精选题库高一数学5-2北师大版

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高中数学北师大版5第一、二章综合测试题与答案

高中数学必修5第一二章综合测试卷一、选择题：（每小题4分,共计40分)1．△ABC 的内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =2,b =6，B =120o，则a 等于（ D )AB ．2 CD2．在△ABC 中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a 的取值范围是 ( A )A ．222<<aB ．42<<aC ．22<<aD ．222<<a3．在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a,b,c ，若(a 2+c 2—b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为(D ）A. 6πB. 3πC.6π或56πD 。

3π或23π4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为（ D )A 。

185B.43 C.23 D.87 5．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、β（α＞β）则A 点离地面的高AB 等于（ A ） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-aD ．)cos(cos cos βαβα-a6．已知等差数列{a n ｝满足a 2+a 4=4, a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10=( C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．237．已知{a n }是等比数列,a 2=2， a 5=41,则a 1a 2+ a 2a 3+…+ a n a n+1=（ C ）A ．16（n--41） B ．16（n--21)C ．332(n--41） D ．332(n--21)8 如果a 1,a 2,…， a 8为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则 ( B ）A 5481a a a a >B 5481a a a a < C1845a a a a +>+ D5481a a a a =[解析］：因为128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠故2121115412111817)4)(3(,7)7(d d a a d a d a a a d a a d a a a a ++=++=+=+=;故5481a a aa <9、3、已知数列｛a n }满足a 1=0， a n+1=a n +2n,那么a 2003的值是 ( C ）A 、20032B 、2002×2001C 、2003×2002D 、2003×200410、已知等差数列｛a n ｝中，|a 3｜=|a 9|，公差d<0，则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 是(B)A 、4或5B 、5或6C 、6或7D 、8或9二、填空题:(每小题4分,共计20分）11．已知a +1，a +2，a +3是钝角三角形的三边,则a 的取值范围是（0，2)12．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b – c)cosA=acosC ，则13．若AB=2，，则S △ABC 的最大值14．在等比数列{a n ｝中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log｝前19项之和为___－19 ___［解析］：由题意a n 〉0,且a 1·a 19 =a 2·a 18 =…=a 9·a 11=210a又a 9·a 11=4 ,故1921a a a =192故+121log a 221log a +…+1921loga =19)(log 192121-=a a a15．已知函数f （x ）=2x ，等差数列｛a x ｝的公差为2.若f （a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4，则log 2［f （a 1）f(a 2）f(a 3）…f(a 10)]= －6三、解答题:（共计40分)16．（本题10分）△ABC 中,∠A=45°,AD ⊥BC ，且AD=3，CD=2，求三角形的面积S. 解：记,,βα=∠=∠CAD BAD βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(45tan ,2tan ,3tan -+=+=︒∴==∴hh1(60656522-==⇒=--⇒-=h h h h h h 不合）,155621=⨯⨯=∴S 。

2018年高中数学北师大版必修5第2章解三角形2.1.1习题含解析

药關年下载250万谡料（打旬精品示范溟视顾等）服称论文写作及发表先发表后忖款色数理代网康阿曙馥嘛幡华師力作V JWM .sh U HH UH r nd1.1 正弦定理_________ :课时过关能力提升1. 在A ABC 中角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=8,B=60° ,C=75° ,则b 等于( )A.4 —B.4 —C.4 —D-2. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 若c= _a,B=30° ,则C 等于( )A.120 °B.105°C.90oD.75°解析：T c= a, - sin C= sin A= sin(180° -30° -C)= sin(30° +C)=— 12cos ,即 sin C=- _cos C,： tan C=-_.T C € (0, n ,： C=120° .故选 A.3. 在锐角三角形ABC 中角A,B 所对的边长分别为a,b.若2asin B= 一b,则A 等于( )A-B-C-D-解析:T 2asin B= b,:2s in Asi n B= sin B.T sin B和,：sin A=—. T A €-,:A=-.故选 A. 4.在△ABC 中满足acos B=bcos A,则A ABC 的形状为 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析：由正弦定理，得sin Acos B=sin Bcos A,:sin Acos B-cos Asin B= 0, 即 sin(A-B)=0.:A=B.故△ABC 为等腰三角形. 5.在△ABC 中，已知(b+c) : (c+a) : (a+b)=4 : 5 : 6,则sin A : sin B : sin C 等于() A.6 : 5 : 4 B.7 : 5 : 3C.3 : 5 : 7D.4 : 5 : 6解析:T (b+c) : (c+a) : (a+b)=4 : 5 : 6,岔元包年下载250万谡料(打包精品示范课视腹等)服称论文写作及发表先发表后付熬20元包年下载250万命（打旬精品示范溟视顾等）阳称協文写作及发表先发表后付熬|色数理代网MH£i§iE6华汇師力作v/ww.sh U HH UH r iict 令一一一=k(k>0),则解得 -二 sin A : sin B: sin C=a : b : c=7 : 5 : 3. 答案：| B 6.若满足条件C=60° ,AB= 一,BC=a 的△ABC 有两个，则a 的取值范围是( )A.(1,_—)B.(— _)C.( 一,2)D.(1,2)解析：由三角形有两解，知asin 60° < _<a 解得一<a< 2,故选C. 答案1C ,C=45° ,则MBC 的面积S ZABC 等于 .b=)X- 一+1. 答案_+18. ____________ 在A ABC 中,BC=x,AC=2,B=45° ,若这个三角形有两解，则x 的取值范围是 ______________ .解析:如图所示,AB 边上的高CD=—x,要使三角形有两解，必须满足CD<2<x,即一x<2<x, 解得 2<x< 2 一.答案 ::(2,2 _)9. _________ 在A ABC 中已知tan A=-,cos B=——,若A ABC 最长边长为—，则最短边长是 __________ .解析:T tan A=-,cos B= ----- ,二 sin B= —,ta n B=-,ta n C=-ta n(A+B)=-1.•-C=—,最长的边为c,最短的边为b,利用正弦定理二 ——,得b=- 答^(UJ 数理化网力作WWW,弓iHtj 日”恂亡I10. 在锐角三角形ABC 中,边a,b,c 所对的角分别为A,B,C,A=2B,求-的取值范围• 解:在锐角7.在 A ABC 中若a=2,A=30°解析T B=180° -A-C= 105.Sz ABc =-absin C=(三角形ABC中,角A,B,C均小于90° ,O即°解得30° <B<45° .O O由正弦定理，知-———= 2cos B€ (一_),故-的取值范围是(一一).11. 在△ABC 中,a= _,b=1,B=30° ,求边c及S AABC.解卜由正弦定理————，得sin A=—- -,••• A=60° 或A=120° .当A=60° 时,C=90° ,c=2b=2,Sz ABc=~acsin B=—;当A=120° 时,C=30° ,c=b=1,Sz ABc=-acsin B=—.故C=2,S/ABC=—或C=1,S Z ABC=—.★ 12在A ABC中,A,B为锐角角A,B,C所对的边分别为a,b,G且cos 2A=-,sin B=—.(1)求A+B的值；⑵若a-b= _-1,求a,b,c的值.解:|(1) T A,B 为锐角,sin B=—,二cos B= - --- .T cos 2A= 1-2sin2A=-，二sin A=—,cos A= - ——.cos(A+B)=cos Acos B-s in Asi n B=——--- ————.T 0<A+B< n • A+B=⑵由⑴知c=—,•sin C=—.由正弦定理—-- —,得a= b= c,即a= b,c= b.-a-b= -1,b-b= -1, • b=1.•a= ,c= .岔元包年下载250万谡料(打包精品示范课视腹等)服称论文写作及发表先发表后付熬。

新版高中数学北师大版必修5习题第二章解三角形2.2含解析

§2 三角形中的几何计算课时过关·能力提升1.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a sin B ·cos C+c sin B cos A=12b ,且a>b ,则B 等于( ) A.πB.π3C.2π3D.5π6a sin B cos C+c sin B cos A=12b 等价于sin A cos C+sin C cos A=12,即sin(A+C )=12. ∵a>b ,∴A+C=5π6,∴B=π6.故选A.2.某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成.该八边形的面积为( )A.2sin α-2cos α+2B.sin α-√3cos α+3C.3sin α-√3cos α+1 α-cos α+1x ,则x=√1+1-2×1×1×cosα=√2-2cosα, 所以S=4S 三角形+S 正方形=4×12×1×1×sin α+x 2 2sin α+2-2cos α=2sin α-2cos α+2.3.若△ABC 的周长等于20,面积是 10√3,A=60°,则BC 边的长是( ) A.5 B.6 C.7 D.8S=12bc sin A ,得10√3=12bc sin 60°,即bc=40.又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20-a.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-2bc cos 60°=b 2+c 2-bc=(b+c )2-3bc , 故a 2=(20-a )2-120,解得a=7.4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若acosA =bcosB =ccosC ,则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形,得sinA cosA=sinB cosB=sinC cosC,即tan A=tan B=tan C , 所以A=B=C ,所以△ABC 为等边三角形.5.在△ABC 中,sin 2A ≤sin 2B+sin 2C-sin B sin C ,则A 的取值范围是( ) A.(0,π6] B.[π6,π) C.(0,π]D.[π3,π),得a 2≤b 2+c 2-bc ,即b 2+c 2-a 2≥bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc≥bc 2bc =12.∵0<A<π,∴0<A ≤π3,故选C .6.等腰三角形的腰长为2,底边中点到腰的距离为√32,则此三角形外接圆半径R 为( ) A .2√33B .4√33D .47.在△ABC 中,若AB=3,BC=√13,AC=4,则AB 边上的高为 .,得cos A=32+42-132×3×4=12,∴A=60°.∴AB 边上的高为AC ·sin 60°=4×√32=2√3.√38.在△ABC 中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD 是△ABC 的角平分线,则AD= .,∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,∴1×3×2sin 60°=12×3AD sin 30°+12×2AD×sin 30°,∴AD=6√35.9.在四边形ABCD 中,AD ⊥CD ,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC= .,如图所示.在△ABD 中,设BD=x.根据余弦定理,得AB 2=AD 2+BD 2-2·AD ·BD cos ∠BDA ,所以142=102+x 2-10x ,整理得x 2-10x-96=0,解得x=16或x=-6(舍去),即BD=16. 在△BCD 中,根据正弦定理,得BCsin∠BDC =BDsin∠BCD ,则BC=BDsin∠BDC sin∠BCD=16sin30°sin135°=8√2.√210.在△ABC 中,已知A=60°,AB ∶AC=8∶5,面积为10√3,则其周长为 .AB=8k ,AC=5k ,k>0,∴S △ABC =12AB ·AC sin A=10√3k 2=10√3, ∴k=1,AB=8,AC=5.由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos A=82+52-2×8×5×12=49,∴BC=7.∴△ABC 的周长为AB+BC+AC=20.★11.已知圆内接四边形ABCD 的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD 的面积S.,连接BD ,则S=S △ABD +S △CBD =12AB ·AD sin A+12BC ·CD sin C.∵A+C=180°,∴sin A=sin C. ∴S=12sin A (AB ·AD+BC ·CD )=16sin A. 在△ABD 中,由余弦定理,得 BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos A=20-16cos A. 在△CDB 中,由余弦定理,得 BD 2=CD 2+BC 2-2CD ·BC cos C=52-48cos C. ∴20-16cos A=52-48cos C.又cos C=-cos A ,∴cos A=-12,∴A=120°.∴S=16sin A=8√3.★12.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a cos C+12c=b. (1)求A 的大小;(2)若a=1,求△ABC 的周长l 的取值范围.由a cos C+12c=b ,得sin A cos C+12sin C=sin B.∵sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C , ∴12sin C=cos A sin C. ∵sin C ≠0,∴cos A=12. ∵0<A<π,∴A=π3. (2)由正弦定理, 得b=asinBsinA =√3sin B ,c=√3sin C , l=a+b+c=1+3(sin B+sin C )=1+√3[sin B+sin(A+B )]=1+2(√32sinB +12cosB)=1+2sin (B +π6).∵A=π3,∴B ∈(0,2π3).∴B+π6∈(π6,5π6).∴sin (B +π6)∈(12,1].故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3].。

高一数学试题及答案大全北师大版

高一数学试题及答案大全北师大版一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x)=2x+1，则f(-1)的值为（）。

A. -1B. 1C. 3D. -32. 已知集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于（）。

A. {1}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3}3. 函数y=x^2-4x+3的顶点坐标为（）。

A. (2,-1)B. (-2,-1)C. (2,1)D. (-2,1)4. 直线y=2x+3与x轴的交点坐标为（）。

A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (0, -3)5. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值为（）。

A. 17B. 14C. 11D. 86. 函数y=1/x的图像关于（）对称。

A. 原点B. y轴C. x轴D. 直线y=x7. 圆的一般方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0中，圆心坐标为（）。

A. (-D/2, -E/2)B. (D/2, E/2)C. (-D, -E)D. (D, E)8. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若f'(x)=0，则x的值为（）。

A. 1B. 2C. -1D. 39. 抛物线y=x^2-2x+1的顶点坐标为（）。

A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (1, 2)D. (-1, 2)10. 函数y=√(x-1)的定义域为（）。

