七年级一元二次方程
初中数学七年级一元二次方程的四种解法
二元一次方程组知识点1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数由多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”.2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”｝6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全
1. 一元二次方程的一般式：ax²+bx+c=0（a≠0）。
2. 一元二次方程的根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。
3.一元二次方程的顶点公式：x=-b/2a，y=c-b²/4a。
4.一元二次方程的轴对称式：y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标。
5. 一元二次方程的判别式公式：Δ=b²-4ac；当Δ>0时，有两个不
相等的实根；当Δ=0时，有一个重根；当Δ<0时，无实根。
6.一元二次方程的解的性质公式：两根之和=-b/a，两根之积=c/a。
7. 一元二次方程的因式分解公式：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁、x₂为方程的两个实根。
8. 一元二次方程的求导公式：y'=2ax+b，其中a、b为方程系数。
9. 一元二次方程的求和差公式：(x+y)²=x²+2xy+y²，(x-y)²=x²-
2xy+y²。
10. 一元二次方程的配方法公式：根据(a±b)²=a²±2ab+b²，将一元
二次方程化为完全平方形式。
一元二次方程(含答案)
第十六期：一元二次方程一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。
题型多样，一般分值在6－9分左右。
知识点1：一元二次方程及其解法例1：方程0232=+-x x 的解是（ ）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ．例2：若220x x --= ）A ．3B ．3C D 3思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3323123222=+-+，选A. 练习：1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1BC ．D ．2.如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解：1-是230x bx +-=的一个根，2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-． ∴原方程为2230x x --=分解因式，得(1)(3)0x x +-=11x ∴=-，23x =.3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=答案：1.1； 2.答案不唯一，如21x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系例1：如果21,x x 是方程0122=--x x 的两个根，那么21x x +的值为：（A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02=++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b -， 两根之积是ac，易求出两根之和是2。
初一数学一元二次方程试题答案及解析
初一数学一元二次方程试题答案及解析1.解方程：x2﹣4x﹣2=0．【答案】x1=2+，x2=2﹣【解析】利用一元二次方程的求根公式进行求解即可．试题解析：∵a=1，b=﹣4，c=﹣2，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=4×6，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．【考点】解一元二次方程-公式法2.（1）9x2–25=0（2）(x+5)3=–27（3）（4）【答案】（1）x1=，x2=–；（2）x =–8；（3）1；（4）原方程组的解为．【解析】（1）先移项，再利用直接开平方法即可；（2）直接开方即可；（3）先去括号，绝对值符号，再按照实数的运算法则计算即可；（4）用加减消元法进行解题．试题解析：（1）9x2=25，x2=x 1=，x2=–；（2）x+5=–3，x =–8；（3）原式=；（4）②×4得：4x-4y=16③，①+③得：x=5，将x=5代入②得：5﹣y=4，解得：y=1．∴原方程组的解为．【考点】1.解一元二次方程2.实数的运算3.解二元一次方程组．3.据媒体报道，我国2010年公民出境旅游总人数约5000万人次，2012年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2011年、2012年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2013年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？