余弦定理证明过程(完整版)
余弦定理证明过程
余弦定理证明过程
余弦定理是解决三角形中任意一边的长度的公式。它可以表示为：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)，其中c是对应角C的边，a和b是另外两个边。
证明余弦定理可以通过三角形的几何性质和三角函数的定义进行推导。下面我将详细介绍余弦定理的证明过程。
假设有一个三角形ABC，其中边a对应的角为A，边b对应的角为B，边c对应的角为C。
首先，我们可以将三角形ABC划分成两个直角三角形，分别为AB人
角形和CD直角形。其中，C是通过边c的垂线的交点。
根据三角形的内角和为180度的性质，我们可以得到角CAD=180度-B。而根据直角三角形的性质，角CAD又等于角ACB-90度。
所以，我们可以得出角ACB=B+90度。同理，角BCA=A+90度。
我们可以使用三角函数的定义来推导余弦定理。根据余弦函数的定义，我们知道cos(A) = AB/AC，cos(B) = BC/AC。
由于角ACB = B + 90度，我们可以将cos(ACB)表示为cos(B + 90度)。根据余弦函数的性质，cos(B + 90度) = cos(B) * cos(90度) -
sin(B) * sin(90度)。
因为cos(90度) = 0，sin(90度) = 1，我们可以进一步简化上述等
式为cos(ACB) = -sin(B)。
同样地，我们可以得出cos(BCA) = -sin(A)。
现在，我们可以将两个定义代入余弦定理中，得到c² = a² + b² -
2ab * cos(C)。然后，我们可以将cos(C)替换为-sin(B)和-sin(A)，得
余弦定理的证明方法大全(共十法)
余弦定理的证明方法大全(共十法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有
2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:
()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-
2
2
2AB AC AB AC =+-⋅
222cos b c bc A =+-
即,2222cos a b c bc A =+-.
证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.
(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则
在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.
从而,cos BD AB AD c b A =-=-.
在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+
22(cos )(sin )c b A b A =-+
222cos c cb A b =-+
即,2222cos a b c bc A =+-.
余弦定理的八种证明方法1500字
余弦定理的八种证明方法1500字
余弦定理是高中数学中一个非常重要的定理，它可以描述三角形边长和角度之间的关系。余弦定理有很多种证明方法，以下我们简单介绍其中的八种证明方法。
方法一：向量法证明
推导过程如下：
设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。根据向量的定义和运算法则，可以得到向量AB=a，向量AC=b，向量BC=c。由向量的点积公式可知，向量a·b=|a||b|cos(∠{向量AB，向量AC})，即(a-b)·(a-c)=-|a|²cosA。对称地，还可以得到(b-c)·(b-a)=-|b|²cosB，(c-a)·(c-b)=-|c|²cosC。进一步推导可知，(a-b)·(a-
c)+(b-c)·(b-a)+(c-a)·(c-b)=-(|a|²+|b|²+|c|²)，即2(a·b+b·c+c·a)=|a|²+|b|²+|c|²，最终可得到余弦定理的向量形式。
方法二：面积法证明
推导过程如下：
设∠ACB=C，根据三角形的面积公式可知，△ABC的面积S=1/2|AC||BC|sinC。又根据正弦定理可知，sinC=a/2R，其中R为△ABC的外接圆半径。将sinC带入上述公式可得S=1/4R|AC||BC|a。同样地，也可以得到S=1/4R|AB||BC|c和S=1/4R|AB||AC|b。将这三个式子相加，并将△ABC的面积用△ABC的周长p和半周长s表示，可得
2S/abc=(ac+ab-bc)/2sb+(ab+bc-ac)/2sc+(ac+bc-ab)/2sa。经过化简可以得到余弦定理的面积形式。
(经典)最全余弦定理的10种证明方法
(经典)最全余弦定理的10种证明方法
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知
AB c =,BC a =,CA b =,则有
2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-,
2222cos c a b ab C =+-.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在ABC ∆中,已知
AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-.
证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:
()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-
22
2AB AC AB AC =+-⋅
222cos b c bc A =+-
即,2
222cos a
b c bc A =+-.