A. (1, +∞)B. (-∞, 1)C. (-∞, +∞)D. [1, +∞)二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，其对称轴为直线x=______。

2. 圆的方程为(x-2)^2+(y+3)^2=16，其半径为______。

3. 等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则a4的值为______。

4. 函数y=2x-1与直线y=x+2平行，则它们的斜率之比为______。

5. 抛物线y=-2x^2+4x+3的顶点坐标为（______，______）。

新版高中数学北师大版必修5习题第一章数列1.2.2.1

2.2 等差数列的前n 项和第1课时等差数列的前n 项和课时过关·能力提升1.等差数列{a n }的各项都是负数,且a 32+a 82+2a 3a 8=9,则它的前10项和S 10等于( ) B.9 C.15 D.13a 32+a 82+2a 3a 8=9,(a 3+a 8)2=(a 1+a 10)2=9.∵a n <0,∴a 1+a 10<0.∴a 1+a 10=3,∴S 10=10(a 1+a 10)2=15.n 为数列{a n }的前n 项和,若满足a n =a n 1+2(n ≥2),且S 3=9,则a 1等于( )B.3C.1D.1a n =a n 1+2(n ≥2),a n a n 1=2(n ≥2),∴{a n }是公差为2的等差数列.∵S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=9,∴a 2=3.a 1=a 2d=32=1.{a n }满足a 5=11,a 12=3,{a n }的前n 项和S n 的最大值为M ,则lg M 等于( )B .2C .10D .100{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }的前9项和S 9等于( ) B.99 C.144 D.297a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,得3a 4=39,3a 6=27,解得a 4=13,a 6=9,所以S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=)2=99. 5.在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+6,则数列{a n }的前11项和S 11等于( )B.48C.66D.132{a n }的公差为d ,则由a 9=12a 12+6,得a 1+8d=12(a 1+11d )+6,整理得a 1+5d=12,即a 6=12,所以S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=11×12=132.n ,a 10=33,a 2=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 202S 10等于( )A.40B.200D.20202S 10=20(a 1+a 20)22×10(a 1+a 10)2=10(a 20a 10)=100d.a 10=a 2+8d ,∴33=1+8d ,∴d=4. S 202S 10=400.★7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则S 1a 1,S 2a 2,…,S 15a 15中最大的项为( ) A.S 1a 1 B.S 15a 15C.S 8aD.S 9a 9 S 15>0,∴a 1+a 15=2a 8>0,a 8>0.∵S 16<0,∴a 1+a 16<0,∴a 8+a 9<0,∴a 9<0,∴S 8最大.又a 1>a 2>a 3>…>a 8>0>a 9>…,∴S 1a 1,S 2a 2,…,S 15a 15中最大的项为S8a 8.{a n }的前n 项和S n =n 2+n ,则它的通项公式为a n = .n=1时,a 1=S 1=2;n ≥2时,a n =S n S n 1=(n 2+n )[(n 1)2+(n 1)]=2n.∵a 1=2也符合上式,a n =2n.n {a n }的前n 项和为S n ,若a 1=11,a 4+a 6=6,则当S n 取最小值时,n 等于 .n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 3=3,S 6=24,则a 9= .{a n }的公差为d ,则S 3=3a 1+3×22d=3a 1+3d=3, 即a 1+d=1. ① S 6=6a 1+6×52d=6a 1+15d=24, 即2a 1+5d=8. ② 联立①②两式,解得a 1=1,d=2,a 9=a 1+8d=1+8×2=15.{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n+1,求数列{a n }的通项公式.,得S n +1=2n+1,则S n =2n+11.所以当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n S n 1=(2n+11)(2n 1)=2n . 又当n=1时,3≠21,故a n ={3,n =1,2n ,n ≥2.★12.甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m .(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那?设甲、乙开始运动n min 后第一次相遇,依题意,有2n+n (n -1)2+5n=70. 整理得n 2+13n 140=0,解得n=7或n=20(舍去).故甲、乙开始运动7 min 后第一次相遇.(2)设m min 后第二次相遇,依题意有2m+m (m -1)2+5m=3×70, 整理得m 2+13m 420=0.解得m=15或m=28(舍去).故开始运动15 min 后第二次相遇.。