【答案】（1）20%；（2）8640万人次【解析】（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，根据“2010年旅游总人数约5000万人次，2012年旅游总人数约7200万人次”即可列方程求解；（2）根据（1）中求得的年平均增长率求解即可.（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x，由题意得5000（1+x）2 ="7200"解得 x1 =0.2=20%，x2=﹣2.2 （不合题意，舍去）答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%；（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．本题涉及了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列方程求解，最后注意解的取舍．4.下列算式能用平方差公式计算的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】平方差公式为；选项A中，不满足平方差公式的结构特点，所以不能用平方差公式来计算；选项B中，其不符合平方差公式的特点，所以不能用平方差公式进行计算；选项C中，所以选C；选项D中，不符合平方差公式的结构特点，所以不能用其进行计算【考点】平方差公式点评：本题考查平方差公式，解答本题需要考生掌握平方差公式，熟悉平方差公式的结构，会灵活运用平方差公式5.若是一个完全平方式，那么的值是（）A．2B．±2C．4D．±4【答案】D【解析】若是一个完全平方式，因为，它要是完全平方式，那么，即，所以M=±4【考点】完全平方式点评：本题考查完全平方式，解答本题需要考生掌握完全平方式，及其完全平方式的结构。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
一元二次方程的特征
一元二次方程的特征嘿，咱来聊聊一元二次方程的特征，这就像认识一个特别的小怪兽，了解了它的特点，你就能打败它啦！我有次帮我表弟辅导数学作业，就碰到了一元二次方程这个家伙。
表弟愁眉苦脸的，就像看到了超级大难题。
一元二次方程啊，它首先有个最大的特点，就是只含有一个未知数，这个未知数呢，咱一般用x 来表示，就像这个方程世界里只有一个主角。
比如说x² + 3x - 4 = 0，这里面就只有x 在“表演”。
而且啊，它的未知数最高次数是2，这是它的标志性特征呢。
就像这个小怪兽有个独特的帽子，上面写着“2次”。
这个次数2 可重要啦，它决定了方程的很多性质。
因为是二次，所以它的图像一般是个抛物线哦。
我就拿纸笔画给表弟看，我说你看，这个抛物线就像一个弯弯的小拱桥，有时候开口向上，有时候开口向下，这得看方程里二次项系数的正负啦。
一元二次方程还有个特点，就是它是整式方程。
啥是整式呢？就像一群规规矩矩的小士兵，分母里没有未知数，只有整数、未知数和它们之间的乘法、加法这些运算。
这就保证了方程的纯洁性，哈哈。
在解一元二次方程的时候，有好多方法呢。
像因式分解法，就像拆拼图一样，把方程拆成几个小部分，然后找到使方程成立的x 值。
我给表弟举例子，就像x² - 4 = 0，这可以分解成(x + 2)(x - 2)=0，这样就能轻松算出x = 2 或者x = -2啦。
还有公式法，就像一个万能钥匙，只要把方程里的系数往公式里一套，就能求出答案。
从这次辅导表弟的经历，我就知道，一元二次方程虽然看起来有点复杂，但只要抓住它的这些特征，就像抓住了小怪兽的弱点，解决它就没那么难啦。
以后再遇到一元二次方程，就可以轻松应对，不会被它吓倒啦！这一元二次方程的特征，可是数学世界里的重要宝藏呢。
复习2：一元二次方程根的判别式
4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（ ）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存 在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（ ）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
初中数学-一元二次方程及其解法
考察一元二次方程的概 念 例1：关于x的方程：
k 3k 1x2 k 1x50， 1k为何值时，方程是一元二次方程？ 2k为何值时，方程是一元一次方程？
解 ： 1 当 k 3 k 1 0 时 ， 即 k 3 且 k 1 时 ，
原 方 程 是 一 元 二 次 方 程 .
2当kk31k100时，即k3时，
初中数学
一元二次方程 及其解法
预备知 1 、 平 识方 根 的 意 义 ： 如 果 x 2 a ， 那 么 x a .
例 如 x25 ， 则 x5.
2 、 完 全 平 方 式 ： 式 子 a 2 2 a b b 2 叫 做 完 全 平 方 式 ，
并 且 a 2 2 a b b 2 a b 2.
原方程是一元一次方程.
例2：若关于x的一元二次方程：
m22x1mx22 x22 0
的常数项为零，求m的值.
分析：先化成一般式，确定常数项.
解 ： 去 括 号 ， 得 2 m 2 x m 2 m x 2 2 x 2 4 0 ，
整 理 ， 得 m 2 x 2 2 m 2 x m 2 4 0 ，
根 据 题 意 ， 得 m m22400， . 解 之 ， 得m 2.
一元二次方程的解 法
首先，我们要明确一元二次方程的解法来源于平方根的定义.
如 果 x2a ， 那 么 x叫 做 a 的 平 方 根 ， 记 作 xa.当 然 ， 这 里 的 a要 满 足 a0.
