离散数学课件图论1 47页PPT文档

图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性 能找到同构的必要条件，但它们全不是充分条件：
① 边数相同，顶点数相同; ② 度数序列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构 判断两个图同构是个难题
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[图同构实例]
14-1 图
(1)
(2)
(3)
(4)
图中，(1)与(2)不同构（度数列不同），(3)与(4)也不同构.
问：图中(1)与(2)
的度数序列相同，
它们同构吗？为什
么？
(1)
(2)
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14-1 图
[完全图] ［无向完全图］G是个简单图，如果每对不同顶点都相邻，则
14-2 通路与回路
[表示法] ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
环（长为1的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长3，有向简单图中圈的长度2.
[不同的圈]（以长度3的为例） ① 定义意义下 无向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为2l个 有向图：图中长度为l（l3）的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为1个
［竞赛图］基图为Kn的有向简单图。
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14-1 图
[子图] 定义：G=<V,E>, G=<V,E> (1) GG —— G为G的子图，G为G的母图 (2) 若GG且V=V，则称G为G的生成子图 (3) 若VV或EE，称G为G的真子图 (4) V（VV且V）的导出子图，记作G[V] (5) E（EE且E）的导出子图，记作G[E]
v的后继元 D (v) 集 {u|uV(D)v,u E(D)uv} v的先驱元 D (v) 集 {u|uV(D)u,v E(D)uv} v的邻域ND(v)D (v)D (v) v的闭邻N 域 D(v)ND(v){v}
7. 标定图与非标定图 8. 基图
有向边: 带箭头的弧线。 从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
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实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所有使 G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的 补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。 相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图。 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
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14-3 图的连通性
1. 无向图的连通性 ［两个结点连通］在无向图中，结点u和v之间如果存在一条
通路，则称u与v是连通的。记作 uv
规定: 对任何结点u，uu。
［结点之间的连通关系是个等价关系］ 令G=<V, E>是无向图，R是V上连通关系，即 R={<u,v>| u,v V且uv} 显然R具有自反、对称和传递性。 于是可以求商集V/R。
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14-1 图
[图的同构] 设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(两个有向 图)，若存在双射函数f:V1V2, 对于vi,vjV1,
(vi,vj)E1 当且仅当 (f(vi),f(vj))E2 （<vi,vj>E1 当且仅当 <f(vi),f(vj)>E2 ) 并且, (vi,vj)（<vi,vj>）与 (f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重数相 同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2。
n
n
n
d (v i) 2 m , 且d (v i)d (v i) m
i 1
i 1
i 1
推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数。
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14-1 图
[无向图的结点度序列] V={v1, v2, …, vn}为无向图G的顶点集，称d(v1), d(v2), …, d(vn)为 G的度数序列。 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的。 [n阶k正则图] 一个无向简单图G中,如果Δ(G)=δ(G)=k，则称G 为k-正则图。
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)。
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现。
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称G是个无向完全图。如果G有n个结点, 则记作Kn。
简单性质：边数 mn(n1),n1
2 ［有向完全图］G是个有向简单图，如果任意两个不同顶点之
间都有方向相反的边,则称它是有向完全图。
简单性质：边数 m n ( n 1 ) , 2 ( n 1 ) , n 1
则 G1 = <V1, E1 >为一无向图
2. 设 V2 = {a, b, c, d}, E2 = {<a,a>, <a,b>,<a,b>,<c,b>, <c,d>,<d,c>,<a,d>}
则 G2 = <V2, E2 >为一有向图
14-1 图
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d+(v)——v的出度 d(v)——v的入度 d(v)——v的度或度数 (3) (G), (G) (4) +(D), +(D), (D), (D), (D), (D) (5) 奇度顶点与偶度顶点
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14-1 图
相关概念：
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的G或有向的D ） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
2. n 阶零图与平凡图（ n 为顶点个数） 3. 用 ek 表示无向边或有向边 4. 顶点与边的关联关系
① 关联、关联次数 ②环 ③ 孤立点 5. 顶点之间的相邻与邻接关系
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14-2 通路与回路
[定理14-2.1] 在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vivj）存在通路， 则从vi 到 vj 存在长度小于或等于n1 的通路.
[推论] 在 n 阶图G中，若从顶点vi 到 vj（vivj）存在通路，则 从vi 到vj 存在长度小于或等于n1的初级通路（路径）.
14-2 通路与回路
[定义] 给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与
边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，vi1, vi 是 ei 的端点。 (1) 通路与回路： 为通路；若 v0=vl， 为回路，l 为回路长
度。
(2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通路，又若v0=vl， 为简单回路。
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14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v 的邻 N (v ) { 域 u |u V (G ) (u ,v ) E (G ) u v }
v 的闭 N (v ) N 邻 (v ) { v } 域 v 的关联集 I(v){e|e E (G )e与 v关}联 ② vV(D) (D为有向图)
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14-1 图
［定义］一个图表示为 G=<V(G), E(G)>, 其中 V(G): G的结点的非空集合，简记成V。 E(G): 是G的边的集合， 有时简记成E。
结点(Vertices)：用 表示, 旁边标上该结点的名称。 边(Edges)
第四部分 图论
图论
实例1： 多用户操作系统中的进程状态变换
就绪 r
进程调度
执行 e
I/O完成
请求I/O
r
e
等待 w
w
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图论
实例2： “七桥问题” －哥尼斯堡城的普雷格尔河
A
B
D
C
A
e1
e5 e3 e6
B
D
e2
14-1 图
Байду номын сангаас
[握手定理]
定理14-1.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m