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【同步汇编】2017-2018学年⾼中数学必修5全册习题精选汇编130页北师⼤版（含答案）2017-2018学年⾼中数学必修5 全册习题精选汇编⽬录第⼀章数列1.1数列1.1.1习题精选北师⼤版必修5含答案第⼀章数列1.1数列1.1.2习题精选北师⼤版必修5含答案第⼀章数列1.2等差数列1.2.1.1习题精选北师⼤版必修5含答案第⼀章数列1.2等差数列1.2.1.2习题精选北师⼤版必修5含答案第⼀章数列1.2等差数列1.2.2.1习题精选北师⼤版必修5含答案第⼀章数列1.2等差数列1.2.2.2习题精选北师⼤版必修5含答案第⼀章数列1.3等⽐数列1.3.1.1习题精选北师⼤版必修5含答案第⼀章数列1.3等⽐数列1.3.1.2习题精选北师⼤版必修5含答案第⼀章数列1.3等⽐数列1.3.2习题精选北师⼤版必修5含答案第⼀章数列1.4数列在⽇常经济⽣活中的应⽤习题精选北师⼤版必修5含答案第⼆章解三⾓形2.1正弦定理与余弦定理2.1.1习题精选北师⼤版必修5含答案第⼆章解三⾓形2.1正弦定理与余弦定理2.1.2习题精选北师⼤版必修5含答案第⼆章解三⾓形2.2三⾓形中的⼏何计算习题精选北师⼤版必修5含答案第⼆章解三⾓形2.3解三⾓形的实际应⽤举例习题精选北师⼤版必修5含答案第三章不等式3.1不等关系习题精选北师⼤版必修5含答案第三章不等式3.2⼀元⼆次不等式3.2.1习题精选北师⼤版必修5含答案第三章不等式3.2⼀元⼆次不等式3.2.2习题精选北师⼤版必修5含答案第三章不等式3.3基本不等式3.3.1习题精选北师⼤版必修5含答案第三章不等式3.3基本不等式3.3.2习题精选北师⼤版必修5含答案第三章不等式3.4简单线性规划3.4.1习题精选北师⼤版必修5含答案第三章不等式3.4简单线性规划3.4.2习题精选北师⼤版必修5含答案第三章不等式3.4简单线性规划3.4.3习题精选北师⼤版必修5含答案1.1 数列的概念课后篇巩固探究A组1.将正整数的前5个数作如下排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.则可以称为数列的是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④解析:4个都构成数列.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则该数列的前4项依次为( )A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.,0,,0D.2,0,2,0解析:把n=1,2,3,4分别代⼊a n=中,依次得到0,1,0,1.答案:B3.数列1,,…的⼀个通项公式是( )A.a n=B.a n=C.a n=D.a n=解析:1=12,4=22,9=32,16=42,1=231-1,3=232-1,5=233-1,7=234-1,故a n= .答案:A4.已知数列{a n}的通项公式a n=,若a k=,则a2k= ( )A. B.99 C. D.143解析:由a k=,于是k=6(k=-6舍去).因此a2k=a12=.答案:C5.已知数列,…,则三个数0.98,0.96,0.94中属于该数列中的数只有( )A.1个B.2个C.3个D.以上都不对解析:由已知可得该数列的⼀个通项公式a n=.令a n=0.98,解得n=49,令a n=0.96,解得n=24,令a n=0.94,解得n=?N+.故只有0.98和0.96是该数列中的项.答案:B6.已知曲线y=x2+1,点(n,a n)(n∈N+)位于该曲线上,则a10=.解析:由题意知a n=n2+1,因此a10=102+1=101.答案:1017.数列,3,,3,…的⼀个通项公式是.解析:数列可化为,…,即,…,每个根号⾥⾯可分解成两数之积,前⼀个因式为常数3,后⼀个因式为2n-1,故原数列的通项公式为an=,n∈N+.答案:a n=8.已知数列{a n}的通项公式a n=,则-3是此数列的第项.解析:令-3,得-3,解得n=9.答案:99.写出下列各数列的⼀个通项公式:(1)4,6,8,10,…(2),…(3),-1,,-,-,…(4)3,33,333,3 333,…解(1)各项是从4开始的偶数,所以a n=2n+2.(2)数列中的每⼀项分⼦⽐分母少1,⽽分母可写成21,22,23,24,25,…,2n,故所求数列的通项公式可写为a n=.(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1)n+1这个因式,忽略负号,将第⼆项1写成,则分母可化为3,5,7,9,11,13,…,均为正奇数,分⼦可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,…,故其通项公式可写为a n=(-1)n+12.(4)将数列各项写为,…,分母都是3,⽽分⼦分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以a n=(10n-1).10.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n.(1)写出数列的第4项和第6项;(2)问-49是不是该数列的⼀项?如果是,应是哪⼀项?68是不是该数列的⼀项呢?解(1)a4=3316-2834=-64,a6=3336-2836=-60.(2)设3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.设3n2-28n=68,解得n=或n=-2.∵?N+,-2?N+,∴68不是该数列的项.B组1.数列2,-,4,-,…的通项公式是( )A.a n=2n(n∈N+)B.a n=(n∈N+)C.a n=(n∈N+)D.a n=(n∈N+)解析:将数列各项改写为,-,-,…,观察数列的变化规律,可得a n=(n∈N+).答案:C2.已知数列{a n}的通项公式a n=,则a n2a n+12a n+2等于( )A. B. C. D.解析:∵a n=,a n+1=,a n+2=,∴a n2a n+12a n+2=.答案:B3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有( )个点.A.n2-n+1B.2n2-nC.n2D.2n-1解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,132+1,233+1,334+1,435+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:A4.⽤⽕柴棒按下图的⽅法搭三⾓形:按图⽰的规律搭下去,则所⽤⽕柴棒数a n与所搭三⾓形的个数n之间的关系式可以是.解析:∵a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴a n=2n+1.答案:a n=2n+15.在数列,…中,有序数对(a,b)可以是.解析:从上⾯的规律可以看出分母的规律是:133,234,335,436,…,分⼦的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,…,所以解得a=,b=-.答案:6.导学号33194000已知数列{a n}的通项公式a n=a22n+b,且a1=-1,a5=-31,则a3=.解析:由已知得解得即a n=-2n+1,于是a3=-23+1=-7.答案:-77.如图,有m(m≥2)⾏(m+1)列的⼠兵队列.(1)写出⼀个数列,⽤它表⽰当m分别为2,3,4,5,6,…时队列中的⼠兵⼈数;(2)写出(1)中数列的第5,6项,⽤a5,a6表⽰;(3)若把(1)中的数列记为{a n},求该数列的通项公式a n;(4)求a10,并说明a10所表⽰的实际意义.解(1)当m=2时,表⽰2⾏3列,⼈数为6;当m=3时,表⽰3⾏4列,⼈数为12,依此类推,故所求数列为6,12,20,30,42,….(2)队列的⾏数⽐数列的序号⼤1,因此第5项表⽰的是6⾏7列,第6项表⽰7⾏8列,故a5=42,a6=56.(3)根据对数列的前⼏项的观察、归纳,猜想数列的通项公式.前4项分别为6=233,12=334,20=435,30=536.因此a n=(n+1)(n+2).(4)由(3)知a10=11312=132,a10表⽰11⾏12列的⼠兵队列中⼠兵的⼈数.8.导学号33194001在数列{a n}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的⼀次函数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求a2 017;(3)是否存在m,k∈N+,满⾜a m+a m+1=a k?若存在,求出m,k的值,若不存在,说明理由.解(1)设a n=kn+b(k≠0),则由a1=2,a17=66得,解得所以a n=4n-2.(2)a2 017=432 017-2=8 066.(3)由a m+a m+1=a k,得4m-2+4(m+1)-2=4k-2,整理后可得4m=2k-1,因为m,k∈N+,所以4m是偶数,2k-1是奇数, 故不存在m,k∈N+,使等式4m=2k-1成⽴,即不存在m,k∈N+,使a m+a m+1=a k.1.2 数列的函数特性课后篇巩固探究A组1.数列{n2-4n+3}的图像是( )A.⼀条直线B.⼀条直线上的孤⽴的点C.⼀条抛物线D.⼀条抛物线上的孤⽴的点解析:a n=n2-4n+3是关于n的⼆次函数,故其图像是抛物线y=x2-4x+3上⼀群孤⽴的点.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式是a n=,则这个数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:∵a n+1-a n==>0,∴a n+1>a n,∴数列{a n}是递增数列.答案:A3.若数列{a n}的通项公式a n=,则在数列{a n}的前20项中,最⼤项和最⼩项分别是( )A.a1,a20B.a20,a1C.a5,a4D.a4,a5解析:由于a n==1+,因此当1≤n≤4时,{a n}是递减的,且a1>0>a2>a3>a4;当5≤n≤20时,a n>0,且{a n}也是递减的,即a5>a6>…>a20>0,因此最⼤的是a5,最⼩的是a4.答案:C4.已知{a n}的通项公式a n=n2+3kn,且{a n}是递增数列,则实数k的取值范围是( )A.k≥-1B.k>-C.k≥-D.k>-1解析:因为{a n}是递增数列,所以a n+1>a n对n∈N+恒成⽴.即(n+1)2+3k(n+1)>n2+3kn,整理得k>-,当n=1时,-取最⼤值-1,故k>-1.答案:D5.给定函数y=f(x)的图像,对任意a n∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满⾜a n+1>a n(n∈N+),则该函数的图像是( )解析:由a n+1>a n可知数列{a n}为递增数列,⼜由a n+1=f(a n)>a n可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上⽅.答案:A6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其中a,b均为正常数,则a n+1与a n的⼤⼩关系是.解析:∵a n+1-a n==>0,∴a n+1-a n>0,故a n+1>a n.答案:a n+1>a n7.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n2-5n+2,则数列{a n}的最⼩值是.解析:∵a n=2n2-5n+2=2,∴当n=1时,a n最⼩,最⼩为a1=-1.答案:-18.导学号33194002已知数列{a n}满⾜a n+1=若a1=,则a2 017=.解析:a1=,a2=2a1-1=,a3=2a2-1=,a4=2a3=,…,所以{a n}是周期为3的周期数列,于是a2 017=a67233+1=a1=.答案:9.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-21n+20.(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有⼩于0的项吗?有多少项?(2)n为何值时,a n有最⼩值?并求出最⼩值.解(1)令n2-21n+20=-60,得n=5或n=16.所以数列的第5项,第16项都为-60.由n2-21n+20<0,得1(2)由a n=n2-21n+20=,可知对称轴⽅程为n==10.5.⼜n∈N+,故n=10或n=11时,a n 有最⼩值,其最⼩值为112-21311+20=-90.10.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列a n=f(n)(n∈N+).(1)求证:a n>-2;(2)数列{a n}是递增数列还是递减数列?为什么?(1)证明由题意可知a n=-2.∵n∈N+,∴>0,∴a n=-2>-2.(2)解递减数列.理由如下:由(1)知,a n=-2.∵a n+1-a n==<0,即a n+1B组1.若函数f(x)满⾜f(1)=1,f(n+1)=f(n)+3(n∈N+),则f(n)是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定解析:∵f(n+1)-f(n)=3(n∈N+),∴f(n+1)>f(n),∴f(n)是递增数列.答案:A2.设函数f(x)=数列{a n}满⾜a n=f(n),n∈N+,且数列{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是( )A.(1,3)B.(2,3)C.D.(1,2)答案:B3.导学号33194003若数列{a n}的通项公式为a n=72-32,则数列{a n}的( )A.最⼤项为a5,最⼩项为a6B.最⼤项为a6,最⼩项为a7C.最⼤项为a1,最⼩项为a6D.最⼤项为a7,最⼩项为a6解析:令t=,n∈N+,则t∈(0,1],且=t2.从⽽a n=7t2-3t=7.⼜函数f(t)=7t2-3t在上是减少的,在上是增加的,所以a1是最⼤项,a6是最⼩项.故选C.答案:C4.若数列{a n}的通项公式为a n=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:①该数列有⽆限多个正数项;②该数列有⽆限多个负数项;③该数列的最⼤值就是函数f(x)=-2x2+13x的最⼤值;④-70是该数列中的⼀项.其中正确的说法有.(填序号)解析:令-2n2+13n>0,得0答案:②④5.若数列中的最⼤项是第k项,则k=.解析:已知数列最⼤项为第k项,则有即由k∈N+可得k=4.答案:46.已知数列{a n}满⾜a n=+…+.(1)数列{a n}是递增数列还是递减数列?为什么?(2)证明:a n≥对⼀切正整数恒成⽴.(1)解因为a n=+…+,所以a n+1=+…+=+…+.所以a n+1-a n=,⼜n∈N+,所以.所以a n+1-a n>0.所以数列{a n}是递增数列.(2)证明由(1)知数列{a n}是递增数列,所以数列的最⼩项为a1=,所以a n≥a1=,即a n≥对⼀切正整数恒成⽴.7.导学号33194004已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第⼏项?(2)n为何值时,a n=0,a n>0,a n<0?(3)该数列前n项和S n是否存在最值?说明理由.解(1)由a n=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.设a n=60,则n2-n-30=60.解得n=10或n=-9(舍去),即60是此数列的第10项.(2)令n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).∴当n=6时,a n=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).∴当n>6(n∈N+)时,a n>0.