所 以 ， 当 我 们 把 x 2 a 看 作 是 一 个 最 基 本 的 一 元 二 次 方 程 时 ， 则 方 程 的 解 为 ： x a ， 这 里 必 须 满 足 a 0 .
x22x20
x22x2
x22x 12 1
初中数学解一元二次方程
初中数学解一元二次方程一元二次方程是初中数学中的重要概念，它可以用来描述许多实际问题，也是解决许多数学问题的基础。
在本文中，我们将详细介绍如何解一元二次方程，包括方程的基本形式、解的方法以及实际应用等内容。
一、一元二次方程的基本形式一元二次方程的基本形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
方程中的x表示未知数。
二、求解一元二次方程的方法解一元二次方程的一般方法有两种：因式分解法和配方法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解的方法来求解方程。
具体步骤如下：首先，将方程ax^2 + bx + c = 0进行因式分解，找出两个乘积为ac，且和为b的两个数。
假设这两个数为m和n，即m * n = ac，m + n = b。
然后，可以将方程写成两个括号相乘的形式，如：(px + m)(qx + n)= 0。
其中，p和q是已知实数。
最后，根据括号相乘的性质，可以得到两个方程：px + m = 0 和 qx + n = 0。
解这两个方程可以得到方程的解。
当一元二次方程无法因式分解时，可以使用配方法来求解方程。
具体步骤如下：首先，将方程ax^2 + bx + c = 0右侧移到左侧，得到ax^2 + bx + c = 0的标准形式。
然后，计算方程的判别式D = b^2 - 4ac。
根据判别式的值可以判断方程的解的情况：- 当D > 0时，方程有两个不相等的实数解；- 当D = 0时，方程有两个相等的实数解；- 当D < 0时，方程无实数解，但可能有复数解。
最后，根据判别式的情况，使用求根公式x = (-b ± √D) / 2a来计算方程的解。
三、实际应用一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的例子：1. 抛物线的图像一元二次方程描述的曲线是一个抛物线，通过解一元二次方程，可以确定抛物线的顶点、焦点等关键点的坐标，进而描绘出抛物线的图像。
中考《一元二次方程》经典例题及解析
一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式； （5）运用直接开平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原当m 为平均下降率时，则有(1n a m -2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD ()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD （3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 为()()a x b x --．图1 4. 碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n 支球队互相之∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛和B 与A 比赛是同一场比赛∴m =（ −1）（2）不重叠类型（单循环）：n 支球队，∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛在A 的主场，B 与A ∴m = （ −1）经典1．若关于x 的方程220x ax +-=有一个【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义，【解析】解：把x=1代入方程2x ax +=a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长)b =．成本．（2）利润率=利润成本×100％． BCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，CD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的BCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空 图2 图互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m 。
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册通常不包括一元二次方程的学习内容，这一部分通常在高中数学课程中进行讲解。
不过，我可以简单介绍一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程是一个具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和 c 是实数常数，且 a ≠0。
其中，x 表示未知数，而a、b 和 c 分别表示方程的系数。
一元二次方程的解可以通过使用求根公式来求得，该公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式中的±表示可以取正负两个值，即方程可能有两个解、一个解或无解，具体取决于b^2 - 4ac 的值。
