余弦定理证明过程(完整版)
余弦定理证明过程
余弦定理证明过程余弦定理是解决三角形中任意一边的长度的公式。
它可以表示为：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)，其中c是对应角C的边，a和b是另外两个边。
证明余弦定理可以通过三角形的几何性质和三角函数的定义进行推导。
下面我将详细介绍余弦定理的证明过程。
假设有一个三角形ABC，其中边a对应的角为A，边b对应的角为B，边c对应的角为C。
首先，我们可以将三角形ABC划分成两个直角三角形，分别为AB人角形和CD直角形。
其中，C是通过边c的垂线的交点。
根据三角形的内角和为180度的性质，我们可以得到角CAD=180度-B。
而根据直角三角形的性质，角CAD又等于角ACB-90度。
所以，我们可以得出角ACB=B+90度。
同理，角BCA=A+90度。
我们可以使用三角函数的定义来推导余弦定理。
根据余弦函数的定义，我们知道cos(A) = AB/AC，cos(B) = BC/AC。
由于角ACB = B + 90度，我们可以将cos(ACB)表示为cos(B + 90度)。
根据余弦函数的性质，cos(B + 90度) = cos(B) * cos(90度) -sin(B) * sin(90度)。
因为cos(90度) = 0，sin(90度) = 1，我们可以进一步简化上述等式为cos(ACB) = -sin(B)。
同样地，我们可以得出cos(BCA) = -sin(A)。
现在，我们可以将两个定义代入余弦定理中，得到c² = a² + b² -2ab * cos(C)。
然后，我们可以将cos(C)替换为-sin(B)和-sin(A)，得到c² = a² + b² + 2ab * sin(A) * sin(B)。
继续化简，我们可以得到c² = a² + b² + 2ab * (sin(A) *sin(B))。
怎么证明余弦定理
怎么证明余弦定理证明余弦定理是高中数学中非常重要的知识点，它在解决平面几何和三角形相关问题时起着至关重要的作用。
接下来，我们将通过推理和几何图形的分析来证明余弦定理。
首先，我们从一个三角形ABC开始，设三角形的三边分别为a、b、c，对应的夹角为A、B、C。
我们需要证明的余弦定理是：c² = a² + b² - 2abcosC在证明过程中，我们将分别考虑三角形的三边之间的关系和夹角之间的关系，并通过几何图形进行辅助分析。
第一步，我们先来看一下三角形的三边之间的关系。
根据勾股定理，我们知道：对于一个直角三角形，斜边的平方等于其他两边平方之和。
因此，我们可以构造一个与三角形ABC有着共同斜边的直角三角形ADB。
我们可以将AB边作为直角三角形ADB的斜边，这样就可以得到：AB² = AD² + BD² （1）同样地，再构造一个与三角形ABC有着共同斜边的直角三角形AEC。
我们可以将AC边作为直角三角形AEC的斜边，这样可以得到：AC² = AE² + EC² （2）继续构造一个与三角形ABC有着共同斜边的直角三角形BFC。
我们可以将BC边作为直角三角形BFC的斜边，这样就可以得到：BC² = BF² + FC² （3）接下来，我们将这三个直角三角形组合在一起构成一个平行四边形ADEB。
根据平行四边形两对对边相等的性质，我们可以得到：AD = EC （4）BD = AE （5）我们将式（1）代入式（4），将式（2）代入式（5），可以得到：AB² = AD² + BD² （6）= EC² + AE²上式说明了AB的平方等于AC的平方加上BC的平方。
现在，让我们转向夹角之间的关系。
考虑三角形ABC的两边AB和AC之间的夹角BAC，以及直角三角形AEC的两个锐角。
余弦定理公式
余弦定理公式一、引言余弦定理是解决三角形中的边长或角度关系问题的重要工具。
在数学和物理领域广泛应用，特别是在解决三角形的非直角问题以及相关定理的证明过程中。
本文将对余弦定理的定义、推导过程以及实际应用进行详细介绍。
二、余弦定理的定义余弦定理是三角学中的一个定理，用于计算三角形的边长、角度或判断三角形的形状。
余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC其中，a、b为三角形中的两边，c为斜边，C为斜边对应的角。
三、余弦定理的推导过程余弦定理的推导过程并不复杂。
首先，我们需要设想一个任意的三角形ABC，其中a、b为两条边，C是它们的夹角。
假设c是它们的斜边，我们需要找到c的表达式。
