcos(wt+i )
由起始条件
uC ( t ) uCh ( t ) uCp ( t ) -e 2 t cos 2t sin 2t -e 2 t 2 cos2t 45 V
uC (0+)=0
定积分常数K
K= -1
注意：
暂态响应
正弦稳态响应
(1)在线性电路中，如果激励是正弦信号，那么电路到 达稳态时，电路中的电压、电流都将是同频率的正弦信号。 (2)正弦稳态响应是微分方程的特解，求解特解时采用 待定系数法代回到微分方程中，需要求解三角方程；当阶 数很高时，计算会十分繁琐。