解一元二次方程的过程主要包括以下几个步骤：
1. 将方程化为标准形式ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据求根公式计算出x 的值，注意判断b^2 - 4ac 的值确定解的情况。
3. 如果方程有解，则将解带入原方程验证。
希望这些简单的介绍对你有所帮助。
如果你需要更详细的讲解或有其他数学问题，欢迎继续提问。
初中一元二次方程的解法
初中一元二次方程的解法一元二次方程是数学中的重要概念，其解法也是初中数学学习中的重点内容。
下面我将详细介绍初中一元二次方程的解法，包括基本概念、求解思路以及常用的解法方法。
一、基本概念一元二次方程是指具有形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0，x是未知数。
方程中的a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
二、求解思路求解一元二次方程的思路主要分为两步：1.将一元二次方程化为标准形式；2.根据方程的特点选择合适的解法进行求解。
三、常用解法方法1.因式分解法当一元二次方程的系数较为简单，或存在公因式时，可以使用因式分解法求解。
步骤：1）将方程移项，化为ax^2 + bx + c = 0的形式；2）对方程中的二次项、一次项和常数项进行因式分解；3）令方程中各个因式为0，解得方程的根。
例题：求解方程2x^2 - 5x + 3 = 0。
解：将方程移项，得2x^2 - 5x + 3 = 0。
观察方程的系数，发现方程中的一次项系数-5可以表示为2和-3的和，且方程中的常数项3可以表示为2和1的积。
因此，可以将方程进行因式分解，得到2x^2 - 5x + 3 = 0，即（2x - 3）(x - 1) = 0。
令（2x - 3）= 0和（x - 1）= 0，解得x = 3/2和x = 1。
所以，方程2x^2 - 5x + 3 = 0的解为x = 3/2和x = 1。
2.公式法当一元二次方程不易通过因式分解法求解时，可以使用公式法求解。
步骤：1）将方程移项，化为ax^2 + bx + c = 0的形式；2）根据公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，计算出方程的根。
例题：求解方程3x^2 - 4x - 1 = 0。
解：将方程移项，得3x^2 - 4x - 1 = 0。
根据公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，其中a=3，b=-4，c=-1，代入公式计算得：x = [-(-4) ± √((-4)^2 - 4×3×(-1))]/(2×3) = [4 ±√(16 + 12)]/6 = [4 ± √28]/6。
一元二次方程(含答案)
第十六期：一元二次方程一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。
题型多样，一般分值在6－9分左右。
知识点1：一元二次方程及其解法例1：方程0232=+-x x 的解是（ ）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ．例2：若220x x --=的值等于（ ）A ．3B ．3C D 3思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3323123222=+-+，选A. 练习：1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1BC ．D ．2.如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根．3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解：1-是230x bx +-=的一个根，2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-． ∴原方程为2230x x --=分解因式，得(1)(3)0x x +-=11x ∴=-，23x =.3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2.（2009年XX 省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．3.（2009XX 省XX 市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x += B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=答案：1.1； 2.答案不唯一，如21x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系例1：如果21,x x 是方程0122=--x x 的两个根，那么21x x +的值为：（A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02=++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是ab-， 两根之积是a c ，易求出两根之和是2。