根据正余弦的定义，我们可以得到以下等式：cosA = Adjacent / HypotenusecosB = Opposite / Hypotenuse将这两个等式改写为：Hypotenuse = Adjacent / cosA （1）Hypotenuse = Opposite / cosB （2）我们可以将(1)和(2)两个等式相等：Adjacent / cosA = Opposite / cosB进一步改写为：cosB / cosA = Adjacent / Opposite根据三角公式sinA = 1 / cscA 和 sinB = 1 / cscB，可以将cosB / cosA转换为sinB / sinA：sinB / sinA = Adjacent / Opposite将A和B两个角度的角替换为C， sinA和sinB替换为a和b，可以得到余弦定理的表达式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC这就是余弦定理的最终表达式。
四、余弦定理的实际应用1. 计算三角形的边长：通过已知两边和它们夹角的大小，可以利用余弦定理计算第三边的长度。
这对于求解航海、测量不可达距离等问题非常有用。
余弦定理公式的含义及其证明
余弦定理公式的含义及其证明余弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要公式。
它描述了三角形的一个边的平方和另外两边平方的差，与这两边之间的夹角余弦函数的乘积的关系。
余弦定理的数学表达式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形的三边，C表示夹角C的大小。
证明余弦定理可以使用向量法和三角法两种方法。
1.向量法证明：假设三角形ABC中，向量AB的模为a，向量AC的模为b，向量BC的模为c。
向量AB与向量AC之间的夹角为夹角C，设其大小为θ。
根据向量的加法和平方模长定义，可以得到：a² = AB² = AA² + BB² - 2(AA)(BB)cosθb² = AC² = AA² + CC² - 2(AA)(CC)cosθc² = BC² = BB² + CC² - 2(BB)(CC)cosθ将以上三个等式相加，得到：a² + b² + c² = 2(AA² + BB² + CC²) - 2(AA)(BB)cosθ -2(AA)(CC)cosθ - 2(BB)(CC)cosθ化简可得：2(AA² + BB² + CC²) = a² + b² + c² + 2(AA)(BB)cosθ +2(AA)(CC)cosθ + 2(BB)(CC)cosθ设向量AA、BB、CC的模长分别为x、y、z，则上式变成：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2xycosθ + 2xzcosθ +2yzcosθ由于AA=BB=CC=x+y+z（向量AA、BB、CC的模长相等），进一步化简得到：2(x² + y² + z²) = a² + b² + c² + 2(xy + xz + yz)cosθ所以，余弦定理成立。
正余弦定理的四种证明方法
正余弦定理的四种证明方法余弦定理是解三角形问题的重要工具之一，它表达了三角形的一个边的平方与其他两边平方的关系。
以下将介绍余弦定理的四种证明方法。
方法一：向量法证明这是一种直接而简洁的证明方法。
我们可以将三角形的任意边表示为向量，然后利用向量的运算进行证明。
假设三角形的三个顶点为A、B、C，边a、b、c对应的向量分别为→a、→b、→c。
根据向量的定义，→c=→a-→b。
利用向量的模的定义有：→c，^2 = ，→a - →b，^2 = (∥→a∥ - ∥→b∥)^2 =∥→a∥^2 - 2∥→a∥∥→b∥cosC + ∥→b∥^2根据余弦定理，→c，^2 = a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA。
将上述两个表达式相等，整理可得余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc⋅cosA方法二：平面几何法证明这种证明方法是通过利用三角形的几何性质来证明余弦定理。
首先，我们可以进行如下构造：在边b上取一点D，使得BD与AC垂直相交于点E。
由此可得AE⊥BC。
根据直角三角形的性质，我们有：1. AE = AC⋅cosA2. AD = AC⋅sinA3. CD = BC - BD = BC - AD = b - AC⋅sinA由三角形的余弦定理可得：a^2 = AB^2 = AD^2 + BD^2 = (AC⋅sinA)^2 + (b - AC⋅sinA)^2展开并整理上式，可得到与余弦定理等价的表达式。
方法三：三角函数法证明这是一种基于三角函数的三角恒等式来进行证明的方法。
根据三角函数的定义，我们有：sinA = BC/AC，sinB = AC/BC由此可得AB = AC⋅sinB = BC⋅sinA。