证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论. (1)当A ∠是直角时,由2
2222222cos 2cos90b
c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立.
(2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则
在Rt ACD ∆中,
cos AD b A =,sin CD b A =.
从而,cos BD
AB AD c b A =-=-.
在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:
222BC BD CD =+
22(cos )(sin )c b A b A =-+
222cos c cb A b =-+
即,2
222cos a
余弦定理的多种证明方法
余弦定理的多种证明方法
法一(平面几何)：在△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求c 。
过A 作sin sin AD BC D AD AC C BC C ⊥=于，是＝，
cos cos ,CD AC b c ==
在Rt ABD ∆中，2222222(sin )(cos )2cos AB AD BD b c a b c a b ab c =+=+-=+-，
法二（平面向量）：
2
2
2
()()22||||AB AB AC BC AC BC AC AC BC BC AC AC BC ⋅=+⋅+=⋅⋅+=+⋅ 2
22cos(180)2cos B BC b ab B a -+=-+，即：2222cos c a b ab c =+-
法三（解析几何）：把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b ，CB=a ，
AB=c ，则A ，B ，C 点的坐标分别为A(b ，0)，B(acosC ，asinC)，C(0，0)．
|AB|2=(acosC －b)2+(asinC －0)2 =a 2cos2C －2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2－2abcosC ， 即c 2=a 2+b 2－2abcosC ．
法四（利用正弦定理）：
先证明如下等式：C B A C B A cos sin sin 2sin sin sin 2
22=-+ ⑴ 证明：C B A 2
22sin sin sin -+
()()()()()[]
C
B A B A B A
C C B A B A C B A coos C
余弦定理及其证明
余弦定理及其证明
篇一：余弦定理的证明方法大全(共十法)
余弦定理证明方法全集（共十种）
一、余弦定理
余弦定理：三角形任意边的平方等于其他边的平方和减去这两条边和它们之间的夹角
的余弦乘积的两倍，也就是说，in？在ABC，我们知道AB吗？c、卑诗省？a、 ca？b、
然后呢
a2?b2?c2?2bccosa,b2?c2?a2?2cacosb,c2?a2?b2?2abcosc.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
哪里在ABC，我们知道AB吗？c、空调？b、角度a，验证：A2？b2？c2？2bccosa。证据1：如图1所示，在哪里？美国广播公司？ab？AC可用：
cb?cb?(ab?ac)?(ab?ac)
ab？交流电？2ab？交流电
b2c22bccosa
图1
2
二
即,a2?b2?c2?2bccosa.
证候方法2：此方法应注意什么？讨论
(1)当?a是直角时,由b2?c2?2bccosa?b2?c2?2bccos90??b2?c2?a2知结论成立.(2)
当?a是锐角时,如图2-1,过点c作cd?ab,交ab于点d,则
在RT？在ACD，广告？bcosa，cd？贝西娜。
从而,bd?ab?ad?c?bcosa.
在RT？在BCD中，根据勾股定理，我们可以得到：BC2？bd2？cd2
(cbcosa)2(bsina)2
c2？2cbcosa？b2
a
图2-1
即,a2?b2?c2?2bccosa.
注：图2-1仅适用于？B是锐角，和？B也可以是直角或钝角，如果？B是一个直角，如图所示
点d就与点b重合；若?b是钝角,图中的点d就在ab的延长线上.
余弦定理的10种证明方法
余弦定理的10种证明方法
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有
2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:
()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-
2
2
2AB AC AB AC =+-⋅
222cos b c bc A =+-
即,2222cos a b c bc A =+-.
证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.
(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则
在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.
从而,cos BD AB AD c b A =-=-.
在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+
22(cos )(sin )c b A b A =-+
222cos c cb A b =-+
即,2222cos a b c bc A =+-.