一元2次方程4种公式
一元2次方程4种公式一元二次方程是数学中常用的式子，它可以用来解决许多实际问题。
一元二次方程的表达式一般为 ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c均为实数，x为未知数。
一元二次方程可以按照a的值来分为4种公式。
1.a=0，此时一元二次方程转换为一元一次方程。
这个情况下，一元二次方程的公式变成了bx + c = 0，可以使用简单的求解方法来求解，原方程的解为x=-c/b。
2.a≠0，此时一元二次方程称为二次项不为零的一元二次方程，有两种根。
具体求解方法为：原方程先化为bx2 + c’x + c” = 0的形式，其中b’为b/a，c为c/a，c”为-c/a。
此时原方程的解为：x1={-b+√(b2 - 4cc”)}/2， x2={-b -(b2 - 4cc”)}/2。
3.a=0，b=0，c=0，此时原方程为0=0，恒成立，所以此时所有实数都是解。
4.a=0，b=0，c≠0，此时原方程为0=c≠0，显然不成立，这个方程没有实数解。
在高中数学中，一元二次方程是不可避免的主题，它可以让我们更好地理解数学中的关系，具有很强的实际意义。
要求解一元二次方程，应该先根据二次项的系数是否为零来区分，再根据情况使用不同的求解方法。
理解了这四种公式，我们就可以对由一元二次方程表示的实际问题有更深入的认识，并加以解决。
一元二次方程广泛用于日常生活中，比如可以用来求解计算机技术中的二次函数表达式，例如求解抛物面的切线方程。
此外，一元二次方程可以解决经济学中的经济规划问题，例如求解最优购买量的线性组合问题，以及求解工资的满意度的最大化问题。
一元二次方程还可以用来求解物理中的问题，例如在力学中，可以用它求解质点运动的轨迹方程。
此外，一元二次方程在数字滤波技术中仍然被广泛应用，可以用来更好地模拟图像信息。
从上面可以看出，一元二次方程在现实生活中有着广泛的应用，可以简洁而有效地解决许多实际问题。
要想更好地使用一元二次方程，首先应深入理解4种公式，然后再根据实际问题的情况，使用正确的求解方法，最终达到运用一元二次方程解决实际问题的目的。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
七年级一元二次方程知识点总结
七年级一元二次方程知识点总结
一元二次方程是中学数学中的重要内容之一。
在七年级研究一元二次方程时，主要包括以下几个知识点：
1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c分别为已知数，而x是未知数。
2. 一元二次方程的解：解一元二次方程可以通过因式分解、配方法、求根公式等方式。
其中最常用的方法是求根公式，即利用二次方程的求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解方程。
3. 一元二次方程的判别式：判别式可以帮助我们判断一元二次方程的解的情况。
判别式Δ = b^2 - 4ac，通过判别式的值可以分为三种情况：当Δ > 0时，方程有两个不同实数解；当Δ = 0时，方程有两个相等实数解；当Δ < 0时，方程没有实数解。
4. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线。
通过方程中的a的正负和判别式的值可以判断抛物线的开口方向和位置。
5. 一元二次方程的应用：一元二次方程在生活和实际问题中有
许多应用。
例如，可以用一元二次方程求解一个物体的抛射问题、
轨道问题、距离问题等。
以上是七年级研究一元二次方程的主要知识点总结。
通过掌握
这些知识点，可以更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题。
参考资料：
- 《数学七年级上册》教材
- 《中学数学七年级上册》辅导书。
七年级数学一元二次方程求根题目
七年级数学一元二次方程求根题目解一元二次方程（Quadratic Equation）是七年级数学学习的一项重要内容。
在解题过程中，我们需要掌握一些基本方法和技巧。
本文将以一元二次方程求根的题目为例，介绍具体的解题方法和步骤。
一、题目描述假设我们有一个一元二次方程求根的题目，“解方程2x²-5x+2=0”。
二、方程求根方法解一元二次方程的方法主要有因式分解法和配方法。
在这个例子中，我们将采用配方法来求解。
三、配方法求解步骤1. 首先，我们观察方程，将方程中的各项系数分别表示出来：a=2，b=-5，c=2。
2. 接下来，根据配方法的步骤，我们需要计算出一个常数k，使得k乘以a乘以c的结果等于b的平方。
即kac=b²。
在这个例子中，k=ac=(-5)²/(4*2)=25/8。
3. 然后，我们将这个常数k加到方程两边的同时，也要从方程两边减去它，以保持方程等式的平衡。
具体操作如下：2x²-5x+2+25/8=0+25/8。
4. 将方程进行整理，合并同类项，并计算出完全平方项。
该步骤的目的是将方程转化为平方的形式，即(x+m)²=n。
具体计算如下： 2x²-5x+(25/8)+2-25/8=0+25/8；2x²-5x+(25/8)+(16/8)-(25/8)=0+25/8；2x²-5x+(16/8)=0+25/8；2x²-5x+(4/2)²=(5/2)²。
5. 通过二次平方差公式，将完全平方项进行展开，转化为(x+m)²=n 的形式。
具体计算如下：(x-(4/2))²=(5/2)²。