假设三角形的高为h，利用三角形面积公式S = 1/2⋅AB⋅h也可得到：S = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinA = 1/2⋅BC⋅AC⋅sinB此外，根据S=1/2⋅BC⋅h也可得到：h = BC⋅sinA联立上述三个等式，整理可得到余弦定理。
余弦定理的证明方法大全
余弦定理的证明方法大全余弦定理是解析几何中常用的定理，用于计算三角形中一个角的余弦值。
下面将介绍十种常见的余弦定理证明方法。
1.方法一：向量法证明余弦定理我们假设三角形的三个顶点分别为A、B、C，以向量AB和AC为两条边，设向量AB为a，向量AC为b。
根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。
那么，根据向量的内积公式，可以得到：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。
由此可得余弦定理的向量形式：c^2 = ，a，^2 + ，b，^2 - 2，a，b，cosθ2.方法二：平面向量法证明余弦定理我们可以将三角形的三个顶点A、B、C的坐标表示为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
设向量AB为a，向量AC为b。
根据向量的定义，可以得出向量AB与向量AC的夹角θ。
那么，根据向量的模长和夹角的余弦值的关系，可以得到：cosθ = (a·b)/(，a，b，)将向量的定义带入上式，可得余弦定理的平面向量形式：c^2=，a，^2+，b，^2-2a·b3.方法三：直角三角形法证明余弦定理假设ΔABC是一个直角三角形，且∠B为直角。
根据勾股定理，可以得到：a^2=b^2+c^2将上式改写为：c^2=a^2-b^24.方法四：海伦公式证明余弦定理我们知道，海伦公式可以用于计算三角形的面积。
设ΔABC的三条边分别为a，b，c，半周长为s，面积为S。
那么，根据海伦公式可以得出：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))将面积的表达式展开，再利用ΔABC的面积公式，可得余弦定理的表达式。
5.方法五：向量叉乘法证明余弦定理我们可以使用向量的叉乘来计算三角形的面积。
设三角形的三个顶点A、B、C的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据向量的叉乘公式，可以得到：2S=，AB×AC展开上式，并利用向量模长的定义，可以得到余弦定理的表达式。
(经典)最全余弦定理的10种证明方法
(经典)最全余弦定理的10种证明方法——王彦文 青铜峡一中一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+图1图2-1A即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅= 2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②图2-2图3将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-. 即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.c-bcosA图7-2图7-1余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.图5GA图6。
(完整版)余弦定理的证明方法大全(共十法)
余弦定理的证明方法大全(共十法)一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的图1图2-1A点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-.图2-2图3即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.c-bcosA图7-2图7-1余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.图5GA图6。
余弦定理的证明方法四种
余弦定理的证明方法四种方法一：向量法文章一朋友们，今天咱们来聊聊余弦定理的证明，咱们先说用向量法怎么证明。
咱们先画个三角形 ABC，顶点分别是 A、B、C。
然后咱们设向量AB 是 c，向量 BC 是 a，向量 CA 是 b。
那向量 AB 和向量 AC 的数量积就等于 AB 的模长乘以 AC 的模长再乘以它们夹角的余弦值。