令n2-n-30<0,解得-5⼜n∈N+,∴0∴当0(3)由a n=n2-n-30=-30(n∈N+),知{a n}是递增数列,且a1故S n存在最⼩值S5=S6,S n不存在最⼤值.第1课时等差数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若{a n}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是( )A.{}B.C.{3a n}D.{|a n|}解析:设{a n}的公差为d,则3a n+1-3a n=3(a n+1-a n)=3d是常数,故{3a n}⼀定成等差数列.{},,{|a n|}都不⼀定是等差数列,例如当{a n}为{3,1,-1,-3}时.答案:C2.在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为( )A.1B.2C.3D.4解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.答案:B3.已知{a n}是⾸项a1=2,公差为d=3的等差数列,若a n=2 018,则序号n等于( )A.670B.671C.672D.673解析:∵a1=2,d=3,∴a n=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=2 018,解得n=673.答案:D4.等差数列{a n}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插⼊⼀个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是( )A. B.- C.- D.-1解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d==-=-.故选B.答案:B5.已知点(n,a n)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{a n}中有( )A.a7+a9>0B.a7+a9<0C.a7+a9=0D.a72a9=0解析:∵(n,a n)在直线3x-y-24=0,∴a n=3n-24.∴a7=337-24=-3,a9=339-24=3,∴a7+a9=0.答案:C6.在等差数列{a n}中,若a1=7,a7=1,则a5=.答案:37.在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是.解析:设此数列的⾸项为a1,公差为d,由已知得②-①,得7d>21,所以d>3.答案:d>38.在数列{a n}中,a1=3,且对任意⼤于1的正整数n,点()在直线x-y-=0上,则数列{a n}的通项公式为a n=.解析:由题意知(n≥2),∴{}是以为⾸项,以为公差的等差数列,∴+(n-1)d=(n-1)=n.∴a n=3n2.答案:3n29.已知数列{a n},{b n}满⾜是等差数列,且b n=n2,a2=5,a8=8,则a9=.解析:由题意得,因为是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-,所以=-,所以a9=-513.答案:-51310.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插⼊三项后使它们构成⼀个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第项.解析:设a n=3n-1,公差为d1,新数列为{b n},公差为d2,a1=2,b1=2,d1=a n-a n-1=3,d2=,则b n=2+(n-1)=n+,b29=23,令a n=23,即3n-1=23.故n=8.答案:811.若⼀个数列{a n}满⾜a n+a n-1=h,其中h为常数,n≥2且n∈N+,则称数列{a n}为等和数列,h为公和.已知等和数列{a n}中,a1=1,h=-3,则a2 016=.解析:易知a n=∴a2 016=-4.答案:-412.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,⼜lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c 的值.解由已知,得∴解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9.13.导学号33194005已知⽆穷等差数列{a n},⾸项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求{b n}的通项公式;(3){b n}中的第110项是{a n}的第⼏项?解(1)∵a1=3,d=-5,∴a n=3+(n-1)(-5)=8-5n.∵数列{a n}中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…,∴{b n}的⾸项b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设{a n}中的第m项是{b n}的第n项,即b n=a m,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴b n=a m=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+).∴{b n}的通项公式为b n=13-20n(n∈N+).(3)b110=13-203110=-2 187,设它是{a n}中的第m项,则8-5m=-2 187,则m=439.14.导学号33194006已知数列{a n}满⾜a1=,且当n>1,n∈N+时,有,设b n=,n∈N+.(1)求证:数列{b n}为等差数列.(2)试问a1a2是否是数列{a n}中的项?如果是,是第⼏项?如果不是,请说明理由.(1)证明当n>1,n∈N+时,-2=2+=4?b n-b n-1=4,且b1==5.∴{b n}是等差数列,且公差为4,⾸项为5.(2)解由(1)知b n=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.∴a n=,n∈N+.∴a1=,a2=,∴a1a2=.令a n=,∴n=11,即a1a2=a11.∴a1a2是数列{a n}中的项,是第11项.第2课时等差数列的性质及应⽤课后篇巩固探究A组1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是( )A.15B.30C.31D.64解析:∵{a n}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,∴a12=16-1=15.答案:A2.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于( )A.-1B.1C.3D.7解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.∵d=a4-a3=33-35=-2,∴a20=a4+(20-4)d=33+163(-2)=1.答案:B3.若{a n}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有( )①{a n+3} ②{} ③{a n+1-a n} ④{2a n} ⑤{2a n+n}A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据等差数列的定义判断,若{a n}是等差数列,则{a n+3},{a n+1-a n},{2a n},{2a n+n}均为等差数列,⽽{}不⼀定是等差数列.答案:D4.已知等差数列{a n}满⾜a1+a2+a3+…+a101=0,则有( )A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=0解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.答案:D5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为( )A.a n=2n-5B.a n=2n-3C.a n=2n-1D.a n=2n+1解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.∴a n=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.答案:B6.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=.解析:由等差数列的性质,得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),即39+(a3+a6+a9)=2333,故a3+a6+a9=66-39=27.答案:277.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是.解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-422x-5=0,∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.答案:log258.已知⼀个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平⽅和为35,则这三个数构成的等差数列为.答案:1,3,5或5,3,19.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{a n}的通项公式.解∵a1+a7=2a4=a2+a6,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,∴a2+a6=10,a2a6=9.∴a2,a6是⽅程x2-10x+9=0的两根.∴若a2=1,a6=9,则d==2,∴a n=2n-3.若a2=9,a6=1,则d==-2,∴a n=13-2n.∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-3或a n=13-2n.10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{a n}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:(1)x的值;(2)通项a n.解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,⼜因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,此时a n=a1+(n-1)d=-(n-1);。

数学北师大版高中必修5高一下学期单元测试题解三角形

高一下学期单元测试题1解三角形一，选择题1 在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )A. 30 ºB. 60ºC. 30º 或150º D. 60º 或120º2 在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为( ) A.3π B.6π C.6π或6π5 D.3π或3π2 3 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（）A.1:2:3 B.3:2:1 C. D.24 已知 a ，b ，c 是△ABC 三边的长，若满足等式(a + b - c )(a+ b + c )= ab ，则∠C 的大小为( )A. 60ºB. 90ºC. 120ºD. 150º5 △ABC 中，若 sin(A + B )sin(A - B )= sin 2 C ，则△ABC 是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形 D. 等腰三角形6 在ABC ∆中，60A ∠=，a =，3b =，则ABC ∆解的情况（）A. 无解B. 有一解C. 有两解D.不能确定7 △ABC 中，若其面积 S =41(a 2 + b 2 - c 2)，则∠C =( ) A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π 8 在△ABC 中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（）A. B A >B. B A <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定9 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．93D ．183 10 在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则∠A=（）A ．090B ．060C ．0120D ．015011 在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c 1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形12 在△ABC 中，若∠C = 60º，则cos A cos B 的取值范围是( ) A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41 21， B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡41 0， C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41 43， D. 以上都不对二，填空题13 在ABC ∆中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，已知a =，2b =，ABC ∆的面积S=3，则C = 14 若△ABC 的三内角∠A ，∠B ，∠C 满足 sin A = 2sin C cosB ，则△ABC 为三角形.15 在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则c a b c b a +++ ＝________．16一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60处；行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15处. 这时船与灯塔的距离为 km.高一下学期单元测试题1解三角形一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题4分，共16分）13．_____________ 14.____________ 15._____________16.____________三，解答题17 在△ABC 中，已知63,31cos ,3tan ===AC C B ，求△ABC 的面积.18 如图△ABC中，点D在边BC上，且BD = 2，DC = 1，∠B = 60°，∠ADC = 150°，求AC的长及△ABC的面积.19 在△ABC中，A = 45°，B : C = 4 : 5，最大边长为10，求角B，C，△ABC外接圆半径R及面积S.20 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且272cos 2sin 42=-+A CB .(1)求∠A 的大小；(2)若a =3，b + c = 3，求b 和c 的值.21 △ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+,sin()cos B A C -= （1）求,A C ；（2）若3ABC S ∆=求,a c .22 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．。