证明余弦定理的方法
证明余弦定理的方法
一、引言
余弦定理是三角形中非常重要的定理之一，它可以用来计算三角形中的各个角度和边长。在本文中，我们将介绍如何证明余弦定理。
二、定义
在三角形ABC中，设AB=c, AC=b, BC=a，且∠A对应的边为a，∠B 对应的边为b，∠C对应的边为c。则余弦定理可以表示为：
a²=b²+c²-2bc cosA
b²=a²+c²-2ac cosB
c²=a²+b²-2ab cosC
三、证明
1. 证明a²=b²+c²-2bc cosA
根据余弦定理，我们有：
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
将cosA代入原式得：
a²=b²+c²-2bc(b²+c²-a²)/(2bc)
化简后得：
a²=b²+c²-2bc cosA
因此，我们证明了第一个等式。
2. 证明b²=a²+c²-2ac cosB
同样地，根据余弦定理，我们有：
cosB=(a²+c²-b)/（2ac）
将cosB代入原式得：
b^2=a^2+c^2- 2ac(a^2+c^2-b)/( 2ac) 化简后得：
b^2=a^2+c^2- 2ac cosB
因此，我们证明了第二个等式。
3. 证明c²=a²+b²-2ab cosC
最后，根据余弦定理，我们有：
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
将cosC代入原式得：
c^2=a^2+b^2- 2ab(a^2+b^2-c^2)/( 2ab) 化简后得：
c^2=a^2+b^2- 2ab cosC
因此，我们证明了第三个等式。
四、总结
通过以上的证明过程，我们可以看出余弦定理的重要性和用途。它不仅可以用来计算三角形中的各个角度和边长，还可以应用于物理学、几何学等领域。因此，在学习数学时，我们一定要掌握余弦定理，并且要深入理解它的本质。
余弦定理的证明方法大全共十法
余弦定理的证明方法大全(共十法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有
2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:
()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-
2
2
2AB AC AB AC =+-⋅
222cos b c bc A =+-
即,2222cos a b c bc A =+-.
证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.
(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立.
(2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则
在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.
从而,cos BD AB AD c b A =-=-.
在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:
222BC BD CD =+
图1
图2-1
22(cos )(sin )c b A b A =-+
222cos c cb A b =-+
余弦定理的证明方法
余弦定理的证明方法
篇一：余弦定理的六种证法
余弦定理的六种证法
法一(平面几何)：在△ABC中，已知AC
?b,BC?a,及?C，求c。
过A作AD?BC于D，是AD＝ACsinC?BCsinC，
CD?ACcos?bcosc,
C
在Rt?ABD中，AB2?AD2?BD2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，
法二（平面向量）：
2????????????2????2??????? ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC| 2 22222
cos(180?B)?BC?b?2abcosB?a，即：c?a?b?2abcosc
?
法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，
CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．
|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－
2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．法四（利用正弦定理）：
先证明如下等式：sin证明：sin
2
2
A?sin
2
2
B?sinC?2sinAsinBcosC ⑴
2
A?
sin
2
B?sinC
?
1?cos2A
212
?
1?cos2B
2
?
1?cos2C
22
2
??
?coo2sA?cos2B??
1?cos2C
sA?B?co?sA?B??cosC??co??cosC?co?sA?B??co?sA?B?? ?2sinAsinBcosC
余弦定理的证明过程
余弦定理的证明过程
方法一：基于勾股定理
任作三角形ABC，记BC=a, AC=b, AB=c，BC所对角为α。
过B作BD⊥AC交AC于点D，则有两个直角三角形Rt△ABD与Rt△BDC。
根据勾股定理，有BD^2+CD^2=BC^2，即(csinα)^2+(b-ccos α)^2=b^2-2bccosα+c^2。
简化上述等式，得到a^2=b^2+c^2-2bccosα，即证明了余弦定理。方法二：基于平面向量
在△ABC中，应用平面向量证法，有c·c=(a+b)·(a+b)。
展开向量点积，得到c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)。
利用诱导公式cos(π-θ)=-cosθ，得到c²=a²+b²-2abcosθ。
简化后得到c²=a²+b²-2abcosC，即余弦定理。
余弦定理的证明方法
余弦定理的证明方法
篇一：余弦定理的六种证法
余弦定理的六种证法
法一(平面几何)：在△ABC中，已知AC
?b,BC?a,及?C，求c。
过A作AD?BC于D，是AD＝ACsinC?BCsinC，
CD?ACcos?bcosc,
C
在Rt?ABD中，AB2?AD2?BD2?(bsinc)2?(a?bcosc)2?a2?b2?2abcosc，
法二（平面向量）：
2????????????2????2??????? ABAB(ACBC)(ACBC)AC2ACBCBCAC2|AC||BC| 2 22222
cos(180?B)?BC?b?2abcosB?a，即：c?a?b?2abcosc
?