也就是c·b = |c|×|b|×cos(π A) ，因为夹角是π A 嘛。
然后展开这个数量积，c·b = |c|×|b|×(cosA) 。
又因为c·b = |c|×|b|×(cosA) = cx×bx + cy× ，这里的x、y 是向量的坐标。
把 |c| = |b a| 代入，然后两边平方，一顿操作之后，就能得到a² = b² + c² 2bc×cosA 。
同样的道理，咱们能证明出b² = a² + c² 2ac×cosB ，c² = a² + b² 2ab×cosC 。
咋样，向量法证明余弦定理是不是还挺简单易懂的？文章二嗨，大家好！今天咱们来搞明白用向量法证明余弦定理。
想象一下有个三角形 ABC，三个顶点在那呆着呢。
咱们弄出向量来，AB 叫 c，BC 叫 a，CA 叫 b 。
向量这东西相乘有讲究，AB 和 AC 相乘，就是 c 和 b 相乘，等于它们长度乘上夹角的余弦。
但注意哦，这个夹角是π A ，所以c·b = |c|×|b|×cos(π A) ，这就等于|c|×|b|×cosA 。
再仔细看看，c·b 还能写成坐标形式，就是 c 的横坐标乘 b 的横坐标加上纵坐标乘纵坐标。
而且 |c| 其实就是 |b a| ，把这个带进去平方一下，算一算，嘿，就出来a² = b² + c² 2bc×cosA 啦！用同样的思路，其他两个式子b² = a² + c² 2ac×cosB 和c² = a² + b² 2ab×cosC 也能得出来。
余弦定理的证明方法(精选多篇)
余弦定理的证明方法(精选多篇)第一篇：余弦定理的证明方法余弦定理的证明方法在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b则c^2=a^2+b^2-2ab某cosca^2=b^2+c^2-2bc某cosab^2=a^2+c^2-2ac某cosb下面在锐角△中证明第一个等式，在钝角△中证明以此类推。
过a作ad⊥bc于d，则bd+cd=a由勾股定理得：c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2=a^2-2a某cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2=a^2+b^2-2a某cd因为cosc=cd/b所以cd=b某cosc所以c^2=a^2+b^2-2ab某cosc在任意△abc中,作ad⊥bc.∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->bd=cosb某c，ad=sinb某c，dc=bc-bd=a-cosb某c 勾股定理可知：ac²=ad²+dc²b²=(sinb某c)²+(a-cosb某c)²b²=sin²b某c²+a²+cos²b某c²-2ac某cosbb²=(sin²b+cos²b)某c²-2ac某cosb+a²b²=c²+a²-2ac某cosb所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为某轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(π-c)，asin(π-c))即d点坐标是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina。
三角函数中余弦定理的推导过程
三角函数中余弦定理的推导过程在三角函数中，余弦定理（Cosine Rule）是一种用于计算三角形边长或角度的重要定理。
下面将详细介绍余弦定理的推导过程。
首先，假设有一个三角形ABC，其三个边分别为a, b, c，对应的内角为A, B, C。
我们需要推导出余弦定理的表达式，即通过已知的边长和夹角来计算第三边的长度。
根据三角形的定义，我们知道三个内角之和等于180度，即：A +B +C = 180度 ------（1）接下来，我们将三角形ABC分成两个小三角形，如下所示：/|\/ | \a/ | \b/ |h \/____|____\c其中，h表示从顶点C到边AB的垂直距离，也就是三角形的高。
我们可以将三角形ABC分成两个直角三角形，即三角形ACB和三角形ABC。
根据直角三角形的定理，我们可以得到以下两个等式：cos A = h / b ------（2）cos B = h / a ------（3）由于三角形ABC和三角形ACB的高度相同，我们可以将上述两个等式联立起来，得到：h = b * cos A ------（4）h = a * cos B ------（5）将（4）和（5）两式等号右侧相等的部分代入上图，我们可以得到：a * cos B +b * cos A =c ------（6）这就是余弦定理的最常见形式。