北师大版数学高一必修二练习1.5.2平行关系的性质

1．一条直线和两个平行平面中的一个相交，则这条直线与另一个平面的位置关系是() A．在平面内B．相交C．平行D．无法确定答案：B2．平面α∥平面γ，平面β∥平面γ，则α，β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：∵α∥γ，β∥γ，∴α∥β.答案：B3．(2012·潍坊高一期末)下列说法(其中a、b表示直线，α表示平面)中，正确的个数是()①若a∥b，bα，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，bα，则a与b不相交．A．0 B．1C．2 D．3解析：①没有条件a α，故不正确；②∵a∥α，b∥α.则a与b可能相交，平行或异面，故②不正确；③若a∥b，b∥α，则a∥α或aα，故③不正确；④正确．答案：B4．(2012·泰安一模)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是() A．若α∥β，aα，bβ，则a∥bB．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β解析：A选项不正确，a，b也可能异面；B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交；C 选项不正确，n 也有可能在平面β内；选项D 正确．答案：D5．(2011·福建高考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点 E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：由线面平行性质可得． EF ∥AC ，又∵E 为AD 的中点， ∴F 为CD 的中点． ∴EF ＝12AC ＝12×2 2＝ 2.答案： 26．如图，平面α∥平面β，△ABC 与△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′都交于点O ，点O 在α、β之间，若S △ABC ＝32， OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．解析：根据题意有S △ABC ＝32. ∵AA ′、BB ′相交，∴直线AA ′、BB ′确定一个平面ABA ′B ′， ∵平面α∥平面β，∴AB ∥A ′B ′，易得△ABO ∽△A ′B ′O ，① △ABC ∽△A ′B ′C ′，②由①得AB A ′B ′＝OA OA ′＝32，由②得S △ABC S △A ′B ′C ′＝(32)2，∴S △A ′B ′C ′＝239.答案：2397．(2012·泉州高一检测)如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．证明：直线MN ∥平面OCD .证明：取OB中点E，连接ME，NE，∵E、M分别是OB，OA的中点，∴ME∥AB，又∵AB∥CD，∴ME∥CD.又ME平面MNE，CD 平面MNE，∴CD∥平面MNE.同理，由NE∥OC，得OC∥平面MNE.又CD∩OC＝C，∴平面MNE∥平面OCD，又MN平面MNE，∴MN∥平面OCD.8．(2012·吉林实验中学高一检测)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1 平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.。

高一数学必修1(北师大版)同步练习2-5

2-5 简单的幂函数基础巩固一、选择题1．下列说法中不正确的是( )A ．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B ．奇函数的图像一定过原点C ．偶函数的图像若不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数个D ．图像关于y 轴呈轴对称的函数一定是偶函数 [答案] B[解析] ∵奇函数的图像不一定过原点，如y ＝1x ，故应选B.2．已知函数f (x )是奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，则当x <0时，f (x )＝( )A ．x 2＋2xB ．x 2－2xC ．－x 2－2xD ．－x 2＋2x[答案] D[解析] 令x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＝x 2－2x ，又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2－2x )＝－x 2＋2x .3．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x 32[答案] A[解析]结合函数图像，易知y＝x3在(－∞，0)上为增函数，故选A.4．函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则实数m的值为() A．m＝2 B．m＝－1C．m＝－1或m＝2 D．m＝0[答案] C[解析]由幂函数的定义可得m2－m－1＝1，∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.5．给定下列命题：①当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线②幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点③幂函数y＝xα的图像不可能在第四象限内④若幂函数y＝xα为奇函数，则y＝xα为定义域内的增函数其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析]由幂函数的图像和性质知只有③是正确的．6．(2012·济宁高一检测)设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}[答案] B[解析]x>0时f(3)＝－f(－3)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴x∈(0,3)时f(x)<0，又∵f(x)为奇函数．当x<0时，只有x∈(－∞，－3)时，f(x)<0，故选B.二、填空题7．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)、f(1)、f(－3)的大小关系是____________．[答案]f(1)<f(－2)<f(－3)[解析]∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且1<2<3，∴f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(－2)<f(－3)．8．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(x)的解析式为________．[答案]f(x)＝x3[解析]根据幂函数定义，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．故f(x)＝x3.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x2；(2)f(x)＝0；(3)f(x)＝(1＋x)3－3(1＋x2)＋2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )(x >0)x (1＋x )(x <0)；(5)f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1. [解析] (1)函数的定义域为R ，它关于原点对称，但f (－x )＝－x 3＋x 2与－f (x )和f (x )都不相等，所以f (x )＝x 3＋x 2为非奇非偶函数． (2)函数的定义域为R ，它关于原点对称，因为f (－x )＝0，f (x )＝0，即f (－x )＝f (x )，f (－x )＝－f (x )同时成立．所以f (x )＝0既是奇函数又是偶函数． (3)函数的定义域为R ，f (x )＝(1＋x )3－3(1＋x 2)＋2＝x 3＋3x ， f (－x )＝－x 3－3x ＝－f (x )．故f (x )是奇函数． (4)定义域为{x ∈R ，x ≠0}，而当x >0时，－x <0， f (－x )＝－x (1－x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x (1＋x )＝－f (x )； ∴f (－x )＝－f (x )．故f (x )是奇函数． (5)法一：函数的定义域为实数集R ，且 f (－x )＋f (x )＝1＋x 2－x －11＋x 2－x ＋1＋1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1 ＝[(1＋x 2)2－(x ＋1)2]＋[(1＋x 2)2－(x －1)2](1＋x 2＋1)2－x2＝－2x ＋2x21＋x 2＋2＝0，∴f (－x )＝－f (x )，故f (x )在R 上是奇函数．法二：当x ≠0时，f (x )≠0，此时f (－x )f (x )＝1＋x 2－x －11＋x 2－x ＋11＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1＝(1＋x 2－x －1)(1＋x 2＋x ＋1)(1＋x 2－x ＋1)(1＋x 2＋x －1) ＝(1＋x 2)2－(x ＋1)2(1＋x 2)2－(x －1)2＝－2x2x ＝－1，即f (－x )＝－f (x )．当x ＝0时，f (－0)＝0＝－f (0)． ∴f (x )在R 上为奇函数.能力提升一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝x 12C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝－x 2＋1[答案] C[解析] 对于A ，y ＝x 3是奇函数，A 错误；对于B ，定义域为[0，＋∞)，因此不是偶函数，B 错误；对于C ，在(0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，故C 正确；对于D ，在(0，＋∞)上为减函数，D 错误．2．(2012·泰安模拟)已知定义域为R 的函数f (x )在(2，＋∞)上为增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则下列结论不成立的是( )A ．f (0)>f (1)B ．f (0)>f (2)C ．f (1)>f (2)D ．f (1)>f (3) [答案] D[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，令g (x )＝f (x ＋2)，∴g (－x )＝f (－x ＋2)＝g (x )＝f (x ＋2)， ∴f (x ＋2)＝f (2－x )，∴函数f (x )的图像关于直线x ＝2对称，又∵函数f (x )在(2，＋∞)上为增函数，∴在(－∞，2)上为减函数，利用距对称轴x ＝2的远近可知， f (0)>f (1)、f (0)>f (2)、f (1)>f (2)，f (1)＝f (3)．二、填空题3．已知f (x )是偶函数，g (x )为奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x ＋1，则f (x )＝__________；g (x )＝______.[答案] 11－x 2 －x 1－x 2[解析] ∵f (x )＋g (x )＝1x ＋1，∴f (－x )＋g (－x )＝1－x ＋1.又∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (x )－g (x )＝1－x ＋1，由⎩⎨⎧f (x )＋g (x )＝1x ＋1f (x )－g (x )＝1－x ＋1，解之得⎩⎨⎧f (x )＝11－x 2g (x )＝－x1－x2.[答案]⑥④③②⑦①⑤[解析]由第一、二、三个图像在第一象限的单调性知，a<0，而第一个图像关于原点对称，为奇函数，第二个图像关于y轴对称，为偶函数；第三个在y轴左侧无图像，故这三个图像分别填⑥④③.由第四、五、六个图像在第一象限的特征知，0<α<1，再由其奇偶性及定义域知这三个图像应依次填②⑦①.第七个图像对应的幂指数大于1，故填⑤.三、解答题5．比较下列各组数的大小：[分析]比较幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较．对于(1)，(2)，(3)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较，而(4)可找中间量进行比较．[解析]<3.1，6．已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c (a 、b 、c ∈Z )是奇函数，并且f (1)＝2，f (2)<3，求a 、b 、c .[分析] 根据定义，应使f (x )＋f (－x )＝0对定义域内的任意x 恒成立的式子即为恒等式．[解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即ax 2＋1－bx ＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c ， ∴(ax 2＋1)(bx ＋c －bx ＋c )(－bx ＋c )(bx ＋c )0，即2c (ax 2＋1)(－bx ＋c )(bx ＋c )＝0. ∵ax 2＋1不恒为0，∴c ＝0. 又∵f (1)＝2， ∴a ＋1b ＝2.∴a ＋1＝2b .又∵f (2)<3，∴4a ＋12b ＋0<3.将2b ＝a ＋1代入上式4a ＋1a ＋1<3，得a －2a ＋1<0.∴－1<a <2，∵a ∈Z ，∴a ＝0，或a ＝1.而a ＝0，b ＝12与b ∈Z 矛盾，故舍之．∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.7．(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0， ∴f (1－a )>－f (1－a 2)． ∵f (x )是奇函数， ∴f (1－a )>f (a 2－1)．又∵f (x )在(－1,1)上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <a 2－1，－1<1－a <1，－1<1－a 2<1，解得1<a < 2.(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数，则由g (1－m )<g (m )可得g (|1－m |)<g (|m |)．又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到 ⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |≤2，|m |≤2，|1－m |>|m |，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，(1－m )2>m 2，解之得－1≤m <12.。

北师大版高中数学必修五高一数学复习巩固题二--- 解三角形.doc

高一数学复习巩固题二--- 解三角形命题人许平审题人郭华连班级姓名座号得分一、选择题1.在ABC ∆中，45A =o,60B =o,10a =,则b =（）A.2.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C =+，则ABC ∆的形状是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定3.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2a b =，2A B =，则cos B =（）A.345 D.64．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（）A ．ο30B ．ο60C ．ο120D ．ο1505.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、由增加的长度决定6.不解三角形，下列判断正确的是（）A.7a =,14b =,30A =o,有两解 B.30a =,25b =,150A =o,有一解 C.6a =,9b =,45A =o,有两解 D.9b =,10c =,60B =o,无解7．在ABC ∆中，6=a ，ο30=B ，ο120=C ，则ABC ∆的面积是（） A ．9 B ．18 C ．39 D ．3188.在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆是（） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 9.在ABC ∆中，45B =o，60C =o，1c =，则最短边的边长等于（）A.3212D.2 10.如果满足ο60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（）A ．38=k B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或38=k11.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（）A.)33B π++ B.)36B π++ C.6sin()33B π++ D.6sin()36B π++ 12.锐角三角形ABC ∆中，若2A B =，则下列叙述正确的是（）.①sin3sin B C = ②3tantan 122B C = ③64B ππ<< ④ab∈ A.①② B.①②③ C.③④ D.①④二、填空题13.在ABC ∆中，若2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形形状是_______.14.在ABC ∆中，已知60A =o，1b =，ABC S ∆=sin sin sin a b cA B C++=++_______.15.在ABC ∆中，如果::21)a b c =，那么这个三角形的最小角是________. 16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列,30,B =oABC ∆的面积为32，则b =____. 三、解答题17. 在ABC ∆中，已知BC a =，AC b =，,a b 是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=。

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试卷(包含答案解析)(5)