6. 将方程转化为含有完全平方项的等式后，我们可以使用开平方的方法来求得方程的解。
具体计算如下：x-(4/2)=±(5/2)；x=4/2±5/2。
7. 最后，我们可以得到方程的两个解：x=3或x=1/2。
一元2次方程公式解法
一元2次方程公式解法一元二次方程可是数学里的一个重要知识点哟！咱们一起来瞧瞧它的公式解法到底是咋回事。
我还记得之前给学生们讲一元二次方程的时候，有个小同学特别有意思。
那是一个阳光明媚的上午，我在黑板上写下了一个一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），然后就开始讲解怎么用公式法来求解。
这时候，那个小同学瞪着大眼睛，一脸疑惑地看着我，举起手说：“老师，这看起来好复杂呀，怎么能解出来呢？”我笑着对他说：“别着急，咱们一步步来。
”一元二次方程的公式解法，其实就是依靠那个著名的求根公式：$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
首先呢，咱们得确定方程中的系数 $a$、$b$、$c$。
这就好比是给方程“画像”，先把它的轮廓勾勒清楚。
比如说方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ ，这里的 $a = 2$，$b = 5$，$c = -3$ 。
接下来，关键的一步就是计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 。
这个判别式可重要啦！它能告诉我们方程根的情况。
如果 $\Delta > 0$ ，方程就有两个不相等的实数根；如果 $\Delta = 0$ ，方程就有两个相等的实数根；要是 $\Delta < 0$ ，方程就没有实数根，只有两个共轭的复数根。
还是拿刚才那个方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$ 来说，$\Delta = 5^2 -4×2×(-3) = 25 + 24 = 49$ ，因为 $49 > 0$ ，所以这个方程有两个不相等的实数根。
然后，咱们就把 $a$、$b$、$\Delta$ 的值代入求根公式。
对于这个方程，$x = \frac{-5 ± \sqrt{49}}{2×2} = \frac{-5 ± 7}{4}$ ，所以 $x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$ ，$x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$ 。
一元二次方程初中几年级学
一元二次方程初中几年级学一元二次方程是初中数学中的一个重要概念，通常在七年级或八年级开始学习。
它是一个二次方程，形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，且a不等于0。
当我第一次学习一元二次方程时，我对它感到困惑和陌生。
我记得老师用生动的例子来解释它的应用。
我们一起解决了一些实际问题，比如求解抛物线的顶点坐标、找出图像的对称轴等。
通过这些实例，我逐渐理解了一元二次方程的意义和用途。
随后，我们开始学习如何解一元二次方程。
老师告诉我们可以使用配方法、因式分解和求根公式等方法来求解。
我发现每种方法都有其独特的优势和适用范围。
在解题的过程中，我需要仔细观察方程的形式，选择合适的方法进行求解。
这个过程需要我灵活运用数学知识和思维能力。
在学习过程中，我发现一元二次方程与实际生活中的问题紧密相关。
比如，在物理学中，我们可以用一元二次方程来描述自由落体运动的轨迹；在经济学中，我们可以用一元二次方程来分析成本和利润的关系。
这些实际问题的解决需要我们将数学知识与实际情境相结合，培养我们的思维能力和创造力。
通过学习一元二次方程，我不仅掌握了具体的求解方法，还培养了逻辑思维和问题解决能力。
我学会了观察问题的本质，分析问题的特点，并找出合适的解决方案。
这些能力在我日常生活和学习中都能发挥重要作用。
总的来说，学习一元二次方程是初中数学教育中的一个重要环节。
通过学习，我们不仅掌握了具体的知识和技能，还培养了思维能力和创造力。
这些能力在我们的成长和发展中都具有重要意义。
所以，让我们一起努力学好一元二次方程，为未来的学习和生活打下坚实的数学基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二元一次方程
二元一次方程：每个方程都含有两个未知数（x 和y ）， 并且含有未知数的项的次数都是1，这
样的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的解：是二元一次方程两边的值相等的两
个未知数的值，叫做二元一次方程 的解。
二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方
程和在一起，就组成了一个二元一次 方程组。
二元一次方程组的解：二元一次方程组两个方程的公共
解，叫做二元一次方程组的解。
代入消元法：例1 二元一次方程组的解法
加减消元法： 巩固提升：
用代入消元法解下列方程组
（1）⎩⎨⎧=+=53x y x （2）⎩⎨⎧==+y x y x 3232 （3）⎩
⎨⎧+-=+8257
3y x y x
练习：
1、下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