它表示了一个三角形的两边和夹角的关系，通过已知的两边和夹角可以求出第三边的长度。
除了上述形式外，余弦定理还可以通过变形得到其他等价形式。
例如，当我们希望求解夹角C时，可以将（6）式变形为：cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 * a * b) ------（7）这个形式常用于计算三角形的角度。
另外，当我们希望只知道三角形的夹角而不求解边长时，可以将（6）式变形为：cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c) ------（8）cos B = (c^2 + a^2 - b^2) / (2 * c * a) ------（9）这两个形式常用于计算三角形的角度。
余弦定理证明过程
余弦定理证明过程余弦定理是解决三角形相关问题的重要定理之一。
它通过三角形的边长来计算角度的方法，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的各种问题。
我们来看一下余弦定理的表述：对于任意三角形ABC，设三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下关系成立：c² = a² + b² - 2ab·cosC其中，c表示三角形的边长，a和b分别表示与边长c对应的两个角的边长，C表示与边长c对应的角的大小。
那么，我们来看一下余弦定理的证明过程。
我们可以利用平面几何中的三角形面积公式来推导余弦定理。
根据三角形面积公式，我们可以得知三角形ABC的面积S为：S = 1/2 * a * b * sinC其中，sinC表示角C的正弦值。
由于三角形的面积可以通过底边和高来计算，而角C对应的高正好是边长c，所以我们可以得到另外一种表示三角形ABC面积的公式：S = 1/2 * c * h其中，h表示三角形ABC中C角对应的高。
将上述两个公式相等，我们可以得到：1/2 * a * b * sinC = 1/2 * c * h接下来，我们将高h表示出来，得到：h = b * sinC将上述结果代入面积公式，我们可以得到：S = 1/2 * c * b * sinC进一步化简，我们可以得到：2S = c * b * sinC根据正弦函数的定义，我们可以得到：sinC = sin(180° - C) = sin(π - C)根据三角函数的性质，我们可以得到：sin(π - C) = sinC将上述结果代入前面的等式，我们可以得到：2S = c * b * sin(π - C)再次根据三角形面积公式，我们可以得到：2S = a * h将上述结果代入前面的等式，我们可以得到：a * h = c * b * sin(π - C)进一步化简，我们可以得到：a * c * cosC = c *b * sin(π - C)由于sin(π - C) = sinC，我们可以得到：a * c * cosC = c *b * sinC进一步化简，我们可以得到：a * cosC =b * sinC再次利用三角函数的性质，我们可以得到：a * cosC = b * sinC = b * cos(90° - C)化简上述等式，我们可以得到：a * cosC =b * cos(90° - C)再次利用三角函数的性质，我们可以得到：a * cosC =b * cosA进一步化简，我们可以得到：cosC = cosA将上述结果代入余弦函数的定义，我们可以得到：c = a² + b² - 2ab · cosC至此，我们成功地推导出了余弦定理。
余弦定理的多种证明方法
余弦定理的多种证明方法法一(平面几何)：在△ABC 中，已知,,AC b BC a C ==∠及，求c 。
过A 作sin sin AD BC D AD AC C BC C ⊥=于，是＝，cos cos ,CD AC b c ==在Rt ABD ∆中，2222222(sin )(cos )2cos AB AD BD b c a b c a b ab c =+=+-=+-，法二（平面向量）：222()()22||||AB AB AC BC AC BC AC AC BC BC AC AC BC ⋅=+⋅+=⋅⋅+=+⋅ 222cos(180)2cos B BC b ab B a -+=-+，即：2222cos c a b ab c =+-法三（解析几何）：把顶点C 置于原点，CA 落在x 轴的正半轴上，由于△ABC 的AC=b ，CB=a ，AB=c ，则A ，B ，C 点的坐标分别为A(b ，0)，B(acosC ，asinC)，C(0，0)．|AB|2=(acosC －b)2+(asinC －0)2 =a 2cos2C －2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2－2abcosC ， 即c 2=a 2+b 2－2abcosC ．