一、选择题1．在ABC 中，2sin 22C a b a-=，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．直角三角形2．在ABC 中，内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c ，已知b =22cos c a b A -=，则a c +的最大值为（）A B ．C ．D3．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若3,60a b A ===︒，则边c =（） A ．1B ．2C ．4D ．64．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（）A ．48πB ．12πC ．12πD ．3π5．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c △ABC 的面积Scos A ，则a ＝（）A ．1B ．C ．D ．6．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（） A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直7．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin sin A C B A C +-=，1b =，则2a -的最小值为（）A ．4-B ．-C ．2-D ．8．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A 85B ．4153C ．153D ．59．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（） A ．33B 3 C ．23D ．4310．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，ABC ∆的面积为A 3B 3C ．34D ．3211．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若22b c ac =+，则角C 的取值范围是（） A ．π(0,)4B ．ππ(,)42C ．ππ(,)43D ．π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（） A ．33B ．332C ．32D 3二、填空题13．已知在锐角ABC 的面积为33，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的最小值为_____________.14．某小区拟将如图的一直角三角形ABC 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF ，在其内建造文化景观.已知207m AB =，107m AC =，则DEF 区域面积（单位：2m ）的最小值大约为______2m .7 2.65≈；3 1.73≈）15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6a =，2c b =，则ABC 面积的最大值是______．16．ABC 中，D 是边BC 上的点，满足90BAD ∠=︒，30DAC ∠=︒，4BD CD =.则sin sin BC=______. 17．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____18．凸四边形ABCD 中，已知5AB =，4BC =，5CD =，1tan 2B =-，3cos 5C =，则sin D =__________.19．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =，则2a c +的最大值为______．20．太阳光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d 的木棍在水平地面的影子最长为______.三、解答题21．如图，在ABC 中，6AB =，3cos 4B =，点D 在BC 边上，4=AD ，ADB ∠为锐角．（1）若62AC =DC 的长度；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求sin C 的值．22．在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sin sin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ΔABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 22a b c +=，______，求A 和C ．注：若选择多个条件作答，按第一个解答计分．23．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -= （1）求tan tan AB的值；（2）若点D 为边AB 的中点，10,5AB CD ==，求BC 的值． 24．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，221sin cos 22A B C +-=．（1）求角C ；（2）若2c =，4A π=，求ABC 的面积．25．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知)cos cos A c a C =.（1）求c b；（2）若cos 2c A b =，且ABC 的面积为4，求a .26．已知ABC 中，2AB BC ==225AC AB +=．（1）求ABC ∠的值；（2）若P 是ABC 内一点，且53,64APB CPB ππ∠=∠=，求tan PBA ∠．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二倍角公式、正弦定理可得出sin sin cos B A C =，利用两角和的正弦公式可得出cos sin 0A C =，求出A 的值，即可得出结论.【详解】21cos sin 222C C a b a--==，cos b a C ∴=，由正弦定理可得sin sin cos B A C =，所以，()sin cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C =+=+，则cos sin 0A C =，0C π<<，则sin 0C >，cos 0A ∴=，0A π<<，2A π∴=，因此，ABC 为直角三角形.故选：D. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．B解析：B 【分析】由正弦定理化边角，利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得B 角，然后用余弦定理得2()33a c ac +-=，再利用基本不等式变形后解不等式得a c +的最大值．【详解】因为22cos c a b A -=，所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos C A B A -=，因为A B C π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=，化简得(2cos 1)sin 0B A -=，因为sin 0A ≠，所以2cos 10B -=，解得1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，因为b =222232cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2()33a c ac +-=，所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+，当且仅当a c =时取等号，所以a c +≤a c +的最大值为故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查主要正弦定理、余弦定理，在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角，然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式，两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论．3．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．考点：余弦定理，正弦定理．4．D解析：D 【分析】先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+，所以222a b c ac -+=-，所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．A解析：A 【分析】由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝12cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cos A，运用余弦定理可求得边a . 【详解】因为b ＝2，cScos A ＝12bc sin AA ，所以sin A ＝12cos A .所以sin 2A ＋cos 2A ＝14cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以cos >0A ，故解得cos A.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.6．C解析：C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB， ∵sin sin A ba B -=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．7．A解析：A【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=， ∴222a c b +-=，∴2222a c b ac +-=， ∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B a c π====， ∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 2C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<，所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.8．B解析：B 【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin120sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin45sin sin60CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒ 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：3AB =所以A 与B 的距离AB = 故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．9．B解析：B 【分析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值．【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+，又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，∴2sin 2sin 2sin 2a A c Cb B ac +-=，即222a b c R R R +-=2222cos a c b ac B R R+-==，∴R =又由正弦定理得2sin ,a R A A c C ===，∴112sin sin sin sin()2233333ABC S ac B A C A A △ππ==⨯⨯⨯=-21sin (sin )cos 2sin )3223A A A A A A =+=+21cos 2)A A =+-)6A π=-，∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABC S 取得最大值33+= 故选：B ．【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．10．A解析：A 【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积. 【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，，由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅，即2320b b -+=，解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）. ∴ABC ∆的面积为111sin 1222ab C =⨯=. 故选A . 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.11．D解析：D 【分析】由22b c ac =+，并结合余弦定理，可求得2cos c a c B =-，进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-，由()sin sin A B C =+，代入并整理得sin C ()sin B C =-，结合△ABC 为锐角三角形，可得出2B C =，从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B c ac +-=+，即2cos c a c B =-，由正弦定理可得，sin sin 2sin cos C A C B =-，又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-，因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以C B C =-，即2B C =.在锐角△ABC 中，π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ64C <<.故选：D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查两角和的正弦公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6．当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.二、填空题13．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析：2 【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得)22cos 3sin A c A-=，构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，再用导数求得最值.【详解】由212tan tan sin A B A +=，得2cos sin cos sin 2sin sin sin A B B A A B A+=，即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=，结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=，再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac+-+-⋅+⋅=，整理22234c b a bc +-=.又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-，代入上式得()22cos c bc A =-，又锐角ABC 的面积1sin 23bc A =，所以3sin bc A=时，所以)22cos 3sin A c A-=，设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求导可得()212cos sin xf x x-'=，由()212cos 0sin x f x x -'==，得3x π=，所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()3f x f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭于是2cos )43sin A c A-=≥，即2c ≥，当且仅当3A π=时，等号成立. 故答案为：2 【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.14．【分析】设那么在中利用正弦定理求出关于的函数并求出其最大值即可求解【详解】在中可得所以设那么在中由正弦定理可得其中所以当时取到最小值最小值为故面积的最小值故答案为：【点睛】本题考解三角形的实际应用考解析：130【分析】设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=，在BEF 中，利用正弦定理，求出x 关于θ的函数，并求出其最大值，即可求解. 【详解】在Rt ABC △中，AB =，AC =，可得CB =. 所以6ABC π∠=设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=.在BFE △中，由正弦定理，可得cos sinsin 66xx θππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，12(cos )cos 2cos )22x x x θθθθθ++=+=，x ===，其中tan 3α=，所以当sin()1θα+=时，x取到最小值，最小值为故DEF面积的最小值21sin 75 1.73129.7513023S x π=⨯=≈⨯=≈. 故答案为：130 【点睛】本题考解三角形的实际应用，考查正弦定理，三角恒等变换，以及三角函数的性质，属于中档题.本题解题的关键在于设CED θ∠=，m DE x =，进而在BFE △中，得cos sinsin 66x x θππθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为求边x 的最小值问题. 15．【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值【详解】∵∴可得∴由可得即则的面积当且仅当时即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思解析：12【分析】先根据余弦定理求出cos A ，结合平方关系求得sin A ，利用三角形的面积公式及二次函数可求ABC 面积的最大值. 【详解】∵6a =，2c b =，∴2222644cos b b b A =+-，可得22536cos 4b A b-=，∴()2222304360 sin1cosbA A--=-=，由()2223043600b--≥，可得2436b≤≤，即26b≤≤，则ABC的面积()()22222223043602304360 1sin sin12 2b bS bc A b A b----===⨯=≤，当且仅当2360b=时，即25b=时取等号．故答案为：12．【点睛】本题主要考查三角形的面积最值，常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素养.16．【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系进一步利用正弦定理的应用求出结果【详解】解：中D是边上的点满足所以又因为则则故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理三角形面积计算公式及其性质考查了推理能力与计算解析：12【分析】直接利用三角形的面积建立等量关系，进一步利用正弦定理的应用求出结果．【详解】解：ABC中，D是边BC上的点，满足90BAD∠=︒，30DAC∠=︒，4BD CD=，所以1sin90221sin302ABDACDAB ADS ABS ACAC AD⋅︒==⋅⋅︒△△，又因为4ABDACDS BDS CD==△△，则24AB BDAC CD==，则sin1sin2B ACC AB==.故答案为：12.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案解析：43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代入化简ABC S ∆=223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值．【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 1sin sin 12ABC S AC BC C x C x ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x +>，解得：223x <<，故当x =时，ABC S ∆取得最大值43，故答案为：43．【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．18．【分析】如图设先求出再求出再利用正弦定理求出即得解【详解】如图设在△中因为所以由余弦定理得所以在△中所以在△中由正弦定理得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形意在考查学生对这些知识解析：10【分析】如图，设,ACB ACD αβ∠=∠=，先求出AC =，再求出cosαα==，cos ββ===AD 定理求出sin D 即得解. 【详解】如图，设,ACB ACD αβ∠=∠=，在△ACB 中，因为1tan 2B =-，所以cos 55B ==由余弦定理得2516254cos 2185()375AC B =+-=-=，所以37AC =在△ACB 中，cos (0,),sin 224373737πααα==∈∴=⨯所以34cos cos()sin 553737537537DCB βαβ=∠-=+=∴= 在△ACD 中，22537253718,32537AD AD =+-⨯=∴=. 2137323772537sin 32D ⨯=∴==.72. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：7【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C ====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan ϕ=．所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．20．【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量设利用正弦定理公式可得影子长为是不变量且确定只需要最大计算即可得出结果【详解】光线照于地面与地面成角调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度则长度为如图所示：设解析：sin dα【分析】太阳光与水平面所成的角是不变量, 设BAC θ∠=，利用正弦定理公式可得，()sin sin d AC αθα=+影子长为()sin sin d AC θαα+=，α是不变量，且sin α确定,只需要()sin θα+最大，计算即可得出结果.【详解】光线照于地面，与地面成角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭.调整木棍角度可改变其在水平地面的影子长度.则长度为d ，如图所示：AB d =，C α=，设BAC θ∠=，影子长为AC ,根据正弦定理：()sin sin d AC αθα=+，则()sin sin d AC θαα+=，因为α是不变量，且sin α确定,只需要()sin θα+最大, 故有2πθα+=，此时，木棍在水平地面的影子最长为sin dα.故答案为：sin dα【点睛】本题考查了线面角中的最小角定理，还考查了学生们的空间想象能力及把生活中的实例用数学的思想加以解释的能力，即建模能力．三、解答题21．（1）7；（2714【分析】（1）分别在△ABD 、△ABC 中，由余弦定理求BD ，BC ，即可求DC 的长度；（2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=，在△ABD 中由余弦定理求sin 2θ、sin θ、cos θ，法一：即可求sin3θ、cos3θ，由已知求sin B ，又()sin sin 3C B πθ=--即可求值；法二：由余弦定理求cos BDA ∠，sin BDA ∠，又()sin sin C BDA θ=∠-即可求值. 【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得22223616312co 24s AB BD AD B AB B BD D BD +-⋅⋅=+-==，∴5BD =或4BD =．当4BD =时，161636cos 0244ADB +-∠=<⨯⨯，则2ADB π∠>，不合题意，舍去；当5BD =时，162536cos 0245ADB +-∠=>⨯⨯，则2ADB π∠<，符合题意．∴5BD =．在△ABC 中，22223672312co 24s AB BC AC B AB B BC C BC +-⋅⋅=+-==，∴12BC =或3BC =-（舍）． ∴7DC BC BD =-=．（2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=．在△ABD 中，2229cos cos2216AB AD BD BAD AB AD θ+-∠===⋅，∴2θ为锐角，得21cos27sin 232θθ-==，57sin 2θ=14sin θ=，52cos θ=，法一：sin3sin 2cos cos2sin θθθθθ=+=，同理cos3θ=由3cos 4B =知：sin B =，∴()()sin sin 3sin 3sin cos3cos sin3C B B B B πθθθθ=--=+=+法二：2221625361cos 22458AD BD AB BDA AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯，sin BDA ∠．∴()sin sin sin cos cos sin C BDA BDA BDA θθθ=∠-=∠-∠= 【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC ；（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可. 22．选择见解析；3A π=，512C π=．【分析】若选择条件①，先由正弦定理和余弦定理求出角A ，再利用正弦定理化简2b c +=，把23B C π=-代入，化简求值即可；若选择条件②，利用正弦定理和二倍角公式解出sin2A的值，进而得出角A ；若选择条件③，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式可求出tan A ，进而得出角A 和C ．【详解】（1）选择条件①，由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-及正弦定理知，()22b c a bc -=-，整理得，222b c a bc +-=；由余弦定理可得，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===；又因为()0,A π∈，所以，3A π=．2b c +=sin 2sin A B C +=；由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；整理得，sin 6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而64C ππ-=，解得512C π=（2）选择条件②，因为A B C π++=，所以222B C Aπ+=-；由sinsin 2B C b a B +=得，cos sin 2Ab a B =由正弦定理知，sin cos sin sin 2sin cos sin 222A A AB A B B ==；又sin 0B >，sin02A >，可得1sin 22A =；又因为()0,A π∈，所以，26A π=，故3A π=．2b c +=sin 2sin A B C +=；由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；整理得，sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而64C ππ-=，解得512C π=．（3）选择条件③，由sin cos 6a B b A π⎛⎫=-⎪⎝⎭及正弦定理知， sin sin sin cos 6A B B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sin 0B >，从而1sin cos sin 62A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，解得tan A =又因为()0,A π∈，所以，3A π=．2b c +=sin 2sin A B C +=；由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；整理得，sin 6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而64C ππ-=，解得512C π=．【点睛】方法点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，解三角形问题中可以应用正余弦定理的题型有：1.已知一边和两角；2.已知两边和其中一边的对角；3.已知两边和它们所夹的角；4.已知三边．23．（1）4；（2）【分析】（1）由3cos cos 5a B b A c -=，带入余弦定理整理可得22235a b c -=，所以222222222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B a c b ac b c a B A B b c a b bc+-⋅+-===+-+-⋅，带入22235a b c -=即可得解；（2）作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所tan tan A BE B AE=．又tan 4tan A B=，所以4BE AE =，因为点D 为边AB 的中点且10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===，再根据勾股定理即可得解.【详解】（1）因为3cos cos 5a B b A c -=，所以2222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=，即22235a b c -=．又222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B ac b c a B A B b bc+-⋅==+-⋅，所以22222222tan 854tan 52A a c b c B b c a c+-==⨯=+-．（2）如图，作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所以tan tan A BE B AE =．又tan 4tan A B=，所以4BE AE =．因为点D 为边AB 的中点，10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===．在直角三角形CDE 中，5CD =，所以22534CE =-=．在直角三角形BCE 中，8BE =，所以224845BC =+=24．（1）2C π=或3C π=；（233+或1．【分析】（1）利用二倍角余弦公式可得22cos cos C C -=-，从而可得cos 0C =或1cos 2C =，即求.（2）由（1）知3C π=或2C π=，当3C π=时，利用正弦定理求出,a b ，再根据三角形的面积公式即可求解；当2C π=时，根据直角三角形即可求解. 【详解】（1）由221sin cos 22A B C +-=，得222sin 2cos 12A B C +-=，化简得222cos 12sin2A B C +-=-，即()22cos cos C A B -=+，即22cos cos C C -=-，即()cos 2cos 10C C -=，解得cos 0C =或2cos 10C -=．即cos 0C =或1cos 2C =．又0C π<<，所以2C π=或3C π=．（2）由（1）得3C π=或2C π=，当3C π=时，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得，sin sin c a A C =⋅=， 2sinsin 34c b B C ππ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭ 22sin cos cos sin3434ππππ⎫=-⎪⎭122223⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭⎦，故113sin 223323ABC S ab C +==⨯⨯=△；当2C π=时，由2c =，4A π=，得4B π=，a b ==因此11122ABC S ab ===△．综上，ABC 或1．25．（12）【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果.【详解】（1）因为)cos cos A c a C =，cos sin sin cos C A C A C -=，()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+，而()sin sin A C B +=b =，故c b =.（2）由（1）知cos 6A =，则sin 6A =，又ABC 的面积为21sin 244bc A c ==，则3c =，b =由余弦定理得2222cos27923276a b c bc A=+-=+-⨯⨯=，解得a=.【点睛】关键点点睛：利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键.26．（1）4ABCπ∠=；（2）tan PBA∠=．【分析】（1）由已知求得25AC=-cos ABC∠=，即可求得ABC∠；（2）由题可得PBA PCB∠=∠，设PBAα∠=，由正弦定理可得2sin6PBπαα⎛⎫==-⎪⎝⎭，化简即可求出.【详解】解：（1）由AB BC==，知AB BC==，由225AC AB+=，知2525AC AB=-=-在ABC中，由余弦定理得：222cos22BC AB ACABCAB BC+-∠===⨯，0ABCπ<∠<，4ABCπ∴∠=；（2）,44PBA PBC PCB PBC BPCπππ∠+∠=∠+∠=-∠=，PBA PCB∴∠=∠，设PBAα∠=，则在PBC中，由正弦定理得,2sin3sin sin4PB BCPBαπα=∴=，在APB△中，由正弦定理得：,56sinsin66PB ABPBπαππα⎛⎫=∴=-⎪⎛⎫⎝⎭-⎪⎝⎭，sin sin cos cos sin666πππαααα⎛⎫⎫∴=-=-⎪⎪⎝⎭⎭，化简可得：tanα=，故tan PBA ∠=. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是先得出PBA PCB ∠=∠，设PBA α∠=，由正弦定理可得2sin 6PB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭.。