Ａ、⎩⎨⎧=+=321y x Ｂ、⎩⎨⎧=-=+01y x y x Ｃ、⎩⎨⎧==+01xy y x Ｄ、⎩⎨⎧=-=1
2y x x
y
2、已知x ，y 的值：①⎩⎨⎧==22y x ②⎩⎨⎧==23y x ③⎩⎨⎧-=-=23y x ④⎩
⎨⎧==66
y x 其中，是二元一次方程42=-y x 的解的
是（ ）
Ａ、①
Ｂ、②
Ｃ、③
Ｄ、④
3、若方程826=-y kx 有一解⎩⎨
⎧=-=2
3
y x 则k 的值等于（ ）
Ａ、61
- Ｂ、61 C 、32 Ｄ、3
2-
4、已知一个二元一次方程组的解是⎩⎨⎧-=-=2
1
y x 则这个方程组是（ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 ⎩⎨⎧=-=+23xy y x ⎩⎨⎧=--=+123y x y x ⎩⎨⎧-=-=32x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-4
21
6
532y x y x
填空题
1、买12支铅笔和5本练习本，其中铅笔每支X 元，练习本每本Y 元，共需用4.9元。
①列出关于X ，Y 的二\元一次方程为____ _；②若再买同样的铅笔6支和同样的练习本2本，价钱是2.2元，列出关于X ，Y 的二元一次方程为_ ____；③若铅笔每支0.2元，则练习本每本__ ___元。
2、在二元一次方程432=-y x 中，当5=x 时，=y 。
3、已知⎩
⎨
⎧=-=52y x 是二元一次方程10740
62=-+b y x 的一个解，则=b _____． 4、当=k ______时，方程组()⎩⎨⎧=-+=+3
11
34y k kx y x 的解中X 与Y 的值相等。
5、已知二元一次方程643=+y x ，当y x 、互为相反数时，=x _____，=y ______；当y x 、相等时，=x ______，
=y _______ 。
耐心做一做：
1、已知二元一次方程1532-=-y x 。
⑴用含y 的式子表示x ⑵用含x 的式子表示y 2、已知()031342
=-+-+y y x ，求y x +的值。
3、二元一次方程组⎩
⎨⎧-=-+=+1223
23m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值。
4、某工厂第一车间比第二车间人数的5
4
少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的
4
3
，问这两车间原有多少人？
5、某运输队送一批货物，计划20天完成，实际每天多运送5吨，结果不但提前2天完成任务并多运了10吨， 求这批货物有多少吨？原计划每天运输多少吨？
二元一次不等式组
1、解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到 不等式组的解集。
2
3下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），
设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）； （2）解不等式组；
（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案．
练习：
1、已知a b <<0，那么下列不等式组中无解的是（ ） A 、⎩⎨
⎧<>b a a x B 、⎩⎨⎧-<->b a a x C 、⎩⎨⎧-<>b a a x D 、⎩
⎨⎧<->b a a
x
2、不等式组312,840
x x ->⎧⎨
-≤⎩的解集在数轴上表示为（ ）
A B C D 3、已知⎩⎨
⎧+=+=+1
2242k y x k
y x ，且01<-<-y x ，则k 的取值范围是（ ）
A 、211-<<-k
B 、210<<k
C 、10<<k
D 、121
<<k
4、如果不等式组⎩⎨⎧≥≥-m x x 0
23有解，则m 的取值范围是（ ）
A 、23<m
B 、23≤m
C 、23>m
D 、2
3
≥m
5、如果2<a ，那么不等式组⎩⎨⎧>>2x a x 的解集为________；当______时，不等式组⎩
⎨⎧><2x a
x 的解集是空集。
6、若不等式组⎩⎨⎧>->-0
22
x b a x 的解集是11<<-x ，则()=+b a ______。
7、已知关于x 的不等式组⎩
⎨⎧->->-1230
x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是______。
8、不等式组()
⎪⎩⎪
⎨⎧-≤-->x x x 32
3
1125的整数解的和是______。
9、不等式5731<-≤x 的整数解是______。
10、（1）解不等式组()⎪⎩
⎪
⎨⎧+<+≤+4133322x x x x ，并写出不等式组的整数解。
（2）解不等式组()()⎩⎨⎧>+-≥+x
x x x 4121213，并把它的解集在数轴上表示出来。
11、七（2）班有50名学生，老师安排每人制作一件A 型和B 型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg ，乙种制作材料29kg ，制作A ，B 两种型号的陶艺品用料情况如下表：
（1）设制作B 型陶艺品x 件，求x 的取值范围；
（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A 型和B 型陶艺品的件数。