法四（利用正弦定理）：先证明如下等式：C B A C B A cos sin sin 2sin sin sin 222=-+ ⑴ 证明：C B A 222sin sin sin -+()()()()()[]CB A B A B AC C B A B A C B A coos CB A cos sin sin 2cos cos cos cos cos cos 22cos 12cos 22122cos 122cos 122cos 12=+--=+-+-=+++-=---+-=故⑴式成立，再由正弦定理变形，得)2(sin 2sin 2sin 2⎪⎩⎪⎨⎧===C R c BR b A R a结合⑴、)2(有().cos 2cos sin sin 24sin sin sin 422222222C ab C B A R CB A R c b a =⋅=-+=-+即 C ab b a c cos 2222-+=.同理可证 A bc c b a cos 2222-+=；B ca a c b cos 2222-+=.法五（用相交弦定理证明余弦定理）:如图，在三角形ABC 中，∠A=α，AB=a ，BC=b ，AC=c 。
怎么证明余弦定理
怎么证明余弦定理余弦定理，也称为余弦公式，是三角学中常用的定理之一。
其主要用于计算三角形的边长和角度之间的关系。
下面将对余弦定理进行证明。
我们考虑一个任意的三角形ABC，其中AB、AC和BC分别表示三角形的三条边，∠BAC、∠ABC和∠ACB分别表示三角形的三个内角。
现在，我们假设三角形ABC的边长分别为a、b和c。
根据三角形的定义，我们可以得到以下关系式：AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos∠ABCAB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos∠BACBC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos∠ACB接下来，我们将证明上述关系式。
根据余弦定理的定义，我们可以得到：cos∠ABC = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)cos∠BAC = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 * AC * BC)cos∠ACB = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)将上述三个等式代入原有的关系式中，得到：AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * (AC^2 + BC^2 - AB^2) /(2 * AC * BC)BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)化简上述等式，可以得到：AC^2 = AB^2 + BC^2 - AB^2 - BC^2 + AC^2AB^2 = AC^2 + BC^2 - AC^2 - BC^2 + AB^2BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB^2 - AC^2 + BC^2进一步化简，可以得到：AC^2 = AC^2AB^2 = AB^2BC^2 = BC^2由此可见，我们通过代入余弦定理的定义，成功地证明了余弦定理的有效性。
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余弦定理证明过程余弦定理证明过程=a，∠da=π-∠ba=π-，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=b∴=∴asin=sina…………①-aos=osa-b……②由①得asina=sin，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=sin.由②得aos=b-osa，平方得：a2os2=b2-2bosa+2os2a，即a2-a2sin2=b2-2bosa+2-2sin2a.而由①可得a2sin2=2sin2a∴a2=b2+2-2bosa.同理可证b2=a2+2-2aosb，2=a2+b2-2abos.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。