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试卷(有答案解析)(5)

一、选择题1．一艘客船上午9:30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时测得船与灯塔S 相距里，则灯塔S 在B 处的（） A ．北偏东75 B ．北偏东75或东偏南75 C ．东偏南75D ．以上方位都不对2．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =根据此公式，若cos (2)cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为（）AB ．CD ．3．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（） A ．50米B ．57米C ．64米D ．70米4．在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5c =，3b =，23A π=，则sin sin A C=（） A ．75 B ．57C ．37 D ．735．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a c b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（）A ．322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．)27．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点间的距离为（）A ．80B ．3C ．160D ．8058．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是 A ．518B ．34C ．32D ．7810．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 成等差数列，且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，则ABC 的面积的最大值为（） A ．33B 3 C ．23D ．4311．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 成等差数列，且直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长，则△ABC 的面积的最大值为（） A ．33B 33C ．32D 312．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若tan 7C =52cos 8A =，32b =ABC 的面积为（） A ．37B 37C 37D 37二、填空题13．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，ABC 的面积为24b c，且221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=，则A =_______.14．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6a =，2c b =，则ABC 面积的最大值是______．15．在△ABC 中，∠ABC 为直角，点M 在线段BA 上，满足BM ＝2MA ＝2，记∠ACM ＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC 是唯一确定的，则BC ＝_____．16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____.17．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC 面积的最大值为____________. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．19．在ABC ∆中，60A ∠=︒，且最大边与最小边是方程2327320x x -+=的两个实根，则ABC ∆的外接圆半径R =外______________.20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2b =，2a c =，则当角C 取最大值时，△ABC 的面积为__________．三、解答题21．将函数()sin f x x x =图象上所有点向右平移6π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式及单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1sin cos 364B B ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，,6c g b π⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC 的面积. 22．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1||2AB AC AC ⋅=，且1c =.在①cos cos 2a C c A +=；② sin cos b C B c =；③ sin 2sin a B c A =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. （1）求角A ；（2）若___________，角B 的平分线交AC 于点D ，求BD 的长. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)23．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C +c cos A （1）求角B 的大小；（2）若线段BC 上存在一点D ，使得AD ＝2，且AC =CD =1，求S △ABC .24．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4B π=．（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求sin A 的值；①b =c =②3a =，c =注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.（2）若b =3a c +=，求ABC 的面积．25．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD ，求AD 的值和sin ∠ABD 的值26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理求出ASB ∠，可求得ABS ∠，即可得解. 【详解】如下图所示：客船半小时的行程为132162AB =⨯=（海里），因为82BS =30BAS ∠=，由正弦定理可得8216sin 30sin ASB=∠，所以，2sin 282ASB ∠==，45ASB ∴∠=或135. 当45ASB ∠=时，105ABS ∠=，此时，灯塔S 在B 处的北偏东75；当135ASB ∠=时，15ABS ∠=，此时，灯塔S 在B 处的东偏南75. 综上所述，灯塔S 在B 处北偏东75或东偏南75. 故选：B.【点睛】方法点睛：在求解测量角度问题时，方法如下：（1）对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解；（2）根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量．2．C解析：C 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得1cos 2A =，再根据余弦定理求bc ，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知cos (2)cos 0a B b c A +-=化简为()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=即()sin sin 2sin cos A B C C A +==sin 0C ≠，1cos 2A ∴=, 222141cos 2222b c a A bc bc +-==⇔=，解得：4bc =，根据面积公式可知S === 故选：C 【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为S =3．D解析：D 【分析】画出图形，在ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案. 【详解】由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ，则李华的行走路线，如图所示，在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===，由余弦定理可得：222212cos 60803028030702AC AB BC AB BC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=米，即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D .【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．A解析：A 【分析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果. 【详解】由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得7a =，由正弦定理：sin 7sin 5A a C c ==. 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.5．B解析：B 【分析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.6．A解析：A 【分析】由余弦定理求得6B π=，并求得32A ππ<<，利用三角恒等变换思想将cos sin A C +化为以角A 为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的基本性质可求得cos sin A C +的取值范围. 【详解】由222a cb +=+和余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==，又()0,B π∈，6B π∴=.因为三角形ABC 为锐角三角形，则0202A C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32A ππ<<，1cos sin cos sin cos sin cos cos 6622A C A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫+=+--=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos 223A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 32A ππ<<，即25336A πππ<+<，所以，1sin 232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，则3cos sin 22A C <+<，因此，cos sin AC +的取值范围是3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形中代数式取值范围的计算，涉及利用余弦定理求角，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将代数式转化为以某角为自变量的三角函数来求解，考查计算能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】如图，BCD △中可得30CBD∠=︒，再利用正弦定理得BD =ABD △中，由余弦定理，即可得答案；【详解】如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴30CBD ∠=︒，由正弦定理得80sin135sin 30BD =︒︒，解得802BD =，ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ， ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠ 2280(802)280802cos135=+-⨯⨯⨯︒2805=⨯，∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．故选：D. 【点睛】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ．考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．9．D解析：D 【解析】设顶角为C ，∵l=5c ， ∴a=b=2c ，由余弦定理得：222222447cos 22228a b c c c c C ab c c +-+-===⨯⨯．故答案为D.10．B解析：B 【分析】由等差数列性质得3B π=，应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ，从而边,a c 可用角表示，最后用角表示出三角形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值．【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列，∴2B A C =+，又A B C π++=，∴3B π=，23C A π=-，2(0,)3A π∈，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===， ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+，∴2sin 2sin 2sin 2a A c Cb B ac +-=，即2222a b c ac R R R +-=，2222cos 2a c b ac B ac R R+-==，∴3R =，又由正弦定理得2sin ,a R A A c C ===，∴112sin sin sin sin()2233333ABC S ac B A C A A △ππ==⨯⨯⨯=-21sin (sin )cos 2sin )3223A A A A A A =+=+21cos 2)A A =+-)6A π=-，∵2(0,)3A π∈，∴3A π=时，sin(2)16A π-=，即ABCS 取得最大值33+= 故选：B ．【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景，探究的是三角形面积的最大值，结合等差数列的性质，利用正弦定理进行边角转换，考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点，从而有效的激发考生学习兴趣，本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力，本题属于中档题．11．B解析：B 【分析】由三角形内角和公式以及等差数列的性质可得3B π=，根据直线过圆心可得2312a c +=，根据基本不等式可得6ac ≤，最后由三角形面积公式得结果.【详解】在△ABC 中，A +B +C ＝π，∵角A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A +C ， ∴2B ＝π﹣B ，∴B 3π=．∵直线ax +cy ﹣12＝0平分圆x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0的周长， ∴圆心（2，3）在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵a ＞0，c ＞0，∴12＝2a +3c ≥ac ≤6．当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号．∴11sin 622ABCSac B =≤⨯=∴△ABC 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题.12．B解析：B 【分析】结合同角三角函数的基本关系可求出sin 4C =，cos 4C =，sin 8A =，由两角和的正弦公式可求出sin B ，结合正弦定理即可求出a ，进而可求出三角形的面积.【详解】因为sin tan cos C C C ==，且22sin cos 1C C +=，解得sin 4C =，cos 4C =，又cos 8A =，所以sin 8A ==，故sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+=．因为sin sin a bA B =，b =，故sin 2sin b A a B==，故11sin 22242ABC S ab C =⨯=⨯⨯=△．故选:B ．【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.二、填空题13．【分析】先由的面积为得到再用正弦定理余弦定理化简已知得解【详解】由三角形的面积公式可知得由得由正弦定理得即所以所以又所以又故故答案为：【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时要注意观察等式再利用解析：4π【分析】先由ABC 的面积为24b c得到sin 2b A =，再用正弦定理余弦定理化简已知得解.【详解】由三角形的面积公式可知21sin 24b cS bc A ==，得sin 2b A =，由221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=得222sin (1)sin sin C c B A +-=，由正弦定理得222(1)c c b a +-=即2222c b a b c +-=，所以2cos b A = ，所以sin cos A A =，又2A π≠，所以tan 1A =，又0A π<<，故4A π=故答案为：4π 【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时，要注意观察等式，再利用正弦定理余弦定理角化边或边化角化简求解.14．【分析】先根据余弦定理求出结合平方关系求得利用三角形的面积公式及二次函数可求面积的最大值【详解】∵∴可得∴由可得即则的面积当且仅当时即时取等号故答案为：【点睛】本题主要考查三角形的面积最值常见求解思解析：12【分析】先根据余弦定理求出cos A ，结合平方关系求得sin A ，利用三角形的面积公式及二次函数可求ABC 面积的最大值. 【详解】∵6a =，2c b =，∴2222644cos b b b A =+-，可得22536cos 4b Ab-=， ∴()2222304360sin 1cos b A A --=-=，由()2223043600b --≥，可得2436b ≤≤，即26b ≤≤，则ABC 的面积()()222222230436023043601sin sin 122b b S bc A b A b ----===⨯=≤，当且仅当2360b =时，即25b =时取等号．故答案为：12．【点睛】本题主要考查三角形的面积最值，常见求解思路是建立关于三角形面积的表达式结合二次函数或者基本不等式的知识求解，侧重考查数学运算的核心素养.15．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出的值再利用两角差的正切公式求得从而求出的值【详解】解：设则为锐角∴∴依题意若对于给定的是唯一的确定的可得解得即的值为故答案为：【点睛】本题主要考查直角三角解析：6【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tan ACB ∠、tan NCB ∠的值，再利用两角差的正切公式求得tan tan()ACB MCB θ=∠-∠，从而求出BC 的值．【详解】解：设BC x =，ACM θ∠=，则θ为锐角，∴3tan ACB x ∠=，2tan MCB x∠=，∴tan tan()ACB MCB θ=∠-∠232132661x x x x x x x x -===+++，依题意，若对于给定的ACM ∠，ABC ∆是唯一的确定的，可得6x x=，解得x =BC，．【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：由故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解解析：6π【分析】由sinC B =，根据正弦定理“边化角”，可得c =，根据余弦定理2222cos a b c bc A=+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .【详解】sin C B =根据正弦定理：sin sin b cB C= ∴可得c =根据余弦定理：2222cos ab c bc A =+- 由已知可得：22a b-=故可联立方程：222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：cos 2A =. 由0A π<<∴6A π=故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．【分析】先利用正弦定理将条件中的角转化为边的关系再利用余弦定理求解出角A 的值再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值【详解】因为所以根据正弦定理得:化简可得:即(A 为【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值. 【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +-=-，化简可得:222b c a bc +-=，即2221cos 22b c a A bc +-==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +-=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.18．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B 的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B 的值，然后结合数量积的定义求解AB BC ⋅的值即可. 【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+ ()2sinAcosB sin B C =+ 2sinAcosB sinA =12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭故答案为3- 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a 接着由正弦定理可得本题答案【详解】由题意得所以得因为即得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用解析：3【分析】综合韦达定理与余弦定理可算得a ，接着由正弦定理可得本题答案. 【详解】由题意得，329,3b c bc +==，所以222264322cos ()22cos 814933a b c bc A b c bc bc A=+-=+--=--=，得7a =，因为2sin a R A =2R =，得3R =. 【点睛】本题主要考查正余弦定理及韦达定理的综合应用.20．【分析】由余弦定理可得再利用基本不等式的性质可得的最大值再利用三角形面积计算公式即可得出【详解】解：在中由余弦定理可得：时取等号此时当取最大值时的面积故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理基本不等式的解析：3【分析】由余弦定理可得cos C ，再利用基本不等式的性质可得C 的最大值，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】解：2b =，2a c =，∴在ABC ∆中，由余弦定理可得：22222441311cos ()22222242a b c c c c C ab c c +-+-===+⨯⨯⨯=，(0,)C π∈，c =时取等号．此时，a = 06Cπ∴<，∴当C 取最大值6π时，ABC 的面积11222S =⨯=．【点睛】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈；（2）2或【分析】（1）由题可得()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+即可解得单调递增区间；（2）由题可得2c =，6B π=或2B π=，由余弦定理可求得a ，即可求出面积.【详解】（1）()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ()f x 图象向右平移6π个单位长度得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，横坐标缩短为原来的12 (纵坐标不变)得到2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象，所以()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得36k x k ππππ-+≤≤+，所以()g x 的单调递增区间为：(,3)k k k Z πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-++∈（2）由（1）知，62c g π⎛⎫⎪⎝⎭==，因为21sin cos cos 3664B B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+=+=，所以1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=±⎭+又因为()0,B π∈，所以7,666B πππ+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，当1cos 62B π⎛⎫ ⎪⎝=⎭+时，,636B B πππ+==，此时由余弦定理可知，2422cos 126a a π+-⨯⨯=，解得a =，所以12sin262ABCSπ=⨯⨯⨯=，当1cos 62B π⎛⎫⎪⎝=-⎭+时，2,632B B πππ+==，此时由勾股定理可得，a ==，所以122S =⨯⨯=△ABC 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图象变换求三角函数的性质，以及解三角形的应用，解题的关键是根据图象变换正确得出变换后的解析式.22．（1）3A π=；（2 【分析】（1）由1||2AB AC AC ⋅=，得到1cos 2AB A =，进而求得1cos 2A =，即可求解；（2）分别选①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得2B π=，得到4ABD π∠=，进而得到sin ADB ∠的值，在ABD △中结合正弦定理，即可求解. 【详解】（1）由1||2AB AC AC ⋅=，可得1cos ||2AB AC A AC ⋅=，所以1cos 2AB A =，又由1c =，所以1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）若选①：因为cos cos 2a C c A +=，由余弦定理可得222222222a b c b c a a c ab bc+-+-⋅+⋅=，整理得220b b，解得2b =，又由余弦定理可得2222212cos 2122132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即a = 因为222a c b +=，所以2B π=，又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4ABD π∠=，所以5()3412ADB ππππ∠=-+=，则sin sin[()]sin cos cos sin 343434ADB πππππππ∠=-+=+=，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin 224ABBD A ADB=⋅==∠. 若选②：由sin cos b C B c =，根据正弦定理可得sin sin cos sin B C C B C =，因为(0,)C π∈，可得sin 0C >，所以sin 1B B =，可得sin 2sin()13B B B π-=-=，即1sin()32B π-=，因为2333B πππ-<-<，所以36B ππ-=，可得2B π=又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4ABD π∠=，所以5()3412ADB ππππ∠=-+=，则sin sin[()]sin cos cos sin 3434344ADB πππππππ∠=-+=+=，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin ABBD A ADB=⋅==∠. 若选③：由sin 2sin a B c A =，根据正弦定理可得sin sin 2sin sin A B C A =，因为(0,)C π∈，可得sin 0C >，可得sin 2sin B C =，又由()()3C A B B πππ=-+=-+，可得sin 2sin 2sin()sin 3B C B B B π==+=+，所以cos 0B =，因为(0,)B π∈，所以2B π=.又因为角B 的平分线交AC 于点D ，可得4ABD π∠=，所以5()3412ADB ππππ∠=-+=，则sin sin[()]sin cos cos sin 343434ADB πππππππ∠=-+=+=，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin ABBD A ADB=⋅==∠. 【点睛】方法点睛：对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 23．（1）3π；（2. 【分析】（1）由2b cos B ＝a cos C +c cos A ，利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sin B cos B ＝sin （A +C ），再根据诱导公式化简可得cos B 12=，结合B ∈（0，π）可得角B 的大小. （2）由余弦定理求得cos C 的值，可得C 的值，利用三角形内角和公式求得A 的值，再利用正弦定理求得AB 的值，从而求得S △ABC 12=⋅AB ⋅AC ⋅sin A 的值. 【详解】（1）∵2b cos B ＝a cos C +c cos A ，∴根据正弦定理，可得2sin B cos B ＝sin A cos C +sin C cos A ，即2sin B cos B ＝sin （A +C ）.又∵△ABC 中，sin （A +C ）＝sin （180°﹣B ）＝sin B ＞0 ∴2sin B cos B ＝sin B ，两边约去sin B 得2cos B ＝1，即cos B 12=， ∵B ∈（0，π），∴B 3π=.（2）∵在△ACD 中，AD ＝2，且AC =CD =1，∴由余弦定理可得：cos C2==， ∴C 4π=，∴A ＝π﹣B ﹣C 512π=，由sin sin AC AB B C=sin sin 34ABπ=，∴AB ＝2， ∴S △ABC 12= ⋅AB ⋅AC ⋅sin A 12= ⋅2⋅⋅sin （46ππ+）=⋅（sin4πcos 6π+cos 4πsin 6π）=⋅（44+）32+=. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 24．（121- 【分析】（1）选择条件①，由余弦定理求出3a =，再由正弦定理即可求出；选择条件②，由余弦定理求出b =（2）由余弦定理结合已知条件可求出4ac =-，再由面积公式即可求出. 【详解】（1）选择条件①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2230a a --=，解得3a =. 由正弦定理sin sin b a B A =得sin sin a B A b ==. 选择条件②由余弦定理2222cos 5b a c ac B =+-=得b =由正弦定理sin sin b a B A =得sin sin 10a B Ab ==.（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2252a c ac =+-，所以25()(22)9(22)a c ac ac =+-+=-+，得422ac =-. 所以1sin 212ABC S ac B ==-. 25．6；321．【分析】在BCD 中，根据AD =3CD ，BD =27，利用余弦定理求解CD ，在A BD 中,利用正弦定理求解.【详解】如图所示：在等边ABC 中，AD =3CD ，所以AC =2CD ．又BD 7所以BD 2=BC 2+CD 2-2BC ⋅CD ⋅cos ∠BCD ，即7)2=(2CD )2+CD 2-2⋅2CD ⋅CD ⋅cos120°，解得CD =2，可得AD=6,由27sin 60AD ABD =∠, 得627sin 60ABD =∠，解得sin ∠ABD 321 26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。