法三（解析几何）：把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，
CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．
|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－
2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．法四（利用正弦定理）：
先证明如下等式：sin证明：sin
2
2
A?sin
2
2
B?sinC?2sinAsinBcosC ⑴
2
A?
sin
2
B?sinC
?
1?cos2A
212
?
1?cos2B
2
?
1?cos2C
22
2
??
?coo2sA?cos2B??
1?cos2C
sA?B?co?sA?B??cosC??co??cosC?co?sA?B??co?sA?B?? ?2sinAsinBcosC
(完整版)余弦定理的证明方法大全(共十法)
余弦定理的证明方法大全(共十法)
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有
2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:
()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-
2
2
2AB AC AB AC =+-⋅
222cos b c bc A =+-
即,2222cos a b c bc A =+-.
证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.
(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则
在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.
从而,cos BD AB AD c b A =-=-.
在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+
22(cos )(sin )c b A b A =-+
222cos c cb A b =-+
即,2222cos a b c bc A =+-.
余弦定理证明过程(精选多篇)
余弦定理证明过程(精选多篇)
第一篇：余弦定理证明过程在△abc中，设bc＝a，ac＝b，ab＝c，试根据b，c，a来表示a。分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rt△bdc中，边a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用边角关系表示，db可利用ab－ad转化为ad，进而在rt△aｄc内求解。
解：过c作cd⊥ab，垂足为d，则在rt△cｄb中，根据勾股定理可得： a2＝cｄ2＋bｄ2
∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2
又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2
∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2
－2c·aｄ又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa∴a2＝b2＋c2－2bccosa类似地可以证明b2＝a2＋c2－
2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc
第二篇：余弦定理证明过程余弦定理证明过程
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表达式：
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
证毕。
2
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->
bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
余弦定理的证明方法(精选多篇)
∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2
又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2
∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2
－2c·aｄ又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa∴a2＝b2＋c2－2bccosa类似地可以证明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc
定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,则
（1）（正弦定理）==；
（2）（余弦定理）
c2=a2+b2-2abcos c,
b2=a2+c2-2accos b,
a2=b2+c2-2bccos a。
证明：建立如下图所示的直角坐标系，则a=（0，0）、b=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：
则c_=a_+b_-2ab*cosc
a_=b_+c_-2bc*cosa
b_=a_+c_-2ac*cosb
下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a
由勾股定理得：
c_=(ad)_+(bd)_，(ad)_=b_-(cd)_
所以c_=(ad)_-(cd)_+b_
如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.
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余弦定理证明过程
余弦定理证明过程
=a，∠da=π-∠ba=π-，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina…………
①-aos=osa-b……
②由
①得asina=sin，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=sin.由
②得aos=b-osa，平方得：
a2os2=b2-2bosa+2os2a，即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由
①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2-
2aosb，2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明:
mb=
m=ma=√^2-a*osb)
=√
由b^2=a^2+^2-2a*osb
得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^
2，代入上述ma表达式：
ma=√
=√
同理可得：
mb=
m=
4
ma=√^2-a*osb)
=√
由b^2=a^2+^2-2a*osb
得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^
2，代入上述ma表达式：
ma=√
=√
证毕。
第五篇：
余弦定理的多种证明
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．
对于任意三角形三边为a,b, 三角为a,b, 满足性质
a^2=b^2+^2-2*b**osa
b^2=a^2+^2-2*a**osb
^2=a^2+b^2-2*a*b*os
os=2ab
osb=2a
osa=2b
证明：
如图：
∵a=b-
∴a^2=^2 （证明中前面所写的a,b,皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+^2-2b
再拆开，得a^2=b^2+^2-2*b**osa
同理可证其他，而下面的osa=2b就是将osa移到右边表示一下。
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平面几何证法：
在任意△ab中
做ad⊥b.