3△ab的三边分别为a,b,,边b,a,ab上的中线分别为ma.mb,m,应用余弦定理证明:mb=m=ma=√^2-a*osb)=√由b^2=a^2+^2-2a*osb得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=√=√同理可得：mb=m=4ma=√^2-a*osb)=√由b^2=a^2+^2-2a*osb得，4a*osb=2a^2+2^2-2b^2，代入上述ma表达式：ma=√=√证毕。
第五篇：余弦定理的多种证明余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活．对于任意三角形三边为a,b, 三角为a,b, 满足性质a^2=b^2+^2-2*b**osab^2=a^2+^2-2*a**osb^2=a^2+b^2-2*a*b*osos=2abosb=2aosa=2b证明：如图：∵a=b-∴a^2=^2 （证明中前面所写的a,b,皆为向量，^2为平方）拆开即a^2=b^2+^2-2b再拆开，得a^2=b^2+^2-2*b**osa同理可证其他，而下面的osa=2b就是将osa移到右边表示一下。
----------------------------------------------平面几何证法：在任意△ab中做ad⊥b.∠所对的边为，∠b所对的边为b，∠a所对的边为a则有bd=osb*，ad=sinb*，d=b-bd=a-osb*根据勾股定理可得：a^2=ad^2+d^2b^2=^2+^2b^2=sin^2b*^2+a^2+os^2b*^2-2a*osbb^2=*^2-2a*osb+a^2b^2=^2+a^2-2a*osbosb=2a从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。
同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
好访问其他附送：余敏洪励志演讲稿余敏洪励志演讲稿第一篇：俞敏洪励志演讲稿《俞敏洪励志演讲稿》1.成长是需要时间的。
你惟一要做到的是，看准了目标以后，充满耐心地，充满了坚韧不拔的精神往前走，这就是我们成长的过程。
我们未来生活最重要的一个能力，叫做忍辱负重的能力，很多社会名流会遇到很多很多你不能忍受的事情，但是你不得不忍受，而不忍受就不可能成功，为什么？因为你不忍辱负重，你就没有时间，你就没有空间，没有走向未来的空间，如果你想走向未来，最后变得更加强大更加繁荣，你就必须要做好给自己留下足够的时间和空间，轮到我们自己的生命要想为一个伟大目标而奋斗的时候，你排除，也得必须排除你生命中一切琐碎的干扰，因此你就必须忍辱负重！个人也是一样的，你要想有伟大的大发展，你得为自己争取时间，争取空间，争取未来，而争取时间争取空间争取未来的一个最重要的前提就是，你有理想！但是你敢于忍受生活中出现的一切对你的不公平，或者是一切对你的你认为受不了的事情！3.我有一个比喻，每一条河流都有自己不同的生命曲线，长江和黄河的曲线是绝对不一样的，但是每一条河流都有自己的梦想，那就是奔向大海！所以不管黄河是多么的曲折，绕过了多少障碍，长江拐的弯不如黄河多，但是她冲破了悬崖峭壁，用的方式是不一样的，但是到了最后走到了大海。
当我们遇到困难的时候，不管是冲过去还是绕过去，只要我们能过去就行，我希望大家能使自己的生命向梦想流过去，像长江黄河一样能流到自己梦想的尽头，进入宽阔的海洋，使自己的生命变得开阔，使自己的事业也变得开阔，但是并不是说你想流就能流得过去的，其实这里面就具备一种精神，毫无疑问，这就是水的精神！我们的生命有的时候会是泥沙，尽管你也跟着水一起往前流，但是由于你个性的缺陷，面对困难的退步或者说胆怯，你可能慢慢地就会像泥沙一样沉淀下去了，一旦你沉淀下去了，也许你不用再为了前进而努力了，但是你却永远见不到阳光了，你沉淀了下去，上面的泥沙会不断地把你压住，最后你会暗无天日，所以我建议大家，不管你现在生命是怎么样的，一定要有水的精神，哪怕被污染了，也能洗净自己，像水一样不断地积蓄自己的力量，不断地冲破障碍，当你发现时机不到的时候，把自己的厚度给积累起来，当有一天时机来临的时候，你就能够奔腾入海，成就自己的生命！4.大家都知道西方神话中，有一个叫西西弗的故事，由于受到宙斯惩罚，必须从山脚下推一块石头推到山顶，当这块大石头被他推到山顶的时候，这块石头会自动滚落到山脚，他又不得不从头开始推起，所以很烦恼！大家稍微想一下，我们日常的生活工作是不是就是这样的一个过程，当他推石头，把它当做一种惩罚来对待的时候，他心中会很难受，每天带着怨气怨恨在推石头，就像我们很多人工作的时候，带着怨气和怨恨在工作一样，你工作永远做不好，但是当他后来意识到这一点以后，推过春夏秋冬，推过雷电风霜，当他推到山顶上，看到蓝天更高更美，他觉得推石头也是一种生命的美丽的时候，生命其实就得到了升华。