(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(答案解析)(4)

一、选择题1．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC 的面积为315，则a =（） A ．2B ．3C ．4D ．52．在△ABC 中，若2223a c b ab -+=，则C ＝( )． A ．45°B ．30°C ．60°D ．120°3．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，以下四个结论中，正确的是（） A ．若a b c >>，则sin sin sin A B C >> B ．若A B C >>，则sin sin sin A B C << C ．cos cos sin a B b A c C +=D ．若222a b c +<，则ABC 是锐角三角形4．设,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=与sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=位置关系是（） A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直5．已知锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()2c a a b =+，则2cos cos()AC A -的取值范围是（）A ．2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．13,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．23,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km7．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是 A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，CD =ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（）A ．B ．C ．D ．9．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a =cos sin b A B =，则A =（）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 10．已知点O 为ABC 的外心，且3A π=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形或等边三角形D ．钝角三角形11．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC 的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1 BC ．4D ．412．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若tan C =cos A =，b =ABC 的面积为（）A ．B ．2C D 二、填空题13．已知在锐角ABC ，且212tan tan sin A B A +=，其内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，则边c 的最小值为_____________.14．在△ABC 中,若2,30,a b A ===︒则角B 等于______ .15．在ABC ∆中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin 23sin sin 3a Ab Bc C a B C +-=，23a =，若[1,3]b ∈，则c 的最小值为_____.16．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________17．在ABC 中，cos cos 3A B +=，23AB =．当sin sin A B +取最大值时，ABC 的外接圆半径为________．18．如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m ．19．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.20．如图，在ABC 中，点D 是边BC 上的一点，1DC =，2AC =，3BD =，120BAD ∠=︒，则AB 的长为________.三、解答题21．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知：5,2,45b c B ==∠=︒．（1）求边BC 的长和三角形ABC 的面积；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADB，求tan DAC ∠的值． 22．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且()4cos 2cos230A C B +++=．（1）求角B ；（2）若D 是BC 的中点，43AD =8AB =，求ABC 的面积． 23．在ABC 中，内角A 、B 、C 对应的边长分别为a b c 、、，且,,a b c 满足5cos 44cos 5sin sin cos a B b cB A BC -=+.（1）求cos A ；（2）若3a =，求b c +的最大值.24．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()3sin 2cos b A a B =+. （1）求角B ；（2）若3b =，且ABC 的面积等于32，求11a c +的值.25．已知半圆O 的直径MN 为2，A 为直径延长线上一点，且2OA =.B 为半圆周上任意一点，以AB 为边，作等边ABC ，角AOB 等于何值时，四边形OACB 的面积最大?最大面积为多少?26．已知ABC 中，632AB BC ==225AC AB +=．（1）求ABC ∠的值；（2）若P 是ABC 内一点，且53,64APB CPB ππ∠=∠=，求tan PBA ∠．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A ，并利用1sin 2ABCSbc A ==求a的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =， 14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin A ==，1131sin 2242ABCSbc A a a ==⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C2．B解析：B 【分析】根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出C 角．【详解】∵222a c b -+=，∴22222a b c cosC ab +-==. 又∵C 为三角形内角 ∴30C =︒. 故选B ．【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题．3．A【分析】由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可判定A 正确；由大边对大角定理和正弦定理可判定B 错误；由正弦定理，可判定C 错误；根据余弦定理，可判定D 错误．【详解】对于A 中，由于a b c >>，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin sin A B C >>，故A 正确；对于B 中，A B C >>，由大边对大角定理可知，则a b c >>，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得sin sin sin A B C >>，故B 错误；对于C 中，由正弦定理可得cos cos 2(sin cos sin cos )a B b A R A B B A +=+2sin()2sin()2sin R A B R C R C c π=+=-==，故C 错误；对于D 中，由222a b c +<，根据余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为(0,)C π∈，可得C 是钝角，故D 错误．故选：A. 【点睛】本题主要考查了以解三角形为背景的命题真假判定问题，其中解答中熟记解三角形的正弦定理、余弦定理，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】,,a b c 分别是ABC 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A a y c ⋅+⋅+=斜率为：sin Aa-， sin sin 0b x y B C ⋅-⋅+=的斜率为：sin bB， ∵sin sin A ba B -=﹣1，∴两条直线垂直．故选C ．5．C解析：C 【分析】由余弦定理和正弦定理进行边化角，结合诱导公式和两角和与差的正弦公式可得2C A =，由锐角三角形得出A 角范围，再代入化简求值式，利用余弦函数性质可得结论．∵2()c a a b =+，∴22222cos c a ab a b ab C =+=+-，∴(12cos )b a C =+，由正弦定理得sin sin (12cos )B A C =+，∴sin()sin (12cos )sin cos cos sin A C A C A C A C +=+=+，整理得sin sin cos cos sin sin()A C A C A C A =-=-，∵,A C 是三角形的内角，∴A C A =-，即2C A =，又三角形是锐角三角形，∴2222A A A πππ⎧<⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩，解得64A ππ<<，由2C A =得22cos cos cos ,cos()cos 22A A A C A A ⎛==∈ -⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的边角转换，考查两角与差的正弦公式，余弦函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案．【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ．考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．8．C解析：C 【分析】先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ．【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022ACAD ACD ACD ∠=∠=，可得sin ACD∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠=，由sin sin ACBC B A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ．【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．9．D解析：D 【分析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =1cos A=. 所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=.故选：D【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3B π=，即证.【详解】取AB 、AC 的中点E 、F ，则()CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅()()()221122CB CA CB CA a b =+⋅-=-，同理()2212BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+，又3A π=，由余弦定理，得222a b c bc =+-，即222b c a bc +=+，所以2bc a =，由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==，即23sin sin 34B B π⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以23131cos 23sin sin sin sin 23244B B B B B B B π⎫-⎛⎫-=+=+=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 32cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以262B ππ-=，解得3B π=，所以3A B C π===，所以ABC 是等边三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.11．D解析：D 【分析】根据()22a b c =+-cos 1C C -=，结合三角函数的性质，求得C 的值，最后利用两角和的正弦函数，即可求解. 【详解】由()22a b c =+-，可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，因为2222cos a b c ab C +-=，所以sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为0πC <<，则ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，解得π3C =，所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224=+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值，以及余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件和余弦定理，求得C 的值，结合三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B 【分析】结合同角三角函数的基本关系可求出sin 4C =，cos 4C =，sin 8A =，由两角和的正弦公式可求出sin B ，结合正弦定理即可求出a ，进而可求出三角形的面积.【详解】因为sin tan cos C C C ==，且22sin cos 1C C +=，解得sin C =，cos C =，又cos 8A =，所以sin 8A ==，故sin sin[()]sin()sin cos cos sin 8B AC A C A C A C π=-+=+=+=．因为sin sin a bA B=，b =，故sin 2sin b A a B ==，故11sin 22242ABC S ab C =⨯=⨯⨯=△．故选:B ．【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.二、填空题13．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析：2 【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得)22cos 3sin A c A-=，构造函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，再用导数求得最值.【详解】由212tan tan sin A B A +=，得2cos sin cos sin 2sin sin sin A B B A A B A+=，即2cos sin cos sin 2sin A B B A B +=，结合正弦定理得2cos cos 2b A a B b +=，再由余弦定理可得2222222222b c a a c b b a b bc ac+-+-⋅+⋅=，整理22234c b a bc +-=.又由余弦定理可得2222cos b a bc A c -=-，代入上式得()22cos c bc A =-，又锐角ABC 的面积1sin 23bc A =，所以3sin bc A=时，所以)22cos 3sin A c A-=，设函数()2cos 0sin 2x f x x x π-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求导可得()212cos sin xf x x-'=，由()212cos 0sin x f x x -'==，得3x π=，所以在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()3f x f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭于是2cos )43sin A c A-=≥，即2c ≥，当且仅当3A π=时，等号成立. 故答案为：2 【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.14．或【解析】∵∴由正弦定理得：∵∴或故答案为或解析：060或0120 【解析】∵2,30a b A ===︒∴由正弦定理sin sin a b A B=得：1sin 2sin 2b A B a ===∵b a > ∴60B =︒或120︒ 故答案为060或012015．【分析】由已知及正弦定理和余弦定理可得求出进而求出再由余弦定理建立关于的二次函数关系即可求解【详解】由正弦定理可得由余弦定理得时取得最小值的最小值为故答案为:【点睛】本题考查正弦定理余弦定理二次函数解析：3【分析】由已知及正弦定理和余弦定理可得3cos C C =，求出tan C ，进而求出cos C ，再由余弦定理，建立2c 关于b 的二次函数关系，即可求解. 【详解】sin sin sin sin sin a A b B c C B C +-=，由正弦定理可得2222cos a b c C C ab +-==，3cos ,tan 0,3C C C C C ππ==<<∴=，由余弦定理得22222cos 12c a b ab C b =+-=-+2[1,3](9,b b b =+∈∴=2c 取得最小值9， c ∴的最小值为3.故答案为:3. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、二次函数的图像和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题.16．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值．【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =．设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BCB A=∠∠，即32sin(3)sin παα=-，整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=，结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=，即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==．再由ABC 得：2sin sin 2ABαα=，∴=解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．17．2【分析】设与两边平方后相加可得即可知时最大可得角再利用正弦定理即可求解【详解】设则又因为所以所以所以当时此时的外接圆半径为故答案为：2【点睛】本题主要考查了正弦定理二倍角公式三角函数的性质同角三角解析：2 【分析】设sin sin A B t +=与cos cos A B +=两边平方后相加，可得2322cos()A B t +=+-，即21cos()2t A B +-=，可知A B =时，sin sin =+t A B 最大，可得角C ，再利用正弦定理即可求解. 【详解】设sin sin A B t +=，则()2222sin sin sin sin 2sin sin t A B A B A B =+=++，又因为()2223cos cos cos cos 2cos cos A B A B A B =+=++，所以222223sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos t A A B B A A B B +=+++++22cos()B A =+-，所以21cos()2t A B +-=，所以当A B =时，max 1=t ，23C π∠=，此时ABC 2=．故答案为：2 【点睛】本题主要考查了正弦定理、二倍角公式、三角函数的性质、同角三角函数基本关系，属于中档题.18．12【分析】设用表示出在中由余弦定理列方程求出【详解】由题意知：平面设则在中由余弦定理得：即解得故答案为：12【点睛】此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握余弦定理是解本题的关键属于中档题解析：12 【分析】设CD h =，用h 表示出,AD BD ，在ABD △中，由余弦定理列方程求出h ．【详解】由题意知：CD ⊥平面,45,30,150,,ABD DAC DBC ADB AB ∠=︒∠=︒∠=︒=设CD h =，则,AD CD h BD ====，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即(222233h h h =++，解得12h m =故答案为：12 【点睛】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．19．【分析】在中分析边角关系可得在中由正弦定理可求得的值然后在中利用余弦定理可求得的长【详解】在中则在中则由正弦定理得可得在中由余弦定理得因此（千米）故答案为：【点睛】本题考查距离的测量问题考查了利用正解析：3【分析】在ACD △中，分析边角关系可得AC CD ==BCE 中，由正弦定理可求得BC 的值，然后在ABC 中，利用余弦定理可求得AB 的长. 【详解】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，CD =67.5CAD ∴∠=，则AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得2sin 60sin 45CE BC ===在ABC 中，AC =BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=，由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3. 【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】在两个三角形中利用余弦定理建立等量关系式整理得出结合题中所给的条件利用余弦定理建立等量关系式求得结果【详解】因为所以可得在△中所以整理得出所以所以故答案为：【点睛】该题考查的是有关解三角形的解析：7【分析】在两个三角形中，利用余弦定理，建立等量关系式，整理得出2AB AD =，结合题中所给的条件，利用余弦定理建立等量关系式，求得结果. 【详解】因为cos cos ADB ADC ∠=-∠，所以2229142321AD AB AD AD AD+-+-=-⨯⨯⨯⨯，可得2AB AD =，在△ABD 中，2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⨯⨯∠，所以22192()422AB AB AB AB =+-⨯⨯⨯-，整理得出2794AB =，所以2367AB =，所以677AB =，故答案为：67. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理解三角形，属于简单题目.三、解答题21．（1）3BC =；32ABCS =；（2）211. 【分析】（1）法一：ABC 中，由余弦定理求BC 的长，应用三角形面积公式求ABC 的面积；法二：过A 作出高交BC 于F ，在所得直角三角形中应用勾股定理求,BF FC ，即可求BC ，由三角形面积公式求ABC 的面积；（2）由正弦定理、三角形的性质、同角三角函数的关系，法一：求sin C 、cos C 、sin ADB ∠、cos ADB ∠，由sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠结合两角差正弦公式求值即可；法二：求tan C 、tan ADB ∠，再由tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠结合两角和正切公式求值即可；法三：由（1）法二所作的高，直角△AFD 中求sin ADB ∠，进而求sin ADC ∠，再根据正弦定理及同角三角函数关系求值即可. 【详解】（1）法一：在ABC 中，由5,2,45b c B ==∠=︒，由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得2252222a a =+-⨯⨯⨯，解得3a =或1a =-（舍），所以3BC a ==，1123sin 32222ABCSac B ==⋅⋅⋅=. 法二：（1）过点A 作出高交BC 于F ，即ABF 为等腰直角三角形，2AB =1AF BF ==，同理△AFC 为直角三角形，1,5AF AC ==2FC ∴=，故3BC BF FC =+=，13||||22ABCSBC AF =⋅=. （2）在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =，即52=，得5sin C =，又52b c =>=，所以C ∠为锐角，法一：由上，225cos 1sin C C =-=，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=， sin sin()DAC ADB C ∠=∠-∠3254525sin cos cos sin 555525ADB C ADB C =∠⋅∠-∠⋅∠=⨯-⨯=，由图可知：DAC ∠为锐角，则2115cos 1sin 25DAC DAC ∠=-∠=，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.法二：由上，1tan 2C =，由4cos 5ADB （ADB ∠为锐角），得3tan 4ADB ∠=， ADB ADC π∠+∠=，3tan 4ADC ∴∠=-，故tan tan(())DAC ADC C π∠=-∠+∠tan()tan()tan()1tan()tan()ADC C ADC C ADC C ∠+∠=-∠+∠=--∠⋅∠312423111142⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭.法三：△AFD 为直角三角形，且4||1,cos 5AF ADB =∠=，所以2163sin 1cos 1255ADB ADB ∠=-∠=-=，5423,cos ,,sin sin 3335AF AD DF AD ADB CD ADC ADB ∴===⋅∠==∠=∠，在ADC 中，由正弦定理得，sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，故sin DAC ∠=，由图可知DAC ∠为锐角，则cos 25DAC ∠==，所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠.【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理的边角关系或勾股定理求边长，由三角形面积公式求面积；（2）综合应用三角形性质、正弦定理、同角三角函数关系以及三角恒等变换求三角函数值.22．（1）3B π=；（2）【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简已知等式可求得cos B ，由()0,B π∈可得结果；（2）在ABD △中利用余弦定理构造方程可求得BD ，根据2ABC ABD S S =△△，利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）A CB π+=-，()cos cos AC B ∴+=-，由()4cos 2cos230A C B +++=得：24cos 4cos 230B B -+-+=，即()22cos 10B -=，解得：1cos 2B =， ()0,B π∈，3B π∴=.（2）在ABD △中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，即()2281640BD BD BD -+=-=，解得：4BD =；D 为BC 中点，122sin 8422ABCABDSSAB BD B ∴==⨯⨯⋅=⨯⨯=23．（1）45-；（2 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、余弦公式，化简整理，即可求得答案.（2）由（1）可得4cos 5A =-，根据余弦定理，可得25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，根据基本不等式，即可求得b c +的最大值.【详解】（1）由题意得5cos cos 4cos 4cos 5sin sin a C B b C c B c A B -=+，正弦定理边化角得：5sin cos cos 4sin cos 4sin cos 5sin sin sin A C B B C C B C A B -=+，所以5sin (cos cos sin sin )4(sin cos sin cos )A C B C B C B B C -=+，所以5sin cos()4sin()A B C B C +=+，又A B C π++=，所以sin()sin()sin ,cos()cos()cos B C A A B C A A ππ+=-=+=-=-，所以5sin cos 4sin A A A -=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以4cos 5A =-. （2）由（1）可得4cos 5A =-，由余弦定理得2222()294cos 225b c a b c bc A bc bc +-+--===-，所以25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，由基本不等式可得22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以225()922b c b c +⎛⎫⎡⎤+-≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得b c +≤ 当且仅当b c =时等号成立，所以b c + 【点睛】解题的关键是熟练掌握正余弦定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简的能力，属中档题.24．（1）2π3；（2）2. 【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解.（2）根据三角形的面积公式可得2ac =，再利用余弦定理可得a c +=. 【详解】解：（1sin (2cos )A a B =+，sin sin (2cos )A B A B =+. ∵(0π)A ∈，，∴sin 0A >，∴cos 2B B -=，∴π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππ62B -=，∴2π3B =.（2）因为2ABCS =，∴12πsin 23ac =，∴2ac =. 又∵22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-， ∴a c +=∴11a c a c ac ++==.25．150︒2+ 【分析】2OA =，B 为半圆周上任意一点，那么OAB 是直角三角形，254cos AB α=-，三角形sin OABSα=，三角形2ABCSAB =，可得四边形OACB 面积，利用三角函数的有界性，可求得面积的最大值. 【详解】ABC 2AB ，半径1,2OB OA == 过B 作BE 垂直OA ，则sin sin BE OB αα=⋅=由余弦定理：2222cos 54cos AB OB OA OB OA αα=+-⋅⋅=- 设所求的四边形面积S ，则)154cos sin 2AOBABCS S SOA BE ααα=+=⋅⋅+-=()12sin 2sin 602ααα⎛⎫==-︒ ⎪ ⎪⎝⎭，()sin 601α∴-︒=时，max 2S =+，150α⇒=︒.26．（1）4ABC π∠=；（2）tan PBA ∠=．【分析】（1）由已知求得25AC =-cos 2ABC ∠=，即可求得ABC ∠；（2）由题可得PBA PCB ∠=∠，设PBA α∠=，由正弦定理可得2sin 6PB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简即可求出.【详解】解：（1）由AB BC ==，知AB BC ==，由225AC AB +=，知2525AC AB =-=-在ABC 中，由余弦定理得：222cos 22BC AB AC ABC AB BC +-∠===⨯， 0ABC π<∠<，4ABC π∴∠=；（2）,44PBA PBC PCB PBC BPC πππ∠+∠=∠+∠=-∠=， PBA PCB ∴∠=∠，设PBA α∠=，则在PBC 中，由正弦定理得,2sin 3sin sin 4PB BC PB απα=∴=，在APB △中，由正弦定理得：,56sin sin 66PBAB PB παππα⎛⎫=∴=- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，sin sin cos cos sin 666πππαααα⎛⎫⎫∴=-=- ⎪⎪⎝⎭⎭，化简可得：tan α=，故tan PBA ∠=. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是先得出PBA PCB ∠=∠，设PBA α∠=，由正弦定理可得2sin 6PB παα⎛⎫==- ⎪⎝⎭.。