∠所对的边为，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a
则有bd=osb*，ad=sinb*，d=b-bd=a-osb*
根据勾股定理可得：
a^2=ad^2+d^2
b^2=^2+^2
b^2=sin^2b*^2+a^2+os^2b*^2-2a*osb
b^2=*^2-2a*osb+a^2
b^2=^2+a^2-2a*osb
osb=2a
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,
如果一个三角形两边的平方和等于第三
边的平方,那么第三边所对的角一定是直
角,如果小于第三边的平方,那么第三边所
对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边
所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
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附送：
余敏洪励志演讲稿
余敏洪励志演讲稿
第一篇：
俞敏洪励志演讲稿
《俞敏洪励志演讲稿》
1.成长是需要时间的。你惟一要做到的是，看准了目标以后，充满耐心地，充满了坚韧不拔的精神往前走，这就是我们成长的过程。
我们未来生活最重要的一个能力，叫做忍辱负重的能力，很多社会名流会遇到很多很多你不能忍受的事情，但是你不得不忍受，而不忍受就不可能成功，为什么？因为你不忍辱负重，你就没有时间，你就没有空间，没有走向未来的空间，如果你想走向未来，最后变得更加强大更加繁荣，你就必须要做好给自己留下足够的时间和空间，轮到我们自己的生命要想为一个伟大目标而奋斗的时候，你排除，也得必须排除你生命中一切琐碎的干扰，因此你就必须忍辱负重！个人也是一样的，你要想有伟大的大发展，你得为自己争取时间，争取空间，争取未来，而争取时间争取空间争取未来的一个最重要的前提就是，你有理想！但是你敢于忍受生活中出现的一切对你的不公平，或者是一切对你的你认为受不了的事情！
3.我有一个比喻，每一条河流都有自己不同的生命曲线，长江和黄河的曲线是绝对不一样的，但是每一条河流都有自己的梦想，那就是奔向大海！所以不管黄河是多么的曲折，绕过了多少障碍，长江拐的弯不如黄河多，但是她冲破了悬崖峭壁，用的方式是不一样的，但是到了最后走到了大海。当我们遇到困难的时候，不管是冲过去还是绕过去，只要我们能过去就行，我希望大家能使自己的生命向梦想流过去，像长江黄河一样能流到自己梦想的尽头，进入宽阔的海洋，使自己的生命变得开阔，使自己的事业也变得开阔，但是并不是说你想流就能流得过去的，其实这里面就具备一种精神，毫无疑问，这就是水的精神！我们的生命有的时候会是泥沙，尽管你也跟着水一起往前流，但是由于你个性的缺陷，面对困难的退步或者说胆怯，你可能慢慢地就会像泥沙一样沉淀下去了，一旦你沉淀下去了，也许你不用再为了前进而努力了，但是你却永远见不到阳光了，你沉淀了下去，上面的泥沙会不断地把你压住，最后你会暗无天日，所以我建议大家，不管你现在生命是怎么样的，一定要有水的精神，哪怕被污染了，也能洗净自己，像水一样不断地积蓄自己的力量，不断地冲破障碍，当你发现时机不到的时候，把自己的厚度给积累起来，当有一天时机来临的时候，你就能够奔腾入海，成就自己的生命！
4.大家都知道西方神话中，有一个叫西西弗的故事，由于受到宙斯惩罚，必须从山脚下推一块石头推到山顶，当这块大石头被他推到山顶的时候，这块石头会自动滚落到山脚，他又不得不从头开始推起，所以很烦恼！大家稍微想一下，我们日常的生活工作是不是就是这样的一个过程，当他推石头，把它当做一种惩罚来对待的时候，他心中会很难受，每天带着怨气怨恨在推石头，就像我们很多人工作的