我们的生命什么叫过得合算，当我们回头看我们已经过去的日子，我们有一些日子能让我们自己感动得泪流满面，那什么叫让你泪流满面的日子，你做出了一些让你自己觉得做不到，但是你做到了的事情。
5.伟大与平凡的不同之处是，一个平凡的人，每天过着琐碎的生活，但是他把琐碎堆砌出来，还是一堆琐碎的生命！所谓伟大的人，是把一堆琐碎的事情，通过一个伟大的目标，每天积累起来以后，变成一个伟大的事业！6.人的生活方式有两种，第一种是像草一样活着。
你尽管活着，每年还在成长，但是你毕竟是一颗草；你吸收雨露阳光，但是长不大。
人们可以踩过你，人们不会因为你的痛苦而产生痛苦；人们不会因为你被踩了，而来怜悯你，因为人们本身就没看到你。
所以，我们每一个人都应该像树一样成长。
即使我们现在什么都不是，但是只要你有树的种子，即使被人踩到泥土中间，你依然能够吸收泥土的养分，自己成长起来。
也许两年、三年你长不大，但是十年、八年、二十年，你一定能长成参天大树，当你长成参天大树以后，遥远的地方，人们就能看到你；走近你，你能给人一片绿色、一片阴凉，你能帮助别人。
即使人们离开你以后，回头一看，你依然是地平线上一道美丽的风景线。
树，活着是美丽的风景，死了依然是栋梁之才。
活着死了都有用，这就是我们每一个同学做人的标准和成长的标准。
7.当一个人为别人活着的时候，就非常麻烦。
因为别人的标准是不一样的，没有坚持了自己的追求而想要的东西，你的尊严和自尊是得不到保证的，因为你总是在飘摇中间。
对于我们来说，保持自己尊严和自尊的最好的方法是什么呢？就是说你有一个梦想，通过从最基本的一个步骤，你就可以开始追求。
比如说最后你想取代我，成为新东方的董事长和总裁，你能不能做到？只要你有足够的心态和足够做事情的方法，以及胸怀，肯定是能做到的。
8.凡是想要一下子把一件事情干成的人，就算他干成这件事情，他也没有基础，因为等于是在沙滩上造的房子，最后一定会倒塌。
只有慢慢地一步一步把事情干成的，每一步都给自己打下坚实的基础，每一步都给自己一个良好的交代，再重新向未来更高去走每一步的人，他才能够把事情真正地做成功。
9.渡过难关是一种心态，你想要跨过去的话，就必然能跨过去。
10.很多人在工作的时候，带着怨气和怨恨在工作，你的工作就远做不好。
11.如何能够把事情做得更成功的几个要点。
第一要点，如何尽可能把自己的长期目标和短期目标结合起来。
我们要先分清楚，哪些事情是我们想一辈子干的事情，哪些事情是一下子干完，我们就可以不用干的事情。
中国有句话叫急事慢做，你越着急的事情，你做的越仔细、越认真，越能把事情做好。
而你越着急的事情，做的越快反而越做的七零八落，我把这个急事也叫做大事。
第二个要素就是要决定自己一辈子干什么。
那么还有一个我觉得非常重要的，就是平时做事情的时候，对时间的计划性。
还有一点，就是成功要自我约束。
任何时候，当你前面面临一个巨大的诱惑，和其它任何可能产生诱惑的时候，如果你觉得自己停不下来，你千万别去追那个东西。
因为你追了那个东西停不下来，最后栽跟头的一定就是你。
1千万记住一点，做任何事情的时间都是能挤出来的。
13.我的核心价值观就是，以善为生，用善良的心态来对待自己的生命和别人的生命。
14.有两句话我是比较欣赏的。
生命是一种过程；事业一种结果。
15.我们每一个人是活在每一天的，假如说你每一天不高兴，你把所有的每一天都组合起来，就是你一辈子不高兴。
但是假如你每一天都高兴了，其实你一辈子就是幸福快乐的。
有一次我在往黄河边上走的时候，我就用矿泉水瓶灌了一瓶水。
大家知道黄河水特别的浑，后来我就放在路边，大概有一个小时左右。
让我非常吃惊的发现，四分之三已经变成了非常清澈的一瓶水，而只有四分之一呢，是沉淀下来的泥沙。
假如说我们把这瓶水，清水部分比喻我们的幸福和快乐，而把那个浑浊的那个沉淀的泥沙，比喻我们痛苦的话，你就明白了；当你摇晃一下以后，你的生命中整个充满的是浑浊，也就是充满的都是痛苦和烦恼。
但是当你把心静下来的以后，尽管泥沙总的份量一点都没有减少，但是它沉淀在你的心中，因为你的心比较沉静，所以就再也不会被搅和起来，因此你的生命的四分之三，就一定是幸福和快乐的。
16.人的生命道路其实很不平坦，靠你一个人是绝对走不完的，这个世界上只有你跟别人在一起，为了同一个目标一起做事情的时候，才能把这件事情做成。
一个人的力量很有限，但是一群人的力量是无限的。
当五个手指头伸出来的时候，它是五个手指头，但是当你把五个手指头握起来的时候，它是一个拳头。
未来除了是你自己成功，一定要跟别人一起成功，跟别人团结在一起，形成我们，你才能把事情做成功。
渡过难关是一种心态，你想要跨过去的话，就必然能跨过去。
1.我这辈子什么都可以离开，就是不可以离开讲台。
从自卑中间走向自信的人是真正的自信，从一开始就盲目自信的人其实没有自信。